1
Primeira Lista de Exercícios 1) Para cada uma das equações de conservação de massa, momentum e energia, considere que as propriedades !, µ, c e k sejam constantes. Identifique, através da comparação com a equação genérica, as variáveis ! ! ! , " , u e S para cada uma das equações: !
Resolução: Dados: !, µ, c e k sejam constantes. Partindo da equação genérica:
( )
% "! %t
+
(
!
)
# " u !
=
(
!
)
#. $ #!
+
!
S
Utilizando a notação de Einstein:
)( "! ) )( " u j ! ) ) + = )t ) x j ) x j
( ! )! % ! &* # S & ) x j # + ' $ Tabela 1 –Valores de
Equação de conservação Massa global Quantidade de movimento
Energia
! , "! e S !
!
"
1 ui
0
T
!
µ
k/c p
!
!
u
S
u j u j
0
u j
B j 1
! x j
DP
c p Dt Massa do Componente i
C
! D
u j
! P
"
+
µ
c p
!
0
* ! é o termo de dissipação viscosa. A equação para ! pode ser encontrada em : Bejan, Adrian Convection Heat Transfer , John Wilew & Sons(1984).
1
Segunda Lista de Exercícios 1) ( Patankar 4-5) Derive the discretization equation from Eq. (4.1) for the situation in which S = a + bT, where a and b are constant. Use a piecewise-linear profile for T for calculating both dT/dx and S. Comment on the resulting r esulting discretization discre tization equation with reference to Rule 2. Resolução: Dado: [1.01]
& dT # $ k ! + S = 0 dx % dx "
[1.02]
S = a
d
+
bT
W
w
P
e
E
Figura 1.1 – Perfil de Temperatura: piecewise-linear Temperatura: piecewise-linear
W
w
P
!xw
e
E
!xe
Figura 1.2 – Malha para o problema unidimensional de condução. Integrando no espaço: e
e
& dT # [1.03] ' $ k !dx + ' S .dx = 0 dx dx % " w w então:
d
2
& %
[1.04] $ k
& ' x & dT # ! ( $ k ! + S $ e dx " e % dx " w %
dT #
' x w # !=0 2 "
+
Utilizando perfil linear por partes:
& %
dT #
& %
dT #
[1.05] $ k
[1.06] $ k
[1.07]
! dx " e
! dx " w
S = a
+
& T E ( T P # $ 'x !! e % "
k e $
=
& T P ( T W # $ 'x !! w % "
k w $
=
bT P
substituindo as equações [1.05], [1.06] [1.06] e [1.07] na equação [1.04], vem: [1.08]
& T E ( T P # & T P ( T W # & ' xe + ' x w # ! ! k w $ ( + ( a + bT )$ !=0 P $ ' x ! $ ' x ! 2 % " e w % " % "
k e $
reagrupando, tem-se:
-
[1.09] +
k e
, ' xe
+
k w
' x w
& ' x . b$ e %
& k # & k # ' x w #* !(T P = $$ e !!T E + $$ w !!T W 2 ") % ' xe " % ' x w "
+
+
& ' xe %
a$
'xw # ! 2 "
+
notação simplificada: [1.10]
A P T P
=
A E T E
+ A
T W
W
+ B
onde: [1.11] A E
k e =
! xe
k w
[1.12] AW [1.13]
A P
[1.14]
B
=
! x w =
=
a E
+
& ' x %
a$
e
aW
& ' x ( b$ e %
' xw # ! 2 "
+
'x # ! 2 "
+
w
Regra 02 ! All coefficients ( A p and neighbor coefficients A nb ) must always be positive.
3
A positividade dos coeficientes é de fundamental importância para que a solução obtida seja fisicamente coerente. Considerando-se a Figura 1.2 com as temperaturas dos volumes vizinhos maiores do que a temperatura do volume P. Sendo os coeficientes de conexão de P com seus vizinhos positivos e supondo A p negativo & , - xe + - x w ) # = a + a A b . * ' < 0! . A física correta do problema requer o aumento de E W $ p 2 + ( " % T p. Pela expressão A T = A T + A T + B que é a equação aproximada para o ponto P, não existe garantia, se o coeficiente de A p for negativo. Uma regra fundamental, portanto, é procurar manter, sempre, a positividade dos coeficientes. Isto ajuda muito a performance global do método. É importante destacar, também, que nem sempre a existência de coeficientes negativos indica que a solução será incorreta ou fisicamente inconsistente. É possível ter aproximações numéricas com coeficientes negativos convergindo para soluções corretas, desde que a aproximação seja consistente. Nestes casos, a penalidade vem pela necessidade de métodos mais robustos para a solução do sistema linear. A possibilidade da divergência da solução está, portanto, também fortemente relacionada com o uso de métodos não robustos o suficiente para determinadas matrizes de coeficientes. Mantendo os coeficientes positivos, tem-se dominância diagonal, sendo permitido o uso de qualquer método iterativo, o que é desejável [01 ]. P P
[01]
E
E
W
W
MALISKA, C. R. - Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional: Fundamen tos e Coordenadas Coordenad as Generalizad as - Ed. LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1995.
4
2) ( Patankar 4-7) In a combined conduction-radiation problem the source term is 4 4 given by S = a(T o – T ), where a and T o are constants and a is positive. Write an appropriate linearization for the source term. Resolução: Dados: •
4
4
Termo Fonte: S = a(T o – T )
Onde: a e T o são constantes, com a> 0 Linearização recomendada ( Patankar ): *
' dS $ [2.01] S = S + % " (T P ! T p ) & dT # *
*
Fazendo: [2.02]
S *
=
4
a T o
' dS $ [2.03] % " & dT #
! T *4
*
!4aT *3
=
Substituindo as equações [2.02] e [2.03] na [2.01], tem-se: S = a T o
4
[2.04]
! T *4
!4aT *3
T
rearranjando, vem: [2.05]
4
S = a T o
+
3T *
4
! 4aT *3 T
onde, tem-se: [2.06]
S C
=
[2.07]
S P
=
4
a T o
+
3T *
!4aT *3
4
! T *
S P
=
S P
=
S P
=
0
" B ! p* "2 B ! p*
5 *
S P "10 B ! p 3) (Patankar 4-8) The source term for a dependent variable =
! is given by
S = A - B ! ! , where A and B are positive constants. c onstants. If this term te rm is to be linearized *
as S c + S p ! p p , comment on the following practices ( ! p denotes the previous-iteration value):
a ) S C
=
A " B ! p* ! p*
b) S C
=
A
c) S C
=
A + B ! p* ! p*
d ) S C
=
A + 9 B ! p* ! p*
Resolução:
a) Adequado para expressões complexas de S Requer Iteração b) Não representa bem a variação de S com ! Requer Iteração c) Esta linearização tangência S em ! * Requer Iteração d) Retarda a convergência Requer Iteração
2
2) Considere a equação da condução de dada por
# c
"T "t
!
=
!
!.(k !T ) + S
a) Admitindo que c = constante, constante, identifique ! , " ! , u e S ! na forma da equação genérica associada; b) Se o calor específico não puder ser considerado constante, modifique a variável dependente para a energia interna u ( du = c.dT) e identifique agora os mesmos parâmetros para a equação genérica. !
Resolução: a) c = constante # c
"T
!
=
"t
!
!.(k !T ) + S
(A)
dividindo a equação (A) por "T
#
!
=
"t
!.(
k c
!
c
, tem-se:
S
!
!T ) +
c
utilizando a forma conservativa:
(
" # T
)
"t
!
=
!.(
k c
!
!T ) +
S c
Fica-se então com: !
!
u
T
0
"
!
k c
!
S T
S
c
b) c = f(T) dado que: du = c.dT diferenciando em relação ao tempo e espaço, tem-se !u =
c
!T
!t
!t
!u =
! x i
c
!T !x i
!
!
1 !u
!T =
!t
c !t 1 !u
!T =
! x i
c !xi
e
3
substituindo na equação (A), vem: ) c
(u c (t
1
& 1 # '.$ k 'u ! + S u % c " !
=
!
utilizando a forma conservativa:
( ( ) u ) (t
& k # '.$ 'u ! + S u %c " !
=
!
Fica-se então com: !
!
u
u (energia interna)
0
!
!
S
k c
S
"
u
4
3) A partir da expressão não-conservativa da da equação da energia energia na forma da temperatura, obtenha a sua expressão conservativa. Resolução: Dado equação não-conservativa da energia:
'T 'T ( + ( u j 't ' x j
' = ' x j
& k 'T # S T $ ! $ c p ' x j ! + c p % "
(B)
da equação da continuidade, tem-se: ! " !t
+
! " u j ! x j
=
0
multiplicando por T, vem: T
! " !t
+
T
! " u j ! x j
=
0
(C)
somando as equações (B) e (C), obtém-se:
'( u j 'T 'T ' ( ( + ( u + T + T j 't ' x j 't ' x j
' = ' x j
& k 'T # S T $ !+ $ c p ' x j ! c p % "
' = ' x j
& k 'T # S T $ !+ $ c p ' x j ! c p % "
rearranjando:
'( u j 'T ' ( 'T ( + T + ( u j + T 't 't ' x j ' x j
transformando na forma conservativa:
'( ( T ) ' ( u j T + 't ' x j
' = ' x j
& k 'T # S T $ !+ $ c p ' x j ! c p % "
5
& 'u (( p ( ) divV )ii + µ $ i $ ' x j % !
!
4) Exprima a componente x do vetor t i
=
!
'u j # !i j em ' xi !" !
+
coordenadas cartesianas. Obtenha também o seu divergente. Mostre que se !
e
! forem
constantes, então
( ) !
! t x
=
2
µ ! u .
Resolução: Dado:
& 'u (( p ( ) divV )ii + µ $ i $ ' x j % !
!
t i
•
=
assumindo viscosidade
•
'u j # !i j ' xi !"
!
µ
=
!
+
constante
para componente x, tem-se:
& 'u 'u #* +. ( p . / divV ) + µ $ ' x + ' x !(i % ") , !
!
t x
=
!
+
& 'u 'v # & 'u 'w # $ ' y + ' x !! j + µ $ ' z + ' x !k % " % " !
!
µ $
Tomando o divergente, vem:
& - - - # &, , -u -u ) ) • $* . ( p . 0 divV ) + µ * + / (t x ) = $ ' '' ! * x y z x x + (( % " %+ !
!
.
,
).(t x ) = !
,
,
, -u -v ) , -u -w )# * - y + - x '' µ * - z + - x '! (" + ( +
µ *
,
'& & 'u 'u # # ' & & 'u 'v # # ' & & 'u 'w # # $$ ( ( p ( * divV ) + µ $ + ! !! + $$ µ $$ + !! !! + $$ µ $ + ! !! ' x % % ' x ' x " " ' y % % ' y ' x " " ' z % % ' z ' x " " !
& ' 'u ' 'v ' 'w # ' p '(* divV ) & ' 2 u ' 2 u ' 2 u # ! ).(t x ) = ( + + µ $ + + + µ $ $ ' x ' x + ' y ' x + ' z ' x !! $ ' x 2 ' y 2 ' z 2 ! ' x ' x % " % " !
!
& ' 'u ' 'v ' 'w # ' p '(* divV ) & ' 2 u ' 2 u ' 2 u # ! ).(t x ) = ( + + µ $ + + + µ $ $ ' x ' x + ' x ' y + ' x ' z !! $ ' x 2 ' y 2 ' z 2 ! ' x ' x % " % " !
!
!
( ) !
". t x
=
#
! p ! x
+
! $ divV ! x
+
µ "
2
u + µ
! ! x
!
divV
(D) !
Agora para ! constante, tem-se pela equação da continuidade: divV substituindo na equação (D):
( ) !
!. t x
=
#
" p " x
+
2
µ ! u
=
0
µ
1
Terceira Lista de Exercícios
1) ( Patankar 4-3) The boundary condition expressed by Eq.(4.19) can be thought of as the most general condition. It is then possible to obtain the two other types of boundary condition (namely, (namely, given temperature and given heat flux) as limiting cases of this general condition. Explain how this can be achieved. Resolução: Considerando o esquema abaixo:
P
f !x f
E
e !xe
Figura 1.1 – Malha para o problema unidimensional de condução. A equação [1.01], que é a equação aproximada para um volume elementar genérico, é deduzida para um volume interno. Todos os outros volumes internos possuem equações aproximadas idênticas. Para se obter o sistema de equações algébricas completo é também necessário obter as equações para os volumes que estão na fronteira. Existem diversas formas de aplicação das condições de contorno. Os procedimentos são: trabalhar com volumes não inteiros, volumes fictícios ou balanço para os volumes de fronteira (para maiores detalhes ver capítulo04 – pag.46 – Maliska). [1.01]
A P T P
=
A E T E
+ A
T W
W
+ B
O procedimento mais adequado, devido ao seu embasamento físico e à possibilidade de generalização para sistemas coordenados mais complexos, é realizar a integração das equações de conservação também para os volumes de fronteira, da mesma forma realizada para os volumes internos, respeitando a condição de contorno existente. Considere-se a Figura 1.1, onde o volume da fronteira P é mostrado. O procedimento de obtenção da equação aproximada para o volume P é idêntico àquele usado para os volumes internos, isto é, deve-se integrar a equação diferencial no volume. Lembrando que o problema é de condução permanente a integral resulta em:
[1.02] 0 =
" q f
c p
"
k c p ! x
(T P " T E ) e
+
( S C + S P T B )!x
2
Para o exercício em específico a condição de contorno de convecção é admitida, esta situação física, devemos igualar o calor que chega por convecção com o calor por condução para dentro do volume de fronteira. Desta forma, temos: " [1.03] q f
h(T #
=
" T f )
=
k
T f " T P ! x f
onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção. Isolando T f da equação anterior e considerando as situações limite para h, tem-se:
hT " [1.04] T f
+
=
h+
•
k
fazendo
[1.05] T f
h
=
=
0[
T P ! x f
k ! x f
parede isolada ] , tem-se:
T P
como conseqüência, geramos uma condição de contorno de segunda espécie, ou seja, fluxo nulo na fronteira, dado por: [1.06]
•
dT =
dx
0
para h pequeno, tem-se a seguinte situação:
[1.07] T f
!
