METODO DE ELEMETOS FINITOS ELASTICIDAD BIDIMENSI B IDIMENSIONAL ONAL - PROBLEMAS PROBLEMAS DE DEFORMACIO DEFORMACION N PLANA PLAN A Referencia: La sección para el análisis en el presente estudio se tomó de la Presa Timpuccpampa, que se encuentra ubicado en la localidad de Totos(Ayacucho)
1.1 Generalidades
Elementos triangulares triangulares de tres nudos!.
Se muestra la sección máxima definitiva del eje de Presa SI-1
Sección de la presa a analizar, muestra dimensiones de la sección y niveles máximos
1.2 Convenciones generales El fin principal es mostrar el proceso de análisis de manera detallada, mostrando las matrices y vectores que se forman en un proceso normal de análisis por elementos finitos.Luego, los resultados serán comparados, para su veracidad, veracidad, por algún programa programa comercial c omercial especi alisado. La estructura mostrada se analizará por el "Método de los Elementos Finitos", para lo cual el dominio completo se discretizará en subdominios triangulares de tres nudos, luego cada elemento debe quedar plenamente identificado en el sistema por la identificación de sus nudos. Inicialmente se trabaja en el sistema cartesiano, para luego, por conveniencia, se realiza la transformación al sistema de coordenadas normalizado para cada elemento. Seguidamente se muestra la numeración de los nudos y elementos que es de vital importancia para el planteamiento.
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ecg
Sistema de global de coordenadas.
Identificación de nudos y elementos
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2. ARGUMENTOS ORDENADOS 2.1 nudos las coordenadas de todos los nudos, cada fila representa un punto, donde: Columna 1: coordenada radial Columna 2: coordenada axial NODE
1
2
1
0
4.4
2
0
0
3
3
0
4
4.4
1.4
5
18.33
1.4
6
19.73
0
7
22.73
0
8
22.73
4.4
9
15.12
14.55
10
7.51
24.7
11
7.51
29.3
12
4.5
29.3
13
4.5
22.4
14
2.25
13.4
15
10
12
2.2 Elementos Identificación de todos los elementos en el sistema, cada fila representa a un elemento, donde: Columna 1: número del nudo global, correspondente al nudo local 1 Columna 2: número del nudo global, correspondente al nudo local 2 Columna 3: número del nudo global, correspondente al nudo local 3 MEMB
1
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10
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12
2.3 Propiedades
Módulo de elasticidad del material:
4
kg 2
m
Coeficiente de Poisson: Espesor c onsiderada:
E 15000 210 10
ν
t 1
0.2 m
2.4 Condiciones de contorno Define los grados de li bertad restringidos en la estructura, donde: Columna 1: número del nudo donde existe restricción del desplazamiento Columna 2: "UX?" ¿existe desplazamieto en la direcciónX? Columna 3: "UY?" ¿existe desplazamiento en la dirección Y?, para ambos, la condición: 0 es libre y 1 restringido SUPP
1
2
3
1
2
1
1
2
3
1
1
3
4
1
1
4
5
1
1
5
6
1
1
6
7
1
1
2.5 cargas 2.5.1 Cargas puntuales.[kgf] Las cargas puntuales actuan directamente sobre los nudos, deben ser ingresados directamente en el sistema de orientación global, cada columna representa: Columna 1: Número del nudo donde actúa la carga Columna 2: Carga puntual en la dirección X Columna 3: Carga puntual en la dirección Y NLF
1
2
3
1
13
4.6·103
0
2
14
1.543·104
3.847·103
3
1
2.49·104
0
4
2
2.93·104
0
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ecg
3. MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE CADA ELEMENTO Reference:D:\FEM\Deformacion plana T3N\0 Deformacion plana T3N - Funciones.xmcd
Se obtiene la matriz de rigidez local para el elemento:
m 1
3.1 Espesor del elemento t1
3.1 Área del elemento A( m) 6.6
3.2 Matriz de elemento "Deformación unitaria - desplazamiento" de "3x6", que relacina las tres deformaciones unitarias con los seis desplazamientos nodales y está dado por. Matriz Jacobiano, que representa la transformacióndel sistema cartesiano al sistema normalizado
y la matriz "B" es.
todos los elementos de la matriz "B" son constantes, expresados en función de las coordenadas nodales. Reemplazando, se tiene.
B ( m)
0
0
0.333
0
0.333
0
0
0.227
0
0.227
0
0
0.227 0.333
0
0.227
0
0
0
0
0.227
0.333
0.227 0
0.227 0.333 0 T B ( m) 0 0.227 0.333 0.333 0 0 0.333 0 0
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ecg
la matriz de propiedades del material para esfuerzo plano depende únicamente del módulo de elastic idad y del módulo de poisson, reemplazando los datos, resulta.
