Electromagnetismo y Ondas Apuntes

Electromagnetismo Electromagne tismo - Y - Ondas - Apuntes

Electromagnetismo y Ondas (Universidad de Zaragoza)

Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected]) ([email protected])

Universidad de Zaragoza

Teoría de la señal y comunicaciones

Electromagnetismo y Ondas

Tema I : INTRODUCCIÓN 1.1. Cantidades básicas de fuente y de campo. 1.1.1 El modelo electromagnético 1.1.2 Densidades de carga y corriente. 1.1.3 Unidades en el SI y Constantes universales. 1.1.4 Ecuaciones de Maxwell en forma integral 1.2. Análisis vectorial 1.2.1 Gradiente de un campo escalar 1.2.2 Divergencia de un campo vectorial y Teorema de la Divergencia 1.2.3 Rotacional de un campo vectorial y Teorema Teorema de Stokes 1.2.4 Teorema de Helmholtz

I.13 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected] ([email protected]))

I.1 Cantidades básicas de fuente y de campo

La carga se conserva. La materia es eléctricamente neutra. I.14 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected] ([email protected]))

I.1 Cantidades básicas de fuente y de campo

e = 1.602×10-19 C

me = 9.109×10-31 Kg mp = 1.673×10-27 Kg ≈ mn I.15

Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected] ([email protected]))

I.1 Cantidades básicas de fuente y de campo El modelo Electromagnético

Q







E

D



B

H

Densidad de Carga y de Corriente  v

I

 lim  v0

dq 

dt

q v

3

 s 

(C / m )

(C / s ó

lim 

q

s 0

2

 l 

(C / m )

s

lim 

q

l 0

l

(C / m)

A)

Unidades en el SI y Constantes universales Longitud

metro

m

Masa

kilogramo

kg

Tiempo

segundo

s

Corriente

ampere

A

Permitividad del espacio libre Permeabilidad del espacio libre Velocidad de la onda electromagnética en el vacío

 0



1 c

2

0



 0

1 36 

x10

9

4 x 10

c





8.854 x10

7



12



(F /

m

)



D







( H / m )

B



0 E





 0 H

8 3x10 (m/s) aprox.

1

 0 0 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

I.16

I.1 Cantidades básicas de fuente y de campo Ecuaciones de Maxwell de forma integral Ley Faraday.

Ley de Gauss 



d s



E (r , t )

  

 r t



d l

S

,

 

B ( r , t )

S







E  d l



c

 t







B  d s



D  d s 





S

S

 

D( r , t )

   dv  Q V

Ley Circuital de Ampere 

d s

 

H ( r , t )

 

B( r , t )



d l

S



 



J ( r , t )  J D ( r , t )

S



 D H d l     t  d s   J  d s c S S 













B  d s

S

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

0 I.17

I.2 Análisis vectorial Gradiente de un campo escalar Gradiente de un escalar es el vector que representa la magnitud y la dirección de la razón de incremento espacial máximo de un escalar.  

grad V  V  a n

dV dn

I.18 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

I.2 Análisis vectorial Divergencia de un campo vectorial Divergencia de un campo vectorial en un punto es el flujo neto de salida del campo por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero. 





div A    A  lim

S



A  d s



v

v 0

   A dv   

v



A  d s



S


I.2 Análisis vectorial Rotacional de un campo vectorial Rotacional de un campo vectorial es un vector cuya magnitud es la circulación neta máxima de A por unidad de área conforme el área tiende a cero y cuya dirección es la dirección de la normal al área cuando ésta está orientada de manera que la circulación neta sea máxima.

 y z

2

 z

P x0 , y0 , z0 

3 1 4

a ˆ

x 





rot A  x A  lim

s 0

1

s

 



an



A  d l



c



max

y x

s x A d s  c A  d l 







Laplaciano 2



     



2



  







 A     A      A

Teorema de Helmholtz Un campo vectorial está determinado (salvo una constante aditiva) si su divergencia y su rotacional están especificados en todos los puntos Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

I.20

I.2 Análisis vectorial Ejemplo operadores vectoriales en coordenadas cilíndricas V  a r  A 

 V  r

1 

 a

1  V r 

rAr  

r  r

a r

A 

1 

 a z

A 1  r 

r a

a z







 V  z  A z  z

 1  A z  A     A A  1   A    a   a r    r  z   a z  rA   r    r    z r   r   z  r   z 

r  r  Ar rA A z

2 2 1    V  1  V  V  V   2  r   2 2 r  r   r  r  z  2

Ejemplo identidades vectoriales

V    V  V    A      A  A     A      A    A   A  B   B    A   A    B   V  0     A   0 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

I.21

I.2 Análisis vectorial Ejercicio: calcular 

a z

calcular   1   R 



 1  '    R 

r 

R





r





'

r



r ' 

a



a y

x

R   x  x a x   y  y a y   z  z a z 

'



'



'




Universidad de Zaragoza

Teoría de la señal y comunicaciones

Tema II : ELECTROMAGNETISMO II.1. Electrostática (6 horas) II.2. Corriente eléctrica estacionaria. (2 horas) II.3. Magnetostática. (4 horas) II.4. Campo electromagnético (3 horas)

II.1 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

II.1 Electrostática 2.1.1 Postulados fundamentales de la electrostática en el vacío 2.1.2 Deducción de las leyes clásicas 2.1.3 Potencial Eléctrico 2.1.4 Conductores en electrostática 2.1.5 El dipolo eléctrico 2.1.6 Método de las imágenes 2.1.7 Polarización 2.1.8 Densidades equivalentes de carga de polarización 2.1.9 Vector desplazamiento 2.1.10 Postulados modificados 2.1.11 Condiciones en la frontera entre dieléctricos 2.1.12 Capacidad y condensadores 2.1.13 Energía electrostática Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

II.2

II.1.1 Postulados fundamentales de la electrostática en el vacío Solo hemos de definir el vector Intensidad de campo eléctrico, especificando su divergencia y su rotacional Intensidad de campo eléctrico (V/m): fuerza por unidad de carga que experimenta una carga de

prueba estacionaria muy pequeña al colocarse en una región donde existe un campo eléctrico, esto es: F 

E = lim ⋅ 

q →0

(V / m) ó ( N / C)

q

Postulados de la electrostática en el espacio libre Forma diferencial [1] [2]



∇ ⋅ E =

Forma integral

ρ v

[3]

ε 0

[4]



∇ x E = 0

∫s



E d s = 

∫c E d l 



Q

Ley de gauss

ε 0

=0

Ley de voltaje de Kirchhoff Campo conservativo

de aquí deben derivarse

Ley de Coulomb

y

Ley de Gauss


II.1.2 Deducción de las leyes clásicas Ley de Coulomb.

F 12 = 

q1q2 2 4πε 0 R12

aˆ12

1785

¿Ley experimental…o postulado? II.4 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

II.1.2 Deducción de las leyes clásicas Ley de Coulomb. Consideremos una sola carga puntual, q, en reposo en el espacio libre ilimitado. Para hallar la intensidad de campo eléctrico creado por q dibujamos una superficie esférica de radio arbitrario R con centro en q (una superficie cerrada hipotética, superficie de Gauss) alrededor de la fuente.

∫s

Q



E d s = 

→ E R = E R aˆ R =

q



ε 0

4πε 0 R

F 12 =

q1q2



2

aˆ R

2 4πε 0 R12

aˆ12

Ley de Coulomb

conjunto de cargas discretas E = 

1

n

∑

qk

4πε 0 k =1 R − R ' k

2

distribución volumétrica

(aˆ R − aˆ R 'k )



E =

ρ v

1

distribución lineal

distribución superficial

aˆ dv' ∫ 2 R ' v 4πε 0 R



E =

1

ρ s

aˆ R ds' 4πε 0 ∫s ' R 2

E = 

1 4πε 0

ρ l

∫ R l'

2

aˆ R dl '



a z 

r

R = r − r ' 







r ' 

a x



a y


II.1.3 Potencial Eléctrico 

E

∇ × (∇Φ ) = 0

Trayectoria 1

P2

V 2 − V 1 = −

∇ 2V = −

P1

E = −∇V 

P2

∫P1

ρ





E d l

Ecuación de Poisson -Laplace

ε

Trayectoria 2

Con referencia de potencial cero en el infinito: Carga puntual

V =

conjunto de cargas discretas V =

1

n

∑

qk

4πε 0 k =1 R − R'k

Q

4πε 0 R

distribución volumétrica V =

1 4πε 0

ρ v

∫v' R

dv'

distribución superficial 1 ρ s V = ds' 4πε 0 s ' R

∫

distribución lineal

V =

1

∫

ρ l

4πε 0 l ' R

dl '


II.1.4 Conductores en electrostática Dentro de un conductor

∆w d

ρ v = 0

a aire

∆h c

b

conductor

En la superficie del conductor, en condiciones estáticas E t = 0



E = 0

E n =

ρ s ε 0

Viento eléctrico


II.1.5 El dipolo eléctrico

 1 1    − V = 4πε 0  R + R−  q

E = −∇V = − aˆ R 

p ⋅ aˆ R 

V =

4πε 0 R 2

∂V ∂V p (aˆ 2 cosθ + aˆθ senθ ) − aˆθ = 3 R ∂ R R∂φ 4πε 0 R

aˆ R aˆθ


II.1.6 Método de las imágenes Método que consiste en sustituir las superficies limitadoras por cargas imagen apropiadas, en lugar de intentar una resolución formal de Laplace Ejemplo: Carga puntual cercana a plano conductor


II.1.7 Polarización Cargas ligadas, dipolos inducidos y moléculas polares

Vector de polarización 

a z

n

∑



pk

P = lim k =1 

∆v →0

∆v

(C/m 2 )



r







r '

Al integrar sobre un volumen V’ del dieléctrico se obtiene el potencial debido al dieléctrico polarizado

P ⋅ aˆ R

R = r − r ' 



V =

1 4πε

∫

R

2



dv '

a x

0 está V prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected]) Su distribución



a y

II.10

II.1.8 Densidades equivalentes de cargas de polarización Densidad superficial de carga de polarización equivalente ρ ps

Densidad volumétrica de carga de polarización equivalente ρ pv

ˆn ρ ps = P ⋅ r 

= −∇P 

ρ vs


II.1.9 Vector desplazamiento

D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e ) E = ε 0ε r E = ε E 







ε r = (1 + χ e ) = Material

Aire Aceite mineral Papel Poliestireno Caucho Vidrio Mica

r

1.0 2.3 2-4 2.6 2.3-4.5 4-10 6.0





ε ε 0

Rigidez diel. (MV/m ó V/ m)

3 15 15 20 25 30 200


II.1.10 Postulados modificados Haciendo uso del vector desplazamiento, los postulados pueden escribirse : 

[1]

∇ D = ρ

[2]

∇ × E = 0



II.1.11 Condiciones de frontera 

E 1 ∆w

D1

b

a Medio 1

∆h c

d

aˆ n 2

∆h

Medio 1

Medio 2 Medio 2



E 2

Componentes tangenciales de los campos: E 1t = E 2t

∆S



aˆ n1



D2

Componentes normales de los campos: D1n − D 2 n = ρ s


II.13

II.1.12 Capacidad y condensadores

C =

Q V

Ejemplos: capacidad condensador plano paralelo y cilíndrico


II.1.13 Energía electrostática W 2 = Q 2V 2 = Q 2

Q1

W e =

4πε 0 R12

1

N

∑

2 k =1

W e =

Q k V k

N cargas puntuales discretas en reposo

1 ρ vVdv ' ∫ 2 v'

distribución de carga continua

Energía electrostática en términos de cantidades de campo En medios lineales

1 W e = ∫ ρ vVdv 2 V '

W e =

1

∫

2 ∞

D ⋅ E dv 



W e =

1

∫

2 ∞

ε E 2 dv 

1 we = ε E 2 2 

1 D E 2 



: densidad de energía electrostática

1 2 Para el condensador: W e = CV 2 II.15 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

II.2 Corriente eléctrica estacionaria

2.2.1 Densidad de corriente 2.2.2 Conductividad 2.2.3 Ley de Ohm macroscópica y microscópica 2.2.4 Ecuación de continuidad . . 2.2.6 Potencia disipada y efecto Joule


II.2.1 Densidad de corriente Corriente de convección y corriente de conducción

J   v u 



I 

S J  d s

J 

 N i qi ui










II.2.2 Conductividad u e    e





uh   h E 





   e  e   h  h

J   E 



relación constitutiva de un medio conductor

Materiales

Conductividad Eléctrica (S m 1) 6,30 × 10 7 5,96 × 107 5,80 × 107 4,55 × 107 3,78 × 107 1,53 × 107 2,80 × 10 4 2,20 × 10‐2 1,60 × 10‐5 5 0,0005 a 0,05 5,5 × 10‐6 10‐4 a 10‐1 ∙

Plata Cobre Cobre Recocido Oro Aluminio Hierro Carbono Germanio Silicio Agua de mar Agua potable Agua desionizada Tierra

‐


II.18

II.2.3 Ley de Ohm macroscópica y microscópica J   E 

I S

 



V 12 l

 V 

 l   S

I  RI



l  S

Por ejemplo, un km de cable de cobre de 1 mm de radio ¿qué resistencia presenta? ¡Se admiten apuestas!


II.2.4 Ecuación de continuidad I 

S

J  d s   



dQ dt



d dt

e a vergenc a



V

 v dv V

 v dv t

 J  dv    

V

¡cualquier volumen! 

 J   



d s

 v

Ecuación de continuidad

V

Corrientes estacionarias

J  d s  0 



S

 J  0 

¡recordar!


II.2.5 Condiciones de frontera Para el vector densidad de corriente tenemos: Forma diferencial [1] 2

Forma integral

S J d s  0

[3]

 J  0 



     0   

J 1n  J 2 n



4



Cond. frontera

C 



 1



J d l  0 

J 1t 2t

2

. . w t 0 t











V

Ley de Joule 





: s a po enc a s pa a por un a

e vo umen II.21


II.3 Magnetostática 2.3.1 Postulados fundamentales de la magnetostática en el vacío 2.3.2 Potencial vector 2.3.3 Deducción de las leyes clásicas 2.3.4 El di olo ma nético 2.3.5 Imanación . . 2.3.7 Intensidad de campo magnético 2.3.8 Permeabilidad 2.3.9 Postulados modificados 2.3.10 Condiciones en la frontera 2.3.11 inductancia e inductores 2.3.12 Energía magnética en términos de campo Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

II.22

II.3.1 Postulados fundamentales de la magnetostática en el vacío



F  F e  F m  q E  qv  B  q E  v  B 











Forma di erencial [1]

 B  0







Forma integral [3]





S

Bd s  0 



ley de Ia conservación del flujo magnético

[2]

  B   0 J 

 J  0 



[4]





Bd l   0 I C 

ey c rcu a e mp re


II.3.1 Postulados fundamentales de la magnetostática en el vacío Teorema de Ampere

  B 



J

  B d s  



 

J d s



Bd l   0 I 



Recordar de aquí el campo en un solenoide infinito


II.3.2 Potencial vector La diver encia de B es nula, lo ue ase ura oder ex resar B como el rotacional de otro cam o vectorial 

B    A 



A :potencial magnético vector

    A  



0 J

    A    A   2 A 

2 2

















 A  xˆ 2 A x  yˆ  2 A y  zˆ 2 A z 





¿  A ?

 2 A    0 J 

  A  0 



A  

 0

J

4 V ' R

dv '

(Wb/m)

ecuación vectorial de Poisson

Relación con el flujo magnético  

S   Ad s  C Ad l 








II.3.3 Ley de Biot y Savart e ucc n e a ey c s ca a par r e os pos u a os Nos interesa determinar el campo magnético debido a un circuito por el que circula corriente. En el caso de un alambre delgado con sección transversal S J dv '  JSdl '  Idl ' 

A 

0 I









J

0

4

V '

R

v'

4

C '

1 R

d l ' Rˆ 



d l '

B  

 0 I

C '

2

ley de Biot –Savart





d B  R, d l 



a z





Para corrientes volumétricas J  Rˆ 



r 

R  r  r ' 





B  

4 v ' R 2 0

dv '

' 

Id l 

a x



a


II.3.4 El dipolo magnético

m  aˆ 





4 R 2

p  aˆ R 

4 0 R 2


II.27

II.3.4 El dipolo magnético aˆ R aˆ

2 m  aˆ z I  b  aˆ z IS  aˆ z m

(A · m2)



B  aˆ 

4 R

3

aˆ R 2 cos   aˆ sen


II.28

II.3.5 Magnetización nv

 mk 

M  

lim

v  0

d m  M dv' 



k 1

(A/m)

v

 0 M  Rˆ 

d A  

2

dv'

II.3.6 Densidades de corriente equivalentes de magnetización Densidad superficial de corriente de magnetización J ms  M  nˆ 



  B   0  J  J mv  

Densidad volumétrica de corriente de magnetización





J mv    M 




II.3.7 Intensidad de campo magnético El efecto macroscópico de la magnetización puede estudiarse incorporando la densidad de corriente equivalente de volumen de magnetización, J mv

1  0

  B  J  J mv  J    M 









 B     0 

n ens a

e campo magn co:





 

 

m

C





circulación de la intensidad de campo magnético


II.3.8 Permeabilidad relativa M   m H 



 r  1   m  H  

  0



B 

5 Diamagnético :  m  10 5 Paramagnét ico :  m  10

Cu, Ag, Au Al, Mg, Ti

Ferromagné tico :  m  250  105

Ni, Co, Fe, aleaciones


II.3.9 Postulados modificados En medios lineales

 B  0 





B   H

B   0 H  M 

  H  J 











II.3.10 Condiciones de frontera aˆn2



H 1

w

materiales lineales e isótropos

a

b

h







H 1t  H 2 t 

nˆ 2  H 1  H 2  J s

Medio 1







Medio 2

c 

H 2 

1

S

1 H 1n



2 H 2 n

aˆ n 2

h

Medio 1 Medio 2

B1n  B2 n

aˆ n 1



B2


II.32

II.3.11 Inductancia e inductores 12   B1d s2

Wb





s2

B1  I 1

Según la ley de Biot Savart

B1  L12 I 1 



12 

a o na

L12 

N 2 I 1

ene

s

2

espras

 

B1d s2

 H 

1

 

1

I 1

2

Autoinducción:

L11 

N 1 I 1

s

1

 

B1d s1

 H 

Ejemplo bobina toroidal


II.3.12 Energía magnética en términos de campo

Energía electrostática en términos de cantidades de campo En medios lineales

W m 

1  2 

1

B  Hdv 





W 



: densidad de ener ía ma netostática

Para una autoinducción:

m

1

B v

2



dv

1 B 2 2 

W m  LI

2


II.34

II.4 Campo electromagnético 2.4.1 Campos variables en el tiempo . .