T P
pois: [1.08]
h
k <<
! x
o que gera: [1.09] T
#
"
T f
>>
T f " T P
!
T
" T f ) " q f
=
#
>>
T f
então: " [1.10] q f
como
h
espécie.
e
=
h(T
!
T
!
#
hT
!
"
são dados, tem-se q f , gerando uma condição de contorno de segunda
3 •
agora, reagrupando a equação [1.04], vem:
T " [1.11] T f
+
=
1+
fazendo
h
[1.12] T f
" !
=
k T P h ! x f k h! x f
, tem-se:
T
!
como temperatura do fluido T é conhecida, tem-se a temperatura da fronteira, determinando assim uma condição de contorno de primeira espécie. !
4
2) ( Patankar 4-10) For the explicit scheme, Eq. (4.39) gives the stability criterion for one-dimensional problems. Derive the criteria for two- and three-dimensional situations from the requirement that the coefficient of Tpo must remain positive. Resolução: A equação [2.01] deverá ser integrada no tempo e no espaço mostrado na Figura 2.1, )( "! ) ) ) ) ( " u! ) + ( " v! ) + ( " v! ) = + )t ) x ) y ) z [2.01] ) ( ! )! % ) ( ! )! % ) ( ! )! % ! ## + & * &* # + && * # + S ) x ' ) x $ ) y ' ) y $ ) z ' ) z $ onde, para facilitar a especificação das dimensões, apenas as retas que unem os centros dos volumes de controle são mostrados. As letras minúsculas identificam as interfaces do volume de controle centrado em P. A integração da equação de conservação para !
[2.02]
'. $ . ( 10 ) . . 1 0 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) + + + dVdt u v w % " dVdt = ! ! . . . . t x y z # V ,t V ,t & ' . - 0 .0 * . - 0 .0 * . - 0 .0 *$ 0 (( + + / ( + ++ / (" dVdt + ! S dVdt % +/ ! . x , . x ) . y , . y ) . z , . z )# V ,t & V ,t N B
n
W
w
P
f
b
e
s
F S
Figura 2.1 - Volume elementar tridimensional. No tempo e sobre o volume de controle controle centrado em P nos dá:
E
5
( M P " P ) $ ( M P " P ) o %t
[2.03]
D1
!
#"
$ D1
# x
e
•
+
!
#"
+
# x
D2
w
!
M e " e #" # x
•
!
$ D2 n
!
$ M w " w #" # x
•
+
! +
D3
s
!
M n " n #" # x
•
$ M s
!
$ D3 f
!
" s
#" # x
•
+
•
!
!
M f " f $ M b " b
! +
=
[ ]
L S "
!
b
onde os fluxos de massa e os coeficientes difusivos são dados por: •
[2.04] M e
=
" u! y!z e
•
[2.05] M w
=
" v! y!z w
=
" v! x!z n
=
" w! x!z s
•
[2.06]
M n •
[2.07]
M s •
[2.08] M f
=
" w! x!y
f
•
[2.09] M b [2.10] D1e [2.11] D1w
" u! x!y
=
=
b
#
" ! y!z e #
=
" ! y!z w #
[2.12]
D2n
=
" ! x!z n
[2.13]
D2 s
=
" ! x!z s
[2.14] D3 f [2.15] D3b
=
=
#
#
" ! x!y
f
#
" ! x!y
b
O sobrescrito ! , significa que a variável em integração ao longo do intervalo de tempo é avaliado em uma posição intermediária entre o instante t e t + !t , originando as formulações totalmente implícita, implícita e explícita. Rigorosamente, os fluxos de massa nas interfaces também são avaliados em ! , Entretanto, como na formulação implícita e totalmente implícita a equação deve ser linearizada, os fluxos farão parte dos coeficientes que serão avaliados com os valores das variáveis disponíveis na iteração anterior. Como os coeficientes são atualizados, quando a solução convergir, tanto os coeficientes, como a variável da equação, estarão sendo obtidos no mesmo nível de tempo. Por essa razão, os fluxos de massa não carregam o sobrescrito! . O termo
[ ] significa " !
L S
a aproximação numérica do termo fonte, que
normalmente é designado por um valor médio linear: [2.16]
S = S c
+
S p! p
S sendo
aproximado por uma relação
6
onde: SC SP
!
parte constante do termo fonte linearizado coeficiente de ! no termo fonte linearizado
!
Função de Interpolação Escolhendo a função de interpolação no tempo [totalmente implícita, implícita e explicita] : [2.17] ! "
=
"! + (1 # " )!
o
onde deve-se lembrar, que a variável ! sem sobrescrito significa a avaliação da mesma no instante t + !t . Empregando a função de interpolação unidimensional do esquema diferença central CDS, dado por os termos convectivos, [2.18] ! e
=
[2.19] ! w
=
[2.20] ! n
=
[2.21] ! s
=
[2.22] ! f
=
[2.23] ! b
=
! P + ! E 2
! P
! W
+
2
! P
+
! N
2
! P
+
! S
2
! P + ! F 2
! P
+
! B
2
e para os difusivos [2.24] )e+ [2.25] )w+
*+ * x *+ * x
& + ( + )+ $$ % ' x & + ( + )+ $$ % ' x E
=
e
P
e
e
P
=
w
W
w
w
[2.26] )n+
*+ * y n
=
[2.27] ) s+
*+ * y s
=
# !! " # !! "
& + ( + # )n+ $$ N P !! % ' y n " & + ( + # ) s+ $$ P S !! % ' y s "
7
[2.28] ) f +
*+ * z f
[2.29] )b+
*+ * z b
=
=
& + ( + # ) f + $ F P ! $ ' z f ! % " & + ( + # )b+ $$ P B !! % ' z b "
e substituindo os valores de ! e suas derivadas nas interfaces da equação [2.03], obtémse:
' $ ( M M ( ( M M M M f b e w n s % ( S P !V + " + + ( M P ) P ) % " * 2 2 2 + ) P % "= !t % D1 + D1 + D2 + D2 + D3 + D3 " % ! x e ! x w ! y n ! y s ! z f ! z b " & # ' $ ' $ ' $ ' D1 " D1 " D2 " * % M e * % M w * % M n * % M s [2.30] ) E ( + + ) W + + ) N ( + + ) S % 2 % 2 % 2 % 2 ! x e " ! x w " ! y n " & # & # & # & ' $ ' $ M f D3 " D3 " ( M P ) P ) o * % * % M b ) F ( + + ) B + + + S C !V % 2 % 2 ! z f " ! z b " !t %& "# & # •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
$
D2 " + + ! y s "
#
•
Para auxiliar a obtenção da equação aproximada para a variável ! , a equação da conservação da massa deve ser empregada. Fazendo ! 1e o termo fonte igual a zero na equação [2.03], recupera-se a equação da conservação da massa, como: =
[2.31]
( M P ) ! ( M P )o "t
•
+
•
•
•
•
•
M e ! M w + M n ! M s + M f ! M b
=
0
adicionando a equação da conservação da massa, Eq. [2.31], multiplicando por –1, no interior do colchete que multiplica " P ! , encontra-se:
8
' $ ( + M b M ( ( + + M M M M f e w n s % " ( S P !V + + + ( M P ) P ) " * % 2 2 2 + ) P = % o " !t % D1 + D1 + D2 + D2 + D3 + D3 ( ( M P ) ( ( M P ) " % ! x e ! x w ! y n ! y s ! z f ! z b " !t & # ' $ ' $ ' $ ' $ D1 " D1 " D2 " D2 " * % M e * % M w * % M n * % M s [2.32] ) E ( + + ) W + + ) N ( + + ) S + + % 2 % 2 % 2 % 2 ! x e " ! x w " ! y n " ! y s " & # & # & # & # ' $ ' $ M f D3 " D3 " ( M P ) P ) o * % * % M b ) F ( + + ) B + + + S C !V % 2 % 2 ! z f " ! z b " !t %& "# & # •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
compactando, na forma de coeficientes, vem:
M P [2.33]
!t
*
# " P + A P " P
# S +
A s"
# f F +
A "
=
# # Ae" E # + Aw" W + A " + n N
# b B +
A "
M P o !t
" P o + S C !V
onde: *
[2.34] A P
Ae
=
+
Aw
+
An
+
•
[2.35]
Ae
D1
M e
"
=
+
2
! x e
e
•
[2.36]
Aw
M w =
+
2
D1 ! x w
w
•
[2.37] An
"
=
M n 2
+
D2 ! y n
n
•
[2.38] A s
=
M s
+
2
D2 ! y s
s
•
[2.39] A f
=
"
M f 2
+
D3 ! z f
•
[2.40]
Ab
M b =
2
+
D3 ! z b
b
f
A s
+
A f + Ab
" S P !V "
M P !t
+
M P o !t
9
Para o caso específico do exercício a interpolação no tempo será explícita : [2.41]
!
=
0
rescrevendo a equação [2.33], formulação explícita, tem a seguinte forma:
' M P o $ ) P = % ( A P ") P o + Ae) E o + Aw) W o + An) N o + !t & !t # A s) S o + A f ) F o + Ab) Bo + S C !V M P
[2.42]
*
onde, para garantir a positividade dos coeficientes, deve-se ter: o
[2.43]
M P #t
*
" AP ! 0
logo: o
[2.44]
"t !
M P *
A P
Pode-se, agora, simplificar a Eq.[2.44] para o problema unidimensional de condução sem termo forte, considerado no capítulo 04 [Patankar]. Para malhas igualmente espaçadas, de acordo com a equação [2.44], o seguinte critério para manter a positividade dos coeficientes é dado pela Eq. [2.45], que é o mesmo obtido no capítulo 04 [ Patankar – Eq. 4.39 ]. [2.45]
!t "
# c! x
2
2k
Para o caso bidimensional: ) c
[2.46] 't (
& 1 $ ' x %
2k $
2
+
# ! ' y !" 1
2
simplificando: [2.47]
!t "
# c! x
2
4k
Para o caso tridimensional:
10 ) c
[2.48] 't (
& 1 $ ' x %
2k $
2
+
1
' y
2
+
# ! ' z !" 1
2
simplificando: [2.49]
!t "
# c! x
2
6k
A Eq. [2.44] nos dá, portanto, a forma geral para a obtenção do valor máximo que a solução explícita pode avançar no tempo. Está claro, também, que o máximo avanço permitido no tempo é diferente de célula para célula, conforme nos mostra a Eq. [2.44]. Manipular o valor de !t abre a possibilidade de avançar a solução no tempo, seguindo o transiente real ou o transiente distorcido (para maiores detalhes ver cap.4 – pg.111 – Maliska).
11
3) ( Patankar 4-12) Formulate the following problem in terms of appropriate 2
dimensionless variables: The governing equation is k
d T dx
2
+ S =
0 ,
where k e S are
constant. The boundary conditions are
x
=
! k
0
dT dx dT
=
ho (T f ! T o ) ,
h L (T L ! T f ) , dx where ho and h L are the heat transfer coefficients, and T o and T L are the corresponding boundary temperatures. Solve the problem numerically for the case ho L/k=1 and h L L/k=2, and compare the results with the exact solution. x
=
! k
L
=
Resolução: Determinando solução exata. Dada equação: 2
[3.01] k
d T dx
2
+ S =
0
dividindo por S, tem: 2
[3.02]
k d T S dx
2
+1 =
0
fazendo: [3.03]
X
x =
L
substituindo na equação [3.02] e introduzindo
[3.04]
d
2
dX
2
& k (T ' T ( )# $ SL ! +1 = 0 % " 2
fazendo: [3.05]
#
T " T ! =
2
SL
k
substituindo na equação [3.04], obtém-se:
T
!
, vem:
12 2
d !
[3.06]
dX
2
+1 =
0
As condições de contorno adimensionalizadas são: CC1 !
x
=
! k
0
dT =
dx
ho (T f ! T o )
Utilizando a equação [3.03] e [3.05], tem-se: 2
[3.07]
X
=
[3.08]
X
=
" k
0
=
k L dX ho L
d !
0
dX
CC2 !
x
=
2
SL 1 d !
=
k
!
k
! o
! k
L
"ho
SL
dT =
dx
h L (T L ! T f )
Utilizando a equação [3.03] e [3.05], tem-se: 2
[3.09]
X
=
[3.10]
X
=
1
" k
=
k L dX h L L
d !
1
dX
2
SL 1 d !
=
"
k
h L
SL k
! L
! L
Substituindo dos valores de h oL/k=1 e h LL/k=2 nas condições de contorno, obtêm-se: [3.11]
X
=
[3.12]
X
=
d !
0
dX
=
d !
1
=
dX
1! o
"2! L
Para ter-se a solução exata, basta integrar duas vezes a equação [3.06] 2
( d ) % [3.13] ! && ##dX dX ' $ 2
[3.14]
d " dX
=
! " 1dX
=
! X + C 1
integrando novamente: [3.15]
d #
! dX dx ! (" X =
+
)
C 1 dx
13
[3.16]
"
X =
!
2
+
2
C 1 X + C 2
Determinando C1 e C2 Para X=0, tem-se: [3.17]
! o
=
C 1
[CC1]
[3.18]
! o
=
C 2
Equação [3.16]
=
C 2
logo [3.19]
C 1
Para X=1, tem-se: [3.20] ! 2" L [3.21]
" L
=
=
1
!
[CC2]
!1 + C 1
2
+
C 1 + C 2
Equação [3.16]
então [3.22]
1 ! C 1 2
=
1
!
