TRANSFERTS THERMIQUES
I- Généralités
II- Conduction
III- Rayonnement
IV- Convection
V. Applications
TRANSFERTS THERMIQUES I- Généralités
Transfert thermique = Énergie en transit dû à une différence de température Les modes de transfert de chaleur La
conduction transport d’énergie dans la matière sans de déplacement de matière Transport par les électrons (conducteur) ou les phonons (isolant) nécessite un milieu solide de transmission transmission faible dans les gaz La
convection transport d’énergie dans la matière avec déplacemen déplacementt de matière Transport par écoulement de fluide (liquides, gaz) / différence de masse volumique nécessite un milieu fluide de transmission Le
rayonnement transport d’énergie sous forme d’ondes électromagnét électromagnétiques iques pas de déplacement de matière pas de contact entre les objets ou milieux qui échangent l’énergie pas de milieu de transmission nécessaire ( dans le vide, ça marche aussi !) !)
TRANSFERTS THERMIQUES I- Généralités
Transfert thermique = Énergie en transit dû à une différence de température Les modes de transfert de chaleur La
conduction transport d’énergie dans la matière sans de déplacement de matière Transport par les électrons (conducteur) ou les phonons (isolant) nécessite un milieu solide de transmission transmission faible dans les gaz La
convection transport d’énergie dans la matière avec déplacemen déplacementt de matière Transport par écoulement de fluide (liquides, gaz) / différence de masse volumique nécessite un milieu fluide de transmission Le
rayonnement transport d’énergie sous forme d’ondes électromagnét électromagnétiques iques pas de déplacement de matière pas de contact entre les objets ou milieux qui échangent l’énergie pas de milieu de transmission nécessaire ( dans le vide, ça marche aussi !) !)
TRANSFERTS THERMIQUES I- Généralités Flux de chaleur : quantité de chaleur transférée par unité de temps
Φ= dQ
dt
Un flux de de chaleur chaleur s'exprime donc donc en Joules/s, Joules/s, c'est-à-dire en Watt c'est une puissance. Densité de flux de chaleur : quantité de chaleur transférée par unité de temps par unité de surface Une densité de flux de chaleur s'exprime donc W/m 2
dQ S dt
φ = 1
Analogie avec la mécanique des fluides : Un débit fluide est un flux de matière [m 3 /s] Pour obtenir un débit de fluide, il faut force motrice: une différence de pression ou d’énergie potentielle.
Analogie avec l’électricité : Un débit de courant est un flux d’électrons [C/s] Pour obtenir un débit de courant, il faut force motrice: une différence de potentielle électrique. électrique . Un débit de chaleur est un flux de chaleur [J/s] Pour obtenir un débit de chaleur, il faut une force motrice: une différence de température
TRANSFERTS THERMIQUES I- Généralités
Déperdition d’une piscine
3
Échangeurs de chaleur
2
1 Thermique des bâtiments Rendement dans les turbines Équilibre thermique de la Terre Changements climatiques
Capteurs solaires (production ECS)
TRANSFERTS THERMIQUES II- Conduction II.A.- Loi de Fourier
A
B
Dans cette barre métallique chauffée en son extrémité A, on observe un gradient longitudinal de température T(x): T(A) > T(B) Cette différence du potentiel température T(A) - T(B) provoque un flux de chaleur Φ :
Φ = h S [ T(A) - T(B) ] en J/s h est défini comme un coefficient de transfert de chaleur
Milieu de propagation du flux de chaleur: un solide Cause du phénomène:
un écart de température
Dans le béton, la température T(M) va varie de 26°C au contact de l'eau, à 8°C au contact du sol.
Il existe donc une fonction de variation de la température T = T(M) dans le milieu conduisant la chaleur
Puisque la température varie dans le solide en fonction de l'endroit où on la mesure, c'est dire que: Lorsqu'on de déplace de:
M
en
M + dM
T(M + dM) = T(M) + dT
T est une fonction des 3 variables d'espace x, y et z:
La variation totale dT est la somme des 3 variations:
Il existe donc un gradient de température: et la variation totale de température est égale au produit scalaire:
avec:
Cause
Effet un densité de flux
Un gradient local de température
provoque
de chaleur locale
La Loi de Fourier exprime que l'effet produit est proportionnel à sa cause
W/m2
W/(m .°C)
°C/m
TRANSFERTS THERMIQUES I- Conduction II.B.- Champs de lignes isothermes
Définition de (C), une ligne isotherme: La Loi de Fourier:
les vecteurs densité de flux et gradient de température sont colinéaires. conduit donc à l'expression du produit scalaire:
Définition du gradient: Si:
≡0 Si M ∈ (C) alors T(M) = Cte ou dT ≡
on a:
quand M + dM
qui signifie que les vecteurs densité de flux sont orthogonaux aux lignes isothermes
Lignes de flux orthogonales aux isothermes Lignes isothermes
TRANSFERTS THERMIQUES I- Conduction II.C.- conduction en 1D (problème du mur)
1 D ⇒ une seule variable d’espace x
x=0
x=L
Dans le cas général, T dépendra de l'espace: ce sera T(x, t) T(x = 0) = T0 T(x = L) = TL et la Loi de Fourier se réduit à l'équation différentielle
φ = −λ
dT dx
Cause du phénomène de conduction dans le milieu: une différence de température T0 > TL x=0
TL
Flux de chaleur Effet: un Flux de chaleur
φ en W/m2
x=L
Hypothèse stationnaire Dans cette hypothèse, rien ne dépend de la variable temps t : T(x,t) ≡ ≡ T(x)
La température de cette tranche de matière de longueur dx demeure constante
x
φ(x)
x + dx
φ(x + dx)
Par conséquent:
φ(x) == φ(x + dx) Le flux de chaleur est constant φ ( x) = −λ
dT dx
x = L
x = L
x = 0
x = 0
. = −λ (T L − T 0 ) ⇔ φ ( x)dx = −λ dT ⇔ ∫ φ ( x)dx = −λ ∫ T ( x)dx ⇔ φ L
φ = λ
T 0 − T L L
Exemple: mur en béton
L'écart de température T1 - T2 provoque un flux de chaleur à travers le mur: φ = λ
T 1 − T 2 L
Ecart de température: T1 - T2 = 20°C - 5°C = 15°C Epaisseur du mur:
L = 0,20 m
λ pour le béton:
λ = 0,92 W / (m .°C)
Flux thermique à travers le mur:
φ = 0,92 x 15 / 0,20 = 69 W/m2
Puissance pour S = 5 m x 4 m = 20 m2,
Φ = φ S = 1,38 kW
Analogie électrique φ =
Φ
= (T 1 − T 2 ) ⇒ T 1 − T 2 =
S L
ρ
L
λ S
T 1 − T 2
Φ = RΦ
= RΦ 1
R =
est la résistivité électrique
L
λ S
L
= λ
S
≡
Différence de potentiel ρ L Résistance thermique S
1/ λ est la résistivité thermique, inverse de la conductivité R s'exprime en °C/W r est la résistance spécifique r = R.S =
L
λ
φ =
Φ
λ
= (T 1 − T 2 ) ⇒ T 1 − T 2 = r φ
S L r s'exprime en °C.m²/W
