Electromagnetismo II (Rañada)

Notas de curso de Electromagnetismo II Prof. Prof. Antonio Anton io Fern´ ern ´ andez-Ra andez -Ra˜ nada n ãda Curso 2005/06

Universidad Complutense Fac acul ulta tad d de F´ısic ısica a Ciudad Universitaria, Madrid

Bibliograf´ıa anchez Quesada, L. L. S´ anchez anchez Soto, M. Sancho Ruiz, y J. Santamar´ Santamar´ıa, • F. Sánchez

“Fundamentos “Fundamentos de electromagnetismo”(S´ıntesis, ıntesis, Madrid, 2000)

Reitz, F. J. Milford Milford y R. W. Christ Christy y, “Fund “Fundamen amentos tos de la teor´ teor´ıa • J. R. Reitz,

electromag elect romagn´ nética”(Add etica ”(Addison ison Wesley, 1994). 1 994).

III”(C opigraf, Madrid, 1976). • S. Velayos, “Temas de f´ısica III”(Copigraf, L orrain, D.R. Courson, Cou rson, “Campos y ondas o ndas electromagnéticas”(Selecciones eticas”(Selecciones • P. Lorrain,

Cient´ Cient´ıficas, Madid, 1994). 1994) .

• R. Feynman, R.B. Leighton L eighton y M. M . Sands, Sands , ”“F´ ”“F´ısica, Vol. II: Electr E lectromagn omagnetismo etismo

y materia”(Addis materia”(Addison-W on-Wesley esley Iberoamericana, Iberoamericana, Madrid, 1987).

• R.K Wangness, “Campos electromagnéticos”. eticos”. (Editorial Limusa, México, exico,

1979).

— 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

0–2

notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

Bibliograf´ıa anchez Quesada, L. L. S´ anchez anchez Soto, M. Sancho Ruiz, y J. Santamar´ Santamar´ıa, • F. Sánchez

“Fundamentos “Fundamentos de electromagnetismo”(S´ıntesis, ıntesis, Madrid, 2000)

Reitz, F. J. Milford Milford y R. W. Christ Christy y, “Fund “Fundamen amentos tos de la teor´ teor´ıa • J. R. Reitz,

electromag elect romagn´ nética”(Add etica ”(Addison ison Wesley, 1994). 1 994).

III”(C opigraf, Madrid, 1976). • S. Velayos, “Temas de f´ısica III”(Copigraf, L orrain, D.R. Courson, Cou rson, “Campos y ondas o ndas electromagnéticas”(Selecciones eticas”(Selecciones • P. Lorrain,

Cient´ Cient´ıficas, Madid, 1994). 1994) .

• R. Feynman, R.B. Leighton L eighton y M. M . Sands, Sands , ”“F´ ”“F´ısica, Vol. II: Electr E lectromagn omagnetismo etismo

y materia”(Addis materia”(Addison-W on-Wesley esley Iberoamericana, Iberoamericana, Madrid, 1987).

• R.K Wangness, “Campos electromagnéticos”. eticos”. (Editorial Limusa, México, exico,

1979).


0–2


Índice general 1. Recordatori Recordatorio o de las ecuaciones ecuaciones de Maxwell

1–1

1.1. Ecuaciones Ecuaciones del electromagnetism electromagnetismoo est´ atico . . . . . . . . . . . . . 1–1 1.2. Las ecuaci ecuaciones ones de Maxw Maxwell ell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–2 1.3. Condiciones Condiciones en la frontera frontera entre dos materiales materiales distintos distintos . . . . . 1–3

2. Problemas de contorno en campos est´ aticos aticos I

2–1

2.1. Teorema eorema de Green. Green. Represen Representaci taci´ on oń integ integral ral del potenc potencia iall elecelectrostático atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–1 2.2. Unicid Unicidad ad de la la soluci soluci´ oń de los problemas de contorno de Dirichlet on y Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–4 2.3. El teorema teorema de de reciproci reciprocidad dad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–5 2.4. 2.4. Soluci Solución oń del problema electrost´ atico de valores en el borde con las atico funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–5 2.5. El método etodo de las im´ agenes agenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–8 2.5.1. 2.5.1. Carga Carga puntual puntual y plano plano conduct conductor or a tierra tierra . . . . . . . . . . 2–9 2.5.2. 2.5.2. Carga Carga puntual puntual y esfera esfera conductor conductoraa a tierra tierra . . . . . . . . . 2–11 — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

2.5.3. 2.5.3. Carga Carga puntual puntual y esfera conducto conductora, ra, cargada cargada y aislada aislada . . . 2–13 2.5.4. 2.5.4. Carga Carga puntual puntual y esfera esfera conductor conductoraa a un potencial potencial fijo fijo . . . 2–14 2.5.5. Esfera conductora en un campo el´ ectrico ectrico uniforme uniforme . . . . . 2–14 2.6. Sistema Sistemass de conducto conductores res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–15

3. Problemas Problemas de contorno contorno en campos est´ aticos aticos II: Separaci´ Separaci´ on o n de variables 3–1 3.1. Método etodo de d e separaci´ on de variables en coordenadas cartesianas . . 3–1 on notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

0–3

´ Indice general

3.1.1. Un caso bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–3 3.2. La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas esféricas . . . . . . . . . . 3–5 3.2.1. Ecuaci´ on de Legendre y polinomios de Legendre . . . . . . 3–6 3.2.2. Problemas simples con simetr´ıa azimutal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–8 3.2.3. Funciones asociadas de Legendre y Arm´ onicos esféricos . . 3–10 3.3. La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas cil´ındricas. Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–12

4. Energ´ıa y fuerzas en campos electrost´ aticos

4–1

4.1. Energ´ıa electrost´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–1 4.1.1. Caso de varias cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . 4–1 4.1.2. Caso de una distribuci´ on de carga . . . . . . . . . . . . . . 4–3 4.1.3. Densidad de energ´ıa de un campo electrost´ atico . . . . . . 4–4 4.1.4. Masa electromagnética. El modelo de electr´ on de AbrahamLorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–7 4.1.5. Desarrollo multipolar de la energ´ıa de una distribuci´ on de carga en un campo exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–10 4.2. Energ´ıa de un sistema de conductores . . . . . . . . . . . . . . . . 4–14 4.3. Energ´ıa electrost´ atica en dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . 4–15 4.4. Fuerzas en sistemas electrost´ aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–17

5. Energ´ıa y fuerzas en sistemas magnetost´ aticos.

5–1

5.1. Energ´ıa magnetost´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–1 5.2. Energ´ıa de un cuerpo en un campo magnetost´ atico . . . . . . . . 5–5 — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

5.3. Fuerzas en sistemas magnetost´ aticos . . . . . . . . . . . . . . . . 5–5 5.4. Dipolo en un campo magnetost´ atico. Fuerza, torque y energ´ıa. . . 5–6 5.5. El teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–8

6. Introducci´ on a las ondas electromagn´ eticas

6–1

6.1. Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–1 6.2. Energ´ıa electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–2 6.3. La ecuaci´ on de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–4 0–4


´ Indice general 6.3.1. Ecuaciones de onda de los potenciales escalar y vectorial y transformaciones de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–5 6.4. Ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–8 6.4.1. Ondas planas en medios no conductores . . . . . . . . . . 6–8



0–5

´ Indice general


0–6


Cap´ıtulo 1 Recordatorio de las ecuaciones de Maxwell 1.1.

Ecuaciones del electromagnetismo est´ atico

Recordemos que el electromagnetismo est´ atico se basa en las cuatro ecuaciones siguientes ρ E = , E = 0, Electrostática : (1.1) 0 B = 0, B = µ 0 j, Magnetostática : (1.2)

∇· ∇·

∇× ∇×

siendo E, B, j y ρ independientes del tiempo de la coordenada espacial r . Para aplicarlas a sistemas que incluyan part´ıculas cargadas, es preciso a˜ nadir la segunda ley de Newton y la fuerza de Lorentz

F = q (E + v


× B) .

(1.3)

Como se ve, los dos pares de ecuaciones (1.1) y (1.2) est´ an desacoplados; por tanto también lo est´ an la electricidad y el magnetismo est´ aticos, lo que significa que podemos resolver separadamente cada uno de esos dos pares. En el caso no est´ atico, es decir con campos, densidades de carga y de corriente libres que var´ıan en el tiempo, esas ecuaciones son incompletas. Para completarlas, es preciso añadir dos términos nuevos en los que aparecen las derivadas temporales de los vectores eléctrico E y magnético B. Esos dos términos est´ a n asociados a dos fenómenos nuevos de gran importancia: la inducci´ on de Faraday y la corriente de desplazamiento de Maxwell. La novedades que aportan esos dos términos se puede resumir as´ı: la derivada del campo E respecto al tiempo es fuente del campo B y viceversa. notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

1–1

Cap´ ıtulo 1.

1.2.

Recordatorio de las ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell

Concretando lo dicho m´ as arriba, debemos a˜ nadir los términos ∂ B/∂t a la segunda ecuaci´ on(1.1) y ∂ D/∂t a la densidad de corriente j en (1.2), de modo que las cuatro ecuaciones de Maxwell toman la forma ρ E = , (1.4) 0 B = 0, (1.5) ∂ B E = , (1.6) ∂t ∂ E . (1.7) B = µ0 j + µ0 0 ∂t

−

∇· ∇· ∇× ∇×

−

Cuando el medio es un material distinto del vac´ıo, estas ecuaciones se escriben a menudo en la forma

∇·D ∇·B ∇×E ∇×H

= ρ,

(1.8)

= 0,

(1.9)

=

− ∂ ∂tB ,

(1.10)

∂ D , (1.11) ∂t a las que se deben a˜ nadir las relaciones constitutivas D = E, B = µH y, si la corriente no est´ a dada a priori, tambien j = σ E. = j+

En muchas ocasiones, se trata de estudiar c´ omo var´ıa el campo electromagnético en interacci´ on con cargas libres cuyo movimiento no est´ a dado a priori sino que est´ a afectado por los campos. Tomemos el caso especialmente interesante de electrones cuyas posiciones y velocidades son rk , vk . Para tratarlo, hay que acoplar las ecuaciones de Maxwell a las de movimiento de cada carga. Para ello hay que hacer dos cosas (i) Tomar como densidad de carga del conjunto de electrones — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

ρe =

 − e

δ (3)(r

k

y como densidad de corriente

je =

 − e

k

δ (3) (r

− r ),

k

− r )v . k

(1.12)

k

(1.13)

(ii) A˜ nadir las ecuaciones de movimiento de los electrones



d dt (1 1–2

−



mvk = F k = vk2 /c2 )1/2

−e(E + v × B). k

(1.14)


1.3. Condiciones en la frontera entre dos materiales distintos que es la segunda de Newton en su forma relativista, con la fuerza F k sobre cada carga dada por la expresi´ o n de Lorentz y tomando los campos E = E(r, t) y B = B(r, t) en la posición de cada carga. En el caso en que v/c 1 podemos aproximar el primer miembro por su expresi´ on no relativista d(mv)/dt.



Estas ecuaciones est´ an siendo comprobadas incontables veces cada d´ıa, tanto desde el punto de vita te´ orico como en su aplicaci´ on a multitud de instrumentos y dispositivos, de los que tenemos muchos en nuestros hogares. Constituyen una parte muy importante de la f´ısica b´ asica.

1.3.

Condiciones en la frontera entre dos materiales distintos

Cuando dos dieléctricos est´ an en contacto a través de una superficie S , se plantea un problema, pues la superficie no pertenece propiamente a ninguno (no está definida su permitividad) y hay una discontinuidad en ella. Para resolver este problema, se recurre al teorema de Gauss, como veremos a continuaci´ on. Sean dos medios 1 y 2, en contacto a trav´ es de una superficie, con permitividades 1 y 2 , tal como indica la figura, siendo n la normal a la superficie de contacto, dirigida del medio 1 al 2. Tomemos la superficie S , un cilindro con bases de a´rea ∆a, cada una en uno de los medios, y apliquemos el teorema de Gauss al vector desplazamiento D , suponiendo que en la superficie de contacto hay una densidad de cargas libres σ.

o sea



D n da = (D2 n

· − D · n) ∆a = σ∆a,

·

(D2

1

− D ) · n = σ. 1

(1.15)

Por tanto, si hay densidad de cargas libres en la superifice de contacto, la componente normal del vector desplazamiento tiene una discontinuidad. — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

Consideremos ahora el rect´ angulo de la figura, con dos lados paralelos a la superficie de contacto y dos de longitud despreciable perpendiculares a ella. Sean t el vector unitario tangente a la superficie de contacto en el plano del rect´ angulo. Aplicando el teorema de Stokes a la circulaci´ on del vector E , resulta (E2

− E ) · t = 0, 1

y como el vector t es arbitrario en el plano tangente a la superficie de contacto (E2 notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

− E ) × n = 0. 1

(1.16) 1–3

Cap´ ıtulo 1.


Como vemos, la componente tangencial del campo el´ ectrico es continua, con independencia de que existan o no cargas eléctricas libres en la superficie. Conviene a veces plantear esta cuesti´ on en términos del potencial Φ. Las ecuaciones (1.15) y (1.16) se pueden escribir como

 −  −

∂ Φ 2 ∂n 2 ∂ Φ ∂t

2

∂ Φ 1 ∂n ∂ Φ ∂t

  

= σ,

(1.17)

= 0.

(1.18)

1

1

La segunda establece que, salvo una constante aditiva en uno de los dos potenciales, Φ1 = Φ2 a lo largo y ancho del contacto. Veamos qué ocurre con el vector polarizaci´ on. Un razonamiento an´ alogo al hecho para el vector desplazamiento, nos lleva a (P2

− P ) = −σ 1

P .

Si 2 es el vac´ıo, P2 = 0, con lo que σP = P n,

·

como cab´ıa esperar. Consideremos ahora la frontera entre dos medios sometidos a un campo magnético. Tomemos una superficie tipo p´ıldora, es decir un cilindro de peque˜ na altura, con eje perpendicular a la frontera y con una base en cada medio. Aplicando el teorema de Gauss, se tiene que (B2 — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

− B ) · n = 0, 1

o sea

B2n

−B

1n

= 0.

(1.19)

La componente normal de B es continua en una frontera. Sea ahora un circuito C en forma de rect´ angulo, con dos lados de longitud  y paralelos al vector t, tangente a la superficie, y los otros dos muy cortos y normales a ella, suponiendo que circula por S una densidad superficial de corriente k (cantidad de corriente por unidad de longitud normal a ella). Calculando la circulación del vector intensidad magnética H a lo largo de C , resulta (H2 t

· − H · t) = |k × t|,

1–4

1

o sea H 2t

− H

1t

= k

| × t| ,


1.3. Condiciones en la frontera entre dos materiales distintos siendo k es la densidad superficial de corriente (o sea la corriente transportada or unidad de longitud perpendicaula en la capa superficial). Como t es un vector tangente arbitrario, se tiene (H2

− H ) × n = k. 1

(1.20)

O sea: si no hay carga libre superficial, la componente tangencial de H es continua.



1–5

Cap´ ıtulo 1.


1–6



Cap´ıtulo 2 Problemas de contorno en campos est´ aticos I En este cap´ıtulo se explica c´ omo se resuelve la ecuaci´ on de Poisson del potencial electrost´ atico en un volumen V si se conoce la distribuci´ on de carga en V y las condiciones de contorno sobre los valores de Φ o de ∂ n Φ = Φ n en el borde S = ∂V . Se probar´ a la unicidad de la soluci´ on de este problema, de manera que no pueden existir dos potenciales distintos que cumplan las mismas condiciones de contorno. Por desgracia son muy pocos los casos que puedan resolverse de modo simple, por lo que hay que usar métodos aproximados, de tipo n´ umérico, gr´ afico, etc. Hay métodos basados en desarrollos en serie que son lentamente convergentes a menudo.

∇ ·

2.1.


Teorema de Green. Representaci´ on integral del potencial electrost´ atico

Supongamos dos funciones φ, ψ arbitrarias y continuas, de clase C 2 en el interior de un volumen V bordeado por una superificie S = ∂V . Representaremos por ∂ /∂n a la derivada en dirección de la normal exterior a S (o sea saliendo de V ). Se cumple identicamente que ∇

2

· (φ∇ψ) = φ∇ ψ + ∇φ · ∇ψ,

sobre la superficie se tiene φ ψ n = φ

∇ ·

(2.1)

∂ψ . ∂n

De (2.1) se sigue notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

2–1

Cap´ ıtulo 2.

´ ticos I Problemas de contorno en campos esta

 

φ∇2ψ + ∇φ

V

· ∇ψ

  dv =

φ ∂ n ψ da,

(2.2)

S

expresió n válida para todo par φ, ψ de clase C 2 en V y conocida como primera identidad de Green . Si repetimos intercambiano las dos funciones y se resta, se tiene

  ∇ φ

2

ψ

V

2

 

− ψ∇ φ

dv =

(φ ∂ n ψ

S

− ψ ∂ φ) da,

n

(2.3)

que es la segunda identidad de Green o el teorema de Green . Conviene insistir en que es válida para cualquier par de funciones de clase C 2 . Nos interesa especialmente esta relaci´ on cuando se aplica al potencial electrost´ atico Φ de la siguiente manera. Tomemos 1 φ = Φ, y ψ = . r r (Recuérdese que 2[1/ r escribir entonces como



(3)

∇ | − r |] = −4πδ

  S

∂ Φ(r )  ∂n

−4π

 



1 

|r − r | 

Φ(r )δ (r

V

|− | (r − r )). El teorema de Green se puede 

−

1

∂ Φ(r ) da =   r ∂n

|r − |



−r)−

1 ρ(r ) 4π0 r r

|− |

 

dv ,

de donde se deduce la siguiente ecuaci´ on integral para el potencial Φ en puntos de V (en el interior de S )

1 ρ(r ) Φ(r) = dv  4π0 V r r 1 1 ∂ Φ(r ) + 4π S r r ∂n  — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

   | −

(2.4)

|

|− |

−

∂ 1 Φ(r )  ∂n r r

|− |



da ,

Nótese (i) que se ha usado las ecuaciones 2 (1/ r r ) = 4πδ (r r ) y 2 Φ = ρ/0 ; (ii) que, si el punto r está fuera de S , el primer miembro de (2.4) se anula. (iii) que si se aplica esa f´ ormula al caso de una carga en el espacio infinito, s´ olo queda el primer termino en el segundo miembro, recuper´ andose el resultado ya conocido. (iv) en el caso de una distribución ρ dentro de V , se anula la integral de superficie cuando S tiende a infinito. Para comprobarlo, basta con tomar una esfera S R y

−

2–2

∇

|− | −

−

∇


2.1. Teorema de Green. Representaci´ on integral del potencial electrost´ atico hacer que R , sustituyendo Φ por su serie multipolar. El primer término (el de carga, en q/r) da un integrando nulo sobre la esfera y los demas dan integrandos que decaen como r 2+2 con  1.

→ ∞

≥

El primer término del segundo miembro de (2.4) es la contribuci´ o n de la densidad de carga en el volumen V . Si ρ = 0 en V queda 1 Φ(r) = 4π

  S

∂ Φ(r ) r ∂n 

1

|r − |

−

∂ 1 Φ(r )  ∂n r r 

|− |



da ,

(2.5)

Esta integral de superficie es el efecto de las cargas exteriores a S . Si fuera de S no hay cargas, se anula. Su interpretaci´ on es la siguiente. El primer término es equivalente al potencial creado por una distribuci´ on superficial de carga con densidad ∂ Φ σ =  0  (2.6) ∂n y el segundo lo es al potencial creado por una distribuci´ on superficial de momento dipolar de potencia D = 0 Φn. (2.7)

−

(Recordemos que una capa de momento eléctrico dipolar es una distribuci´ on superficial de dipolos normales a la capa y que su potencia es el momento dipolar por unidad de a´rea.)

Capa dipolar. Se llama capa dipolar a una superficie que tiene una densidad de momento dipolar eléctrico normal a ella. Se puede considerar como un par de superficies muy pr´ oximas, una trasladada de la otra seg´ un el vector d y con densidades superificiales de carga σ, en el l´ımite d 0 con dσ = D(r) igual a una funci´ on prefijada.

±

→

El potencial creado por una tal capa se puede escribir como — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

1 Φ(r) = 4π 0

  S

σ(r )  da r r

|− |

 − S



σ(r ) r r + dn

|−

|



da

Teniendo en cuenta el desarrollo de Taylor 1

1 = +a r r

|r − |

·∇

 1 r

+

·· ·

se llega de inmediato a 1 Φ(r) = 4π 0

 S




D(r ) n





1

· ∇ |r − r | 



da . 2–3

Cap´ ıtulo 2.


lo que justifica considerar al segundo término de la derecha de (2.4) como una capa dipolar con potencia (2.6).

2.2.

Unicidad de la soluci´ on de los problemas de contorno de Dirichlet y Neumann

Supongamos una distribuci´ on de carga ρ en V , para la que queremos hallar una soluci´ o n de la ecuaci´ on Poisson 2 Φ = ρ/0. La ecuaci´ on integral (2.4) parece indicar que para hallar el potencial son necesarias dos condiciones, los valores de Φ y de ∂ n Φ en la superficie. Pero no es as´ı, pues en general el potencial y su derivada normal sobre S no son independientes entre s´ı. Por eso (2.4) no es una soluci´ on de un problema de condisiones en el borde sino una ecuaci´ on integral para Φ.

∇

−

Las condiciones de contorno que vamos a considerar son: a) de Dirichlet: Φ prescrita en S . b) de Neumann: ∂ n Φ prescrita en S . Veremos ahora que la soluci´ on dentro de V queda determinada por cualquiera de estas dos condiciones. Sean dos soluciones Φ1 y Φ2 que tienen la misma laplaciana en V y cumplen la misma condición en S (bien de Dirichlet, bien de Neumann). Sea U = Φ2

−Φ . 1

En ese caso 2 U = 0 en V y bien U = 0 bien ∂ nU = 0 en S . De la primera identidad de Green (2.2) se sigue

∇


  ∇ U

V

2

U +

  ∇ · ∇ U

U dv =

U∂ n U da.

(2.8)

S

Tanto con las condiciones de contorno de Dirichlet como con las de Neumann, esta ecuaci´ on se reduce a U 2 dv = 0, (2.9)

 |∇ | V

o sea U = 0, y U = constante en V . La condici´ on de Dirichlet implica que esa constante se anula; la de Neumann no, pero las dos soluciones se diferencian entonces en una constante irrelevante pues el campo el´ ectrico es el mismo para las dos soluciones.

∇

2–4


2.3. El teorema de reciprocidad

2.3.

