Conduction Thermique

Université Université Libanaise Libanaise Facult Facultéé de Génie Génie Branche I

Par Ing. Wael Wael Zmerly Zmerly – 2006-2007 2006-2007 Université Université Libanaise Libanaise – Faculté Faculté de Génie Génie – Branche Branche I Transfert de chaleur

1

La Conduction Ing. Wael Zmerly – 2006-2007

1.

LA CONDUCTIVITE THERMIQUE :

A - GENE GENERA RALI LITE TES S

Homogènes

Corps

Isotropes

«

= cons consta tant nte e»

La conduc conductivité tivité thermique thermique du corps (w/m.°C)

v e

Transmission par vibrations des atomes ou molécules Transmission par les électrons libres

Bois

Briques

Cuivre Verre

Fer

Air

0.21

0.52

386

85

0.024

0.74

Laine de verre 0.046

(w/m.°C) Université Université Libanaise Libanaise – Faculté Faculté de Génie Génie – Branche Branche I Transfert de chaleur

2


On considérera les solides Homogènes (caractéristiques physiques et mécaniques identiques en tout point) et Isotropes (même caractéristiques dans toutes les directions). Ainsi, certaines d’entre elles, ne dépendront que de la température, l’influence de la pression étant négligée. On a deux mécanismes pour la conduction dans les solides : une transmission de chaleur par les vibrations des atomes ou molécules que l'on caractérise par un coefficient v et une transmission de chaleur par les électrons libres caractérisée par un coefficient e. λ = λv + λe La conductivi conductivité té thermique thermique d'un corps sera telle que : λ est le coeffici coefficient ent de conduct conductivité ivité thermique thermique exprimé exprimé en w/m.°C Il est fonction de la température, te mpérature, mais dans les intervalles de températures d’utilisations d’utilisations courantes on supposera « λ = cons constan tante te ».

1.


B - INFLUENCE INFLUENCE DE LA NATURE DU MATERIAU MATERIAU SUR LA CONDUCTIVIT CONDUCTIVITE E THERMIQUE THERMIQUE METAUX ET ALLIAGES ALLIAGES (à la température température ambiante) ambiante)

Isolant Conducteur

Cuivre à 99,9 % Aluminium Aluminium à 99,9 % Aluminium Aluminium à 99 % Zinc Alliage Alliage (Al 92 % - Mg 8 %) Laito Laitonn (Cu (Cu 70 % - Zn 30 %) %) Fer pur

386 228 203 111 104 99

Étain Nickel pur Acier doux (1 % de C) Plomb pur Titane Acier Acier inox inox (Cr 18 % - Ni 8 %)

61 61 46 35 21 16

85

SOLIDES NON METALLIQUES METALLIQUES (à la température température ambiante)

Gaz <

Liquides

Liquides< Solides vide = o en (w/m.°C) Université Université Libanaise Libanaise – Faculté Faculté de Génie Génie – Branche Branche I Transfert de chaleur

Electrographite Béton plein de granulats lourds Verre pyrex Porcelaine Verre courant Plaque de fibrociment Briques

116 1.75 1.16 0.928 0.74 0.70 0.52

LIQUIDES

Sodium Sodium à 200°C Mercur Mercuree à 20°C Eau Eau à 100 100°C Eau Eau à 20°C Benzèn Benzènee à 30°C Dowthe Dowtherm rm A à 20°C

0.21 0.209 0.162 0.162 0.046 0.046 0.043

GAZ GAZ (à (à 0°C et sous la pression normale) 81,20 8,47 0.67 0.59 0.162 0.139

3

Bois Matières plastiques polyester Matières plastiques polyvinyles Amiante (feuilles) Matières plastiques phénoplastes Laine de verre Liège expans expanséé pur Hydrogène Air Azote Oxygène Acétylène Anhydride carbonique

0.174 0.024 0.024 0.024 0.019 0.014 La Conduction Ing. Wael Zmerly – 2006-2007

Le tableau si dessus contient les conductivités thermiques en w/m°C de différents matériaux. Plus la valeur de λ est petite, plus le matériau sera dite ISOLANT . Plus la valeur de λ est grande, plus le matériau sera dite CONDUCTEUR. conducteurs que les On constate que parmi les solides, les métaux sont beaucoup plus conducteurs composés non métalliques à l’exception du graphite graphite (utilisé (utilisé dans certains certains échangeu échangeurs rs de de chaleur). L’acier inoxydable est moins conducteur que la plupart des autres métaux et alliages. Parmi les liquides, le mercure se détache nettement, les métaux fondus sont de bons conducteurs ce qui explique par exemple l’utilisation de sels de sodium comme fluide caloporteur pour le refroidissement refroidissement des réacteurs nucléaires. Sauf pour les métaux fondus : des gaz < des liquides < des solides Pour le vide

=o

1.