Mur multicouches (1D stationnaire) Chaque couche est caractérisée par: son épaisseur ei sa conductivité
λi
les températures Ti et Ti+1 de ses 2 faces
La densité de Flux thermique est constante tout le mur:
Φ= 1
T 1 − T 2 R1
= ... =
− T n+1
T n
R1
Rn
∑ R
i
Rn
= = ... = = Φ T 1 − T 2 T n − T n +1 T 1 − T n +1 Φ=
∆T
∑ R
i
i
= S
i
∆T
∑ e λ i
i
i
Loi du mur simple avec additivité des résistances spécifiques
TRANSFERTS THERMIQUES I- Conduction II.D.- équation générale de la chaleur Expression locale de la loi exprimant un lien causal entre un apport d'énergie et une variation de température – application du 1er principe de la thermodynamique
Apport d’énergie implique Φdt = ∫∫∫ ρ .c.dT .dV une variation d’énergie du corps V
Les apports peuvent être : 1 - Flux par conduction reçu par un volume V délimité par une surface S rr
Φ[W ] = − ∫∫ φ .n.dS
∫∫
rr
soit un apport d'énergie QC [ J ] = − dt . φ .n.dS
S
S
2 - Éventuellement, apport thermique de sources de chaleur internes de densité de puissance volumique p [W/m3] Q [ J ] = dt . p.dv
∫∫∫
I
V
1er principe : Qc+Qi=∆U=mc ∆T
rr
− dt .∫∫ φ .n.dS + dt .∫∫∫ p.dv = ∫∫∫ ρ dV .c.dT S
V
V
r→
→ r ∫∫ φ n ds = ∫∫∫ div φ dv = ∫∫∫ ∇φ .dv
(Formule d'Ostrogradski)
r ∂T − ∇ φ + p − ρ c dv = 0 ∀V Bilan thermique ∫∫∫ ∂t V
Loi de Fourier
r
r
r
∇(λ ∇T )+ p − ρ c
φ = −λ ∇T
r
∇(∇T ) +
Milieu homogène isotrope
= 0 ⇒ ∆T +
p ρ c ∂T
λ
−
λ ∂t
=0
Le cuivre a une diffusivité thermique a = 1, 1 . 10-4 m2 /s)
∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∂2 ∆= 2 + + + ∂r r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂ z 2
∂ 2 (r .) ∂2 1 1 ∂ ∂ ∆= + 2 sin θ + 2 2 r ∂r 2 r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 2
Régime stationnaire
∆T +
λ ∂t
∂T =0 ∂t
λ [m2s-1] ρ c
Diffusivité thermique ∂2 ∆= 2 ∂α
λ
− ∇φ + p − ρ c
∂T =0 ∂t
p ρ c ∂T
−
r
p
λ
=0
Équation de Poisson
a=
Milieu inerte
∆T −
1 ∂T a
∂t
=0
Équation de Fourier
1
Régime stationnaire+milieu inerte
∆T = 0 Équation de Laplace
Conditions aux limites Indispensables pour la résolution de l'équation 2 grands type (Dirichlet, Neumann) Conditions de Dirichlet : les CL imposent la température en surface (ou en un point particulier) à chaque instant
T S = T ( xs , y s , z s ) -assez éloignées de la réalité (imposer une température ?!) -facilitent les calculs Conditions de Neumann : les CL imposent le flux en surface à chaque instant
φ S = φ ( xs , ys , z s , t ) -Plus réaliste (tiens compte des flux par rayonnement par exemple) -Dans le cas stationnaire, φS= φ0
TRANSFERTS THERMIQUES I- Conduction II.E.- Modèles élémentaires
∂ 2T ( x) ∆T = 0 → =0 ∂ 2
Mur homogène, régime stationnaire, conductivité constante T ( x) = C 1 x + C 2 x = 0 → T = T 1
C 1
x = δ → T = T 2
C 2
=−
T 1 − T 2
δ
T ( x) = −
T 1 − T 2
Φ = −λ S
= T 1
Φ=
∆T R
x + T 1
δ dT dx
=
λ S (T 1 − T 2 ) δ δ
R
=
T1
T2 φ
S
Mur homogène à N couches, régime stationnaire
T2
1
T1
φ
T2
T3
Tn
φ
Tn+1 φ
On apllique pour chaque couche le modèle précédent λ S T − T i +1 T − T ∆T Φ = i (T i − T i +1 ) Φ = 1 N +1 = T ( x) = − i x + T i δ i δ i ∑ Ri RT i 1 N
Tn+1 RT
= i
δ i 1... N λ i S
∑ =
Cylindre creux homogène, régime stationnaire, conductivité constante
∂ 2T (r ) 1 ∂T (r ) ∆T = 0 → + =0 r ∂r ∂r 2
T1
r1 r2
T2
L T (r ) = T 1 − (T 1 − T 2 ) u=
dT
→
du
u
+ =0
dr dr r ln u + ln r = ln C 1 r = r 1 → T = T 1 r = r 2
→ T = T 2
T (r ) = C 1 ln r + C 2 C 1 C 2
=
T 1 − T 2 ln r 1 r 2
= T 1 − (T 1 − T 2 )
Φ = −λ S (r )
dT
Φ = φ S (r ) =
1
ln r 1 ln r 1 r 2
R
=
dr R
=
ln r r 1
ln r 2 r 1
λ S (r ) (T 1 − T 2 ) r
∆T = ∆T
ln r 2 r 1
λ r ln r 2 r 1
ln r 2 r 1 2π L . .λ
-Φ er R sont indépendant de r - On utilise souvent une puissance linéaire linéique Φl=Φ pour 1 m de tuyau (L = 1 m)
2π rL
Cylindre creux homogène à N couches, régime stationnaire, conductivité λi constante Φ est indépendant de r il se conserve au passage de N couches
On apllique pour chaque couche le modèle précédent
r1
T (r ) = −
(T i − T i +1 ) ln r ln r i
ln r i +1
r2 r3
Φ = 2π Lλ i
+ T i
ln r i
(T i − T i +1 ) ln r i +1 r i ln r + ∑ =
n 1
1
Φ
=
Φ=
Exemple : canalisation calorifugées
ln r 2 r 1 2π Lλ 1 (T 1 − T 2 ) 1
RT
∆T
= ... =
RT =
ln r n+1 r n 2π Lλ n (T n
ln r + ∑ =
n 1
i 1.. N
r n
− T n+1 )
2π Lλ i
= i 1.. N
r n
2π Lλ i
T 1 − T N +1
Mur homogène, régime stationnaire, conductivité constante, CL Dirichlet + Neumann T ( x) = C 1 x + C 2
C 2
= T 1
T1
x = 0 → T = T 1
φ ∂T ( x) φ 2 = −λ = −λ C 1 ⇒ C 1 = − 2 x = δ → φ (δ ) = φ 2 λ ∂ x x =δ φ φ δ δ T ( x) = − 2 x + T 1 ⇒ T (δ ) = T 2 = − 2 δ + T 1 ⇒ T 2 − T 1 = −φ 2 = −φ λ λ λ λ δ ∆T R= Φ= λ S R
Cylindre plein, régime stationnaire, conductivité λ constante Idem cylindre creux avec r1 0 Physiquement inacceptable, sauf si C 1=0
r →0 T (r ) = C 1 ln r + C 2 → ∞
T(r)=constante, donc Φ = 0 W
T2 φ
Mur composite, régime stationnaire
T2 Problème a priori 2D, mais l'approximation 1D permet
T1
cependant une bonne modélisation de la réalité
φ
T1
∂ 2T ( x) ∆T = 0 → =0 ∂ x 2
T2 φ
T1
T2
R1=e1 /(λ1S1)
φ Mur composite de N couches caractérisées par:
R1=e1 /(λ1S1)
T1
T2
son épaisseur ei sa conductivité
λi
R1=e1 /(λ1S1)
sa surafce Si les températures T1 et T2 de ses 2 faces
Φ=
∆T RT
=
∆T 1
∑ R =
i 1.. N
i
Ri
=
ei
λ i S i
TRANSFERTS THERMIQUES I- Conduction II.F.- Modèle du milieu semi-infini
T, Φ Milieu semi infini = milieu dont les dimensions sont suffisamment grandes pour que les perturbations (T ou Φ) appliqueés sur l'une des faces ne se fassent pas ressentir sur l'autre
Résolution de l'équation de la chaleur Description réaliste du sol
⇓
Transformée de Laplace d'une fonction Méthode de séparation des variables Théorème de superposition (décomposition de Fourier) Fonction de Green Calcul numérique
Tranformée de Laplace ∞
∫
F ( p) = L[ f (t )] = exp(− pt ) f (t )dt 0
Linéarité : L[af(t)+bg(t)]=aL[f(t)]+bL[g(t)] Dérivée : L[fn(t)]=pF(p)-f(0+)] Similitude : L[f(kt)]=(1/k)F(p/k) Dérivation : F(n)(p)=L[(-1)ntnf(t)]
voir cours méthématiques
f continue bornée sur [0, + ∞[ (même par morceaux) ∃α 0<α<1 / tα|f(t)| → 0 si t→0 Si f est définie sur |R, f est nulle sur |R F(p) définie pour p>0 (majoration à l’ ∞) Si p complexe c'est la transformée de Fourier
f(t) 1 (Heaviside) t 1/t t ∂nT(x,t)/ ∂xn (1/p)exp(-qx) q²=p/a
F(p) 1/p 1/p2 non définie 1/p2 dnF(p)/dxn 1-erf[x/(4at)1/2]
les tables de tranformées de Laplace permettent un passage relativement aisé f(t) F(p) l'inverse n'est pas toujours très simple !