El teorema de reciprocidad

Sean n cargas puntuales q j situadas en los puntos r j y sean Φ j los valores del potencial en r j debidos a las dem´ as cargas (distintas a la j-ésima). Se tiene 1 Φ j = 4π 0

 i

 q i

rij

,

(2.10)

donde la prima en la sumatoria indica que se excluye el caso i = j. Si se colocan otras cargas q j en los mismos puntos y eso da lugar a los valores Φ j del potencial Φ j

1 = 4π 0

 i

  q i

rij

,

(2.11)

y multiplicamos (2.10) por q j y (2.11) por q j , sumando luego en j



Φ j q j =

j



Φ j q j ,

(2.12)

j

igualdad que se conoce como teorema de reciprocidad . Es debido a Green. Se puede generalizar a n conductores. N´ otese que los dos miembros de (2.12) son iguales a q i q j  1 . 4π r 0 ij j i



Supongamos ahora que todos los conductores excepto los dos correspondientes a i y j están a tierra, es decir su potencial vale Φ = 0. En ese caso Φi q i + Φ j q j = Φi q i + Φ j q j .

(2.13)

Sean las dos situaciones A: q i = 0, q j = q y B: q i = q, q j = 0 Se cumple entonces Φi q = Φ j q, — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

⇒

Φi = Φ j

Esto significa que el potencial que adquiere i debido a una carga q en j (o sea Φi ) es igual al que adquiere j debido a una carga q en i (o sea Φ j ).

2.4.

Soluci´ on del problema electrost´ atico de valores en el borde con las funciones de Green

En esta secci´ on se obtienen las soluciones de los problemas de Dirichlet y Neumann mediante el método de las funciones de Green . Definimos la función notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

2–5

Cap´ ıtulo 2.


de Green G de la ecuaci´ on de Poisson como el potencial creado por una carga unidad y puntual (o como el potencial por unidad de carga), o sea

∇ G(r, r ) = − 1 δ ( r − r ). 2



(3)



(2.14)

0

Se tiene G(r, r ) =

1 1 , 4π0 r r

|− |

(2.15)

por lo que el potencial creado por la distribuci´ on de carga en el espacio abierto ρ(r) ser´ a 1 ρ(r ) Φ(r) = G(r r )ρ(r ) dv = , (2.16)  4π r r 0 R





−

3

|− |

como se puede comprobar aplicado el operador 2 y derivando dentro del signo integral, pues 1 ρ 2 Φ= δ (r r )ρ(r )dv = . 0 R 0

∇

∇

−



−

3

−

Conviene hacer una advertencia respecto a la notaci´ on. En sus tratamientos generales, los libros de EDP definen la funci´ on Green de modo algo distinto por 2





G(r, r ) =

∇ G(r, r ) = δ (r − r ),

− 4π1 |r −1 r | . 

(2.17)

Es fácil pasar de una a otra definici´ on. Una prueba simple de (2.28) es la siguiente:

 ∇ − — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

1 1 4π r r

|− |



1 r = 4π r



−r , ∇ − 1 1 4π |r − r | | −r| 2

 3







= δ (r



− r ),

(2.18)

La primera ecuaci´ on se obtiene simplemente por derivaci´ on. Para probar la segunda, consideremos la integral (tomando r = 0) I =



R3

        − − − ∇ ∇· ∇ − ∇ · ∇

f (r)

2

1 4πr

d3r =

1 4πr

f

R3

d3 r

f

R3

1 4πr

d3 r,

donde la funci´ on f (x,y,z ) es arbitraria salvo que la suponemos tendiendo a cero en el infinito. La primera integral se anula pues es igual a 1 f nr r2 dΩ = r S

 − ∇ · 2–6



f (R,θ,φ)dΩ = 0,

S


2.4. Soluci´ on del problema electrost´ atico de valores en el borde con las funciones de Green ya que ∇(1/r) = ∂ (1/r)/∂r eR y siendo S la superficie de radio R consecuencia I es igual a la segunda integral (con su signo) I =

 −

∂ r f∂ r

R3

−  1 4πr

2

r drdΩ =

dΩ 4π

∞

  − 4π

→ ∞. Como

∂ r fdr = f (0).

0

Es fácil probar que la “funci´ on” 2(1/r) se anula en todas partes salvo en el origen donde tiene una singularidad. Las dos u´ltimas ecuaciones prueban que, dentro de una intergral en R3, se comporta como menos δ (0) multiplicada por 4π. O sea que podemos escribir 1 2 = 4πδ (r). (2.19) r

∇

  ∇

−

2

• La función de Green como un método para despejar Φ en la ecuación ∇ Φ =

−ρ/ (comparar con despejar x en ax = b). • La función de Green como propagador. • Producto (o integral) de convolución. 0

Un punto muy importante es que a la soluci´ on de (2.10) se le puede sumar una solución arbitraria de la ecuaci´ on de Laplace 2 Φ = 0, de modo que deberemos definir m´ as generalmente la funci´ on de Green

∇

G(r, r ) =

1 1 + F (r 4π 0 r r

|− |



− r ),

(2.20)

con 2 F = 0. Como ya se dijo antes, la ecuaci´ on (2.4) no es de ayuda aqu´ı porque aparecen en la integral tanto Φ como ∂ n Φ que no son independientes. El método de las funciones de Green permite eliminar una u otra de las dos integrales de superficie eligiendo adecuadanente la funci´ on F . Nótese que r es la coordenada de la fuente y r, la del punto de observaci´ on.

∇


Apliquemos el teorema de Green (2.3) con φ = Φ, ψ = G(r, r ). Resulta la siguiente generalizaci´ o n de (2.4) Φ(r) =

  

ρ(r )G(r, r )dv 

(2.21)

V

+ 0

S

  ∂ Φ(r ) G(r, r ) ∂n 

−

  ∂G(r, r ) Φ(r ) da ,  ∂n



Tenemos la libertad de elegir la funci´ on F en la funci´ o n de Green. Podemos elegirla de modo que cumpla la condici´ on de Dirichlet GD (r, r ) = 0, si r notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

∈ S,

(2.22) 2–7

Cap´ ıtulo 2.


con lo que el primer t´ ermino en la integral de superficie en (2.22) se anula de modo que la soluci´ on del problema de contorno es Φ(r) =







ρ(r )GD (r, r )dv

V



−

0

∂G D (r, r ) Φ(r ) , da ,  ∂n S





(2.23)

En el caso de la condición de Neumann, hay que tener cuidado. Parecer´ıa que habr´ıa que tomar ∂G N (r, r ) = 0 si r S,  ∂n pues de ese modo se elimina el segundo término en la integral de superficie. Pero eso llevar´ıa a una contradicci´ on, ya que si aplicamos el teorema de Gauss a (2.10) resulta ∂G N  1 da =  0 S ∂n

∈



−

por lo que la condición más simple sobre GN debe ser ∂G N (r, r ) =  ∂n

− S1

si r 0

∈ S, )

(2.24)

donde S es el área del borde. La soluci´ on del problema de Neumann es pues Φ(r) = Φ S +

 

 V

ρ(r )GN (r, r ) dv  + 0

∂ Φ GN (r, r ) da ,  S ∂n



(2.25)

donde Φ es el valor medio del potencial en S , o sea una constante.

 

El problema de Neumann m´ as frecuente es el llamado problema exterior, en el que V está bordeado por dos superficies, una interior y finita y la otra en el infinito. El área de S es infinita por lo que el valor medio del potencial se anula y la expresión anterior se simplifica.


Nótese que en el caso de Dirichlet la función de Green es simétrica, es decir G(r, r ) = G(r , r). No ocurre necesariamente as´ı en el caso de Neumann, pero se puede encontrar una funci´ on simétrica (ver Jackson secci´ on 1.10, p. 40).

2.5.

El m´ etodo de las im´ agenes

El método de las im´ agenes se refiere al c´ alculo del potencial creado por una o varias cargas puntuales en presencia de superficies frontera. Como se dijo antes, la función de Green para unas condiciones de frontera es igual a la de Green en todo el espacio (2.11) más una soluci´ on de la ecuación de Laplace en V , es decir 2–8


2.5. El método de las im´ agenes un potencial creado por cargas exteriores a V . En algunas situaciones es posible deducir de la geometr´ıa del problema que un cierto n´ umero peque˜ no de cargas, con valores adecuados y situadas fuera de V , pueden simular las condiciones de contorno. Esas cargas se llaman im´ agenes . En esos casos, la solución se reduce a la suma de los potenciales creados por las cargas reales y las imágenes en una región ampliada sin condiciones de contorno.

2.5.1.

Carga puntual y plano conductor a tierra

Un caso simple e interesante es aquel en que V es un semiespacio bordeado por un plano conductor infinito conectado a tierra. En el interior de V hay una carga puntual. Supongamos que el plano es el xy, que está a potencial cero y que la carga q es positiva y est´ a situada en el punto P r1 = (0, 0, d). Cabe esperar lo siguiente: a) que las l´ıneas de campo salgan radialmente de la carga, de modo que su aspecto muy cerca de ella sea el mismo que el de una sola carga; b) que la carga q atraiga cargas negativas del conductor que se concentrar´ an bajo ella (en el origen de coordenadas), disminuyendo su densidad hacia el infinito; y c) que las l´ıneas de campo vayan de la carga al plano, de modo que lleguen a él perpendicularmente. En la figura se representa el aspecto de esas l´ıneas.

≡

Sabemos adem´ as que el potencial debe obedecer la ecuaci´ on de Laplace. El problema es c´ omo calcularlo. Para ello acudimos a un truco. Imaginemos una carga q situada en el punto P  r2 = (0, 0, d) y consideremos el sistema de las dos cargas sin el plano. El c´ alculo es sencillo. No cabe duda que el potencial en el semiespacio z > 0 cumple nuestros requerimientos, pues se aproxima al de una carga q en el punto P , obedece Laplace en ese semiespacio y es nulo en el plano z = 0. Podemos imaginar ahora que tenemos dos conductores: el plano con potencial cero y una esfera peque˜ na centrada en P con carga q cuyo radio a hacemos tender a cero. Las condiciones de contorno son: en el plano, condici´ on de Dirichlet pues se da el potencial Φ = 0, y en la esfera se da la carga total, lo que es equivalente a dar la densidad superficial de carga q/4πa 2 y el potencial Φ, cuando a es muy peque˜ no, o sea también de Dirichlet. También en este caso hay un teorema de unicidad, por eso esa soluci´ o n, obtenida de una forma tan aparentemente artificial, es la buena que buscamos.

−


≡

−

En la figura se representa la soluci´ on. Podemos interpretarla diciendo que las l´ıneas salen de la carga y son atra´ıdas por el plano, por lo que s´ olo la que sale hacia arriba a lo largo del eje z llega al infinito. Sea ρ la coordenada radial en el notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

2–9

Cap´ ıtulo 2.


plano. El campo el´ ectrico en el plano es igual a (0, 0, E z ) con E z =

1 2q 1 2q d 1 2qd cos θ = = , 4π0 ρ2 + d2 4π0 ρ2 + d2 (ρ2 + d2 )1/2 4π0 (ρ2 + d2 )3/2

−

−

−

donde ρ 2 = x 2 + y2 , por lo que la densidad superficial es σ =  0 E z =  0

1 2qd . 4π 0 (ρ2 + d2 )3/2

−

La carga total en el plano debe ser q . Para comprobar que es as´ı en la soluci´ on obtenida, integremos la densidad de carga

−

∞

Carga =



σ 2πρdρ =

0

−q.

Este método se conoce como método de las im´ agenes porque hemos tratado el plano como un espejo y considerado “la imagen” de la carga q . Es muy u ´ til para calcular campos eléctricos y potenciales, incluso en situaciones m´ as complicadas. Comparemos ahora este resultado con la teor´ıa formal expuesta en la secci´ on anterior. Se trata de un problema de Dirichlet, siendo la condici´ on de contorno Φ = 0 en S que es el plano xy en este caso. Seg´ un (2.20) la función de Green debe ser 1 1 GD (r, r ) = + F (r r ), (2.26)  4π0 r r

|− |

−

con 2 F = 0 y de modo que se cumpla (2.22). Tiene que ocurrir que en (2.29 GD = 0 cuando r S . Para conseguirlo, basta con tomar para F el potencial creado por la carga imagen de valor q y colocada en (0, 0 d), quedando la función de Green como

∇

∈

−

1 GD (r, r ) = 4π0 




−

1

1

|r − r | − |r − r | 

2



,

(2.27)

siendo r 2 = r  2dez . Nótese que esta funci´ on de Green es el potencial creado por una carga unidad en r y otra menos la unidad en r 2dez . Usando la ecuación (2.22) resulta para el potencial en el semiespacio z > 0

−

−

Φ(r) =



ρ(r )GD (r, r )dv ,

(2.28)

V

pues Φ = 0 en el plano, que da el resultado correcto pues la densidad es ρ = qδ (3)(r r1 ), con r1 = (0, 0, d).

−

En el caso general en que, en vez de una carga, hubiese una distribuci´ o n en z > 0 dada por la densidad ρ(r), la fórmula anterior ser´ıa v´ alida. Se podr´ıa 2–10


2.5. El método de las im´ agenes interpretar como el efecto de dos distribuciones de carga una la real y otra la imagen. Es fácil ver que si la condici´ o n fuese de Neumann ∂ n Φ = 0 en el plano, manteniendo la carga q en la misma posición, la carga imagen deber´ıa ser tambien igual a q . La función de Green ser´ıa entonces 1 GN (r, r ) = 4π0 siendo r2 = r 

2.5.2.

− 2de , pues ∂ G z

N =

n





1

1

|r − r | + |r − r | 

2



,

(2.29)

0 en el plano.

Carga puntual y esfera conductora a tierra

Consideremos una esfera conductora de radio a conectada a tierra, es decir con Φ = 0 y una carga puntual q situada en p en un sistema de referencia con origen en el centro de la esfera. El objetivo es encontrar el potencial para r > a que se anule en r = a. Intentemos resolver el problema con una unica ´ carga imagen q  . Parece razonable suponer que la posici´ on de esa imagen p esté en la l´ınea entre q y el centro de S . El potencial creado por las dos cargas es



1 Φ(r) = 4π0

q 

q

|r − p| + |r − p | 



(2.30)

Queremos que este potencial se anule en la esfera, o sea en r = a. Busquemos si hay valores de q  y p que aseguran esa condici´ on. Sean n y n dos vectores unitarios en las direcciones de r y p, de modo que el potencial se puede escribir como 1 q q  Φ(r) = + (2.31) 4π0 r n pn rn p n



| − | | −

|



En r = a ese potencial vale — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

1 Φ(r = a) = 4π0



an

| −

q +   ( p/a)n p n

|

| −

q  (a/p )n

|



(2.32)

Se ve que si elegimos q q  = , a p

−

p a =  a p

resulta Φ(r = a) = 0. Esto indica que la magnitud y la posici´ o n de la carga imagen es a a2   q = q, p = , (2.33) p p

−


2–11

Cap´ ıtulo 2.


Las posiciones entre las dos cargas, la real y su imagen, est´ an relacionadas por una transformaci´ on de inversi´ on (r,ϑ,ϕ)

 ⇒

a2 , ϑ , ϕ , r



más adelante volveremos sobre ello. Una vez encontrada la carga imagen podemos calcular la densidad superficial de carga inducida en S por la carga q . Su valor está dado por la derivada normal del potencial en la superficie de la esfera, o sea (derivando en (2.31) σ =

−

∂ Φ 0 ∂r



= r=a

−



q a 4πa 2 p

1 (1 + a2 /p2

2

2

− a /p − 2a cos γ/p)

3/2

donde γ es el ángulo entre n y n . Nótese que σ = 0E (r) pues el campo en el borde de la esfera es precisamente E (r = a) = ∂ Φ/∂r. La carga inducida total es la integral sobre S de esa densidad y es igual a q  , como se deduce f´ acilmente del teorema de Gauss.

−

Nótese también que la función F usada para calcular la funci´ on de Green con la condición de contorno adecuada es el potencial creado por la carga imagen, cuya laplaciana se anula fuera de la esfera. Es interesante calcular la fuerza entre la carga real q y la esfera. Una primera manera de hacerlo es calcular la que hay entre la carga y su imagen. Entre ellas hay una distancia p p = p(1 a2 /p2 ) La fuerza es atractiva y de magnitud

−

−

1 q 2 a3 F = 4π 0 a2 p3

a2 p2

−  1

−2

(2.34)

A grandes separaciones decrece como la inversa del cubo de la distancia. Cerca de la esfera es proporcional al cuadrado de la inversa de la distancia de q a la superficie de S .


Se puede llegar tambi´ en a (2.34) calculando la fuerza entre la carga q y la distribución σ mediante una integraci´ on sobre S .

Transformaci´ on de inversi´ on En el problema anterior las posiciones p y p de las dos cargas est´ an relacionadas por la llamada trasnformaci´ on de inversi´ on , que pasa del punto P al P  de modo que a2  P (r,ϑ,ϕ) P , ϑ , ϕ (2.35) r

≡

⇒

 ≡



Nó tese que los puntos de la esfera centrada en el origen y con radio a son invariantes por esta transformaci´ on. Ocurre adem´ as que si Φ(r,ϑ,ϕ) es el potencial 2–12


2.5. El método de las im´ agenes producido por la distribuci´ on de carga ρ(r,ϑ,ϕ), o sea si 2

∇ Φ(r,ϑ,ϕ) = −ρ(r,ϑ,ϕ)/

0

resulta que el potencial Φ es el producido por ρ donde a a2 a Φ (r,ϑ,ϕ) = Φ( , ϑ , ϕ), ρ (r,ϑ,ϕ) = r r r lo que significa que 2  Φ (r,ϑ,ϕ) = ρ (r,ϑ,ϕ)/0







∇

5

a ( , ϑ , ϕ) r

−

La transformaci´ on para una carga puntual es r q  en (r,ϑ,ϕ) q en (a2 /r,ϑ,ϕ) a La transformaci´ on de inversión por una esfera (la de radio a en este caso. No r) tiene interés en geometr´ıa. Alguna de sus propiedades confundir con r son i) Es involutiva, o sea 2 = 1. ii) Transforma el interior de la esfera en el exterior y vicecersa. iii) Transforma una sup erficie esférica que no pasa por el centro en otra superficie esférica. iv) Si la superficie esférica pasa por el centro es transformada en un plano y viceversa. v) Conserva los ańgulos (es conforme).

  ⇒

I ⇒−

I

En otros casos de otra geometr´ıa de los conductores y las cargas existen transformaciones que cumplen la misma funci´ on que la inversi´ o n en el de la esfera conductora y el punto.

2.5.3.


Carga puntual y esfera conductora, cargada y aislada

Si queremos considerar el problema de una esfera conductora, aislada y con carga Q podemos hacerlo mediante una superposici´ on. Imaginemos la esfera de la sección anterior, con su carga q  distribuida por su superficie. Se desconecta de tierra y se le a˜ n ade la carga (Q q  ), con lo que la carga total se hace igual a Q. La carga a˜ nadida se distribuye uniformemente sobre la superficie, pues es la u ´ nica manera de que el campo el´ ectrico siga siendo normal a la ella. El potencial de la carga adicional (Q q  ) es el mismo que el de una carga puntual con esa magnitud situada en el origen. O sea que el total vale

−

−

1 Φ(r) = 4π0



q

q 

Q + aq/p + p r

|r − p| + |r − |




(2.36) 2–13

Cap´ ıtulo 2.


y la fuerza entre la carga q y la esfera



1 q F = Q 4π 0 p2

2.5.4.

−

qa3 (2 p2 a2) p( p2 a2 )2

−

−



(2.37)

Carga puntual y esfera conductora a un potencial fijo

Otro problema de soluci´ on sencilla es el de una carga puntual y una esfera conductora conectada a una fuente de tensi´ on que la mantiene al potencial V . La expresión del potencial es como la del caso anterios, excepto que ahora hay que poner en el origen la carga 4π 0 V a, en vez de (Q q  ). Tendremos pues

−

1 Φ(r) = 4π 0



q

q 

+



|r − p| |r − p |



+

Va r

(2.38)

pues la suma de los dos primeros términos es nula para r = a, como ya vimos, y el tercero produce un potencial V . La fuerza entre la carga y la esfera es ahora, como no es demasiado dif´ıcil mostrar



q F = 2 V a p

2.5.5.

−

1 qap 3 , 4π 0 ( p2 a2 )2

−



(2.39)

Esfera conductora en un campo el´ ectrico uniforme

Sea una esfera de radio a, centrada en el origen de coordenadas, conductora y a tierra, situada en el campo eléctrico E = E 0 ez . Un tal campo eléctrico puede considerarse como producido por dos cargas Q colocadas en los puntos R (ver figura). Si esas cargas est´ a n lejos, o sea si R a, el campo que producen en los alrededores de la esfera es aproximadamente constante, paralelo al eje z y de módulo igual a E 0 2Q/4π 0R2. En el l´ımite R, Q , manteniendo constante Q/R2 , esa aproximaci´ on se hace exacta.

±






∓

→∞

Teniendo en cuante las secciones anteriores, la esfera de radio a sometida a las cargas Q situadas en z = R produce un potencial como el de estas dos cargas m´ as sus dos imágenes Qa/R en z = a2 /R, o sea

±

Φ =

∓

∓

∓

Q/4π 0 Q/4π 0 (2.40) (r2 + R2 + 2rR cos θ)1/2 (r 2 + R2 2rR cos θ)1/2 aQ/4π0 aQ/4π 0 + , R(r2 + a4 /R2 + 2a2 r cos θ/R)1/2 R(r 2 + a4 /R2 2a2 r cos θ/R)1/2

−

−

−

−

siendo r, θ las coordenadas del punto de observaci´ on. En los denominadoes de los dos primeros términos se saca el factor com´ un R y se desarrolla en serie de r/R; 2–14


2.6. Sistemas de conductores

Figura 2.1:

en los términos tercero y cuarto se saca fuera el factor r y se expande en a/R. El resultado es 1 2Q 2Q a3 Φ= r cos θ + 2 2 cos θ + 4π0 R2 R r

−



···

por lo que el potencial vale Φ=

2.6.


−E

0

a3 r2

−  r

cos θ .