2
+
C 1 + C 2
Lembrando que C1 = C2 pela equação [3.19] [3.23]
C 2
2 =
5
A solução final da equação [3.06] é dada por: [3.24]
"
=
!0,5 X 2
+
0,4 X + 0,4
f ! w x/2P !x/2
!x
=e0,2 E
14
Solução Numérica: Método dos Volumes de Controle. Utilizando malha co-localizada com 5 volumes igualmente espaçados como mostra a figura abaixo:
Figura 3.1 – Malha para o problema unidimensional considerado.
Fronteira Oeste (W)
Figura 3.2 – Esquema para a fronteira oeste Balanço de Energia para o volume da fronteira oeste, integrando a equação [3.06] e & d 2( # [3.25] ' $$ ! + dX 1dX = 0 2 ! ' f f dX % " e
w
w
tem-se: [3.26]
d # dX
" e
d # dX
+
!x
=
0
f w
Utilizando esquema de interpolação das diferenças centrais [CDS] e a CC1: [3.27]
# E " # P
determinando
[3.28]
" # o
! x
!
o
! x
[ CC1 ]:
! P # ! o " x / 2
+
=
! o
=
0
w
W
f P !x/2e
15
[3.29]
" o
=
2" P ! x
+
2
substituindo na Eq. [3.27] e reagrupando, re agrupando, vem: 2 ' 1 $ + "( ! ! + 2 x x & #
[3.30] %
=
P
1
! x
( E
+
! x
em termos de coeficientes, tem: [3.31]
A P ! P
=
A E ! E
+ B
onde: [3.32]
A P
=
[3.33]
A E
=
[3.34]
B
1 ! x
+
2 2 + ! x
1 ! x
=
! x
Fronteira Leste(E)
Figura 3.3 – Esquema para a fronteira Leste Balanço de Energia para o volume da fronteira leste, integrando a equação [3.06] [3.35]
f e
' w
f & d 2( # $$ 2 !!dX + ' 1dX = 0 w % dX " e
tem-se: [3.36]
d # dX f e
"
d # dX w
+
!x
=
0
Utilizando esquema de interpolação das diferenças centrais [CDS] e a CC2:
W
!x
P
w
E
e
!x
[3.37]
16
" 2# L "
# P " # W ! x
+
!x
=
0
determinando ! L [ CC2 ]: [3.38]
[3.39]
! L " ! P =
# x / 2
" L
=
"2! L
" P ! x
+1
substituindo na Eq. [3.37] e reagrupando, re agrupando, vem: 2 ' 1 $ + "( ! ! + x x 1 & #
[3.40] %
P
=
1
! x
( W
+
! x
em termos de coeficientes, tem: [3.41]
A P ! P
= A
+ B
! W
W
onde: [3.42]
A P
[3.43]
AW
[3.44]
B
=
=
1 ! x
+
2 ! x
+1
1 =
! x ! x
Pontos internos internos
Figura 3.3 – Esquema para a fronteira Oeste Balanço de Energia para o volume P, integrando a equação [3.06] e & d 2( # [3.45] ' $$ ! + 1dX = 0 dX 2 ! ' w w dX % " e
tem-se:
17
[3.46]
d #
"
dX
e
d # dX
+
!x
=
0
w
Utilizando esquema de interpolação das diferenças centrais [CDS]: [3.47]
# E " # P
"
! x
# P " # W
+
! x
! x
=
0
reagrupando, vem: 1 $ ' 1 + "( & ! x ! x #
[3.48] %
P
=
1
! x
( E
+
1
! x
( W
+
! x
em termos de coeficientes, tem: [3.49]
A P ! P
=
A E ! E
+ A
! W
W
+ B
onde: 2
[3.50]
A P
=
[3.51]
A E
=
[3.52]
AW
[3.53]
B
! x 1
=
! x 1 =
! x ! x
Como são poucos pontos, pode-se apresentar o sistema linear correspondente do problema em análise:
1 2 3 4 5
1 1/!x + 2/(!x+2) -1/!x
2 3 4 5 -1/!x 2/!x -1/!x -1/!x 2/!x -1/!x -1/!x 2/!x -1/!x -1/!x 1/!x + 2/(!x+1)
"1
!x
"2
!x
"3
!x
"4
!x
"5
!x
18
Utilizando o Excel, temos: 5 Volumes X
Analítico Numérico
0,00
0,400
T1
T2
T3
T4
T5
B
Ti
0,10 Teta1
0,435
0,440
-5,91
5,00
0,00
0,00
0,00
-0,20
0,440
0,30 Teta2
0,475
0,480
5,00
-10,00
5,00
0,00
0,00
-0,20
0,480
0,50 Teta3
0,475
0,480
0,00
5,00
-10,00
5,00
0,00
-0,20
0,480
0,70 Teta4
0,435
0,440
0,00
0,00
5,00
-10,00
5,00
-0,20
0,440
0,90 Teta5
0,355
0,360
0,00
0,00
0,00
5,00
-6,67
-0,20
0,360
1,00
0,300
0,500 0,480 0,460 0,440 0,420 a t e T
0,400
Analítico Numérico
0,380 0,360 0,340 0,320 0,300 0,00
0,10
0,30
0,50
0,70
0,90
1,00
X
Obs.: A não escolha de criar uma malha na qual o ponto central do volume de controle fique sobre a fronteira, está relacionado ao fato de gerar meio volume de controle perto da fronteira. Dois problemas aparecem com este procedimento. O primeiro deles é a não uniformidade dos volumes. Para abordagens unidimensionais isto não se traduz em maiores dificuldades, pois temos apenas dois meios volumes. Entretanto, para problemas bidimensionais e tridimensionais tem-se volumes inteiros, meios volumes, quarto de volumes, e oitavo de volumes. Em uma estrutura computacional mais geral, este fato traz problemas para a uniformidade das sub-rotinas de cálculo dos coeficientes. O segundo problema aparece quando a temperatura de fronteira é conhecida, isto é, T f é um dado do problema. Neste caso, a aparente vantagem em não ser necessário uma equação para o volume de fronteira, uma vez que T f é conhecida, traduz-se na não observância dos balanços de conservação, pois para os meios volumes da fronteira, a
19
conservação de energia ( no caso deste problema de condução ) não estará sendo observada. Em um problema bidimensional/tridimensional tem-se toda uma faixa de volumes de controle na fronteira não respeitando os princípios de conservação, o que constitui uma situação não confortável. O procedimento adotado foi realizar a integração das equações de conservação também para os volumes de fronteira, da mesma forma realizada para os volumes internos, respeitando a condição de contorno existente. Isto é mais adequado, devido ao seu embasamento físico e à possibilidade de generalização para sistemas coordenados mais complexos.
1
Quarta Lista de Exercícios
Condução Unidimensional Permanente
Aletas de seção transversal uniforme: Como uma ilustração simples, considere uma aleta em formato retangular, com a forma de uma barra cuja base está afixada à superfície de uma parede com temperatura T b [ Figura 1.1 ]. A aleta é resfriada ao longo de sua superfície por um fluido fl uido à temperatura T . A aleta tem um área A de seção transversal uniforme, é feita de uma material com condutividade uniforme k, e o coeficiente combinado de transmissão de calor entre a superfície da aleta e o fluido é h. Admitindo que os gradientes de temperatura são pequenos que a temperatura, em qualquer seção transversal da barra é uniforme, isto é, T=T(x) somente. Para derivar uma equação para a distribuição de temperatura, fazemos um balanço de calor para um pequeno elemento da aleta. O calor flui, por condução, para dentro da face esquerda do elemento, enquanto calor flui para fora do elemento, por condução, através da face direita, e por convecção da superfície. !
TBASE
QCONV
QCOND|x QCONV
QCOND|x+ x !
x
x+!x
Figura 1.1 – Aleta de base retangular.
2
Deseja-se um modelo unidimensional para a aleta, de forma que as hipóteses são listadas abaixo:
1. A temperatura ambiente não varia, pois a energia que vai para o ambiente é pequena em relação relação a sua grande grande quantidade quantidade de energia e grande tamanho; tamanho; 2. Os valores de k e h independem da temperatura; 3. Os efeitos de borda são desprezíveis; 4. A relação comprimento/perímetro >1, tal fato indica a validade da consideração de fluxo unidimensional; 5. Calor por radiação é desprezível, pois trata-se de temperaturas não superiores a 500ºC; 6. Não há geração de calor, que poderia existir através da existência de uma reação química ou de outra forma de energia, como a elétrica, se transformando em calor; 7. Não há acúmulo de energia, uma vez que o foco de estudo está no processo em regime permanente e não na variação do tempo. Deseja-se conhecer como o processo funciona depois da fase inicial transiente que será a parcela mais significativa do tempo de operação. O que se propõe pode ser traduzido na Figura 1.1, que representa a aleta retangular. Nesta figura esta apresentado o volume de controle, para o qual deseja-se analisar a variação da temperatura. Este volume de controle está distante tanto da parede (início da aleta) como da extremidade (final da aleta) que são pontos onde se aplicam as condições de contorno do problema. Um balanço diferencial e genérico de energia : [1.01] Entrada – Saída + Geração = Acúmulo Neste caso pelas pelas hipótese 6 e 7 tem-se que: [1.02] Entrada = Saída Estudando o volume de controle infinitesimal ilustrado na Figuras 1.1, tem-se que a energia que entra no volume de controle entra por condução, parte desta energia flui através do material sólido por condução saindo em x+ !x, enquanto a outra parte deixa o material sólido por convecção. É importante então conhecer as dimensões da aleta [1.03] Área de base = 2a.2b 2a.2b = 4.(3 . 0,35)10 -6 m2 [1.04] O perímetro perímetro = 2.(2a 2.(2a + 2b) = 4.( 3 + 0,35 0,35 )10 )10 -3 m !
ENTRADA:
Na aleta de base retangular, entra calor por condução em x. Matematicamente este calor é expresso por:
3
[1.05] QCOND ( x) !k . A. =
dT dx
Sendo: k = coeficiente de condutividade térmica da aleta = 50W/(m. 0C); A= área transversal = 4.(3 . 0,35)10 -6 m2 . !
SAÍDA:
Calor por condução deixa o volume de controle em x+ !x e deseja-se saber qual o seu valor. Entretanto como !x é pequeno, pode-se utilizar o Teorema de Taylor para poder expressar o valor da condução em x+ !x em função do calor por condução em x. Por Taylor, conhecendo-se o valor da função em um ponto genérico x o, bem como as suas derivadas neste ponto x o, pode-se expressar o valor desta função nas proximidades deste ponto por: [1.06] f ( x ) = f ( xo ) + f ' ( xo ).( x ! xo ) +
1 2!
( xo ).( x ! xo )
. f "
2
+ ....
No caso , onde quer-se aplicar Taylor para achar o calor de condução em x+ !x, sabendo que no ponto x o conhecido são os valores da função e suas derivadas em x. O ponto x+!x que não se conhece, corresponde ao x da fórmula anterior. Desta forma, substituindo: [1.07] QCOND ( x + " x ) = QCOND ( x ) + Q 'COND ( x ).( x + " x ! x ) +
Q' ' COND ( x ) 2!
(
. x + " x !
x)
2
+ ....
Ou:
[1.08] ' k . A.
dT dx
=
' k . A.
x +( x
dT dx
2 2 & dT # d & dT # (( x ) $$ ' k . A. $ ' k . A. + . !(( x ) + .! 2 $ ! ! 2! dx % dx x " dx dx % x "
d
x
+ ....
A aleta retangular, perde calor por convecção nas suas áreas laterais. Entretanto, um problema tem que ser resolvido em relação a escolha de temperatura. Matematicamente: [1.09] QCONV Onde:
=
h. A L .(T * "T
!
)
h = coeficiente de película ou coeficiente de transmissão de calor; AL = área lateral; T* = temperatura da superfície perdendo calor por convecção; T = temperatura do fluido circulando a aleta. !
4
O problema é que a temperatura da superfície T* vale T para x, e vale: [1.10]
( )
T x
2
dT +
.! x +
dx
x
1 d T 2 . .! x 2 2! dx
+ ....
x
em x+!x. Não se pode dizer que existe uma área associada à convecção em x , ou mesmo em x+!x visto que, nestes pontos isoladamente, existe somente o perímetro associado, cuja área é nula. Qual o valor deve ser utilizado? Uma boa escolha seria o valor médio: [1.11]
T * =
( )
T x
( x
+ T
2
+ ! x
)
2
=
( )
T x
+
1 dT 1 d T 2 . .! x + . .! x 2 2 dx x 4 dx
+ ....
x
No limite !x"0 estas temperaturas seriam iguais. Desta forma:
& 1 dT 1 d T . .) x + . .) x = h. A L .$ T ( x ) + $ 2 dx x 4 dx x % 2
[1.12] QCONV
2
2
# + .... ' T ( ! ! "
A área lateral para a base retangular é dada por: [1.13] AL = Perímetro.!x = P. !x = 4(a + b) . !x
Como não há acúmulo nem geração de calor:
' k . AT .
dT dx
[1.14] +
... +
2 & dT # d = ' k . A . .!() x ) ' ' $$ k . AT . T 2 ! dx dx dx dx x x x " % 2 & # dT ) x d T ) x + + ... ' T ! h. P .) x.$ T + ( ! 2 $ dx 2 4 dx % "
dT
d
2 & dT # () x ) $$ k . AT . .! ! 2 dx x " %
Dividindo por !x e simplificando, tem-se: 2
[1.15]
0
=
'k . AT .
Fazendo !x"0:
d T dx
2
3
d T ) x ' k . AT . 3 . 2 dx
2 2 & dT ) x d T ) x + ... + h. P .$ T + + 2 $ dx 2 4 dx %
+ ...
# ' T ( !! "
5 2
[1.16]
!
k . AT .
d T dx
2
(T
+ h. P .
!
