Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Economía Empresarial

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MODELO DE VECTOR DE CORRECCION DE ERROR

Barreto, María Jimena Marín, Joseph Nomnom, Antuan Torres, Jesús

Caracas, mayo de 2012. 2012.

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TABLA DE CONTENIDO CAPÍTULO I. Introducción ................................................................... ............................................................................... ............ 1 CAPÍTULO II. II. Conceptos Generales ................................................ ............................................................ ............ 2 II.1. Procesos estocásticos .................................................. ...................................................................... .................... 2 II.2. Procesos Estocásticos no estacionarios ........................................... ........................................... 2 II.3. Caminata aleatoria sin deriva ............................................... ........................................................... ............ 2 II.4. Caminata aleatoria con deriva ................................................... .......................................................... ....... 4 II.5. Procesos estocásticos estacionario ............................................... .................................................. ... 5 II.6. Proceso estocástico integrado ................................................... .......................................................... ....... 6 II.7. Cointegración ............................................... ........................................................................ ..................................... ............ 6 CAPÍTULO III. Modelos ................................................. .......................................................................... ................................ ....... 7 III.1. Modelo de Vectores Autorregresivos Autorregresivos ................................................ ................................................ 7 III.2. Modelo de Vectores de Errores Corregidos Corregidos ...................................... ...................................... 8 III.3. Coeficientes de corrección del error ................................................. ................................................. 9 III.4. Estimación del modelo VEC VEC ................................................. ........................................................... .......... 10 CAPÍTULO IV. Conclusiones......................... Conclusiones.................................................. ............................................... ...................... 12 CAPÍTULO V. Bibliografía ................................................. .......................................................................... ........................... 13







CAPÍTULO I.

Introducción

El siguiente trabajo buscar realizar una aproximación sobre el modelo de vector de corrección de error. Inicialmente se realiza una breve explicación sobre términos claves relacionados al tema series de tiempo, entre los cuales se encuentra, series estacionarias y no estacionarias, procesos integrados y orden de integración y procesos cointegrados. Seguidamente se discute el modelo de vectores autoregresivos (VAR), en qué momento es válido aplicarlos y algunos términos claves relacionados a él, a partir de dicha explicación se llega a el modelo de vector de corrección de error (VEC), que es un caso especifico del modelo VAR, que es utilizado cuando las variable comparten una tendencia y se espera que converjan en el largo plazo.







CAPÍTULO II. Conceptos Generales II.1. Procesos estocásticos Se conoce como proceso estocástico a una serie de variables aleatorias ordenadas en el tiempo. Se dice que las variables son aleatorias ya que responden a estados de la naturaleza y no son parte de un proceso deterministico. Dichas variables pueden ser discretas o continuas, las variables discretos son expresadas de la siguiente forma: Yt. Usualmente en la economía los datos se recopilan de forma discreta. II.2. Procesos Estocásticos no estacionarios estacionarios Nuestro interés se centra en las series de tiempo estacionarias aunque muchas veces nos podemos encontrar con series de tiempo no estacionarias, como el modelo de caminata aleatoria(MCA). Se puede decir que frecuentemente se dice que los precios como el valor de las acciones o las tasas de cambio, se comportan como una caminata aleatoria, es decir son no estacionarios. Existen dos tipos de caminatas aleatorias. Caminata aleatoria sin deriva, la cual es sin término constante o de intercepto y la caminata aleatoria con deriva, la cual tiene un término constante. II.3. Caminata aleatoria sin deriva



Partiendo de que  es el termino de error de ruido blanco, tal que cuente con media 0 y varianza 2 , podemos decir que  es una caminata aleatoria si:





 = −1 +  (1) En el modelo de caminata aleatoria, como se ve anteriormente, el valor de Y en el tiempo t es igual a su valor en el tiempo (t-1) mas el termino







capital eficiente argumenta que los precios de las acciones son en esencia aleatorios por ende, no puede haber especulación aprovechable en el mercado de valore: si pudiéramos predecir el precio de una acción al día siguiente tomando en cuenta el precio del día anterior, seriamos millonarios.

1 = 0 + 1 2 = 1 + 2 = 0 + 1 + 2 2 = 1 + 3 = 0 + 1 + 2 + 3 

En general si el proceso comenzó en el tempo 0 con un valor 0, tenemos

 = 0 + ∑(2) De igual forma se demuestra que

  2

var(  )=

Como muestran las ecuaciones anteriores, la media de Y es igual a su valor inicial, pero a medida que se incrementa , su varianza aumenta de manera indefinida, lo cual viola una condición de estacionalidad. En pocas palabras el modelo de caminata aleatoria sin deriva es un proceso estocástico no estacionario.