Exemple : équation de la chaleur unidimensionnelle sans source (soit Π(x,p) =L[T(x,t)]
∂ 2T ( x, t ) 1 ∂T ( x, t ) − =0 ∂ x 2 ∂t a
Équation de la chaleur Transformée de Laplace
d 2 Π ( x, p) dx 2
1
− [ pΠ ( x, p) − T( x,0 + )] = 0 a
d 2 Π ( x, p) dx 2
p
T 0
a
a
− Π ( x, p) =
Eq. Diff. Conventionnelle à résoudre, puis inversion F(p) f(t) pour la solution finale Changement de variable T*(x,t) = T(x,t) − T 0 ⇒ Π *(x,p) = Π(x,p) − T 0 p 1 a
[ pΠ ( x, p ) − T0 ] =
d 2 Π * ( x, p ) dx 2
p
T0
p
a
p
a
Π ( x, p ) −
=
Π * ( x, p)
p
− Π * ( x, p) = 0 ⇒ Π * ( x, p ) = A exp(−kx) + B exp(+ kx) a
Conditions initiales détermination des constantes d’intégration A et B
k 2
=
p a
Application : mur semi-infini à température T0, λ constant, soumis à un saut de température T 1
T1 appliquée « brusquement » ∂ 2T ( z, t ) 1 ∂T ( z, t ) ∂ z 2 − a ∂t = 0 T ( z ,0) = T 0 T (0, t ) = T 1
T0
d 2 Π * ( z , p) p − Π * ( z , p) = 0 2 dz a Π * ( z ,0) = 0 T − T Π * (0, p) = 1 0 p
z Π * ( x, p ) =
T 1 − T 0 p
exp −
∂ 2T * ( z , t ) 1 ∂T * ( z, t ) − =0 ∂ z 2 ∂ a t T * ( z ,0) = 0 T * (0, t ) = T − T 1 0
p p z Π * ( x, p ) = A exp − z + B exp + a a
Π* ne peut pas → ∞ (majoration) : B=0 x = 0 ⇒ Π * ( x, p) =
exp −
p z a
tables 1
F ( p ) =
p
p x a
T 1 − T 0 p
= A exp(0) = A
1 z ⇒ T ( x, t ) = T 0 + (T 1 − T 0 )erfc z 4at 4at
T * ( x, t ) = (T 1 − T 0 )erfc
x 4at
→ f (t ) = erfc
Fonction erreur erf(u) et fonction erreur complémentauir erfc(u) erf(u ) =
2
π
u
∫
exp(− ξ 2 )d ξ
0
erfc(u ) = 1 − erf(u )
Fonction tabulée (pas de solution analytique)
erf( 0) = 0 erf (∞ ) = 1 erf( −u ) = − erf(u )
d du
erf(u ) =
2
π
exp(− u 2 )
α 2 u 2 d 2 erf(u ) = exp − 2 d α erf(u ) = exp − 2 ∫ du π β 0 π . β β β 2 1
u
1
1 1 z ⇒ T ( x, t ) = T 0 + (T 1 − T 0 )erfc z = T 1 − (T 1 − T 0 )erf z at at at 4 4 4
T * ( x, t ) = (T 1 − T 0 )erfc
On peut donc également calculer la densité de flux qui traverse le plan (la surface) z=0 dT ( z , t )
Φ = −λ S =
1
b = (λρ c )2
dz
λ S (T 1 − T 0 ) π at
z =0
=
=
2λ S (T 1 − T 0 )
π 4at
λ S (T 1 − T 0 ) π
λ t ρ c
=
1 2 z 4at z =0
exp −
λρ c S (T 1 − T 0 ) π .t
= bS
(T 1 − T 0 ) π .t
Effusivité thermique du matériau. Le flux pénétrant dans le matériau est proportionnel à son effusivité !
Mise en contact de deux milieux semi-infinis Milieu 1, température initiale T 1, effusivité b 1 Milieu 2, température initiale T 2, effusivité b 2
T =
b1T 1 + b2T 2 b1 + b2
Si T1>T2 ϕ1=b1(πt)-1/2(T-T1)<0 et ϕ2=b2(πt)-1/2(T-T2)>0 Conservation du flux ϕ1=-ϕ2
Si b1≈b2 alors T≈(T1+T2)/2 Explication de la sensation Si b1>>b2 alors T≈T1 physiologique des températures (cf. TD)
Méthode de séparation des variables
On cherche s’il existe une solution particulière à variables séparées satisfaisant le système d’équation (chaleur + CL) : T(x,t)=X(x).Y(t) ∂ 2T ( z , t ) 1 ∂T ( z , t ) ∂ z 2 − a ∂t = 0 T ( x, y , z ,0) = CL1 T ( x , y , z , t ) = CL 2 0 0 0 X " ( z ) = α = −k 2 X ( z )
1 Y ' (t ) a Y (t )
X " ( z ) 1 Y ' (t ) X ( z ) = a Y (t ) T ( x,0) = CL1 T ( x , t ) = CL 2 0
∂ 2 X ( z ) X ( z ) ∂Y (t ) =0 Y (t ). ∂ z 2 − a t ∂ T ( x,0) = CL1 T ( x , t ) = CL 2 0
= α = − k 2
Y (t ) = δ exp(− ak 2t )
α> 0 car sinon T∞ pour t∞ Modèle adaptée pour les phénomènes qui tendent vers une distribution de la température constante àl’équilibre
a
X " ( z ) X ( z )
Y ' (t ) Y (t )
= β = iω
= β = iω
Y (t ) = η exp(iω t )
Modèle adaptée pour les phénomènes périodiques en fonction du temps
La solution élémentaire = X(z).Y(t) + Ci les conditions aux limites sont essentielles
Application : mur semi-infini à température T0, λ constant, soumis à une variation périodique de sa température en surface (modèle du sol sous rayonnement solaire)
T1
∂ 2T ( z , t ) 1 ∂T ( z , t ) =0 ∂ 2 − ∂ z a t θ : fluctuation de température T (∞,0) = T 1 T (0, t ) = T + A cos ω t 1 0 Y ' (t ) Y (t )
= β = iω ⇒ Y (t ) = η exp(iω t )
X " ( z )
z
∂ 2θ ( z , t ) 1 ∂θ ( z , t ) ∂ z 2 − a ∂t = 0 θ (∞,0) = 0 θ (0, t ) = A cos ω t 0
X ( z )
=
β a
=
iω a
= i 2 k 2 ⇒ X ( z ) = κ exp(− ikz ) + µ exp(+ ikz )
θ ( z , t ) = [κ exp(− ikz ) + µ exp(+ ikz )]×η exp(iω t )
la solution doit être finie si x∞ : µ = 0 θ(0,t)=A0cosωt : κη=A0
iω θ ( z , t ) = A0 exp − z exp(iω t ) a
1
or β = iω =
ω 2
(1 + 2i − 1) =
ω 2
(1 + i )2 ⇒
ω 2 = (1 + i ) a 2a
iω
1 ω 2 θ ( z , t ) = A0 exp − (1 + i ) z exp(iω t ) iω 2a θ ( z , t ) = A0 exp − z exp(iω t ) a 1 1 2 2 ω ω = A0 exp − z exp(i ω t − ) 2a 2a 1 1 L’amplitudes oscillations décroît rapidement 2 ω 2 ω si on s’éloigne du plan z=0 = A0 cos ω t − exp − z pour des fréquences croissantes 2a 2a Il existe un déphasage temporel des oscillations 1 entre deux profondeurs ω 2 z = A0 cos ω t − exp − 2a D
D : profondeur d'amortissement (à cette profondeur la variation cyclique de T est atténuée par le facteur 1/e = 37% (86% à 2 D, 98% à 4D) T est à peu près constante (=T 1) pour z=4D. 1
2a 2 ω
D =
a =0,5.10-6 m2s-1 D= 0,12 m (4D = 0,48) w = (2π)/(24.3600) T0 = 15 °C, A 0 = 5 °C
La diffusivité thermique des sols est dans la gamme a=0,5.10-6 m2s-1. Cas de l’ensoleillement journalier : période du signal 24h D=0,1173 m Cas de l’ensoleillement annuel : période du signal 365 jr D=2,2411 m Cas d’une période glaciaire : période du phénomène 1000 ans D=224,11 m les bonnes caves sont toujours à quelques mètres sous terre ! le permafrost (sol gelé en profondeur lors de la dernière glaciation) ne dégèle que très superficiellement pendant l’été
TRANSFERTS THERMIQUES II- Convection II.A.- Loi de Newton
C'est le transfert de chaleur par des courants de fluides, liquides ou gazeux. Ce phénomène peut se développer naturellement, les différences de potentiel motrices étant des différences de densité: c'est la CONVECTION NATURELLE. On peut aussi le générer mécaniquement à l'aide de pompes ou de ventilateurs: c'est la CONVECTION FORCEE.