(2.41)

Sistemas de conductores

Consideremos un sistema de N conductores en un volumen V con borde ∂V = S y consideremos el problema del potencial con condiciones de contorno. El problema se dice cerrado si todos ellos est´ an dentro de la cavidad formada por otro conductor que contiene a los dem´ as. Si no lo es, se dice que es abierto. Podemos imaginar entonces que los conductores est´ an dentro de una superficie esférica equipotencial con Φ = 0 cuyo radio tiende a infinito. Tomemos el caso en que se prescriben los valores del potencial en los conductores Φ j , j = 1, 2, . . . , N . Definimos a continuación N estados del sistema de la siguiente manera. En primer lugar, supongamos que todos los conductores est´ an a tierra excepto el primero. En ese caso las cargas de todos ellos quedan determinados por Φ1 . La dependencia es adem´ as lineal. Si se dobla Φ1 se doblan todos notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

2–15

Cap´ ıtulo 2.


los potenciales y las cargas en los dem´ as, o sea que Qi = C i1 Φ1 , siendo los C i1 unos ciertos coeficientes que est´ an determinados por el valor de Φ1 . Si repetimos el argumento considerando estados en que todos menos el k-ésimo están a tierra, tendremos Qi = C ik Φk . Como el problema es lineal, el estado general ser´ a una superposici´ o n de los N estados as´ı obtenidos, por lo que en general N

Qi =



C ij Φ j

j=1

Esto significa que, dados los C ij , queda determinado el potencial en todo el volumen V , una vez dados los potenciales a que est´ a cada conductor. Pero, como los coeficientes C ij i = 1, . . . , N quedan determinados por el valor de Φ j , seg´ un vimos antes, resulta que el problema est´ a bien planteado. Los C ii se suelen llamar coeficientes de capacidad y los C ij , i = j, coeficierntes de influencia , ai bien algunos autores llaman de capacidad a todos.



Podemos plantear otro problema que es parecido pero distinto. Se trata de la obtención de los potenciales de los conductores en funci´ on de las cargas de cada uno. Se puede demostrar que existen unos coeficientes P ij , llamados coeficientes de potencial tales que N

Φ j =



P ji Qi

i=1


La matriz P ij es obviamente la inversa de C ij . Nótese que C ij es igual a la carga que adquiere el conductor i cuando todos los dem´ as est´ a n a tierra, excepto el conductor j que está a potencial unidad positivo de +1 V. Como en tal situaci´ on las l´ıneas de campo salen del conductor j , el u ´ nico a potencial positivo, y bine se van al infinito bien entran en los dem´ as conductores, las cargas en estos deben ser negativas. Por tanto los coeficientes de influencia deben ser negativos y los de capacidad, positivos, C ii > 0, C ij < 0, si i = j.



Además la carga positiva debe ser mayor o igual que la suma de las negativas en valor absoluto (pues algunas lineas pueden ir al infinito), por tanto N

 ≥ −

C ii

C ij .

j =i

2–16


2.6. Sistemas de conductores Podr´ıa parecer que para describir el sistema son necesarios N 2 coeficientes, pero no es as´ı porque la matriz C ij es simétrica, o sea que basta con N (N + 1)/2 (lo mismo debe ocurrirle a su inversa P ij ). Esta es una consecuencia del teorema de reciprocidad demostrado en la secci´ on 2.3.

Ejemplo: capacidad de un conductor Un condensador es un sistema de dos condutores en influencia total, lo que significa que las cargas son iguales y opuestas, o sea que vale el signo igual en la desigualdad anterior, Q2 = Q1 . Podemos escribir los potenciales en la forma

−

V 1 = (P 11

− P

12 )Q1 ,

V 2 = (P 21

− P

22 )Q1 ,

y como la matriz P ij es simétrica V 1 Si definimos V = V 1

− V

2

V =

− V = (P 2

11 +

P 22

− 2P

12 )Q1

y Q = Q 1, resulta que

Q 1 , siendo C = C P 11 + P 22

−2

P 12

la capacidad del condesnador. Si el conductor 2 est´ a a tierra, V 2 = 0, y Q2 = se tiene Q1 = C 11 V 1 ,, o sea que la capacidad es

−Q ), 1

C = C 11 y además C 12 =


−C

11 .


2–17

Cap´ ıtulo 2.


Problemas on entre las placas de un condensador de l´ aminas planas y paralelas, de 2.1 La regi´ extensión infinita y separadas por la distancia d está llena con una distribución de carga con densidad vol´ umica ρ = ρ0 x, siendo x la coordenada en direcci´ on normal a las placas. El potencial en las placas x = 0 y x = d es igual a 0 y V , respectivamente. Calcular: a) el potencial entre las placas Φ(x); b) el campo eléctrico entre las placas; c) La fuerza por unidad de a´rea ejercida sobre las placas.

2.2 Un sistema de conductores consiste en tres largos cilindros coaxiales, uno interior macizo de radio a, otro intermedio de radios b y c y el más exterior de radio interior d (a < b < c < d). Los cilindros interior y exterior estan conectados a potenciales V 1 y V 2 , respectivamente y el intermedio est´ a a tierra. Resolviendo la ecuaci´ on de Laplace hallar: a) el potencial en las regiones a < r < b y c < r < d, y b) la carga por unidad de longitud en cada conductor. 2.3 Una esfera conductora maciza de radio R 1 tiene una cavidad vac´ıa, también esférica y de radio R2 , pero no concéntrica. Est´ a rodeada por un dieléctrico exterior de permitividad ε. Se coloca una carga puntual q dentro de la cavidad, a una distancia a de su centro. Hallar la expresi´ on del potencial en las distintas regiones del espacio. 2.4 Un conductor plano horizontal indefinido, a potencial cero, tiene una protuberancia semiesférica de radio R. En la vertical del centro de la semiesférica a una distancia D (> R) del plano hay una carga puntual q . Hallar: a) la expresi´ on del potencial en todo el espacio y b) la fuerza sobre la carga q . — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

2.5 Alrededor de una esfera conductora de radio R y que está conectada a tierra, gira en un plano diametral horizontal (sin gravedad) una carga puntual q de masa m. Calcule: a) el valor de la velocidad v con que tiene que girar la carga para que se mantenga en una o´rbita estable de radio d = 10R, y b) si la esfera estuviese conectada a una bater´ıa con V voltios, calcule el valor de V para que la carga q gire con la misma velocidad v en una órbita estable de radio d = 20R. 2–18


2.6. Sistemas de conductores

2.6 Una esfera conductora de radio R está aislada y tiene una carga Q. Su centro está en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas. Alineadas con su centro y a ambos lados y a la misma distancia 2R, se colocan dos cargas puntuales de valor Q (en los puntos (0, 0 2R). Se pide calcular: a) el potencial de la esfera, b) la fuerza sobre cada una de las dos cargas puntuales y c) la densidad superficial de carga en los puntos del ecuador de la esfera, en el plano z = 0.

±

agenes, estudiar el potencial electrost´ atico en 2.7 Mediante el método de las im´ los siguientes casos: a) una esfera conductora en un campo eléctrico uniforme E0 y b) un cilindro de longitud infinita en un campo uniforme E 0 perpendicular al eje del cilindro.

2.8 Una esfera conductora de radio R está aislada con una carga Q. Se coloca un dipolo eléctrico a una distancia a del centro de la esfera, cuyo momento dipolar p está dirigido radialmente desde el centro de la esfera y hacia afuera. Hallar: a) el potencial eléctrico de la esfera y b) el campo el´ ectrico en los puntos que distan R y 2a del centro de la esfera, seg´ un la direcci´ on del centro al dipolo. 2.9 Un alambre indefinido, por el que circula una corriente de intensidad I , está situado en un medio de permeabilidad µ 1 que ocupa un semiespacio limitado por un plano paralelo al alambre y a la distacia d de él. En el otro semiespacio hay un medio de permeabilidad µ2 (> µ1 ). Determinar a) los campos en ambas regiones y b) la fuerza sobre el alambre, indicando si es atractiva o repulsiva respecto al plano. — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

2.10 Se tiene una carga puntual q entre dos planos conductores separados por la distancia d. la carga dista d1 de uno de ellos. Aplicando el teorema de reciprocidad, hallar la carga inducida en cada uno de ellos. 2.11 Dos esferas conductoras de radios a y b tienen sus centros separados la distancia c ( a, b). Hallar los coeficientes de influencia del sistema hasta el segundo orden de aproximaci´ on, es decir, despreciando términos en (a/c)3 , (b/c)3 y en potencias más altas.




2–19

Cap´ ıtulo 2.


2.12 Tres esferas conductoras idénticas de radio a están colocadas en los vérticies de un tri´ angulo equil´ atero de lado b ( a). Inicialmente las tres tienen la misma carga q . A continuaci´ on se descargan una a una y sucesivamente se conectan a tierra y se desconectan. ¿Cu´ al es la carga de cada una al final de este proceso?




2–20


Cap´ıtulo 3 Problemas de contorno en campos est´ aticos II: Separaci´ on de variables Uno de los métodos m´ as usados en F´ısica Matem´ atica para resolver ecuaciones en derivadas parciales es el de la separaci´ on de variables . Se sabe que la ecuación de Laplace y otras relacionadas son separables en once sistemas distintos de coordenadas (Morse and Feshbach, Methods of Theoretical Physics , 2 vol. McGraw-Hill, New York 1953). En este curso desarrollaremos s´ olo tres casos: cartesianas, cil´ındricas y esféricas.

3.1.

M´ etodo de separaci´ on de variables en coordenadas cartesianas

La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas cartesianas es — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

∂ 2 Φ ∂ 2 Φ ∂ 2 Φ + 2 + 2 = 0. (3.1) ∂x 2 ∂y ∂z Se ve claramente que la ecuaci´ on anterior tiene soluciones factorizadas de la forma Φ(x,y,z ) = X (x)Y (y)Z (z ).

(3.2)

es decir, como el producto de tres funciones, una por cada coordenada. Como consecuencia el problema de reduce a la soluci´ on de tres ecuaciones diferenciales ordinarias, pues sustituyendo en (3.1) y dividiendo por Φ, se llega a 1 d2 X 1 d2 Y 1 d2 Z + + = 0. X (x) dx2 Y (y) dy2 Z (z ) dz 2 notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

(3.3) 3–1

Cap´ ıtulo 3.

´ ticos II: Problemas de contorno en campos esta

´ n de variables Separacio

Como cada uno de los tres sumandos depende de una variable independiente distinta, cada uno de ellos debe ser igual a una constante (una positiva y dos negativas o al revés), o sea 1 d2 X = α2 , 2 X dx 1 d2 Y = β 2 , 2 Y dy 1 d2 Z = +γ 2 2 Z dz

− −

(3.4)

de modo que α2 + β 2 = γ 2 . Se han elegido como positivas las constantes correspondientes a las coordenadas x, y, lo cual es arbitrario, podr´ıa ser cualquier par. En todo caso esto indica que el potencial se puede expresar mediante combinaciones lineales de productos de funciones Φαβγ = e ±iαx e±iβy e± α +β z . (3.5)

√

2

2

Como α, β son completamente arbitrarias y podemos elegir como positiva una cualquiera de las constantes (s´ olo importa los signos relativos), se pueden generar por combinaciones lineales una enorme cantidad de soluciones a la ecuaci´ o n de Laplace. En el caso de que una de las constantes se anule, la solución ser´ a un polinomio de grado 1 en la variable correspondiente. As´ı, si α = 0, X = Ax + A  . Si dos constantes se anulan, lo hacen las tres y entonces tendremos la soluci´ on Φ = (Ax + A )(By + B  )(Cz + c ).


Las constantes α y β se determinan mediante las condiciones de contorno. Tomemos un ejemplo simple. Sea el volumen V en que queremos calcular el potencial el interior de una caja en forma de paralelep´ıpedo V (0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c). Sean las condiciones de contorno V = 0 en todas las caras, excepto la z = c que está al potencial V (x, y). Las condiciones de contorno Φ = 0 en x = 0, y = 0 o z = 0 indican que la soluci´ on es una suma de funciones de la forma

≡

X = sen αx, Y = sen βy,



(3.6)

Z = senh( α2 + β 2 ) 3–2


3.1. Método de separaci´ on de variables en coordenadas cartesianas Para que Φ = 0 en x = a e y = b, debe cumplirse αa = nπ y βb = mπ, con n, m enteros. Definiendo nπ , a mπ = , b n2 m2 = π + 2, a2 b

αn = β m

(3.7)



γ nm resulta que las funciones

Φnm = sen(αn x)sen(β m y) senh(γ nm z ), cumplen las condiciones de contorno en cinco caras (excepto en z = c). Como la ecuación es lineal, podemos escribir la soluci´ on como una serie en esas funciones ∞



Φ(x,y,z ) =

Anm sen(αn x) sen(β my)senh(γ nmz ).

(3.8)

n,m=1

Al mismo tiempo, sabemos que la función V (x, y) puede desarrollarse del modo ∞



V (x, y) =

V nm sen(αn x)sen(β my)

(3.9)

n,m=1

siendo los coeficientes V nm V nm

4 = ab

a

b

  dx

0

dyV (x, y)sen(αn x) sen(β my).

(3.10)

0

Por lo tanto la solución del problema est´ a dada por la serie (3.8) con Anm = — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

V nm sinh(γ nm c)

(3.11)

De esa forma se cumple la condición de contorno en z = c. En el caso de que el potencial fuese no nulo en las seis caras, se tomar´ıa una suma de seis potenciales, cada uno como (3.9), nulo en cinco de las seis caras.

3.1.1.

Un caso bidimensional

En el caso bidimensional, tendremos en vez de (3.5) las funciones e±iαxe±αy , notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

o también

e±αx e±iαy . 3–3

Cap´ ıtulo 3.



Consideremos el problema de determinar el potencial en la regi´ on R (0 x a, y 0), con las condiciones de contorno Φ = 0 en x = 0 y x = a, Φ = V en y = 0, 0 x a y Φ 0 para y . Teniendo en cuenta lo dicho m´ as arriba, resulta que la soluci´ on debe ser una suma de funciones del tipo e −αy sen(αx), con α > 0. Las condiciones de contorno implican pues que

≥

≡ ≤ ≤

≤ ≤

→

→ ∞

Φ(x, y) =



∞

An e−nπy/a sen(nπx/a),

(3.12)

n=1

Los coeficientes An se determinan por la condici´ on de contorno en y = 0. Los coeficientes de Fourier de Φ(x, 0) son 2 An = a

a



Φ(x, 0)sen(nπx/a)dx.

(3.13)

0

Si Φ(x, 0) = V = constante, An =

4V πn

 

1,

si n es impar

0,

si n es par

(3.14)

El potencial est´ a pues dado por la serie 4V Φ(x, y) = π


3–4



n impar

1 −nπy/a nπx e sen( ). n a

(3.15)


3.2. La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas esféricas

3.2.

La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas esf´ ericas

En coordenadas esféricas, la ecuaci´ on de Laplace toma la forma 1 ∂ 2 1 ∂ (rΦ) + r ∂r 2 r 2 sen θ ∂θ



∂ Φ sen θ ∂θ



1 ∂ 2 Φ + 2 = 0, r sen2 θ ∂ϕ 2

(3.16)

Si factorizamos el potencial en la forma Φ=

U (r) P (θ) Q(ϕ). r

(3.17)

Sustituyendo en (3.16), d 2U UQ d PQ 2 + 2 dr r sen θ dθ

dP U P d2 Q sen θ + 2 =0 dθ r sen2 θ dϕ2





Dividiendo por UPQ/r2 sen2 θ, 1 d2 U 1 d 2 2 r sen θ + U dr 2 P r2 sen θ dθ





dP sen θ dθ



1 d2 Q + =0 Q dϕ2

(3.18)

Como toda la dependencia en ϕ está concentrada en el u´ltimo término de la izquierda, éste debe ser igual a una constante, que tomamos como negativa ( m2 ). O sea 1 d2 Q = m2 , (3.19) 2 Q dϕ cuya soluci´ on es Q = e ±imϕ. (3.20)

−

−

Para que Q sea univaluada, m debe ser un entero, si todo el ańgulo 2π es admisible (si la constante en (3.19) fuese positiva tampoco ser´ıa univaluada). Por las mismas razones podemos separar las dos ecuaciones de P y U , como — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

1 d sen θ dθ



 

dP sen θ + ( + 1) dθ d2 U dr2

− −

m2 P = 0 sen2 θ ( + 1) U = 0, r2



(3.21)

siendo ( + 1) otra constante (real) de integraci´ on. La u ´ltima ecuaci´ on (la de U ) tiene como soluci´ on general U = A r+1 + B r − ,

(3.22)

pero no sabemos a´ un cómo es . notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

3–5

Cap´ ıtulo 3.



3.2.1.

Ecuaci´ on de Legendre y polinomios de Legendre

Es costumbre expresar la primera de las ecuaciones (3.21) en función de x = cos θ. Toma as´ı la forma



d (1 dx

−

 

dP x2 ) + ( + 1) dx

m2 P = 0. 1 x2

− −



(3.23)

Esta es la llamada ecuaci´ on generalizada de Legendre y sus soluciones las funciones asociadas de Legendre. Consideraremos en primer lugar la ecuaci´ on ordinaria de Legendre o simplemente ecuaci´ on de Legendre que es la correspondiente a m = 0, cuyas soluciones son conocidas como los polinomios de Legendre . Esa ecuación es pues



d (1 dx

−



dP x2 ) + ( + 1)P = 0. dx

(3.24)

Buscaremos soluciones que estén bien definidas en todo el intervalo 1 x 1, que incluye a los polos norte y sur. Ensayemos una soluci´ on en forma de serie

− ≤ ≤

∞

P (x) =



a j x j .

(3.25)

j=0

Si sustituimos en (3.23), resulta la serie ∞

{

j( j

j=0

j−2

j

− 1)a x − [ j( j + 1) − ( + 1)]a x } = 0 j

j

Los coeficientes de cada potencia de x deben anularse separadamente. Esto determina una relaci´ on de recurrencia en los coeficientes a j+2






j( j + 1) ( + 1) = a j , ( j + 1)( j + 2)

−

(3.26)

La soluci´ on queda determinada por a0 y a1. Si se toma a1 = 0 se tiene una funció n par en x, si a0 = 0 una funci´ on impar. Separaremos los dos casos. En general, la serie diverge en el eje pues la relación de términos sucesivos cumple a2 x j+2/a j x j 1, si x 1yj , o sea que no tiene buen comportamiento y diverge en x = 1, es decir, en las l´ıneas polares θ = 0, π. La u ´ nica manera de que no ocurra as´ı (caso en que no habr´ıa soluciones aceptables) es que la serie termine , es decir que sea un polinomio porque un coeficiente se anule, y con él todos los que le siguen a causa de la relación de recurrencia.

→

±

→

→ ∞

Para que eso ocurra, se necesita obviamente que  sea un n´ umero entero positivo o nulo. Incluso en ese caso, sólo una de las soluciones linealmente independientes es acotada en las l´ıneas polares. Esto es esperable, pues si a1 = 0 3–6


3.2. La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas esféricas (resp. a0 = 0), la serie es par (resp. impar) y sólo puede terminar para  par (resp.  impar). Para cada valor de  la solución es un polinomio de grado  en x, con la misma paridad que . Esas soluciones son los polinomios de Legendre. Los primeros son P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, 1 P 2 (x) = (3x2 1), (3.27) 2 1 P 3 (x) = (5x3 3x), 2 1 P 1 (x) = (35x4 30x2 + 3), 8 Haciendo un poco de a´lgebra con la expresi´ on de los coeficientes de la serie (3.25)(3.26), se puede obtener la representaci´ on siguiente

− − −

1 d (x2 1) . (3.28) P  (x) =   2 ! dx que es la definici´ on can´ onica, conocida también como formula de Rodr´ıgues (siempre se podria introducir una constante multiplicativa). Los polinomios de Legendre forman un conjunto de funciones ortogonales en el intervalo ( 1, +1), de modo que toda funci´ on definida en ese intervalo se puede escribir como una serie de polinomios de Legendre. En efecto se puede probar con un c´ aculo simple, sólo que usa algo de a´lgebra, que

−

−

1



P  (x)P  (x)dx = 

−1

2 δ   , 2 + 1 

(3.29)

por lo que un conjunto de funciones ortonormales es 2 + 1 P  (x). 2 (ver Jackson “Classical electrodynamics”3rd edition, John Wiley and Sons, New York 1995; Abramowitz and Stegun “Handbook of mathematical functions”; Arfken and Weber “Matehmatical methods for physicists”, Academic Press, New York, 1995.) U  (x) =




Sea una funci´ on f (x) definida en el intervalo en términos de los polinomios de Lagendre es

−1 ≤ x ≤ +1. Su representación

∞

f (x) =



A P  (x)

(3.30)

=0

A

2 + 1 = 2


1



f (x)P  (x)dx.

−1

3–7

Cap´ ıtulo 3.



3.2.2.

Problemas simples con simetr´ıa azimutal

De la solución de la ecuaci´ on de Laplace en coordenadas esféricas, resulta que si el problema tiene simetr´ıa azimutal (también llamada simetr´ıa cil´ındrica, o sea si el sistema es invariante bajo rotaciones en torno a un eje) entonces m = 0 y la solución general se reduce a ∞

Φ(r, θ) =



A r  + B r −(+1) P  (cos θ).



=0

(3.31)

Esfera con hemisferios a distinto potencial. Supongamos que la condición de contorno es V = V (θ) en la superficie de radio a. Si no hay cargas en el origen, el coeficiente B = 0, por lo que se debe cumplir ∞

V (θ) =



A a P  (cos θ),

=0

que es una expansion en serie de polinomios de Legendre, por lo que los coeficientes valen 2 + 1 π A = V (θ) P  (cosθ)sen θdθ 2a 0 Sea como ejemplo una esfera en la que dos hemisferios est´ an aislados entre s´ı y a distinto potencial, de modo que



V (θ) =

 −

≤ θ < π/2 if π/2 < θ ≤ π

+V, if 0 V,

(3.32)

Los coeficientes se anulan en este caso si  es par y si es impar valen V A =  (2 + 1) a — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

1



P  (x)dx

0

Usando la fórmula de Rodrigues se puede probar tras, un c´ alculo no muy complicado, que si  es par A = 0 y si  es impar A = (

+ 1)( 2)!! V , 2(( + 1/2)! a

− 12 )

(−1)/2 (2

−

por lo que el potencial vale



3r Φ(r, θ) = V P 1 (cos θ) 2a

3–8

−

7 r 8 a



3

11 r P 3 (cos θ) + 16 a



5

P 5 (cos θ) +

 ·· ·

(3.33)


3.2. La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas esféricas Para tener el potencial en el exterior de la esfera, basta con sustituir (r/a) por (a/r)+1.

Potencial de la carga unidad: desarrollo multipolar. Una propiedad muy importante y u´til es que la serie (3.31) con la condici´ on de contorno es una representaci´ on uńica del potencial, por lo que puede conocerse en todo el volumen si se conoce en una regi´ on menor. M´ as concretamente y como P  (1) = 1, P  ( 1) = ( 1) , en el eje de simetr´ıa el potencial se escribe como

−

−

∞

Φ(r = z ) =



A r  + B r−(+1)

=0



(3.34)

para z > 0; para z < 0 cada término debe ser multiplicado por ( 1) . Supongamos que se conoce la funci´ o n que da el potencial en la parte positiva del eje de simetr´ıa y que se desarrolla en serie de potencias de r = z siendo conocidos los coeficientes. Pues bien la expresi´ on para todo punto del espacio, se obtiene simplemente multiplicando cada potencia r y r −(+1) por P  (cos θ).

