RESUMO DAS FÓRMULAS – MECÂNICA DOS FLUIDOS CAPÍTULO 2 2.4 Viscosi Viscosidade dade 2.4.1 Fluido Newtoniano τyx = µ
du
(2.10)
dy
2.4.2 Fluido Não-Newtoniano n
τyx
du = κ dy
(2.11)
CAPÍTULO 3 Estática dos Fluidos −gradp + ρ g =0
−
∂ p + ρ g x = 0 ∂ x
− ∂ p + ρ g y = 0 ∂y −
(3.3)
(3.4)
∂ p + ρ g z = 0 ∂z
dp = −ρg ≡ −γ dz
3.5.1 Força Hidrostática sobre uma Superfície Plana Submersa
(3.6)
FR = ∫ A (3.10)
r '×F R
−pd A
= ∫ r ×d F = −∫ r × pd A
(3.11)
3.5.2 3.5.2 Força Força Hidro Hidrostát stática ica sobre sobre uma uma Super Superfíc fície ie Curva Curva Submer Submersa sa Fz
= − ∫ Az ρghdA z = − ∫ ∀ ρgd∀ = −ρg∀
3.6 Empu Empuxo xo e Esta Estabi bili lidad dadee F z = ∫ dF z = ∫ ∀ ρ gd ∀ = ρ g ∀ (3.15)
3.7 Fluidos em Movimento de Corpo rígido
−
∂ p + ρ g x = ρ a x ∂ x
−
∂ p + ρ g y = ρ ay ∂ x
−
∂ p + ρ g z = ρ az ∂ x
(3.17)
∇ = êr
∂ ∂ ∂ + ê θ 1 + kˆ r ∂θ ∂r ∂z
gradp
= ∇p = êr
∂p 1 ∂p ˆ ∂p + êθ +k ∂r ∂z r ∂θ
(3.19)
CAPÍTULO 4 4.1 Leis Básicas para um Sistema 4.1.1 A Conservação da Massa dM =0 dt sistema M sistema
= ∫ massa(sistema) dm = ∫ ∀( sistema) ρd∀
(4.1a)
(4.1b)
4.1.2 A Segunda Lei de Newton
F
=
dP dt sistema
(4.2a)
Psistema = ∫ massa (sistema ) Vdm = ∫ ∀( sistema ) Vρd∀
(4.2b)
4.1.3 O Princípio do Momento da Quantidade de Movimento
T
=
dH dt sistema
(4.3a)
T = r × Fs + ∫ massa (sistema ) r × gdm + Teixo
(4.3c)
4.1.4 A Primeira Lei da Termodinâmica −W = Q
dE dt sistema
E sistema
= ∫ massa(sistema) edm = ∫ ∀( sistema) eρd∀
e =u+
V2 + gz 2
(4.4a)
(4.4b)
(4.4c)
4.1.5 A Segunda Lei da Termodinâmica dS ≥
δQ T
dS dt sistema
S sistema
≥
1 Q T
(4.5a)
= ∫ massa( sistema) sdm = ∫ ∀(sistema) sρd∀
(4.5b)
4.2 A Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle 4.2.2 A Interpretação Física dN dt
4.3
= sistema
∂ ∫ ηρd∀ + ∫ SC ηρV ⋅ dA ∂t VC
(4.11)
A Conservação da Massa 0
= ∂ ∫ VC ρd∀ + ∫ SC ρV ⋅ dA ∂t (4.13)
4.4
A Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle Inercial F
= Fs + FB =
∂ ∫ Vρd∀ + ∫ SC VρV ⋅ dA ∂t VC
(4.18)
4.5
Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle sob Aceleração Retilínea F
= Fs + FB = (4.27)
∂ ∫ ∂t VC
Vxyz ρd∀ + ∫ SC Vxyz ρVxyz ⋅ dA
F s
+ F B − ∫ VC arf ρ d ∀ =
∂ ∫ V ρ d ∀ + ∫ SC V xyz ρ V xyz ⋅ d A ∂t VC xyz
(4.34)
4.6
Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle sob Aceleração Arbitrária