-

2.4.3 Densidad de corriente de desplazamiento 2.4.4 Leyes de Maxwell en forma diferencial 2.4.5 Condiciones de frontera 2.4.6 Potenciales electromagnéticos 2.4.7 Ecuación de ondas ara los otenciales


II.4.1 Campos variables en el tiempo En condiciones variables con el tiempo es necesario construir un modelo electromagnético donde los vectores de campo eléctrico E y D estén correctamente relacionados con los vectores de campo magnético B y H.



relaciones de partida









  D   v 

  H  J 



 J  0 

Situación estacionaria

  B  0 

D   E 

H  



1



B

Relaciones constitutivas para medios lineales e isótropos

Campo eléctrico y campo magnético son “parcialmente independientes” uno del otro


II.4.2 Ley de Faraday-Lenz 







E ( r , t ) 

 

  E   



S

d l



B ( r , t ) 

Circuito estacionario en campo variable

t





E  d l   

S

 d s



t

Comunicaciones y electrónica

Circuito móvil en campo estático Máquinas eléctricas: motores y generadores

Circuito móvil en campo variable


II.4.2 Ley de Faraday-Lenz d  B  d s    B  d s dt S t 





E  d l   

S







 







E  d l 

   B  d s 



S

d  dt

El transformador ideal

v1 v2 i1 i2



N 1 N 2



N 2 N 1 2

 R1 efectiva

 N    1  R L N II.41


II.4.3 Densidad de corriente de desplazamiento  J   

 v

  H  J 

t



  v 0 t  v   D

    H  0   J  





 D t 

 D   H  J  t 



  D  D  J  d s  I libre neta   d s S t t    

C



H d l  

S

densidad de corriente de des lazamiento











Ley de Ampère generalizada


II.4.4 Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial

Edimburgo,13 de junio de 1831 Cambrid e, 5 de noviembre de 1879


II.4.5 Condiciones de frontera 



C E  d l 



 

S

C H  d l  S 



t

d s



 J  d s t    



S

D  d s  



V

 v dv

S

B  d s  0 



Superficie de separación entre dos medios sin pérdidas

Superficie de separación entre un dieléctrico y un conductor perfecto


II.4.6 Potenciales electromagnéticos  B   E   t 



  E   



  A 

B    A 



  A      t  











 A  t





 A  t

El potencial vector también contribuye al campo eléctrico


II.4.7 Ecuaciones de onda para los potenciales 

  H  J  



t    A      A  J     V   t  t  



H 

B



  A   D   E     V   t  

  A 















 2 A  V  2     A   A   A   J       2 





 2 A 

2 A   

t





V      J    A    



t

 A    

2 A   

2

t

Uf

Condición de Lorentz

 A    J t 2 




II.46

II.4.7 Ecuaciones de onda para los potenciales 



v

    D     2V   A    v t   





D   E     V  





t 

 A    

V t

  2V  V   2   v  t 2

2 A   

1857 - 1894

2

 A    J t 2

Ecuaciones de ondas (3D) no





propagación

1879-1955


1 

II.47

III.1 Fundamentos de ondas 3.1.0 Introducción 3.1.1 Ecuación de ondas en una dimensión 3.1.2 Soluciones armónicas 3.1.3 Parámetros característicos de una onda 3.1.4 Ondas en 3D 3.1.5 Efecto Doppler 3.1.6 Uso de fasores 3.1.7 Superposición de ondas 3.1.8 Ondas estacionarias 3.1.9 Difracción


III.1.0 Introducción Ejemplos de ondas: -Sonido en el aire, el agua o materiales sólidos -Deformaciones en barras -Pulsos en cuerdas tensas -Ondas superficiales en líquidos y membranas -Ondas sísmicas y tsunamis -Ondas electromagnéticas (luz, radio…) 1D, transversal

2D, transversal

Imagen interferométrica radar de un seísmo

Imagen interferométrica visible de un violín II.2


III.1.0 Introducción Ondas Longitudinales

Ondas Transversales

La magnitud propagada puede ser escalar o vectorial II.3 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

III.1.1 Ecuación de ondas en una dimensión 2

 A  

2

1  A v

2



2

t

 N 

Ec. de ondas no homogénea, vectorial, 3D 



A(r , t ) , N (r , t ) vectores 



Se busca una función f(x,t) solución de la ecuación de ondas homogénea:

 2 f 1  2 f  2 2 0 2  x v t v: Velocidad de propagación de la onda que además debe satisfacer las condiciones iniciales y/o de frontera pertinentes en cada caso. cualquier función continua y dos veces diferenciable f(g), donde g=x±vt es solución ¡comprobar! para una función f  f (a ) ; a  a (u)  Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

 f  f a  u a u

II.4

III.1.1 Ecuación de ondas en una dimensión

La solución con g=x-vt se propaga en dirección de x crecientes, y la solución con g=x+vt se propaga en dirección de x decrecientes. II.5 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

III.1.2 Soluciones armónicas Ondas Periódicas

Ondas Armónicas: funciones periódicas senoidales y constituyen la clase más básica de las ondas periódicas •Todas las ondas, tanto

si son periódicas como si no lo son, pueden describirse como superposición de ondas armónicas mediante series o transformadas de Fourier •Pueden generarse ondas armónicas con relativa facilidad mediante osciladores

armónicos sintonizados


III.1.3 Parámetros característicos de las ondas armónicas Ejemplo: Si un extremo de una cuerda se sujeta a un diapasón que está vibrando con movimiento armónico simple se produce un tren de ondas sinusoidales que se propaga a lo largo de la cuerda a velocidad v.

Velocidad de propagación, v (m/s) Frecuencia f, (s-1 ó Hz) y frecuencia angular w=2pf (rad/s)

Longitud de onda, l (m)

distancia mínima recorrida en el espacio hasta que la función de onda se repite

Periodo T=1/ f = 2p/w , (s )

tiempo mínimo transcurrido hasta que la función de onda se repite

l =vT=v/f=2pv/ w relación general válida para cualquier onda armónica


III.1.3 Parámetros característicos de las ondas armónicas  

y ( x )  Asen 2p

    l  x

Amplitud, A (dimensiones)

Para fijar la posición x=0

Fase de referencia ,  (rad)

Número de ondas, k= 2p/l, (rad/m)

y( x)  Asenkx   

“frecuencia angular espacial ” l “periodo espacial”

(x-vt)

0

Fase (rad) F =(kx-wt)=cte

-> d F /dt=0 -> kdx/dt=w -> dx/dt=w /k=v

Velocidad de fase (m/s)


II.8

III.1.4 Ondas en 3D Ondas circulares en la superficie del agua (2D) l es la separación entre

crestas consecutivas

Ondas esféricas procedentes de un foco puntual (3D) l es la separación entre crestas – capas

consecutivas


III.1.4 Ondas en 3D

Modelo de rayos y frentes de onda Ondas esféricas • rayos divergentes, radiales • frentes de onda esféricos

Ondas planas a suficiente distancia del foco emisor: • rayos aproximadamente paralelos • frentes de onda aproximadamente planos


III.1.4 Ondas en 3D. Intensidad de onda

Radiador isótropo: •Potencia total radiada P (W): RF, luz, sonido… •Repartida uniformemente

•La

Intensidad de una onda en un punto dado es la potencia que atraviesa la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda (W/m2) •Para

un radiador isótropo , en un punto cualquiera a distancia r del mismo, es P

I 

• Los

4p r 2

emisores de ondas son habitualmente direccionales (no uniformes ) II.11 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

III.1.4 Ondas en 3D. Intensidad de onda Antena Yagi. Yagi. Diagrama de radiación.

II.12 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected] ([email protected]))

III.1.4 Ondas en 3D. Intensidad de onda Altavoz a distintas frecuencias.


III.1.4 Ondas en 3D. Intensidad de onda Diodo LED de potencia.


III.1.5 Efecto Doppler •Cuando

la emisor y el receptor de una onda están en movimiento relativo, la frecuencia de la onda recibida es diferente de la emitida, mayor si se acercan y menor si se alejan: efecto Doppler. Determinación de la velocidad a distancia

Christian Doppler 1803-1853

Ecocardiograma II.15 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected] ([email protected]))

III.1.5 Efecto Doppler •Fuente de frecuencia f s móvil con velocidad u s, receptor estacionario

Si el medio se mueve (viento) se debe corregir v como corresponda. Si el observador no está en línea con la fuente, se considera sólo la componente de us en la dirección emisor-receptor II.16 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

III.1.5 Efecto Doppler •Fuente de frecuencia f s estacionaria, receptor con velocidad u r

•Fuente de frecuencia f s con velocidad us, receptor con velocidad u r

para us y ur <
III.1.5 Efecto Doppler •Corrección

relativista (GPS de precisión, astrofísica…u velocidad relativa

emisor-receptor)

•Ondas de choque : ¿ qué pasa si u s >v ? Nº de Mach M = us /v Ernst Mach 1838-1916


III.1.6 Uso de fasores •Para medios lineales en situación estacionaria senoidal y para fuentes en reposo una excitación (onda) a frecuencia w produce una respuesta (onda) a la misma frecuencia

con una amplitud y desfase a determinar. •Recordemos que para números complejos:

•Entonces:

Magnitud real, dependiente de (x, t)

Fasor complejo, dependiente sólo de x.

Como en el análisis de circuitos de corriente alterna, pero ahora con dependencia espacial II.19 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

III.1.6 Uso de fasores •Ecuación de ondas: 

2

f

 x

2



2

1



v2

t

f 2

k 

0

2

d F dx

2



 jw 2 v

2

F  0 

2

d F dx

2

 k 2 F  0

w

v

Ecuación de Helmholtz (no sale el tiempo)

 F  k F  0 2

•Solución general inmediata:



2



Versión 3D, vectorial

F ( x )  A e jkx  A e jkx Onda viajando en dirección +x Onda viajando en dirección -x A+ = M+ e jf+ y A- = M- e jf- son constantes complejas con la información de amplitud y fase que se obtienen a partir de las condiciones de frontera.

f ( x, t )  Re A e j w t kx   A e j w t  kx 

Uso de fasores: ventajas e inconvenientes Simplifica mucho las ecuaciones

Son números complejos


II.20

III.1.7 Superposición de ondas La ecuación de ondas es lineal: la suma de dos de sus soluciones es también solución. Si dos ondas coinciden en un punto, la onda resultante es la suma de ambas. ATENCIÓN si es vectorial Ondas de la misma frecuencia, viajando en el mismo sentido, con cierto desfase

Usaremos la igualdad trigonométrica

Onda de la misma frecuencia cuya amplitud depende del desfase •

Amplitud máxima si = 0, 2p… 2np Interferencia constructiva

•

Amplitud nula si si = p, 3p … (2n+1)p Interferencia destructiva II.21 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

III.1.7 Superposición de ondas

Caso práctico: interferencia entre ondas debido a la diferencia de caminos, Dx. Supondremos que los emisores emiten en fase y que las ondas llegan al receptor con la misma amplitud. El desfase entre ambas es =kDx=2p Dx/l • •

Amplitud máxima si = 0, 2p… 2np Amplitud nula si si = p, 3p … (2n+1)p

 

Dx=nl Dx=(2n+1)l /2

h

NO hace falta que las fuentes emitan en fase, basta con que sean coherentes (desfase cte) Ej: dos nodos Wi-Fi (2.4 GHz, l=12.5 cm) Mínimo valor| de h parapor que la interferencia sea constructiva Su distribución está prohibida Descargado Joseluis Logan ([email protected])

5m

II.22

III.1.7 Superposición de ondas Ondas de distinta frecuencia, viajando en el mismo sentido, con cierto desfase El desfase entre las dos ondas variará con el tiempo, por tener frecuencias – y longitudes de onda – diferentes. Definimos para tener expresiones más cortas:

Envolvente de frecuencia Df/2

Interferencia destructiva

Onda de frecuencia fm

Interferencia constructiva


III.1.7 Superposición de ondas Consecuencia: batido (radar, eco-doppler…). Envolvente de frecuencia Df/2…pero…


III.1.8 Ondas estacionarias Ondas de la misma frecuencia, viajando en sentidos opuestos, con cierto desfase

Función sólo de x

Función sólo de t



Oscilación armónica con amplitud dependiente de x



Distancia nodo-nodo /2 Distancia vientre-vientre /2 Distancia nodo-vientre /4 l /2 l /4

l /2


III.1.8 Ondas estacionarias Aparecen ondas estacionarias cuando las condiciones de contorno fuerzan a que haya nodos (o vientres) Ejemplo 1D: cuerda tensa sujeta por dos puntos

Ejemplo 2D: membranas ancladas en marcos rectangulares o circulares

Ejemplo 2D: modo TE 31 a 32 GHz en una guía de ondas


III.1.9 Difracción

Partículas

Ondas

Apertura >>l

Apertura ≈ < l

Las ondas tienden a rodear los obstáculos. Los frentes de onda se curvan, deformándose en las proximidades de los mismos en distancias del orden de la longitud de onda. La difracción se pone de manifiesto si los obstáculos/ranuras/orificios son del orden de o menores que la longitud de onda. Por reflexión de frentes de onda no se pueden obtener detalles de tamaño del orden de o menor que l. Luz visible: longitudes de onda muy pequeñas y relativamente homogéneas : No en la experiencia diaria. Sí en óptica aplicada.

400 a 700 nm

Sonido: longitudes de onda mayores y mucho menos homogéneas: Experiencia diaria (sin saberlo). El sonido salva obstáculos.

17mm a 17 m

RF: longitudes de onda mayores y mucho menos homogéneas: Todos los días. Sin percibirlo. Cobertura sin visión directa.

10 cm a 1 Km


III.1.9 Difracción Difracción: bloqueo incompleto de ruido por una pantalla acústica y desvío del ruido del motor por el ala de un avión

Imagen SEM de células sanguíneas

Por reflexión de frentes de onda no se pueden obtener detalles de tamaño del orden de o menor que l.

Los ultrasonidos permiten captar detalles: mayor frecuencia implica menor longitud de onda

Para lo muy pequeño el microscopio óptico no tiene suficiente resolución. El microscopio electrónico usa electrones, partículas con una longitud de onda equivalente mucho más corta que la luz visible, acelerados con campos eléctricos y focalizados con campos magnéticos Imagen TEM de átomos de oro. Resolución de 0.05 nm


III.2 Ondas electromagnéticas en medios infinitos 3.2.1 Potenciales retardados 3.2.2 Soluciones armónicas 3.2.3 El espectro electromagnético 3.2.4 Ondas planas en medios sin pérdidas 3.2.5 Ondas TEM en dirección arbitraria 3.2.6 Polarización 3.2.7 Ondas planas en medios con pérdidas 3.2.8 Constante de propagación e impedancia característica 3.2.9 Propagación en gases ionizados 3.2.10 Velocidad de grupo 3.2.11 Energía y vector de Poynting II.34 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

III.2.1 Potenciales retardados Ecuaciones de ondas no homogéneas para los potenciales

∂2A 2 ∇ A − µε 2 = µ J ∂t 





∂2V ρ ∇ V − µε 2 = − v ε ∂t 2

Resolución de la ecuación de ondas (no) homogénea para el potencial escalar Consideramos ahora la solución de la ecuación de onda no homogénea para un potencial escalar V debido a una distribución de carga ρv en una región finita. Situemos una carga puntual elemental ρv(t) dv’ en el origen en el instante de tiempo t. A una distancia R lejos del origen podemos suponer una simetría esférica (es decir, V depende únicamente de R, t)

∂  2 ∂V  ∂2V  R  − µε 2 = 0 2 ∂ R  ∂t R ∂ R  1 V ( R, t ) = U ( R, t ) 1

V ( R, t ) =

R

1

∫

ρ v (t − R u p ) R

4πε v '

U ( R, t ) = f (t − R µε )

µ J (t − R u p )

dv '



A( R, t ) = 

4π ∫

v'

R

dv '


III.2.2 Soluciones armónicas Ecuaciones de Maxwell, continuidad y condición de Lorentz en notación fasorial:

∂ B ∇ × E = − ∂t 

∇ × E = − jω B 





∇ ⋅ D = ρ v 

∇ ⋅ D = ρ v 

∂ D ∇ × H = J + ∂t 





∂ → jω ∂t

∇ × H = J + jω D 





∇ ⋅ B = 0 

∇ ⋅ B = 0 

∂ ρ ∇ J + v = 0 ∂t

∇ J + jωρ v = 0

∂V ∇ A + µε =0 ∂t

∇ A + jωµε V = 0










III.2.2 Soluciones armónicas Ecuaciones vectoriales homogéneas de los campos en medios simples (lhi, sin fuentes, sin pérdidas)

∂ H ∂t ∂ E ∇ × H = ε ∂t ∇⋅E = 0 

∇ × E = - µ 



∇2 E − µε 





∂ E =0 2 ∂t

∇2 H − µε 

∇⋅H = 0 

2

2



2

∂ H =0 2 ∂t

2



∇ E + k E = 0 2





2

∇ H + k H = 0 



Cuyas soluciones representan ondas que se propagan

u p

=

1 εµ

k = ω εµ II.37


III.2.2 Soluciones armónicas Potenciales retardados: soluciones armónicas u p

e

V ( R, t ) =

1

4πε ∫

=

1

k = ω εµ = ω / u p

εµ

jω ( t − R / u p )

ρ v (t − R u p ) R

v'

µ J ( t − R u p )

= e jω t e

dv '

− jω R / u p

= e jω t e − jkR

V =

1

∫ ρ

4πε v '

e − jkR

v

R

dv '



A( R , t ) = 

∫

4π v '

R

dv '



A =

µ

J ∫ 4π 

v'

e

− jkR

R

dv '


III.2.3 El espectro EM


III.2.3 El espectro EM Gestión y regulación del espectro radioeléctrico en España Ámbito internacional: ITU (International Telecommunication Union) http://www.itu.int

Ley General de Telecomunicaciones (3 /11/03) Art. 43 “El espectro radioeléctrico es un bien de dominio público, cuya titularidad, gestión, planificación, administración y control corresponden al Estado”

CNAF: Cuadro Nacional de Atribución de Frecuencias http://www.mityc.es/telecomunicaciones/Espectro/Paginas/CNAF.aspx

Después de 166 rondas de negociaciones y un mes de pujas, la subasta del espectro radioeléctrico se cerró ayer (29 de julio de 2011) con una recaudación de 1.647 millones de euros…. Los grandes operadores (Telefónica, Vodafone y Orange) recibieron más del 98% de las adjudicaciones (y pagaron 1.623 millones).