En la práctica, 0 se iguala cero, en donde E(  )=0. La persistencia de los choques aleatorios(es decir los errores aleatorios es una característica importante del modelo de caminata aleatoria, lo que es resulta evidente de (2):  es la suma de 0 más la suma de los choques aleatorios. Como resultado, desaparece el impacto de un choque particular.













Por ejemplo, si 2=2, en vez de 2=0, todas las  de 2 en adelante serán 2 unidades mayores, por lo que nunca cesa el efecto de este choque.







  −1 = ∆ =  ∆

donde es el operador de primeras diferencia, de esta manera resulta



fácil comprobar que  no es estacionaria, si lo es la serie de sus primeras diferencias. Es decir, las primeras diferencias de series de tiempo de caminata aleatoria son estacionarias. II.4. Caminata aleatoria con deriva Modificando el modelo de caminata aleatoria sin deriva (1) tenemos que:

 =  + −1 +  (3) 

Donde conocemos a como el parámetro de deriva. El termino deriva viene dado que si escribimos la ecuación anterior como

  −1 = ∆ =  +  Podemos demostrar que Yt se deriva o se mueve hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de si



es positivo o negativo.

Según el procedimiento que se analiza en la caminata aleatoria sin deriva, se puede demostrar que para el modelo de caminata aleatoria con deriva (3):

() = 0 + .  var( ) =  2 Como se observa, para el modelo de caminata aleatoria con deriva, la media, al igual que la varianza se incrementa con el tiempo, lo cual viola de nuevo la condición de estacionalidad. Es decir, el modelo de caminata aleatoria, con o sin deriva es un proceso estocástico no estacionario. Para dar una breve idea de la caminata aleatoria con o sin deriva, se











Donde  son los términos del error de ruido blanco de tal manera que cada  ~ (0,1); es decir, que cada  sigue una distribución normal estándar. Mediante un generador de números aleatorios se obtuvieron 500 valores y se genero  como se muestra en (4). Supusimos que 0 =

 







0, Considerando:

 =  + 0 +  La cual es un modelo de caminata aleatoria sin deriva. Se supuso que los valores  y 0 son como en (4) y =2.

 



El modelo de caminata aleatoria se conoce también como proceso de raíz unitaria. Un proceso de raíz unitaria es aquel que está integrado de orden uno, I(1). II.5. Procesos estocásticos estacionario estacionario Se conoce a un proceso estocásticos estacionario como aquel que presenta una media y una varianza constante en el tiempo, además la covarianza entre dos periodos debe depender solamente de la distancia entre los rezagos, y no del periodo a partir de cual se calcula. Este proceso se conoce como estocástico débilmente estacionario. Formalmente:

  Varianza:  ( ) =  2 Media: (  ) =







II.6. Proceso estocástico integrado Se conoce a un proceso como estocástico integrado a aquel que en su estado original es no estacionario, pero una vez que se calcula su variación, o se diferencia, el resultado si lo es. Si se diferencia una vez y el proceso se vuelve estacionario se conoce como integrado de orden uno o I(1). Más aun, si un proceso debe diferenciarse d veces para volverse estacionario, se conoce como integrado de orden d o I(d). Un ejemplo de dicha situación es una caminata aleatoria, el proceso en si es no estacionario pero su primera diferencia si lo es, por lo tanto dicho proceso se denomina I(1). II.7. Cointegración Es conocido que la regresión entre dos variables no estacionarias puede generar una relación espuria, presentando resultados dudosos. Sin embargo, si las variables con las cuales se realiza la regresión comparten orden de integración (por ejemplo ambas son I(1)) pueden también compartir tendencia, por lo que no necesariamente su relación sea espuria. Tomemos:

 = 0 + 1 +   



Digamos que  y  son ambas I(1), si al termino  le realizamos un análisis de orden de integración y descubrimos que es I(0), podemos afirmar que  y  están cointegradas.

 







CAPÍTULO III. Modelos III.1. Modelo Modelo de Vectores Autorregresivos En términos generales el modelo de vectores autorregresivos tiene la siguiente forma:





=1 

=1 

=1

=1

1 =  + �  − + �  − + 1 2 = ′ + �  − + � − + 2  

Esta ecuación describe un sistema donde cada variable ( , ) es función de su propio valor rezagado periodos de la otra variable. Las





periodos y el valor rezagado



representan los términos de error



estocástico. Este sistema se conoce como VAR( ), siendo la rezagos incluidos.

 el numero de

La estimación de los parámetros se hace a través del método tradicional de mínimos cuadrados ordinarios (MCO), donde y deben ser I(0) y no estar cointegradas.