C . INFLUENCE DE LA TEMPERATURE TEMPERATURE SUR LA CONDUCTIVI CONDUCTIVITE TE THERMIQUE THERMIQUE

La conductivité conductivité thermique varie avec la température. température. Solides :

= 0 . (1 + a.T)

: cond conduct uctivit ivitéé thermi thermique que à 0°C : conducti conductivité vité thermique thermique à T °C a : coefficient de température du solide 0

Liquides :

quand

T

Mélanges :

Gaz :

quand

T

Humid umidit ité é:

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Pas de relations entre mélange et composantes corp corpss hu humi mide de

>

corps orps sec sec

La Conduction

4

Transfert de chaleur

Ing. Wael Zmerly – 2006-2007

La conductivité conductivité thermique varie varie avec la température. température. - Pour our les les solides, on peut admettre, en première approximation, que les variations sont linéaires, soit : = 0 . (1 + a.T) où 0 est est la conduct conductivit ivitéé thermi thermique que à 0°C et la conductiv conductivité ité thermique thermique à T °C. a est une constante appelée coefficient de température du solide considéré. i solants. a > 0 pour de nombreux matériaux isolants. et du laiton). a < 0 pour la plupart des métaux et alliages (à l’exception de l’aluminium et quand la température température augmente augmente (à - Pour our les les liquides, la conductivité thermique diminue quand

l’exception de l’eau et du glycérol). conductivité thermique croît avec la température. température. - Pour our les les gaz, la conductivité

Rema Remarq rque uess : - La condu conducti ctivit vité é thermi thermique que d’un d’un méla mélange nge ne varie pas linéairement avec la composition du

mélange. Il est donc donc impossible de prévoir la la conductivité thermique d’un alliage en connaissant connaissant sa composition et la conductivité conductivité des différents éléments constituant constituant cet alliage. alliage. Il faut donc mesurer expérimentalement cette conductivité. avec leur densité et avec la - La conduc conductivit tivité é thermique thermique des matér matériaux iaux poreux poreux augmente avec température. - Un matériau humide est plus conducteur de la chaleur qu’un qu’un matériau sec. En particulier, lorsque les maçonneries d’un four sont terminées et avant de le mettre en exploitation, il convient de procéder à son séchage par une montée progressive progressive en température qui permettra permettra l’évaporation de l’eau.

2.

EQUATION DE FOURIER : ϕ ( x ) 

- λ × ( ∂ T i + ∂ T j + ∂ T k ) où ∂x ∂y ∂z 

=





∂ ∂

T i + ∂ T j + ∂ T k = grad T x ∂y ∂z 





   

Hypothèses :

- Les surfaces isothermes isothermes sont constituées par par des plans parallèles parallèles entre eux. grad d - Les Les pert pertes es de de chal chaleu eurr laté latéra rale less (sui (suiva vant nt « y » et « z ») son sontt négl néglig igée éess gra Enoncé :



T =

dT dx

i



La densi densité té de flux thermique thermique qui s’écoule s’écoule dans dans la matière matière est proportionne proportionnelle lle à la variation variation de la tempéra température ture et et à la conducti conductivité vité thermique thermique du du milieu. milieu. z Surface isotherme à T2

Surface isotherme à T1

ϕ(x)

ϕ( x )



n

dT = - λ . dx

x dx


La Conduction

5



GENERALISA GENERALISATION TION DE L’EQUATION L’EQUATION DE DE FOURIER FOURIER :

Si on considère un solide dans l’espace (caractérisée par ses coordonnées ‘x, y, z), l’équatio l’équationn s’écrit s’écrit : ∂T T i + ∂ T j + ∂ T k ) où ∂ T i + ∂ T j + ∂ T k = grad ϕ( x ) = - λ × ( ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Avec : grad T (gradient (gradient de tempéra température) ture) représ représente ente la variat variation ion de la tempér température ature suivant toutes toutes les directions. directions. Et est la dérivée dérivée partielle de la température température par rapport à l’axe « x ». 