Fs + FB − ∫ VC [a rf + 2ω × Vxyz + ω × ( ω × r ) + ω × r ]ρd∀ =
∂ ∫ V ρd∀ + ∫ V ρV ⋅ dA SC xyz xyz ∂t VC xyz (4.45)
4.7.2 Equação para Volume de Controle Rotativo r × FS + ∫ VC r × gρd∀ + Teixo − ∫ VC r × 2ω × Vxyz + ω × ( ω × r ) + ω × r ρd∀
=
∂ ∫ r × Vxyz ρd∀ + ∫ SC r × Vxyz ρVxyz ⋅ dA (4.53) ∂t VC
4.8.2 Equação do Volume de Controle Q − WS
− Wcisalhamen
to
− Woutros =
∂ V2 ∫ VC eρd∀ + ∫ SC u + pυ + + gz ρV ⋅ dA ∂t 2
(4.57)
4.9 A Segunda Lei da Termodinâmica ∂ ∫ ∂t VC
s ρ d ∀+∫ SC s ρ V ⋅ d A
≥ ∫ SC
. Q dA T A 1
(4.59)
CAPÍTULO 5 Introdução à Análise Diferencial dos Movimentos dos Fluidos 5.1 A CONSERVAÇÃO DA MASSA
5.1.1 Sistema de Coordenadas Retangulares ∂ρu ∂ρυ ∂ρw ∂ρ + + + =0 ∂x ∂γ ∂z ∂t
(5.1a)
∇ ⋅ ρV + ∂ρ = 0 ∂t
(5.1b)
5.1.2 Sistema de Coordenadas Cilíndricas 1 ∂( r ρVr ) 1 ∂( ρVθ ) ∂( ρVz ) ∂ρ + + + =0 r ∂r r ∂θ ∂z ∂t (5.2)
5.3.1 Aceleração de uma Partícula Fluida num Campo de Velocidade DV Dt
≡ a p =u
∂V ∂ ∂ ∂ +υ V +w V + V ∂x ∂y ∂z ∂t
(5.9) a xp
= Du = u ∂u + υ ∂u + w ∂u + ∂u ∂x ∂y ∂z ∂t Dt
a yp
=
Dυ Dt
=u
∂υ ∂υ ∂υ ∂υ +υ +w + ∂x ∂y ∂z ∂t
(5.11b)
a zp
=
Dw Dt
=u
∂w ∂w ∂w ∂w +υ +w + ∂x ∂y ∂z ∂t
(5.11c)
∂Vr Vθ ∂Vr Vθ2 ∂V ∂V ar p = Vr + − + Vz r + r r ∂θ r ∂r ∂z ∂t
(5.11a)
(5.12a)
a θp = Vr
∂Vθ Vθ ∂Vθ Vr Vθ ∂V ∂V + + + Vz θ + θ r ∂θ ∂r ∂z ∂z ∂t
(5.12b)
a zp = Vr
∂Vz Vθ ∂Vz ∂V ∂V + + Vz z + z ∂r ∂z ∂t r ∂θ
(5.12c)
5.3.2 Rotação dos Fluidos ω = ˆi ωx + jˆ ωy + kˆωz
∂υ ˆ ∂u ∂w ˆ ∂υ ∂u 1 ∂w ω = ˆi ωx + jˆ ωy + kˆωz = ˆi − + − + − j k 2 ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
(5.13)
5.3.3 Deformação dos Fluidos dγ ∂υ ∂u dα dβ + =− = + ∂x ∂y dt dt dt
(5.19)
5.4 Equação da Quantidade de Movimento
dF
= dm
DV Dt
∂V ∂V ∂V ∂V = dm u +υ +w + ∂y ∂z ∂t ∂x
∂σ
∂τ
∂τ
∂τ xy
∂σyy
∂τzy dxdydz
yx + zx dFx = dFB x + dFS x = ρg x + xx + dxdydz ∂ ∂ ∂ x y z
+ + dFy = dFB y + dFS y = ρg y + ∂x ∂y ∂z
∂τ
∂τ ∂σ yz + zz dFz = dFB z + dFSz = ρg z + xz + dxdydz ∂ ∂ ∂ x y z
(5.22)
(5.23a)
(5.23b)
(5.23c)
5.4.2 Equação Diferencial da Quantidade de Movimento ρg x +
∂σxx ∂τyx ∂τzx ∂u ∂u ∂u ∂u + + = ρ + u + υ + w ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂t
(5.24a)
ρg y +
∂τxy ∂σyy ∂τzy ∂υ ∂υ ∂υ ∂υ + + = ρ + u + υ + w ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂t