¡€€€€€€!


III.2.3 El espectro EM CNAF: Cuadro Nacional de Atribución de Frecuencias Orden ITC/332/2010, de 12 de febrero, por la que se aprueba el cuadro nacional de atribución de frecuencias (CNAF). BOE de 19 de Febrero de 2010


III.2.3 El espectro EM CNAF: Cuadro Nacional de Atribución de Frecuencias Orden ITC/332/2010, de 12 de febrero, por la que se aprueba el cuadro nacional de atribución de frecuencias (CNAF). BOE de 19 de Febrero de 2010


III.2.4 Ondas planas en medios sin pérdidas Onda plana uniforme: solución ideal particularmente simple: E tiene la misma dirección, magnitud y sentido en todos los puntos de cada plano infinito perpendicular a la dirección de propagación. Lo mismo pasa con H.


III.2.4 Ondas planas en medios sin pérdidas Régimen estacionario senoidal: Vector campo eléctrico para una onda plana. Caso simple: onda plana uniforme propagándose en dirección “z” con campo eléctrico en dirección “x”. Los planos de igual fase son planos XY, por tanto E sólo depende de z. E = E x ( x , y , z )â x 





∇ E + k ⋅ E = 0 2

2

d 2 E x

 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2  2  + + + k  ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2  E x = 0  

dz 2

+ k 2 E x = 0

O. plana

E x+ ( z ,0) = E 0+ cos( kz )

+

−

+ − jkz

E x ( z ) = E x ( z ) + E x ( z ) = E 0 e

+ E 0− e + jkz


III.2.4 Ondas planas en medios sin pérdidas Régimen estacionario senoidal: Vector campo magnético para una onda plana

∇×E ∇ × E = − jωµ H ⇒ H = ( − jωµ ) 



aˆ x



∇×E =

∂ ∂ x +

Ex ( z)

aˆ y

∂ ∂ y 0

aˆ z





+

H x

∂ = − jωµ aˆ x H x+ + aˆ y H y+ + aˆ z H z+ ∂ z

+

H y

0

+

H z

+

H = aˆ y H y ( z ) = aˆ y 

=0 ∂ E x+ ( z ) = − jωµ ∂ z =0 1

1 + + E x ( z ) = aˆ y E x ( z ) ωµ η k

Impedancia intrínseca o característica η =

µ ε

η 0

=

µ 0 ε 0

≈ 120π ≈ 377 Ω


III.2.4 Ondas planas en medios sin pérdidas Onda plana uniforme TEM: Transversal Electro Magnética

+ − jkz

E ( z ) = E 0 e 

H ( z ) = 

â x

E 0+

η

e − jkz â y

k = ω εµ η =

µ ε



E ⊥ â z 

H ⊥ â z E ⊥ H E × H || â z 









| E | = η | H | 

x

E, H y

z


III.2.5 Ondas TEM en dirección arbitraria z: distancia recorrida a lo largo de la dirección de propagación, desde el origen al frente de fase. e− Onda plana propagándose en dirección arbitraria, con E en dirección arbitraria jkz

e

− jkz

e



− jkd

d = ân R





kd = kân R = k R

aˆ n = aˆ x anx + aˆ y any + aˆ z anz

R = aˆ x x + aˆ y y + aˆ z z 

Vectores en la dirección de propagación 

k = k aˆ n

= aˆ x kanx + aˆ y kany + aˆ z kanz = aˆ x k x + aˆ y k y + aˆ z k z E ( R ) = E 0 e 





 

− jk R

¿Qué dirección puede llevar E0 para que sea onda plana?

∇ E = 0 ⇒ ∇( E 0 e 



 

− jk R

 

∇e

− jk R

= ∇e

) = 0 ⇒ E 0 ⋅ ∇(e 

− j ( k x x + k y y + k z z )

 

− jk R

)=0

=  

= − j ( k x â x + k y â y + k z â z )e

n d



= − jk e

− j ( k x x + k y y + k z z )



− jk R

=  



= − jk e 

− jk R

∇ E = 0 ⇒ E 0 ⋅ k = 0 ⇒ E 0 ⊥ k ⇒ E 0 ⊥ ân 








III.2.5 Ondas TEM en dirección arbitraria ¿Cómo es H? 



∇ × E = ∇ × ( E 0e



− jk R

) = ∇e



− jk R





× E 0 = − jk e



− jk R







× E 0 = − jk × E 0e



− jk R







= − jk × E = − jk ân × E



  ∇ × E − jk 1 = H = ân × E = ân × E η (− jωµ ) (− jωµ ) 

Onda plana uniforme TEM: Transversal Electro Magnética 

E ⊥ ân

H ⊥ ân E ⊥ H E × H || ân









Caso general: 



∇ × E = − jωµ H ⇒ x



H =





| E | = η | H | 

Onda plana uniforme TEM:



∇× E (− jωµ )

∇ × H

H = 

1 η

ân × E 



∇ × H = jωε E ⇒ 



E = 

jωε

E = η H × ân 



z 30º E y

Ejemplo: el vacío, obtener los fasores E y H para una onda plana que se propaga en el plano xz con el campo eléctrico en dirección “y” Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

II.48

III.2.6 Polarización La polarización de una onda plana uniforme describe el comportamiento variable con el tiempo del vector intensidad de campo eléctrico en un punto determinado del espacio 

E ( z ) = aˆ x E 1 ( z ) + aˆ y E 2 ( z ) = aˆ x E 10 e − jkz + aˆ y E 20 e j e − jkz φ

Real (referencia de fase)

Desfase

φ = 0, π Polarización lineal 

E ( z = 0, t ) = aˆ x E 10 cos ω t + aˆ y E 20 cos ω t

La dirección de E no cambia El módulo de E sí cambia En determinados instantes, E=0


III.2.6 Polarización 

− E ( z ) = aˆ x E 1 ( z ) + aˆ y E 2 ( z ) = aˆ x E 10 e

jkz

+ aˆ y E 20 e jφ e − jkz

t+ /2 t

Polarización circular

φ =



π 2

E 10 = E 20 = E 0 t- /2



E ( z = 0, t ) = aˆ x E 0 cos ω t + aˆ y E 0 cos(ω t  π / 2) D



E ( z = 0, t ) = aˆ x E 0 cos ω t ± aˆ y E 0 senω t

L

La dirección de E cambia El módulo de E no cambia 

E ( z ) = E 0 e − jkz ( aˆ x  jaˆ y )  

Para propagación en dirección arbitraria:

E ( R ) = E 0 e

 

− jk an R

( aˆ1

ˆ2 )  ja

Signo - : Dextrógira Signo + : Levógira con aˆ1 × aˆ 2 = aˆ n




Polarización elíptica referida a los ejes principales

jkz

φ = 



+ aˆ y E 20 e jφ e − jkz π

E 10 ≠ E 20

2

E ( z = 0, t ) = aˆ x E 10 cos ω t + aˆ y E 20 cos(ω t  π / 2) 

E ( z = 0, t ) = aˆ x E 10 cos ω t ± aˆ y E 20 senω t E 12 2 E 10

D

+

E 22 2 E 20

=1

L

La dirección de E cambia El módulo de E cambia (máximo y mínimo) 

− jkz E ( z ) = e ( E 10 aˆ x  jE 20 aˆ y )

Signo - : Dextrógira Signo + : Levógira Para propagación en dirección arbitraria:  

E ( R ) = e

 

− jk a n R

( E 10 aˆ1

 jE 20 aˆ 2 )

con aˆ1 × aˆ 2 = aˆ n




jkz


φ ≠

Polarización elíptica general

D

E 20



π 2

,0, π

E 10 ≠ E 20

L

La dirección de E cambia El módulo de E cambia (máximo y mínimo) E 10

Ejemplo: describir la polarización y obtener el fasor H de una onda que se propaga en el vacío cuyo campo eléctrico está descrito por el fasor: 

E ( z ) = ( aˆ x 4e j

π / 6

+ aˆ y 2e jπ / 4 ) e− jkz



E ( z ) = aˆ x E 1 ( z ) + aˆ y E 2 ( z ) = aˆ x E 10 e

− jkz


Resumen


III.2.6 Polarización Una antena lineal recibe señal de una onda con polarización circular con independencia de su orientación relativa (y viceversa)

En enlaces de satélite es común que los canales “ uplink ” y “downlink ” funcionen con polarizaciones distintas (RHCP/LHCP, V/H…) En óptica, los filtros polarizadores permiten eliminar reflexiones, estudiar materiales… R-lemonene

L-lemonene

Inclusión de mica en cuarzo


III.2.7 Ondas planas en medios con pérdidas Pérdidas en conductores: en el caso armónico pueden tratarse como dieléctricos con permitividad compleja

 σ   E = jωε c E ∇ × H = (σ + jωε ) E = jω  ε + j ω   







ε c = ε − j

σ   = ε 1 − j  ω ωε  

σ

Pérdidas en dieléctricos reales: desfase entre el campo eléctrico de excitación y la polarización, que se modela como una permitividad compleja

 

ε c = ε '− jε ' ' = ε ' 1 − j

ε ' ' 

 ε ' 

ε ' y ε ' ' > 0

Caso general: muchos dieléctricos presentan una conductividad residual. Es difícil separar. permitividad compleja conductividad equivalente σ ≡ ωε ' '

tan δ c = ε ' ' ε ' = σ ωε 100 MHz

Teflón: tan δ= Agua 25º: tan δ=

2x10-4 4.4x10-3

3GHz

10 GHz

15x10-4 1.5x10-4 0.131 0.429

100 MHz

2.4x10-6 1.9x10-3

3GHz

10 GHz

5.5x10-4 1.8x10-4 σ(S/m) 1.68 15.6 σ(S/m)


II.55

III.2.7 Ondas planas en medios con pérdidas La dependencia armónica con el tiempo de un medio con pérdidas puede realizarse sustituyendo el número de ondas y la impedancia característica por los correspondientes valores complejos: Número de ondas complejo: 



k c = ω µε c = k r − jk i

∇ 2 E + k c2 ⋅ E = 0

k r y k i > 0

positivas

e

− jk c z

= e − jk z e − j ( − jk ) z = e − jk z e − k z i

r

r

Propagación

i

Atenuación

Impedancia característica compleja:

η c = E x H y

µ jθ = η c e η ε c

= η c

Desfase entre E y H

Relación entre módulos de E y H II.56 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

III.2.8 Constante de propagación e impedancia característica Por compatibilidad con líneas de transmisión, definimos una constante de propagación compleja

 

γ = jk c = α + j β = jω µε 1 − j

2



∇ E+ Para una onda plana:

k c2

1 / 2

σ 

 ωε 

1 / 2

ε ' ' 

 = jω µε ' 1 − j  ε '  





⋅E =0

d 2 E x dz

2

α y β positivas 

∇2 E − γ 2 ⋅ E = 0

E x = E 0+ e −γ z + E 0− e + γ z

= γ 2 E x

E x = E 0 e −γ z = E 0 e −α z e − jβ z β =2π / λ constante de fase (rad/m)

α constante de atenuación (Np/m) Se usa a veces en dB/m: α [dB / m] = 20 log10 eα [ Np / m ] = α [ Np / m] 20 log10 e = 8.686 α [ Np / m]


III.2.8 Constante de propagación e impedancia característica Dieléctricos con bajas pérdidas:  

ε ' ' ε '

1 / 2

γ = α + j β = jω µε ' 1 − j

ε ' ' 

<< 1 ≡

σ ωε

<< 1

Aproximación: para a<<1

 ε ' 

(1 + a )1 / 2 ≅ 1 +

1

a−

2 1

(1 + a )−1 / 2 ≅ 1 −

2

1

a + ...

8 1

a+

8

2

a → − j

ε ' ' ε '

a 2 + ...

2  ε ' ' 1  ε ' '   +    γ = α + j β ≅ jω µε ' 1 − j 2 ' 8  ε '   ε  

α = Re[γ ] ≅

ωε ' '

µ

2

ε '

 1  ε ' '  2  β = Im[γ ] ≅ ω µε ' 1 +    ≅ ω µε '  8  ε '  

 1  ε ' '  2  1 − ≅ 1 u p = ≅     β µε '  8  ε '   µε ' ω

atenuación no nula

η c =

µ  ε ' '  1 − j  ε '  ε ' 

−1 / 2

≅

1

µ  ε ' '  1 + j  2ε '  ε ' 

Desfase entre E y H no nulo II.58 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

III.2.8 Constante de propagación e impedancia característica Dieléctricos con bajas pérdidas: ε ' ' ε '

≈ 10 - 4 a 10 -2 << 1

Ejemplo: comparación de soluciones exactas y aproximadas 1 GHz, ε’=2.25 ε0 tanδ=10-3

atenuación no nula

rad/m

x

Np/m

=251+j0.126=251 e j0.029º

Exacto

31.43768313336169

0.01571883763

251.153417+j 0.125576677

Aprox

31.43768313336292 0.01571883960

251.153511+j 0.125576755

Ideal

31.43767920365302

251.153511+j 0.000000000

0.00000000000

Atención: aunque α sea pequeño, αd puede no serlo.


III.2.8 Constante de propagación e impedancia característica 1 / 2

Buenos conductores σ

σ ωε

σ   γ = α + j β = jω µε 1 − j  ωε  

>> 1

>> 1 ωε

γ = α + j β ≅

1 − j

1 + j 2

α = β =

ωµσ =

ωµσ

2

=

ωµσ

2

σ ωε

≈ − j

(1 + j ) =

σ ωε

1 δ

µ

=

u p

ε c

=

ω β

α

≅ (1 + j ) = σ

≅

2ω µσ

σ ωε

σ

− j =

e

ωε

− jπ / 4

=

δ =

(1 + j )

σ 1 − j ωε

2

2 ωµσ

1 profundidad de penetración espesor pelicular

δ

Desfase entre E y H : 45º

η c

=

ωµ jπ / 4 e σ

δ =

λ =

1

=

1

α β 2π β

=

=

u p f

λ

(m)

2π =2

π f µσ

(m)

( m / s ) “muy pequeñas”


III.2.8 Constante de propagación e impedancia característica σ

Buenos conductores

α = β =

>> 1 ωε

ωµσ

2

=

1

u p

δ

≅

2ω

η c =

µσ

ωµ jπ / 4 e σ

1

e

0.5

(S/m) 50 Hz

1 MHz

1 GHz

Cu

5.8x107

2x1016

1x1012

1x109

Al

3.5x107

1.3x1016

6.4x1011

6.4x108

− z / δ

cos( z/ δ )

0

-0.5

Fe (µr 103)

1.0x107

3.6x1015

1.8x1011

1.8x108 -1 0

0.25

0.75

1

z

µr m

Np/m

50 Hz

1 MHz

1 GHz

50 Hz

Cu

9300

66.1

2.09

107

Al

12000

85

2.66

83

711

5

0.16

1400

Fe ( 103)

0.5

1 MHz

up (m/s) 50 Hz

1 MHz

1 GHz

50 Hz

1 MHz

1 GHz

1.5x10 4 4.8x105

2.93

415

13x103

0.0026

0.37

11.7

1.2x104 3.7x105

3.71

531

17x103

0.0033

0.47

14.9

0.22

31.6

1000

0.2

28

889

2x10 5

1 GHz

| | (m )

6.3x106


III.2.9 Propagación en gases ionizados

Nova Scotia, Canada

60 m

Marconi, 1902 300-500 kHz 75 kW

Cornwall, Inglaterra

2900 km…sin visión directa


III.2.9 Propagación en gases ionizados Ionosfera: región de la alta atmósfera (80-500 km) a muy baja presión con gases ionizados por la radiación solar (plasma “en equilibrio”) formado por iones positivos y electrones (entre 1010 y 10 12 iones /m3) La ionosfera afecta a la propagación de las ondas electromagnéticas y por tanto a las telecomunicaciones. Como los electrones son mucho más ligeros que los iones positivos, están más acelerados por los campos eléctricos de las ondas electromagnéticas que pasan por la ionosfera. Se puede estudiar el efecto de la ionosfera o el plasma en la propagación de las ondas en un modelo simplificado: considerando únicamente el efecto del campo eléctrico sobre los electrones.

i+

inmóvil + e- oscilando = dipolo oscilante

E x 







− e E = me a = me ( jω ) 2 x = − meω 2 x 

x =

e meω 2







E ⇒ p = −e x

ω p = 2π f p =

    Ne 2   Ne 2   E E ⇒ D = ε 0 E + P = ε 0 1 − ⇒ P = N p = − 2  ω meω 2 m e   

Ne 2 meε 0



 ω p2   f p2  ε p = ε 0 1 − 2  = ε 0 1 − 2   ω   f     

Frecuencia del plasma Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

puede ser negativa

II.63

III.2.9 Propagación en gases ionizados i onizados γ p = α + j β = jω ε p µ 0 = jω ε 0 µ 0

 f p2  ε p = ε 0 1 − 2     f 

Si f < f p

η p =

µ 0 / ε p =

1 − ( f p / f ) 2

η 0 1 − ( f p / f ) 2

⇒ γ p real puro y η p imaginario puro

⇒

Atenuación Atenuación sin propagación “rebote ionosférico”

f p ≈ 9 N

Hz

⇓ 0.9 a 9 MHz

Si f > f p

⇒ γ p imaginario puro y η p real puro ⇒

Propagación sin atenuación II.64

Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected] ([email protected]))

III.2.10 Velocidad de grupo Velocidad de fase: u p velocidad de la onda monocromática. En medios reales, dispersivos, dispersivos, depende de la frecuencia. Velocidad de grupo: ug velocidad de avance de la envolvente del “paquete de ondas”. Ejemplo: paquete formado por la superposición de dos ondas de igual amplitud y frecuencias ligeramente distintas f 0 ±∆ f y por tanto con β 0 ±∆β

u p =

ω 0 β 0

2 A cos(∆ω t − ∆ β z ) cos(ω 0t − β 0 z ) envolvente ug =

d  ω  1 ω du p  = = − 2  u p  u p u p d ω d ω d ω   d β

∆ω 1 1 = ≈ ∆ β ∆ β / ∆ω d β / d ω

u p

ug =

1−

ω du p u p d ω


III.2.10 Velocidad de grupo u p

ug =

1−

Dispersión: Dispersión: clasificación de los medios

ω du p u p d ω

Medios no dispersivos: du p / d d ω ω=0 = 0 Medios dispersivos dispersivos:: ug ≠ u p



ug = u p situación ideal (vacío, dieléctricos ideales…)

el paquete de ondas se dispersa al propagarse

Dispersión normal: du p / d dω

<0

Dispersión anómala: du p / d dω

>0



ug < u p



ug > u p

buenos conductores


III.2.11 Energía y vector de Poynting Vector de Poynting: Poynting: vector de densidad de potencia asociado al campo electromagnético