        



ENONCE ENONCE DANS DANS LE PLAN PLAN :

Hypothèses Hypothèses simplificatr simplificatrices ices :

- Les surfaces isothermes sont sont constituées par par des plans parallèles entre entre eux. - Les pert pertes es de de chal chaleu eurr laté latéra rale less (sui (suiva vant nt « y » et « z ») son sontt négl néglig igée ées. s. Le gradient gradient de températur températuree se réduit à : dT gra grad d T = i dx Par convention le flux de chaleur chaleur sortant sortant est compté négativement. 



Enoncé :

Soit Soit un matér matériau iau homo homogèn gènee de longu longueur eur « dx » et de cond conduct uctivi ivité té « λ », dont les surfaces externes sont respectivement à des températures T1 et T2 La densi densité té de flux flux therm thermique ique qui s’écoule s’écoule dans la matière matière est proport proportionne ionnelle lle à la variation variation de la températur température e et à la conduc conductivité tivité thermique thermique du du milieu. milieu.

3.

APPLICATION DE DE L’ L’EQUATION DE DE FOURIER :

A - CONDUCTION CONDUCTION A TRAVERS TRAVERS UN UN MUR PLAN PLAN HOMOGENE HOMOGENE

La Loi de Fourier

Plan isotherme T x

ϕ

ϕ

= ϕ

- λ dT = cste dx T T 1 2 = e

λ

x

T 2

T 1

Le flux flux thermiqu thermique e à travers travers le mur:

λ

S.ϕ =

Φ =

e

λ

S T - T ( 1 2)

e

ϕ=

Densité Densité de flux [W/m²] de chaleur chaleur [W] Φ = Flux de


La Conduction

6



Cette cas permet de résoudre la plupart des problèmes rencontrés dans le bâtiment. 1-Hyp 1-Hypot othè hèses ses :

- Solide Solide homogène homogène et isotrop isotropee - Pertes Pertes latérales latérales négligées négligées.. - Faible épaisseur épaisseur par rapport rapport aux dimensions dimensions transversales transversales 2-Le flux thermi thermique que à travers travers le mur:

En applican applicantt la loi de Fourier Fourier ϕ

=

- λ dT = cste dx T 2

− λ ∫ dT T 1

−λ

e

ϕ

d’où

= ϕ ∫ d x

dT = =

ϕ dx

T1 - T 2 e

λ

0

Le flux de chaleur « Φ », dans dans un un tube tube de flux flux de secti section on « S », s’éc s’écrir riraa : Φ =

S.ϕ =

λ

S T - T ( 1 2)

e

3.


A - CONDUCTION CONDUCTION A TRAVERS TRAVERS UN UN MUR PLAN PLAN HOMOGENE HOMOGENE

Loi d’évolution T(x)

la résistance thermique d'un mur plan

T(x) S

λ

T 1

T 1 T

T 2

e

T 1

T 2

T 2 est la résistance thermique en [°C/W] R

R

X

x

(T1 - T 2 )

R =

Φ

e

=

T (x )

λ . S


( T T ) 1 2 .x = T1 e

La Conduction

7



3- la résistanc résistance e thermique thermique d'un d'un mur plan:

Comme en électricité, la résistance est le rapport d’une différence de potentiel donc ici de température et d’un débit d’énergie donc ici le flux Φ, d’où d’où l’exp l’expre ress ssio ionn suivante de la résistance thermique. R =

( T1 - T 2 ) Φ

=

e

λ .

S

est la résistance thermique globale [°C/W] d’évoluti ution on T(x) T(x) : 4- Loi d’évol (températur (températuree en un point point de coordo coordonnée nnée « x » d’une d’une surface surface isother isotherme) me) R

T ( x )

−λ

∫T dT 1

x

= ϕ ∫ d x

; - λ . ( T(x) T(x) – T1 ) = ϕ . x

0

−λ ×

( T(x) - T1 ) = ( T1 - T2 ) . x . λ

T (x ) =

T1 - ( T1 - T2 ) . x

e

e

Evolution Evolution T = f(e) linéaire linéaire..

3.


