Lección 4 - Factorización de expresiones algebraicas
Factorización de Expresiones Algebraicas Objetivos: Al terminar esta lección podrás expresar polinomios y otras expresiones algebraicas como el producto de otras expresiones más sencillas.
Cuando multiplicamos dos expresiones conseguimos, generalmente, una expresión más complicada, bien sea porque tiene más términos o porque el grado de los términos es mayor. La factorización es el proceso por el cual expresamos una expresión como producto de dos o más factores . La La factorización deshace lo que la multiplicación hace, convirtiendo una expresión que podría ser complicada, en el producto de dos o más expresiones (factores) que son típicamente más sencillas. Por ejemplo, si multiplicamos ( 2 x + 5)( x + 3) conseguimos 2 x
2
+ 11x + 15 , lo cual tiene más
términos que cualquiera de los dos factores que multiplicamos y es de mayor grado (2) que ambos factores (que son de grado 1). En este caso decimos que 2 x como ( 2 x + 5)( x + 3) .
2
+ 11x + 15
puede ser factorizado
La factorización será útil para simplificar algunas expresiones como la suma de fracciones y la división de polinomios. También También puede usarse para determinar las soluciones de una ecuación. En esta lección estudiaremos algunas técnicas que nos facilitan hallar una factorización de una expresión algebraica dada. Para aprovechar aprovechar mejor mejor este material es necesario dominar dominar la destreza de multiplicar expresiones que puedes repasar en la lección 3.
Identificación del factor común Usamos la propiedad distributiva para realizar la multiplicación de una suma (o resta) de términos por un un factor. Por ejemplo ejemplo (3 + x )y = 3y + xy . Podemos igualmente usar esta propiedad para deshacer deshacer esta multiplicación. multiplicación. Esto requiere que identifiquem identifiquemos os el factor que es común común a todos común. ún. Por lo tanto nuestra los términos en la expresión. En la expresión 3y + xy ,y es el factor com factorización será 3y + xy = (3 + x )y , ó, equivalentemente, 3y + xy = y (3 + x ).
Generalmente Generalmente conviene factorizar el factor común “máximo” “máximo” posible. Por ejemplo, en el polinomio
12 x y − 9 x y + 15 xy podemos identificar como factor común a todos los términos, varios 3 2
2
3
4
monomios:
xy es factor común porque
12 x y = 12 x y ⋅ xy −9 x 2 y 3 = −9 xy 2 ⋅ xy 4 3 15 xy = 15y ⋅ xy 3 2
3 xy
2
es factor común porque
12 x y = 4 x y ⋅ 3xy −9 x 2 y 3 = −3xy 2 ⋅ 3 xy 4 3 15 xy = 5y ⋅ 3xy 3 2
2
Similarmente podemos establecer que 3 xy2 también es factor común. términos, el cual puede puede hallarse hallarse de Preferimos factorizar el factor común máximo (FC M ) de los términos,
Lección 4 - Factorización de expresiones algebraicas
Preferimos factorizar el factor común máximo (FC M ) de los términos, el cual puede hallarse de la siguiente manera: Primero: Factorizamos completamente los términos. Esto significa que los factores obtenidos son primos (que no pueden ser factorizados más). Segundo: El FCM es el producto de todos los factores presentes en las factorizaciones del paso previo, elevados a la menor potencia en que aparecen, la cual es la potencia 0 si hay una factorización en la que el factor no aparezca. Ejemplos: 1)
{
3
5 6
2 2
2
4 3
Para hallar el FCM de 15a b c , 25ab c , 10a b c
}:
15a b c = 3 ⋅ 5 ⋅ a ⋅ b ⋅ c 3
5 6
3
5
6
Primero:
2 2 2 2 2 Factorizar los términos: 25ab c = 5 a ⋅ b ⋅ c 2 4 3 2 4 3 10 a b c = 2 ⋅ 5 ⋅ a ⋅ b ⋅ c
Segundo:
Formar el FCM. Los factores presentes son 2, 3, 5, a, b, & c. La menor potencia de 2 que aparece es 20 (pues el 2 no aparece en
todas las factorizaciones), la de 5 es 51, la de 3 es 30 , la de a es a1, la de b es b2 , y la de c es c 3 . Entonces el FCM es
2 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ a ⋅ b ⋅ c = 5ab c . 0
2)
1
0
1
2
3
2 3
3
Si queremos factorizar el polinomio 30 x y
2
+ 12 x 2 y 3 z , comenzamos
factorizando completamente sus términos:
30 x y = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ x ⋅ y 2 3 2 2 3 12 x y z = 2 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ y ⋅ z 2 2 2 2 Luego formamos el FCM: 2 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ y = 6 x y . Finalmente hacemos la 3 2 2 3 2 2 factorización: 30 x y + 12 x y z = 6 x y (5x + 2 yz) . 3
2
3
2
Ejercicios: Factoriza completamente los siguientes polinomios: 1)
18a b + 9abc − 27ab c
2)
−4 x 3y 2 + 14 xy 3 z + 8xy 4 z 2
3)
9 xy + 3y w
4)
15a − 25b
3
2
4 3
2
Respuestas
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Reconocimiento de un producto especial
