Exercices sur la programmation linéaire Exercice 1 : Une entreprise fabrique trois modèles de TV couleur A, B et C qui lui rapportent des profits de 1600 DH, 3000 DH et 5000 DH. Les niveaux minima de production pour une semaine sont de 100 pour A, 150 pour B et 75 pour C. Chaque douzaine de TV de type i requiert un temps Fi pour la fabrication, un temps Ai pour l’assemblage et un temps Ei pour l’emballage. A B C Fi 3 3,5 5 Ai 4 5 8 Ei 1 1,5 3 Pendant une semaine à venir, l’entreprise aura 150 heures disponibles pour la fabrication, 200 pour l’assemblage et 60 pour l’emballage. Formuler un modèle donnant un plan de production qui maximise le profit de la compagnie.
Exercice 2 : Un revendeur d’ordinateurs doit approvisionner son magasin de Fès et celui de Marrakech à partir des entrepôts de Casablanca et de Rabat. Les coûts unitaires en Dirhams de livraison sont les suivants : Entrepôts/Magasins Marrakech Fès Casablanca
600
300
Rabat
500
900
Le magasin de Marrakech commande 30 ordinateurs et celui de Fès en commande 25. Il y’a 45 appareils en stock à Casablanca et 40 à Rabat. Déterminer par la méthode graphique un programme d’approvisionnement optimal.
Solutions Exercice 1 : On pose A : x, B : y et C : z ***** x y Fi 1/4 7/24 Ai 1/3 5/12 Ei 1/12 1/8 Profit par 1600 3000 unité
z 5/12 2/3 1/4 5000
Limite 150 200 60 *****
1
Youssef Max { Z = 1600x +3000y + 5000z }
SC
1/4 x +7/24 y+5/12 z ≤ 150 1/3 x +5/12 y+2/3 z ≤ 200 1/12 x+1/8 y+ 1/4 z ≤ 60 x ≥100 y ≥ 150 z ≥ 75
Max { Z = 1600x +3000y + 5000z – Ma1 – Ma2 – Ma3 }
SC
1/4 x +7/24 y+5/12 z +e1 = 150 1/3 x +5/12 y+2/3 z +e2 = 200 1/12 x+1/8 y+ 1/4 z +e3 = 60 x +a1 –e4 = 100 y +a2 –e5 = 150 z +a3 –e6 = 75
Z = 1600x +3000y + 5000z – Ma1 – Ma2 – Ma3 Z = 1600x +3000y + 5000z – M(100 –x +e4) – M(150 –y +e5) – M(75 –z +e6) Z = x(1600+M) +y(3000+M) +z(5000+M) –Me4 –Me5 –Me6 –325M Tableau 1 x e1 1/4 e2 1/3 e3 1/12 a1 1 a2 0 a3 0 Z 1600+M z entre ; R = B/z