B - CONDUCTION CONDUCTION A TRAVERS TRAVERS PLUSIEURS PLUSIEURS MURS PLANS PLANS HOMOGENES, HOMOGENES, EN SERIE: SERIE:

la résistance thermique équivalente

Le flux thermique

R

Φ = Φ1 = Φ2 = Φ3

= Φ j = … = Φn. Φ n ei )= ∑

( T0 - Tn Φ =

S

i =

Φ

R

n e = ∑ i = ∑ R i i = 1 λ i .S i = 1 n

1 λ i

R

S

n

= ( T0 - Tn )

ei . ( T0 - Tn )

∑1 λ i

En série, la résistance totale est égale égale à la somme des résistances. résistances. Analog Analogie ie électri électrique que :

i =


La Conduction

8



Soient Soient « n » couche couchess de maté matéria riaux ux dif différ férent entss Remarque :

- Pas d’accumulation d’accumulation de chaleur dans dans les matériaux matériaux - Problème Problème unidimens unidimensionn ionnel el - Conservation du flux dans dans un tube tube de flux. flux. 1 - Le flux flux the therm rmiqu ique e à trav traver erss des des mur murss en en séri série e: La lois de Conservation du flux donne : Φ = Φ1 = Φ2 = Φ3

Pour le mur 1 : Pour le mur 2 : Pour le mur n :

S ( T - T )et e1 0 1 et

Φ2 = Φ = λ 2

( T0 - T1 ) = Φ e1 S λ 1 ( T - T ) = Φ e2

Φn = Φ

( Tn-1 - Tn

Φ1 = Φ = λ 1

S(T -T ) e2 1 2 et S = λ n ( Tn-1 - Tn ) en

1

2

= Φ j = … = Φn.

S λ 2 ) = Φ en S λ n

S

Φ = n Φ n ei ei . ( T0 - Tn ) ( T0 - Tn ) = ∑ ∑ S i = 1 λ i i = 1 λ i 2 - la résist résistanc ance e thermi thermique que équiva équivalen lente te des des murs en en série série :

L’expression précédente du flux peut être:

Φ =

( T0 - Tn ) = ( T0 - Tn ) n n ei ∑ ∑ R i i = 1 λ i .S i = 1

Ces n résistances sont placées en série et leur somme constitue la résistance thermique équivalente des n murs en série, soit :

(T -T ) Φ= 0 n R

donc

n e i =∑ = ∑ R i . λ S i =1 i i = 1 n

R

3.


B - CONDUCTION CONDUCTION A TRAVERS TRAVERS PLUSIEURS PLUSIEURS MURS PLANS PLANS HOMOGENES, HOMOGENES, EN SERIE: SERIE:

Températures d’interfaces

Evolution T = f(R) T

T0 T1

T(n-1)

j

T j = T0 - Φ . ( ∑ ei ) i = 1 λ i.S

T j

R

Tn

R

0

e 1 λ 1 .S

j ( T T ) e i 0 n = T0 .(∑ ) R i = 1 λ i.S


e n λ n .S

T = f (

e i ) λ i .S La Conduction

9



3 - Tempé Tempéra ratu ture ress d’in d’inte terf rfac aces es :

Afin de déterminer les températures d’interfaces, plusieurs solutions sont envisageables : a) Détermination des pentes d’évolution de T = f(e) dans chaque matériau (résolution par calculs ou graphique) b) En reprenant l’équation du flux :

T1 = T0 - Φ . ( e1 ) λ 1 .S T2 = T1 - Φ . ( e2 ) λ 2 .S e T j = T j-1 - Φ . ( j ) λ j .S

S(T -T ) e1 0 1 S Φ2 = λ 2 ( T1 - T2 ) e2 S Φ j = λ 2 ( Tj-1 - Tj ) e j D’où la générali généralisati sation on : Φ1 = λ 1

j

T j = T0 - Φ . ( ∑ ei ) i = 1 λ i.S

ou

T j

j ( T T ) 0 n = T0 . ( ∑ ei ) R i = 1 λ i.S

3.


