UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE FÍSICA – CCE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – FIS 205
CAPÍTULO 14 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
1. Um tubo em U contém mercúrio ( ρ = 13,6 g/cm³). Despejando-se água no ramo da direita, até alcançar a altura de 13,6 cm acima do mercúrio, de quanto subirá este, no outro ramo, em relação ao seu nível inicial? Uma vez que os pontos 1 e 2 estão no mesmo nível e no mesmo fluido (mercúrio), sabemos que: p1 = p2. Assim:
+ ρ Hg . g .2 X = p a + ρ H 2O g . .h H 2O ρ Hg . g .2 X = ρ H O . g .h H O 2 2 ρ Hg .2 X = ρ H O .h H O 2 2 ρ H O .h H O 1,0.13,6 2 2 X = = = 0,5 cm 2 ρ Hg 2.13,6 p a
h H 2O
X X h Hg
1
2
2. Uma lâmina de gelo flutua num lago de água doce. Qual o menor volume que a lâmina deve ter para que um homem de 80 kg possa ficar em pé sobre ela sem molhar os pés? (Densidade do gelo = 0,92 g/cm 3). Considerando que o sistema Homem/Gelo está em equilíbrio:
r
E
∑ F = 0
E = P H + P G
= m H . g + ρ G . g .V G ρ H O .V G = m H + ρ G .V G 2 ρ H O .V G − ρ G .V G = m H 2 m H 80kg = V G = ( ρ H 2 0 − ρ G ) (1000 − 920)kg .m −3 . .
ρ H O g V G 2
V G
= 1m 3
gelo
r
P H r
água
P G
3. Um bloco de madeira flutua na água com dois terços do seu volume submerso. No óleo ele flutua com 0,90 de seu volume submerso. Determine a densidade da madeira e do óleo. Uma vez que o bloco se encontra em E óleo E H 2O equilíbrio tanto na água como no óleo: r
r
madeira
madeira
r
r
P M água
∑ F ∑ F
( água )
= 0 ⇒ E H 2O = P madeira
( óleo)
= 0 ⇒ E óleo = P madeira
Assim: E H 2O = E óleo
P M
2 V = ρ óleo g . . . .0,90V M 2 3 M 2 ρ H O . = ρ óleo .0,90 2 3 2 ρ óleo = ρ H O . = 0,74 g / cm 3 2 3 × 0,90
óleo
ρ H O g
= P M 2 ρ H O . g . V = ρ M . g .V M 2 3 M 2 ρ H O . = ρ M 2 3 2 3 ρ M = ρ H O = 0,67 g / cm 2 3
E H 2O
4. Uma esfera oca, de raio interno igual a 8 cm e raio externo igual a 9 cm, flutua submersa pela metade em um líquido de densidade 800 kg/m 3. a) Qual a massa da esfera? b) Calcule a densidade do material da qual ela é feita. r
E Líquido
No equilíbrio:
∑ F
esfera
= 0.
= P esfera 1 ρ Líquido . g . V externo = mesf . . g 2 1 ρ Líquido . V externo = mesf . 2 1 4 mesf . = ρ Líquido . π R 3 2 3 2 mesf . = ρ Líquido . π R 3 3 2 mesf . = 800. × 3,14 × 0,09 3 = 1,22 kg 3
ρ material
=
ρ material
=
E Líquido r
P esfera
4 3 π R 3 4 V int erno = π r 3 3 4 V material = π ( R 3 − r 3 ) 3 V externo
=
mesf . V material mesf .
4 3 3 π ( R − r ) 3 1,22 ρ material = 4 3 3 π (0,09 − 0,08 ) 3 3 ρ material = 1342,2kg / m
5. Um pedaço de cortiça pesa 0,285 N no ar. Mantido sob a água, preso a um dinamômetro como mostra a figura abaixo, a leitura do dinamômetro é 0,855 N. Calcule a densidade da cortiça. No equilíbrio:
∑ F = 0 .
E = P C + P aparente
cortiça
ρ H O
.V C . g = P C + P aparente
ρ H O
.
ρ H O
.
2
2
água
2
r
E
mC ρ C
P C ρ C
. g = P C + P aparente
= P C + P aparente
P C ρ H O = 2 P C + P aparente 0,285 ρ C = × 1,0 g / cm 3 0,285 + 0,855 3 ρ C = 0,25 g / cm ρ C
r
P C r
P aparente
6. Um pedaço de madeira tem 60 cm de comprimento, 30 cm de largura e 5 cm de espessura. Sua densidade é 0,6 g/cm 3. Qual o volume de chumbo que lhe deve ser amarrado em baixo, para que, mergulhado n’água, tenha seu topo exatamente aflorando a superfície? Densidade do chumbo: 11,3 g/cm 3. E M + E Pb r
Madeira Água
No equilíbrio: E M + E Pb
Chumbo r
P M r
V M V M
= 60 × 30 × 5 = 9000cm 3
r
P Pb
∑ F = 0 .