−

Como ejemplo tomemos el potencial creado en r por una carga unidad situada en r , que puede expresarse en la forma ∞

1

|r − r | = 

 =0

 r< P (cos γ ) +1  r>

(3.35)

donde r< (r> ) es el menor (mayor) valor de r y r y γ es el ángulo entre r y r . La ecuaci´ on anterior (3.35) se conoce como desarrollo multipolar del potencial de la carga unidad o desarrollo en ondas parciales del potencial de la carga unidad . La prueba es la siguiente. Tomemos los ejes de modo que r esté en la parte positiva del eje z . El potencial tiene entonces simetr´ıa azimutal alrededor del eje z , por lo que ∞

1 


|r − r |

=



A r  + B r −(+1) P  (cos γ ).



=0

Si r está en la parte positiva del eje z , el miembro de la derecha de esta ecuaci´ on toma la forma (3.34), mientras que el de la izquierda vale 1

|r − r | ≡ (r 

2

+ r 2

−

1 2rr  cos γ )1/2

→ |r −1 r | . 

Esta expresi´ on puede desarrollarse como 1

1 = r> r

|r − | notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

∞



  =0

r< r>

. 3–9

Cap´ ıtulo 3.



Por tanto para obtener la expresi´ on en todo el espacio, basta con multiplicar cada término por P  (cos γ ). As´ı se obtiene (3.35) como se quer´ıa probar.

Potencial creado por un anillo. Otro ejemplo es el potencial creado por una carga q distribuida uniformemente a los largo de un anillo de radio a. El problema tiene simetr´ıa azimutal alrededor del eje del anillo. Supongamos que está situado de modo perpendicular al eje z , con su centro en el punto (0, 0, b). Es evidente que el potencial en el eje de simetr´ıa en el punto con z = r es igual a q/4π0 dividido por la distancia AP , o sea Φ(z = r) =

1 4π 0 (r2 + c2

−

q , 2cr cos α)1/2

donde c2 = a2 + b 2 y α = arctan(a/b). Podemos usar la ecuaci´ on (3.35) para expresar la inversa de la distancia AP , de modo que para r > c q Φ(z = r) = 4π 0

∞

 =0

c r+1

P  (cos α)

y para r < c la forma correspondiente es q Φ(z = r) = 4π 0

∞

 =0

r P  (cos α). c+1

Lo mismo que antes, podemos escribir el potencial en un punto genérico simplemente multiplicando cada término por P  (cos θ). O sea q Φ(r, θ) = 4π 0

∞

 =0

 r< P (cos α)P  (cos θ), +1  r>

donde r < (r>) es el menor (mayor) de r y c.

3.2.3. — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

Funciones asociadas de Legendre y Arm´ onicos esf´ ericos

En la u ´ltima parte hemos tratado problemas con simetr´ıa azimutal. Si el rango del azimut es toda la circunferencia [0, 2π], se pueden resolver todos los problemas (en principio), con m entero pero el problema general necesita de soluciones con m no entero. Si pasamos de la ecuación ordinaria de Legendre (3.24) a la generalizada (3.23), se puede probar que para que tenga soluciones aceptables (por estar bien definidas y ser finitas) en todo el intervalo 1 x +1,

− ≤ ≤

3–10


3.2. La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas esféricas (i) el parámetro  debe ser bien cero bien un entero positivo y (ii) el entero m s´ olo puede tomar los valores , ( 1), .,0, ..., ( 1), . En otras palabras, m y  deben ser enteros y adem´ as  > 0 y m . Con esas condiciones existe una soluci´ on regular para cada par , m, que se conocen como funciones asociadas de Legendre , denotadas P m (x). Se definen mediante la fórmula m m m 2 m/2 d P  (x) = ( 1) (1 x ) P  (x). dxm Pero n´ otese que eso implica una elecci´ on de signos, aunque es la m´ as habitual. La fórmula de Rodrigues se puede generalizar para incluir a todas con independencia del valor de m

− − −

−

P m (x)

−

| | ≤

−

( 1)m =  (1 2 !

−

2 m/2

−x )

d+m (x2 +m dx



− 1) .

(3.36)

Las funciones P m y P −m deben ser proporcionales ya que son soluciones de la misma ecuaci´ on que depende de m a través de su cuadrado. De hecho se tiene P −m = ( 1)m

−

( m)! m P . ( + m)! 

−

Con un valor fijo de m las funciones P m forman un comjunto ortogonal en el ´ındice  en el intervalo 1 x +1. De hecho

− ≤ ≤

1



−1

P m (x)P m (x)dx = 

2 ( + m)! δ   , 2 + 1 ( m)!



−

(3.37)

Resulta muy u ´ til combinar las dos funciones angulares en la soluci´ o n de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas. La funciones as´ı obtenidas se conocen como esféricos arm´ onicos (o arm´ onicos esféricos ). Su definición precisa, con el convenio más usual de signos es Y m(θ, ϕ) = — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —



2 + 1 ( m)! m P  (cos θ)eimϕ, 4π ( + m)!

−

(3.38)

Propiedades: i) Cambio de signo de m ∗ Y l,−m (θ, ϕ) = ( 1)m Y l,m (θ, ϕ)

−

ii) Las relaciones de normalizaci´ on y ortogonalidad: 2π

π

  dϕ

0

0

dθ sen θ Y ∗,m (θ, ϕ)Y m (θ, ϕ) = δ   δ m m .










3–11

Cap´ ıtulo 3.



iii) Las relaciones de completitud son ∞





∗ Y m (θ , ϕ )Y m(θ, ϕ) = δ (ϕ

=0 m=−





− ϕ )δ (cos θ − cos θ ).

Los arm´ onicos esf´ ericos forman un conjunto completo de funciones ortogonales sobre la esfera unidad, de modo que cualquier funci´ on g(θ, ϕ) se puede expresar como ∞

g(θ, ϕ) =

 

Am Y m (θ, ϕ),

(3.39)

=0

Am =

4π

∗ dΩ Y m (θ, ϕ) g(θ, ϕ).

Algunos arm´ onicos esf´ ericos  = 0,  = 1,

√ 14π =− sen θe

Y 00 =

        − Y 11

3 8π

Y 10 = Y 22 =

 = 2,

3 cos 4π

1 4

15 2π

iϕ

(3.40)

θ

sen2 θe2iϕ

Y 21 =

15 sen 8π

Y 20 =

5 3 ( cos2 4π 2

θ cos θeiϕ θ

−

1 ) 2

Los arm´ onicos con m < 0 se pueden obtener a partir de la propiedad (i) de poco más arriba.

Soluci´ on general de la ecuaci´ on de Laplace en coordenadas esf´ ericas. En resumen, la solución general de la ecuaci´ on de Laplace en esas coordenadas es ∞

Φ(r,θ,ϕ) =





Am r + Bm r−(+1) Y m (θ, ϕ).



=0 m=−


3.3.

(3.41)

La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas cil´ındricas. Funciones de Bessel

En coordenadas cil´ındricas (ρ,ϕ,z ) (note that ρ = z ), la ecuaci´ on de Laplace toma la forma 1 ∂ ρ ∂ρ 3–12

  ∂ Φ ρ ∂ρ



x2 + y 2 , ϕ = arctan(y/x), z =

1 ∂ 2 Φ ∂ 2 Φ + 2 + 2 = 0, ρ ∂ϕ 2 ∂z

(3.42)


3.3. La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas cil´ındricas. Funciones de Bessel o también

∂ 2 Φ 1 ∂ Φ 1 ∂ 2 Φ ∂ 2 Φ + + 2 + 2 = 0, ∂ρ 2 ρ ∂ρ ρ ∂ϕ 2 ∂z

(3.43)

Para aplicar el métodod de la separaci´ on de variables, escribimos Φ(ρ,ϕ,z ) = R(ρ) Q(ϕ) Z (z ),

(3.44)

Que conduce a las tres ecuaciones diferenciales ordinarias d2 Z k2 Z = 0, 2 dz d2 Q + ν 2 Q = 0, 2 dϕ 2 d R 1 dR ν 2 2 + + k R = 0, dρ2 ρ dρ ρ2

−



−

(3.45)



Las soluciones de las dos primeras ecuaciones son Z (z ) = e±kz ,

Q(ϕ) = eiνϕ .

La constante ν debe ser un entero; k puede ser en pincipio un n´ umero cualquiera. De momento supondremos que es real y positivo. La ecuaci´ on con el cambio x = kρ toma la forma d2 R 1 dR + + k2 2 dx x dx



−

ν 2 x2



R = 0,

(3.46)

y es conocida como ecuaci´ on de Bessel , siendo sus soluciones las funciones de Bessel de orden ν . Priemro veamos c´ omo se comportan las soluciones cerca de x = 0 (o sea del eje z ). Para x 0, podemos despreciar el 1 en el parentesis del segundo miembroy vemos que R x±ν .

→

∼


Ensayemos una soluci´ on en serie ∞

R(x) = x

α



a j x j ,

(3.47)

j=0

con α = ν , Resulta que podemos elegir series con todos los coeficientes impares iguales a cero. Variando ν se pueden obtener funciones pares e impares. Sustituyendo la serie en la ecuaci´ on, se llega a la relación de recurrencia

±

a2 j = notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

1 a − 4 j( j + α)

2 j−2 ,

3–13

Cap´ ıtulo 3.



para j = 1, 2, 3,.... Iterando esa recurrencia, es posible expresar todos los coeficientes como ( 1) j α! a2 j = 2 j a0 2 j! (α + j)!

−

Se toma por convenio a0 = [2α α!]−1 . Por ello se encuentran as´ı dos soluciones J ν (x) = J −ν (x) =

∞

( 1) j x j! Γ( j + ν + 1) 2 j=0

x 2

ν

x 2

−ν

−

   ∞

2 j

 

( 1) j x j! Γ( j ν + 1) 2 j=0

− −

(3.48)

2 j

(3.49)

donde Γ(x) es la función gamma de Euler que es una generalizaci´ on de la factorial. De hecho se cumple

Γ(n + 1) =

 ∞

n! si n

≥0

(3.50)

si n < 0

Las dos soluciones J ±ν (x) son las funciones de Bessel de primera clase de orden ν . Pero se puede probar que para ν entero no son independientes, pues J −n (x) = ( 1)n J n (x).

±

−

En ese caso se necesita una segunda soluci´ on. Incluso cuando ν no sea entero, no se usa el par J ±ν sino el J ν (x) y N ν (x), siendo esta u´ltima N ν =

J ν (x)cos νπ J −ν (x) , sen νπ

−

que se conoce como funci´ on de Neumann o también funci´ on de Bessel de segunda especie .

Comportamiento cerca de 0 y cerca de . Tomaremos ya ν = n 0 suponiéndolo entero. Se puede probar que los comportamientos de de las funciones de Bessel de primera y segunda clase cerca de ρ = 0 y ρ = son

∞


≥

∞

x

 1,

J n (x)

N n (x)

1 x n , n! 2 2π log

  →     →  −    √ → −  √ → − (n−1)! π

x

 1, n,

Jn (x) N n (x)

3–14

x 2



+ 0,5772... ,

x n , 2

2πx cos x

2πx sen x

(3.51) n = 0, n = 0,



nπ 2 nπ 2

− −

π , 4 π , 4

 

(3.52)


3.3. La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas cil´ındricas. Funciones de Bessel Mediante estas funciones se puede expresar la soluci´ on general de la ecuaci´ onde Laplace en coordenadas cil´ındricas en forma de una serie en la que cada término es el producto de las tres funciones R(ρ)Q(ϕ)Z (z ) multiplicadas por un coeficiente a determinar en funci´ on de los coeficientes. El resumen de estas funciones es

R(ρ) = AnJ n (kρ) + bnN n (kρ),

k = 0,

R(ρ) = Arn + Br −n ,

k = 0,

Φ(ϕ) = C n cos nϕ + Dn sen ϕ,

n=0

Φ(ϕ) = Cϕ + D,

n = 0,

Z (z ) = E k ekz + F k e−kz ,

k = 0,

Z (z ) = Ez + F,

k = 0.

 

(3.53)

(3.54)



Si n y k se anulan a la vez Φ = (A log r + B)(Cφ + D)(Ez + F ). Nótese que que si n = 0 y toda la circunferencia (o sea todo el intervalo 0 2π) est´ a dentro de la regi´ on V , entonces C = 0.



≤ϕ≤

3–15

Cap´ ıtulo 3.



Problemas 3.1 Un bloque conductor, que ocupa el semiespacio y < 0 y está conectado a tierra, tiene una ranura de secci´ on rectangular, con paredes en los planos x = 0 y x = a y entre los planos y = 0 e y = b (con b a). La ranura est´ a cubierta por una placa que est´ a aislada del bloque y sobre la que se establece un potencial V = V 0 sen(πx/a). Hallar la distribución del potencial dentro de la ranura.

−



3.2 Se tiene un sistema formado por dos esferas concéntricas de radios R1 y R2 (> R1 ). El potencial es nulo en la esfera interior y vale Φ(R2 , θ) = V 0 cos θ en la exterior. Determinar el potencial y el campo en la región r > R1 . Comprobar que el campo eléctrico s´ olo tiene componente normal en la superficie r = R 1 . 3.3 En un dieléctrico homogéneo e is´ otropo, de permitividad  y que llena todo el espacio, se ha practicado una cavidad esférica de radio R en cuyo centro hay un dipolo de momento p. Calcular el potencial en todo punto del espacio, as´ı como las cargas de polarizaci´ on en la superficie de la cavidad. 3.4 Un cono conductor de semi´ angulo α, a potencial V 0 está colocado frente a un plano conductor a tierra, con su eje perpendicular al plano, tal como se indica en la figura. Hallar: a) el potencial eléctrico en la regi´ on α θ π/2 (o sea fuera del cono, entre éste y el plano) b) el campo eléctrico, y c) la densidad de carga inducida en el cono y en el plano.

≤ ≤

3.5 Se tiene un cilindro circular de radio a y longitud  ( a), cargado con la densidad superficial σ = σ 0 sen 2ϕ C/m2 , siendo σ0 una constante y ϕ el azimut. Determinar el potencial en todo el espacio.




a rodeada por un 3.6 Una esfera conductora de radio a conectada a tierra est´ estrato esférico de radio interior a y exterior b cargado con la densidad vol´ umica de carga ρ. En conjunto est´ a a su vez rodeado por otra superficie esférica concéntrica a potencial V . Calcular el potencial y el campo el´ ectrico en todo el espacio.

3.7 Se tiene una esfera imanada, con imanaci´ on uniforme M0 = M 0 ez (en la dirección del eje z ). Hallar los campos H y B dentro y fuera de la esfera. 3–16


3.3. La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas cil´ındricas. Funciones de Bessel on M uniforme se ha hecho una cavidad 3.8 En un imán permanente con imanaci´ esférica peque˜ na de radio R en una regi´ on donde el campo inicial era H0. Hallar el campo resultante dentro y fuera de la cavidad.



3–17

Cap´ ıtulo 3.




3–18


Cap´ıtulo 4 Energ´ıa y fuerzas en campos electrost´ aticos 4.1.

Energ´ıa electrost´ atica

Sea un sistema de cargas el´ ectricas en una situaci´ on estacionaria, o sea en reposo. La energ´ıa total de un sistema de part´ıculas puntuales se expresa como la suma de sus energ´ıas cinéticas y sus energ´ıas potenciales. Estas ultimas ´ son de dos clases, las correspondientes a fuerzas entre esas part´ıculas y las debidas a fuerzas exteriores. Consideraremos ahora un sistema de cargas en posiciones fijas que formen un sistema a´ıslado, es decir que no est´ e afectaado por fuerzas exteriores. En estas condiciones su energ´ıa es la potencial de interacci´ on entre ellas y se llama su energ´ıa electrost´ atica . Si una carga q se mueve desde la posició n 1 a la posició n 2 bajo el efecto de 2 un campo el´ ectrico, el trabajo realizado por el campo es W = 1 F dr, o sea 2

W = q

 1




2

E dr =

·

 − ∇ q

1

Φ dr =

·

·

−q (Φ − Φ ) . 2

1

Conviene suponer que la fuerza electrost´ atica est´ a exactamente equilibrada con  otra fuerza igual a F = q E, de modo que la carga no se acelere. En esas condiciones, el trabajo efectuado por esta otra fuerza es W = q (Φ2 Φ1 )

−

4.1.1.

−

Caso de varias cargas puntuales

Se define la energ´ıa electrost´ atica de un sistema de N cargas puntuales (q 1 , . . . , qN ) en las posiciones (r1 , . . . , rN ) como la diferencia de energ´ıa potennotas EM II (v. 9/diciembre/2005)

4–1

´ticos Cap´ ıtulo 4. Energ´ ıa y fuerzas en campos electrosta

cial entre ese estado y otro en el que las cargas estuviesen infinitamente alejadas unas de otras. Dicho de otro modo, es el trabajo en contra del campo necesario para trasladar las cargas desde el segundo estado al primero sin acelerarlas , como se indicó más arriba. Supongamos que la primera est´ a en r1 (se puede trasladar a esa posici´ on sin ning´ un trabajo). Para colocar la segunda es necesario el trabajo q 2q 1 W 2 = , 4π0 r21 siendo r21 = r2

| − r |. Para colocar la tercera el trabajo es 1

W 3 = q 3





q 1 q 2 + , 4π 0 r31 4π0 r32

siguiendo el proceso, resulta que el trabajo para colocar las N cargas es igual a N

U =

j−1

N

   W j =

j=1

j=1

k=1

q j q k 4π 0 r jk



.

Podemos abreviar esta expresi´ on como N j−1

U =



W jk .

j=1 k=1

Si consideramos W jk como una matriz, haciendo W jj = 0 (sin usar el convenio de los ´ındices repetidos), podemos escribir 1 U = 2 o también 1 U = 2 — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

N

N



j=1 k=1



N

N



W jk ,

j=1 k=1

1 q j q k = 4π0 r jk 2



j =k

q j q k , 4π 0 r jk

(4.1)

donde la misma cantidad aparece escrita de dos formas distintas (la prima en la primera forma significa que se excluye el término con k = j en la suma). A´ un otra manera es la siguiente. El potencial en la posición de la carga j -ésima debido a las otras N 1 es N q k  Φ j = 4π 0r jk k=1

−



por lo que la energ´ıa electrost´ atica del sistema es 1 U = 2 4–2

N



q j Φ j .

(4.2)

j=1


4.1. Energ´ıa electrost´ atica Conviene subrayar que en la expresi´ on anterior Φ j es el potencial creado en la posici´ on de la part´ıcula j -ésima por las dem´ as N 1. Se excluyen efectos de cada part´ıcula sobre s´ı misma.

−

4.1.2.

Caso de una distribuci´ on de carga

Si se tiene una distribuci´ on vol´ umica ρ(r) y otra superficial σ(r), el resultado es el mismo. De hecho dividiendo el volumen en elementos diferenciales, se puede extender el resultado anterior, de modo que la energ´ıa electrost´ atica es 1 U = 2

1 ρ(r)Φ(r)dv + 2 V





σ(r)Φ(r)da.

(4.3)

S

Si las distribuciones anteriores no est´ an asociadas a conductores y hay adem´ as n conductores, su carga se distribuye por su superficie y su volumen es una regi´ on equipotencial. Sean Q j y Φ j la carga y el potencial del conductor j-ésimo, la expresión anterior debe sustituirse por 1 U = 2

1 ρ(r)Φ(r) dv + 2 V





σ(r)Φ(r) da +

S

1 2



Q j Φ j .

(4.4)

j

Ejemplo: Esfera uniformemente cargada. Sea una esfera de radio a con carga q , distribuida uniformemente con densidad vol´ umica ρ = 3q/4πa 3 . Como se vio más arriba, el potencial vale 3q r2 Φ = 1 , dentro 8π 0 a 3a2 q Φ = , fuera. 4π 0 r

− 

La energ´ıa electrost´ atica es pues — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

1 U = 2

3q 2 4πa 5 ρ2 ρΦ(r)dv = = , 20π a 15 0 0 V



como se puede comprobar f´ acilmente haciendo la integral. En el caso de una distribuci´ on de carga en la superficie de la esfera, es f´ acil comprobar que la energ´ıa electrost´ atica es 1 U = 2

q 2 2πa 5 ρ2 σΦ(a)da = = . 8π a 9 0 0 S




4–3


4.1.3.

Densidad de energ´ıa de un campo electrost´ atico

Veremos ahora c´ omo se puede expresar la energ´ıa electrost´ atica de una forma alternativa de gran importancia. Sea un sistema formado por las densidades vol´ umica ρ y superficial σ. Supongamos que est´ a acotado en el espacio y se puede encerrar dentro de una superficie esférica Σ. La densidad superficial se extiende a la superficie S , unión de las de los conductores en el sistema. Sabemos que se cumple ρ =  0 σ =  0 E n, E,

∇·

·

siendo n un vector normal a la superficie de los conductores. La ecuaci´ on (4.3) toma la forma 1 1 U = 0 Φ 0 ΦE n da. (4.5) E dv + 2 V 2 S Se cumple la identidad





∇·

·

∇ · E = ∇ · (ΦE) − E · ∇Φ

Φ

por lo que sustituyendo en (4.5) y usando el teorema de la divergencia, 1 U = 2


1 Φ0E n da + 2 S +Σ



·



1 0 E E dv + 2 V



·

 S

Φ0 E n da.