P

=



[P ] [ E ][][ H ]

E × H = P ân

=

V A =

mm

W =

m

2

Intensidad de la onda electromagnética  

Producto  hay que trabajar en el dominio temporal  hay

P ( r , t )

Teorema de Poynting: Poynting : conservación de la energía

 

 

= E (r ,t) × H (r ,t )

Tª de la divergencia

∫

Entra potencia potencia



P

S

⋅ d s



= ∫ ∇P dv 

V

Flujo del vector de Poynting

•

Positivo: sale más potencia de la que entra a) disminuye la energía almacenada b) hay una fuente dentro

Sale potencia

•

Negativo: entra más potencia de la que sale a) aumenta la energía almacenada b) se disipa energía dentro


III.2.11 Energía y vector de Poynting ∇P = ∇( E × H ) = H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H ) 











∇ × E = −

∂ B ∂t



∂ D ∂t 







∇ × H = J + 











D = ε E B = µ H

∫



∂  1 2 1 2   ε E + µ H  − σ E 2 ∂t  2 2 



J = σ E

( E × H )d s = − 

∇P = −





s

∂  1 2 1 2  ε µ + E H dv − ∫ σ E 2 dv   ∫ V ∂t V  2 2 

Densidad de…

1 2 ε E 2 1 H 2 Energía magnética wm = µ 2 Energía eléctrica

Potencia disipada

we

pσ

=

= σ E 2

J/m 3

J/m 3 W/m 3 Variación de la energía electromagnética almacenada en el volumen Potencia óhmica disipada en el volumen

Flujo del vector (cambiado de signo)

− ∫ P ⋅ d s = 

S



∂ (we + wm )dv + ∫V pσ dv ∫ V ∂t II.68


III.2.11 Energía y vector de Poynting Valor medio y valor instantáneo del vector de Poynting Valor instantáneo para una onda plana uniforme con polarización lineal: 

E (z,t) = Re[â x E 0 e 

H (z,t) = Re[â y  P (z,t)

= â z

−α z − j β z jω t

e

e

E 0

η c e

E 02

| η c |

e

jθ η

− 2α z

e

] = â x E 0 e

−α z − j β z jω t

e

e

−α z

] = â y

E 0

η c

e

−α z

P (z,t)

Sin pérdidas:

= â z

2η



= E (z,t) × H (z,t )

cos(ω t − β − θ η ) E 02

2 | η c |

e

− 2α z

atenuación E 02

P ( z , t )



z ) cos(ω t − β

z − θ η )cos(ω t − β z ) = â z cos(ω t − β





[cosθ + cos(2ω t − 2 β z − θ )] η

constante

η

frecuencia doble

[1 + cos(2ω t − 2β z )]

Valor medio para el mismo caso:  P av (z)

=

1 T

∫

T

0

 P (z , t)dt

= â z



Sin pérdidas:

P av (z)

E 02

2 | η c |

= â z

e

− 2α z

E 02 1 T   − 2α z cosθ η + T ∫0 cos(2ω t − 2 β z − θ η )dt  = â z 2 | η | cosθ η e c

E 02

2η


III.2.11 Energía y vector de Poynting Re(C 1 ) =

C 1 + C 1*

(C 1 ⋅ C 2 )* = C 1* ⋅ C 2*

2

P ( z , t )

Valor medio del vector de Poynting: caso general 

P ( z , t )

[



= Re E (z)e

jω t





]× Re[ H (z )e ] = jω t





E (z )e

jω t



+ E (z )e *

2

= E (z,t) × H (z,t )



− jω t

×



H (z )e

jω t



+ H (z )* e − jω t 2

       1  j 2ω t * * * E ( z ) × H ( z ) e P ( z , t ) = + E ( z ) × H ( z ) + E ( z ) × H ( z ) + E ( z ) × H * ( z )e j 2ω t 4 

(

(





2 Re E ( z ) × H * ( z )

)

)

Se anula al promediar a un periodo

 P av (z)

=

1 2

(





Re E × H *

)

Muchas veces es lo que hace falta obtener (cobertura…)

1 ∂  1 2  2 − ∫ P d s = ∫  ε E 2 + µ H dv + ∫ σ E dv V 2 ∂t V  2  s 







− ∫ P av d s = s

1 2

∫

V

2

σ E dv II.70


III.2.11 Energía y vector de Poynting Ejemplo (3D): radiación del dipolo elemental 

z



E ( R,θ )  Idl  = âϕ  j H ( R, θ ) = âϕ θ senθ e − jβ R η 0  2λ R 

θ dl

 60 π Idl  senθ e − jβ R λ R  

E ( R, θ ) = âθ E θ ( R,θ ) = âθ  j

I

120π Obtener el valor medio de 

 P av

1





y la potencia total radiada 2

 Idl  2 Re E × H = â R 15π  P av (R, θ ) =  sen θ 2  λ R  2  Idl  2  2  ϕ = 2π θ =π  2 2  dl  2 2 15π  = ∫ P (R, θ )d s = ∫ sen θ  R senθ d θ d ϕ = 40π  I = I Rrad   ∫ ϕ =0 θ = 0 S  λ   λ  

(

*

)

av


III.3 Reflexión y refracción de ondas electromagnéticas planas 3.3.1 Incidencia normal sobre planos de discontinuidad 3.3.2 Coeficientes de reflexión y transmisión en incidencia normal 3.3.3 Razón de onda estacionaria 3.3.4 Leyes de Snell de la reflexión y la refracción 3.3.5 Reflexión total 3.3.6 Coeficientes de reflexión y transmisión para polarización perpendicular y paralela al plano de incidencia. Ángulo de Brewster.


III.3.1 Incidencia normal sobre planos de discontinuidad 

E t ( z ) = a x E t 0 e 



E r ( z ) = a x E r 0 e 

jβ 1 z

H r ( z ) = (− a z ) × 









E i 0

η 1

E r ( z ) = − a y 

η 1

E i ( z ) = a x E i 0 e

H i ( z ) = a y



1





H t ( z ) = (a z ) × 

E r 0

η 1

e

jβ 1z

− jβ 2 z

1 η 2

 

E t ( z ) = a y

E t 0

η 2

e

− jβ 2 z

− jβ 1 z

e

− jβ 1 z


III.3.2 Coeficientes de reflexión y transmisión en incidencia normal Condiciones de frontera: en z=0 E i 0 + E r 0

E t1=E t2 H t1=H t2 E i 0 − E r 0

= E t 0

=

η 1

E r 0

=

η 2 − η 1 η 2 + η 1

E t 0

E i 0

Coeficiente de reflexión Γ=

E r 0 E i 0

=

η 2 − η 1 η 2 + η 1

∈ [ −1,1]

=

2η 2 η 2 + η 1

E t 0 η 2

E i 0

Coeficiente de transmisión τ =

E t 0 E i 0

=

2η 2 η 2 + η 1

∈ [0,2]

No son independientes: conservación de la energía 1 + Γ = τ

¿Qué sucede con una onda con polarización circular o elíptica? II.41 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

III.3.2 Coeficientes de reflexión y transmisión en incidencia normal i av



P

= â z

2

E i 0

r av



P

2η 1

= −â z

2

E r 0

t av



P

2η 1

= â z

2

E t 0

1 + Γ = τ

2η 2 2

E i 0

−

2η 1 1 − Γ2

=

η 1

(1 + Γ) 2

η 2

⇒

(1 + Γ)(1 − Γ)

η 1

=

(1 + Γ)(1 + Γ)

η 2

Γ 2 E i20 2η 1

1+ Γ

⇒

=

1− Γ

=

τ 2 E i20

η 2

2η 2

inmediato

η 1

Coeficiente de reflexión Coeficiente de transmisión de potencia r

R =

P av i av

P

(η 2 − η 1 )2 =Γ = (η 2 + η 1 )2

t

T =

2

Ejemplo: medio 1 εr1 =1  medio 2 εr2 =4 Γ=−

1 3

τ =

2 3

R =

1 9

T =

8 9

P av i av

P

=

η 1 η 2

τ 2 =

4η 1η 2

(η 2 + η 1 )

2

⇒ R + T = 1

medio 1 εr1 =4  medio 2 εr2 =1 Γ=

1 3

τ =

4 3


R =

1 9

T =

8 9

II.42

III.3.3 Razón de onda estacionaria ¿Cómo es el campo electromagnético total en cada medio? 

E 2 = a xτ E i 0 e 



H 2 = a y 





τ E i 0 η 2

− j β 2 z

e

= a x (1 + Γ ) E i 0e − j β 2 z 

− j β 2 z

= a y 



E 1 = E i + E r = a x ( E i 0e 







H 1 = H i + H r = a y 



[

E 1 = a x ( E i 0e 

− j β 1 z

1 η 1

(1 + Γ ) E i 0 η 2

− j β 1 z

+ Γ E i 0 e

e

Onda viajera

− j β 2 z

j β 1 z

)

= a x E i 0e − j β 1 z (1 + Γe j 2 β 1 z ) 

( E i 0 e − j β 1 z − Γ E i 0 e j β 1 z ) = a y E i 0 e − j β 1 z (1 − Γe j 2 β 1 z )

Onda parcialmente estacionaria



η 1

]

[

+ Γ E i 0e j β 1 z ) + (Γ E i 0e − j β 1 z − Γ E i 0 e − j β 1 z ) = a x (1 + Γ) E i 0 e − j β 1 z + Γ E i 0 (e j β 1 z − e − jβ 1 z ) 

[

E 1 = a x (1 + Γ) E i 0 e 

Onda viajera

− j β 1 z



+ j 2Γ E i 0 sen β 1 z

]

]

Onda estacionaria


III.3.3 Razón de onda estacionaria, S •Máximos y mínimos de |E| 

E 1 = a x E i 0 e 

− j β 1 z

(1 + Γe

j 2 β 1 z

)

Amplitud variable 

H 1 = a y 

E i 0

η 1

•Máximos separados λ /2 •Mínimos separados λ /2



S =

E 1 E 1

•|E| máximo en z=0 si Γ >0

e

− j β 1 z

(1 − Γe j 2 β 1 z )

•|E| mínimo en z=0 si Γ <0

Γ∈

max



min

[- 1,1]

=

1+

Γ

1−

Γ

, S ∈ [1, ∞]

•Comportamiento de |H| contrario

S se expresa a menudo en dB. Es una medida de la presencia de reflexiones, muchas veces indeseadas.

Γ =-0.6

Γ =0.5

E/E i0

E/E i0

z /λ Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

/λ z

II.44

III.3.3 Incidencia normal sobre un buen conductor Incidencia normal sobre un buen conductor: 

E 1 = a x E i 0 (e 



H 1 = a y 

E i 0

η 1

− j β 1 z

η0

Γ  -1

− e j β 1 z ) = −a x 2 jE i 0 sen β 1 z

τ0



E i 0

(e − j β 1 z + e j β 1 z ) = a y 2 

η 1

cos β 1 z

Onda totalmente estacionaria

Ejemplo: Incidencia desde el vacío sobre una placa de aluminio. Corte de aluminio, 28 THz (LASER CO 2) ηAl ≅1.8 (1+j) Ω

η Al ≈ 1.8(1 + j ) Ω η 0 ≈ 377 Ω τ = Γ=

2η Al η Al + η 0 η Al − η 0 η Al + η 0

≈

2η Al η 0

= 0.0095(1 + j )

= τ − 1 ≈ −0.9905 + j 0.0094


III.3.3 Incidencia normal sobre un buen conductor Incidencia normal sobre un buen conductor: Γ  -1 τ0

E/ E i0

Γ =

S − 1 S + 1

H/H i0

II.46 z /λ


III.3.4 Incidencia oblicua sobre planos de discontinuidad Incidencia oblícua sobre una superficie plana ideal: Reflexión

Refracción

Plano de incidencia: Medio 2

Medio 1 â kr θ r

â n

θ i

â ki

â kt θ t

• â n : normal a la superficie de separación • â ki : dirección de la onda incidente •θ i : ángulo de incidencia • â kr : dirección de la onda reflejada •θ r : ángulo de reflexión • â kt : dirección de la onda transmitida •θ t : ángulo de t ransmisión (o refracción) II.47


III.3.4 Leyes de Snell de la reflexión y la refracción El cambio de dirección se debe al cambio (o no) de la velocidad de propagación.

Índice de refracción, n:

n=

c u p

=

εµ ε 0 µ 0

=

β = ε r µ r β 0

(=

ε r en medios no magnéticos

)


III.3.4 Leyes de Snell de la reflexión y la refracción Ley de Snell de la reflexión: Las ondas incidente y reflejada viajan a la misma velocidad: recorren la misma distancia en el mismo tiempo. OA' = AO ' ⇒ OO ' senθ r = OO ' senθ i

θ r = θ i

Ley de Snell de la refracción Las ondas incidente y reflejada viajan a distinta velocidad

AO' u p1

=

OB u p 2

senθ t senθ i

=

⇒

OO ' senθ i

u p 2 u p1

u p1

=

n β = 1 = 1 β 2 n2

OO ' senθ t u p 2

 η 2   =   η 1 

n1senθ i = n2 senθ t Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

II.49

III.3.5 Reflexión total  n1

n1senθ i = n2 senθ t ⇒ θ t = asen

 n2

Reflexión total. Ángulo crítico



senθ i 

n1 n2



Si n1>n2…puede haber “problemas”

senθ c = 1 ⇒ θ c = asen( n2 / n1 )

θ i > θ c : reflexión total


III.3.5 Reflexión total

La fibra óptica Fibra de silicio Infrarrojo: 850, 1300 y 1550 nm ¿cuál es el mínimo valor de εr1 para que cualquier rayo incidente quede “guiado”? ¿Qué pasa si se curva la fibra?


III.3.5 Reflexión total Pérdidas por curvatura e imperfecciones


III.3.5 Reflexión total Onda evanescente superficial El campo electromagnético NO es nulo en el medio 2 Si n1>n2 y θi > θc entonces: senθ t =

n1 n2

senθ i > 1

y

cosθ t = 1 − sen 2θ t = ± j ( n1 / n2 ) 2 sen 2θ i − 1

Si se consideran parámetros complejos, y tomando el signo ‘-’ de la raíz, la onda en el medio 2 se propaga como: − j β 2 âkt R 

e

= e − j β ( xsenθ + z cosθ ) = e −α z e − jβ 2

t

con α 2 = β 2 ( n1 / n2 ) 2 sen 2θ i − 1

t

2 x x

2

y β 2 x = β 2 ( n1 / n2 ) senθ i

Onda plana no uniforme, que se atenúa rápidamente al entrar en (2)

Ejemplo: Aire 20º

θ c = asen(1 / 9) = 6.38º < 20º : reflexión total

Agua, εr =81 f=27 MHz

β 2 =

ω 2π 27 × 106 = = 0.565 rad/m 8 c 3 × 10

" senθ t " = 9sen 20º = 3.08 " cosθ t " = 1 − sen 2θ t = − j 2.91

Calcule θc , β2x en rad/m y α2 en Np/m y dB/m Calcule λaire = c/f y λaire_evan = 2π / β2x Calcule la atenuación en aire a 1,10 y 1 00 cm .

β 2x = 3.08 β 2 = 1.74 rad/m α 2 = 2.91 β 2 = 1.64 Np/m = 14.3 dB/m λ aire = 2π / β 2 = 11.1 m 0.98

0.85

λ aire_evan = 2π / β 2x = 3.61 m

0.19


II.53

III.4 Ondas

en medios elásticos

3.4.1 Ondas en una cuerda tensa 3.4.2 Ondas sonoras en el aire


III.4.1 Ondas

transversales en una cuerda tensa

¿De qué depende cómo suena una cuerda ? Tensión FT [N] Grosor y material: densidad lineal Longitud L [m] Caja de resonancia

 [kg/m]


II.2

III.4.1 Ondas


Ecuación de ondas transversales en una cuerda tensa. Velocidad de propagación

Para desplazamientos verticales (y por tanto ángulos) pequeños: dm

tan  1

  Δ x

 y      x  x

tan  2

 y      x  x   x

Equilibrio en dirección x:

 F  F x

T 2

cos  2  F T 1 cos  1

 F T 2  F T 1  0  F T 2  F T 1  F T

Desplazamiento en dirección y:

 2 y  F y  F T sen 2  F T sen 1  F T (tan  2  tan  1 )   Δ x t 2 Ecuación de ondas  F T

 y  t 2 2

(tan  2

 tan  1 )  x

  y    y     x      x   2 y x x x   2  x  x

Velocidad de propagación

v 

 2 y   2 y  0  x 2 F T t 2

F T  II.3


III.4.1 Ondas


 2 y 1  2 y  0  x 2 v 2 t 2

solución x  y

 f(x,t)  f ( g )  f(t  x / v )

No confundir las DOS velocidades:

v 

F T

vtr 

 y t

Impedancia característica o impedancia de onda:

Z  

F T sen   y

t



F T tan    F T  y

t Z 

 y  x   F T  y t F T v

Propagación en dirección x No depende de la amplitud



Z 

Desplazamiento en dirección y Depende de la amplitud

F Ty vtr

[Ns/m]

 f  g  f   1     g  x  g  v  F T   F T    f  g  f v (1)  g t  g

  F T   v

F T F T 



F T 

[Ns/m]


II.4

III.4.1 Ondas


La fuerza se expresa a veces en kg: debe multiplicarse por 9.8 para obtenerla en N

Material

densidad, kg/m3

Diámetro, mm Tensión, kg , kg/m

0,25 1

Diámetro, mm Tensión, kg

v, m/s

Z, Ns/m

, kg/m

0,5 10

v, m/s

Z, Ns/m

Nylon

1040

5,11E-05

438

2,24E-02

2,04E-04

693

1,41E-01

Nylgut

1260

6,19E-05

398

2,46E-02

2,47E-04

629

1,56E-01

Fibra de Carbono

1790

8,79E-05

334

2,93E-02

3,51E-04

528

1,86E-01

Acero

7800

3,83E-04

160

6,13E-02

1,53E-03

253

3,87E-01

Bronce (Cu/Sn)

8600

4,22E-04

152

6,43E-02

1,69E-03

241

4,07E-01

Piano de concierto moderno: 220 cuerdas a unos 120 kg de tensión

TENSIÓN TOTAL: 25 toneladas


III.4.1 Ondas


Ondas armónicas en la cuerda tensa y ( x , t )  A cos(  t  kx ) vtr 

k 

[m]

 y   A  sen ( t  kx ) t

 v

 2 f

 F T

[m/s]