T
"
)
=
0
Ou: 2
[1.17]
d T dx
2
h. P !
k . AT
(
. T ! T
"
)
=
0
fazendo: [1.18]
m
h. P
2 =
k . AT
vem: [1.19]
( dT % & # dx ' dx $ d
=
m
2
(T " T ! )
O balanço de energia levou a uma equação diferencial linear ordinária de segunda ordem. Neste caso a equação é do tipo: [1.20] P . y ' '+Q. y'+ R. y = ! ( x) Onde P, Q e R são constantes. Pode-se então dizer que: [1.21] P . y ' '+Q. y'+ R. y = 0 É a equação homogênea e !(x) é o termo particular da equação. A solução geral será dada pela soma das soluções homogênea e particular. [1.22] T=T P +T H Sendo: T H = solução homogênea; T P = solução particular.
A resolução da homogênea acima sugere a solução do tipo: [1.23]
T H
=
e
rt
Na qual r é uma constante constante a ser ser determinada.
6
Desta forma os valores da primeira e segunda derivada são, respectivamente, y y’ = r.e e y’’ = r 2.erx. Substituindo na equação diferencial proposta: rx
[1.24] P .r 2
+
Q.r + R e rt
=
0
como: [1.25]
e
rt
0
!
vem: [1.26] P .r 2
+
Q.r + R = 0
A equação [1.26] é denominada equação indicial, que pode ter duas raízes reais distintas, duas raízes reais iguais ou duas raízes complexas conjugadas.
[1.27] r =
! Q ± Q 2 ! 4. P . R 2. P
Se r 1 ! r 2: [1.28] y
=
C 1 .e
r 1 x
+
C 2 .e
r 2 x
Se r 1 = r 2: [1.29] y = (C 1 + C 2 x )e r x 2
Se r = a ± ib: [1.30] y = e ax .(C 1 . cos(bx) + C 2 . cos(bx)) Para o problema proposto: [1.31]
P
[1.32] Q [1.33]
R
=
=
=
1
0
!m 2
Raízes indiciais:
[1.34]
r =
!0±
0
2
! 4(1)(! m 2 ) 2.1
7
então: [1.35]
r = ± m
solução homogênea : [1.36] y
=
mx
C 1 .e
+
C 2 .e
! mx
Determinando agora a solução particular. Para a resolução desta equação particular utilizar-se-a o Método dos Coeficientes Indeterminados, que será apresentado fazendose um parênteses ao desenvolvimento do exercício. Método dos coeficientes indeterminados. Este método requer que se faça uma suposição inicial quanto á forma da solução. Se por exemplo !(x) for uma constante, então a solução particular y p também é uma constante, cujo valor não sabemos a princípio. Se !(x) for um polinômio de grau n, então a solução particular y p será também um polinômio, cujos coeficientes são determinados a partir da equação diferencial original. Se o termo particular for uma função senoidal, então a particular sempre terá a forma senoidal-cossenoidal. O método, infelizmente, não é geral e, conforme falado anteriormente, sempre depende da forma de !(x). Maiores detalhes podem ser encontrados [ Boyce – 1996 ] Para o exercício em especifico: [1.37] !
c
=
constante
=
c
propõe-se: [1.38] y P
c =
=
R
T
!
tem agora, como solução geral: [1.39]
T = C 1 .e
mx
+
C 2 .e
"
mx
+ T
!
ou, melhor: [1.40]
T ! T
"
=
C 1 .e
mx
+
C 2 .e
!
mx
onde C1 e C2 são constantes de integração cujos valores devem ser determinados pelas condições de contorno. Uma das condições de contorno é T = T b, x = 0 (condição de primeira espécie para base); a temperatura na barra é igual à temperatura da superfície na qual está afixada. Para se obter a solução que satisfaça, vamos substituí-la na Eq.[1.40]:
8
[1.41]
T b
!
T
=
"
m0
C 1 .e
C 2 .e
+
!
m0
=
C 1
+
C 2
Para obter C1 e C2 necessita-se uma outra equação, isto é, uma outra condição de contorno. A segunda condição de contorno depende da natureza do problema, considerar-se três casos: temperatura prescrita, fluxo prescrito, convecção. 1º caso
– se a barra for infinitamente longa, sua temperatura se aproximará da temperatura do fluido quando x " ! , ou T = T em x " ! . Substituindo essa condição na Eq. [1.40], tem-se: !
[1.42]
T
!
"
T
=
!
0
=
C 1 .e
m!
+
C 2 .e
"
m!
Como segundo termo é zero, a condição de contorno é satisfeita apenas para Substituindo C 1 por 0, na Eq.[1.41], vem: [1.43] T b
!
T
"
=
C 1 = 0.
C 2
e a distribuição de temperatura torna-se: [1.44]
T ! T
"
=
(T
b
!
T
"
).e
!
mx
O calor transmitido por condução, por unidade de tempo, da aleta para o fluido, pode ser obtido de: [1.45] q ALETA ALETA
=
!kA
dT dx
x
=
0
diferenciando a Eq. [1.44] e substituindo na [1.45], vem: [1.46] q ALETA ALETA
=
kA " m(T b
"
"
T )e !
"
mx x
0
=
=
hPkA (T b
"
T
!
)
9 2º caso –
se a barra for de comprimento finito, mas a perda de calor na extremidade da barra for desprezível, ou se extremidade da barra for isolada, a segunda condição de contorno requererá que o gradiente de temperatura em x = L seja zero, ou dT/dx = 0 em x = L. Com essa condição: [1.47]
dT dx
=
C 1 me
mL
! C 2 me!mL
=
0
x L =
onde: [1.48]
C 1
C 2 e
=
!2 mL
substituindo na Eq. [1.41], vem: [1.49] T b ! T = C 2 e 2 ml + C 2 !
"
reagrupando: [1.50]
C 2
=
T b
!
1+ e
T
"
!
2 ml
substituindo em [1.48], tem-se: [1.51]
C 1
T b
=
!
1+ e
T
"
2 ml
A solução completa é, portanto, [1.52]
T ! T
"
=
T b
!
1+ e
T
"
2 ml
e
mx
+
T b
!
1+ e
T
!
e
"
2 ml
!
mx
fatorando: [1.53]
T ' T (
=
& e mx ' T ( )$$ ml %1+ e
(T
b
2
e +
' mx
1+ e
'2
# ! ml ! "
forma adimensional: [1.54]
T ! T
"
T b
!
T
e =
"
mx
1+ e
2 ml
e
!
mL
e
!
mL
e +
!
mx
1+ e
!
2 ml
trabalhando: [1.55]
T ! T
"
T b
!
T
"
e =
e
!
mx !mL
mL
+
e
e ml
+
e
!
mL
mx + ml
+
e
!
ml
e
mL
e
mL
10
reagrupando: [1.56]
T ! T
e
"
T b
!
mx! mL
=
T
e
"
+
mL
e
+
!
e
(mx
!
!
mL
)
ml
simplificando: [1.57]
[ (
T ! T
cosh m L ! x
"
T b
!
T
=
(
)]
)
cosh mL
"
O calor transmitido por condução, por unidade de tempo, da aleta para o fluido, pode ser obtido diferenciando a Eq. [1.53] : [1.58]
' mx & e mx # e ' = (T ' T ( )m$ b $ 1 + e mL 1 + e ' mL !! % " x
dT dx
2
x =0
=
2
(T ' T ( )m&$ b
=0
trabalhando: [1.59]
dT dx
=
(T
b
x = 0
& 1 ' T ( )m$$ 2 ml %1+ e
e
' ml
e
'ml
'
1 1+ e
' 2 ml
ml
# ! ml ! e "
e
simplificando: [1.60]
dT dx
=
(T
b
x =0
mL & e ' mL # e ! ' T ( )m$$ mL ' ' mL ' mL ! mL e + e e + e % "
reagrupando: [1.61]
dT dx
=
'(T b
x =0
& e mL ' e ' mL # ! ' T ( )m$$ mL ' mL ! e + e % "
utilizando a definição de seno e coseno hiperbólico, tem-se: [1.62]
=
& senh(mL) # !! '(T b ' T ( )m$$ mL cosh( ) % "
=
"
dT dx
x
=
x
=
0
logo: [1.63]
dT dx
(T
b
"
)
T m. tanh(mL) !
0
substituindo na [1.45], vem:
1
%1+ e
2 mL
'
1 1+ e
'2
# ! mL "
11
[1.64] q ALETA ALETA
kA[" (T b
"
T )m. tanh(mL)]
hPkA(T b
"
T ) tanh(mL tanh(mL)
"
=
!
finalmente: [1.65] q ALETA ALETA
=
!
3º caso –
se o extremo da barra perde calor por convecção, o calor transmitido por condução para a face em x = L deve ser igual ao calor transmitido por convecção da seção extrema da barra ao fluido, ou
[1.66]
"
k
dT =
dx
(
h L T L
"
T
!
)
O coeficiente de transmissão de calor no extremo da face h, não é, necessariamente, igual ao valor de h na superfície retangular da barra. Substituindo-se por T x=L e (dT/dx) x=L, da Eq. [1.40], obtém-se: [1.67] ! km C 1e mL ! C 2 e ! mL
h C 1e
=
mL
+
C 2 e
! mL
reagrupando: [1.68]
C 2 e
! mL
h
! C e mL
=
(T
"
1
(C e
mL
+
1
km
C 2 e
! mL
)
da Eq. [1.41] [1.69] C 1
= "C
+
2
b
)
T
!
Substituindo [1.69] em [1.68], vem: [1.70]
C 2 e
!
mL
!
(
!
C 2
(T
!
+
(T
b
!
T
"
))e
mL
h =
km
isolando C 2 : h
[1.71]
C 2
=
km e
reagrupando:
!
mL
b
+
e
)
T e
mL
"
mL
h +
km
+
e
(T
mL
b
!
"
h !
)
T e
km
e
!
mL
mL
((
!
C 2
+
(T
b
!
T
"
))e
mL
+
C 2 e
!
mL
)
12
[1.72]
C 2
( h % mL + 1#(T b ! T )e & " ' km $
=
e
! mL
e
+
mL
h +
e
mL
km
!
h
e
! mL
km
substituindo em [1.72] e [1.69] [1.69] na [1.40], vem:
( ( h % mL & + 1#(T ! T )e & b " ' km $ & T ! T " = (T b ! T " ) ! & h mL h ! mL mL ! mL e e e e ! + + & km km ' [1.73] ( h % mL + 1#(T ! T )e & b " ' km $ ! mx .e e
! mL
+
e
mL
dividindo por (T b
T ! T " T b
! T "
[1.74]
e
! mL
+
e
h
+
"
e
mL
km
T
!
!
h
e
km
):
h
+
+
! mL
( ( h % mL & + 1#e & ' km $ & = 1! & h mL h ! mL mL ! mL ! e e & e +e + km km ' ( h % mL + 1#e & ' km $ ! mx .e mL
% # #.e mx # # $
e
mL
km
!
h
e
% # #.e mx # # $
+
! mL
km
expandindo:
T ! T " T b
! T "
[1.75]
e
! mL
+
trabalhando:
e
( !mL h mL h ! mL ( h % mL e e & e + e mL + ! !& + 1#e km km ' km $ & = & h mL h ! mL ! mL mL e e e ! +e + & km km ' ( h % mL + 1#e & ' km $ ! mx .e mL
h
+
km
e
mL
!
h
km
e
! mL
% # #.e mx # # $
+
13 h ! mL ( % ! mL ! e e & # km #.e mx = & & e !mL + e mL + h e mL ! h e !mL # & # km km ' $ ( h % mL + 1#e & ' km $ ! mx .e
T ! T " T b
! T "
[1.76]
e
! mL
+
e
mL
h
+
e
mL
km
h
!
e
+
! mL
km
simplificando:
[1.77]
T T b
!
(e
T
!
"
m ( L ! x )
=
T
+
(e
"
!
e
!
mL
m ( L ! x )
+
e
mL
h
)
+
)
+
km h km
(e (e
m ( L ! x )
mL
!
!
e
!
e
mL
!
m ( L ! x )
)
)
utilizando as definições de coseno e seno hiperbólico, tem-se:
[1.78]
cosh[m( L ! x )] +
T ! T
"
T b
!
=
T
cosh(mL) +
"
h km h km
senh [m( L ! x )] senh(mL)
O calor transmitido por condução, por unidade de tempo, da aleta para o fluido, pode ser obtido diferenciando a Eq. [1.78] :
[1.79]
dT dx
=
!
(
m T b
!
T
"
)
senh(mL) + cosh(mL) +
x = 0
h km h km
cosh(mL) senh(mL)
substituindo na [1.45], vem:
[1.80] q ALETA
& senh(mL) + $ = ' kA$ ' m(T ' T ) b ( $ cosh(mL) + %$
h km h
! senh(mL) ! km "!
finalmente:
[1.81] q ALETA
=
hPkA (T b
!
T
"
)
senh(mL) + cosh(mL) +
#
cosh(mL) !
h km h km
cosh(mL) senh(mL)
14
Resumo: 1º caso
– se a barra for infinitamente longa, sua temperatura se aproximará da temperatura do fluido quando x " ! .
[1.82]
T ! T
"
T b
!
=
e
!
mx
T
"
[1.83] q ALETA ALETA
hPkA(T b
=
"
T
!
)
2º caso –
se a barra for de comprimento finito, mas a perda de calor na extremidade da barra for desprezível, ou se extremidade da barra for isolada, a segunda condição de contorno requererá que o gradiente de temperatura em x = L seja zero. [1.84]
T ! T T b
!
=
T "
[1.85] q ALETA ALETA
[ (
cosh m L ! x
"
=
(
)]
)
cosh mL
hPkA(T b
"
T ) tanh(mL tanh(mL) !
3º caso –
se o extremo da barra perde calor por convecção, o calor transmitido por condução para a face em x = L deve ser igual ao calor transmitido por convecção da seção extrema da barra ao fluido.
[1.86]
cosh[m( L ! x )] +
T ! T
"
T b
!
T
=
cosh(mL) +
"
[1.87] q ALETA
=
hPkA (T b
!
