UNIVERSIDADE UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ/UFPI CENTRO DE TECNOLOGIA CT DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA INTRODUÇÕ A MECÂNICA DOS FLUIDOS PROFESSOR; ANTONIO BRUNO VASCONCELOS
Resumo do Capitulo 8 do Livro Introdução a Mecânica dos Fluidos dos autores Robert W. Fox Alan T. McDonald e Philip J. Pritchard RAUL PESSOA E SILVA 2014951766
TERESINA 03 DE JULHO DE 20
Resumo do Capitulo 8 do Livro Introdução a Mecânica dos Fluidos dos autores Robert W. Fox Alan T. McDonald e Philip J. Pritchard
Sumario Introdução Escoamento interno viscoso e incompressível ...........................................................1 8.1 Introdução...............................................................................................................................1 8.2 Escoamento laminar completamente desenvolvido em placas paralelas................................2 8.3 Escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo............................................4 8.4 Distribuição de tensão de cisalhamento no 2scoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo.............................................................................................................5
8.5 Perfis de velocidade em escoamento completamente c ompletamente desenvolvido em tubo.......................5 8.6 Consideração de energia no escoamento em tubos.................................................................6 8.7 Cálculo da perda de carga........................................................................................................6 8.8 Solução de problemas de escoamento em tubo.......................................................................7 8.9 Métodos diretos......................................................................................................................7 8.10 Método de vazão de restrição para escoamento interno.......................................................7 8.11 Medidores de vazão lineares.................................................................................................8 8.12 Medidores transversos..........................................................................................................8 Exemplo utilizando a ferramenta CFD............................................................................................8
1
ESCOAMENTO INTERNO VISCOSO E IMCOMPRESSIVEL O escoamento de um fluido é dito interno quando limitado de algum modo por po r alguma barreira física, os escoamentos internos podem ser divididos laminares e turbulentos podendo ser resolvidos analiticamente no caso do escoamento laminar ou pela ferramenta CFD no caso dos escoamentos turbulentos.
8.1 INTRODUÇÃO Como visto em capítulos anteriores desta obra o que o regime de escoamento (laminar ou turbulento) em um tubo é o número de Reynolds. Este número basicamente mede a diferença qualitativa de escoamento laminar e turbulento de modo que para valores altos de Re, acima de 2300, tem-se um escoamento interno, e para números abaixo do valor citado o escoamento é considerado laminar. Para um escoamento incompressível e conservação da massa exige que da medida que nos aproximamos da camada limite a velocidade do fluido diminui, em contrapartida a medida que migramos em direção a região central do tubo a velocidade aumente e a pressão diminui. Pela lei da conservação da massa temos que a velocidade em qualquer seção do tubo = U 0= constante
̅
̅ ∫Á =
= U0
8.1
Suficiente longe da entrada do tubo a camada limite segue em direção ao centro da seção, nesse ponto o escoamento torna=se inteiramente viscoso.
8.2 ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO ENTRE PLACAS ARALELAS INFINITAS Ambas as Placas Estacionarias Quando estamos trabalhando com um escoamento de fluido entre folgas muito pequenas (algo próximo de 0,005mm) o campo de escoamento pode ser modelado como um escoamento entre placas paralelas infinitas. Para calcular uma dava velocidade com a qual o fluindo vaza entre a folga dessas placas, devemos primeiro determinar o campo de velocidade. Partindo da condição de não deslizamento entre o fluído e as paredes da placa, temos que as condições de contorno serão u=0.