Energía asociada a las ondas en la cuerda tensa

Calculamos la potencia instantánea y media aportada por la tensión a un elemento de cuerda: 

P ( x , t ) P av



 F T  vtr  F Ty vtr  Zv tr 2   v 2 A 2sen 2 ( t  kx )

1

1

2

2

  v 2 A 2  Z  2 A 2

La potencia media aportada en un tiempo t se propaga una longitud  x =v t con lo que podemos asociar a la onda una densidad lineal de energía media:

ue



P av  t

 x



P av  t

v  t



1 2

 2 A 2

J/m


III.4.1 Ondas


Reflexión y transmisión

Consideremos dos cuerdas con distintas densidades. Usaremos fasores.

y v1  1

 Ai e  jk x y r  Ar e jk x  y t  At e jk x y i

v2  2

1

1

x

2

x=0

Condiciones de frontera: continuidad en x=0 Amplitud igual a ambos lados

y1 ( x

 0 )  Ai  Ar  y 2 ( x  0 )  At 

Ai

 Ar  At

Pendiente igual a ambos lados

  y1     y 2     x    x  x  0 x  0

-jk 1 ( Ai

 Ar )  -jk 2 At 

 v1

( Ai

 Ar ) 

 At v2



( Ai

 Ar ) v1



At v2

Coeficientes de reflexión y transmisión:

r 

Ar Ai



 v1 v 2  v1 v2

 

At Ai



2v2 v2

 v1

 1  r


II.7

III.4.1 Ondas Ligera


pesada: v 1 > v 2 r<0

Frontera fija

v 2 =0 r =-1

Pesada

ligera : v 1< v 2

Frontera libre

v 2

∞

r>0

r=1


III.4.1 Ondas


Reflexión y transmisión: conservación de la energía i

P av r

P av t

P av

1

 Z 1 2 Ai 2 

1 F T

2

2 v1

1

1 F T

2

2 v1

1

1 F T

2

2 v2

 Z 1 2 Ar 2   Z 2 2 At 2 

Ejemplo:

 2 Ai

2

2

 2 Ar

2

 2 At

2

 v  v1   R  i  r   2 v  v P av  2 1  2 t v1 2 v1  2v2  4v1v2 P av      T  i  v2 v2  v2  v1  (v2  v1 ) 2 P av R  T  1 r

P av



1 F T



1 F T

2 v1 2 v2

 2 r 2 Ai

2

 2 2 Ai

2

2

Obtenga r, , R , T y la relación

1/2


III.4.1 Ondas


Ondas estacionarias. Modos de vibración. L FT

Cuerda fija por ambos extremos ¿Qué frecuencias de vibración son posibles?

 v Ondas estacionarias con nodos en x=0 y x=L Modo fundamental o primer armónico: f 1= v/2L

Armónicos : f n= n f 1 =n v/2L

Espectro de frecuencias de resonancia Otros sistemas vibrantes tienen un espectro cuyas frecuencias no son múltiplos enteros de la fundamental.

Ejemplo: tensión necesaria para que una cuerda de acero (7.8 g/cm3) de 25 cm de largo y 0.25 mm de diámetro tenga su modo fundamental a 880 Hz. II.10 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

III.4.1 Ondas


Ondas estacionarias. Modos de vibración.

Excitación de distintos armónicos según la pulsación.

Respuesta compleja según las

resonancias.


III.4.2 Ondas

sonoras en el aire

El sonido. El sonido es una vibración mecánica que se transmite a través de un medio elástico, capaz de producir una sensación auditiva debido al cambio de presión que ejerce sobre el oído. En el aire se propaga como pequeñas fluctuaciones de la presión atmosférica, por encima y por debajo del valor estático, acompañadas de pequeños desplazamientos de las moléculas de aire.


III.4.2 Ondas

sonoras en el aire

El aire Es una mezcla de gases diatómicos: 78% N2, 21% O2 con un 1% de otros gases (Ar, CO2, Ne,He) Densidad : 1.29 kg/m3 a 0º y 1 Atm. Presión atmosférica media al nivel del mar, a 0º C: 1.013x105 Pa [N/m2] = 1.033 kg/cm2…piel adulto: 1.5 a 2 m2… 15 a 20 ton.

Gases ideales:

Ecuación de estado: PV = n R T

Proceso isotermo: intercambio de calor con el entorno

•P: presión [Pa ], [N/m2] • PV=cte •V: volumen

[m3]

• N: nº de moles

Masa molecular del aire: M=28.8 g/mol

• PV=cte

•R: constante delos gases ideales, 8.314 J mol -1 K -1 •T: temperatura absoluta [K] T[º C ]≈ 273+T[K]

Proceso adiabático: sin intercambio de calor con el entorno

K Kelvin

γ = CP/CV

 = 1.4 para el aire (gas diatómico)

Las vibraciones sonoras en el aire son rápidas y la conductividad térmica del aire baja:

el sonido es un proceso adiabático II.13 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

III.4.2 Ondas sonoras en el aire Ondas sonoras en 1D: ondas planas

•P0: presión atmosférica • p: presión acústica , |p| << P0 •x: posición de equilibrio •y: desplazamiento desde la posición de equilibrio • Tubo de sección “A”

Buscamos las ecuaciones que nos permitan obtener y(x,t), p(x,t)


III.4.2 Ondas sonoras en el aire Ecuación de ondas en 1D

m

 A  x  0

2ª Ley de Newton: ( P 0  p ) A  ( P 0  p   p ) A    p A  A x  0

Proceso adiabático: PV   cte  dP V 

-

d ( PV  )  0 

  P  V  1dV 

 2 p  3 y   0  x 2 t 2  x

 2 p  3 y   P 0 2 t 2 t  x

dP P

 2 y  t 2

 p  2 y   0 2  x t

dP V   P  V  1dV  0 

 

dV V

 2 p  0  2 p 0  x 2  P 0 t 2



p P 0

 

A y A  x

Ec. de ondas con



v 

p

  P 0

 y  x

 P 0  0


III.4.2 Ondas sonoras en el aire Velocidad del sonido en el aire: PV = n R T , para n=1 y masa molecular M  =M/V=MP/(RT)

  P/

M=0.02895 kg

R= 8.314 J mol -1 K -1

v



 P 0  0



 RT M

=RT/M T=273+T c

v

 =1.4

 332  0.608 T c

Velocidad del sonido en otros medios elásticos De forma similar puede obtenerse la ecuación de ondas planas en 1D en medios elásticos sólidos o líquidos de modo que:

v 

B 

donde B es el módulo de compresibilidad del medio elástico, definido como

B



 P V / V II.16 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])

III.4.2 Ondas sonoras en el aire Ondas sonoras armónicas en 1D

k 

 v

Onda de presión:

 P 0

v

p

 0

 p 0 e

y

Onda de desplazamiento: Onda de velocidad:

u

 jkx

 y 0 e

 u0e

 jkx

u

Velocidad:



 y  j y t

 jkx

Relaciones entre las amplitudes:

u p 0

 j

y  u 0

 j

y 0

 y  p e p   P 0 0  x

 jkx

  P 0

 y   jk  P 0 y 0 e  x

 jkx

  j 0 v y0    0 v u 0

Impedancia acústica, Z 

p u



p0 u0

   0 v

Pa s/m 

Valor caracterís tico : 415 Pa s/m para el aire a 20º C 1.48  10 6

Pa s/m para agua a 20º C


III.4.2 Ondas sonoras en el aire Potencia y energía de las ondas sonoras: Obtendremos la densidad de energía acústica media por analogía con el caso de la cuerda tensa, sustituyendo  por 0 y A por y0:

ue

1

  2 A 2 J/m

1

1

2

2

 u ac   0 2 y 0 2 

2

 0 u 0

2

J/m 3

La energía que atraviesa una superficie de área S en un tiempo t será la energía almacenada en el volumen Svt y por tanto la potencia acústica que atraviesa la superficie S es: P av



u ac S v t

 t

 u ac S v Superposición de ondas sonoras:

Intensidad de las ondas sonoras: La intensidad de las ondas sonoras es la potencia por unidad de superficie: 2 P av 1 1 p 0 2 I   u ac v   0 v u 0  W/m 2

S

2

2  0 v

fuentes coherentes se suman amplitudes con la fase correspondiente. Para

Para fuentes

las

incoherentes se suman las

intensidades.

Ayuda: equivalencia con magnitudes eléctricas

•Presión acústica, p •Velocidad, u •Impedancia acústica Z =  0 v

  

Potencial, V Intensidad , I Impedancia eléctrica, Z II.18


III.4.2 Ondas sonoras en el aire Los valores de la intensidad de las ondas sonora tienen un rango dinámico muy amplio. En la práctica se usa una escala logarítmica (en dB) con el nivel de referencia en el umbral de audición a 1kHz: I 0=10-12 W/m2

Nivel de intensidad sonora

L I

 I   10 log 10   dB  I 0 

Los valores de la presión de las ondas sonora tienen un rango dinámico muy amplio. En la práctica se usa una escala logarítmica (en dB) con el nivel de referencia en el umbral de audición a 1kHz: p ref = 20 Pa (rms) = 20√2 Pa.

Nivel de presión sonora

SPL

 p   dB  20 log 10   p  ref 

FUENTE

Lw (dB)

p0 (Pa)

u0 (m/s)

y0 (m) f=1kHz

P oído (W) 1 cm2

Motor cohete, cercano

180

2,88E+04

6,94E+01

1,10E-02

1,00E+02

Despegue de un reactor, cercano

150

9,11E+02

2,20E+00

3,49E-04

1,00E-01

Ametralladora a 2 m

130

9,11E+01

2,20E-01

3,49E-05

1,00E-03

Umbral de dolor

120

2,88E+01

6,94E-02

1,10E-05

1,00E-04

Discoteca a todo volumen

110

Martillo neumático a 1 m

100

Sonómetro

Calcule los valores de amplitud de presión, 9,11E+00 2,20E-02 3,49E-06 velocidad y desplazamiento, y la 1,00E-05 potencia 2,88E+00 6,94E-03 1,10E-06 1,00E-06 total recibida por el oído para 0, 60 y 120 dB

Ambiente industrial ruidoso

90

9,11E-01

2,20E-03

3,49E-07

1,00E-07

Piano a 1 m con fuerza media

80

2,88E-01 Dato:

6,94E-04

1,10E-07

1,00E-08

Automóvil silencioso a 2 m

70

9,11E-02 2,20E-04 para aire a 20 ºC,

Conversación normal

60

3,49E-08 Z=415 Pa s/m Use la “equivalencia eléctrica” 2,88E-02 6,94E-05 1,10E-08

1,00E-10

Ruido urbano de noche

50

9,11E-03

1,00E-11

Biblioteca ¿Hypatia?

40

Altavoces “de 50 W” eléctricos: 2,88E-03 6,94E-06 1,10E-09

1,00E-12

Habitación interior (noche)

30

rendimiento < 2% 9,11E-04 2,20E-06

3,49E-10

1,00E-13

Estudio de grabación

20

2,88E-04

6,94E-07

1,10E-10

1,00E-14

Rumor de hojas

10

9,11E-05

2,20E-07

3,49E-11

1,00E-15

Umbral de audición a 1 kHz

0

2,88E-05

6,94E-08

1,10E-11

1,00E-16

2,20E-05

3,49E-09

1,00E-09


II.19

III.4.2 Ondas sonoras en el aire Percepción de la intensidad sonora: sensación sonora

Rango audible: 20 Hz-20 kHz

Micrófono: salida proporcional a p

Filtrado previo: dBA

Curvas de igual sensación sonora. Máxima sensibilidad alrededor de 4 kHz Yuki Mima and Kaoru Arakawa Cause Estimation of Younger Babies' Cries from the Frequency Analyses of the Voice - Classification of Hunger, Sleepiness, and Discomfort. International symposium on intelligent signal processing and communications (2006)


III.4.2 Ondas sonoras en el aire Pérdida de sensibilidad auditiva con la edad La sensibilidad en las bandas más altas del espectro comienza a disminuir a los 8 años de edad.

Hombres

Mujeres


III.4.2 Ondas sonoras en el aire Espectro de la voz humana

Frecuencia fundamental:

Nota más extrema

30-18.000 Hz Hombres 85-180 Hz

bajo Yuri Wichniakov Do# 1 49 Hz

Mujeres

165-255 Hz

soprano Mado Robin Do 6 2097 Hz

Teléfono


III.4.2 Ondas sonoras en el aire Rango audible

1.000-90.000

250-8.000 65-45.000

20-120.000

45-65.000

1.000-240.000

16-12.000


III.4.2 Ondas sonoras en el aire Reflexión y transmisión del sonido

•Onda incidente

Medio 2

Medio 1

pi

  1v1 Z 2   2 v 2 k 1   / v1 k 2   / v 2

Z 1

 pi 0 e  jk x

ui

1



Z 1

•Onda reflejada

p r  p r 0 e jk 1 x

x

p t  pt 0 e 

jk 2 x



u t 

pt 0

0

e

p r 0

u r 

•Onda transmitida

x

pi 0

Z 1

Z 2

jk 1 x

e jk 1 x

e

jk 2 x

Condiciones de frontera (en x=0): para que ambos medios se mantengan en contacto

 0)  pi 0  p r 0  p 2 ( x  0)  pt 0  pi 0  p r 0  pt 0 p  p r 0 p pi 0  p r 0 p  u 2 ( x  0)  t 0   t 0 u1 ( x  0 )  i 0

p1 ( x

Z 1

R



p r 0 p i 0



Z 2

Z 2  Z 1 Z 2  Z 1

p r 20 R



I r I i



2 Z 1 p

2 i0

2 Z 1

T 

 Z  Z    2 1   Z 2  Z 1 

p t 0 p i 0



Z 1

2 Z 2

Z 2

1  R

Z 2  Z 1

 T

p t 20

2

T 

I t I i



2 Z 2 p

2 i0



4 Z 1 Z 2 Z 2  Z 1

2 Z 1


R

 T  1 II.24

III.4.2 Ondas sonoras en el aire Reflexión en una pared elástica plana: Z 2 ∞ y R=1 Onda estacionaria con máximo de p de p y nulo de u en la frontera.

Ondas sonoras estacionarias

n=1

n=1

n=2

n=2

n=3

n=3

Tubo abierto por ambos extremos L f n

n

 n

n

2 v

n

f n / v

 1,2...

Armónicos pares e impares

2 L

f n

2

n

n

v

Tubo cerrado por un extremo L f n

 ( 2 n  1)

 ( 2 n  1)

f n

2 ( L  0 .3d )

Corrección por diámetro finito d

 n 4 v

 ( 2 n  1)

4

n

 1, 2...

Armónicos impares

4 L

 ( 2 n  1)

f n / v

v 4 ( L  0 .4 d )

Corrección por diámetro finito d


II.25

III.4.2 Ondas sonoras en el aire Ondas en 3D

La inten intensi sida dadd de la onda onda esfér esféric icaa dism dismin inuy uyee con con 1/r 1/r2

 2 p  0  2 p 0  x 2  P 0 t 2

 2 p -

1 v2

 2 p 0 t 2

 2 ( rp ) 1  2 p - 2 0 r r 2 v t 2

1

Caso Caso sencil sencillo lo de simetr simetría ía esféri esférica. ca. p p = p(r) Como los potenciales retardados

La pres presió iónn de la onda onda esfé esféri rica ca dism dismin inuy uyee con con 1/r 1/r

Soluciones armónicas (fasores):

p ( r ) 

p 0  e  jkr r



p 0  e  jkr r

 1  p 0  e  jkr  1  p 0  e  jkr   u ( r )   1   1  jkr  vr jkr   0    0 vr Z 

 jkr      0 v  jkr 1    II.26



Fuente puntual esférica radiador isótropo

Fuente dipolar más parecido a un altavoz real radiador direccional



Baja frecuenc frecuencia: ia: ka <1

“Altavoz”: Pistón circular de radio “a” en una pared plana infinita Media frecuenc frecuencia: ia: ka >1

Alta frecuenc frecuencia: ia: ka >>1

datos reales altavoz a=5 cm


ELECTROMAGNETISMO Y ONDAS Colección de problemas.

Tema II.1: Electrostática

1-® Dos cargas puntuales, Q 1 y Q2, están situadas en (0, 5, -l) y (0, -2, 6), respectivamente. Determine la relación entre Q1 y Q2 para que la fuerza total ejercida sobre una carga de prueba en el punto P(0, 2, 3) a) no tenga componente en y b) no tenga componente en z 2-® Tres cargas puntuales Q1 = -9 C, Q2 = 4 C y Q3 = -36 C se disponen en una línea recta. La distancia entre Q1 y Q3 es 9 cm. Se sabe que se puede seleccionar una posición para Q2 de forma que todas las cargas experimenten una fuerza nula. Determine esa posición. 3-® Calcule el potencial y a partir del mismo el campo eléctrico creado por un disco de radio b con densidad superficial de carga uniforme s, en un punto cualquiera del eje perpendicular al plano del disco. Determine así mismo la posición del punto P en el eje z más allá del cual el disco puede considerarse como carga puntual si el error en el cálculo de E no debe ser mayor que el 1%. 4-® Una línea de carga de densidad uniforme l forma un círculo de radio b que yace en el plano xy en el aire, con su centro en el origen. a) Encuentre la intensidad de campo eléctrico E en el punto (0, 0, h). b) ¿Con que valor de h en el apartado (a) se obtendrá la E máxima? ¿Cuál es este máximo? c) Explique por qué E tiene un máximo en esa posición. 5-® Una línea de carga con densidad uniforme l forma un semicírculo de radio b en la mitad superior del plano xy. Determine la magnitud y la dirección de la intensidad de campo eléctrico en el centro del semicírculo. 6- Una distribución esférica de carga  = 0[l - (R 2/b2)] existe en la región 0 ≤ R ≤ þ. Esta distribución de carga está rodeada concéntricanente por una capa conductora de radio interior R i (> b:) y radio exterior R 0. Determine E en todos los puntos. 7-® Dos superficies cilíndricas coaxiales de longitud infinita, r = a y r = b (b > a), tienen densidades superficiales de carga sa y sb, respectivamente, a) Determine E en todos los puntos. b) ¿Cuál debe ser la relación entre a y b para que E se anule para r > b? 8-® Determine el trabajo realizado para mover una carga de +5 C de P1 (1, 2, -4) a P2 (-2, 8, -4) en el campo E = axy + ayx a) a lo largo dc la parábola y =2x 2 b) a lo largo de la línea recta que une P1, y P2. 9-® Una línea de carga finita de longitud L tiene una densidad lineal de carga uniforme l y es coincidente con el eje x. a) Determine Ven el plano que divide en dos partes iguales a la línea de carga. b) Determine E directamente aplicando la ley de Coulomb. c) Compruebe la respuesta del apartado (b) con -V.