T
"
)
h km h km
senh [m( L ! x )] senh(mL)
senh(mL) + cosh(mL) +
h km h km
cosh(mL) senh(mL)
15
Condução Unidimensional Transiente Utilizando o desenvolvimento em regime transiente, com o fato de o termo de acumulo ser diferente de zero, chega-se, após balanço de energia a seguinte equação:
[1.88] # . AT .c p
dT dt
=
k . AT .
d 2T
"
dx 2
h. P .(T " T
!
)
dividindo por A T : [1.89]
# .c p
dT =
dt
k .
d 2T dx
2
"
h.
P AT
(
. T " T
!
)
sabendo que: [1.90] P = 2(2a + 2b) [1.91] AT [1.92]
=
2a2b
P AT
=
2(2a + 2b) 2a 2b
=
(a
+
b
)
ab
logo: [1.93]
# .
dT dt
=
k d 2T h (a + b) " . . .(T " T c p dx 2 c p ab
!
)
16
Resolução Numérica [ caso transiente ] Utilizando malha co-localizada com 5 volumes igualmente espaçados como mostra a figura abaixo:
!x/2
!x
= 0,2
Figura 1.2 – Malha para o problema unidimensional considerado.
Pontos internos internos
W
w
P
E e
!x
!x
Figura 1.3 – Esquema para pontos internos. Balanço de Energia para o volume P, integrando a equação [1.93] t + "t e
[1.94]
dT
! ! + . dt dxdt ! t
w
t "t e ) k d 2T & ) h (a + b) & ' . $dxdt + '* . $ ( ) . T T * # $dxdt ! w ' c p dx 2 $ !t ! w ' c p ab ( % ( %
t + "t e =
t
+
tem-se: 0
0
.( k dT % ( k dT % + ( % o o # " & . # ) !t " & h . (a + b) #.(T p " T / )! x!t [1.95] M pT p " M pT p = ,& . & c p ab # ,&' c p dx #$ e &' c p dx #$ w ) ' $ * 0
simplificando:
[1.96]
M pT p " M poT po
!t
0
0
.( k dT % ( k dT % + ( h (a + b) % # " & . # ) "& . #.(T p " T / )!x = ,& . & # & # & ,' c p dx $ e ' c p dx $ w ) ' c p ab #$ *
Utilizando esquema de interpolação das diferenças centrais [CDS]:
0
17
M P T P " M P o T P o
!t
[1.97]
.( k T " T % ( k T " T % P # " & . P W # = ,& . E & # ! x $ &' c p ! x #$ ,' c p 0
0
+ )" ) *
( h ( a + b) % & . #.(T P " T / )!x &c # ' p ab $ 0
reagrupando, vem:
M p [1.98]
T P (
!t +
M po
!t
T P o
k
=
c p ! x
T E *
+
k c p ! x
' k k h (a + b)! x $" + + . T % c p ! x c p ! x c p " P ab & #
T W * ( %
*
h ( a + b) . T ) ! x c p ab
sabendo que: [1.99]
T
= ! T +
(1 " ! )T
o
e utilizando formulação totalmente implícita
!
- k k h (a + b)' x M p + + + + + c p ' x c p ' x c p . ab 't , [1.100] & h ( a + b) M po o # + $ . T . ' x + T P ! ' c ab t $% p !"
* (T P = k T E + k T W ( c p ' x c p ' x )
=
em termos de coeficientes, tem: [1.101] A P T P
=
A E T E
+ A
T W
W
+ B
onde: [1.102] A P
=
[1.103] A E
=
k c p ! x
+
k c p ! x
+
h (a + b)! x . c p ab
k
[1.104] AW
c p ! x k
=
c p ! x o
[1.105] B
=
M p o h ( a + b) . T " ! x + T P c p ab !t
+
M p !t
1,
vem:
18
Fronteira Oeste (W)
P
f w
E
e
!x/2
!x
Figura 1.4 – Esquema para a fronteira oeste Balanço de Energia para o volume da fronteira oeste, integrando a equação [1.93]
[1.106]
.( k dT % ( k dT % + ( h (a + b) % # " & . # ) "& . #.(T p " T / )!x = ,& . & # & # & # c dx c dx c ab ,' p ) ' p p $ ' $ $ e w * 0
M pT p " M poT po
0
0
!t
Utilizando esquema de interpolação das diferenças centrais [CDS] para o espaço, e interpolação totalmente implícita para o tempo, tem-se:
M P T P " M P o T P o
!t
[1.107]
=
.( k T E " T P % ( k (T P " T f )2 %+ #"& . #) " ,&& . # & #) ! x $ ' c p ! x ,-' c p $* W
( h (a + b) % & . #.(T " T )!x & c p ab # P / ' $ reagrupando:
- k 2k h (a + b)' x M p *( k + + + + . T P = T E + c p ' x c p ' x c p ( ' ' ab t c x p , ) [1.108] & h ( a + b) # M po o 2k + $ . T . ' x + T P + T f ! 't c p ' x $% c p ab !" W
em termos de coeficientes, tem: [1.109] A P T P
=
A E T E
+ B
onde: [1.110] A P
=
k c p ! x
+
2k c p ! x
+
h (a + b)! x . c p ab
+
M p !t
19
[1.111] A E
k =
c p ! x o
[1.112] B =
M p o h ( a + b) T " ! x + T P . c p ab !t
+
2k c p ! x
T f W
Fronteira Leste(E)
W
w
P
!x
f e !x/2
Figura 1.5 – Esquema para a fronteira Leste
Balanço de Energia para o volume da fronteira oeste, integrando a equação [1.93]
[1.113]
M pT p " M poT po
!t
0
0
.( k dT % ( k dT % + ( h (a + b) % # " & . # ) "& . #.(T p " T / )!x = ,& . & # & # & ,' c p dx $ e ' c p dx $ w ) ' c p ab #$ * 0
como a fronteira leste é isolada, tem-se:
[1.114]
M pT p " M poT po
!t
. ( k dT % + ( h (a + b) % # ) "& . #.(T p " T / )!x = ," & . & # & , ' c p dx $ w ) ' c p ab #$ * 0
0
Utilizando esquema de interpolação das diferenças centrais [CDS] para o espaço, e interpolação totalmente implícita para o tempo, tem-se:
[1.115]
M P T P " M P oT P o
!t
=
( k T " T % ( h (a + b) % #.(T P " T ) )!x "& . P W # " & . & c p # & # x c ab ! ' $ ' p $
reagrupando:
- k h (a + b)' x M p [1.116] + + + . + c p ' x c p 't ab , em termos de coeficientes, tem-se:
* (T P = k T W ( c p ' x )
& h ( a + b) M po o # + $ . T . ' x + T P ! ' c ab t $% p !"
20
[1.117] A P T P
=
AW T W
+ B
onde: [1.118] A P
=
[1.119] AW
k c p ! x
+
h (a + b)! x . c p ab
+
M p !t
k =
c p ! x o
[1.120] B
=
M p o h ( a + b) . T " ! x + T P c p ab !t
Como são poucos pontos, pode-se apresentar o sistema linear correspondente do problema em análise: análise:
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
[1.110]
-[1.111]
-[1.103]
[1.102]
-[1.104]
-[1.103]
[1.102]
-[1.104]
-[1.103]
[1.102]
-[1.104]
-[1.119]
[1.118]
T1 T2 T3 T4 T5
[1.112] [1.105] [1.105] [1.105] [1.120]
21
Dados:
T f W
=
50
o
C
k
=
50
W
L
=
3.10
!2
m
m. K T
!
o
=
20 C
h
=
25
W
LadoA LadoA
=
2a
=
6.10
!3
m
LadoB LadoB
=
2b
=
7.10
!4
m
2
m K T o
cp
o
=
=
20 C
1000
!
=
7800
kg m
3
J kg . K
Utilizando o Excel, temos como resultado gráfico:
Variação dinâmica da Temperatura 48 46 44 42 40 38 36
C 34 º 32 30 28 26 24 22 20 0,000
0,003
0,006
0,009
0,012
0,015
0,018
0,021
0,024
0,027
0,030
cm Permanente
0,01
0,1
1
5
10
50
100
500
1000
3600
10*3600
Com o passar do tempo a solução transiente se aproxima do regime permanente, fato que pode ser verificado do gráfico acima.
22
Condução Unidimensional Permanente Utilizando o desenvolvimento em regime permanente, com o fato de o termo de acumulo ser igual a zero, chega-se, após balanço de energia a seguinte equação:
2
[1.121] 0
k . AT .
=
d T dx
2
"
(
h. P . T " T
!
)
dividindo por k.A T : 2
[1.122]
d T dx
2
hP !
kAT
(
. T ! T
"
)
=
0
sabendo que: [1.123] P = 2(2a + 2b) [1.124] AT
=
2a2b
logo: 2
[1.125]
d T dx
2
h !
k
.
(a + b) ab
.(T ! T
"
)
=
0
23
Resolução Numérica [ Regime Permanente com fronteira convectiva ] Utilizando malha co-localizada com 5 volumes igualmente espaçados como mostra a figura abaixo:
!x/2
!x
= 0,2
Figura 1.6 – Malha para o problema unidimensional considerado.
Pontos internos internos
W
w
P
!x
E e
!x
Figura 1.7 – Esquema para pontos internos. Balanço de Energia para o volume P, integrando a equação [1.125] e
e & d 2T # & h ( a + b) # [1.126] ( $$ . 2 !!dx + ( $ ' . .(T ' T ) )!dx = 0 k ab dx " " w% w%
tem-se:
.( dT % ( dT % + ( h (a + b) % # " & # ) "& . #.(T p " T / )!x = 0 dx dx k ab $ ,-' $ e ' $ w )* '
[1.127] ,&
Utilizando esquema de interpolação das diferenças centrais [CDS]:
.( T E " T P % ( T P " T W %+ ( h (a + b) % #) " & . #"& #.(T P " T / )!x = 0 x x k ab ! ! ' $ ' $ ' $* -
[1.128] ,&
reagrupando, vem: h (a + b) ! x $ 1 ' 1 + + . "T P ab & ! x ! x k #
[1.129] %
=
1
! x
T E
+
1
! x
T W
h +
k
.
( a + b) ab
T ( ! x
24
em termos de coeficientes, tem: [1.130] A P T P
=
A E T E
+ A
T W
W
+ B
onde: [1.131] A P
=
[1.132] A E
=
1 ! x
+
h
1 ! x
+
k
.
(a + b)! x ab
1 ! x
[1.133] AW
[1.134] B =
1 =
! x
h k
.
( a + b) ab
T " ! x
Fronteira Oeste (W)
f w
P
!x/2
e
E
!x
Figura 1.8 – Esquema para a fronteira oeste Balanço de Energia para o volume da fronteira oeste, integrando a equação [1.125]
.( dT % ( dT % + ( h (a + b) % # " & # ) "& . #.(T p " T / )!x = 0 dx dx k ab $ ,-' $ e ' $ w )* '
[1.135] ,&
Utilizando esquema de interpolação das diferenças centrais [CDS], tem-se:
.( T E " T P % ( T P " T f 2 %+ ( h (a + b) % #) " & . # " && # ' k ab #$.(T P " T / )!x = 0 ! x ,-' ! x $ ' $)*
[1.136] ,&
reagrupando:
W
25
h (a + b)' x * 2 1 2 - 1 & h ( a + b) # T . ' x + T f ! + + . (T P = T E + $ . ab ' x ' x , ' x ' x k ) % k ab "
[1.137] +
W
em termos de coeficientes, tem: [1.138] A P T P
=
A E T E
+ B
onde: [1.139] A P
=
[1.140] A E
=
[1.141] B
1 ! x
2
+
! x
h +
k
.
(a + b)! x ab
1
=
! x
h ( a + b) 2 T " ! x + T f W . k ab ! x
Fronteira Leste(E)
W
w
P
!x
f e !x/2
Figura 1.9 – Esquema para a fronteira Leste
Balanço de Energia para o volume da fronteira oeste, integrando a equação [1.125]
.( dT % ( dT % + ( h (a + b) % # " & # ) "& . #.(T p " T / )!x = 0 dx dx k ab $ ,-' $ e ' $ w )* '
[1.142] ,&
aplicando a condição de fronteira convectiva:
dT [1.143] " k dx e
=
(
h T f E
"
T
!
)
discretizando por diferenças centrais, tem-se:
26
' 2 T f ! T P % ( x &
[1.144] k %
E
$ " " #
=
(
h T ) ! T f E
)
isolando T f E , vem: 2k
[1.145] T f E
=
! x
T p
2k ! x
+
hT "
+
h
substituindo na [1.143], vem:
[1.146]
dT dx
=
e
2k & T p + hT ) $ h ' x $ T ) ( 2k k $ + h $ ' x %
# ! ! ! ! "
simplificando:
[1.147]
dT dx
=
e
' $ % " 1 h% "(T ) ! T p ) ( h x k % " %1+ " 2k # &
substituindo na Eq.[1.142], vem:
( % & # h& 1 #(T ) " T p ) " (& T P " T W %# " (& h . (a + b) %#.(T P " T ) )!x = 0 [1.148] h! x # k & ' ! x $ ' k ab $ &1+ # 2k $ ' reagrupando:
[1.149]
, , ) ) * * ' ' 1 1 h h ( a + b) - x * * 'T P '+ . + * k * h- x ' - x k ' ab 1 + * ' * ' 2k ( + + ( & , ) # * ' ! $ h (a + b) 1 h 'T . ! T . - x + * $ . h x k * ' ! $ k ab *1 + ' $% 2k ( !" +
=
1
- x
T W
+
27
em termos de coeficientes, tem: [1.150] A P T P
=
AW T W
+ B
onde:
[1.151] A P
=
[1.152] AW
[1.153] B =
' $ % " h % 1 " + 1 + h . (a + b)! x h! x " ! x k % k ab %1+ " 2k # & 1
=
! x
' $ % " 1 h ( a + b) h "T ! . T ! ( x + % h( x " k ab k % %1+ " 2k # &
Como são poucos pontos, pode-se apresentar o sistema linear correspondente do problema em análise: análise:
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
[1.139]
-[1.140]
-[1.132]
[1.131]
-[1.133]
-[1.132]
[1.131]
-[1.133]
-[1.132]
[1.131]
-[1.133]
-[1.152]
[1.151]
T1 T2 T3 T4 T5
[1.141] [1.134] [1.134] [1.134] [1.153]
28
Dados:
T f W
=
50
o
C
k
=
W
50
L
=
3.10
!2
m
m. K T
!
o
=
20 C
h
=
W
25
LadoA LadoA
=
2a
=
6.10
!3
m
LadoB LadoB
=
2b
=
7.10
!4
m
2
m K T o
o
=
20 C
Utilizando o Excel, temos como resultado gráfico:
Condição de Terceira Espécie 48 47 46 45 44 43 C º 42
41 40 39 38 37 36 0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
cm Numéri co
Anal - 3º Esp.