∀ ∫ ∀ ∀ ∫ ⃗
Para a análise é selecionado um volume de controle d = dx dy dz e usando a equação da quantidade de movimento FSx+FBx = Podemos adotar as seguintes simplificações 1 escoamento permanente logo
=0
2 Escoamento completamente desenvolvido 3 não atuam forças de campo logo FBx =0
+
8.1
2 Podemos considerar, também que não há forças de massa atuando na direção x, por tanto FSx =0 Ao analisar as forças que atuam sobre uma partícula nessa situação percebe-se que existem tanto forças de pressão quanto forças de cisalhamento agindo nas faces dessa partícula. Manipulando os termos da pressão e expandindo em serie de Taylor os termos de cisalhamento para combinar tudo em uma equação teremos:
dxy
8.3
8.4
=
= constate
Integrando esta equação obtemos
xy =
( )y + c1
Indicando que a tensão de cisalhamento varia linearmente com y, para determinar a distribuição de velocidade vamos relacionar o campo de tensão cisalhamento com o campo de velocidade. Relacionando os termos e integrando obtemos: u=
( )y²+
y + c2
Vale salientar que a equação encontrada também poderia ser deduzida partindo das equações de Navier-Stokes. Podemos obter c1 igualando a equação a zero e fazendo c2=0, u=0 e y=a onde a é a distância entre as placas, teremos:
c1= - 1/2( )a² Então a distribuição de velocidade fica: u=
² [ ()] ( )y² -
( )ay =
( )
8.5
Distribuição de Tensão de Cisalhamento A distribuição da tensão ode cisalhamento pode ser dada por
xy =
( )y +c1 = ( )y -
[ ]
( )a = a( )
Vazão em Volume A vazão em volume é dada por Q=
∫ ⃗
Q=
∫0
Para uma profundidade na direção z l
Então, a vazão em volume por unidade de profundidade é dada por:
= -
( )a³8.11
8.6
3 Vazão em volume como uma Função da Queda de Pressão
∆
Fazemos ( ) = -
substituindo na equação para vazão em volume, temos
³∆ =
8.7
Velocidade Média A magnitude da velocidade média é dada por
̅
= = -
( )a²
8.8
Ponto de Velocidade Máxima Para determinar o ponto de velocidade máxima, fazemos du/dy igual a zero e resolvemos para o valor de y correspondente. No final teremos a seguinte equação
̅
u = umáx = 2/3
8.9
Placa Superior Movendo-se com Velocidade Constante Um segundo caso de escoamento laminar com uma aplicação bem importante é o caso do escoamento onde uma das superfícies está parada enquanto a outra se move com velocidade constante, uma aplicação bem comum para esse caso são os eixos virabrequim. Neste caso teremos como condições de contorno que u = U em y = a. assim usando dos artifícios matemáticos já utilizados na dedução do campo de velocidade para o caso de placas estacionarias teremos que, para este caso, a distribuição de velocidade é dada por u=
[ ] +
( )
8.10
Distribuição de Tensão de Cisalhamento Para esse caso a tensão de cisalhamento será dada pela expressão
² ² xy =
Vazão em Volume
+
( )
=
+ a( )
8.11
A vazão em volume por unidade de profundidade é
=
-
( )a³
8.12
Velocidade Média A magnitude da velocidade média é dada por
̅
= = -
( )a²
8.18
4
Ponto de Velocidade Máxima
/ (/)( ⁄)
Y = -
8.19
8.3 ESCOAMETO LAMINAR COMLETAMENTE C OMLETAMENTE DESENVOLVIDO DESENVOLVIDO E UM TUBO Agora iremos considerar o escoamento desenvolvido no interior de um tubo, para isso usaremos as equações de Navier-Stokes, desta vez aplicadas a coordenadas cilíndricas. Para um regime permanente e completamente desenvolvido iremos considera, na equação do transporte de Reynolds, Fsx = 0, depois iremos somar as forças sobre o volume de controle na direção x, nesse caso as forças de pressão. Depois será somado, também, as forças das tensões de cisalhamento que agem na superfície interna do volume de controle. A soma das forças cisalhamento e tensão eu atuam tanto interno quanto externo ao sistema devem ser iguais a 0. Trabalhando nas expressões das forças atuantes no nu sistema e integrando-as obteremos
xy=
( ) +
e u=
⁄
4 ( ) +
lnr + c 2
Onde r é o raio da tubulação e c 1 e c 2 são as constantes de integração. Fazendo c 1 igual a zero entramos c2 igual a (R²/4µ)(
), logo a equação para distribuição de velocidade final é u=
4² 1 ()²)² ( )
8.11
Distribuição de Tensão de Cisalhamento A equação para a tensão de cisalhamento é
xy =
( )
8.12
Vazão em Volume Partindo da equação integral, já citada anteriormente, para uma vazão Q teremos Q=