Coefficient d'échange de chaleur par convection convection = transfert de chaleur par déplacement de fluide mécanisme de transfert décrit par la loi de Newton
T∞ Φ
fluide TP
S
Φ = hS (T P − T ∞ ) Φ h TP T∞ S
loi de Newton
Flux de chaleur transmis par convection coefficient de transfert température de la surface d'échange température du fluide loi de la surface d'échange aire de la surface d'échange solide/fluide
[W] [W.m-2K-1] [K, °C] [K, °C] [m2]
La valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection h est fonction de la nature du fluide de la température du fluide de la vitesse de déplacement du fluide des caractéristiques géométriques de la surface de contact
∆T =
Φ = hS (T P − T ∞ )
Φ h.S
= Rth Φ
conduction pure
Φ=
Φ
conv th
R
=
1 h.S
conduction + convection
T 1 − T N +1 R ∑ =
=
i
∆T RT
Φ
T1
T2
i 1... N
RT
=
δ i ∑ i =1... N λ i S
interface A
Φ=
T1
T2
Les lois relatives à la conduction s'appliquent également pour la convection (série, parallèle)
interface B 1
h A .S
RT
=
+
1 h A .S
T 1 − T N +1 ei
∑ =
i 1... N
+ i
∑ =
+
1
+
1
λ i .S h B .S ei
h B .S 1... N λ i S
=
∆T RT
Cylindre 2πrL
TRANSFERTS THERMIQUES II- Convection II.B.- Mécanismes de convection / régimes d'écoulement
Convection = transfert de chaleur par déplacement de matière (fluide) différents mécanismes de tranfert le type d'écoulement est important dans la description du problème Tranferts de chaleur et transferts de masse liés mécanique des fluides + transferts Convection libre Fluide en mouvement par les différence de masse volumique en son sein dues à ∆T et gravité Convection forcée Fluide en mouvement par une cause extérieure à la flottabilité (ventilateur, pompe…) Écoulement laminaire Écoulement directionnel (ou irrotationnel) lignes de fluide parallèles (lignes de courant) conduction dans une direction ⊥ aux lignes de courant convection + conduction (négligeable) pour toute autre direction Écoulement turbulent Pas de direction privilégiée (pas unidirectionnel), mais déplacement d'ensemble possible convection + conduction (négligeable) dans toutes les directions
Chaque situation fait intervenir un certain nombre de paramètres déscriptifs de la situation
Problème majeur pour calculer le flux de chaleur par convection la détermination de h !!!!!! Nombreux paramètres descriptifs Analyse dimensionnelle
Théorème de VASCHY-BUCKINGHAM Groupes adimensionnés (combinaisons des paramètres) Mesures expérimentales lois de corrélation entre groupes
Détermination du coefficient h par connaissance des caractéristiques du fluide
TRANSFERTS THERMIQUES II- Convection II.C.- Analyse dimensionnelle appliquée à la convection forcée
Le problème consiste à préciser l'expression du flux thermique Φ échangé entre le fluide extérieur à la température T∞ et une longueur unité de la surface du tuyau à la température TP
Flux transféré, en Watt
Φ
(
)
= h Tp - T∞ π D
Surface d'échange par m de tuyau, en m2
en W/(m2.K) Ecart de température entre paroi extérieure et fluide à l'infini, en K
8 Grandeurs physiques et 4 dimensions: M, L, T et θ
Toute fonction G de p variables indépendantes xi mesurée par q unités fondamentales (avec p > q) s’exprime a b q nécessairement sous la forme : G ( x1 , x2 ,..., xq ) = x1 x2 ... xq F (π q +1,π q + 2, ..., π p ) = 0 les variables x1, x2, …,xq étant choisies dimensionnellement indépendantes. Les fonctions πi sont des groupements adimensionnels des variables x1, x2, …,xp.. Dans la pratique, on choisit pour x1, x2, …,xq les paramètres que l’on considère comme essentiels pour le problème considéré et que l’on veut voir figurer explicitement dans l’expression de G. Le théorème de VASCHY-BUCKINGHAM permet donc de prévoir que la forme la plus générale de la loi physique décrivant le phénomène étudié s'écrira: F (π 1 , π 2 , π 3 , π 4 ) = 0
π i :groupements sans dimension de la forme: π = D a λ bU ∞c ρ d µ eC f h g (T P
− T ∞ )i
Matrice dimensionnelle
D
λ
U∞
ρ
µ
C
h
TP-T∞
L, longueur
1
1
1
-3
-1
2
0
0
M, masse
0
1
0
1
1
0
1
0
T, temps
0
-3
-1
0
-1
-2
-3
0
θ, température
0
-1
0
0
0
-1
-1
1
Dimensions
L
LMT-3θ-1
LT-1
L-3M
exposant
a
b
c
d
L-1MT-1 L2T-2θ-1 MT-3θ-1
e
f
g
θ
i
Le rang de cette matrice est 4 (nombres de vecteurs indépendants)
On choisit 4 vecteurs tels que toutes les dimensions soient représentées ils soient des vecteurs indépendants (D, λ, µ, ρ) ok, (D, λ, h, ρ) non ok car [h]=[ λ]-[D]
les vecteurs restants [ αi]
au nombre de 4 (8 variables - 4 dimensions) calcul de π1, π2, π3, π4
π i = D a λ b ρ d µ e .α iexposant i
Obtention des groupements Considérons que D, λ, µ, et ρ (vecteurs indépendants soient les grandeurs fondamentales de notre problème, 8x i-4xi(indep)=4αi G ( D, λ , µ , ρ , U ∞ , C , h, ∆T ) = D a λ b µ e ρ d F (π 1 , π 2 , π 3 , π 4 ) = 0
⇒ F (π 1 , π 2 , π 3 , π 4 ) = 0
π i = D a λ b ρ d µ e .α iexposant i
5 inconnues (a, b, d, e, exposant i) et 4 équations 1 des exposants peut être choisi arbitrairement divers groupements sont donc obtenus, mais certains se sont imposés par leur utilité
Calcul de π1 pour α1=h π 1 = D a λ b ρ d µ e .h g = [ L]a [ LMT −3θ −1 ]b [ L−3 M ]d [ L−1 MT −1 ]e [ MT −3θ −1 ]g Longueur Masse Temps Température
: : : :
a+b-3d-e=0 b+d+e+g=0 -3b-e-3g=0 -b-g=0
5 inconnues (a, b, d, e, g) / 4 équations Hypothèse : g=1soit h=h(…)
g = 1 b = -g = -1 e = -3b-3g = 0 d = -b-e-g = 0 a = -b+3d+e=1
π 1 = Nu =
hD
λ
Calcul de π2 pour α2 = U∞ π 2 = D a λ b ρ d µ e .U ∞c = [ L]a [ LMT −3θ −1 ]b [ L−3 M ]d [ L−1 MT −1 ]e [ LT −1 ]c Longueur Masse Temps Température
: : : :
a+b-3d-e+c = 0 b+d+e = 0 -3b-e-c = 0 -b = 0
5 inconnues (a, b, c, d, e) / 4 équations Hypothèse : c=1 soit U ∞=U∞(…)
c = 1 b = 0 e = -3b-c = -1 d = -b-e = 1 a = -b+3d+e-c = 1
π 2 = Re =
ρ U ∞ D µ
Calcul de π3 pour α3 = C π 3 = D a λ b ρ d µ e .C f = [ L]a [ LMT −3θ −1 ]b [ L−3 M ]d [ L−1 MT −1 ]e [ L2T −2θ −1 ] f Longueur Masse Temps Température
: : : :
a+b-3d-e+2f = 0 b+d+e = 0 -3b-e-2f = 0 -b-f = 0
5 inconnues (a, b, d, e, f) / 4 équations Hypothèse : f=1 soit C=C(…)
f = 1 b = -f = -1 e = -3b-2f = 1 d = -b-e = 0 a =-b+3d+e-2f=0