(5.24b)
ρg z +
∂τ xz ∂τ yz ∂σzz + + ∂x ∂y ∂z
(5.24c)
∂w ∂w ∂w w ∂w ρ +u +υ + ∂x ∂y ∂z ∂t
5.4.3 Fluidos Newtonianos : a Equação de Navier-Stokes
ρ
ρ
ρ
Du Dt
Dυ Dt
Dw Dt
= ρg x −
∂ ∂u ∂υ ∂ ∂w ∂u ∂p ∂ ∂u 2 + µ 2 − ∇ ⋅ V − + µ + + µ ∂x ∂x ∂x 3 ∂y ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z
(5.26a)
= ρg y −
∂ ∂υ ∂w ∂p ∂ ∂u ∂υ ∂ ∂υ 2 2 V + µ + + µ − ∇ ⋅ + ∂z µ ∂z − ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y 3
(5.26b)
= ρg z −
∂ ∂w 2 ∂p ∂ ∂w ∂u ∂ ∂υ ∂w + µ + + µ − + µ − ∇ ⋅ 2 V (5.26c) ∂z ∂x ∂x ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z 3
∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂u ∂ u u u p ∂ ∂ ∂ ρ + u + υ + w = ρg x − ∂x + µ ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 ∂ ∂ ∂ ∂ t x y z
(5.27a)
∂υ ∂p ∂υ ∂υ ∂υ ∂ 2 υ ∂ 2 υ ∂ 2 υ ρ + u + υ + w = ρ − + µ + 2 + 2 g y 2 ∂x ∂y ∂z ∂y ∂y ∂z ∂t ∂x
(5.27b)
∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w ∂w ∂w ∂w ∂w ∂p 2 + 2 + 2 g ρ +u +υ +w = ρ − + µ z ∂x ∂x ∂y ∂z ∂z ∂y ∂z ∂t
(5.27c)
CAPÍTULO 6 6.1 Equação da Quantidade de Movimento para escoamento sem atrito : As Equações de Euler
ρg x −
∂ ∂p ∂ ∂ ∂ = ρ u + u u + υ u + w u ∂x ∂x ∂y ∂z ∂t
(6.1a)
ρg y −
∂υ ∂p ∂υ ∂υ ∂υ = ρ + u +υ +w ∂y ∂x ∂y ∂z ∂t
(6.1b)
ρg z −
∂w ∂p ∂w ∂w ∂w = ρ +u +υ +w ∂z ∂x ∂y ∂z ∂t
(6.1c)
DV
ρg − ∇p = ρ
− g∇z −
g r −
1
ρ
(6.2)
Dt
∇p =
DV Dt
=
∂V + (V ⋅ ∇)V ∂t
(6.3)
∂V ∂V V ∂V ∂V V 2 1 ∂p = a r = r + Vr r + θ r + Vz r − θ r ∂θ r ρ ∂r ∂t ∂r ∂z
(6.4a)
gθ −
∂V ∂V ∂V V ∂V VV 1 ∂p = a θ = θ + Vr θ + θ θ + Vz θ + r θ ρr ∂θ ∂t ∂r ∂z r ∂θ r
(6.4b)
gz −
V ∂V ∂V ∂V ∂V 1 ∂p = a z = z + Vr z + θ z + Vz z ρ ∂z ∂t ∂r ∂z r ∂θ
(6.4c)
6.2 As Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente − 1 ∂p − g ∂z = ∂V + V ∂V ρ ∂s ∂s ∂t ∂s
(6.5a)
∂z V 2 = ∂n R
(6.6a)
1 ∂p ρ ∂n
+g
6.3.1 Dedução com o Emprego de Coordenadas de Linha de Corrente
p
ρ
+
V2 + gz = cons tan te 2
(6.9)
6.3.3 Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica V 02
V2 + = + ρ 2 ρ 2
p0
p0 = p +
p
; onde :
V 02 2
=0
1 2 ρV 2
(6.12)
CAPÍTULO 7 7.2 O Teorema dos PI de BUCKINGHAM g( q1, q 2 , , q n )
=0
G( π 1, π 2 , , π n−m )
=0
7.4 Grupos Adimensionais de Importância na Mecânica dos Fluidos
Re
Re
=
ρVD VD = µ v
= ρVL = VL v µ
Eu =
Fr
We
∆p 1 ρV 2 2
M
=
=
=