·

Nótese ahora que las dos integrales sobre S se cancelan, pues en primera n apuenta hacia adentro de los conductores (y hacia fuera de Σ) y en la segunda n apunta hacia afuera de los conductores. Si hacemos que Σ tienda al infinito, la integral sobre Σ tiende a cero, pues Φ 1/r y E 1/r2 mientras que el a´rea de Σ crece como r2 (podemos imaginar que Σ es una superficie esférica de radio R ). Queda pues 1 U = (4.6) D E dv, 2 V

∼

→∞



∼

·

donde D =  0 E es el vector desplazamiento eléctrico. Esta integral parece indicar que la energ´ıa electrost´ atica est´ a estendida por el espacio, mientras que expresiones anteriores parec´ıan decir que est´ a en las part´ıculas. ¿D´ onde est´ a realmente 4–4


4.1. Energ´ıa electrost´ atica esa energ´ıa? No es f´ acil responder a esta cuesti´ on, que tiene aspectos muy sutiles. En el caso de sistemas din´ amicos, es decir dependientes del tiempo, resulta muy conveniente admitir la idea de que la energ´ıa electrost´ atica est´ a distribuida por el espacio con densidad de energ´ıa igual a 1 u = D E. 2

·

(4.7)

Nótese que esa densidad de energ´ıa puede escribirse también como 1 1 D2 2 u = 0E = . 2 2 0 Por tanto

1 U = 0 2



1 E 2 dv = 2



D E dv =

·



1 D2 dv 2 0

(4.8)

Autoenerg´ıa electrost´ atica. Examinando las ecuaciones (4.7)-(4.8) observamos que la energ´ıa electrost´ atica a que conducen es siempre positiva, lo que sorprende pues es evidente que la de dos cargas puede ser negativa. ¿C´ omo es esto posible? La raz´ on est´ a en los llamados términos de autoenerg´ıa electrost´ atica . Consideremos dos cargas puntuales q 1 y q 2 situadas en r 1 y r 2. El campo eléctrico en r es igual a 1 r r1 r r2 E = q 1 + q , 2 r r1 3 r r2 3 4π0



− |− |

− |− |

por lo que la ecuaci´ on (4.8) dice que 1 U = 4π 0

 

q 12 8π r

4

| −r | 1

+

q 22 8π r

4

| −r | 2



(r r1 ) (r + q 1 q 2 4π r r1 3 r

− · −r ) | − | | −r | 2

2

3



dv (4.9)

Los dos primeros términos dan la energ´ıa correspondiente al campo electrico de cada part´ıcula, por eso se conocen como términos de autoenerg´ıa. Son divergentes si las part´ıculas son puntuales. El tercero es la energ´ıa potencial mutua, como se prueba a continuaci´ on. — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

Hagamos el cambio de variables

r

→ ρ = |rr −−rr | . 1

1

2

La tercera integral de la derecha en (4.9) toma as´ı la forma U int = notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

1 q 1 q 2 , 4π0 r1 r2

| − |

(4.10) 4–5


lo que muestra que es la energ´ıa potencial de interacci´ on entre las dos cargas. Para probarlo, basta con tener en cuenta que (siendo n = (r1 r2 )/ r1 r2 , un vector unitario y constante)

−

| − |

3 3 d ρ. r r1 = ρ r12 , r r2 = (ρ+n)r12 , r r1 = ρr 12 , r r2 = ρ+n r12 , d3 r = r 12

−

−

| − |

| − | |

|

El tercer término toma la forma 1 q 1 q 2 U int = 4π 0 r1 r2

| − | ×

1 4π



ρ ( ρ + n) 3 d ρ, ρ3 ρ + n 3

· |

|

En el integrando se puede sustituir la igualdad ρ+n = ρ+n3

|

|

 −∇

1 ρ+n

|

|



,

con lo que la u´ltima integral vale I = = =

   − ·∇ | |     − ∇· | | |  1 ρ+n

ρ

ρ3

d3 ρ,

ρ ρ3 ρ + n

1 ρ+n

d3 ρ +

1 4πδ (3) (ρ)d3 ρ = 4π, ρ+n

|

|

ρ ∇ · | ρ d ρ 3

3

(4.11)

donde se ha intergrado por partes, siendo nula la integral de superficie en el infinito (o sea se ha aplicado el teorema de Gauss). Por tanto la integral anterior vale uno y el tercer término en (4.9) es igual a la energ´ıa de interacci´ on dada por (4.10), como se quer´ıa probar.


Parece pues que debe haber un error al pasar de (4.3) a (4.8). Pero ¿dónde está? Nótese que no hay términos de autoenerg´ıa en (4.1), pero s´ı en (4.3), pues todo el potencial interact´ u a con toda la carga (Φ(r) se multiplica por ρ(r) con el mismo r). Por tanto deber´ıamos, para ser coherentes, restar los términos de autoenerg´ıa, lo que se puede hacer del modo siguiente, si las cargas son puntuales y ρ(r) = k q k δ (r rk )



−

1 U = 2



ρ(r)Φ(r)dv

V

−

1 2

  k

Φk q k δ (r

V

− r )dv k

El segundo término es la suma de las N autoenerg´ıas, de modo que U = 4–6

0 2

  −   E 2

V

E (k) 2 dv ,

k


4.1. Energ´ıa electrost´ atica donde E es el campo eléctrico total y E(k) , el creado por cada part´ıcula. O sea que al eliminar las auotenerg´ıas se recupera (4.1) exactamente. La expresi´ on (4.6) para la energ´ıa electrost´ atica es indispensable para el estudio de fen´ omenos din´ amicos, pero la fundamentaci´ on aqu´ı dada es inevitablemente demasiado simple. En la asignatura Electrodin´ amica clásica se estudia esta cuestión con mayor profundidad.

Tensi´ on electrost´ atica. Como ilustración, podemos calcular la fuerza por unidad de a´rea sobre la superficie de un conductor con densidad superficial de carga σ. En el entorno de la superficie, la densidad de energ´ıa es 0 2 σ2 E = u = . 2 20

| |

Imaginemos un desplazamiento peque˜ no ∆x de un elemento se a´rea ∆a de la superficie conductorta, seg´ un la normal y hacia afuera. La energ´ıa electrost´ atica decrece en una cantidad W igual al producto de la densidad de energ´ıa u por el volumen excluido ∆v = ∆x∆a, igual a W =

−

σ2 ∆a∆x . 20

Esto significa que hay una fuerza hacia afuera por unidad de a´rea sobre las cargas, o sea una presión, igual a σ2 p = 20 conocida como tensi´ on electrost´ atica .

4.1.4.


Masa electromagn´ etica. El modelo de electr´ o n de Abraham-Lorentz.

Las integrales de autoenerg´ıa en (4.9) pueden parecer extra˜ nas o molestas. Para entender esta cuesti´ on conviene decir que hay una diferencia entre las maneras en que fallan la dinámica de Newton y el electromagnetismo de Maxwell. La primera tuvo que ser abandonada porque no da buenos resultados a altas velocidades, pero es una teor´ıa coherente en s´ı misma. Se basa en la idea de acci´ on a distancia, tan contraria a la mucho m´ as antigua de acci´ on por contacto defendida por Aristóteles. Usa masas puntuales, idealización de masas muy peque˜ nas frente a la escala del problema considerado, pero eso no plantea dificultades. Al electromagnetismo le ocurre algo muy distinto, pues la idea de carga puntual lleva a divergencias en las energ´ıas de los sistemas, cosa no de despreciar si notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

4–7


tenemos en cuenta que el electr´ on parece ser una part´ıcula puntual, al menos su tama˜ no no se aprecia hasta escalas del orden de 10−18 m . Esto no es necesariamente malo, pues lo que importa son las diferencias de energ´ıa, pero un an´ alisis detallado de los procesos de emisi´ on de radiaci´ on por cargas aceleradas y, en general, de la din´ amica de part´ıculas cargadas encuentra cosas sorprendentes. La Electrodin´ amca Cu´ antica, es decir la versi´ on cu´ antica del electromagnetismo de Maxwell, llamada a menudo por sus siglas inglesas QED, sigue teniendo problemas con los infinitos que plagan sus cálculos. En muchos casos se pueden eliminar esos infinitos mediante un procedimiento conocido como renormalizaci´ on , pero no siempre. Para entender el problema tomemos una part´ıcula cargada con su carga distribuida en una superficie esférica de radio a (lo que se llama a veces modelo de pelota de pin-pon).

∼

El campo electrost´ atico se anula dentro y fuera vale E = q/4π0 r2 . La densidad de energ´ıa u es pues 0 2 q 2 u = E = , 2 32π2 0 r2 para r

(4.12)

≥ a y 0 para r < a. La energ´ıa electrostática correspondiente vale q 2 2 3 U = u d r = 8π0 r≥a




∞

 a

dr q 2 = , r2 8π0 a

(4.13)

que diverge para una part´ıcula puntual. Esa es la energ´ıa electrost´ atica del campo del electr´ on. En 1881, Sir Joseph J. Thomson (1856-1940), quien en 1997 descubrir´ıa el electr´ on, escribió un art´ıculo argumentando que una parte al menos de la masa deber´ıa tener origen electromagnético. Mostr´ o en él que si una part´ıcula cargada se mueve con velocidad v su campo eléctrico tiene energ´ıa cinética igual a U v 2 q 2 v2 T elec = 2 = f , (4.14) c 2 4π0 ac2 2 donde f es un n´ umero que depende de la forma de la distribuci´ on, igual a 1/2 en el caso del modelo de la pelota de pin-pon. Esto se descubri´ o antes de la relatividad. Fue interpretado de inmediato que una parte de la masa es o puede ser de origen electromagnético, de modo que en general la de una part´ıcula es 1 q 2 m = m 0 + melec , siendo melec = , 2 4π0 ac2

(4.15)

en el modelo de pelota de pin-pon. Esta masa depende del radio a. Por eso se defini´ o el radio cl´ asico del electr´ on como q 2 r0 = = 2,8 10−15 m, (4.16) 2 4π0 mc

×

4–8


4.1. Energ´ıa electrost´ atica donde no se ha incluido el factor 1/2 pues depende de la forma particular de la distribución de carga (bola maciza o pelota de pin-pon, por ejemplo). En general un campo electromagnético dependiente del tiempo, lleva una densidad de momento lineal que vale 1 ( E H) . (4.17) c2 Si un electr´ on se mueve a velocidades no relativistas, produce un campo eléctrico y un campo magnético que valen

g =

E =

×

1 r , 4π0 r 3

B =

v c2

× E,

(4.18)

expresiones v´ alidas a peque˜ nas velocidades. Si consideramos a un electr´ on como una esfera hueca de radio a, el momento lineal asociado al campo vale pelec = g d3 r, que, tras un poco de a´lgebra da r>a



pelec

2 q 2 4 = = v melec v, 3 4π0 ac2 3

(4.19)

por lo que el momento del electrón vale 4 p = (m0 + m elec )v 3

(4.20)

Podr´ıamos definir la masa electromagnética usando (4.19), m elec = 4melec /3, pero entonces la ecuaci´ on (4.15) tendr´ıa un factor incorrecto. Un cálculo que use el valor exacto de los campos (v´ alido a cualquier velocidad) da en vez de (4.19) la expresi´ on melec (v) =


melec (0) , 1 v 2 /c2

 −

(4.21)

esto sorprendi´ o mucho porque nadie hab´ıa pensado que la masa pudiese depender de la velocidad y parec´ıa que la masa “neutra” m0 era independiente de v pero la electromagnética depend´ıa de v seg´ un la fórmula anterior. Cuando se descubri´ o el electrón se pens´ o que era un ´ atomo de electricidad , por lo que cabr´ıa suponer que toda su masa es de origen electromagnético con m0 = 0 en su caso. Con estas idea, M. Abraham propuso en 1903 un modelo de electr´ on, basado en parte en la obra anterior de Lorentz, conocido como modelo de Abraham o de Abraham-Lorentz. Desde el punto de vista de la teor´ıa de la relatividad, esa energ´ıa de un electr´ on 2 en reposo podr´ıa ser igual a la energ´ıa en reposo me c . En ese caso la masa electromagnética ser´ıa igual U q 2 melec = 2 = c 8π 0ac2 notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

(4.22) 4–9


Sin embargo subsiste el problema del factor 4/3 entre la masa definida as´ı y a partir de la expresi´ on del momento. La soluci´ on a este problema tard´ o en encontrarse. La discrepancia se elimina mediante un tratamiento relativista riguroso, tomando luego el l´ımite no relativista, en vez de trabajar desde el principio en el l´ımite de pequeñas veloccidades. De ese modo se transforma el factor 4/3 en 1 (ver F. Rohrlich, “Classical charged particles”, Addison-Wesley, Reading, 1965).

4.1.5.

Desarrollo multipolar de la energ´ıa de una distribuci´ on de carga en un campo exterior

Sea una distribuci´ on r´ıgida de carga ρ(r), localizada dentro de un volumen V y sometida a un potencial exterior Φ(r). Su energ´ıa electrost´ atica vale U ext =



ρ(r)Φ(r) d3 r,

(4.23)

V

Suponiendo que el potencial sea desarrollable en serie en la regi´ on V y tomando un origen adecuado, resulta Φ = Φ(0) + r

·∇

1 Φ(0) + 2

 i

j

∂ 2 Φ xi x j (0) + ∂x i ∂x j

· ··

Teniendo en cuenta que E =

−∇Φ, la expresión anterior puede escribirse como 1 ∂E Φ(r) = Φ(0) − r · E(0) − xx (0) + ··· 2 ∂x

 i

Como el campo exterior verifica con lo que queda Φ(r) = Φ(0) — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

j

i j

i

j

2

∇ · E = 0, podemos restar el término r ∇ · E(0)/6,

− r · E(0) − 61

 i

(3xi x j

j

(0) + ··· − r δ ) ∂E ∂x 2

ij

j

(4.24)

i

Sustituyendo ahora en (4.23), resulta U ext = q Φ(0)

− p · E(0) −

1 6

 i

j

Qij

∂E j (0) + ∂x i

·· ·

(4.25)

siendo p el momento dipolar y Qij la matriz de momentos cuadripolar, y an´ alogamente para los términos que siguen. N´ otese c´ omo interacciona la distribuci´ on de carga con el potencial exterior: la carga con el potencial, el dipolo con el campo eléctrico, el cuadrupolo con el gradiente del campo y an´ alogamente los multipolos sucesivos con derivadas m´ as altes del campo. 4–10


4.1. Energ´ıa electrost´ atica

Recordatorio sobre dipolos y cuadrupolos el´ ectricos. El potencial creado por un dipolo eléctrico es Φ1 (r) =

1 p r , 4π 0 r 3

·

(4.26)

donde p = V ρ(r )r dv es el momento dipolar el´ ectrico de la distribuci´ on. Es fácil comprobar que si la distribuci´ on es de dos cargas puntuales opuestas +q y q a la distancia a, como antes, p se reduce al momento dipolar definido como p = q a.

−



El momento dipolar eléctrico tiena una propiedad se˜ nalable. Si la carga total q es distinta de cero, no es una cantidad intr´ınseca pues depende del origen de coordenadas. En efecto, si se traslada el origen de O a O  , el nuevo momento vale 

p = p

− q OO como se comprueba f´ acilmente. Por ello, si q =  0 y se toma como origen el centro

de cargas, definido por el vector R = ρ(r )r dv /q , se anula el término dipolar de la expansión. As´ı ocurre con el potencial gravitatorio de la tierra, si el origen del coordenadas se toma en el centro del planeta. Pero si q = 0, caso de una molécula no ionizada o del sistema de dos cargas +q y q , el momento dipolar tiene un sentido intr´ınseco: toma el mismo valor en todos los sistyemas de referencia.



−

Cuadrupolo el´ ectrico. El potencial creado por un cuadrupolo eléctrico es 1 1 Φ2 (r) = 2 4π0



Qij

ij

xi x j , r5

(4.27)

donde las Qij son las componentes de la matriz momento cuadrupolar Qij =


 

ρ(r ) 3xi x j

−r

2

δ ij dv  .



(4.28)

Las Qij juegan respecto al potencial cuadrupolar el mismo papel que las componentes del vector p en el potencial dipolar. N´ otese que no son todas independientes porque la matriz tiene traza nula, o sea que Qkk = 0. Hay pues cinco componentes independientes. Es f´ acil comprobar que este tercer término (4.27) se reduce al potencial cuadrupolar antes estudiado.



Un caso especialmente frecuente e interesante es el de una distribuci´ on de simetr´ıa cil´ındrica, en el que la funci´ on ρ = ρ(r, θ) no depende del azimut. Se cumple entonces 1 Q11 = Q 22 = Q 33, 2

−


4–11


por lo que Q 2z 2 x2 Φ2 (r) = 4π 0 4r 5

− −y

2

=

1 Q 3cos2 θ 3 4π0 4r





−1

,

donde Q = Q 33 se suele llamar momento cuadrupolar de la distribuci´ on (no confundir con la carga). Si la distribución tiene simetr´ıa esférica, Q = 0. Si es un elipsoide de revoluci´ on macizo con densidad constante en su interior, con semiejes a, a y c, el valor de Q es 2 Q = q c2 a2 , 5 como se prueba f´ acilmente usando para los puntos del interior del elipsoide las coordenadas λ, α y β , tales que x = aλ sen α cos β , y = aλ sen α sen β , z = cλ cos α, con 0 < λ < 1, 0 < α < π, 0 < β < 2π. Nótese que Q > 0 si c > a (forma de melon) y que Q < 0 si c < a (forma de mandarina). Estos dos tipos de elipsoide se califican de prolato y oblato, respectivamente. La Tierra es aproximadamente un elipsoide oblato y como (a c)/a = 1/298, resulta que el momento cuadrupolar de masa es Q = 2,016 10−3 M a2 , siendo M la masa total y a el radio ecuatorial.

− −

− ×

Vemos as´ı que una distribuci´ on de carga se caracteriza por un conjunto de momentos multipolares , uno monopolar que coincide con la carga q , tres dipolares ectrico, cinco cuadrupolares pk que son las componentes del momento dipolar el´ Qij componentes de la matriz momento cuadrupolar, etc. En general, el término -polar se caracteriza por (2 + 1) momentos 2 -polares. Se trata de cantidades que describen la forma de la distribuci´ on. Su enorme interés estriba en que es mucho m´ a s fácil hacer aproximaciones sucesivas gracias a ellos que calcular los potenciales de modo exacto.


Ejemplo. Momentos cuadrupolares de los n´ ucleos at´ omicos. Los núcleos at´ omicos no suelen tener forma esférica, aunque s´ı simetr´ıa azimutal, siendo su momento cuadrupolar eléctrico distinto de cero (sus momentos dipolares el´ ectricos se anulan si se toma como origen de coordenadas su centro de masas). La consecuencia es que el potencial que crean no es puramente culombiano sino que tiene un término cuadrupolar. Aunque su efecto es peque˜ no (forma parte de lo que se llama estructura hiperfina del espectro), puede observarse y medirse el valor de Q mediante técnicas de radiofrecuencia, determinando as´ı si el n´ ucleo es amelonado o anaranjado. Un ejemplo interesante es el deuter´ on, el n´ ucleo del deuterio, formado por un prot´ on y un electr´ on, cuyo momento cuadrupolar es igual a QD = e(2,74 0,02)

±

4–12

×


4.1. Energ´ıa electrost´ atica 10−27 cm2. El potencial eléctrico creado por un n´ ucleo de deuterio es pues igual a 1 e QD ΦD = + 3 (3cos2 θ 1) 4π0 r r





−

Como QD > 0, el deuter´ on est´ a amelonado, aunque no mucho pues el cuadrado de su radio es aproximadamente 10−26 cm2 .

Momentos cuadrupolares de algunos n´ ucleos Z 1 3

Elemento H Li

4 13 17 92

Be Al Cl U

A Q (e 10−24 cm) 2 +0.00274 6 0,002 7 0.1 9 +0.03 27 +0.155 35 0,078 233 +3.4

×

− −

Dipolo en un campo electrost´ atico. Energ´ıa, fuerza y torque. La energ´ıa de un monopolo (o sea de una carga) en un potencial Φ es U = q Φ y la fuerza que act´ ua sobre él F = q E. Consideremos ahora un dipolo formado por dos cargas +q y q separadas un vector a (de la negativa a la positiva), de modo que p = q a con a peque˜ no. La fuerza sobre ese dipolo cuando est´ a en un campo E es )E, F = q E(r) q E(r a) = q (a

−


−

o sea F i = q (



k ak ∂ k )E i .

−

·∇

Su energ´ıa potencial es

U = q Φ(r)

− q Φ(r − a) = −p · E.

El torque (o momento de la fuerza) sobre un monopolo (o sea una carga puntual) es N = r F = q r E. Si el campo es central, el torque respecto al centro se anula y se conserva el momento angular. Veamos cuanto vale el torque sobre un dipolo. N = q r E(r) q (r a) E(r a).

×

×

×


−

− ×

−

4–13


Teniendo en cuenta que E(r

− a) = E(r) − (a · ∇)E(r), resulta N = p × E(r) + r × (p · ∇)E = p × E(r) + r × F.

De forma an´ aloga se calcula el caso de un cuadrupolo. Tiene especial interés la energ´ıa potencial de interacci´ on de dos monopolos a distancia r. De todo lo anterior se deduce que vale

p1 p2 3(p1 n)(p2 n) , 4π 0 r1 r2 3

· · | − | siendo n el vector unitario en la direcci´ on (r − r ). Nótese que la interacci´ on U =

· −

1

2

dipolo-dipolo puede ser atractiva o repulsiva, dependiendo de la orientaci´ on relativa de los dipolos. Para direcciones fijas de los dipolos, la energ´ıa de interacci´ on, promediada sobre la posici´ on relativa, se anula.

4.2.

Energ´ıa de un sistema de conductores

La expresi´ on de la energ´ıa de un sistema de conductores en el vac´ıo es 1 U = 2



Qk Φk ,

(4.29)

k

A primera vista puede parecer la misma expresi´ on que (4.2), pero hay una diferencia: en (4.29) est´ a incluida la energ´ıa de formaci´ on de la distribución de carga dentro de cada conductor, o sea que al potencial de cada conductor contribuye también el término correspondiente a su propia carga, cosa que no ocurre en el caso de las cargas puntuales. Mediante los coeficientes de capacidad o de potencial, podemos expresar esa energ´ıa como — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

U =

1 2

 i

j

P ij Qi Q j =

1 2

 i

C ij Φi Φ j .

j

Supongamos ahora un conductor descargado y aislado en un campo externo E0 . Si el conductor es peque˜ no, podemos suponer que ese campo est´ a creado por una carga q a gran distancia. Se produce entonces una polarizaci´ on del conductor, pues una carga positiva q  se movera a favor del campo y otra negativa q  en contra. Tendremos entonces una energ´ıa electrost´ atica

−

1 U = q Φ, 2 4–14


4.3. Energ´ıa electrost´ atica en dieléctricos donde Φ es el potencial creado por la carga redistribuida del conductor en la posici´ on de q . La redistribuci´ on de la carga produce un momento dipolar eléctrico p cuyo potencial vale p r Φ= , 4π0 r 3 siendo r el vector de posici´ on desde el conductor a la carga puntual. La energ´ıa electrostática se puede escribir pues

·

U =

1 1 q r p r p q = = 2 4π0 r 3 2 4π0 r 3

·

·

− 12 p · E ,

0

(4.30)

Nótese el factor 1/2, debido a que el dipolo es inducido por lo que no hay que almacenar energ´ıa en formarlo.

Teorema de Thomson. Con este nombre se conoce la siguiente propiedad de extremo que cumple la energ´ıa electrost´ atica de un sistema de conductores: En un sistema de conductores fijos y aislados, las cargas se distribuyen sobre sus superficies de forma tal que la energ´ıa del campo electrost´ atico sea m´ınima. No daremos aqu´ı la prueba de este teorema, aunque es simple.

4.3.