1




10- La polarización en un cubo dieléctrico de lado L, centrado en el origen, está expresada por P = P0 (axx + ayy+ azz) a) Determine las densidades superficial y volumétrica de carga ligada. b) Demuestre que la carga total ligada es cero. 11- El vector de polarización en una esfera dieléctrica de radio b es P = P0 ax a) Determine las densidades superficial y volumétrica de carga ligada. b) Demuestre que la carga total ligada es cero. 12- El eje de un largo tubo dieléctrico, con radio interior r i y radio exterior r 0, coincide con el eje z. Existe un vector de polarización P = P0 (ax3x + ay4y) en el dieléctrico. a) Determine las densidades superficial y volumétrica de carga ligada, b) Demuestre que la carga total ligada es cero. 13- La polarización en una esfera dieléctrico de radio R, centrada en el origen, está expresada en coordenadas cartesianas por la siguiente expresión: P = K z az, donde K es una constante. Determinar las densidades equivalentes de carga de polarización (superficial y volúmica) y demostrar que la carga de polarización total es nula. 14- La polarización en un medio dieléctrico lhi de permitividad relativa r viene dada por

P = P0 [ (2x + 3y) ax + (3x + 2y) ay +  z az ] , C/m2. En tal medio no hay carga libre. Determine el valor de la constante  y la diferencia de potencial entre el origen de coordenadas y el punto x=y=z=1 m. 15- Considere la siguiente expresión para D en coordenadas cartesianas, donde las distancias se miden en metros y "a" y "b" representan constantes, en un medio lhi de permitividad relativa 3: D = (2x+3y) ax + (3x+y+2z) ay + (ay+bz) az C/m2. Determine el valor de a y b (magnitud y dimensiones) y calcule la diferencia de potencial entre el origen de coordenadas y el punto (x=0,y=2,z=2) 16- Una carga puntual positiva Q está en el centro de una capa dieléctrica esférica con radio interior R i y radio exterior R 0. La constante dieléctrica de la capa es r . Determine E, V, D y P como funciones de la distancia radial R. 17- Considere que el plano z= 0 es la frontera entre dos dieléctricos ideales semiinfinitos. La parte superior (z>0) corresponde a un medio de permitividad relativa 2 y la parte inferior (z<0) a un medio de permitividad relativa 3. No hay carga superficial libre en la frontera. Si el campo eléctrico (en coordenadas cilíndricas) en el dieléctrico inferior (z<0) obedece a la expresión:

E

k

d  z 

2

r a r  ( d  z )a z 



2 3/ 2

 r

calcule la densidad superficial de carga de polarización presente en la frontera.

2




18- Considere un condensador cilíndrico ideal de 25 cm de longitud y radios interno 0.5 mm y externo 1 mm. Entre ambos se halla un dieléctrico líquido dieléctrico ideal de permitividad relativa 6. El conjunto se conecta a una fuente de alta tensión de 20 kV. Una vez cargado, se desconecta de la fuente y se extrae el líquido, quedando el condensador en vacío. ¿Cuál es entonces la diferencia de potencial entre los electrodos? 19- Resuelva los siguientes problemas: a) Determine el voltaje de ruptura de un condensador de placas paralelas, suponiendo que las placas conductoras están separadas 50 mm y que el medio entre ellas es aire. b) Determine el voltaje de ruptura si el espacio entre las placas conductoras está ll eno de plexiglás, que tiene una constante dieléctrica de 3 y rigidez dieléctrica de 20 kV/mm. c) Si se introduce una lámina de plexiglás de l0 mm de grosor, ¿cuál es el voltaje máximo que puede aplicarse a las placas sin llegar a la ruptura? 20- Pueden usarse lentes dieléctricas para colimar campos electromagnéticos. En la figura la superficie izquierda de la lente es la de un cilindro circular y la superficie derecha es un plano. Si El en el punto P (r 0, 45°, z) de la región 1 es El = (ar 5 – a3) V/m ¿cuál debe ser la constante dieléctrica de la lente para que E3 en la región 3 sea paralelo al eje x?

21- El espacio entre las placas paralelas de área S de un condensador esta relleno con un dieléctrico cuya permitividad varía linealmente desde 1 en una placa (y = 0) hasta a 2 en la otra (y = d). Ignore el efecto marginal y calcule la capacidad. 22- Suponga que el conductor exterior del condensador cilíndrico de la figura está puesto a tierra y que el conductor interior se mantiene a un potencial V0. a) Determine la intensidad de campo eléctrico, E(a), en la superficie del conductor interior. b) Manteniendo fijo el radio interior, b, del conductor externo, determine a de manera que se minimice E(a). c) Determine este mínimo E(a). d) Determine la capacidad en las condiciones del apartado (b).

3




23- El radio del núcleo y el radio interior del conductor exterior de una línea de transmisión coaxial muy larga son r i y r o, respectivamente. El espacio entre los conductores está relleno con dos capas coaxiales de dieléctricos. Las constantes dieléctricas de éstos son r1 para r i < r < b y r2 para b < r < r o. Determine la capacidad por unidad de longitud. 24- Un condensador esférico consiste en una esfera conductora interior con radio R, y un conductor exterior con pared interior esférica de radio R o. El espacio entre los conductores está lleno con un dieléctrico de permitividad . Determine la capacidad. 25- Se desea diseñar un cable coaxial para trabajar a la máxima tensión posible. El radio interior del conductor exterior (b) está fijado en 1 cm. El aislante es un plástico de permitividad relativa 3.2 y rigidez dieléctrica 20 x106 V/m. Por razones de seguridad, el campo eléctrico máximo en el mismo no debe superar la mitad de ese valor. Determinar el radio del conductor interior (a) que permite maximizar la tensión aplicada, así como cuál es esta tensión máxima V . 26- La figura representa la frontera plana infinita que separa el aire (arriba) de un dieléctrico lhi ideal de permitividad relativa 4, descargado (abajo). Si el módulo del D en el aire justo en la superficie es de 12 nC/m2 en la dirección señalada, obtener: a) Magnitud y dirección de E en el dieléctrico, justo bajo la superficie. b) Densidad superficial de carga de polarización en la frontera. 40º

27- En la figura se muestra una carga puntual positiva Q localizada a una distancia d de dos semiplanos conductores perpendiculares y puestos a tierra. Determine la expresión de: a) el potencial y la intensidad de campo eléctrico en un punto arbitrario P(x, y), y b) las densidades superficiales de carga inducidas en los dos semiplanos.

4




28- Determine los sistemas de cargas imagen que reemplazarán los contornos conductores que son mantenidos a potencial cero para: a) una carga puntual Q Situada entre dos grandes planos conductores paralelos puestos a tierra como se muestra en la figura y

b) una línea de carga infinita l situada a la mitad entre dos grandes planos conductores que se cortan formando un ángulo de 60 grados, como se muestra en la figura.

29- Una línea de carga infinita de 50 nC/m está a 3 m sobre el suelo, el cual está a potencial cero. Elija el plano xy como el de tierra y la línea de carga paralela al eje x. Use el método de imágenes para determinar lo siguiente: a) E en (0. 4, 3), b) E y s en (0, 4, 0). 30- La figura representa una carga puntual Q situada frente a dos semiplanos conductores que se cortan, a tierra. Calcule la fuerza que experimenta la carga y la densidad superficial de carga presente en el punto “A” señalado.

A

d

+Q

45

5




31- La figura representa un dipolo puntual p situado frente a un plano conductor infinito a tierra. Calcule el campo eléctrico (módulo y dirección) en el punto “A” señalado.

h

p

A

h

32- En la figura se muestra un dipolo p, a una distancia d a la derecha de un plano conductor infinito conectado a tierra con p=paz (p>0) situado en el eje x. Calcule el campo eléctrico en cualquier punto del eje z.

6




33- El interior de un condensador plano paralelo ideal, de superficie S y separación entre placas d, está ocupado en su mitad superior por un dieléctrico lineal, homogéneo e isótropo de permitividad relativa 2. La mitad inferior está ocupada por otro dieléctrico lineal e isótropo pero NO HOMOGENEO en el que la permitividad relativa varía linealmente entre 2 y 4 a lo largo de su espesor. Considere las dos configuraciones posibles: A) permitividad relativa 2 en la frontera y B) Permitividad relativa 4 en la frontera. Determine para cada caso: a) D,E y P en cada medio b) Densidades equivalentes de carga superficiales y volúmicas, comprobando la neutralidad del dieléctrico c) Capacidad del sistema.

z z=d Medio homogéneo, r=2

z=d/2 Medio no homogéneo

z=0 Vo

r

r

(B)

(A) 4

4

2

2

d/2

d

z

d/2

d

7


z



34- El espacio entre las armaduras de un condensador

cilíndrico de radios a y c, está

ocupado parcialmente por dos dieléctricos de permitividad relativa r1 desde r=a hasta r=b y r2 desde r=b hasta r=c a) Si se aplica una diferencia de potencial Vo , obtener D, E y P en cada punto, así como las densidades superficiales de carga libre en los conductores y las densidades equivalentes de carga polarización en los dieléctricos. Comprobar que la carga de polarización total es nula. b) Sea a= 1mm, b= 2 mm, c=3 mm. Considere como dieléctrico 1 el teflón (permitividad relativa tf = 2.1 y rigidez dieléctrica Etf = 6x107 V/m) y nylon (permitividad relativa ny= 3.8 y rigidez dieléctrica Eny=2.4x107 V/m). Determine la diferencia de potencial máxima aplicable entre conductores, Vmax, si se quiere mantener un margen de seguridad equivalente a no superar en ningún punto el 60% de la rigidez dieléctrica del medio correspondiente. ¿Cuánta energía electrostática almacena el sistema, por unidad de longitud, en esas condiciones?

c b

a

Vo

8




35- Un cable coaxial está formado por un conductor central de 4 mm de radio y un conductor externo de 14 mm de radio interior. El espacio entre ambos es aire. c) a) Calcular la capacidad por unidad de longitud y la máxima diferencia de potencial aplicable si se desea que el campo eléctrico máximo en el aire no supere los 300 kV/m. d) b) Repetir el apartado anterior si los conductores están recubiertos de una capa de aislante de 1 mm de espesor y permitividad relativa 4. e) c) Calcular las densidades superficiales de carga libre y ligada presentes en las condiciones del apartado b), con dicha diferencia de potencial máxima aplicada.

a)

36Considere el sistema electrostático de la figura P1 en donde un tramo de cable coaxial de radio interno a y externo b, tiene una parte de longitud d 1 en donde el dieléctrico entre conductores tiene una permitividad  y otra de longitud d2 en la cual el medio es el vacío. Se aplica una diferencia de potencial V0 entre los electrodos.

b)

V0

d2

0

d1



Calcule, considerando válida la aproximación de cilindros infinitos:

  

Los campos D, E y P en cualquier punto. Densidades de carga ligada. Energía electrostática y capacidad del sistema. ¿Qué puede decirse de tal capacidad?

9



Tema II.2: Corriente eléctrica estacionaria

37- Un voltaje de corriente continua de 6 V aplicado a los extremos de un alambre conductor de 1 km de longitud y 0.5 mm de radio produce una corriente de 1/6 A. Determine a) la conductividad del alambre, b) la intensidad de campo eléctrico en el alambre, c) la potencia disipada en el alambre, d) la velocidad de deriva de los electrones, suponiendo que la movilidad de los electrones en el alambre es de 1.4 x 10 -3 (m2 /V s). 38- La figura representa la frontera plana infinita que separa dos medios conductores A y B de características diferentes: εrA = 4, σA = 2 S/m, εrB = 3, σB=3 S/m. Si la densidad de corriente en estado estacionario en el medio A es de 100 A/m2 en la dirección y sentido señalado en la figura, calcule: • •

Medio “A” 30º

Módulo y dirección de la densidad de corriente en el medio B Densidades superficiales de carga libre y de polarización en la frontera Medio “B”

39- Un alambre largo y redondo de radio a y conductividad material con conductividad 0.1 σ

σ está

recubierto por un

a)¿Cuál debe ser el grosor del revestimiento para que la resistencia por unidad de longitud del alambre se reduzca en un 50% frente al valor del alambre no recubierto? b) Suponga una corriente total I en el alambre y encuentre J y E en el núcleo y en el material de revestimiento. 40- La figura representa la sección transversal de un conductor cilíndrico de longitud infinita, formado por un núcleo de cobre de 5 mm de diámetro, rodeado por un cilindro hueco de aluminio de 2 mm de espesor. Si el conjunto transporta una intensdad de 250 A, determinar la potencia disipada por unidad de longitud en cada material.

1




41- La figura representa un conductor cilíndrico de cobre de 2 cm de diámetro y longitud infinita, cuyas dos mitades se hallan unidas por un tramo de aluminio del mismo grosor y 4 cm de longitud. Si circula una corriente de 500 A en la dirección indicada, que supondremos uniformemente distribuida, calcular la potencia disipada en el tramo de aluminio y la densidad superficial de carga libre en las dos superficies (A y B) de separación cobre-aluminio.

42- Dos medios dieléctricos homogéneos con constantes dieléctricas εr1 = 2, εr3 = 3 y conductividades σ1 = 15 mS/m , σ2 = 10 mS/m están en contacto en el plano z = 0. En la región z > 0 (medio 1) hay un campo eléctrico uniforme El = (ax20 – az50) V/m. Determine (a) E2 en el medio 2, (b) J1 y J2, (c) los ángulos que forman J1 y J2 con el plano z = 0, y (d) la densidad de carga superficial en la superficie z = 0 43- El espacio entre dos placas conductoras paralelas de área S está relleno con un medio óhmico homogéneo cuya conductividad varía linealmente de σ1 en una placa (y =0) a σ2 en la otra (y = d). Se aplica una fuente cc de voltaje V 0 a las placas. Determine a) la resistencia total entre las placas, y b) las densidades superficiales de carga en las placas. 44- Considere la superficie plana de separación de dos semiconductores: GaAs, µ r=13.2, Ã=8.0×10−3 S/m y In0.53Ga0.47As, µ r=12.5, Ã=6.59×10 −3 S/m. Si la unión tiene una superficie de 10 −6 mm2 y es atravesada por una corriente de 1.0 µA uniformemente distribuida que va del GaAs al In0.53Ga0.47As, determninar: a) Campo eléctrico y densidad de corriente en cada conductor. b) Carga libre total en la superficie de separación de ambos conductores. c) Carga equivalente de polarización en la superficie de separación de ambos conductores.

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La figura representa la frontera plana entre dos semiconductores: BeO ( εr=7 , σ= 3.9x10-4 S/m) y GaAs (εr=13 , σ= 8x10-3 S/m). Si la unión tiene una superficie de 0.1 mm2 y es atravesada de izquierda a derecha por una corriente uniformemente distribuida de 10 mA, determinar: 45-

a) Campo eléctrico y densidad de corriente en cada conductor b) Carga libre TOTAL almacenada en la superficie de separación. c) Carga de polarización TOTAL almacenada en la superficie de separación.

46- Considere dos barras conductoras macizas, cilíndricas, ambas de 1 m de longitud y 1

cm de radio, conectadas en serie como se muestra en la figura. El material de la primera barra tiene una conductividad doble que el de la segunda. Por el conjunto circula una corriente de 100 amperios uniformemente distribuida, que disipa 1 W. Determinar la conductividad de cada conductor y la carga total almacenada en la superficie de contacto entre ambas barras. La permitividad de ambos conductores es la del vacío.

47- Se aplica un voltaje cc V 0 a un condensador de placas paralelas de área S. El espacio

entre las placas conductoras está relleno con dos dieléctricos con pérdidas que tienen grosor d1 y d2, permitividad ε1 y ε2 y conductividad σ1 y σ2, respectivamente, como se ilustra en la figura. Determine a) la densidad de corriente entre las placas, b) las intensidades de campo eléctrico en ambos dieléctricos, y c) el circuito RC equivalente entre los terminales a y b.

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48- Se va a fabricar un cable compuesto de cobre ( σCu =5.7x107 S/m) y latón (σLat =1.9x107 S/m) que debe disipar 50 mW/m en cada metal cuando sea atravesado por una corriente total de 20 A. Determinar las dimensiones de las dos alternativas posibles: cobre dentro – latón fuera o viceversa.

49- Una barra de semiconductor tipo n de conductividad

σ=3x104

S/m (los portadores son electrones de conducción) es atravesada por una densidad de corriente homogénea de valor J 0. La corriente está provocada por una tensión de 125 mV aplicada en los extremos. Suponga que el campo eléctrico que se establece es uniforme en todo el semiconductor. La concentración de portadores a la temperatura de trabajo es Ne=6x1025 electrones/m3. La carga del electrón es -1.602x10 -19 C. a) ¿Cuánto vale la densidad de corriente? b) Calcule la intensidad de corriente que circula por la barra. c) ¿Cuál es la velocidad de arrastre de los portadores (indique sentido)?

50- Un rayo cae sobre una esfera dieléctrica con pérdidas ( ε = l.2 ε0, σ = 10 S/m, de radio 0.1 m, en el instante t= 0, depositando en la esfera una carga total de 1 mC de manera uniforme. Determine, para todo t, a) la intensidad de campo eléctrico dentro y fuera de la esfera, b) la densidad de corriente en la esfera. 51- Remítase al problema 50. a) Calcule el tiempo necesario para que la densidad de carga en la esfera se reduzca al 1% de su valor inicial. b) Calcule el cambio en la energía electrostática almacenada en la esfera conforme la densidad de carga disminuye del valor inicial al 1% de su valor, ¿Qué sucede con esta energía? c) Determine la energía electrostática almacenada en el espacio fuera de la esfera. ¿Cambia esta energía con el tiempo?

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52- Se aplica un voltaje cc V 0 a un condensador cilíndrico de longitud L. Los radios de los conductores interior y exterior son a y b, respectivamente. El espacio entre los conductores está relleno con dos dieléctricos con pérdidas que tienen, respectivamente, permitividad ε1 y conductividad σ1 en la región a < r < c y permitividad ε2 y conductividad σ2 en la región c < r < b. Determine a) el circuito RC equivalente entre los conductores interior y exterior, y b) la densidad de corriente en cada región.

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Tema II.3: Magnetostática

53-® Una carga puntual Q con velocidad u = axu0 entra en una región donde existe un campo magnético uniforme B == (axBx + ayBy + azBz) ¿Cual es cl campo E que debe existir en la región para que la carga prosiga sin cambio de velocidad? 54- ®Una corriente continua I fluye por un filamento conductor recto P 1P2.