Anal - 2º Esp.
Pode-se verificar pelo gráfico acima que a solução numérica apresenta bom resultado ao ser comparada com a solução exata. Constata-se também que aplicar uma condição de segunda espécie com fluxo nulo, ou seja, extremidade isolada apresenta boa concordância com o caso de fronteira convectiva. Portanto, pode-se considerar desprezível o calor trocado pela extremidade, isso se deve a pequena área da extremidade.
1
Quinta Lista de Exercícios d ) # & $ * u) ( ' ! dx % dx " d
1) ( Patankar 5-2) Obtain the exact solution of the equation where
! u , ! ,
! ! L at
x
=
=
and S are all constant; the boundary conditions are ! L .
2
SL / # /
agreement with the exact solution ? Why ? Resolução: Determinando solução exata. Dada equação: d ) # & $ * u) ( ' ! dx % dx " d
=
S
expandindo: 2
& * u) # d & ') # [1.02] $ !( $ ! dx % 1 " dx % 1 " d
2
=
S
dividindo por S, tem: 2
& * u) # d & ') # [1.03] $ !( $ ! dx % S " dx % S " d
2
=
1
introduzindo ! , vem: o
2
& * u ) ' ) o # d & ( ) ' ) o # [1.04] $ !' $ ! dx % S 1 " dx % S 1 " d
2
=
1
fazendo: [1.05]
X
x =
L
substituindo na equação [1.04], obtém-se: 2
& * u ) ' ) o # d & ( ) ' ) o # [1.06] $ !' $ ! dX % LS 1 " dX % L S 1 " d
! at o
x
=
0 ,
S ,
and
Use the exponential scheme to obtain a numerical solution of the
problem for various values of " uL / ! and
[1.01]
=
=
2
2
=
1
(!
L
" ! o
).
Do you get perfect
2
rearranjando: 2
& ( L * u ) ' ) o # d & ( ) ' ) o # [1.07] $ !' $ ! dX % ( L LS 1 1 dX L S " % " d
2
2
=
1
preparando para adimensionalização: 2
& * uL ( ) ' ) o # d & ( ) ' ) o # [1.08] $ !' $ ! dX % ( L S 1 " dX % L S 1 " d
2
2
2
fazendo: [1.09] "
=
$
! # ! o
2
1
L S
substituindo na Eq. [1.08]: [1.10]
% uL d $ dX
"
!
d
2
#
dX
2
=
1
com: [1.11]
" uL
Pe
=
!
obtém-se: 2
d "
[1.12]
dX
2
! Pe.
d " dX
+1 =
0
As condições de contorno adimensionalizadas são: CC1 !
x
=
0
!
=
!
o
Utilizando a equação [1.05] e [1.09], tem-se: [1.13]
X
=
0
CC2 !
! x
=
=
0
L
! ! L =
Utilizando a equação [1.05] e [1.09], tem-se: [1.14]
X
=
1
" L
$ =
2
L S
! L
# ! o
1
=
1
3
Para ter-se a solução exata, basta resolver a equação [1.12], a solução geral será dada pela soma das soluções homogênea e particular. [1.15] ! = ! P + ! H Sendo: ! H = solução homogênea; ! P = solução particular.
A resolução da homogênea acima sugere a solução do tipo: [1.16]
! H
rX
e
=
Na qual r é uma constante a ser determinada. Derivando [1.16], vem: [1.17]
d !
re
=
dX
rX
2
[1.18]
d ! dX
=
2
2
r e
rX
substituindo na equação homogênea, vem: [1.19]
2
r e
rX
! Pe.re rX
=
fatorando: [1.20]
e
rX
e
rX
2
r
! Pe.r
como: [1.21]
!
0
vem: [1.22]
r
2
! Pe.r
resolvendo: [1.23] ou
r
=
0
=
0
=
0
0
4
[1.24]
r
Pe
=
substituindo em [1.16], obtém-se: [1.25]
! H
=
C 1e
! H
=
C 1
0 X
+
PeX
C 2 e
então: [1.26]
PeX
C 2 e
+
Determinando agora a solução particular. Para a resolução desta equação particular utilizar-se-a o Método dos Coeficientes Indeterminados: [1.27]
! P
X =
Pe
tem agora, como solução geral: [1.28]
!
=
C 1
+
C 2 e
PeX
X +
Pe
Determinando C1 e C2 Para X=0, tem-se: [1.29] C 1 + C 2
[CC1]
0
=
logo [1.30]
C 1
=
!C 2
Para X=1, tem-se: [1.31]
! L
=
C 1
+
C 2 e
Pe
+
1
Pe
[CC2]
Utilizando a Equação [1.30] " L
[1.32]
C 2
=
1
!
Pe
e
Pe
!1
A solução final da equação [1.12] é dada por:
5 1 # & 1 # & $ ( ' ! $ ( ' ! Pe Pe !+$ !e [1.33] ( = '$ $ e '1 ! $ e '1 ! $ ! $ ! % " % " L
L
Pe
Pe
simplificando:
' 1 # X 1 #& e & [1.34] ( = $( ' !! + !$$ Pe "% e ' 1 " Pe % PeX
L
Pe
onde: [1.35] " L
$ =
2
L S
! L
# ! o
1
PeX
X +
Pe
6
Solução Numérica: Método dos Volumes de Controle. Utilizando malha co-localizada com 5 volumes igualmente espaçados como mostra a figura abaixo:
!x/2
!x
= 0,2
Figura 1.1 – Malha para o problema unidimensional considerado. Pontos internos internos
W
w
E
P e
!x
!x
Figura 1.2 – Esquema para pontos internos
Balanço de Energia para o volume P, integrando a equação [1.12] e e ' d 2) $ d ) [1.36] ( %% " ! + dX P dX . 1dX = 0 2 " ( ( w w w dX dX & # e
tem-se: [1.37]
d # dX
" e
d # dX
(
" P #
e
" #
w
)
+
!X
=
0
w
Utilizando esquema de interpolação Exponencial : fazendo: [1.38] #
[1.39] #
X " X p =
! X
e
*
=
X
redefinindo:
e
"
Pe
Pe
!1 !1
7
[1.40]
# u" x
Pe
=
!
derivando: *
[1.41]
d #
e =
d "
"
Pe
!1
e
X
para a face e: Pe
[1.42]
"
2
e
*
=
e
e
=
!
Pe
*
[1.43]
#1 #1
Pe
d #
2
e =
d "
e
e
Pe
!1
sabendo que: [1.44]
"
=
" E
e
isolando [1.45]
" e
*
P =
!
P
, temos:
!
e
" e
# " # "
=
(1 # ! )"
+ !"
P
E
analogamente para a face w: [1.46]
" w
=
(1 # ! )"
W
+ !"
P
Agora: *
[1.47]
*
d "
d " dX =
d !
e
dX d !
e
trabalhando: *
[1.48]
*
d "
d " =
dX
e
d !
d ! dX
como: [1.49] #
X " X p =
! X
Pe
e
8
vem: [1.50]
d "
1 =
dX
. Pe
! X
substituindo a Eq. [1.50] [1.43] na [1.48], [ 1.48], vem:
[1.51]
d #
Pe
*
2
e =
dX
Pe
. Pe
" 1 ! X
e
e
1
derivando Eq. [1.44], tem-se: [1.52]
d !
*
1
d !
" ! P
dX
=
dX
! E
e
e
substituindo na [1.51], tem-se Pe
[1.53]
# E " # P
d # =
dX
Pe
1
e
2
e e
1
. Pe
" 1 ! X
Analogamente: Pe
[1.54]
# P " # W
d # =
dX
Pe
1
. Pe
" 1 ! X
e
1
w
2
e
resumindo: [1.55]
" e
=
(1 # ! )"
P
+ !"
E
Pe
[1.56]
# E " # P
d # dX
=
Pe
1
e
2
e e
1
. Pe
" 1 ! X
análogo para a face oeste: [1.57]
" W
=
(1 # ! )"
W
+ !"
P
Pe
[1.58]
# P " # W
d # dX
=
w
1
e Pe
e
2
1
. Pe
" 1 ! X
substituindo as Eqs. [1.55][1.56][1.57][1.58] na Eq. [1.37], vem:
*Discutindo o a equação [1.61], ela só é possível quando L = 1, com as seguintes transformações: P
* uL =
)
"
=
L
* u! X " Pe# E " 2# P " Pe [1.59] + # W
* u
P
)
(
=
)
9
Pe
P (e * u2 % ! X " Pe" P [(1 Pe + P ) & Pe) #! X 1 ". Pe )# P 1+" ($ ! X $ L $# "2 " 1)# W ] + !X = 0 E L " 1 ! X e =
=
=
=
reagrupando, vem: Pe
Pe
' e $ ' e $ 1 1 %2 " % " . Pe ( (2* ( 1) P ) = . Pe ( * P ) % e ( 1 ! X " % e ( 1 ! X " & # & # [1.60] ' e $ 1 % " . Pe ( (* ( 1) P ) + !X % e ( 1 ! X " & # 2
2
P
Pe
E
Pe
Pe
2
W
Pe
fazendo: [1.61]
Pe
=
P ! X
' e $ ' e $ Pe " Pe " 1 1 %2 % ) = ) . Pe ( (2* ( 1) . Pe ( * % e ( 1 ! X % e ( 1 ! X ! x " ! x " & # & # [1.62] ' e $ 1 Pe " % ) + !X . Pe ( (* ( 1) % e ( 1 ! X ! x " & # Pe
Pe
2
2
P
Pe
E
Pe
Pe
2
W
Pe
reagrupando:
'' e $ Pe $ %% 2 ( (2* ( 1)" ") %% e (1 " ! x " # # && Pe
2
P
Pe
[1.63]
'' e $ Pe $ %% ( (* ( 1)" ") %% e (1 " ! x " & # # &
'' e $ Pe $ % % ( * " ") = %% e (1 " ! x " # # && Pe
2
Pe
Pe
2
Pe
W
+
!X
utilizando a definição de alfa Eq. [1.42], vem:
E
P
E
10
'' ' e %% e % %% % 2 e ( 1 ( % 2 e & &&
$ '' e e ( 1 $" $" Pe " %% (1 ( ) = %% e (1 e ( 1 " " ! x "" ## # && $ ( 1 $" $" Pe " ) + ! X (1 ( 1 " " ! x "" ## #
Pe
Pe
2
Pe
[1.64]
'' 'e %% e % %% % e ( 1 ( % e & && Pe
Pe
2
Pe
2
Pe
2
P
Pe
Pe
W
Pe
expandindo:
'- 2 * Pe $ %+ e . 1 + 1( ! X "/ ) &, #
=
- 1 Pe * + (/ ! X . e 1 , )
'- 1 * Pe $ %+ e . 1 + 1( ! X "/ ) &, #
+
! X
P
Pe
[1.65]
W
Pe
E
Pe
reagrupando:
[1.66]
'- e %++ &, e
Pe
Pe
'- e %++ &, e
* Pe $ ( "/ . 1 () ! X # * Pe $ ( "/ . 1 () ! X #
P
=
+ ,e
W
+
! X
+1
* (/ . 1 ! X )
1 Pe
Pe
Pe
em termos de coeficientes, tem: [1.67]
A P ! P
=
A E ! E
+ A
! W
W
onde: [1.68]
A P
[1.69]
A E
[1.70]
AW
[1.71]
B
' e Pe + 1 $ Pe = % % e Pe ( 1 "" ! X & # 1 =
=
e =
Pe
" 1 ! X
' e Pe $ Pe %% Pe "" & e ( 1 # ! X
! X
com [1.72]
P
Pe
Pe =
! x
Fronteira Oeste (W)
Pe
2
+ B
Pe
E
2 Pe
( 1 $" Pe $" ) ( 1 " ! x " # #
E
f w!x/2
e
11
Figura 1.2 – Esquema para a fronteira oeste Balanço de Energia para o volume da fronteira leste, integrando a equação [1.17] e e ' d 2) $ d ) [1.73] ( %% " ! + dX P dX . 1dX = 0 2 " ( ( f f f dX & dX # e
w
w
w
tem-se: [1.74]
d # dX e
"
(
d # dX
" P #
e
" #
f w
f w
)
+
!X
=
0
utilizando as Equações [1.55][1.56][1.58] [1.75]
" e
=
(1 # ! )"
P
+ !"