Energ´ıa electrost´ atica en diel´ ectricos

En principio, los resultados obtenidos para cargas en el vac´ıo no son generalizables de forma simple al caso en que haya medios dieléctricos. La raz´ on es que, en este caso, no s´ olo se realiza trabajo en el proceso de colocar las cargas en sus posiciones, sino que adem´ as se produce una polarizaci´ on adicional en los dieléctricos. Partiremos de condiciones generales, prescindiendo al principio de la linealidad en la respuesta del dieléctrico y manteniendo las fronteras r´ıgidas, de modo que no habr´ a trabajo mec´ anico para deformar el sistema.


Supongamos que ya hay una densidad de carga libre y localizada ρ(r) en el sistema y que provocamos una variaci´ on peque˜ na δρ. Tendremos una variaci´ on de la energ´ıa electrost´ atica igual al trabajo necesario para a˜ nadir la carga δρ(r)



δU =

Φ(r)δρ(r) dv,

(4.31)

V

siendo Φ el potencial creado por la carga ya existente. Se tiene δρ = δ (

∇ · D) = ∇ · (δ D).

Sustituyendo en (4.31), resulta δU =

 ∇ · Φ

(δ D) dv =

V


 ∇ · V

(Φ δ D) dv

 − ∇

Φ δ D dv.

V

·

4–15


El teorema de Gauss nos dice que la primera integral es igual a una de superficie que se anula (pues la distribuci´ on est´ a localizada), por lo que δU =



E δ D dv.

·

V

Podemos pensar que la distribuci´ on se construye haciendo que D (y ρ) crezca desde cero por lo que D

U =

 

E δ D.

dv

V

·

0

(4.32)

Este es el resultado general, pero no se puede proseguir a menos que dispongamos de una relaci´ on constitutiva D = D(E). En el caso de dieléctricos lineales D =  E, por lo que  E δ D = E (δ E) =  E δ E = δ E 2 , 2 por lo que 1 U =  E 2 dv, (4.33) 2 V que es la expresi´ on buscada.

·

·

·

| |

 | |

También podemos escribir la energ´ıa que 1 U = 2 o como

 · 

E D dv,

1 ρ Φdv. 2 V Recordemos que esto s´ olo es válido para medios lineales. U =

(4.34)

V

(4.35)

Es interesante calcular la variaci´ on de energ´ıa al introducir un cuerpo dieléctrico de permitividad 1 (con respuesta lineal) y volumen V 1 el en el seno de un campo eléctrico previamente existente E0 debido a una distribución de cargas libres ρ 0 en un medio de permitividad  0 (por el momento no lo identificamos con la permitividad del vac´ıo). La energ´ıa electrost´ atica inicial es — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

1 U 0 = 2



E0 D0 dv,

V

·

donde D0 =  0 E0. Con las cargas fijas en sus posiciones, se introduce un dieléctrico de volumen V 1 , de modo que el campo cambia de E0 a E. Podemos considerar que hay una susceptibilidad (r) que vale 1 en V 1 y 0 fuera de V 1 . Para eliminar los problemas matem´ aticos podemos suponer que (r) var´ıa continuamente al pasar del uno al otro dieléctrico. La energ´ıa vale tras la inserci´ on 1 U 1 = 2 4–16

 V

E D dv,

·


4.4. Fuerzas en sistemas electrost´ aticos La variaci´ on de la energ´ıa puede expresarse como 1 ∆U = 2 1 = 2

 

(E D

· − E · D ) dv, 1 (E · D − E · D) dv + 2 0

0

0



(E + E0) (D

0

· − D ) dv, 0

(se ha sumado y restado la misma cantidad). La segunda integral I se anula, pues, como (E + E0 ) = 0, se sigue que E + E0 = Φ , por tanto

∇ ×

−∇

I =

−

1 2

 ∇

Φ (D

· − D ) dv, 0

que integrando por partes se transforma en 1 I = 2



Φ

∇ · (D − D ) dv = 0, 0

pues (D D0 ) = 0 pues la densidad de carga libre no cambia con la inserci´ on del nuevo dieléctrico (m´ as la integral de superficie de Φ (D D0 ) que también es nula). Por tanto el cambio en la energ´ıa vale

∇· −

−

1 ∆U = 2



(E D0

· − E · D) dv.

V

0

(4.36)

Nótese que el integrando solo es no nulo en V 1 ya que fuera el integrando se anula pues D =  0 E y D0 =  0E0 . Por lo tanto ∆U =

−

1 2



(1

V 1

−  )E · E dv 0

Si el medio 0 es el vac´ıo, la polarizaci´ on vale P = (1 ∆U =


−

1 2



V 1

0

(4.37)

−  )E, resultando 0

P E0 dv.

·

(4.38)

Como resumen la densidad de energ´ıa electrost´ atica de un dieléctrico colocado en un campo E0 cuyas fuentes est´ an fijas es u =

4.4.

− 12 P · E

0

(4.39)

Fuerzas en sistemas electrost´ aticos

Fuerzas a cargas constantes. La energ´ıa electrost´ atica puede considerarse como una energ´ıa potencial en el sentido siguiente. Sea un sistema electrost´ atico notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

4–17


constituido por dieléctricos y conductores, cargados y en equilibrio, ba jo la acción de fuerzas eléctricas y mec´ anicas. Supongamos que est´ a aislado, o sea que los conductores no est´ an conectados a bater´ıas que permitan el desplazamiento de cargas. Imaginemos que una parte del sistema realiza un desplazamiento infinitesimal dr = (dx, dy, dz ), debido a las propias fuerzas eléctricas del sistema, con resultante F. Ejerce, por tanto, un trabajo W , dado por W = F dr = F x dx + F y dy + F z dz .

·

(4.40)

Ese trabajo se hace a expensas de la energ´ıa electrost´ atica del sistema, de modo que W = dU . (4.41)

−

Por tanto se tiene F x =

  − ∂U ∂x

, F y = Q

  − ∂U ∂y

, F z = Q

  − ∂U ∂z

,

o sea F =

Q

QU

−∇

,

(4.42) donde el sub´ındice Q indica que la derivada se hace a carga constante. Supongamos que, en vez de desplazamientos lineales, el sistema o una parte de él gira un ańgulo φ alrededor de un cierto eje con vector unitario n . Sea φ = φ n. En vez de (4.40) se tiene ahora W = N dφ

·

y en vez de (4.42), N x =

  − ∂U ∂φ 1

, N y = Q

  − ∂U ∂φ 2

, N z =

Q

  − ∂U ∂φ 3

. Q

Naturalmente, el vector N el el toque que ejerce el campo sobre el sistema o sobre alguna de sus partes


Sea ahora una coordenada general ξ , de modo que δξ representa un desplazamiento generalizado como consecuencia de una fuerza eléctrica F ξ , el trabajo realizado es W = F ξ δξ y sólo se puede hacer a expensas de la energ´ıa electrost´ atica, por lo que necesariamente dU = F ξ δξ, (4.43)

−

por lo que debe cumplirse F ξ =

  − ∂U ∂ξ

,

(4.44)

Q

donde el sub´ındice Q indica de nuevo que la derivada parcial debe hacerse a carga constante. 4–18


4.4. Fuerzas uerzas en sistemas sistemas electr electrost´ ost´ aticos Nótese otese que se supone aqu´ aqu´ı que el unico ´ desplazamiento del sistema es el correspondiente a la variaci´ on δ on δξ ξ . Todo esto se puede formalizar mediante el principio de los trabajos virtuales. on, podemos calcular la fuerza por Tensi´ on on electros elec trost´ t´ atica. ati ca. Como ilustración, unidad de area a´rea sobre la superficie de un conductor con densidad superficial de carga σ. En el entorno de la superficie, la densidad densidad de energ´ energ´ıa es 0 σ2 2 E = u = . 2 2 0

| |

Imaginemos un desplazamiento peque˜ no no ∆x, seg´ un la normal y hacia fuera, de un un area a´rea elemental ∆a ∆a de la superficie sup erficie condutora. La energ´ energ´ıa electrost´ elec trost´ atica decrece en una cantidad cantidad igual al producto de la densidad densidad de energ´ energ´ıa u por el volumen excluido ∆x ∆x∆a σ2 W = ∆a∆x. 20 Esto significa que hay una fuerza hacia fuera por unidad de area a´rea igual a

−

σ2 p = p = , 20 conocida como tensi´ como tensi´ on electrost´ atica (o presi´ (o presi´ on electrost´ atica ). ). Otra manera de obtener este resultado en el caso de una esfera conductora de radio a y con carga q es es la siguiente. La energ´ energ´ıa electrost´ atica atica y su variaci´ on o n al cambiar el radio de a a a + δa son q 2 U = , 8π0 a

δU =

−

q 2 δa. δ a. 8π 0 a2

por lo que, seg´ un un (4.44), 4.44), la fuerza asociada a a es F a = — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

  − ∂U ∂a

Q

q 2 = , 8π0 a2

Esa fuerza act´ ua sobre toda la superficie, para hallar la tensi´ ua on on electrost´ atica, atica, debemos dividirla por 4πa 4πa 2 , con lo que 1 q 2 σ2 p = p = = , 2 (4πa (4πa 2 )2 0 20 pues σ = q = q//4πa 2 .

Fuerzas a potenciales constantes. Otra situación on distinta es la de un sistema cuyos conductores se mantienen a potenciales constantes, mediante conexiones iones a bater bater´ıas. ıas. En este caso la carga carga cambia cambia y no vale lo anteri anterior, or, pues hay notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

4–19

´ticos Cap´ ıtul ıtulo o 4. Ener Energ g´ ıa y fuerzas fuerzas en campos campos electrost electrostaticos a

que incluir inclui r en el balance balan ce energético etico la energ´ıa ıa aportad apo rtadaa por las bater´ıas ıas W bat bat . El trabajo realizado por el sistema toma la forma por tanto W = W bat bat

− dU.

(4.45)

Necesit Necesitamos amos una relaci´ relaci´ on on entre W bat U para relaci relaciona onarr el trabajo trabajo con la bat y dU variación on de la energ´ energ´ıa electrost´ atica. atica. Partimos Partimos de que la energ´ energ´ıa de un sistema sistema de conductores cargados es 1 U = Qk Φk , 2 k



por lo que la variaci´ on on de la energ´ıa ıa U debida U debida a variaciones en las cargas pero manteniendo constantes los potenciales es 1 δU = 2



Φk δQ k ,

k

al tiempo que el trabajo realizado realizado por las bater´ bater´ıas para variar las cargas de esa manera es W bat Φk δQ k , bat =

 k

por lo que W bat bat = 2δU,

W = δU δ U = F x dx + Fy dy + F z dz

y

de donde finalmente F ξ =

  ∂U ∂ξ

,

(4.46)

V

que sólo olo se diferencia en el signo de la expresi´ on on a carga constante (4.44 (4.44). ).


Ejemplo: Fuerza sobre un diel´ ectrico ectrico en un condensador. Sea un condensador plano paralelo cuyas placas tienen dimensiones (a, (a, b) en las direcciones (x, y ) y están an separadas por la distancia c en la dirección on z . Se mantienen a la diferencia de potencial constante V constante V .. El espacio entre las placas est´ a ocupado por un dieléctrico ectrico de permitividad  en una longitud x paralelamente al eje x. La fuerza sobre el diel´ dieléctrico ectrico se puede expresar expresar mediante mediante la ecuaci´ on (4.44) 4.44) (pues son los potenciales los que son constantes en este caso, no las cargas) a partir de la expresión on de la energ´ energ´ıa electrost´ atica, atica, que depende de x. Con los datos de la figura, figur a, la energ´ıa ıa electrost´ elect rost´ atica atica vale

Se sigue que F x = 4–20

2

2

     −

1 U ( U (x) =  2

V c

dU dx

V

V c

1 bcx + 0 2 1 = 2

V c

bc( bc(a

− x).

2

bc( bc(

0 ).


4.4. Fuerzas uerzas en sistemas sistemas electr electrost´ ost´ aticos Nótese otese que, que, si se quiere quiere extraer extraer el diel´ diel´ ectrico ectrico,, es necesari necesarioo aplica aplicarr una fuerza fuerza externa igual a F x que contrarreste a la fuerza electrost´ atico. atico. Nótese otese tambien que la fuerza fuerza va en el sentido sentido en que se incremen incrementa ta el volum volumen en de diel´ diel´ ectrico ectrico dentro del condensador.

−



4–21


Problemas 4.1 Un condensador plano de a´rea S = a b tiene ocupado el espacio entre sus placas por dos dieléctricos de permitividades  1 y  2 que llenan cada uno la mitad del espacio entre ellas, tal como se indica en la figura. La separaci´ on entre las placas es d. Supongamos que, manteniendo las placas conectadas a una bater´ıa de ddp V , se extrae el dieléctrico de permitividad 2 , a velocidad constante v. Calcular: a) el balance energético del proceso; y b) la corriente el´ ectrica que circula entre la bater´ıa y el condensador durante el proceso de extracci´ on. Se desprecian los efectos de borde y el rozamiento.

×

Figura 4.1: Problema 4.1

4.2 Dos esferas conductoras idénticas de radio a tienen cargas q 1 y q 2 , siend r ( a) la distancia entre sus centros. a) Calcular la energ´ıa electrost´ atica del sistema; b) calcular el cambio de esa energ´ıa electrost´ atica si se conectan mediante un alambre conductor.




4.3 Una esfera conductora descargada de masa m y radio R flota con una cuarta parte de su volumen sumergida en un l´ıquido dieléctrico de permitividad . Calcular el potencial al que hay que conectar la esfera para que quede sumergida la mitad de su volumen. ua en 4.4 Una esfera conductora de radio a = 1 mm se conecta a tierra y se sit´ el centro de un condensador plano paralelo y vac´ıo, con capacidad por unidad de superficie 90 pF/m2 , sometido a una ddp de 1 V. Suponiendo que la superficie de cada placa es 0.5 m2, calcular 4–22


4.4. Fuerzas uerzas en sistemas sistemas electr electrost´ ost´ aticos

Figura 4.2: Problema 4.2

a) el momento dipolar inducido en la esfera y b) la energ ener g´ıa de interacci´ interac ci´ on de la esfera con el condensador. on

Figura 4.3: — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

4.5 Dos cilindros conductores coaxiales de radios R radios R 1 y R2 (R1 < R2 ) y longitud an situados como se indica la figura, siendo x la longitud del condensador  están que forman y que est´ a lleno de aire. Se suspende verticalmente la armadura interna, de masa M , M , mediante un muelle conductor de masa despreciable que está a potencial cero, manteniéndose endose fija la armadura externa. Si ésta esta se conecta a tierra, las oscilaciones en torno a la posici´ on on de equilibrio x0 tienen periodo T periodo T .. Estando el sistema en reposo, se aplica una ddp V ddp V a a la armadura exterior, lo que provoca que, tras un transitorio, se alcance una nueva posici´ on on de equilibrio, para notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

4–23

´ticos Cap´ ıtul ıtulo o 4. Ener Energ g´ ıa y fuerzas fuerzas en campos campos electrost electrostaticos a

la que el alargamiento del muelle es a es a.. Calcular el valor de a de a y y la ener en erg´ g´ıa ıa el´ eléctr ec tric icaa almacenada en el condensador.

Figura 4.4:

4.6 Calcular la fuerza por p or unidad de longitud longitud entre los conductores conductores de una l´ınea bifilar situada en el aire, teniendo los conductores secci´ on on circular de radio R, siendo D la separaci´ on on entre sus ejes y V la V la diferencia de potencial entre ellos.

Figura 4.5:


4.7 Dos recipientes recipientes de base S base S y y altura a altura a,, comunicados por un tubo como se indica en la figura, contienen un l´ıquido de densidad δ y y permitividad relativa εr . Uno de ellos está dentro de un condensador plano paralelo con sus mismas dimensiones (área area S y S y distancia entre placas a). Inicialmente, el circuito est´ a abierto, el conductor descargado y el l´ıquido llega a la altura b en los dos recipientes. Si el condensador condensador se conecta a una bater´ bater´ıa con ddp V 0, ocurre que la diferencia de alturas en los dos recipientes es x. Calcular a) el campo en las dos regiones del condensador condensador (dentro (dentro y fuera del l´ıquido) ıquido) en 4–24


4.4. Fuerzas uerzas en sistemas sistemas electr electrost´ ost´ aticos función on de V 0 , despreciando los efectos de borde. b) El valor de V 0 en función on de x y c) la energ´ energ´ıa suministrada por la bater´ bater´ıa durante el proceso.

Figura 4.6:

anto trabajo hay que hacer para llevar una carga q desde 4.8 a) ¿Cuánto q desde el infinito hasta una distancia r distancia r > b del centro de una esfera conductora de radio b radio b conectada conectada a tierra mediante un alambre de resistencia nula? b) ¿Circulará corriente por el alambre como resultado de esta operaci´ on? on? c) Si la esfera tuviera una carga Q carga Q y se encontrase aislada, ¿cuál al ser´ ser´ıa el traba trab a jo para mover del mismo modo la carga q ? d) Comparar los resultados de a) y c), explicando la diferencia.

4.9 Sobre una esfera de pl´ astico ast ico r´ıgido ıgid o de d e radi r adioo R0 se ha coloc co locado ado una capa c apa esf´ e sférica erica cerrada de un material conductor conductor perfectame p erfectamente nte el´ astico. Cuando se conecta dicha carga al potencial V 0 , ésta esta se dilata hasta un radio R > R0 . Suponien Sup oniendo do el vac´ vac´ıo entre las dos esferas, calcular R. — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

4.10 Determinar la fuerza de atracci´ on entre las placas de un condensador plano on de area a´rea de placas S y S y distancia entre ellas c, al que se aplica una ddp igual a o cupado por dos dieléctricos ectricos imperfectos de V , V , si el espacio entre las placas está ocupado permitividad  y conductividades σ1 y σ2 que ocupan cada uno un volumen de base S y y altura c/2. c/2. ¡Ojo! Nótese otese que las σk son conductividades, no densidades superficiales de carga.


4–25



4–26


Cap´ıtulo 5 Energ´ıa y fuerzas en sistemas magnetost´ aticos. 5.1.

Energ´ıa magnetost´ atica

Inducci´ on electromagn´ etica . De los experimentos de Faraday al principio de siglo (y de Henry en EEUU) se deduce que si el flujo magnético φ a través de un circuito cambia, se genera una fuerza electromotriz inducida dada por

E

. E = − dφ dt Esta ley es completamente independiente de la causa del cambio de flujo, de si es debida a un cambio en B o de la forma o el tama˜ no del circuito. Es una ley experimental. Para que as´ı ocurra, es preciso que se cree un campo eléctrico tal que

E = — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —



E dl.

·

Consideremos ahora el establecimiento de un campo magnético al variar el flujo a través de un circuito, cuya corriente I puede expresarse como

E + E = I R, siendo E la fem aportada por un generador, E la fem inducida y R la resistencia. 0

0

Para crear el campo magnético asociado al circuito se necesita una cierta energ´ıa. El trabajo realizado por 0 para mover la carga dq = I dt a través del circuito es

E E dq 0

=

2

E I dt = −E I dt + I Rdt, 0

= I dφ + I 2 Rdt,


(5.1) 5–1

´ ticos. Cap´ ıtulo 5. Energ´ ıa y fuerzas en sistemas magnetosta

donde se ha usado la ley de Faraday dt = dφ. El seg´ undo término a la derecha corresponde al efecto Joule y es una energ´ıa que se pierde en calor y no contribuye a la creaci´ on de campo magnético. El otro término, I dφ es el trabajo efectuado contra la fuerza electromotriz del circuito (Ley de Lenz!); es la parte del trabajo de la bater´ıa δW bat que sirve para crear campo magnético. Escribimos por tanto para el trabajo realizado δW bat = I dφ.

−E

Si el circuito es r´ıgido y se desprecian las pérdidas de energ´ıa por efecto Joule y no hay elementos con histéresis (o sea, si consideramos medios magnéticos lineales), δW bat es el cambio en la energ´ıa magnética del circuito. Supongamos ahora que hay n circuitos. El trabajo contra las fem inducidas para llegar a las corrientes I k es n

dU m =



I k dφk .

(5.2)

1

Si los cambios en los flujos dφk son causados por cambios en las corrientes, podemos escribir n n dφij dφi = dI j = M ij dI j . (5.3) dI j j=1 j=1





donde M ij se llama coeficiente de inducci´ on mutua entre los circuitos i y j. Si i = j , se escribe M ii = L i y se le llama coeficiente de aitoinducci´ on del circuito i. La energ´ıa magnética U m del sistema de n circuitos estacionarios y r´ıgidos es el resultado de integrar la ecuaci´ on (5.18) desde corrientes (y flujos) nulos hasta la dada por I k , φk . Esa energ´ıa no depende de como aumentan las corrientes (como ocurr´ıa en el caso electrost´ atico con las cargas), por lo que podemos tomar las corrientes “finales”I k , multiplicarlas por α(t) y hacer que esta funci´ on var´ıe de 0 a 1. El resultado ser´ a 1

U m = — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

  I k φk

αdα

0

k

O sea que la energ´ıa magnética de un conjunto de circuitos r´ıgidos (sin deformación) inmersos en medios magnéticos lineales es U m =

1 2

expresión an´ aloga a la electrost´ atica 1 U e = 2 5–2

 

I k φk .

(5.4)

Qk Φk , notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

5.1. Energ´ıa magnetost´ atica en la que Φ no es flujo sino potencial. Como los flujos son φk =





B nda =

·

S k

A dlk ,

·

C k

se puede escribir 1 U m = 2

  k

I k A dlk .

·

C k

Si dividimos todo el espacio en circuitos tubulares de radio infinitesimal, podemos sustituir I k dlk j dv y cambiar la suma por una integral de volumen, con lo que

→

1 U m = 2

 ·

j A dv,

(5.5)

V

que es una expresi´ on de la energ´ıa magnética. N´ otese que la expresi´ on correspondiente para la energ´ıa electrost´ atica es 1 U e = 2



ρΦ dv,

(5.6)

V

∇B = µ j y que ∇ · (A × B) = B · ∇ × A − A · ∇ × B

Si tenemos en cuenta que

resulta

1 U m = 2µ0

0

 V

B

· ∇ × A dv −

1 2µ0

 S

A

× B · nda.

(5.7)

La segunda intergral del lado derecho, se anula llevando la superficie al infinito (estamos suponiendo un conjunto de corrientes en un volumen acotado), por lo que queda 1 U m = B 2 dv, (5.8) 2µ0 V




que es la expresi´ on de la energ´ıa magnética en funci´ o n del campo B. Nótese que eso representa que hay una densidad de energ´ıa magnética um = B 2 /2µ0 extendida por el espacio. La intensidad magnética H = B/µ0 corresponde en el caso magnético al vector desplazamiento D en el eléctrico. La densidad de energ´ıa se puede escribir 1 um = H B. 2 Nótese la semejanza con la densidad de energ´ıa electrost´ atica

·

ue = notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

1 D E. 2

·

5–3


on (5.4) y Energ´ıa magnética e inductancias. Partimos ahora de la ecuaci´ de la expresi´ on de los flujos φk =





B n da =

·

S k

A dlk .