 

En el caso de que las variables sean I(1), no cointegradas, se toma su







III.2. Modelo de Vectores de Errores Corregidos Partiendo de un modelo VAR(1) con un par de variables cointegradas I(1) expresadas como sus diferencias, tal que sean I(0), tenemos lo siguiente.

∆ = 11 + 12∆−1 + 13∆−1 +  ∆ ∆ = 21 + 22∆−1 + 23∆−1 +  ∆ Si observamos las ecuaciones previas se puede constatar que la

∆ ∆

 

variación (  y  ) del periodo solo va a depender de la variación de 1, por lo tanto se está considerando la ambas variables en el periodo relación de corto plazo e implícitamente se está obviando la relación de largo plazo. Si las variables están cointegradas se estaría perdiendo información valioso sobre la relación de largo plazo de dichas variables y sobre el hecho de que convergen.



De una forma más intuitiva, digamos que la l a variable sufre un shock y



varia 5% y la variable varia 2%, según el modelo VAR tradicional ambas variables se van a distanciar en un 3% permanentemente, pero si como dijimos previamente ambas variables están cointegradas, en el largo plazo esa diferencia debería tender a desaparecer, pero según el modelo VAR dicha diferencia se va a ir acumulando en el tiempo. Por lo tanto, es necesario incluir algún término que pueda corregir esta variación tal que las variables puedan volver a su equilibrio de largo plazo, a







∆ = 10 + 11(−1  0  1−1) +   ∆ = 20 + 21(−1  0  1−1) +   Paso 1

  −1 = 10 + 11(−1  0  1−1 ) +     −1 = 20 + 21(−1  0  1−1) +   Paso 2

 = 10 + 11−1  110  111−1 +   + −1  = 20 + 21−1  210  211−1 +   + −1 Paso 3

 = (10  110) + (11 + 1)−1  111−1 +    = (20  210) + 21−1  (211  1)−1 +   Donde 11 y 21 están acotados tal que: 1 < 11 ≤ 0 0 ≤ 21 < 1 En el paso final se expresa el VEC en forma de VAR donde se relacionan las variables con sus valores rezagados.

  21 se conocen como los coeficientes de corrección

Los términos 11









Es decir que

−1 > 0 Por lo tanto

−111 < 0 ∆ disminuya. Es decir, el modelo se percata que variable  creció demasiado, apartándose de su

Ocasionando que en el periodo

 1 la

t

equilibrio de largo plazo, por lo que en el periodo t se ajusta buscando disminuir la tasa de crecimiento (  ).

∆

Ahora considerando el efecto de un error positivo sobre la ecuación de



la . Como ya dijimos

−1 > 0 Entonces







1) Se realiza una regresión de la forma:

 = 0 + 1 +  A partir de ella se estiman los errores rezagados:

̂ −1 −1 = −1  0  1−1 2) Una vez que se estimaron los errores rezagados, se realiza la siguiente regresión:

∆ = 10 + 11̂−1 −1 +   ∆ = 20 + 21̂−1 −1 +   Una vez que se cuenta con todas los parámetros se puede dejar expresado de esa forma, o se pueden reorganizar tal que se pueda interpretar como un modelo VAR:

 = (10  110) + (11 + 1)−1  111−1 +    = (20  210) + 21−1  (211  1)−1 +  







CAPÍTULO IV. Conclusiones El modelo VEC resulta ser una poderosa herramienta para el análisis de variables cuando cumplen una será de requisitos, que son, mismo orden de integración y que estén cointegradas. En caso de que se cumplan, se logra conservar información valiosa en cuanto a la relación de largo plazo, que de lo contrario se perdería al utilizar, por ejemplo, el modelo VAR. El modelo cuenta con numerosas aplicaciones económicas, por ejemplo, se puede utilizar para predecir valores futuros. Además, los coeficientes de corrección de error son de gran utilidad para observar cómo reaccionan los errores ante las fluctuaciones de las variables.







CAPÍTULO V. Bibliografía Carter, R., Griffiths, W., Lim G. (2011) Principles of Econometrics (4ta edicion). John Wiley & Sons. Gujarati, D. (2004). Econometrics. (4ta edición) Mc GrawGra w- Hill. Kunst R. (2009). Multivariate forecasting with VAR models. University of Vienna.

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