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Consideraciones Estadísticas Departamento de Ingeniería Mecánica
Diseño de Elementos de Máquinas II Profesor: José Bienvenido Pimentel
Omar Nova Peralta
11-0497 ID: 1045284
Fernando Adan González Peña
11-0364 ID: 1045151
Argenis Joaquín Suriel Hernández
10-1088 ID: 1044248
Jacobo José León Peña
11-0407 ID: 1045194
Miércoles 21 de Mayo del 2014
Estadística La estadística es una ciencia formal y una herramienta que estudia el uso y los análisis provenientes de una muestra representativa de datos, busca explicar las correlaciones y dependencias de un fenómeno físico o natural, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional.
Conceptos •
Variable aleatoria: Es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio.
•
Espacio muestral: consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.
•
Muestra: una muestra es un subconjunto de casos o individuos de una población estadística.
Tablas Espacio muestral de un lanzamiento de dados.
Distribución de probabilidad.
Distribución de probabilidad acumulada.
Gráficas
Distribución de frecuencias acumulada.
Distribución de frecuencias
Media aritmética la media aritmética es el valor característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos.
Varianza Es la medida de las diferencias con la media elevadas al cuadrado. ¿Por qué al cuadrado? Elevar cada diferencia al cuadrado hace que todos los números sean positivos (para evitar que los números negativos reduzcan la varianza)
Desviación estándar Es la raíz cuadrada de la varianza. ¿Por qué la raíz cuadrada? Porque la varianza hace que las diferencias grandes se destaquen mucho, además de que el resultado final queda en las unidades de medidas deseadas (las de la media).
Coeficiente de variación coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media. El
Se utiliza cuando se desea hacer referencia a la relación entre el tamaño de la media y la variabilidad de la variable. Su fórmula expresa la desviación estándar como porcentaje de la media aritmética, mostrando una mejor interpretación porcentual del grado de variabilidad que la desviación típica o estándar
Ejemplo Ejemplo 20-1. Cinco toneladas de varilla de 2 pulgadas de acero 1030 rolado en caliente se deben almacenar en un lugar de trabajo. Nueve piezas de prueba tensil de geometría estándar se han maquinado desde ubicaciones aleatorias en diversas varillas. En el informe de pruebas, las resistencias tensiles finales están dadas en kpsi. En orden ascendente (no necesariamente), se muestran en la tabla 20-3. Encuentre la media x¯, la desviación estándar sx, y el coeficiente de variación Cx a partir de la muestra, de tal manera que sean éstos las mejores estimaciones de la población madre (el almacenamiento que la planta convertirá en productos).
Distribuciones de Probabilidad
Distribución uniforme FDP
FDA
Media y Desviación estándar
Distribución Normal
Distribución Normal •
La integral de la transformada se tabula en la tabla A-10. La variante de transformación z se encuentra normalmente distribuida, con una media de cero y una desviación estándar y variancia iguales a la unidad. Esto es, z = N(0, 1). La probabilidad de una observación menor que z es ϕ(𝑧) en el caso de valores negativos de z, y 1 − ϕ(𝑧) cuando se trata de valores positivos de z en la tabla A-10.
Distribución Lognormal •
En ocasiones, las variables aleatorias tienen las siguientes dos características: La distribución es asimétrica alrededor de la media. Las variables sólo tienen valores positivos.
•
Tales características descartan el uso de la distribución normal. Existen otras distribuciones que son potencialmente útiles en tales situaciones, una de las cuales es la distribución lognormal.
Distribución Lognormal
Distribución Weilbull La expresión de la confiabilidad es el valor de la función de densidad acumulativa complementaria de la unidad. Para Weibull este valor es tanto explicito como simple. La confiabilidad dada por la distribución Weibull de tres parámetros es
Distribución Weilbull
Distribución Weilbull
Ejemplo
Solución •
Para x = 𝑆𝑢𝑡 :
• Utilizando la tabla A-34 se buscan los valores de la función Gamma
Solución 𝑝 = 1 − 𝑅(𝑥)
Solución •
Para y = 𝑆𝑢𝑡 :
• Utilizando la tabla A-34 se buscan los valores de la función Gamma
Solución 𝑝 = 1 − 𝑅(𝑥)
Ejemplo
Solución • Se calcula la media y la desviación estándar
Solución •
Se obtienen luego la media y desviación estándar secundarias
• Luego se define la FDP lognormal
Solución •
Para calcular la vida en la que el 10% de los cojinetes fallarán bajo carga estable se transforma a la variable z:
𝑧= •
ln 𝑥 − 𝜇𝑦 ∴ ln 𝑥 = 𝑧𝜎𝑦 + 𝜇𝑦 = 15.292 + 0.496𝑧 𝜎𝑦
A partir de la tabla A-10 se busca el valor de z para el cual 10% de los cojinetes fallan.
Solución • Se busca el valor de z para el cual el ϕ 𝑧𝛼 debe ser 0.1. Por lo tanto el valor de z es negativo y es igual al valor de Z para el cual el valor de α es 0.1. Interpolando de la tabla se obtiene que z = -1.282. Por lo tanto: ln 𝑥 = 15.292 + 0.496 −1.282 = 14.66 𝑥 = 2.33 106 𝑟𝑒𝑣
Propagación del Error.
•
En el diseño de mecánico los métodos para controlar la calidad se encuentran profundamente arraigados en el uso de la estadística y los diseñadores ingenieriles necesitan un conocimiento estadístico para cumplir con los estándares de control de calidad. Por ejemplo, en la ecuación del esfuerzo axial, 𝐹
σ=𝐴 •
Podemos observar que tanto la fuerza F como el área A son variables aleatorias. Cuando se resuelve la ecuación, se dice que los errores inherentes en F y A se propagan a la variante del esfuerzo σ.
•
Esto se puede escribir como z=x+y
•
La media seria dada como: µz = µx + µy
•
La desviación estándar sigue el teorema de Pitágoras. De esta manera, la desviación estándar tanto de la suma como de la resta de variables independientes es: ôz = (ôx2 + ôy2)1/2
Problema Resuelto.
Regresión lineal
Regresión lineal •
El método habitual y el que se empleara para nuestros fines de diseño considera una línea recta la “mejor” si minimiza los cuadrados de las desviaciones de los puntos de datos con respecto a la línea.
Regresión lineal •
Considerando un conjunto N de puntos de datos (xi, yi). En general, la línea de mejor ajuste no intersecara un punto de datos. En consecuencia se puede escribir:
•
donde = yi – y es la deviation entre el punto dado y la línea.
Regresión lineal •
La suma de los cuadrados de las desviaciones esta dada por:
•
Minimizando a ε, se igualan a cero los resultados de derivar ε parcialmente con respecto a m y a b.
Regresión lineal •
Esto produce dos ecuaciones simultaneas de la pendiente y la intercepción en y denotadas como respectivamente. Resolviendo estas ecuaciones:
Regresión lineal •
Un coeficiente de correlación con el intervalo -1 < r < 1 se ha concebido para mostrar que tan bien se correlacionan x y y entre si. La formula es:
•
donde de los datos.
son las desviaciones estándar de las coordenadas x y y