·

C k

La energ´ıa magnética puede escribirse pues como 1 U m = 2

 

I k A dlk .

·

C k

k

El potencial vector vale µ0 A(r) = 4π



j(r ) 3 d r, r r

|− |

por lo que, en el caso de circuitos de corriente r´ıgidos, su valor en el circuito k-esimo es µ0 I i dli A(rk ) = . 4π i rik



Sustituyendo en (5.4), resulta

  

φk =

M ik I i ,

i =k

donde M ik =


µ0 4π

dli dlk = M ki , rik

·

(a veces denotada Lik ) es la el coeficiente de inducci´ on mutua (o la inductancia mutua) entre los circuitos i y k. Es una cantidad puramente geométrica (o sea, sólo depende de la geometr´ıa de los circuitos y no de la intensidad u otras cantidades f´ısicas). La ecuaci´ on anterior que define a M ik se conoce como f´ ormula de Neumann . Las cantidades diagonales Lii = L i son los coeficientes de autoinducci´ on de cada circuito. Sustituyendo en (5.4), se tiene para la energ´ıa magnética U m =

1 2



M ik I i I k ,

(5.9)

i =k

La autoegerg´ıa magnética es 1 U self = 2 5–4



Li I i2 .

i


5.2. Energ´ıa de un cuerpo en un campo magnetost´ atico

5.2.

Energ´ıa de un cuerpo en un campo magnetost´ atico

El problema de calcular el cambio de energ´ıa cuando se introduce un cuerpo en un campo magnetost´ atico cuyas fuentes de corriente permanecen invariantes se puede tratar de modo muy parecido al del caso electrost´ atico. Supongamos una regi´ on V del espacio vac´ıo, con permeabilidad µ 0 en donde hay un campo B 0 creado por unas ciertas corrientes. La energ´ıa magnética ser´ a U m0

1 = 2



B0 H0 dv.

·

V

A continuaci´ on, se anulan las fuentes del campo, reduciéndolo a cero, y se introduce un cuerpo magnético de volumen V 1 . Luego se restauran las corrientes a su valor anterior. Supongamos por simplicidad que el material 1 es lineal, o sea que B = µ 1 H. Razonando como en el caso electrost´ atico se llega a la expresi´ on para el cambio de la energ´ıa electrost´ atica 1 ∆U m = 2



(µ1

V 1

− µ )H · H dv. 0

0

(5.10)

Esto se puede escribir en la forma 1 ∆U m = 2

5.3.




V 1

M B0 dv,

·

(5.11)

Fuerzas en sistemas magnetost´ aticos

Si, en un sistema constituido por circuitos recorridos por corrientes eléctricas, una de las partes del sistema realiza un desplazamiento generalizado δξ bajo el efecto de las fuerzas magnéticas, el trabajo mec´ anico ser´ a δW = F ξ δξ , que o bien es aportado por las baterias o por la energ´ıa interna del sistema (o sea la magnética), de modo que δW = F ξ δξ = δW bat

− dU . m

(5.12)

Consideremos dos casos: (i) Flujos constantes (an´ alogo al de cargas constantes en el caso electrost´ atico). No hay trabajo de las bater´ıas, por lo que F ξ δξ = notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

−dU , m

5–5


por lo que las fuerzas valen F ξ =

  − ∂U m ∂ξ

.

φ

(ii) Corrientes constantes (an´ alogo al de potenciales constantes) dU m =

1 2



I i dφi ,

δW bat =

i



I i dφi ,

i

de donde δW = dU , por lo que F ξ = +

  ∂U m ∂ξ

δW bat = 2dU

⇒

.

I

ua sobre el cirFuerzas entre circuitos e inductancias La fuerza que act´ cuito i-ésimo es pues F i = + α

   ∂U m ∂x i α

=

I

1 2

I j I k

∂M jk . ∂x i

(5.13)

α

j =k

Nótese que la coordenada xi es de traslaci´ on del circuito i-ésimo. Tomemos el caso de sólo dos circuitos. Su energ´ıa de interacci´ on magnética es α

U m = I 1 I 2 M 12 , donde no se ha incluido la autoenerg´ıa 1 U self = (I 12 L1 + I 22 L2), 2 siendo Lk = M kk las autoinductancias o coeficientes de autoinducci´ on. La expresi´ on de la fuerza (5.13) nos permite calcular la que act´ ua entre esos dos circuitos. Resulta que la fuerza que hace el 1 sobre el 2 es igual a

F21


µ0 = I 1 I 2 4π µ0 = I 1 I 2 4π

−

5.4.

   

·

 ∇

2

1

2

1

(dl1 dl2 )

2

1

|r − r | r −r |r − r | d l · dl 3

1

2

1



2

Dipolo en un campo magnetost´ atico. Fuerza, torque y energ´ıa.

Recordemos que un dipolo el´ ectrico situado en un campo electrost´ atico sufre una fuerza nula si el campo E es uniforme e igual a

F = (p 5–6

· ∇)E,

o sea, F i = p k ∂ k E i , notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

5.4. Dipolo en un campo magnetost´ atico. Fuerza, torque y energ´ıa.

Figura 5.1: Torque sobre un circuito de corriente. en general. El torque sobre él es τ = N = p

× E(r) + r × (p · ∇)E.

Si el campo es uniforme, el segundo términa de la derecha se anula. La energ´ıa del dipolo es U = p E.

− ·

Nótes que F = U . El m´ınimo de esa energ´ıa se obtiene cuando los vectores p y E son paralelos y tienen el mismo sentido.

−∇

Veremos que las expresiones correspodientes al caso magnético se parecen mucho a estas. Consideremos ahora un circuito a lo largo de la curva plana C , por el que circula la intensidad de corriente I y supongamos que est´ a sometido a un campo magnético uniforme B. Elijamos coordenadas de modo que el circuito est´ e en el plano xy y que el campo magnético sea perpendicular al eje x, lo que no implica ninguna pérdida de generalidad (ver figura 5.1). El torque vale τ = I

 × r

(dr

C


× B) = I



[(r B)dr

C

·

− (r · dr)B] .

La segunda integral es nula, pues es el producto del campo magnético por dr2 /2 = 0. Teniendo en cuenta que z = 0, dz = 0, B1 = 0 e C ydy = 0, resulta τ 1 = I yB 2 dx, τ 2 = I yB 2 dy = 0; τ 2 = 0.







C



C



La u ´ nica componente no nula es la primera. N´ otese que C ydx es el área A encerrada por el circuito (si el circuito se recorre en el sentido positivo en el plano xy, entonces la integral es A), o sea que τ 1 = I AB2 . Si definimos un vector m perpendicular al circuito, en el sentido dextr´ ogiro, cuyo módulo sea el producto de la intensidad I por el a´rea A, resulta que el torque sobre el circuito vale

−

τ = m notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

× B.

(5.14) 5–7


El vector m es su momento magnético. Nótese que el circuito podr´ıa ser una órbita electr´ onica en un a´tomo o un spin.

Energ´ıa. Es fácil ver que el torque dado por (5.14) se deduce de la energ´ıa U =

−m · B.

(5.15)

Sea θ el ańgulo que forman B y m (ver figura). Si consideramos a U como la energ´ıa potencial, podemos definir la fuerza generalizada asociada al angulo ´ θ como N θ = ∂ θ U = sen θBm.

−

−

Esto significa que el torque tiene el mismo m´ odulo que el producto vectorial m B y además tiende a disminuir el valor de θ, o sea a llevar al vector m sobre el vector B. Luego se cumple (5.14).

×

Una consecuencia de las expresiones p E y m B para las energ´ıas de los dipolos es que su estado de equilibrio estable es el de θ = 0. O sea que los dipolos p y m tienden a alinearse con los campos E y B, con el mismo sentido además.

− ·

− ·

Para entender la relaci´ on entre la energ´ıa y el torque, es util ´ considerar el trompo de Lagrange. La energ´ıa potencial, es en este caso, U = mgh cos θ, donde h es la distancia del vertice del trompo a su centro de masas y θ el ańgulo polar de su eje. Nótese que el signo es el opuesto, lo que corresponde a que la gravedad tiende a hacer bajar al trompo, mientras que los campos E y B tienden a subir a los momentos dipolares. Otra consecuencia de (5.15) es que si el campo magnético es inhomogéneo, como en el famoso experimento de Stern y Gerlach, hay una fuerza no nula sobre el dipolo magnético dada por

F =

−∇U = ∇(m · B) = (p · ∇)B,

(5.16)

o sea F i = p k ∂ k Bi . — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

5.5.

El teorema de Poynting

Entre las propiedades m´ as importantes del campo electromagnético est´ a la forma que toma la conservaci´ on de la energ´ıa electromagnética. Se sigue de la sección anterior que la densidad total de energ´ıa almacenada en un campo electromagnético est´ atico es u = 5–8

1 (E D + B H) . 2

·

·

(5.17)


5.5. El teorema de Poynting Hacemos la hip´ otesis adicional de que (5.17) es la densidad total de energ´ıa electromagnética, incluso en el caso de campos dependientes del tiempo. Supongamos que un campo interact´ ua con un conjunto de part´ıculas, electrones en general, pero también pueden ser otras. La tasa de trabajo (o potencia) del campo sobre una carga q es q v E, donde v es la velocidad de la carga, sin que intervenga en ello el campo magnético B pues la fuerza que ejerce q v B es siempre perpendicular a la velocidad. En el caso de una distribuci´ on continua de carga y corriente la potencia efectuada por el campo en el volumen V es

·

×

 ·

j E d3x.

(5.18)

V

Esta potencia representa una transformaci´ on de energ´ıa electromagnética en energ´ıa mec´ anica o térmica y tiene que ser igual a la tasa de disminuci´ on de energ´ıa electromagnética. La ecuaci´ on (5.18) se puede escribir (usando las de Maxwell) en la forma ∂ D 3 d x. (5.19) j E d3 x = E ( H) E ∂t V V

 ·

Usando la identidad vectorial

 



· ∇× − ·

∇ · (E × H) = H · (∇ × E) − E · (∇ × H), y la ley de Faraday (una de las de Maxwell), (5.19) se puede escribir como

 ·

3

j E d x =

V

  − ∇·

(E

V

×



∂ D ∂ B 3 +H d x. H) + E ∂t ∂t

·

·

(5.20)

Suponemos ahora que el medio macrosc´ opico es lineal en sus propiedades eléctricas y magnéticas, pudiéndode despreciar las pérdidas energéticas (por efecto Joule, por ejemplo). Podemos escribir entonces la ecuaci´ on anterior en la forma

  V


∂u + ∂t



∇ · ( E × H)

3

d x =

 − ·

j E d3 x.

(5.21)

V

Como el volumen es arbitrario, esta ecuaci´ on integral equivale a la ecuaci´ o n de continuidad ∂u S = j E, + (5.22) ∂t donde S = E H, (5.23)

∇·

−·

×

es el llamado vector de Poynting (por John Henry Poynting (1852-1914), profesor en Birmingham que lo introdujo). Tiene dimensiones de energ´ıa/(´ area tiempo) y representa el flujo de energ´ıa electromagnética.

×


5–9


Conservaci´ on de la energ´ıa. El sentido de las ecuaciones (5.22) y (5.21) es que la tasa de cambio de la energ´ıa electromagnética en un cierto volumen V , más la energ´ıa que fluye hacia afuera por la superficie borde S ∂V , por unidad de tiempo, es igual a menos el trabajo hecho por el campo sobre las fuentes en ese volumen, también por unidad de tiempo.

≡

En otras palabras, la tasa de variaci´ on temporal de la energ´ıa electromagnética en un volumen arbitrario V es igual a menos la energ´ıa que fluye a trav´ es de las paredes, menos el trabajo realizado sobre las cargas y corrientes, tambi´ en por unidad de tiempo. Es una forma del principio de conservaci´ on de la energ´ıa. Si se quiere tener en cuenta adem´ as la disipación de energ´ıa por efecto Joule, habr´ıa que a˜ nadir a la derecha de (5.21) y de (5.22), repectivamente, los términos

j 2 3 d x, σ

2

 − || V

− | jσ| ,

y

siendo σ la conductividad. El caso de la dispersi´ on ser´ a tratado m´ as adelante. Si la energ´ıa de las part´ıculas en V es E mec y ninguna de ellas sale de V , su variación ser´ a igual al trabajo del campo dE mec = dt

 ·

j E d3 x

(5.24)

V

El teorema de Poynting expresa la conservaci´ on de la energ´ıa total del sistema formado por las cargas y el campo E = E mec + U , de modo que dE d = (E mec + U ) = dt dt

 − S

n S da,

·

(5.25)

(5.26)

siendo la energ´ıa electromagnética U = — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —



0 u d x = 2 3



(E2 + c2 B2 ) d2 x.

V

Conservaci´ on del momento lineal. Es posible dar un tartamiento similar el momento lineal. La fuerza sobre una part´ıcula cargada viene dada por la ley de Lorentz F = q (E + v B).

×

Por tanto si la suma de los momentos lineales de todas las part´ıculas en V se denota como Pmec , resulta dPmec = dt 5–10

 V

(ρE + j

3

× B) d x,

(5.27)


5.5. El teorema de Poynting donde la suma sobre las part´ıculas se ha cambiado en una integral sobre una densidad de fuerza. Usando ahora las ecuaciones de Maxwell ρ =  0

∇ · E,

j =

1 µ0

∇ × B −  ∂ ∂tE , 0

podemos escribir el integrando de (5.27) en la forma ρE + j

× B = 

0



E(

∇ · E) + B ×

∂ E ∂t

2

− c B × (∇ × B)



.

Teniendo en cuenta que

B

× ∂ ∂tE = − ∂t∂ (E × B) + E × ∂ ∂tB ,

y añadiendo el término c 2 B( ρE + j

∇· B) = 0 al paréntesis cuadrado anterior nos queda =  [E(∇ · E) + c B(∇ · B) − E × (∇ × E) − c B × (∇ × B) −  ∂t∂ (E × B)]

×B

2

0

2

0

Sustituyendo en (5.27), resulta dPmec d + dt dt = 0

 

0 (E

V

3

× B) d x

[E(

V

∇ · E) − E × (∇ × E) + c

2

(5.28) 2

B(

3

∇ · B) − c B × (∇ × B)]d x.

La forma del primer miembro sugiere que, de manera provisional, identifiquemos la integral de volumen a la derecha con el momento lineal total del campo electromagnético en el volumen V

Pem = 0

 

E

V


=

1 c2

3

× B d x = µ 

S d3 x.

0 0



E

3

× H d x.

(5.29)

V

El vector

1 S ( ) = , (5.30) E H c2 c2 ser´ıa la densidad de momento lineal electromagnético y la ecuaci´ on (5.28) expresar´ıa la ley de conservaci´ on del momento lineal. Supongamos que los campos están suficientemente localizados, sin precisar m´ as que significa esto (que no hay campos de radiaci´ on, o que estos se establecieron desde hace un tiempo finito).

g =


×

5–11


Veremos en un momento que el segundo miembro de (5.28) es la integral de una divergencia y que, aplicando el teorema de Stokes es nulo. En ese caso resulta d d Pmec + dt dt



d (Pmec + Pem ) = 0 dt

g d3x =

V

(5.31)

es decir que se conserva la suma del momento lineal m´ as el electromagnético.

El tensor de tensiones de Maxwell. Para que todo ello tenga sentido es necesario que la integral del segundo miembro de (5.28) se pueda escribir en la forma de la integral de superficie sobre S ∂V de algo que sea intepretable como un flujo del momento lineal.

≡

Veamos si eso es factible. Empecemos por calcular la parte eléctrica del integrando del segundo miembro de (5.28). Tomemos la primera componente [E( E) E ( E)]1 que vale

∇· − × ∇×



− 

∂E 1 ∂E 2 ∂E 3 ∂E 2 = E 1 + + E 2 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 1 ∂ ∂ ∂ = (E 12 ) + (E 1E 2 ) + (E 1 E 3 ) ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3

 

∂E 1 ∂E 1 ∂ E 3 + E 3 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 1 1 ∂ (E 12 + E 22 + E 32 ) 2 ∂x 1

−

−

−



Esto indica que la componente j-ésima de (5.28) se puede escribir [E(

∇ · E) − E × (∇ × E)]

j

=

 k

∂ (E j E k ∂x k

− 21 E · E δ

jk )

Lo mismo se puede decir de la parte magn´ etica, con lo que, si definimos el tensor de tensiones de Maxwell T jk como



T jk =  0 E j E k + c2 B j Bk

−



1 (E E + c2 B B)δ jk , 2

·

·

(5.32)

podemos escribir (5.28) como


d (Pmec + Pem) j = dt

  k

V

∂ T jk d3 x. ∂x k

(5.33)

Aplicando el teorema de Stokes (o de la divergencia) al segundo miembro, resulta d (Pmec + Pem ) j = dt

 

T jk nk d2 a.

(5.34)

S k

siendo n es el vector unitario saliente y normal a S . Esta dos u ´ ltimas ecuaciones son formulaciones del principio de conservaci´ on del momento lineal total (el mec´ anico más el electromagnético), si T jk nk es la 5–12




5.5. El teorema de Poynting componente j -ésima del flujo de momento lineal por unidad de a´rea a traves de S hacia el interior del volumen V . De modo equivalente, si es la fuerza por unidad de a´rea transmitida a través de S y que act´ ua sobre el sistema total de part´ıculas y campos que hay dentro de V . En mec´ anica de medios continuios las fuerzas por unidad de a´rea se llaman tensiones (la presión es un caso particular), lo que explica el nombre dado al tensor T jk .



5–13


Problemas 5.1 Estudiar mediante razonamientos energéticos, las fuerzas que se producen entre dos circuitos estacionarios. 5.2 Lo mismo que en el problema 1, pero entre dos solenoides coaxiales, uno de los cuales penetra dentro del otro. 5.3. Como en el problema 1, pero entre dos láminas paralelas con corrientes superficiales iguales y opuestas. 5.4 Dado un solenoide muy largo con n vueltas por unidad de longitud y radio R, calcular la fuerza radial por unidad de longitud sobre una vuelta del arrollamiento suponiendo: a) que la intensidad de corriente se mantiene constante; b) que el flujo se maniene constante (mediante una bobina supercondutora aislada). 5.5 Las placas cuadradas de un condensador plano, de lado a y separadas por la distancia y, están conectadas a una bater´ıa de fem V 0 , cerrando el circuito una resistencia R. Hallar: a) la fuerza eléctrica sobre las placas, indicando direcci´ on y sentido; b) la fuerza magnética; y c) determ´ınese si hay un valor de la resistencia R para el cual la fuerza neta sobre las placas se anule y, en caso afirmativo, calc´ ulese tomando como datos a = 1 m, y = 1 cm despreciando el efecto de los bordes. 5.6 Un solenoide largo y estrecho de radio a tiene n espiras por unidad de longitud y está recorrido por la corriente I 0 que a partir de un cierto instante inicial empieza a decrecer linealmente hasta anularse, seg´ un la ecuaci´ on I = I 0 kt. Se coloca de manera coaxial con el solenoide un tubo conductor de conductividad σ, permitividad 0 y permeabilidad µ0 y de de radios b y c (siendo c > b > a). Se pide calcular durante el tiempo que tarda en anularse la corriente: a) la energ´ıa magnética almacenada en el solenoide por unidad de longitud; b) el flujo por unidad de longitud del vector de Poynting a través de la secci´ on del tubo; c) el balance energético mediante la comprobaci´ on del teorema de Poynting en el tubo conductor.

−


5.7. Un condensador plano paralelo, cuyas placas circulares tienen radio R y distan entre s´ı c, está lleno de in dieléctrico imperfecto de permitividad  y conductividad σ. El condensador est´ a inicialmente descargado y comienza a cargarse mediante una corriente eléctrica de intensidad constante I 0 . Hallar: a) La ecuaci´ on 5–14


5.5. El teorema de Poynting diferencial que describe la carga en las placas en funci´ on del tiempo Q(t); b) el vector de Poynting en el interior del condensador; c) el flujo del vector de Poynting a través del a´rea lateral del condensador comprobando el teorema de Poynting.

5.8 Un condensador planoparalelo de placas circulares de radio R y distantes entre s´ı h está lleno de un material dieléctrico de permitividad . La diferencia de potencial entre sus placas era igual a V 0 hasta el tiempo t = 0 y a partir de ese momento empieza a disminuir seg´ un la función V = V 0 (1

− t/τ ) ,

donde V 0 y τ dos constantes, hasta anularse en el instante t = τ , siendo V = 0 a partir de ese momento. Despreciando el efecto del borde calcular: a) Los campos eléctrico y magnético en el interior del condensador en el intervalo temporal 0 < t < τ ; b) El flujo del vector de Poynting a trav´ es del a´rea lateral del condensador r = R, comprobando el teorema de Poynting.

5.9 Un condensador planoparalelo de placas circulares de radio R y distantes entre s´ı h está lleno de un material dieléctrico inhomogéneo cuya permitividad depende de la distancia al eje del condensador r como r . R

 

ε =  0 1 +

A partir del tiempo t = 0 se establece una dieferencia de potencial entre las placas que var´ıa en el tiempo como e−t/τ ,

− 

V = V 0 1

siendo V 0 y τ dos constantes. Calcular: a) Los campos eléctrico y magnético en el interior del condensador; b) El flujo del vector de Poynting a través del area ´ lateral del condensador r = R, comprobando el teorema de Poynting. — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —


5–15



5–16


Cap´ıtulo 6 Introducci´ on a las ondas electromagn´ eticas 6.1.

Las ecuaciones de Maxwell

Recordemos que las ecuaciones de Maxwell, en el caso de un medio general, no necesariamente el espacio vac´ıo, se suelen escribir en la forma

∇·D ∇·B ∇×E ∇×H

= ρ,

(6.1)

= 0,

(6.2)

=

− ∂ ∂tB ,

= j+

∂ D , ∂t

(6.3)

(6.4)

a las que se deben a˜ nadir las relaciones D = E, B = µH y, si la corriente no está dada a priori, tambien j = σ E. — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

En muchas ocasiones, se trata de estudiar c´ omo var´ıa el campo electromagnético en interacci´ on con cargas libres cuyo movimiento no est´ a dado a priori sino que está afectado por los campos. Tomemos el caso especialmente interesante de electrones cuyas posiciones y velocidades son r k , v k . En ese caso hay que acoplar las ecuaciones de Maxwell con las de movimiento de cada carga. Para ello hay que hacer dos cosas (i) Tomar como densidad de carga del conjunto de electrones ρe =

 − e

k


δ (3) (r

− r ), k

(6.5) 6–1

´ n a las ondas electromagn´ Cap´ ıtulo 6. Introduccio eticas

y como densidad de corriente

je =

−e



δ (3) (r

k

− r )v k

k

(6.6)

(ii) A˜ nadir las ecuaciones de movimiento de los electrones



d dt (1

−



mvk = F k = vk2 /c2 )1/2

−e(E + v × B).

k

(6.7)

que es la segunda de Newton en su forma relativista, con la fuerza F k sobre cada carga dada por la expresi´ o n de Lorentz y tomando los campos E = E(r, t) y B = B(r, t) en la posición de cada carga. En el caso en que v/c 1 podemos aproximar el primer miembro por su expresi´ on no relativista d(mv)/dt.