ρV 2L σ
V c
V gL
7.5.2 Lei das Escalas com Parâmetros Múltiplos Dependentes Q1 D13
ω1
H1 2
ω1
D12
ω2
3
D15
(7.3)
D 32
H2
=
℘1 ρ 1ω1
Q2
=
2
ω2
=
(7.4)
D 22
℘2 3
ρ2ω2
D 52
(7.5)
CAPÍTULO 8 Escoamento Viscoso, Incompressível, Interno ∇=
L D
1 ∫ udA A Área
≅ 0,06
ρVD μ
(8.1)
8.2 Escoamento Laminar Inteiramente Desenvolvido entre Placas Paralelas Infinitas
8.2.1 Ambas as Placas Estacionárias 2 ∂p y y u= − 2μ ∂x a a
a
2
(8.5)
Vazão em Volume Q ∂p = ∫ a0 1 ( y 2 − ay )dy l 2μ ∂x
Q l
=−
1 12 μ
∂p a 3 ∂x
(8.6b)
Vazão em Volume como Função da queda de Pressão Q l
=−
1 − ∆ p 3 a 12 µ L
=−
a3 ∆ p 12 µ L
(8.6c)
8.2.2 Placa Superior Movendo-se com Velocidade Constante, U
u=
Uy a
2 ∂p y y + − 2µ ∂x a a
a2
Vazão em Volume Q l
Uy 1 ∂ p 2 = ∫ 0a + y − ay dy a 2 µ ∂ x
8.3 Escoamento Laminar Inteiramente Desenvolvido Dentro de um Tubo
(8.8)
∂p r 2 u= 1 − 4µ ∂x R R2
(8.12)
Vazão em Volume como Função da Queda de Pressão πR 4 − ∆p π∆pR 4 π∆pD 4 = = Q =− 8µ L 8µL 128 µL
(8.13c)
8.4 Distribuição de Tensão de Cisalhamento no Escoamento Inteiramente Desenvolvido em Tubos τ = µ d u − ρu' υ'
(8.17)
τ du = ν − u' υ' ρ dy
(8.18)
dy
8.5 Perfis de Velocidade Turbulenta no Escoamento Inteiramente Desenvolvidos em Tubos u
yu *
u+
=
u u*
= 2,5 ln
u U
u*
=
ν yu*
1/ n
y = R
ν
= y+
(8.19)
+ 5,0
(8.20)
1/ n
r = 1 − − R
8.6 Considerações de Energia no Escoamento em Tubos
(8.22)
8.6.1 Coeficiente de Energia Cinética ρ ∫ α=
3
V dA
A
mV 2
(8.25b)
8.6.2 Perda de Carga 2 p1 + α 1 V1 + gz 1 − p 2 + α 2 ρ ρ 2
V22 2
+ gz 2 = h lT
(8.28)
Escoamento Turbulento
hl
= f
L V2 D 2
f la min ar
=
(8.32)
64 Re
(8.33)
1 f 0,5
eD = −2,0 log + 2,51 3,7 Re f 0,5
e D 5,74 f 0 = 0,25log + 0,9 3 , 7 Re
(8.37a)
−2
CAPÍTULO 9 Escoamento Viscoso, Incompressível, Externo
(8.37
9.2 Espessura da Camada - Limite δ *
u u = ∫ 0∞ 1 − dy ≈ ∫ 0δ 1 − dy U U
(9.1)
9.3 Camada – Limite Laminar em Placas : A Solução Exata
τw = 0,332 U ρµU
C f
=
τw 1 ρU 2 2
=
x
= 0,332 ρU
2
Re x
(9.14)
0,664 (9.15)
Re x
9.5.2 Escoamento Turbulento 1
1 u y 7 = = η 7 U δ
C f =
τw 1 2 ρU 2
=
(9.24)
0,0594 1
Re x 5
9.5.3 Escoamento de Fluidos ao redor de Corpos Submersos dFcisalhamen
dFpressão
to
= τw dA
= −ρdA
(9.27)
9.7 Arrasto
CD ≡
FD 1 2 ρV A 2
(9.30)
9.8 Sustentação
CL ≡
FL 1 2 ρV A P 2
(9.38)