D
21.737
5.434
0
5.434
21.737
0
0
0
10.869
loego, la matriz de rigidez está dado por. T
GDL(m) ( 1 2 3 4 5 6 )
3.705 0
0 7.41
3.705 5.434 2.717
7.41
0 2.717
5.434 0
3.705 2.717 19.646 8.151 15.941 5.434 T t A(m) B( m) D B ( m) 5.434 7.41 8.151 15.381 2.717 7.97 0 2.717 15.941 2.717 15.941 0 0 0 7.97 5.434 7.97 5.434
3.705 0
0 7.41
3.705 5.434 2.717
7.41
0 2.717
1 2
3 GDL(m) 4 5 6
5.434 0
3.705 2.717 19.646 8.151 15.941 5.434 k ( m) 5.434 7.41 8.151 15.381 2.717 7.97 0 2.717 15.941 2.717 15.941 0 5.434 0 5.434 7.97 0 7.97
..... de igual manera para todos los elementos
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ecg
4. MATRIZ DE RIGIDEZ ENSAMBLADO Reference:D:\FEM\Deformacion plana T3N\0 Deformacion plana T3N - Funciones.xmcd
Todas las matrices de rigidez de los elementos se ensambla en una sola, simbólicamente se podría representar así K
k i Seguidamente se muestra un código compacto para que ensambla la matriz de
rigidez.
1 2 la matriz de rigidez ensamblado es(de3orden 8). 4
K
5
6
7
1
33.495
-7.956
-3.705
-5.434
1.175
4.847
-22.858
2
-7.956
34.593
-2.717
-7.41
4.847
-4.259
10.315
3
-3.705
-2.717
19.646
8.151
-15.941
-5.434
0
4
-5.434
-7.41
8.151
15.381
-2.717
-7.97
0
5
1.175
4.847
-15.941
-2.717
35.537
10.386
-20.772
6
4.847
-4.259
-5.434
-7.97
10.386
33.001
-9.798
7
-22.858
10.315
0
0
-20.772
-9.798
54.317
8
10.315
-15.32
0
0
-12.516
-20.772
5.495
9
0
0
0
0
0
0
-6.554
10
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0
0
0
0
0
-2.157
11
0
0
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0
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ecg
...
5. VECTOR DE FUERZAS NODALES Se procede de manera similar, simbólicamente se puede expresar mediante F
cargas_nodales_equivalentes
El programa siguiete ensambla solamente las cargas que actuan en los
nudos
el vector resultante es.
1
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15
0
16
0
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0
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0
21
0
F 22
0
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0
24
0
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4.6·10 3
26
0
27
1.543·10 4
28
3.847·10 3
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0
30
...
ecg
6. DESPLAZAMIENTOS Reference:D:\FEM\Deformacion plana T3N\0 Deformacion plana T3N - Funciones.xmcd
6.1 Imposición de las condiciones de contorno La matriz de rigidez de toda la estructura "K" fue ensamblado sin tomar en cuenta los grados de libertad restringidos, modificando la matriz para los grados de libertad con desplazamiento restringido, se t iene.
1
Km
2
3
4
5
6
7
1
33.495
-7.956
-3.705
-5.434
1.175
4.847
-22.858
2
-7.956
34.593
-2.717
-7.41
4.847
-4.259
10.315
3
-3.705
-2.717
1·10307
8.151
-15.941
-5.434
0
4
-5.434
-7.41
8.151
1·10307
-2.717
-7.97
0
5
1.175
4.847
-15.941
-2.717
1·10307
10.386
-20.772
6
4.847
-4.259
-5.434
-7.97
10.386
1·10307
-9.798
7
-22.858
10.315
0
0
-20.772
-9.798
1·10307
8
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-15.32
0
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-12.516
-20.772
5.495
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0
0
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-6.554
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0
0
0
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-2.157
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0
0
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0
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0
0
0
0
16
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0
0
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0
0
...
6.2 Resolución del sistema de ecuaciones La matriz Km representa los coeficientes del sistema de ecuaciones que se formó tomando en cuenta todos los grados de libertad, y el vector de fuerzas el término independiente. se podría resolver de muchas maneras el sis tema de ecuaciones, para el presente se resolverá formando la matriz aumentada y por eliminación de Gauss.
1
1
2
3
4
33.495
-7.956
-3.705
-5.434
-
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-
5 -
1.175
6 4.847 -
ecg
- .
augment( Km F)
.
- .
- .
.
- .
3
-3.705
-2.717
1·10307
8.151
-15.941
-5.434
4
-5.434
-7.41
8.151
1·10307
-2.717
-7.97
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1.175
4.847
-15.941
-2.717
1·10307
10.386
6
4.847
-4.259
-5.434
-7.97
10.386
1·10307
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-22.858
10.315
0
0
-20.772
-9.798
8
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-15.32
0
0
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-20.772
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...