Estas ecuaciones est´ an siendo comprobadas incontables veces cada d´ıa, tanto desde el punto de vita te´ orico, como en su aplicaci´ on a multitud de instrumentos y dispositivos, como los que tenemos en nuestras casas. Constituyen una parte muy importante de la f´ısica b´ asica.

6.2.

Energ´ıa electromagn´ etica

Conviene resumir aqu´ı la idea de energ´ıa electromagnética. De forma resumida, avanzamos ahora lo siguiente, que ser´ a desarrollado formalmente en los cap´ıtulos posteriores. La energ´ıa de un campo electromagnético est´ a distribuida por el espacio, con densidades 1 uE = E 2, 2

uM =

1 2 B , 2µ

(6.8)

para las energ´ıas ligadas al campo eléctrico y magnético, respectivamente. Esto significa que las energ´ıas de los campos son — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

1 U E = 2 y U M =

1 2

  V

V

E D dv,

(6.9)

H B dv,

(6.10)

·

·

Cómo fluye esa energ´ıa? Tomemos la diferencia entre la ecuaci´ on (1.10) multiplicada escalarmente por H y la (1.11) multiplicada por E

· ∇ × E) − E · (∇ × H) = −H · ∂ ∂tB − E · ∂ ∂tD − E · j.

H ( 6–2


6.2. Energ´ıa electromagnética

∇ · (E × H), por lo que

El primer miembro de esta ecuaci´ on es igual a

∇ · (E × H) = −H · ∂ ∂tB − E · ∂ ∂tD − E · j.

(6.11)

Suponiendo que D, B, j dependen linealmente de E, H, E, esta ecuaci´ on puede escribirse como



− ·

∂ 1 (E D + B H) ∂t 2

∇ · (E × H) = −

·

·

j E.

(6.12)

El segundo miembro tiene una interpretaci´ on clara: con un cambio de signo, es la derivada respecto al tiempo de la suma de las densidades de energ´ıas eléctrica y magnética más el calentamiento Joule por unidad de volumen. Integrando la ecuaci´ on anterior en el volumen V , bordeado por S , y aplicando el teorema de Gauss, se llega de inmediato a d j E dv = dt V

 − ·

 V

1 [E D + B H] dv + 2

·

·



(E

S

× H) · n da.

(6.13)

Esta ecuaci´ on integral es muy importante, pues se trata de la conservaci´ on de la energ´ıa. Si definimos el vector de Poynting

S = E

×H

(6.14)

podemos escribir (6.13) en la forma ∂u + ∂t

∇ · S = − j · E,

(6.15)

donde u es la suma de las densidades de energ´ıa eléctrica y magnética u = u E + uM =


1 [ E D + B H] . 2

·

·

(6.16)

La interpretaci´ on de (6.15) es clara: el segundo miembro es la energ´ıa por unidad de volumen que pierde el campo electromagn´ etico debido al efecto Joule (o sea la energ´ıa transferida del campo a la agitaci´ on térmica de la materia); el primer sumando del primer término es la variaci´ on local de la densidad de energ´ıa y S es la densidad de flujo de energ´ıa electromagnética, es decir la energ´ıa electromagnética que atraviesa una unidad de superficie normal a S por unidad de tiempo. Integrada en un volumen V cualquiera (y transformando el término con S en una integral en la superficie S que bordea a V ) la ecuaci´ on (6.15) nos dice que la variaci´ on de energ´ıa electromagnética en ese volumen se debe a (i) el efecto Joule y (ii) al flujo de energ´ıa a través del borde de V , representada por el vector de Poynting.

∇·


6–3


En resumen u es la densidad de energ´ıa electromagnética almacenada en el campo y S es la densidad de flujo de energ´ıa. N´ otese que u tiene dimensiones de energ´ıa por unidad de volumen (o, de modo equivalente, de presi´ on o tensi´ on, está u ´ ltima en el sentido en que se usa en elasticidad) y S , de energ´ıa por unidad de supeficie y de tiempo. En el sistema SI se miden en J m−3 y en J m−2 s−1 , respectivamente.

·

6.3.

·

·

La ecuaci´ on de ondas

Tomando el rotacional de la ecuaci´ on (1.10) (o sea de la ley de Faraday), se tiene ( E) = ∂ t B,

∇× ∇×

− ∇× que puede escribirse en la forma (pues ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇ A) ∇(∇ · E) − ∇ E = −∂ (µ j + µ∂ E) , 2

2

o sea

t

t

−∇ E + 1 ∇ρ = −µσ∂ E − µ∂ E. 2

2 t

t

Suponiendo que el espacio (o el medio) no tiene cargas libres, ρ = 0, resulta que el campo eléctrico satisface la ecuaci´ on 2

∇ E−

∂ 2E µ 2 ∂t

− µσ ∂ ∂tE = 0.

(6.17)

Podemos proceder de modo an´ alogo con el campo H. Se tiene

∇ × (∇ × H) = ∇ × j + ∇ × ∂ ∂tD . Sustituyendo adecuadamente, esta ecuaci´ on se transforma en


∇ × (∇ × H) = σ ∇ × E +  ∂ ∂t ∇ × E. Intercambiando el orden de las derivadas espaciales y temporales en el segundo término de la derecha y usando la tercera ecuaci´ on de Maxwell en el primero, también de la derecha, resulta ∂ H σµ ∂t

∂ 2 H µ 2 . ∂t

∇ × (∇ × H) = − − Como ∇ × (∇ × H) = ∇(∇ · H) − ∇ H, la ecuación de ondas para H resulta 2

2

∇ H− 6–4

∂ 2 H µ 2 ∂t

− µσ ∂ ∂tH = 0.

(6.18)


6.3. La ecuaci´ on de ondas Supongamos que la conductividad es cero (o que la resistividad es infinito). La ecuaciones de onda se transforman en 2

∇ E− ∇ H− 2

1 ∂ 2 E = 0, v 2 ∂t 2 1 ∂ 2 H = 0. v 2 ∂t 2

donde v vale v =

√ 1µ

(6.19)

(6.20)

(6.21)

que son dos ecuaciones cl´ asicas de ondas con velocidad v. En el vac´ıo se tiene v=

√ 1 µ

= 299 792 458 m/s = c.

(6.22)

0 0

6.3.1.

Ecuaciones de onda de los potenciales escalar y vectorial y transformaciones de gauge

Como ya vimos, la ecuación B nos dice que el campo magnético es un rotacional, o sea que existe un campo vectorial A tal que B = A. Ello implica que la ley de Faraday (E + ∂ tA) = 0, E = ∂ t B puede escribirse como lo que dice que (E + ∂ t A) es el gradiente de una funci´ on Φ. Recapitulando

∇ ·

∇ ×

E =

∇× ∇ ×

−

−∇Φ − ∂ ∂tA ,

B =

∇ × A.

(6.23)

A y Φ son los potenciales escalar y vectorial que pueden usarse para definir el campo electromagnético con s´ olo cuatro funciones. Sustituyendo en las dos ecuaciones de Maxwell (1.8) y (1.11) estas expresiones de los campos E y B, resulta 1 ( ∇ · A) = − ρ ∇ Φ + ∂ ∂t  ∇ A −µ ∂ ∂tA − ∇ ∇ · A + µ ∂ ∂tΦ 2


2

2



2



=

−µ j

(6.24)

(6.25)

Sumando y restando a la primera c−2 ∂ 2 Φ/∂t 2 , estas dos ecuaciones se pueden reescribir en la forma 2

∇Φ − 2

∇A −

1 ∂ 2 Φ ∂ + c2 ∂t 2 ∂t 1 ∂ 2 A c2 ∂t 2


∇ ·  −∇ ∇·

 

1 ∂ Φ 1 A+ 2 = ρ c ∂t 0 1 ∂ Φ A+ 2 = µ0 j, c ∂t

−

(6.26)

−

(6.27) 6–5


donde nos concentramos en el caso del espacio vac´ıo, siendo c = (0 µ0 )−1/2 es la velocidad de la luz en el vac´ıo.

Transformaciones de gauge. Sea ξ una función cualquiera de (r, t) (con buen comportamiento). Podemos cambiar los potenciales mediante la siguiente transformación de gauge Φ

− ∂∂tξ , A + ∇ξ.



= Φ



=

→Φ A→A

(6.28)

Es fácil comprobar que los campos E , B permanecen inalterados bajo esta transformación. Gracias a ello se pueden elegir potenciales que simplifiquen los problemas. Por ejemplo, si los elegimos de modo que se cumpla la llamada condici´ on de Lorenz (o gauge de Lorenz )1

∇ · A + c1 ∂ ∂tΦ = 0 ,

(∂ µ Aµ = 0) ,

2

(6.29)

las ecuaciones de onda (6.26)-(6.27) toman la forma m´ as simple 2

∇Φ − 2

∇A −

1 ∂ 2 Φ = c2 ∂t 2 1 ∂ 2 A = c2 ∂t 2

− 1 ρ

(6.30)

−µ j,

(6.31)

0

0

es decir que son dos ecuaciones cl´ asicas de onda con términos de fuente. Al hacer una transformaci´ on de gauge para fijar la forma de las ecuaci´ o n se dice que se fija el gauge . Es fácil comprender que siempre es posible hacer que los potenciales cumplan la condici´ o n de Lorenz. Si Φ, A cumplen (6.26)-(6.27) y elegimos la función ξ como una solución de 2

∇ ξ − — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

1 ∂ 2 ξ = c2 ∂t 2

 − ∇·



1 ∂ Φ , A+ 2 c ∂t

que siempre tiene soluci´ on, los nuevos potenciales obtenidos mediante la transformación de gauge (??) obedecen las ecuaciones simplificadas (6.30)-(6.31). Nótese que (6.30)-(6.31) se reducen en el caso est´ atico a

∇ Φ = − 1 ρ, ∇ A = −µ j, 2

2

0

0

(6.32)

como cab´ıa esperar. 1

6–6

No confundir con Hendrik Antoon Lorentz.


6.3. La ecuaci´ on de ondas Se suele usar la notaci´ on ∂ 2 , 2 ∂t 2 para el llamado operador de D’Alembert o dalambertiano. Las ecuaciones de onda con la condici´ on de Lorenz se pueden escribir de forma compacta 

Φ

=

=

∇ − c1 2

 A =

−ρ/ , 0

−µ j, 0

ecuaciones conocidas como de Klein-Gordon con fuente. A pesar de la condición de gauge, los potenciales no quedan completamente determinados. Siempre se pueden cambiar sin modificar la forma de (6.30)-(6.31) de las ecuaciones de onda haciendo transformaciones de gauge con una funci´ o n que cumpla la ecuaci´ on homogénea de Klein-Gordon  ξ = 0. Otra condici´ on de gauge frecuentemente usada es la condici´ on de Coulomb

∇ · A = 0,

(6.33)

que conduce a las ecuaciones de onda 1 2 Φ = ρ (6.34) 0 1 ∂ 2 A 1 2 A j = µ + ∂ Φ, (6.35) 0 c2 ∂t 2 c2 El interés del gauge de Coulomb es que el potencial escalar es el potencial instant´ aneo creado por la densidad de carga ρ (de ah´ı viene el nombre, pues Φ se obtiene con la ley de Coulomb como en el caso est´ atico)

∇

∇

−

−

1 Φ(r, t) = 4π 0

−

∇

r ρ(r , t) r V







− r dv. | −r|

 3

(6.36)

Si descomponemos la corriente como la suma de dos términos j = j + j ⊥ , de modo que j = 0 (se dice que es longitudinal o irrotacional ) y j⊥ = 0 ( se dice que es transversal o solenoidal ), se tiene

∇×


∇·

1 ∂ 2 A A = µ0 j⊥ , c2 ∂t 2 pues se sigue de la ecuaci´ on de continuidad que 2

∇ −

−

(6.37)

∂ Φ = µ 0 j . ∂∂t Una propiedad interesante de la condici´ on de Coulomb es que, si no hay densidad de carga, ρ = 0, con lo que Φ = 0, de modo que con ese gauge µ0 0

E =

∇

− ∂ ∂tA ,


B =

∇ × A. 6–7


6.4.

Ondas electromagn´ eticas

6.4.1.

Ondas planas en medios no conductores

Supongamos un medio no conductor, o sea cuya conductividad se anula σ = 0. Los dos campos E y B obedecen la ecuaci´ on clásica de ondas, 2

∇ E− ∇ B− 2

1 ∂ 2 E = 0, c2 ∂t 2 1 ∂ 2 B = 0, c2 ∂t 2

(6.38)

(6.39)

con c = (µ)−1/2 , pero eso no basta: deben relacionarse entre s´ı de modo que cumplan adem´ as las ecuaciones de Maxwell. Nótese que estas ecuaciones se refieren a un medio sin fuentes, caracterizado por , µ, o sea sin cargas ni corrientes libres. La soluciones de esas ecuaciones se denominan ondas electromagnéticas . Estudiaremos una clase muy importante de soluciones, las ondas monocrom´ aticas , que son las caracterizadas por una sola frecuencia (o sea un solo color). Siguiendo un método est´ andar, buscaremos soluciones de la forma

E(r, t) = E s (r)e−iωt ,

B(r, t) = B s (r)e−iωt

entendiendo que la funci´ on que representa a los campos f´ısicos est´ a dada por la parte real de esas funciones complejas. N´ otese que Es y Bs serán también complejos, aunque con el mismo desfasaje ϕ los ods, de modo que el campo eléctrico ser´ a proporcional a cos(ωt + ϕ) y el magético, a sen(ωt + ϕ). Al sustituir en (6.38) resulta ω2 −iωt 2 e Es + 2 Es = 0. c

∇




Diremos que la solución es una onda plana si la amplitud de la onda es la misma dentro de cada plano perpendicular a una direcci´ on que ser´ a la de propagaci´ on. Tomando el eje x paralelo a esa direcci´ on, esto implica que E = Es (x), lo que simplifica la ecuaci´ on a d2 Es ω 2 + 2 Es = 0, dx2 c cuya soluci´ on es Es (x) = E 0 e∓iωx/c, donde E 0 es un vector constante. Adem´ as se tiene

E(x, t) =





(ux E 0x + uy E 0y + uz E 0z ) eiϕ e∓iωx/ce−iωt

= (ux E 0x + uy E 0y + uz E 0z )cos(kx 6–8



− ωt + ϕ) ,


6.4. Ondas electromagn´ eticas Tomaremos para simplificar el signo en ωt. Como el campo eléctrico s´ olo deE = 0 se simplifica a dE 0x /dx = 0, pero como E 0 pende de x, la ecuaci´ on depende sinusoidalmente de x seg´ un la ecuaci´ on anterior, resulta que E 0x = 0, o sea que la condici´ on de divergencia nula implica que el campo eléctrico es transversal: solo son distintas de cero las componentes normales a la direcci´ on de propagación. O, en otras palabras, el campo el´ ectrico es paralelo a los frentes de onda.

−

∇ ·

Esto significa que el campo eléctrico tiene la forma

E(x, t) =

 (u E y

0y +

uz E 0z ) eiϕ e−iωx/ce−iωt ,

= (uy E 0y + uz E 0z )cos(kx

− ωt + ϕ) ,

(6.40)

where k = ω/c es la componente x del vector de ondas . Como las otras dos componentes son nulas es también su m´ odulo, tambi´ en llamado el n´ umero de ondas . Para obtener el campo magnético, emplearemos la ecuaci´ on de Maxwell E = ∂ t B. El rotacional de (6.32) está dado por

∇ ×

−

∇ × E = [u E − u E y

0z

z

0y ] k

sen(kx

− ωt + ϕ),

por lo que los campos magnético y eléctrico deben valer

E(x, t) = (uy E 0y + uz E 0z )cos(kx ωt + ϕ) , E 0z E 0y B(x, t) = uy + uz cos(kx ωt + ϕ)) c c

−



−

(6.41)

−

donde se aprecia bien la transversalidad de la onda. Esta onda se transmite hacia la derecha con velocidad v = ω/k = (µ)−1/2 velocidad de la onda = v = u x(µ)−1/2.

(6.42)

El ´ındice de refracción vale, por tanto, n = — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

√  µ , r r

(6.43)

en funci´ on simple de la permitividad y la permeabilidad relativas. Nótese que hay dos modos de polarizaci´ on plana que se obtienen haciendo E 0y = 0 y E 0z = 0, respectivamente. Finalmente veamos cuanto vale el vector de Poynting

S =

1 E µ0

× B = µ1

0

2 2 E 0y + E 0z sen(kx





− ωt) cos(kx − ωt)u , x

(6.44)

en el que se ha hecho ϕ = 0 por simplicidad. Nótese que el flujo de energ´ıa va en el sentido positivo del eje x como cab´ıa esperar. notas EM II (v. 9/diciembre/2005)

6–9


Problemas 6.1 Sea una onda monocrom´ atica y plana en un medio dieléctrico homogéneo, lineal e isótropo. Probar que los promedios temporales de de las densidades de energ´ıa eléctrica y magnética, U e y U m , son iguales. 6.2 La constante solar es la densidad de potencia radiante que llega a la Tierra procedente del Sol, o sea P/4πR 2 , siendo P la potencia solar y R la distancia Tierra-Sol. Su valor es 1,35 kW/m2 . Aproximando la radiación solar por una onda plana, calcular los campos E y H as´ı como el aprovechamiento de esta energ´ıa en los siguientes casos: a) para calefacci´ on y agua caliente en paneles térmicos con un 70 % de rendimiento, estimando la superficie necesaria para abastecer un circuito calefactor de 5 kW; b) para el funcionamiento de un televisor de 200 W, mediante paneles fotovoltaicos con rendimiento del 20 %, estimando la superficie necesaria. Sup´ ongase en ambos casos que la inclinación de los rayos solares es de 30◦ respecto a la vertical. 6.3 Una onda electromagnética plana de frecuencia f = 5 MHz se propaga por un medio de par´ ametros σ = 4 S/m, µr = 1 y r = 72. El campo eléctrico de la onda viene dado por E = E 0 e−γz ax + E 0 e−γz ay . Determinar: a) la constante de atenuaci´ on, de fase de propagaci´ o n y la velocidad de fase a la frecuencia de la onda; b) el campo H asociado al campo E; c) el valor medio de la densidad de potencia y la direcci´ on en la que se propaga. 6.4 El campo eléctrico de una onda electromagnética plana que se propaga en el vac´ıo está dado por E = E 0 ei(ωt−kz) j, donde E 0 es real. Un carrete circular plano de radio a y N vueltas tiene su centro en el origen de coordenadas. Su orientaci´ on es tal que uno de sus di´ ametros coincide con el eje z y su plano forma un ańgulo θ con el eje y. Hallar la fem inducida en el carrete suponiendo que a λ (= 2π/k). — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —



6.5 En un medio dieléctrico de permitividad µ0 se propaga una onda electromagn´ etica plana y polarizada linealmente cuya frecuencia es f = 1 MHz. El ´ındice de refracci´ o n del medio es n = 1,5 y la amplitud del campo el´ ectrico, E 0 = 2 10−5 V/m. Se desea conocer: a) la impedancia intr´ınseca del medio y los valores instant´ aneos del campo eléctrico, del campo magnético, del vector de Poynting y de la densidad de energ´ıa electromagnética; b) la energ´ıa media transportada por la onda y la energ´ıa media almacenada en el medio; c) si se coloca un carrete cuadrado plano con 100 vueltas y 0,5 m de lado cuyo plano es

×

6–10


6.4. Ondas electromagn´ eticas paralelo a la direcci´ on del campo eléctrico, ¿cu´ anto vale la fem inducida en él? d) Discutir cu´ anto valdr´ıa esa fem si la frecuencia fuese de f = 1 GHz.

6.6 - Una onda plana, con polarizaci´ on lineal y con frecuencia 10 MHz se propaga en un medio de permeabilidad µ 0 cuyo ´ındice de refracci´ on es 1.5. Un carrete de prueba, cuadrado de lado a = 10 cm, que tiene 100 vueltas, se orienta de modo ´ que detecta la m´ axima fem inducida posible. Esta resulta ser de 250 mV. Calcular: a) los valores instant´ aneos de los campos; b) la intensidad media de la onda; c) si se pudiese aumentarse suficientemente la frecuencia de la onda, ¿podr´ıa darse el caso de que la fem detectada con la misma orientaci´ on que antes era m´ axima fuese ahora m´ınima? ¿Qué valor deber´ıa tener la frecuencia correspondiente? 6.7 Considérese la propagación de una onda electromagnética en un conductor. a) Demostrar que, para conductividad peque˜ na, la constante de atenuaci´ o n se aproxima a un l´ımite superior al aumentar la frecuencia. b) Comparar la atenuación de dos ondas con λ = 10 cm, una en agua dulce (con σ = 10−3 Ω−1 m−1 ) y otra en agua de mar (con σ = 4 Ω−1 m−1 ), suponiendo r en los dos casos. c) Encontrar las velocidades de fase y de grupo en medios de alta conductividad. 6.8 - Una corriente uniforme I 0 circula por un alambre conductor recto e ilimitado, a partir del instante inicial t = 0. Determinar los potenciales retardados en todo el espacio. un el eje x, se 6.9 Una onda electromagnética plana, polarizada linealmente seg´ propaga paralelamente al eje z , en un medio no magnético, con ciertas pérdidas. Su frecuencia es 1 MHz y su velocidad de fase 1,8 108 m/s. En una cierta regi´ on −2 −1 del espacio, la intensidad de la onda vale 10 W m s y en un kilómetro decrece a 0.99 de su valor original. a) Calc´ ulese la profundidad de penetraci´ o n de la onda. ¿Es un buen conductor ese medio? b) En la regi´ on indicada se coloca un carrete cuadrado con 100 espiras y lados a = 20 cm (paralelo al eje z ) y b = 10 cm (paralelo al eje x). Est´ımese el valor de la fem inducida: b1) a partir de los valores del campo magnético en la secci´ on del carrete; b2) a partir de los valores del campo eléctrico en el carrete. (Justificar las aproximaciones)

·


×

6.10 Demostrar que se pueden obtener soluciones de las ecuaciones de Maxwell en un medio no conductor, libre de carga, is´ otropo y homogéneo tomando bien E =

{∇× [∇ × (F n)]} ,


B =

 

∂ µ [ ∂t

∇ × (F n)]

 6–11

Electromagnetismo II (Rañada)

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