π 3 = Pr =
Calcul de π4 pour α4 = TP-T∞ i π 4 = D a λ b ρ d µ e .(T P − T ∞ ) = [ L]a [ LMT −3θ −1 ]b [ L−3 M ]d [ L−1 MT −1 ]e [θ ]i Longueur Masse Temps Température
: : : :
a+b-3d-e = 0 b+d+e = 0 -3b-e = 0 -b+i = 0
C
λ
5 inconnues (a, b, d, e, i) / 4 équations Hypothèse : i=1 soit C=C(…)
i = 1 b = i = 1 e = -3b = -3 d = -b-e = 2 a =-b+3d+e = 2 2 D 2λρ 2 C Re π 4 = (T P − T ∞ ) = . (T P − T ∞ ) 3 Pr U µ
Ec =
U ∞2 C (T P
− T ∞ )
Corrélations – conclusion de l'analyse dimensionnelle F (π 1 , π 2 , π 3 ,
4
)=0
F ( Nu, Re, Pr, Ec) = 0
En écoulement subsonique F (Nu, Re, Pr ) = 0 ⇒ Nu = f(Re, Pr)
hD
λ
ρ U ∞ D µ C , µ λ
= f
La méthode dimensionnelle fournit les grandeurs réduites elle ne donne pas la relation qui les lie les relation sont donc obtenues par dépouillement de données expérimentales recherche dans les tables, bibliographies, … Caractéristiques du fluide calculées en θ = (θP-θ∞) /2
Eau à 50 °C ρ = 988 kg/m3 µ = 0,55.10-3 Pa.s λ = 0,639 W/(m.°C) C = 4.184 J/(kg.°C)
Calcul du Nombre de Nusselt (Formule de Colburn)
N u = 0,023 Pr
1
3
Re
0,8
Pr = 10 Pr = 3,6 Nu = 225 Pr = 1 NR = 57124
Les résultats expérimentaux sont généralement exprimés sous la forme Nu
= ψ + η Reκ Pr ξ
TRANSFERTS THERMIQUES II- Convection II.D.- Cas de la convection libre (dite naturelle) Fluide (T∞, ρ∞)
Fluide (T∞, ρ∞) r r f = −∆ ρ g
V=1u m = ρ∞
TP=T∞
TP=T∞+∆T
V=1u m = ρ∞-∆ρ
t=t0
t=t0+dt r r r r r r f F P = = Force ascensionnelle ∑ Archimède + Poids = − ρ 0V g + ( ρ 0 − ∆ ρ )V g = −∆ ρ V g r r r r r ∆ ρ r ∆ ρ r g≅− g Accélération de la bulle ∑ F = mγ → − ∆ ρ V g = ( ρ 0 − ∆ ρ )V γ → γ = − ρ 0 − ∆ ρ ρ 0 1 ∂V 1 ∂ m ρ Coefficient de dilatation ∂ 1 ρ β = = = ρ ∂ V ∂T P m ρ ∂T P T 1 ∂ ρ 1 ∆ρ P ≅ β = − ρ ∂T P ρ ∆T d (1 / F ( x) ) d (F ( x) −1 ) dF ( x) = = −1. or .F ( x) − 2 dx
dx
dx
Module de l'accélération produite par l'expansion thermique
= β g∆T
- β [K-1] - g [m.s-2]
Accélération = mouvement Le gradient de température induit un gradient de masse volumique et donne naissance à un courant de convection
Application courante : ascension de l'air proche du sol au lever du soleil développement d'une couche limite convective au-dessus du sol (mais complexe car couplage avec l'humidité) l'acsension des masses d'air cesse lorsque la température du fluide diminue (gradient thermique de l'atmosphère), où que la température ambiante augmente. l'atmosphère possède souvent une inversion thermique autour de 2000 m (T croit avec altitude au-delà !) limite le développement de la couche convective (air froid sous air chaud) = CLA
βg∆T ou βg(T-T∞) est le module de l'accélaration du fluide en mouvement. β est appelé coefficient de flottabilité en science de l'atmosphère.
Les paramètres décrivant le transfert sont donc les caractéristiques du fluide : λ, ρ, µ, C, β, g de la paroi : L (ou D), h de la différence de température (TP-T∞) +humidité 9 grandeurs, 4 dimensions (L, M, T, θ) 5 nombre adimensionnés 3 groupements couramment utilisés
Nu =
hL
λ
β g (T P − T ∞ ) ρ ∞2 L3 Gr = µ 2 Nu = f (Gr, Pr )
Pr =
C µ
λ
TRANSFERTS THERMIQUES II- Convection II.E.- Méthodologie de résolution des problèmes de convection
Convection forcée 1- calcul des nombres adimensionnés Re et Pr 2- suivant la valeur de Re et la configuration choix de la corrélation 3- calcul du nombre Nu par application de la corrélation 4- calcul de h = λNu/D (ou λNu/L) et de φ=hS(TP-T∞) Convection naturelle 1- calcul des nombres adimensionnels Gr et Pr 2- suivant la valeur de Gr et la configuration choix de la corrélation 3- calcul du nombre Nu par application de la corrélation 4- calcul de h = λNu/D (ou λNu/L) et de φ=hS(TP-T∞) Il faut dans tous les cas connaître ρ, λ, µ, et C du fluide aux températures considérées Généralement, les résultats obtenus sont approximatifs (précision de la corrélation) problèmes intéressants, mais complexes : convection avec changement d'état
TRANSFERTS THERMIQUES II- Convection II.F.- Interprétation des nombres adimensionés
Nu : nombre de NUSSELT Φ convection = hS (T P − T ∞ )
hL L λ Rcond Φ convection Nu = = = = Φ conduction = (T P − T ∞ ) λ 1 h Rconv Φ conduction L Caractérise le type de transfert (convectif ou conductif) Re : nombre de REYNOLDS
λ S
F inertie F viscosité
U ∞2
≈ ρ
U ∞2
ρ Caractérise le régime d'écoulement D Re = D = ρ U ∞ D = U ∞ D = F inertie (laminaire, transitoire, turbulent) U U µ ν F viscosité ≈ µ ∞2 µ ∞2 D D Cas d'une tuyauterie
Re > 5000 : turbulent 2400
Re faible (petit mélange)
Re fort (grand mélange)
Pr : nombre de PRANTDL viscositédynamique diffusivit é thermique
µ µ ρ µ C viscositédynamique ρ Pr = = = λ λ diffusivit é thermique λ = ρ C ρ C
=
Caractérise les profils de vitesse et de température (importance de la diffusion visqueuse / à la diffusion thermique
Gr : nombre de GRASHOF F ascentionnelle = ργ = ρβ g∆T U ∞
F viscosité
≈ µ
F inertie
≈ ρ
L2 U ∞2 L
U ∞2 ( ρβ g∆T ) ρ 2 D ρ = β g (T − T ) L3 = F ascentionnelle .F inertie Gr = ∞ P 2 µ F viscosité .F viscosité U ∞ µ D 2 Re Caractérise le rapport des effets thermiques aux effets visqueux en convection naturelle
Ri : nombre de RICHARDSON ρβ g (T P − T ∞ ) β g (T P − T ∞ ) L F ascentionnelle = ρ Ri = = = L 2 2 U U F inertie ∞ F ascentionnelle = ργ = ρβ g∆T ρ ∞ F inertie
U ∞2
L
Caractérise le rapport des forces d'Archimède aux forces d'inertie Ri >> 1 : Archimède >> inertie convection naturelle dont le moteur d'écoulement est Archimède Ri = 1 : Archimède du même ordre de grandeur que inertie
vitesse caractéristique U 0 2
2
ρ U L U 0 = = [β g (T P − T ∞ )L]2 Gr = β g (T P − T ∞ ) L3 = 0 ≅ Re 2 Ri ν µ Gr½ équivalent analogue à un Re en convection naturelle (laminaire/turbulente) β g (T P − T ∞ ) L
1
Ec : nombre d'ECKERT Ec =
U ∞2 C (T P
ρ U ∞2
= − T ∞ ) ρ C (T P − T ∞ )
Caractérise le rapport de l’énergie mécanique et de l’énergie thermique (phénomène de conversion que l'on rencontre dans les tuyères à nombre de Mach élevé
TRANSFERTS THERMIQUES II- Convection II.G.- Exemple d’application 1- une géométrie : un tuyau à section circulaire transportant de l'eau chaude.