Demuestre que B en el punto P, cuya ubicación esta especificada por la distancia perpendicular r y los dos ángulos 1 y 2 mostrados en la figura, es   

  4

sin  sin  

55- Determine la densidad de flujo magnético en el punto P del eje de un solenoide de radio b y longitud L, con una corriente I en las N vueltas, enrolladas muy juntas, de su bobina. Demuestre que el resultado se reduce al del solenoide infinito para L>>b.

56- Por el conductor interno de una línea coaxial infinitamente larga fluye una corriente I y regresa por el conductor externo. El radio del conductor interno es a y los radios interior y exterior del conductor externo son b y c, respectivamente. Determine la densidad de flujo magnético B en todas las regiones y represente gráficamente | B| en función de r. 57- Encuentre el flujo magnético total a través de un toroide circular con sección transversal rectangular de altura h. Los radios interior y exterior del toroide son a y b, respectivamente. Una corriente I fluye en N vueltas de alambre devanado alrededor del toroide. Determine el porcentaje de error si el flujo se obtiene multiplicando la sección transversal por la densidad de flujo en el radio medio. ¿Cuál es el error si b/a = 5?

1




58- Una corriente I fluye longitudinalmente por una lámina conductora delgada y muy larga de anchura w, como se ilustra en la figura. Suponga que la corriente fluye hacia el interior del papel y determine la densidad de flujo magnético B en el punto P1(0, d).

59- Una corriente I fluye longitudinalmente por una lámina conductora delgada y muy larga de anchura w, como se ilustra en la figura. Suponga que la corriente fluye hacia el interior del papel y determine la densidad de flujo magnético B en el punto P2(w+d2, 0).

60- La figura representa la sección transversal de un cable que supondremos de longitud infinita, formado por un núcleo cilíndrico de níquel de 3 mm de radio recubierto por una capa concéntrica de cobre de espesor 0.5 mm. El cable transporta una corriente continua total de 200 A. Determine: E y J en cada medio, y la potencia disipada en un metro de longitud del cable (total y en cada medio). Campos B, H y M en cada medio.  Las densidades equivalentes de corriente de imanación.  Represente B(r) y H(r) en dos gráficas separadas, de forma aproximada. Señale en cada caso el valor exacto de los campos en las fronteras, a ambos lados de las mismas. 

Níquel: Ni r

Cobre: 7

=1.4510 S/m

= 250

Cu

Ni r

7

=5.7510 S/m

= 1.0

Cu

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61- La figura representa la sección perpendicular de una

cinta de longitud infinita y anchura w por la que circula una intensidad I uniformemente distribuida, perpendicularmente al plano del dibujo, hacia afuera. Determinar (si existe) en qué punto a altura h sobre la mediatriz de la cinta el campo magnético tiene el mismo módulo que en un punto situado a distancia d = w en el plano de la cinta. ¿Qué puede decirse de la dirección del campo en esos puntos?

h

w d=w

z

62- La figura representa una espira “doblada” en ángulo

recto, compuesta de medio cuadrado de lado “L” y media circunferencia de radio L/2. Si lleva una corriente I o en el sentido indicado, calcule B en el centro, referido al sistema de coordenadas indicado.

y x

63- Un alambre conductor delgado de longitud 3w forma un triángulo equilátero planar, Por el alambre fluye una corriente continua I. Determine la densidad de flujo magnético en el centro del triángulo. 64- La figura representa una cinta conductora de anchura w en dirección “x”, espesor

despreciable en dirección “y”, de longitud infinita a lo largo de la dirección “z”, que lleva una corriente total I, en dirección “+z”, uniformemente distribuida. a) Calcule las componentes horizontal y vertical de B en el origen de coordenadas. b) Obtener módulo y dirección de B en el origen si D=w=h=10 cm, I=25 A y

D

w

h

x

3




Considerar la frontera entre dos medios magnéticos aislantes lhi, uno de permeabilidad relativa 1000 (medio I) y otro de permeabilidad relativa 500 (medio II). Si se conoce el valor de B en la frontera, justo en la superficie de separación en el interior del medio I (ver figura) determinar B, H y M , justo en la superficie de separación pero en el interior del medio II. 65‐

66- La figura representa el dipolo emisor de un sistema de radiolocalización formado por una bobina circular plana con 30 espiras apretadas, de 1 m de diámetro, que se encuentra en posición horizontal en una cavidad a 50 m de profundidad. Se alimenta con una intensidad de 10 A. Suponga que el suelo es plano e infinito, y que el campo magnético creado por el emisor es el mismo que si todo el espacio fuera el vacío. Con las aproximaciones oportunas: a) Calcule el valor de B en la superficie, justo en la vertical del emisor. b) Obtenga las expresiones de las componentes horizontal y vertical de B en un punto cualquiera de la superficie, a distancia x de la vertical del emisor. c) Determine a qué distancia x 1 es máxima la componente horizontal de B, y qué valor alcanza. d) Determine a qué distancia x 2 se anula la componente vertical de B.

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67- Se ha fabricado un solenoide recto bobinando N=400 vueltas apretadas sobre un carrete cilíndrico de radio b=7 mm y longitud L=20 cm. Obtenga la expresión general del campo magnético B creado por una espira circular de radio b en un punto cualquiera situado a una distancia z de su centro, sobre el eje, si la recorre una intensidad I. a) A partir de la expresión obtenida en (a), obtenga una fórmula que permita calcular de forma exacta el campo magnético B en un punto cualquiera del eje del solenoide, interior o exterior al mismo si lo recorre una intensidad I b) Compare el resultado de (b) con el que se obtiene de la aproximación de “solenoide infinito” en los puntos A, B y C marcados en la figura, indicando el % de error cometido en cada uno. 20 cm

A

B

C

5 cm 10 cm 19 cm

68- Dado el vector expresado en coordenadas cartesianas, donde ( x, y, z) se miden en metros N  a ( x  y ) a x  3 x a y  bz a z , determinar a y b (valor y dimensiones) para que N pueda representar: I) II)

La densidad de corriente J (A/m2) estacionaria en una región del espacio sin fuentes de fuerza electromotriz, ocupada por un conductor óhmico lineal, homogéneo e isótropo. La inducción magnética B (mT) en una región del espacio ocupada por un conductor no magnético en el que existe una densidad de corriente estacionaria libre de 10 4 A/m2 en dirección z positiva.

69- Una corriente continua I fluye por un alambre infinitamente largo de radio 2 mm sobre el eje z. a) Obtenga el potencial magnético vector A en r > 2 mm a partir de la expresión de B que puede obtener aplicando el teorema de Ampère. Elija la superficie del alambre como punto de referencia de potencial cero. b) Si I = l0 A, determine a partir de A la cantidad total de flujo magnético que pasa por una espira cuadrada especificada por z = ±0.3 m, y =0.1m, y=0.7 m.

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70- Una corriente superficial continua de densidad axJs0 fluye por una lámina conductora infinita que coincide con el plano xy. a) Determine la densidad de flujo magnético B en (0, 0, z) y (0, 0, -z). b) Determine el potencial magnético vector A en (0, 0, z) a partir de B. Elija como potencial de referencia cero un punto arbitrario z = z 0. 71- Un bloque muy grande de material de espesor d yace perpendicularmente a un campo magnético uniforme de intensidad H0= azH0 Ignore el efecto marginal y determine la intensidad de campo magnético en el bloque: a) si el material del bloque tiene permeabilidad  b) si el bloque es un imán permanente con vector de magnetización Mi = azMi. 72- Se introduce coaxialmente una varilla circular de material magnético con permeabilidad  en un solenoide muy largo lleno de aire. El radio de la varilla, a, es menor que el radio interior, b, del solenoide. El devanado del solenoide tiene n vueltas por unidad de longitud y por él circula una corriente I. a) Encuentre los valores de B, H y M en el solenoide para r < a y a < r < b. b) ¿Cuáles son las densidades de corriente de magnetización equivalentes Jmv y Jms de la varilla magnetizada? 73- Una esfera ferromagnética de radio b se magnetiza de manera uniforme con una magnetización M = azM0. a) Determine las densidades de corriente de magnetización equivalentes Jmv y Jms b) Determine la densidad de flujo magnético en el centro de la esfera. 74- Considere un plano frontera (y = 0) entre el aire (región 1, (región 2, r2 = 5000).

r1 =

1) y el hierro

a) Suponiendo B1, = (ax2- ay l0) mT, encuentre B2 y el ángulo que forma B2 con la superficie de separación de ambos medios. b) Suponiendo B2, = (ax10 + ay l0) mT, encuentre B1 y el ángulo que forma con la normal a la superficie de separación. 75- Determine la autoinductancia de una bobina toroidal con N vueltas de alambre devanado alrededor de un marco de aire con radio medio r o y sección transversal circular de radio b. Obtenga una expresión aproximada suponiendo b << r o.

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76- Determine la inductancia mutua entre un alambre recto muy largo y una espira conductora con forma de triángulo equilátero, como se ilustra en la figura.

77- Considere el conjunto formado por dos bobinas, una de 1000 vueltas apretadas uniformemente distribuidas a lo largo de un cilindro de 10 cm de longitud y 1 cm de diámetro, y otra de 10 espiras apretadas de 1 mm de longitud y 2 cm de diámetro, situada en el centro de la primera. Obtener, con las aproximaciones oportunas:

a) Inducción mutua, en el vacío. b) Inducción mutua, si se introduce en el interior de la bobina larga una varilla de ferrita de 20 cm de longitud, 7 mm de diámetro y permeabilidad relativa 800.

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78- Se dispone de un núcleo magnético toroidal de sección cuadrada de un material lineal, homogéneo e isótropo de permeabilidad relativa 800, de radios interior 1.5 cm y exterior 2 cm. Determinar el nº de vueltas que deben bobinarse sobre él para que la autoinducción resultante sea aproximadamente 2 mH.

79- Determine la inductancia mutua entre dos espiras rectangulares coplanares con lados

paralelos, como se muestra en la figura. Suponga que hl >> h2, (h2 > w2 > d).

80- ¿Qué relación existe entre el potencial magnético vector y el flujo magnético a través de un circuito filiforme cerrado? Utilizarla para calcular (de forma aproximada) la inducción mutua entre dos espiras circulares paralelas, una de radio a y otra de radio 5a, separadas entre sí una distancia 10a.

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Tema II.4: Campo electromagnético

81- Exprese la fuerza electromotriz inducida en una espira estacionaria en términos del potencial vector variable con el tiempo, A. 82- El circuito de la figura está situado en un campo magnético B = ax1.3 cos (5π107t-1/3 π y) µT. Suponga que R =15 Ω y calcule la corriente i

. 83- Una bobina circular “emisora” de 50 cm de diámetro formada por 15 espiras coplanares superpuestas que se alimenta a 300 KHz con una corriente de 2.5 A de amplitud. En la posición señalada se coloca una bobina “captadora”, circular, de 5 cm de radio, formada por 100 espiras coplanares superpuestas. Determinar, en la aproximación de dipolos puntuales, en qué dirección con la vertical (ángulo α) debe orientarse la bobina captadora para maximizar la amplitud de la fuerza electromotriz inducida en ésta, y el valor de dicha amplitud máxima.

α 4m Receptora

10 m

Emisora

84- En una determinada región del espacio se aplica un campo magnético B (en dirección z) uniforme y cuya dependencia con el tiempo se muestra en la figura. Calcular la fuerza electromotriz que se generará en una espira circular de radio “a” situada en un plano perpendicular a B. Bz(t) B0

t=0

t=T

1


t


Tema II.4: Campo electromagnético

85- Una espira conductora rectangular estacionaria de anchura w y altura h está situada cerca de un alambre muy largo por el que circula una corriente i 1, como se ilustra en la figura. Suponga que i 1= I 1 sen ωt y que la autoinducción de la espira rectangular es L. Calcule la corriente inducida i 2 en la espira.

86- Determine la frecuencia a la cual la intensidad de un campo eléctrico con dependencia armónica con el tiempo causa una densidad de corriente de conducción y una densidad de corriente de desplazamiento de igual magnitud en a) el agua de mar con εr = 72 y σ = 4 S/m b) la tierra húmeda con εr = 2.5 y σ = 10-3 S/m 87- En los cálculos concernientes al efecto electromagnético de las corrientes en un buen conductor generalmente se ignora la corriente de desplazamiento, incluso a frecuencias de microondas. a) Suponiendo εr = 1 y σ = 5.7 107 S/m para el cobre, compare la magnitud de la densidad de corriente de desplazamiento con la densidad de corriente de conducción a 100 GHz. b) Escriba la ecuación diferencial que rige la intensidad de campo magnético H en un buen conductor libre de fuentes. 88- Una lámina infinita con corriente J = ax 5 A/m, coincidente con el plano xy, separa el aire (región 1, z > 0) de un medio con µr2 = 2 (región 2, z < 0). Si H1, = ax 30+ ay 40 + az 20 A/m, calcule a) H2 b) B2 c) el ángulo αl que forma B1, con z d) el ángulo αl que forma B2 con z. 89- Escriba las condiciones en la frontera que existen en la superficie de separación del espacio libre y un material magnético con permeabilidad infinita (una aproximación).

2



Tema III.1: Fundamentos de Ondas

90- Una onda sonora en el aire produce una variación de presión dada por: p(x,t)=0.75cos [π /2 (x-340t)] en donde p se expresa en pascales, t en segundos y x en metros. Determinar a) Amplitud de la onda de presión b) Longitud de onda c) Frecuencia d) Velocidad de la onda 91- Suponga que un altavoz que emite su energía uniformemente distribuida en 3D produce una intensidad sonora de 10 mW/m 2 a 20 m. Determine a) Potencia acústica total emitida por el altavoz b) A qué distancia del mismo la intensidad sonora es de 1 W m 2 (considerada el umbral del dolor en la percepción auditiva) c) Cuál es la intensidad sonora a 30 m. 92- Un coche se aproxima hacia una pared reflectora. Un observador inmóvil situado detrás del coche escucha un sonido de 745 Hz procedente de la bocina del coche y otro de 863 Hz procedente de la reflexión del mismo en la pared. Determine la velocidad del coche, la frecuencia de la bocina y la frecuencia observada por el conductor del coche para el sonido procedente de la reflexión en la pared 93- Dos focos puntuales que están en fase se encuentran separados una distancia d. Se detecta un patrón de interferencia a lo largo de una recta paralela que une los focos, situada a una distancia grande D, como se indica en la figura. Demuestre que la diferencia de trayectos desde los dos focos al mismo punto de la línea situado a un ángulo θ viene dada aproximadamente por ∆S = d senθ (Sugerencia: suponga que las líneas procedentes de los dos focos son aproximadamente paralelas). Demuestre que la distancia y m dese el punto correspondiente al máximo central hasta el máximo de interferencia m viene dada aproximadamente por y m= m(Dλ /d)

1



Tema III.2: Ondas EM en medios infinitos

94- La expresión de la intensidad de campo magnético instantáneo de una onda plana uniforme que se propaga por el aire en dirección +y está dada por: H  â z 4 106 cos(107  t  k 0 y   / 4) 

A/m

Determine k 0 y la posición donde se anula H z en t = 3 ms y escriba la expresión de E instantáneo. 95- Escribir las expresiones fasoriales correspondientes a los siguientes campos, precisando los valores numéricos de los parámetros que aparezcan: a) Campo magnético de una onda de amplitud 18 V/m y frecuencia 300 MHz, linealmente polarizada en la dirección del vector      , que se propaga en dirección    por un medio sin pérdidas, de permeabilidad magnética relativa 2 y permitividad dieléctrica relativa 1. b) Campo magnético de una onda de longitud de onda 4.5 metros, elípticamente polarizada levógira cuyo campo eléctrico tiene amplitudes 2 y 3 V/m en los ejes   y  que se propaga en dirección    por un medio sin pérdidas no magnético, de permitividad dieléctrica relativa 2.25. c) Campo magnético de una onda que transporta 100 mW/m 2, de frecuencia 150 MHz, linealmente polarizada en dirección  y que se propaga en la dirección del vector        por el vacío. 96- El campo E de una onda plana que se propaga en un medio dieléctrico está dado por E ( z , t )  â x 2 cos(108 t  z / 

3 ) - â y sen(108 t  z / 3 ) V/m

a) Determine la frecuencia y la longitud de onda. b) ¿Cuál es la constante dieléctrica del medio? c) Describa la polarización de la onda d) Encuentre el campo H correspondiente. 97- Una onda electromagnética plana y uniforme, de frecuencia 1 GHz y polarización circular levógira, se propaga en dirección -x por el interior de un bloque de cobre ( εr =5, 7 2 μr ≈1, σ=5.8·10 S/m). En x=0, la potencia promedio que transporta la onda es 1 mW/m , y el campo eléctrico en x=0, t=0 apunta en dirección az. a) Escriba la expresión instantánea (dependiente del tiempo) de los campos eléctrico y magnético de dicha onda, hallando el valor numérico de todos los parámetros implicados. b) ¿Para qué valor de x la onda transportará 1µW/m 2?

1



Tema III.2: Ondas EM en medios infinitos

98- Una onda plana uniforme de 3 GHz, polarizada en y, se propaga en la dirección +x en un medio no magnético con constante dieléctrica de 2.5 y tangente de pérdidas 0.05. a) Determine la distancia a la cual se reducirá a la mitad la amplitud de la onda viajera. b) Determine la impedancia intrínseca, la longitud de onda, la velocidad de fase y la velocidad de grupo de la onda en el medio. c) Suponiendo E  â y 50sen(6 10 9 t   / 3) V/m en x=0, obtenga H(x,t). 