(^4)8
( )
Vazão em Volume em Função da Queda de Pressão
8.13
5
Fazendo
igual a
∆
p/L teremos
∆(^4) 8
8.14
̅ = 8²
( )
8.15
̅
8.16
Q=
Velocidade Média
Ponto de Velocidade Máxima u = umáx = 2
8.4 DISTIBUIÇÃO DE TENSÃO CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS Considerando mais uma vez o escoamento completamente desenvolvido o interior de um tubo, voltaremos a trabalha com as equações já deduzidas
xy=
( )
Essa equação mostra que, para escoamentos completamente desenvolvido, tanto laminares quanto turbulentos, a tensão de cisalhamento varia linearmente através do tubo desde zero na linha de centro do tubo até à tensão máxima na parede do tubo. Partindo da ideia da variação linear da tenção de cisalhamento no escoamento interno em um tubo podemos encontrar um media temporal entre as tensões máximas e mínimas assim a tensão media será
= ′̅ ′ lam +
turb =
-
8.17
8.5 PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO DESENVOLVIDO EM TUBOS Exceto para fluidos muito viscosos em tubos com diâmetro muito pequenos, os escoamentos em tubos são geralmente turbulentos. Analisando os tópicos discutidos anteriormente percebemos que em um escoamento turbulento não se tem uma relação universal entre a distribuição de pressão e a velocidade do escoamento. Desse modo quando se trata de um escoamento turbulento faz-se necessário o uso de expressões proveniente de dados experimentais.
6 Nesses escoamentos os estudos são feitos em cima de gráficos montados com dados de dados de experiencias para diversas condições só assim conseguimos expressões que relacionam velocidades média, máxima e tensão deste escoamento.
8.6 CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS Até aqui todos as análises feitas no escoamento viscoso, levaram em consideração a equação da quantidade de movimento para um volume de controle e também o princípio de conservação da massa. Até agora nada foi dito sobre a conservação da energia A partir de agora os estudos abordarão a conservação de energia dentro do volume de controle usando a primeira lei da termodinâmica. Para isso usaremos a equação base
̇ ̇ ̇ -
s-
cisalhamento -
̇
outro =
∫ ∀ ∫ ( +) ⃗ +
Usando dos mesmos artifícios matemáticos e operações usadas em capítulos anteriores podemos usar a equação mostrada acima para chegar a uma relação de energia no escoamento interno viscoso completamente desenvolvido
Coeficiente de Energia Cinética
Podemos definir o coeficiente de energia cinética pela seguinte expressão
∫ (^3) ( ̇ ^) =
8.18
Perda de Carga Partindo das equações para a primeira lei e das equações de energia para volume de controle, teremos
+ 1 + () +1) +1) +1 +1 + ()^ +2 +2 ( + termo 1 -
termo 2 =
(u1 – u2) termo 3 -
termo 4
Onde o termo 1 a energia mecânica por unidade de massa em uma seção transversal. O termo 3 é igual a diferença de energia por unidade de massa entre duas seções de uma tubulação, ele representa a conservação, irreversível da energia, mecânic a na seção de entrada.
8.7CALCULO DA PERDA DE CARGA Escoamento Laminar No escoamento laminar analiticamente para o escoamento completamente desenvolvido em um tubo horizontal. h1 =
(64) ²
8.19
7
Escoamento Turbulento No escoamento turbulento não podemos avaliar, analiticamente, a queda de pressão devemos utilizar dados experimentais e e utilizar analise de dimensão para correlaciona-los. Desse modo temos que a queda de pressão para escoamento turbulento pode ser encontrada pela equação
²
H1 = f
8.20
8.8 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ESCOAMENTO EM TUBO Este tópico trata de usar as equações já definidas para encontrar valores de queda de pressão em um tubo, diâmetro, comprimento e a vazão de um tubo. O trabalho aqui consiste em encontrar uma equação que relacione os valores que se tem e os que se almeja e simplesmente aplica-la no problema.
8.9 METODOS DIRETOS A maneira mais óbvia de medir a vazão em um tubo é o método direto, que consiste simplesmente em medir a quantidade de fluido que se acumula em um recipiente num dado temo. A pesar de simples esse método requer alguns cuidados. Quando trabalhamos com gases a alta taxa de compressibilidade do gás pode provocar erros na medição da vazão.