2- une dimension caractéristique : un diamètre D = 20 mm 3- un écart de température TP-T∞ entre la paroi et le fluide, par exemple TP=15°C et T ∞ =50°C 4- un fluide en écoulement à la vitesse moyenne U∞ : le tuyau transporte un débit Q=0,5 l/s
La vitesse moyenne d’écoulement est donc U ∞ = Q/S = 1,6 m/s 5- un fluide de caractéristiques ρ, µ, C, λ dans le domaine TP et T∞ (la moyenne par
exemple)
Eau à 50 °C : ρ = 988 kg/m3, µ = 0,55.10-3 Pa.s, λ = 0,639 W/(m.°C), C = 4184 J/(kg.°C)
6- calcul des nombres adimensionnés Re et Pr pour obtenir Nu
Nu = f (Re , Pr ) →
hD
λ
µ C 0,55.10 −3.4184 Pr = = = 3,60 0,639 λ
ρ U ∞ D µ C , µ λ
= f
7- calcul de Nu par choix d’une corrélation
Re =
Nu = f (Re , Pr ) →
U ∞ D
µ hD
λ
=
1
Nu = 0,023Pr 3 Re 0,8 8- calcul de h
Nu =
hD
λ
→h=
λ D
Nu =
0 ,639 0 ,02
= 224
224 = 7156W .m − 2 K −1
9- calcul du flux de chaleur
Φ = hS (T P − T ∞ ) = h.π D. L(T P − T ∞ ) = 15,7kW / m
0,55.10 − 3
ρ U ∞ D µ C , µ λ
= f
pour 104 < Re < 1,2.105 et 0,7 < Pr < 100 on applique la corrélation de COLBURN
988.1,6.0,02
= 57,124
TRANSFERTS THERMIQUES III- Rayonnement III.A.- Généralités Cette forme de transfert d'énergie n'a besoin d'aucun milieu de transport. Ce transfert a également lieu dans le vide. La différence de potentiel motrice est la différence entre les puissances quatrièmes des températures de la source et du récepteur.
Principe d'un four solaire: Le rayonnement solaire concentré par le miroir parabolique élève la température du récepteur jusqu'à 300 °C
Rayonnements phénomène de surface E = hυ = hc/ λ c=λυ = c0 /n (c0 = 3.108 ms-1 dans le vide) passage n1 / n2 : υ1= υ2= υ = c1 / λ1 = c2 / λ2
Nomenclature générale λ 3 km 300 m
υ 100 khz 1MHz
30 m
10 MHz
3m
100 MHz
30 cm
1 GHz
3 cm
10 GHz
0.3 cm
domaine ondes radio
micro-ondes
100 GHz
300 µm 30 µm 3 µm 0.3 µm 300 A 30 A
infrarouge thermique vis, pir, mir ultraviolet rayons X
3A 0.3 A 0.03 A
rayons Gamma
Rayonnement Direct reçu dans la direction du soleil (en terme d'angle) rayons parallèles (car source lointaine) peut former des ombres et être concentrés la quantité de rayonnement reçue par une surface au sol dépend alors de son orientation Rayonnement Diffus issu de l'interaction du rayonnement direct avec l'atmosphère pas de direction de propagation privilégiée par temps couvert, diffusion isotrope (on reçoit la même quantité de rayonnement ∀ l'orientation de la surface réceptrice au sol) une surface ⊥ à la surface du sol peut capter plus d'énergie de rayonnement que si elle était // Toute surface est soumise aux deux types de rayonnement. lumière = partie visible du spectre [0,3 µm ; 3 µm]
Variabilité du rayonnement solaire à la surface terrestre conditions de surface (albédo du site = pouvoir de réflexion) conditions atmosphériques (humidité de l'air, gaz, aérosols, nuages, température) conditions positionnelles (lieu géographique, saison, heure de la journée) On établit des cartes d’ensoleillement pour l’estimation du gisement solaire (mesures, modélisations)
Gisement solaire ( [kWh/m².jr], Surface orientée Sud, inclinaison=latitude)
Rayonnements à la surface terrestre
Kiehl J.T., Trenberth K.E. (1997), Earth’s annual global mean energy budget, Bulletin of the American Meteorological Society, 78(2):197-208
TRANSFERTS THERMIQUES III- Rayonnement III.B.- Découpage de l'espace et Angle solide
Dans le plan (2D)
dp'
Dans l'espace (3D)
ds
dp
dα
dΩ
θ dP=dp.cos(θ)
R0= 1m
R0= 1m R
si R assez grand dp'≈ dP dP=Rdα dα = dP/R=dp.cos(θ)/R dα = angle [rad] = mesure de périmètre
2π
P=
∫ dS = R ∫ d Ω = 4π R 2
Sphère
0
plan = 2π rad ; ½ plan = π ; ¼ plan = π /2
si R assez grand ds'≈ dS dS=R²dΩ dΩ = dS/R²=ds.cos( θ)/R² dΩ = angle solide [sr]4π = mesure de surface S =
∫ dP = R ∫ d α = 2π R Cercle
θ dS=ds.cos(θ)
R
ds'(calotte)
2
0
espace = 4 π srad ; ½ espace = 2 π ; ¼ plan = π
Application : rayonnement d'une source ponctuelle vers une surface plane circulaire Évaluation du rayonnement reçu sur une surface plane circulaire de rayon r S = 1 m en provenance d'une source ponctuelle de puissance Φ = 1000 W placée à D= 1 m
z
ds ΩS
θ
R
θ1 r
dθ rS
dS
D=1m
S = 3,46 m²
Intensité dans une direction quelconque I= Φ/4π W.sr-1 Flux reçu par dS : d Φ = I.dΩ Flux reçu par S : Φ = I.ΩS=(Φ /4π).ΩS
Calcul de ΩS : L'angle solide d Ω s'appuyant sur dS découpe la sphère de rayon R suivant une couronne sphérique (rayon moyen z, largeur Rd θ) ds=2πzRdθ=2πRsinθRdθ dΩ = ds/R²=2 πsinθdθ Donc ΩS=2π[-cosθ]=2π(1-cosθ1) avec cos θ1 = D/[rS2+D2)½ Ω S = 2π 1 − D
1 Φ S = Φ 1 − 2
r S 2 + D 2
= 1,84 sr = 14,64% de l ' espace
= 146,45 W = 14,64% de Φ r S 2 + D 2 D
Si rS∞, ΩS 2π, donc demi-sphère et ΦS Φ /2 Si rS0, ΩS0, et ΦS 0
TRANSFERTS THERMIQUES III- Rayonnement III.C.- Caractérisation des sources émettant un rayonnement
Flux totale Φ d'une source [W]
puissance émise par une source dans tout l'espace où elle peut rayonner si source = plan espace = hémisphère / si source = point (source ponctuelle) espace = sphère
Intensité IOx dans une direction Ox [ W.sr-1]
flux par unité d'angle solide dans la direction Ox
N
θ
I Ox
=
d 2 Φ Ox d Ω
[W.sr -1 ]
x dΩ Source ponctuelle isotrope Source plane isotrope
O
I Ox
=
ΦOx
I Ox
=
ΦOx
4π 2π
Emittance totale M [ W.m-2]
flux total émis par unité de surface de la source dans un demi-hémisphère permet de comparer les sources entre-elles d'étendues différentes M =
d Φ dS
≡ φ émis
Luminance totale L Ox dans une direction Ox [ W.m-2.sr-1] intensité dans la direction Ox (I Ox) divisée par la surface apparente de la source dans cette même direction permet de comparer la puissance rayonnée dans une direction Ox par des sources d'étendues différentes ou d'orientations différentes permet de comparer la puissance rayonnée par une même source dans différentes directions
N
O
θ
x dΩ
LOx
=
I Ox dS '
=
I Ox dS .cosθ
=
d 2 Φ Ox d Ω.dS .cosθ
Le flux émis par un un élément de surface dS dans un angle solide dΩ entourant une direction Ox inclinée de d'un angle θ / à la normale à dS est d 2 Φ Ox
= LOx d Ω.dS .cosθ
Loi de Lambert loi de Lambert = source dont L Ox indépendante de Ox LOx = L = constante source Lambertienne = source isotrope (ou diffuse) LOx = L =
I Ox dS .cosθ
=
I On dS .cosθ
⇒ I Ox = I On cos θ
Loi de Lambert – relation entre M et L
N sphère R=1
dΣ=dΩ
θ
d 2Φ Ox = LOx d Ω.dS .cosθ
∫
∫
I
I
d Φ = LOx d Ω.dS .cosθ = L.dS . d Ω.cosθ
dS
Disque D
dσ=dΣcosθ=dΩcosθ
d Φ = L.dS .