= P M + P Pb ρ A .V . + ρ A .V Pb . g = ρ M .V M . g + ρ Pb .V Pb . M g ρ A .V M + ρ A .V Pb = ρ M .V M + ρ Pb .V Pb V Pb ( ρ Pb − ρ A ) = V M ( ρ A − ρ M ) ( ρ − ρ M ) V Pb = A V ( ρ Pb − ρ A ) M (1,0 − 0,6) V Pb = × 9000cm 3 = 349,5cm 3 (11,3 − 1,0)
7. Água flui através de um cano horizontal de área transversal (A 1) de 10 cm2. Em uma outra seção a área transversal (A 2) é de 5 cm2 e a diferença de pressão entre elas é de 300 Pa. Quantos m3 de água escoarão do cano em 1 minuto? y
v1
Pela equação da continuidade: A1 .v1 = A2 .v 2 2 A2 .v1 = A2 .v 2
r
v2 r
0
v1
A2
A1
=
v2
2
⇒
v2
= 2v1
Pela equação de Bernoulli: 1 1 p1 + ρ gy1 + ρ v12 = p 2 + ρ gy 2 + ρ v 22 2 2 1 1 p1 + ρ v 2 = p 2 + ρ (4v 2 ) 2 2 1 2 p1 − p 2 = ρ (3v ) 2 2 p1 − p 2 v= = 0,45m / s 3 ρ v1 = 0,45m / s e v 2 = 0,90m / s
A2 = A A1 = 2A v1 = v v2 = 2v
Volume escoado em 60s: ∆V = A1 .v1 ∆t ∆V = A1v1∆t ∆V = 10 × 10 − 4 m 2 × 0,45m / s × 60 s ∆V = 0,027m 3
8. Através de uma tubulação com uma área transversal de 4 x 10 -4 m², corre água com uma velocidade de 5,0 m/s. A água gradualmente abaixa 10 m enquanto a área da tubulação passa para 8 x 10 -4 m². (a) Qual a velocidade do fluxo no nível mais baixo? (b) Se a pressão no nível superior é de1,5 x 10 5 Pa, qual é a pressão no nível mais baixo. y
10 m
v1 r
A1
v2 r
0 A2
= A A2 = 2 A A1
= v = 2,5m / s v1 = 2v = 5m / s v2
Pela equação da continuidade: A1 .v1 = A2 .v 2 A.v1 = 2 A.v 2 v1 = 2v 2 v 2 = 2,5m / s
= 10m y 2 = 0 y1
Pela equação de Bernoulli: 1 1 p1 + ρ gy1 + ρ v12 = p 2 + ρ gy 2 + ρ v 22 2 2 1 1 p1 + ρ gy1 + ρ ( 4v 2 ) = p 2 + ρ v 2 2 2 1 p 2 = p1 + ρ gy1 + ρ (3v 2 ) 2 1 p 2 = 1,5 × 10 5 + 10 3 × 10 × 10 + 10 3 (3 × 2,5 2 ) 2 5 5 p 2 = 1,5 × 10 + 1,0 × 10 + 0,094 × 10 5 p 2 = 2,6 × 10 5 Pa
9. Água escoa estacionariamente de um reservatório como mostra a f igura abaixo. A elevação do ponto 1 (em relação ao ponto 2) é 12 m. A área transversal A 2 é 460 cm2. A área do reservatório é muito grande comparada com A 2. O tanque é aberto. Determine o volume de água que escoará através do ponto 2, em um minuto. y A1
y1
y1 = 12m y1 = 0 p1 = patm p2 = patm
A2
v2 r
0
Pela equação da continuidade: A1 .v1 = A2 .v 2 Já que A1 〉〉 A2 ⇒ v1 〈〈 v 2 sendo v1 desprezível em relação a v 2 .
Pela equação de Bernoulli: 1 2 1 ρ v1 = p 2 + ρ gy 2 + ρ v 22 2 2 1 p a + ρ gy1 = p a + ρ v 22 2 1 2 ρ gy1 = ρ v 2 2 v 2 = 2 gy1 v 2 = 15,5 m / s p1
+ ρ gy1 +
Volume escoado em 60 s: ∆V = A2 v2 ∆t ∆V = A2 v 2 ∆t = 460 × 10 −4 × 15,5 × 60 ∆V = 42,8m 3
10. A pressão da água que passa por um tubo horizontal de 2 cm de diâmetro (d 1) é 1,42 x 105 Pa. A vazão do escoamento é de 2,80 x 10 -3 m³/s. A partir de um certo ponto, o tubo sofre um estrangulamento e a pressão se reduz a 1,01 x 10 5 Pa. Determine o diâmetro da seção estrangulada (d 2).
v2 r
r
v1
y = 0
Pela equação de Bernoulli: 1 1 p1 + ρ gy1 + ρ v12 = p 2 + ρ gy 2 + ρ v 22 2 2 1 1 p1 + ρ v12 = p 2 + ρ v 22 2 2 1 1 p1 − p 2 + ρ v12 = ρ v 22 2 2 2 ( p1 − p 2 ) + v12 =v22 ρ
v2
=
2 ρ
( p1 − p 2 ) + v12 = 10,96m / s
∆V = A1v1 ∆t ∆V 1 v1 = × ∆t A1 ∆V 1 × v1 = ∆t π d 12 4 ∆V 4 4 −3 v1 = = 2 , 80 × 10 × −2 2 ∆t π d 12 π ( 2 × 10 ) v1 = 8,9m / s A1v1 2 π d 1
4 d 12 v1 d 2
=
= A2 v 2 v1
=
2 π d 2
4
v2
= d 22 v 2 v1 v2
× d 1 = 0,018m = 1,8cm