1
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rref ( augment(Km F) )
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16
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0
0
...
donde los desplazamientos es tán representados por la última columna donde: Columna 1: nudo Columna 2: desplazamiento en X Columna 3: desplazamiento en Y
1 1
1.451·10 3
2
1.019·10 3
1
1
1.451·10 3
1.019·10 3
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Q
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0
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6
6
0
0
8
0
7
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0
0
9
0
8
8
475.959
-556.384
10
0
9
9
2.426·103
-510.563
11
0
10
10
5.037·103
767.228
12
0
11
11
5.953·103
769.414
13
0
12
12
5.952·10 3
1.371·10 3
14
0
13
13
4.604·10 3
1.388·10 3
15
475.959
14
14
2.992·10 3
1.501·10 3
16
...
15
15
2.035·103
157.839
Qo
7. REACCIONES EN APOYOS Las reacciones se ontienen mediante
1
K Q F
1
-3.638·10-12
2
2.274·10 -12
3
-3.744·104
4
-1.543·104
5
6.641·10 3
6
2.693·10 3
7
-3.167·104
8
-1.071·104
9
-1.173·104
10
1.283·10 4
11
3.256·10 3
12
62.936
13
-3.275·103
14
6.709·10 3
15
3.126·10 -12
16
...
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1
R
1
-3.638·10-12
2
2.274·10-12
3
-3.744·104
4
-1.543·104
5
6.641·10 3
6
2.693·10 3
7
-3.167·104
8
-1.071·104
9
-1.173·104
10
1.283·10 4
11
3.256·10 3
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62.936
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-3.275·103
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6.709·10 3
15
3.126·10-12
16
...
donde: Columna 1: nudo Columna 2: reacción en X Columna 3: racc ión en Y
2 3.744 104 1.543 104 3 6.641 103 2.693 103 4 4 4 3.167 10 1.071 10 Ro 4 4 5 1.173 10 1.283 10 3 62.936 6 3.256 10 3 3 7 3.275 10 6.709 10
ecg
8. TENSIONES Reference:D:\FEM\Deformacion plana T3N\0 Deformacion plana T3N - Funciones.xmcd
m 2
Se obtiene tensiones en los nudos para el elemento
8.1 La matriz de propiedades del elemento está dado por.
D
21.737
5.434
0
5.434
21.737
0
0
0
10.869
8.2 La matrz "B"(matriz deformación unitaria desplazamiento) para el elemento está representado mediante.
0.135 B( m)
0
0
0.29
0
0.425
0
0.135
0
0.425
0
0.29
0.135 0.135 0.425 0.29
0.29
0.425
8.3 Desplazamientos en los extremos del elemento
1.451
q ( m)
1.019 0 0 0 0
3
10
3
10
8.4 las tensiones para el elemento son( estas tensiones, para efectos de interpolación se consideran actuando en el centro de cada elemento)
3.513 103 D B(m) q ( m)
1.927 103 634.765
3.513 103 σ( m)
σx
1.927 103 σ y 634.765 τxy
Obtensión de los tensiones principales.(las tensiones obtenidos son).
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ecg
Evaluando se tiene. 1 ( m) 2 10
σ
3
3
2 ( m) 3.587 10
σ
máx ( m) 2.793 10
τ
θ( m)
0.115
3
en radianes
Según Von Mises, el criterio para definir si el material se encuntra cercano o no al estado de cedencia en los diferentes puntos de la estructura etá dado por. m( m) 2.83 10
σ
Si
3
m es menor a σc ( tención de cedencia del material), entonces el elemento permanece con su comportamiento elástico, es decir, que su f orma original es recuperable al retirrar la carga. σ
.... s e prodece de igual manera para todos
resumiendo las tensiones para todos los elementos, se tiene donde: columna 1: elemento
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ecg
columna 2: tensión normal en X(σx) columna 3: tensión normal en Y(σy) columna 4: tensión tangencial en XY(τ _xy) columna 5: tensión principal a un ángulo θ desde el eje X(σ1) columna 6: tensión principal a un ángulo θ+90º desde el eje X(σ2) columna 7: ángulomedido desde el eje X
1
o
σ
2
3
4
5
1
1
1.258·10 3
5.032·10 3
3.583·103
7.195·10 3
2
2
-3.513·103
1.927·103
634.765
2·103
3
3
989.514
-1.285·103
-118.123
995.633
4
4
-687.168
-2.749·103
1.176·103
-154.379
5
5
-2.629·103
1.398·10 3
1.157·103
1.707·10 3
6
6
80.919
323.675
2.087·103
2.292·10 3
7
7
-620.541
-1.276·103
993.465
97.818
8
8
-1.42·103
1.536·103
399.409
1.589·10 3
9
9
-675.457
-1.554·103
922.34
-93.178
10
10
-1.734·103
166.317
357.704
231.407
11
11
-708.359
238.556
959.131
834.721
12
12
-664.021
-32.566
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27.168
13
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-98.127
-10.268
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