∫ d σ = L.dS .π
disqueD
d Φ = π LdS → M =
d Φ dS
= π L
TRANSFERTS THERMIQUES III- Rayonnement III.D.- Caractérisation des récepteurs de rayonnement
flux, intensité, luminance concepts valides et inchangés émittance M éclairement E Éclairement d'un récepteur E [W.m-2]
flux reçu par unité de surface réceptrice en provenance de l'ensemble des directions d'où elle peut recevoir du rayonnement
E =
d Φ dS
≡ φreçu
Relation entre éclairement du récepteur et luminance de la source d 2Φ2 = L2 d Ω2 .dS 2. cos θ 2
dS2 dΩ1
dS1 θ2
θ1
=
dS 1. cos θ 1 D 2 dS 1. cos θ 1
d 2Φ2 = L2
dΩ2 D
d Ω2
E =
D
d Φ2 dS 1
2
dS 2 . cos θ 2
= L2
dS 2 cos θ 1 cos θ 2 D 2
TRANSFERTS THERMIQUES III- Rayonnement Rayonnement III.E.- Thermodynamique du rayonnement Un corps qui absorbe intégralement le rayonnement qu'il reçoit est un corps noir. La La formulat formulation ion de 0 l'exit exitan ance ce spec spectra trale le (ou émit émitta tanc nce e spec spectr trale ale) du corps noir M (λ,T) est issue de la loi de Planck (luminance énergétique spectrale) : [W m –2 µm-1] M (λ , T ) =
2π hc 2
0
hc λ exp − 1 k λ T
M 0 (λ , T ) =
5
8
10
0.5
avec
C 1
C λ exp 2 − 1 λ T 5
10.07 T=5800
λ = longueur d’onde [ µm] T = température absolue [K] h = constante de Planck (6,625 × 10–34 W s2) c = vitesse de la lumière lumi ère dans le vide (3 × 108 m s–1) k = constante de Boltzmann (1,38 × 10–23 J K–1) C1=3,741.108 W µm4m-2 C2=14388 µm.K
6
10
Loi du déplacement de Wien
e l a r t c e p 4 s e 10 c n a t t i m E
Pour une température température donnée, donnée, l'exitance l'exitance spectrale d'un corps noir varie avec la longueur d'onde il existe un λmax correspondant à la valeur valeur maximale maximale de M(λ,T) dM 0 (λ , T )
2
10
d λ
= 0 ⇒ λ maxT = 2,897 ×10−3 mK
T=288 0
10 -1 10
0
10
Longueur d'onde ( µm)
1
10
2
10
pour le soleil, T=5800 K λmax=499 nm (visible) pour la Terre, T=288 Kλmax=10 µm (infrarouge)
Le soleil émet donc dans un domaine de longueurs d'ondes différent de celui de la Terreon peut traiter ces deux domaines indépendamment (notamment (notamment pour la partition de l'énergie solaire à la surface du sol).
Loi de Stefan-Boltzmann exitan ance ce tota totale le, est calculée La puissance totale totale rayonnée par unité de surface du du corps noir, appelée exit en intégrant la formule de Planck sur l'hémisphère et sur toutes les longueurs d'onde :
M 0 (T ) =
M (T , λ ) d Ωd λ = σ T ∫∫ ∩ 0
4
[W m–2]
,λ
avec σSB = constante de Stefan-Boltzmann (5,67 × 10−8 W m–2 K–4).
Corps gris
Un corps noir est un corps idéal. Dans la nature et à température égale, la plupart des surfaces émettent moins qu’un corps noir : M(T) = ε σ T4 avec 0 < ε < 1 ε = émissiv émissivité ité du corps corps 0 ε = M(T)gris / M (T)noir on parle de corps gris lorsque ε est indépendant de la longueur d'onde ελ=ε / εOx,λ=εOx on parle de corps diffusant si εOx=ε / εOx,λ=ελ corps gris et diffusant εOx,λ=ε ε=
M (T ) M 0 (T )
→ M (T ) = ε.M 0 (T ) → M (T ) = ε.σ T T 4
densité de flux de rayonnement émis [W.m-2] ≡φ
TRANSFERTS THERMIQUES III- Rayonnement Rayonnement III.E.- Interaction avec la matière
Φi = flux total incident Φa =flux total absorbé Φr = flux total réflechi Φt = flux total transmis
absoptance α = Φa / Φi réflectance ρ = Φ / r Φi transmittance τ = Φ / t Φi
Conservation de l'énergie Φi=Φa+Φr+Φt ⇒ 1 = α+ρ+τ Si les propriétés optiques d'un matériau dépend de la longueur d'onde, on peut découper le domaine de longueur d'onde pour obtenir des propiétés constantes sur un domaine (cas de la vitre ci-contre) IR [3-10 µm] : α=0,65 ρ=0,30 τ=0,05 ( serres) 1 = αλ+ρλ+τλ
Lois de Kirchoff : ∀Le corps εOx,λ= αOx,λ et ελ= αλ Corps gris : ελ=ε et αλ=α ε=α Corps noir : ελ=ε = α = 1
Échanges radiatifs entre deux surfaces assimilées à des corps noirs
dS2
dS1 θ2
dΩ12
θ1
dΩ21
Flux total émis par S 1 Φ1=M01S1 Seule une fraction atteint S 2 Φ12=F12Φ1 Flux total émis par S 2 Φ2=M02S2 Seule une fraction atteint S 1 Φ21=F21Φ2
Fij = facteur de forme géométrique
D
d Φ12 = L1d Ω12 dS 1. cos θ 1 2
Flux émis par dS1 en direction de dS 2 F ij
=
1 S i
∫∫
cos θ i cos θ j
S i ,S j
π D 2
dS j .dS i
Φ12 = M 10 S 1
Théorème de réciprocité : S iFij=S jF ji
1 S 1
=
M 10 dS 2 . cos θ 2
π cos θ 1 cos θ 2
∫∫ S 1 ,S 2
π D 2
D
2
dS 1. cos θ 1
dS 2.dS 1 = M 10 S 1 F 12
Φ12 = M 10 S 1F 12 = M 10 S 2 F 21 Φ 21 = M 20 S 2 F 21 = M 20 S 1 F 12
Flux net échangé Pour S1, pertes+gains Φ1net = Φ 12- Φ 21=M01S1F12-M02S2F21=S1F12(M01-M02)=S1F12(T14-T24) Pour S2, pertes+gains Φ 2net = Φ 21- Φ 12=M02S2F21-M01S1F12=S2F21(M02-M01)=S2F21(T24-T14)
Φ échangé = Φ1net = −Φ 2 net = S i F ij (T i 4 − T j4 ) = S j F ji (T i 4 − T j4 ) Ti > Tj Φéchangé > 0 S1 perd de l'énergi
réciprocit é
S i F ij
= S j F ji
n
additivité
∑= F = 1 ij
Fii : échange de S i avec elle-même surfaces concaves
j 1
Facteurs de forme évidents le flux émis par l'un est totalement absorbé par l'autre
S2 S1
le flux émis par S 1 est totalement absorbé par S 2 F12=1 S2 surface concave S1F12=S2F21 F21=S1 /S2 F22=1-F21=1-S1 /S2
Échange de rayonnement entre deux surfaces grises Milieu 1 : S 1, ε1 Milieu 2 : S 2, ε2
F12=F21=1
beaucoup plus complexe notion de radiosité on se limite à présenter quelques cas utiles
1
2
φ 12 net = S 1 F 12 ( M 10 − M 20 ) = σ S 1 F 12 (T 14 − T 24 ) F 12
=
1 1 − ε 1
ε 1
+
1 F 12
+
Facteur de forme gris entre S 1 et S2 dépend de la géométrie dépend des propriétés radiatives des surfaces
1 − ε 2 S 1 . ε 2 S 2
Cas d'une surface convexe S 1 totalement entourée d'une surface concave S 2
1 1 S S1 ne peut rayonner sur elle-même F11=0 donc F12=1 (additivité) F 12 = + − 1. 1 ε 1 ε 2 S 2 Cas d'une surface convexe S 1 totalement entourée d'une surface concave S 2, S2>>S1 F 12
1 1
=
= ε 1
φ 1net = −φ 2 net = σε 1S 1 (T 14 − T 24 )
ε 1
Cas d'une surface convexe S 1 placée à l'intérieur d'une enceinte noire ( ε2=1) F 12
= ε 1
φ 1net = −φ 2 net = σε 1S 1 (T 14 − T 24 )
Cas de 2 surfaces // à distance faible / à leurs dilmensions F12=1 et S1 ≈ S2
1 1 − 1 F 12 = + ε ε 2 1
−1
−1
TRANSFERTS THERMIQUES III- Rayonnement III.F.- Eclairement reçu sur Terre – bilan radiatif
Par définition, la constante solaire S0 est la densité de flux d'énergie (ou puissance) totale rayonnée par le Soleil par unité de surface normale aux rayons solaires au sommet de l'atmosphère.