E
Pe
[1.76]
[1.77]
# E " # P
d # =
dX
d # dX f w
Pe
1
e
# P " #
f W
e
2
e
=
. Pe
" 1 ! X
e Pe Pe
e
1
1
1
" 1 ! X
. Pe
substituindo na Eq. [1.74], tem-se: [1.78] Pe
( ) " (1 + e Pe 2 %) + ) e Pe 2 % e 2 1 . Pe " P [(1 " * )) + *) " ) # P f & E & # Pe P E f ' $ ' $ e " 1 ! X W
w
]
+
!X = 0
reagrupando, vem: Pe ' $ ' e Pe $ Pe e 1 1 % '%1 + e $" " % " . Pe + (1 ( * ) P ) P = . Pe ( * P ) E Pe Pe %& " % " # e ( 1 ! X e ( 1 ! X & # & # [1.79] ' e Pe 1 $ %% Pe . Pe + P ") f + ! X " & e ( 1 ! X # 2
2
2
W
com:
12
[1.80]
Pe
=
P ! x
Pe ' $ ' e Pe Pe e Pe Pe $" 1 1 % '%1 + e $" " % ) P = ) E . Pe + (1 ( * ) . Pe ( * %& % e Pe ( 1 ! X # e Pe ( 1 ! X ! X " ! X " # & # [1.81] & ' e Pe 1 Pe $ %% Pe "") f + ! X . Pe + ! X ! X e ( 1 & # 2
2
2
W
reagrupando: Pe ' ' e Pe $ ' $ $ 1 Pe e Pe 1 % " % '%1 + e $" " % " ) P = ( * . Pe + (1 ( * ) . Pe ) E Pe Pe % %& % e (1 " ! X " # e ( 1 ! X ! X " & # & # & # [1.82] ' ' e Pe $ Pe $ % % Pe " + 1" % % e ( 1 " ! X ") f + ! X # && # 2
2
2
W
utilizando a definição de alfa Eq. [1.42], vem: Pe Pe ' $ ' $ % '1 + e Pe 2 $ e 2 1 . Pe + %1 ( e 2 ( 1 " Pe ") = " Pe P % %& % # e ( 1 ! X e Pe ( 1 " ! X " & # & # Pe ' ' e Pe 2 $ 2 e ( 1 $" 1 [1.83] % % Pe " % % e Pe ( 1 ( e Pe ( 1 " ! X . ") E # && # ' ' e Pe $ Pe $ % % Pe " + 1" % % e ( 1 " ! X ") f + ! X # && # W
expandindo:
' ' 2e Pe $ Pe $ ' ' 2e Pe ( 1 $ Pe $ '' 1 $ 1 $ " %% " " " % e Pe ( 1 " ! X ") P = %% %& e Pe ( 1 "# ! X . Pe "") E + % % e Pe ( 1 " ! X ") f & # # # && # && #
[1.84] % % %
W
em termos de coeficientes, tem: [1.85]
A P ! P
=
A E ! E
+ B
onde: [1.86]
A P
=
[1.87]
A E
=
' 2e Pe $ Pe %% Pe "" & e ( 1 # ! X ' 1 $ 1 . Pe % Pe " & e ( 1 # ! X
+
! X
13
' ' 2e Pe ( 1 $ Pe $ " " % e Pe ( 1 " ! X ") f # && #
[1.88] B = % % %
W
+
! X
w
W
f P !x/2e
14
Fronteira Leste(E)
Figura 3.3 – Esquema para a fronteira Leste
Balanço de Energia para o volume da fronteira leste, integrando a equação [1.17] e e ' d 2) $ d ) [1.89] ( %% " ! + dX P dX . 1dX = 0 2 " ( ( f f f dX dX & # e
w
w
w
tem-se: [1.90]
d # dX e
"
(
d # dX
" P #
e
" #
f w
f w
)
+
!X
=
0
utilizando as Equações [1.56][1.57][1.58] [1.91]
[1.92]
" w
=
(1 # ! )"
W
+ !"
P
# f " # P
d # dX f E
=
e Pe
E
1
Pe
e
1
" 1 ! X
. Pe
Pe
[1.93]
# P " # W
d # =
dX
1
w
e Pe
e
2
1
. Pe
" 1 ! X
substituindo na Eq. [1.90], tem-se: Pe
(* e Pe 2 " (1 + e Pe 2 %* + * % e 2 1 . Pe & # P W # Pe [1.94] &' f ' $ $ e " 1 ! X " P [* f " ((1 " ) )* W + )* P )] + ! x = 0 E
E
reagrupando, vem: [1.95] com:
15
[1.96]
Pe
=
P ! X
Pe ' Pe ' e Pe 1 e Pe $" Pe $ 1 % '%1 + e $" "") f * ) P = % Pe ( Pe ( . . % e Pe ( 1 ! X %& # e Pe ( 1 ! X ! X " ! X & # & # [1.97] ' e Pe Pe $" 1 % ) W + !X + . Pe + (1 ( * ) % e Pe ( 1 ! X ! X " & # 2
2
E
2
reagrupando: Pe '' $ Pe $ ' ' e Pe Pe $ Pe $ e % % '1 + e $ " " " * ) P = % % 1" ( ( % " % % e Pe ( 1 " ! X ") f %%& " ! X " # e Pe ( 1 # && # # && # 2
2
E
[1.98]
' ' e Pe $ Pe $ % ") % " + + (1 ( * ) Pe %% e (1 " ! X " W # && # 2
+
!X
utilizando a definição de alfa Eq. [1.42], vem:
Pe Pe '' Pe ' ' 1 $ Pe $ e e ( 1 $" Pe $" % % '1 + e $ ) P = % % ( % " % e Pe ( 1 " ! x "") f %%& # e Pe ( 1 e Pe ( 1 " ! x " # # && # # && [1.99] ' ' Pe ' e Pe ( 1 $ $ Pe $" %% e % "" %% % e Pe ( 1 + %1 ( e Pe ( 1 " " ! x "") W + ! X & ## # && 2
2
2
E
2
2
expandindo:
' ' e Pe + 1 $ Pe $ ' $ ") P = %% '% Pe1 $" Pe "") f [1.100] % %% Pe " % e ( 1 " ! X " & & e ( 1 # ! X # # && #
E
em termos de coeficientes, tem: [1.101] A P ! P
=
AW ! W
+ B
onde: [1.102] A P
' e Pe + 1 $ Pe = % % e Pe ( 1 "" ! X & #
' ' e Pe $ Pe $ " + %% % % e Pe ( 1 "" ! X ") W + ! X # && #
16
[1.103] AW
[1.104] B
=
=
' e Pe $ Pe %% Pe "" & e ( 1 # ! X
' ' 1 $ Pe $ %% % Pe " "") f & & e ( 1 # ! X #
E
+
! X
Utilizando a rotina em Fortran a seguir para resolver numericamente e analiticamente, tem-se como resultado os perfis característicos, resumidos no Gráfico 1.01.
17
program quatro_oito BB = Aw*teta_o + dx use NUMERICAL_LIBRARIES parameter (IPATH=1, LDA=10, NN=10,N=10) real A(LDA,LDA), B(NN), X(NN)
a(p,p) =-Ap a(p,e) =Ae b(p)=-BB
real L,teta_L,teta_o,Pe,alfa,PeL integer e,w,p,i,j open (1,file="cinco_dois.txt") A=0.0 B=0.0 X=0.0
!Fronteira Leste (E) p= n w=p-1
L=1.0 teta_o=0.0 teta_L=100.0 PeL =1.0
Ae = 1/(exp(Pe)-1)*Pe/dx Aw = exp(Pe)/(exp(Pe)-1)*Pe/dx
Ap = Ae + Aw
dx=L/n BB = Ae*teta_L + dx Pe=PeL*dx !Pontos de meio
a(p,p) = -Ap a(p,w) = Aw
do i =2,n-1
b(p) = -BB
p=i call LSLRG (NN, A, LDA, B, IPATH, X) e=p+1 w=p-1 Ae = 1/(exp(Pe)-1)*Pe/dx Aw = exp(Pe)/(exp(Pe)-1)*Pe/dx Ap = Ae + Aw
write(1,*)('numérico') do i=1,n write(1,10)(x(i)) 10 format(f8.4) enddo
BB = dx
!solução analítica
a(p,p) =-Ap a(p,e) =Ae a(p,w) =Aw
write(1,*)('analítico') do i=1,n
b(p)=-BB
posicao = dx/2 + dx*(i-1) calc = (teta_L - 1/PeL)*(exp(PeL*posicao)1)/(exp(PeL)-1) + posicao/PeL
enddo !Fronteira Oeste (W) p=1 e = p+1
write(1,20)(calc) 20 format(f8.4) enddo
Ae = 1/(exp(Pe)-1)*Pe/dx Aw = (2*exp(Pe)-1)/(exp(Pe)-1)*Pe/dx Ap = Ae + Aw
end
18
Fazendo o gráfico de ! / ! L por X para Pe = 1,10,100 1,10,100 tem-se como perfil característico o gráfico abaixo:
Perfil Característico 1,0000 0,9000 0,8000 0,7000 L _ a t e T / a t e T
num_1
0,6000
anal_1 num_10
0,5000
anal_10
0,4000
num_100 anal_100
0,3000 0,2000 0,1000 0,0000 0
0,2
0,4
0,6
0,8
X
Gráfico 1.01 – Perfil Característico para Pe = 1, 10 e 100.
1
1
Sétima Lista de Exercícios ( Patankar 6-3) In the steady, one-dimensional, constant-density situation shown in Fig. 1.1, the velocity u is calculated for locations A, B, and C, while the pressure p is calculated for locations 1, 2, and 3. The velocity-correction formula is u = u * + pi' ! pi' 1 d , where the locations i and i + 1 lie on either side of the location +
for u. The value of d is 2 everywhere. e verywhere. The boundary conditions are u A = 10 and If, at a given stage in the iteration process, the momentum equations give !
u C
=
11 ,
calculate the values of
'
'
p1 and p 2 '
p 3
=
'
'
p1 and p 2 .
!
u B
'
p 3 =
=
0.
8 and
Explain how you would obtain the value of
if the right-hand boundary condition were given as
u C
=
10 instead
of
0.
A
1
B
2
C
3
Figura 1.1 – Situation for problem 6.3
Resolução: a) Dados: [1.01] d = 2 CC [1.02] u A = 10 [1.03] p 3' 0 . =
Correção da velocidade: [1.04] u
=
u*
+
pi' ! pi'
+1
d
Processo iterativo: !
[1.05]
u A
[1.06]
u B
!
=
=
8 11
Determinando as equações de correção para velocidade B e C, utilizando a Eq[1.01]a[1.08], obtêm-se: [1.07] u B
=
8+
'
'
p1 ! p 2
2
2
[1.08] u C
=
11 +
p 2'
2
Para determinar p1' e p 2' , necessita-se das velocidades velocidades em B e C, que podem podem ser determinadas pela continuidade aplicada aos pontos 1 e 2: [1.09] Ponto 1
!
u A
=
u B
[1.10] Ponto 2
!
u B
=
u C
Então: [1.11]
u A
=
u B
=
u C
=
10
Aplicando nas equações [1.08] e [1.07]: [1.12]
10
[1.13]
10
( ) '
=
11 + p 2 2
=
8 + p1
(
'
"
'
p2
1 =
!
2
' ' 1 $$ ( p2' )2 ! 2 = ( p1' ( p 2' )2 ! 1 = %% p1' ( % ( " "" ! & 2 ## &
1
'
=
p1
2
Nota: As componentes de velocidade obedece a continuidade, porém tem-se '
p 2
!
'
p1
!
0
e
0.
b) Dados: CC [1.14] [1.15]
u A = 10 uC = 10
Com as condições dadas tem-se pela equação [1.09] e [1.10]: [ 1.10]: [1.16]
u A
=
u B
=
u C
=
10
Equação de correção para o ponto B: [1.17]
'
10 = 8 + p1
"
'
p 2 2 ! 2
=
'
p1
"
'
p 2 2
!
'
1 = p1
"
'
p2
!
'
p1
=
'
p2
+1
Pelo fato de não fixar um ponto de pressão, criou-se uma arbitrariedade evidenciada pela equação [1.17], a qual tem infinitas possibilidades para o par p1' , p 2' .
3
( Patankar 6-7) A portion of a water-supply system is shown in Fig 1.2. The flow rate Q in a pipe is given by Q = C ! ! p, where ! p is the pressure drop over the length of the pipe, and C is the hydraulic conductance. conductance. We have the following data: p1 = 275 p 2= 270 p 4= 0 p5= 40 C A= 0,4 C C = C E = 0,1 C B = C D = C F = 0,2 Q F = 20 Find p3 , p6 , Q A , Q B , Q C , Q D , and Q E by by the following procedure: Guess p 3 , and p 6 . * Obtain Q values based on the guessed pressures. Construct the pressure-correction equations and solve for p 3' , and p 6' . Correct the guessed pressures and the Q* values. Do you need to iterate? Why? 2
B
1
6
3 A
D C
4
Figura 1.2 – Water-supply Water-sup ply sistem con sidered in P roblem 6.7
Resolução: Dados: [2.01]
p1
=
275
[2.02]
p 2
=
270
[2.03]
p 4
=
0
[2.04]
p5
=
40
[2.05] Q F
=
20
[2.06] C A
=
0,4
[2.07] C B
=
C D
=
[2.08] C C
=
C E
=
Chute: *
[2.09]
p 3
[2.10]
p 6
=
* =
200 100
7
C F
0,1
=
0,2
F E
5
4
Vazão inicial: [2.11] Q A
=
[2.12] Q B
=
[2.13] QC
=
[2.14] Q D
=
[2.15] Q E
=
C A ( p1
"
p3 )
C B ( p3
!
p2 )
"
Q B
C C ( p4
!
p3 )
"
QC
C D ( p3
"
p6 )
!
Q D
C E ( p5
!
p6 )
"
Q E
!
Q A
0,4(275 200) "
=
0,2(200 270)
"
0,1(0 200)
QC
!
=
=
=
=
Q A
!
!
"
0,2(200 100) "
0,1(40 100) !
Q B
!
14
!
=
20
!
=
Q D
Q E
"
30
=
=
=
20
6
!
Correção da Vazão [2.16]
Q = C ( pi
(
Q = C pi*
!
pi 1 )
!
pi* 1
"
+
) C ( p +
+
[2.17] Q A
=
Q A* ! 0,4 p 3'
[2.18] Q B
=
Q B*
[2.19] QC
=
QC * ! 0,1 p 3'
[2.20] Q D
=
Q D*
[2.21] Q E
=
Q E ! 0,1 p 6
+
*
Q = C pi ' i +1
!
pi'
+
1
+
)
*
pi
"
!