99- Determine y compare la impedancia intrínseca, la constante de atenuación (tanto en Np/m como en dB/m) y la profundidad de penetración del cobre ( Cu = 5.80x l0 7 S/m) y el bronce ( br = 1.59x l07 S/m) a 1 MHz y a 1 GHz 100- Una onda electromagnética plana y uniforme se propaga en dirección -z por un medio no magnético de permitividad dieléctrica relativa 4, con una constante de fase =2.094 rad/m. Si se conocen los siguientes valores para el campo eléctrico E(z,t):

E( z  0, t  0)  3 a x

E( z  0, t  5 109 s)  2 a y

V/m

V /m

a) Determinar la frecuencia, longitud de onda, potencia promedio transportada y polarización de la onda. b) Escriba la expresión fasorial de los campos eléctrico y magnético de dicha onda. 101- Escribir las expresiones fasoriales completas (estableciendo valores numéricos para todos los parámetros) de E y H para una onda plana circularmente polarizada levógira, de 300 MHz, que transporta 100 mW/m 2 en el vacío, si se propaga en la dirección del vector unitario - az sabiendo que en el origen de coordenadas y en t=0 el campo ELÉCTRICO lleva dirección (cos 30º ax + sen 30º ay). 102- Si la profundidad de penetración del grafito a 100 MHz es 0.16 mm, determine: (a) la conductividad del grafito y (b) la distancia que se propaga una onda de 1 GHz en el grafito antes de que su intensidad de campo se reduzca en 30 dB. 103- Demuestre que el vector de Poynting instantáneo de una onda plana con polarización circular que se propaga en un medio sin perdidas es una constante independiente del tiempo y de la distancia. 104- Considere la siguiente expresión fasorial del campo eléctrico de una onda electromagnética que se propaga en el vacío: E  8 a x  j 5 a z  e j 7.8 y V / m . Determine la dirección de propagación, frecuencia, longitud de onda, potencia promedio transportada y polarización de la onda. Escriba la expresión fasorial del campo magnético de la misma onda en A/m 2



Tema III.3: Reflexión y refracción de ondas planas 

105- Una onda plana uniforme en el aire con E i ( x, t ) = â y 50 sen(10 8 t − β x) V/m incide normalmente sobre un medio sin pérdidas ( εr = 2, µr = 8) en la región x > 0. Determine a) Γ, τ y S b) Er y Hr . c) Et y Ht 106- Obtenga las razones siguientes para ondas planas uniformes en un medio l que inciden normalmente sobre una superficie de separación plana con un medio 2: a) Hr0 / Hi0 b) Ht0 / Hi0 Compare con los coeficientes de reflexión y transmisión obtenidos para el campo eléctrico. 107- Una onda plana con polarización circular dextrógira, representada por el fasor jβ z incide normalmente sobre un conductor perfecto en z=0. E ( z ) = E 0 (â x − jâ y )e a) Determine la polarización de la onda reflejada. b) Calcule la densidad superficial de corriente inducida en la pared conductora. c) Obtenga la expresión del campo eléctrico total instantánea en el medio 1. 

−

108- Determine en qué situación la magnitud del coeficiente de reflexión es igual al coeficiente de transmisión de una onda plana uniforme que incide normalmente sobre la superficie de separación entre dos medios dieléctricos sin pérdidas, ¿Cuál es la razón de onda estacionaria en dB para esa situación? 109- Una onda plana con polarización lineal incide normalmente desde el aire sobre un dieléctrico de índice de refracción n2. La onda transmitida conserva tan sólo el 75 % de la potencia incidente. ¿Cuál es el valor de n2? 110- Una onda plana atraviesa normalmente una ventana de doble vidrio (dos hojas separadas por una cámara de aire). El índice de refracción del vidrio es 1,48. Calcule la fracción de potencia transmitida al otro lado de la ventana (despreciando las reflexiones múltiples). Repita el cálculo anterior para un vidrio con índice de refracción 1.78. 

111- Una onda plana uniforme en el aire con E i ( z ) â x10e j 6 z V/m incide normalmente sobre la superficie de separación en z=0 con un medio con pérdidas que tiene constante dieléctrica 2.25 y tangente de pérdidas 0.3. Encuentre: a) Las expresiones fasoriales de Er(z), Hr(z), Et(z) y Ht(z). b) La razón de onda estacionaria para la onda en el aire. c) Las expresiones del valor medio temporal del vector de Poynting en el aire y en el medio con pérdidas. −

=

1



Tema III.3: Reflexión y refracción de ondas planas

112- Una onda plana uniforme en el aire tiene la siguiente expresión fasorial para el campo eléctrico: E i ( x, z ) = â y 10e j ( 6 x 8 z ) V/m. La onda incide sobre un plano conductor perfecto en z=0. 

−

a) b) c) d) e)

+

Calcule la frecuencia y la longitud de onda. Escriba las expresiones de Ei y Hi instantáneos. Determine el ángulo de incidencia. Determine los fasores Er y Hr de la onda reflejada. Determine los fasores E1 y H1 de la onda reflejada del campo total en el aire.

113- Una onda plana uniforme con polarización perpendicular incide oblicuamente sobre una frontera plana con ε1 = ε0, ε2 = 2.25ε0, µ1 = µ2= µ0. Suponga E i0=20 V/m, f=100 MHz, θi=30. a) Calcule los coeficientes de reflexión y de transmisión. b) Escriba la expresión de Et y Ht instantáneos.

114- Los prismas triangulares isósceles de vidrio, como el que se muestra en la, se usan comúnmente en los instrumentos ópticos. Suponiendo εr = 4 para el vidrio, calcule el porcentaje de potencia luminosa incidente que refleja el prisma, despreciando las reflexiones múltiples.

115- Es costumbre revestir las fibras ópticas con un material de bajo índice de refracción para evitar la interferencia procedente de ondas en las fibras vecinas y como protección mecánica, como puede verse en la figura, donde n 2 < nl. a) Exprese el ángulo de incidencia máximo θa en términos de n 0, nl y n 2 para que los rayos meridionales que inciden sobre la cara abierta del núcleo queden atrapados por reflexión interna total dentro del núcleo. (Los rayos meridionales son aquellos que pasan por el eje de la fibra. El ángulo θ a se denomina ángulo de aceptación y senθ a es la abertura numérica (A. N.) de la fibra.) b) Encuentre θa y la apertura numérica si n l = 2, n2 = l.74 y n 0 = 1.

2




116- Una onda plana circularmente polarizada, dextrógira, incide a 40º desde el vacío sobre un dieléctrico lhi no magnético de permitividad relativa 2.25. Si la onda reflejada lleva 100 W/m 2, determinar la intensidad de la onda incidente y la de la onda transmitida, así como la polarización de las ondas reflejada y transmitida.

117- Considere una antena emisora a 30 m de altura y una antena receptora a 200 m de distancia, a 15 m de altura. El suelo puede modelarse como una superficie plana de un dieléctrico lhi sin pérdidas de permitividad relativa 6. La antena emisora emite con polarización horizontal (E paralelo al suelo) a 30 MHz. Obtenga el desfase en grados entre el camino directo o tras una reflexión en el suelo. 118- Considere una onda plana circularmente polarizada, dextrógira, de intensidad 10 W/m 2 que incide sobre la superficie de separación del vacío y un medio dieléctrico lhi no magnético de permitividad relativa 3.5 semiinfinito con la forma que se representa en la figura. Describa la polarización (amplitud de las componentes paralela y perpendicular y desfase entre ellas) de la onda saliente y determine la intensidad (W/m2) que atraviesa cada superficie de discontinuidad (la horizontal y la vertical). 119- Una onda plana incide a 60º desde el vacío sobre un dieléctrico lhi no magnético de permitividad relativa 6.6. Si la onda transmitida es circularmente polarizada, dextrógira y lleva 1 W/m2: a) Especifique la polarización de la onda incidente y la de la onda reflejada (amplitudes de las componentes paralela y perpendicular al plano de incidencia, etc). b) Obtenga el valor medio de P para cada una de las tres ondas y verifique la conservación de la energía en la superficie de separación vacíodieléctrico.

3




120- Una onda plana circularmente polarizada incide desde el vacío sobre dos dieléctricos no magnéticos en forma de "L", el primero de permitividad relativa 4 y el segundo de permitividad relativa 6. Ambos dieléctricos están recubiertos en su parte posterior por un absorbente perfecto que evita por completo las reflexiones múltiples. Determine los posibles valores del ángulo de incidencia sobre el primer dieléctrico, θi, para los cuales la onda saliente (tras las dos reflexiones) es linealmente polarizada. ¿Cuál de ellos es preferible si queremos que la potencia de esta onda saliente sea lo mayor posible?

121- Una onda plana elípticamente polarizada y levógira incide a 60º desde el vacío sobre un dieléctrico lhi no magnético de permitividad relativa 4.6. La intensidad media de la onda incidente es de 200 mW/m 2, el 30% de la misma en polarización perpendicular al plano de incidencia y el 70% de la misma en polarización paralela al plano de incidencia. Determine la polarización de las ondas reflejada y transmitida (indicando amplitudes y desfases) y obtenga el valor medio del vector de Poynting para ambas, verificando que se cumple el principio de conservación de la energía en la frontera.

122- Una onda plana circularmente polarizada, dextrógira, incide a 45º desde el vacío sobre un dieléctrico lhi no magnético de permitividad relativa 5.1. Se ha podido determinar que la amplitud del campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia de la onda reflejada es de 12 V/m. a) Especifique la polarización de las ondas reflejada y transmitida (amplitudes en cada una de ellas de las componentes paralela y perpendicular al plano de incidencia, desfases, etc.) b) Obtenga el valor medio de P para cada una de las tres ondas y compruebe la conservación de la energía en la superficie de separación vacíodieléctrico.

4



Tema III.4: Ondas en medios elásticos

123- Una cuerda con ambos extremos fijos vibra en su modo fundamental a 100 Hz. La velocidad de propagación es 160 m/s. La amplitud de la onda estacionaria en su máximo es 1,20 cm. a) Calcule la amplitud del movimiento de los puntos de la cuerda a distancias de 10, 30 y 50 cm de su extremo izquierdo. b) Calcule la frecuencia correspondiente al 2º armónico de la misma cuerda si se duplica la tensión a la que está sometida. 124- Dos altavoces A y B están separados 2 metros. Son alimentados por el mismo amplificador y emiten ondas sinusoidales en fase a 700 Hz. La velocidad del sonido en el aire es de 350 m/s. a) ¿En qué punto o puntos, entre ambos altavoces, se produce interferencia destructiva en la línea que los une? b) ¿En qué rango de frecuencias no habrá ningún punto con interferencia destructiva entre ambos altavoces, en la línea que los une? 125- Un tubo de órgano abierto en los dos extremos tiene dos armónicos sucesivos con frecuencias de 240 y 280 Hz ¿Cuál es la longitud del tubo, suponiendo que la velocidad del sonido es v = 340 m/s? 126- ¿Cuántos decibelios mayor es el nivel de intensidad cuando cuatro niños lloran que cuando llora sólo uno? Suponga que el observador se encuentra en un punto equidistante de los niños y que los cuatro berrean con la misma potencia, pero no en fase. Repita el cálculo sustituyendo los cuatro niños por cuatro altavoces emitiendo en fase. 127- Una onda sonora que se propaga en el aire a 20º C viene dada por la expresión: -6

y(x,t) = 10 sen(9,16 x - 1000π t ) .m

Calcular la velocidad de propagación del sonido, la impedancia acústica del medio, la onda de presión asociada y la intensidad de la onda sonora. 128- Un alfiler de 0,1 g de masa cae desde una altura de 1m. Asumiendo que el 0,05 % de su energía se convierte en un pulso sonoro de duración 0.1 s, estime la distancia máxima desde la que puede oírse la caída del alfiler. Considere que para distinguir el sonido del alfiler por encima del ambiente, éste debe alcanzar un nivel de intensidad sonora mínimo de 40 dB. 129- El ladrido de un perro supone alrededor de 1 mW de potencia. Si esta potencia se distribuye uniformemente en todas las direcciones, ¿cuál es el nivel de intensidad sonora a una distancia de 5 m?¿Y si estuvieran dos perros ladrando al mismo tiempo?

1



Tema III.4: Ondas en medios elásticos

130- La intensidad del sonido emitido por toda una orquesta es la misma que la que producirían 250 violines. Si el nivel de intensidad sonora de la orquesta completa percibido por un espectador es de 80 dB, ¿cuál sería el nivel percibido por el mismo observador para un violín aislado? 131- Una onda sonora esférica posee un nivel de intensidad sonora doble a 1 m de la fuente que a 2 m. Calcule dicho nivel (a 1 m) , el nivel a 4m de la fuente y la potencia acústica total radiada por la fuente. 132- Una onda sonora de 90 dB y frecuencia angular 100 rad/s se transmite por el agua. Calcule la amplitud de oscilación y la amplitud de presión acústica si la velocidad de propagación del sonido en el agua es de 1480 m/s. 133- Una explosión genera una onda esférica con un nivel de intensidad sonora de 100 dB a 10 metros de distancia del punto donde se produce. Si el valor de la intensidad mínima necesaria para detectar la explosión sobre el ruido ambiente es de 5x10 -6 W/m2, calcule la distancia a la que deja de ser audible, así como la potencia acústica total producida en la explosión. 134- En un punto determinado del interior de una nave industrial el nivel de intensidad sonora es de 80 dB cuando toda la maquinaria trabaja a pleno rendimiento. Con todas las máquinas paradas excepto la más ruidosa, el nivel es de 77 dB. ¿Cuál será el nivel de intensidad sonora si trabajan todas las máquinas menos la más ruidosa? 135- ¿Qué fracción de potencia acústica de un ruido deberá eliminarse para disminuir su nivel de intensidad sonora de 90 a 70 dB?

2



Soluciones

SOLUCIONES

Soluciones de la mayor parte de los problemas de la colección.

1- a)

b)

2- x=3 cm 3- V=

E=

4- a)

z > 8.66b

b)

5-

6-

7-

8 - a) 90 J

b) 90 J

9 - a)

b)

1 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected])


Soluciones

10- a) -3P0 11- Superficial:

, volúmica nula.

13-

14-

V=

3

3

15- a=2 C/m , b=-3 C/m , V=

17-

18- 120 kV 19- a) 150 kV

b) 1000 kV

c) 130 kV

20- 1.66 21-

22- a)

b) b/a=e c)

d)

F/m

23-

24-

25- 3.67 mm, 36.8 kV 26- a) 498 V/m, 55.5º con la vertical

2

b) 7.48 nC/m

29-a)

30- F=

b)

,

,,

2

hacia la arista,

C/m



Soluciones

31-

32-

34- Medio 1:

Medio 2:

donde

y K=

Vmax= 33020 V, Ue= 69.4 mJ/m

35- a) 44.4 pF/m, 1503 V b) 54 pF/m, 1545 V 7

-6

37- a) 3.54x10 S/m b) 0.006 V/m c) 1 W d) 8.4x10 m/s 2

2

2

38- a) 86.6 A/m a 40.9 º con la vertical b) -766 pC/m y 639 pC/m respectivamente 39- a) 2.32a

b) J1=10J2=I/(2a2) E1=E2=J1/.

40- Cu: 9.9 W/m Al: 13.4 W/m 2

2

41- 0.91 J, -0.16 pC/m en A y 0.16 pC/m en B 42-a)

b) J1=

J2=

2

c) 68.2º y 75.1 º d) -1.105 nC/m 43- a)

b)

arriba Abajo

6

2

E1=152x 10 V/m E2=125x 10 V/m

5

2

E1=250x 10 V/m E2=12.5x 10 V/m

44- a) J1= J2= 10 A/m 45- a) J1= J2= 10 A/m 7

6

6

6

6

2

b) -0.94 mC/m

b) -1.36 nC c) 1.2 nC

-18

46-  = 4.78x10 S/m

1.05x10 C

47- a)

b)

2

c) -1.9 mC/m

48- a) 3.3 mm, 6.7 mm b) 5.8 mm, 6.7 mm


ELECTROMAGNETISMO Y ONDAS Colección de problemas. 49- a) 150 kA/m

2

b) 0.75 A

Soluciones

c) 15.6 mm/s -4

51- a) 4.88 ps b) W/Wo = 10

disipada en calor

c) 4.5 kJ, constante

5356-

57-

, -17.2 %

58-

596

2

60- ECu= ENi = 200 mV/m JCu=11.5x10 A/m

6

JNi=2.9x10 A/m

2

PCu=23.5 W/m PCu=16.5 W/m

61- h=0.817 w 62-

63-

64-

66- a) Bz= 377 pT b) Bx=

Bz=

c) x=25 m Bxmax=202 pT d) 71 m

4 Su distribución está prohibida | Descargado por Joseluis Logan ([email protected]) ([email protected])


Soluciones

67-

3

68- I) a=-3 A/m

3

b=3 A/m

I I) a=9.57 mT/m b=9.57 mT/m -6

69- a

) b) 2.34x10 Wb

70- a)

b)

71- a)

b)

73- a)

b)

74- a)

89.94º

b)

0.057º

757677- a) 9.87 H

b) 3.9 mH

78- 93 vueltas 79808283- 33.1º

0.413 mV

84-

desde t=0 a t=T, nula en el resto

8586- a) 1 GHz b) 7.2 MHz -8

87- a) 9.75x10 88- a)

b)

c) 68.2 º d) 79.5º

90- a) 0.750 Pa b) 4 m c) 85 Hz d) 340 m/s 91- a) 50.3 W b) 2 m

2

c) 4.45 mW/m

92- a) 89.8 km/h b) 800 Hz c) 926 Hz 94- a) k0=0.105 rad/m b)


ELECTROMAGNETISMO Y ONDAS Colección de problemas. 95- a)

Soluciones

= 8.89 rad/m

b)

= 1.39 rad/m = 251 

c)

=  rad/m

7

96- a) 1.59x10 rad/m 10.9 m b) 3 c) Elíptica levógira d) 97- a)

b) x=-7.2 m j1.43º

98- a) 0.279 m b) 238 e

8

8

63 mm 1.897x10 m/s 1. 898x10 m/s

c) 99-

2

100- a) 50 MHz, 3 m, 34 mW/m , elíptica levógira b)

101Eo= 6.14 V/m, Ho= 16.3 mA/m, =2 rad/m, o=-/3 5

102- a) 0.99x10 S/m b) 0.175 mm j7.8y

2

104- -ay, 372.4 MHz, 80.55 cm, 118 mW/m , elíptica D b) (21.2 az + j13.3 ax) e

mA/m



Soluciones

105.- a) =1/3,

b) =1/3, S=2 c)

106.- a)

b)

107.- circular levo,

b)

c)

108.- 9.54 dB 109.- n2=3 110.- 0.858 (n=1.48) 0.720 (n=1.78)

111.- a) Ht(z)= b) S=1.53,

c)

y 8

112.- a) f=4.98x10 Hz, =0,628 m

b)

c) 36,9º d) e) Et

Ht=

113.- a) -0.241 y 0.759 b)

114.- 0.79 115.- a)

b) 80,4º



Soluciones

116.- transmitida: elíptica dextrógira, reflejada: elíptica levógira

117.- por diferencia de caminos: 160º, por reflexión: 180º 118.-

119.- incidente: elíptica dextrógira, reflejada: elíotica levógira

120.- para 2 situaciones, 63,4º y 67,8º. Para 63,4º hay un 15% más de potencia 121.- reflejada: elíptica dextrógira, transmitida: elíptica levógira. Componentes normales del vector de Pointing: 0,089 W/m

2


Electromagnetismo y Ondas Apuntes

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