Hay algunas multiplicaciones de polinomios cuyos resultados son productos sencillos. Si recordamos estas multiplicaciones, al ver uno de tales productos podremos dar su factorización. Algunos de estos productos son:
3)
(x + y)( x − y ) = x 2 − y 2 (x + y)( x + y ) = x 2 + 2 xy + y 2 (x + y)( x 2 − xy + y 2 ) = x 3 + y 3
4)
(x − y )( x 2 + xy + y 2 ) = x 3 − y 3
1)
2)
Ejemplos: 2
−9
3)
Usando el producto especial 1, reconocemos que la factorización de x
4)
En el polinomio w + 8w + 16 reconocemos al producto especial 2 y por lo tanto su factorización es (w + 4 )(w + 4)
5)
La factorización de 8 − a es ( 2 − a ) 4 + 2a + a
(x + 3)(x − 3)
es
2
(
3
2
) , usando el producto 4 de la
lista previa. 6)
a + 1 puede ser factorizado como (a + 1)( a − a + 1) , usando el producto 3 de
7)
la lista previa. A veces es necesario usar un poco de imaginación para reconocer alguno de los productos especiales como muestra la siguiente factorización:
3
2
3 2
4 a − 9 b = (2a ) − ( 3b 2
8)
6
2
)
= ( 2a − 3b 3 )(2 a + 3b 3 )
Otras veces debemos hacer más de una factorización antes de obtener una factorización completa como en este caso en el que comenzamos identificando un factor común y luego usamos el producto especial 3:
40 x + 5xy = 5 x( 8 x + y 7
9
6
9
) = 5x ( ( 2 x 2 )
(
3
+ (y 3 )
2
3
)
= 5 x ( 2 x 2 + y 3 ) (2 x 2 ) − 2 x 2 ⋅ y 3 + ( y 3 ) = 5 x ( 2 x 2 + y 3 )( 4 x 4 − 2 x 2 y 3 + y 6 )
2
)
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Ejercicios Factoriza completamente las siguientes expresiones. 5) 6) 7) 8) 9) 10)
64 − a 3 8a + 64 3 56 − 7x 2 4 x + 12 x + 9 6 3xy − 3 x 9 3 x 4 − 2x 2 +1 2
Respuestas
Factorización de polinomios cuadráticos El polinomio típico en una variable tiene tres términos: uno cuadrático, uno lineal (i.e. de grado 1) y uno constante (i.e. de grado 0). Si tal polinomio es factorizable, generalmente lo es como producto de dos factores de la forma ( ax+b ). Antes de seguir con más detalles, conviene tener en cuenta que hay polinomios que no podremos factorizar usando números reales, como, por ejemplo,
x +1. 2
Consideremos la multiplicación ( ax
+ b ) ⋅ (cx + d ).
Este multiplicación produce
(ac) x + (ad + bc )x + bd . Esto sugiere que al tratar de factorizar un polinomio cuadrático con 2
dos factores lineales, usaremos factores lineales que tengan como coeficientes de la variable, números que al multiplicarse den el coeficiente del término cuadrático del polinomio que queremos factorizar. Los términos constantes de los factores serán tales que al multiplicarse den igual al término constante del polinomio que queremos factorizar. Ejemplos:
9)
Para factorizar al polinomio 5 x + 13x + 6 , consideramos el siguiente esquema de factorización: (__ x + __) (__ x + __ ) . Como coeficientes de las x 2
usaremos los factores de 5, que sólo pueden ser 5 & 1. Como términos constantes podemos usar 6 & 1, ó -6 &-1, ó 3 & 2, ó -3 & -2. Además cada miembro de estas parejas de factores pueden ser usados en el primer o en el segundo factor del esquema. Esto implica que existen 8 formas de completar el esquema ( 5x + __ )( x + __ ) . Podemos tratar cada una de estas combinaciones hasta verificar que la factorización correcta es (5x + 3)( x + 2 ). Con la práctica podrás determinar la factorización correcta sin ensayar muchas de las factorizaciones posibles. 10)
La factorización de 24 a
2
+ 25a + 6
es (8a + 3)(3a + 2) .
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Ejercicios Factoriza completamente 11 )
12) 13)
3x + 17x + 10 2 40 u + 17u − 12 2 14a + 18a + 4 2
Respuestas
Factorización por agrupamiento
Algunos polinomios de más de tres términos pueden ser factorizados, si comenzamos agrupando los términos de modo que cada grupo sea factorizable, y al hacerlo descubrimos un factor común o un producto especial. Ejemplos 11 )
Para factorizar el polinomio 2 x
2
+ 2 xy + 3x + 3 y , podemos comenzar
agrupando los primeros dos términos y los últimos dos:
(2 x 2 + 2 xy ) + (3 x + 3y ) .
Luego factorizamos cada uno de los grupos:
2 x ( x + y) + 3( x + y ). Ahora notamos que (x + y) es factor común a ambos grupos y terminamos factorizando como ( 2 x + 3)( x + y) . 12)
La factorización de x
2
+ 2 xy − 1 + y 2 , puede conseguirse agrupando los
primeros dos términos y el último. De esa manera, re-escribimos el polinomio
(
como x
2
+ 2 xy + y 2 ) − 1. Ahora notamos que el primer grupo es el cuadrado de 2
(x + y) , por lo cual podemos expresar el polinomio como (x + y) − 12 , que reconocemos como uno de los productos especiales con factorización final
(x + y + 1)(x + y − 1) .
Ejercicios Factoriza completamente 14) 15) 16)
7 x + 7 xy − 2 x − 2 y 2 2 2 2 x y − 9x − y + 9 −t 4 + t 2 + 2 rt + r 2 2
Respuestas
Asignación: • •
Leer del texto las páginas 15-20 Hacer los problemas 1- 53 (impares) en la página 20