*
pi
1 +
+
Q = Q*
+
'
pi
"
1
+
(
C pi'
!
1
+
pi'
1
+
)
'
0,2 p 3 '
'
0,2 p 3 ! p 6
+
*
)
'
Conservação da Massa: [2.22] Ponto 3
Q A
+
QC
=
Q B
[2.23] Ponto 6
Q D
+
Q E
=
Q F
+
Q D
'
Utilizando as equações de correção da vazão, pode-se isolar os pi : [2.24] Q A* ! 0,4 p 3'
QC * ! 0,1 p 3'
+
[2.25] 0,9 p 3' ! 0,2 p 6' [2.26] 0,9 p3' ! 0,2 p 6' [2.27] Q D*
+
=
Q A*
'
0,2 p 3 ! p 6
[2.28] 0,2 p 3' ! 0,3 p 6' [2.29] 0,2 p3' ! 0,3 p 6'
= =
+
'
p 3
[2.31]
p 6
=
'
=
6
0
!20
Corrigindo as pressões: [2.32]
p 3
=
200 ! 0
=
+
'
0,2 p 3
QC * ! Q B* ! Q D*
Q E * ! 0,1 p 6'
!Q D* ! QE * + 20
Resolvendo [2.25] e [2.29]: [2.30]
Q B*
4
=
'
+
=
200
=
20
+
Q D*
+
'
'
0,2 p 3 ! p 6
)
5
[2.33]
p 6
=
100 ! 20
=
80
Corrigindo as vazão: [2.34] Q A
=
[2.35] Q B
=
[2.36] QC
=
[2.37] Q D
=
[2.38] Q E
=
C A ( p1
"
p 3 )
C B ( p 3
!
p 2 )
"
Q B
=
!
C C ( p 4
!
p 3 )
"
QC *
=
!
C D ( p 3
"
p 6 )
!
Q D*
C E ( p 5
!
p 6 )
"
Q E
!
Q A*
=
30
*
*
=
=
14 20
0,2(200 80) "
0,1(40 80) !
!
"
Q D* *
Q E
=
=
24
4
!
Aplicando conservação da massa Eq.[2.22][2.23] Aplicando correção da vazão Eq.[2.25][2.28], pode-se isolar os p i : '
[2.39] 0,9 p3' ! 0,2 p 6' [2.40] 0,2 p3' ! 0,3 p 6'
=
0
=
0
solução: '
[2.41]
p 3
[2.42]
p 6
=
0
=
0
'
Logo: [2.43] Q A
=
[2.44] Q B
=
[2.45] QC
=
[2.46] Q D
=
24
[2.47] Q E
=
!4
30
!14 !20
[2.48]
p 3
=
200
[2.49]
p 6
=
80
Para não ocorrer iteração, tem-se como condição p i'
=
0 para
qualquer chute dado, como
não é o caso tem-se a necessidade de iterar, pelo menos uma vez.
1
Oitava Lista de Exercícios ( Patankar 6-5) The one-dimensional flow in the nozzle shown in Fig. 1.1 can be described by d dx
( ! uA)
=
0
d
and
dx
( " uA)u ! A =
dp dx
where A is the cross-sectional area. The given conditions are !
=
1 everywhere
A A
=
3
A B
=
p1 = 28
1
p3 = 0.
Assume that the fluid upstream of point 1 has negligible momentum. Formulate the discretization equations for u and p’, and hence obtain the values of u A , u B , and p2. (Use the initial guesses ! uA 5 , so s o that u A=5/3 and u B=5, and p 2=25. Employ appropriate under relaxation if necessary.) =
1
A
Figura 1.1 – Grid points for problem 6.5
Resolução: Equação da continuidade: [1.01]
d dx
( ! uA)
=
0
Equação da Quantidade de Movimento:
2
B
3
2
[1.02]
d dx
[1.03] !
( " uA)u ! A
[1.04]
A A
=
[1.05]
A B
=
[1.06]
p1
[1.07] [1.08]
3 1
=
28
p 2
=
25
p 3
=
0
*
[1.09] ! uA
=
*
u A
[1.11]
u B
dx
1
=
[1.10]
dp
=
5
=
5/ 3
=
5
*
Discretização das equações Continuidade: [1.12] ( ! uA) A
•
(! uA)
=
B
=
m
Quantidade de movimento, como o termo de difusão é nulo [1.13]
d dx
( " uA)u ! A
dp
=
dx
abrindo a derivada, tem-se: [1.14] u
d dx
( " uA)
uA
+ "
du dx
=
! A
dp dx
utilizando a [1.01], vem: [1.15]
" uA
du dx
=
! A
dp dx
pela [1.12], tem-se:
•
[1.16] m
du dx
=
! A
dp dx
Utilizando a equação discretizada:
ae u e
=
"a
nb
sabendo que:
u nb
+
b + Ae ( p P ! p E )
! Pe
infinito.
3
[1.17] b = 0 ( não tem termo fonte) Utilizando a formulação generalizada, tem-se:
( Pe )
+
( Pe )
+ + F
[1.18] anb
= DA
! [1.19] anb
= DA
+
[1.20]
ae
=
+
a nb
+
a nb !
! F E ,0 P
+
,0
=
0
=
F P
( F E ! F P )
então: [1.21] a e u e
=
! F P u nb
+
Ae ( p P ! p E )
Ponto A •
[1.22] m u A
=
A A ( p1 ! p 2 )
=
m u A
Ponto B •
•
[1.23] m u B
+
A B ( p 2 ! p3 )
substituindo os valores: [1.24] u A
=
3 •
(28 ! p 2 )
m
[1.25] u B
=
u A
1
+
•
p 2
m
empregando sub-relaxação:
(3 % [1.26] u A = ! u & (28 " p 2 )# + (1 " ! u )u A* &' m #$ ( % 1 [1.27] u B = ! u &u A + p 2 # + (1 " ! u )u B* &' m #$ •
•
Equações para correção da velocidade: [1.28] u A
=
u A* !
3 •
p 2'
m
[1.29] u B
=
u B*
+
1 •
p 2'
m
Gerando a equação para correção da pressão.
4
Equação da continuidade: [1.30] ! A A Au A
=
! B A B u B
substituindo [1.24][1.25] na [1.26], tem-se:
& * 3 '# & * $ ! [1.31] ( A A A u A ' p 2 = ( B A B $ u B $ ! $ m % " % •
# p 2 ! + ! m " 1
'
•
Utilizando [1.03][1.04][1.05], vem:
[1.32]
& * 3 '# & * p 2 ! = 1$ u B 3$ u A ' $ ! $ m % " % •
isolando
# p2 ! + ! m " 1
'
•
'
p 2 : •
[1.33] p 2'
=
m 10
(3u
*
A
! u B* )
Equação de correção: [1.34]
p 2
=
*
p 2
+ !
p
'
p2
Algoritmo de resolução: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
*
*
Chuta u A , u B , p 2* ; Calcula velocidade pela Quantidade de Momento [1.12] [1.26][1.27]; Determinar p’[1.33]; Corrigir as velocidades[1.28][1.29]; Calcular p[1.34]; Fazer p* = p recomeçar do passo 2 até convergência [ p’ 0 ]; !
5
Utilizando o Excel, tem-se: alfa V
0,5
alfa P
0,8
Momento
Correção
Iteração
p* 2
m ponto
u* A
u* B
uA
uB
p' 2
uA
uB
p2
Chute
25,0000
5,0000
1,6667 1,6667
5,0000
1,7333
5,8667
-0,3333
1,9333
5,8000
24,7333
1
24,7333
5,8000
1,9333
5,8000
1,8115
5,9379
-0,2920
1,9625
5,8876
24,4997
2
24,4997
5,8876
1,9625
5,8876
1,8730
5,9609
-0,2013
1,9756
5,9268
24,3387
3
24,3387
5,9268
1,9756
5,9268
1,9144
5,9739
-0,1367
1,9836
5,9508
24,2294
4
24,2294
5,9508
1,9836
5,9508
1,9422
5,9823
-0,0926
1,9889
5,9668
24,1553
5
24,1553
5,9668
1,9889
5,9668
1,9610
5,9880
-0,0627
1,9925
5,9775
24,1052
6
24,1052
5,9775
1,9925
5,9775
1,9736
5,9919
-0,0424
1,9949
5,9848
24,0712
7
24,0712
5,9848
1,9949
5,9848
1,9822
5,9945
-0,0287
1,9966
5,9897
24,0482
8
24,0482
5,9897
1,9966
5,9897
1,9879
5,9963
-0,0195
1,9977
5,9930
24,0326
9
24,0326
5,9930
1,9977
5,9930
1,9918
5,9975
-0,0132
1,9984
5,9953
24,0221
10
24,0221
5,9953
1,9984
5,9953
1,9945
5,9983
-0,0089
1,9989
5,9968
24,0150
11
24,0150
5,9968
1,9989
5,9968
1,9963
5,9988
-0,0060
1,9993
5,9978
24,0101
12
24,0101
5,9978
1,9993
5,9978
1,9975
5,9992
-0,0041
1,9995
5,9985
24,0069
13
24,0069
5,9985
1,9995
5,9985
1,9983
5,9995
-0,0028
1,9997
5,9990
24,0046
14
24,0046
5,9990
1,9997
5,9990
1,9988
5,9996
-0,0019
1,9998
5,9993
24,0031
15
24,0031
5,9993
1,9998
5,9993
1,9992
5,9998
-0,0013
1,9998
5,9995
24,0021
16
24,0021
5,9995
1,9998
5,9995
1,9995
5,9998
-0,0009
1,9999
5,9997
24,0014
17
24,0014
5,9997
1,9999
5,9997
1,9996
5,9999
-0,0006
1,9999
5,9998
24,0010
18
24,0010
5,9998
1,9999
5,9998
1,9998
5,9999
-0,0004
2,0000
5,9999
24,0007
19
24,0007
5,9999
2,0000
5,9999
1,9998
5,9999
-0,0003
2,0000
5,9999
24,0004
20
24,0004
5,9999
2,0000
5,9999
1,9999
6,0000
-0,0002
2,0000
5,9999
24,0003
21
24,0003
5,9999
2,0000
5,9999
1,9999
6,0000
-0,0001
2,0000
6,0000
24,0002
22
24,0002
6,0000
2,0000
6,0000
1,9999
6,0000
-0,0001
2,0000
6,0000
24,0001
23
24,0001
6,0000
2,0000
6,0000
2,0000
6,0000
-0,0001
2,0000
6,0000
24,0001
24
24,0001
6,0000
2,0000
6,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
24,0001
25
24,0001
6,0000
2,0000
6,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
24,0000
26
24,0000
6,0000
2,0000
6,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
24,0000
27
24,0000
6,0000
2,0000
6,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
24,0000
28
24,0000
6,0000
2,0000
6,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
24,0000
29
24,0000
6,0000
2,0000
6,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
24,0000
30
24,0000
6,0000
2,0000
6,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
24,0000
31
24,0000
6,0000
2,0000
6,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
24,0000
6
Equações utilizadas pelo método Simple: [1.35] ( ! uA) A
=
(! uA)
B
•
=
m
(3 % & (28 " p 2 )# + (1 " ! u )u A* &' m #$ ( % 1 [1.37] u B = ! u &u A + p 2 # + (1 " ! u )u B* &' m #$ [1.36] u A
= ! u
•
•
•
[1.38] p 2'
=
[1.39] u A
=
m 10
(3u
! u B* )
*
A
u A* !
3
p 2'
•
m
[1.40] u B
=
u B*
+
1
p 2'
•
m
[1.41]
p 2
=
*
p 2
+ !
p
'
p2
Para o método Simpler temos que gerar uma equação de correção da pressão com base na equação da quantidade de movimento:
utilizando [1.24][1.25] [1.42] u B
=
3 •
(28 ! p 2 ) +
m
1 •
p 2
m
isolando p2
& # $ 3.28 ' m u B ! / 2 % " •
[1.43] p2
=
Algoritmo para o método Simpler: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
*
*
Estimar u A , u B ; Determinar p2 [1.43] Calcula velocidade pela Quantidade de Momento[1.35][1.36][1.37]; Determinar p’[1.38]; Corrigir as velocidades[1.39][1.40]; Fazer u A u A , u B u B recomeçar do passo 2 até convergência [ p’ *
*
=
=
!
0 ];
7
alfa V
0,5
alfa P
0,8
Momento
Correção
Iteração
m ponto
u* A
u* B
p2
uA
uB
p' 2
uA
uB
Chute
5,0000
1,6667
5,0000
29,5000
0,3833
6,2833
-2,5667
1,9233
5,7700
1
5,7700
1,9233
5,7700
25,3536
1,6497
6,0437
-0,6317
1,9781
5,9342
2
5,9342
1,9781
5,9342
24,3926
1,9009
6,0114
-0,1832
1,9935
5,9805
3
5,9805
1,9935
5,9805
24,1167
1,9707
6,0033
-0,0545
1,9981
5,9942
4
5,9942
1,9981
5,9942
24,0349
1,9913
6,0010
-0,0163
1,9994
5,9983
5
5,9983
1,9994
5,9983
24,0105
1,9974
6,0003
-0,0049
1,9998
5,9995
6
5,9995
1,9998
5,9995
24,0031
1,9992
6,0001
-0,0015
1,9999
5,9998
7
5,9998
1,9999
5,9998
24,0009
1,9998
6,0000
-0,0004
2,0000
6,0000
8
6,0000
2,0000
6,0000
24,0003
1,9999
6,0000
-0,0001
2,0000
6,0000
9
6,0000
2,0000
6,0000
24,0001
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
10
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
11
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
12
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
13
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
14
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
15
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
16
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
17
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
18
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
19
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
20
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
21
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
22
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
23
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
24
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
25
6,0000
2,0000
6,0000
24,0000
2,0000
6,0000
0,0000
2,0000
6,0000