C - CONDUCTION A TRAVERS PLUSIEURS MURS PLANS HOMOGENES, EN PARALLELE:

Le flux thermique

La résistance thermique

T 1

Φ1

T 2

λ 1

Analogie électrique

S2

λ 2

R 1

=

e 1 λ 1

. s1

T1

Req T2

λ n Sn

R 2

ei Total

( T1 - T2 ) R

1 = 1 + 1 + ... + 1 R R1 R2 Rn

S1

Φ2 Φn

ΦTotal =

=

1

+

2

=

λ 2

. s2


n

1

1 + 1 R1 R2

10


T2

1 = 1 + 1 R eq R1 R2

e 2

R eq =

+...+

T1

=

. R2 R1 + R2 R 1


Supposons maintenant que différents éléments solides soient juxtaposés par bandes, les uns à cotés des autres et que la température température soit uniforme sur sur chacune de leurs deux deux faces. La différence de température (T1-T2) est donc la même pour chacun des éléments traversé respectivement par les flux thermiques thermiques 1 , 2 , n. Ce n’est qu’un cas particulier de murs, planchers ou toitures terrasses existants dans le bâtiment. En effet, les parois peuvent présenter des discontinuités discontinuités de matériaux dans le sens de la hauteur et/ou de la largeur. 1 - Le flux flux therm thermique ique à traver traverss des murs murs en en parall parallèle èle

L’étude est réalisée en choisissant un tube de flux représentatif de la paroi On ne peut plus raisonner en flux surfacique « ϕ » mais en en flux flux de chaleur chaleur « Φ », puisque les matériaux n’ont pas la même constition et n’offrent pas la même surface surface au passage de la chaleur, Dans ce cas, on peut écrire : ΦTotal = Φ1 + Φ2 + Φn 2 - la résistance résistance thermique thermique équivalente équivalente des des murs en parallèle parallèle Les résistances thermiques R1, R2 de chacun des éléments sont en parallèle et R est la résistance équivalente.

ΦTotal = Φ1 + Φ2 =

ΦTotal =

( T1 - T2 ) R

λ1 .S1

( T1 - T2 ) + λ 2 .S 2 ( T1 - T2 ) = ( 1 + 1 )( T1 - T2 ) R1 R 2 e1 e2 R . R 1 1 1 1 = 1 2 R = d’où R = R + R et 1 + 1 R1 + R2 1 2 R1 R2

4.

PROBLEMES CY CYLINDRIQUES EN EN R RE EGIME PE PERMANENT :

A- COND CONDUCT UCTION ION A TRAV TRAVER ERS S UN CYL CYLIN INDR DRE E HOMOG HOMOGEN ENE E :

Le flux thermique

Φ( r ) = Φ =

La résistance thermique

2π

λ L

(T1 - T2 ) ln r 2 r 1


La Conduction

11



Hypothèses

Les surfaces internes et externes cylindriques cylindriques sont des surfaces isothermes. Elles sont donc des cylindres concentriques. grad T d T er Le prob problè lème me rest restee plan plan,, d’où où : où « r » est est le rayo rayonn dr Les tubes de flux constituent des secteurs angulaires élémentaires d’ouverture d α. Les couches sont homogènes, isotropes et de faibles dimensions par rapport aux dimensions transversales. Le flux thermiqu thermique e à travers travers un tube cylindriq cylindrique ue

Considérons un tube cylindrique. Soient r1 le rayon de la paroi interne, r2 celui de la paroi externe, T1 et T2, les températures respectives des faces interne et externe et λ la conductivité conductivité thermique thermique moyenne moyenne entre T1 et T2 du matériau constituant le tube. On désire connaître le flux thermique qui traverse le tube de l'intérieur vers l'extérieur (lorsque T1 > T2) pour une longueur L de tube. Par raison de symétrie, les lignes d'écoulement de la chaleur sont des droites dirigées selon des rayons. On dit que le transfert de chaleur est radial dT Φ = - λ . S dr S est l'aire de la surface latérale du cylindre de rayon r et de longueur L soit : S=2.Π.r.L Φ(r ) =

2 π r L × ( - λ dT ) dr

Φ(r )

ou

dr = - 2 π L λ dT r

Comme Φ est constant à travers tout cylindre cylindre coaxial de de rayon r compris entre r 1 et r 2 , l'équation l'équation précédente peut donc s'intégrer s'intégrer de l'intérieur à l'extérieur du cylindre cylindre de la manière suivante :

Φ( r )

r2

dr = - 2 π L λ T 2 dT ∫ ∫ T 1 r1 r D’où ’où :

Φ(r )

Φ(r ) = Φ =

ln r2 = - 2 π L λ ( T2 - T1 ) r1

2π

λ L

(T1 - T2 ) ln r 2 r 1

Conduction Thermique

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