dΣ
θS
dΩ α
D d ΦSoleil
= LSoleil d ΩS −T .dS Soleil .cos θ S ≈ LSoleil d ΩS −T .d Σ
d ΩS −T =
dS Terre . cos θ T
2
Soleil = corps noir à T=5800 K D=149.637.000 km RSoleil=696.700 km σ = 6,67.10-8 W.m-2.K-4
E =
d ΦSoleil dS Terre
2
d ΦSoleil
D
2
≈
dS Terre D 2
4 dS Terre σ T Soleil = d Σ π D 2
4 2 σ T Soleil π RSoleil 1 α 4 4 2 α 4 d T T T . tan . =∫ Σ = = ≈ σ σ σ Soleil Soleil Soleil 2 2 D D π π 2 2 Σ
2
α: diamètre apparent du soleil (αmoyen= 1923’’)
S0 = 1393,4 W m−2 ≈ 1400 W m−2
S0 varie en fonction: distance Terre/Soleil (max au solstice d'hiver, mini au solstice d'été) de l'activité du Soleil (cycle de 11 ans) on définit une constante solaire moyenne E0 = 1353 W.m-2 E ( Doy ) = E 0 (1 + 0.033 cos(0,984. Doy ))
Doy = Day of the Year
Effets de l'atmosphère Le rayonnement électromagnétique est perturbé par deux processus : absorption par certains gaz atmosphériques (loi de Beer-Lambert) vibrations, rotations diffusion par les molécules et les aérosols (Rayleigh, Mie, non-sélective)
Le phénomène de diffusion est d'autant plus important que la longueur d'onde est petite.
l'ozone
(O3) présente une très forte absorption des UV (néfaste aux êtres vivants).
l'oxygène
(O2) et le dioxyde de carbone (CO2) sont uniformément mélangés dans l'atmosphère et en quantité constante. La contribution de O 2 est très forte autour de 0,7 µm. Celle du CO2 a lieu au delà de 1 µm et surtout dans l'infrarouge thermique où le CO 2 joue un rôle déterminant dans l'effet de serre. la
vapeur d'eau (H2O), dont la quantité varie fortement d'un endroit à l'autre et d'un moment à l'autre de l'année. Elle présente plusieurs bandes d'absorption importantes aux longueurs d'onde supérieures à 0,7 µm. En particulier elle absorbe une bonne partie du rayonnement infrarouge de grandes longueurs d'onde émis par la Terre. d'autres gaz comme le CH 4, C O , N2O,
CFC possèdent des bandes d'absorption dans l'infrarouge thermique. Moins abondants que la vapeur d'eau ou le dioxyde de carbone, ces constituants ont un pouvoir de piégeage du rayonnement des centaines ou des milliers de fois supérieur
Notion de "Air Mass" épaisseur de l'atmosphère à la verticale d'un lieu θ s : hauteur du Soleil d : distance parcourue par les rayons lumineux dans l’atmosphère (ou air mass) 1 h = d = cos θ s cos θ s h:
⇒ spectre AM d en posant par convention h = 1.
Par convention, on nomme le spectre solaire hors atmosphère AM0. Quant d=1, l'allure du spectre est noté AM1 (soleil au zénith au niveau de la mer) La distance réellement parcourue est de 7,8 km – épaisseur standard moyenne) Le spectre AM2 (soleil à 60°, typique de nos latitudes) et très utilisés en Europe. AM1.5 (soleil à 48°) qui sert de référence pour la mesure de cellules photovoltaïques (avec une puissance incidente de 1000 W.m-2 et une température de 25°C (conditions dites STC) sauf indication contraire, c’est pour de telles conditions que doivent être fournies les performances et spécifications d’un dispositif photovoltaïque donné.
Spectres AM0 et AM1.5
Rayonnements à la surface terrestre Les divers rayonnements à la surface du sol rayonnement direct+diffusé incident de courte longueur d'onde (visible) = Rg partie réfléchie par le sol Rv↑=αRg rayonnement thermique (grande longueur d'onde) de l'atmosphère Ra=σT A4 car l'atmosphère peut être considérée comme un corps noir de température apparente T A. Les basses couches participe fortement à ce rayonnement, et on a des formules empiriques qui permettent de relier Ra à des mesures de température et d'humidité de l'air à 2 m à partir des profils verticaux de température et d'humidité obtenus par radiosondages. En raison de la forte contribution des basses couches, plusieurs formules simplifiées faisant intervenir latempérature et la pression de vapeur saturante mesurées à 2 m ont été proposées pour des ciels clairs : 17
e Ra = 1,24 a σ T a4 T a
avec Ta la température de l'air [K] et e a la tension de vapeur d'eau [hPa]
rayonnement thermique de la Terre (grande longueur d'onde) Rir↑. La Terre se comporte comme un corps gris d'émissivité εS, telle que
Rir ↑= (1 − ε S ) Ra + ε S σ T S 4
(non absoprtion+émission)
Bilan radiatif au sol : le rayonnement net . + Ra − (1 − ε ) Ra − ε S σ T S 4 Rnet = Rg − α Rg
≈ (1 − α ) Rg + εσ (T A4 − T S 4 )
Cette énergie est alors convertie en : flux de conduction dans le sol G (=- λgradT) flux de convection dans l'air H (= ρKH∂T/ ∂z) flux d'évaporation (ou condensation) de l'humidité (sol/atmopshère) L VE (=ρKQ∂q/ ∂z)
TRANSFERTS THERMIQUES III- Rayonnement III.G.- Exemple d'application : le capteur plan solaire
Un capteur plan est constitué de plusieurs éléments : - un serpentin dans lequel circule de l'eau (celle à chauffer) on maximise la surface du tuyau susceptible d'échanger de la chaleur on choisit un matériaux bon conducteur thermique (cuivre) - une plaque dans laquelle est encapsulé le serpentin ♦peinte en noir sur le dessus pour absorber au maximum le rayonnement incident éviter les pertes par réflexion. ♦réfléchissante sur sa face opposée (feuille d'aluminium) limitation du rayonnement IR dans toutes les directions - une autre plaque thermiquement isolante sous la première (et résistante à haute température). - une vitre de protection, mais pas seulement….
But : chauffer de l'eau à l'aide du rayonnement solaire Capteur solaire thermique plan : Coffre rigide et vitré à l'intérieur duquel une plaque et des tubes métalliques noirs (absorbeur) reçoivent le rayonnement solaire et chauffent un liquide caloporteur (antigel). Certains capteurs peuvent être "intégrés" ou "incorporés" en toiture (ils assurent alors également une fonction de couverture du bâtiment ⇒ démarche HQE).
Piscine chauffée à Laval (53)