8.10 MEDIDORES DE VAZÃO DE RESTRIÇÃO PARA ESCOAMENTOS INTERNOS a maioria dos medidores de restrição (redução de área) para escoamentos internos, exceto os laminares, baseia-se na aceleração de uma corrente fluida através de alguma fora de bocal. Nesses casos podemos encontrar a vazão teórica pode ser relacionada com o diferencial de pressão entre as seções de entrada e saída pela aplicação da equação da continuidade e de Bernoulli. Em seguida, fatores de correção empíricos podem ser aplicando para se obter o bter a vazão real. Podemos encontrar a vazão teórica e a vazão mássica pelas seguintes equações
(−) )^ −( ̇ (()^ √ 2( 2( 2 2)) V2 =
=
8.21
8.22
8
8.11 MEDIDORES DE VAZÃO LNEARES Ao utilizarmos medidores de vazão de restrição encontramos uma desvantagem que é a saída medida ( ). Dentre os medidores de vazão linear são encontrados.
∆
Medidores de área variável ou de flutuador podem ser utilizados para indicar diretamente a variação de líquidos é gases Medidores de vazão de vórtices têm uma vantagem pelo fato de um escoamento uniforme gerar uma trilha de vórtices, quando encontra um corpo rombudo, tal como um cilindro. Medidor de vazão eletromagnética utiliza o princípio da indução magnética. Um campo magnético é criado transversalmente ao tubo, quando um fluido condutor passa através do campo, uma tensão é criada e eletrodos conectados ao sistema medem o sinal de tensão resultante.
8.12 MEDIDORES TRANSVERSOS Nesses medidores a área transversal do doto e subdividida em seguimentos iguais. A velocidade é medida no centro de área de cada seguimento por meio de um tubo de pitot
*EXEMPLO DE UTILIZAÇÃO DA FERRAMENTA DFC PARA ESOAMENTO ESTERNO TURBULENTO Na maioria dos problemas reais envolvendo mecânica dos fluidos são tratados com escoamento turbulento, nesse caso desenvolver um estudo aprofundado em cima de fenômenos e processos envolvendo fluidos de maneira analiticamente não é possível, até o momento. Para esse tipo de problema são usados métodos numéricos bastante complexos e trabalhosos. Com o avanço da computação o estudo da mecânica dos fluidos ganhou uma nova ferramenta, o cálculo computacional. Usando da ferramenta CFD ( Computational Fluid Dynamics) é possível simular escoamento turbulentos compressíveis ou não e obter um resultado bem satisfatório para estudo de um determinado fenômeno para aplicação pratica, principalmente na engenharia.
Será apresentado agora um caso simples de escoamento externo em um perfil de asa, a ferramenta CFD dessa simulação foi trabalhada através do software Ansys através do plugin Fluente. O caso trata de uma asa de 600mm de comprimento e em um escoamento de 133m/s. o volume de controle do problema foi modelado aproximando-se aproximando -se de um túnel de vento, o escoamento é turbulento como dito antes, e o sistema de turbulência escolhida no software foi o K-Epson, que usa equações diferenciais ordinárias ordinárias de segunda ordem para o cálculo dos coeficientes de pressão e turbulência, além disso, foi adotado, para este problema, que a diferença de pressãoentre entrada e saída do volume de controle é 0.
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Imagem 1
Imagem2
Imagem 3 A imagem 1 mostra a geometria do problema, a imagem 2 mostra a malha usada e a imagem três dá um close ao refinamento da malha tanto no bordo de figa quanto de ataque. Vale salientar que o perfil faz um ângulo de ataque de 5º com a horizontal.
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Imagem 4
Imagem 5
As imagens 4 mostra a interface do fluente, onde serão executadas as condições de contorno já citadas a cima, a imagem 5 mostra o fim do cálculo da simulação, mostra também um escorço da força de pressão, no caso estática, agindo sobre o corpo de perfil. A partir de agora dá-se início à fase de pós processamentos, onde iremos atrás dos resultados efetivos da simulação. Esses resultados em sua maioria serão apresentados em forma de gráficos, que são plotados em um pano criado ao final do cálculo da simulação.
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Imagem 6 pressão desenvolvida no perfil
Imagem 7 Velocidade na camada limite
Imagem 8 pressão total ao longo do volume de controle
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Imagem 9, linhas de corrente plotadas plotadas sob o gráfico de velocidade
