UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) SEÑALES Y SISTEMAS UNIDAD 3: Transformada de Laplace Transformada Z
TUTOR: OSCAR IVAN VALDERRAMA INTEGRANTES: CHRISTIAN JESUS SCOOP MELECD ENRIQUE DAZA HEIMER JOSE JARABA MARIO ANTONIO SUAREZ
GRUPO: 203042_7
Noviembre de 2017
INTRODUCCIÓN El siguiente trabajo colaborativo abordaremos los temas de la unidad 3, transformada de Laplace, transformada Z, Mostrando ejercicios prácticos e identificando variables conocidas y desconocidas, para dar solución a los ejercicios planteados en esta unidad, haciendo uso de los conceptos matemáticos de los temas antes mencionados. También se realizara una verificación de la solución de uno de los ejercicios planteados en esta actividad mediante los software matemáticos: scilab y matlab, con el objetivo de verificar la solución del ejercicio e interactuar con los medios digitales que son de gran ayuda para dar solución a ejercicios y problemas de ingeniería teniendo en cuenta que están al alcance de todos gracias al avance de la tecnología y los medios digitales.
OBJETIVOS
aplicar los conceptos matemáticos de la unidad, proyectando la solución en entornos gráficos y computacionales para verificar la solución. solucionar problemas de ingeniería aplicando los de transformada de Laplace transformada Z, usando herramientas computacionales como matlab u octave.
ACTIVIDADES A DESARROLLAR Problemas a resolver: 1. Usando como guía el ejemplo 11.6 de la página 342 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Transformada inversa de Laplace), determine analíticamente h(t), sabiendo que:
+10 + Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” con el ultimo digito de su número de identificación. Si alguno de ellos es cero, utilice a=3 o b=3 según corresponda.
Solución:
+510 +7 +5 + +7 + +7 +5 +710 + 5 10+7|=− 105 +57 250 850 850 254 6,25
Desarrollo en fracciones parciales
Calculamos
Calculamos
Calculamos
10+5|=− 107 +75 270 35
∙ 10+5|=− 10∙ +5 +5 7 ∙ 10=− 10+50+570|=− 50 +560 |=− 50760+ 57 50+2420 4870 2354 58,75 25 235 35 +54 + + 7 + +47 ℎ 254 ∙ ℒ− +1 5 + 35∙ ℒ− +71 2354 ∙ℒ− +1 7
− + − − 2. Usando como guía el ejemplo 17.16 de la página 620 del libro guía. Tema a estudiar: (Respuesta de un sistema discreto, a partir de la función de transferencia). Determine y[n] dado que:
25 + (1⁄)
Posteriormente use Matlab o scilab para resolver el ejercicio de forma práctica, y compare sus respuestas con los resultados teóricos.
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, si este digito es cero, utilice a=3.
Ayuda: Recuerde la propiedad de superposición para sistemas lineales.
+ 310 + 7 +3 10 + 7 + 3 + + 7 + +7 + +7 10 +7 + +3 +7 + +3 +7 + + 3 10 + 21+ ++3147 +343 + + 17 + 91+ 147 + + 10+ 21 21+ 17+21 10 ++ +343+147 ++3 + 147+ 91 +10 + 21++170 + 0 147 +91 +10 + 10
Expandiendo por fracciones parciales
343 +147 +21 +3 1 21 171 01 00 00 147343 14791 1021 31 100
Representando el sistema de ecuaciones en forma matricial
Resolviendo, se obtiene que
Luego
Aplicando
15 ⁄ 15⁄3232 1535⁄⁄8 [ 2] 1532 ∙ +1 3 + 1532 ∙ +1 7 + 158 ∙ +71 + 352 ∙ +71 ℎ 1532 − + 1325 − + 158 − + 354 −
la tabla de transformadas inversas de Laplace, se obtiene
3. Usando como guía el ejemplo 17.16 de la página 620 del libro guía. Tema
2 + 51⁄7 1 517 − − 2 3 {} 1 − + 1 1 −
a estudiar: (Respuesta de un sistema discreto, a partir de la función de transferencia). Determine dado que:
Primero se procede con la transformación de
:
Luego
→ − 31 − ∙ 1 517 − − 5 3 1 − 1 17− − − + 15 +5 1 − 1 17 − 11 1 17 − 15+ 5− 1 7 − +1 − 15+ 5− + + 7 − + 155 12 7
Expandiendo por fracciones parciales
De
2
Resolviendo por eliminación
1
Despejando en
7 35 +7 1535 620 2010 6 3 15
y reemplazando
:
Luego,
353 353 ∙ 11− 103 ∙ 1 117 − 35 1 0 1 3 ∙ 3 ∙ 7
Ahora, obteniendo la transformada Z inversa de
se obtiene que
Para comprobar el resultado, se obtuvo mediante un Script de Matlab la respuesta esperada del sistema ante , que está conformada por una señal escalón de amplitud 2 y una señal impulso unitario. Mediante comandos, se adquirieron los aportes de cada tipo de señal y, aplicando el principio de superposición, se sumaron dichos aportes para graficar la señal esperada, la cual se observa en la figura 1. Luego, se grafica la respuesta calculada analíticamente, la cual se observa en la figura 2.
Para una secuencia de 20 valores, se comprobó que las secuencias esperada y calculada son iguales, tal como se muestran en las figuras 1 y 2.
1512,11,616411, 11,667311,11,666711,11,666611,11,666611,11,666611. 11,6666 11,11.6666 11.66 11.66 11.66 11.66…
Script de Matlab %% Ejercicio 2. % Cálculos en Matlab z = tf('z'); H = -5*z/(z - 1/7);
Figura 1. Respuesta esperada de
Figura 2. Respuesta calculada de
[yi,ki]=impulse(H); %figure;impulse(H) opt = stepDataOptions('StepAmplitude',2); [ys,ks]=step(H,opt); %figure;step(H,opt); y = yi + ys; % Aporte de la respuesta ante escalón e impulso figure;stairs(ki,y) xlabel('k'); ylabel('Amplitud'); title('Respuesta esperada de H(z)')
% Valores calculados analíticamente k = 0:20; y_c = -35/3 - (10/3)*(1/7).^k; figure;stairs(k,y_c, 'r') xlabel('k'); ylabel('Amplitud'); title('Respuesta calculada de H(z)')
CONCLUSIÓN La evidencia que se mostró anteriormente demuestra la importancia de los temas bordados en esta unidad, ya que son parte fundamental para la solución de problemas de ingeniería y crecimiento profesional. Se pudo evidenciar la importancia de las herramientas computacionales al momento de comprobar el resultado de un problema propuesto. Por las razones mencionadas anteriormente, los temas de transformada de Laplace transformada Z, demuestran que es posible solucionar dichos problemas.
BIBLIOGRAFÍAS
Transformada de Laplace. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 248). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300114&v=2.1& u=unad&it=r&p=GVRL&sw=w&asid=3b3e5fdf12c5914a79480c842289f b73
Transformada z. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 592). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300180&v=2.1& u=unad&it=r&p=GVRL&sw=w&asid=2bd27e3e9ede734f0c9539e4258b e694
Ovi_Unidad_3_Señales y Sistemas. (2016). Valderrama F, Curso de Señales y Sistemas. Duitama: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/9578
