Exercícios de Algebra Elementar - Ivan Monteiro

Exercícios de Álgebra Elementar – Prof. Ivan Monteiro




EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA ELEMENTAR

Prof. Ivan Monteiro


© 2012 Bubok Publishing S.L. 1ª edição ISBN: DL: Impresso em Portugal / Printed in Portugal

Impresso pela Bubok


Dedicatória

D E D I C O E S T Á O B R A A O S M E U S A V Ó S M A T E R N O S H I L T O N S I L V A E M A R I A L O U R D E S D E B A R R O S S I L V A ( I N M E M O R Y ) . ( I N M E M O R Y ) S A U D A D E S E T E R N A S !



FUNDAMENTOS

DA

TEORIA

DOS

CONJUNTOS

1. Um médico me disse: “De 100 crianças que eu e xamino, 65 têm gripe e 45 têm gripe e outra doença”. Quantas dessas 100 crianças e xaminadas pelo médico têm outras doenças? 2. Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: “Quem é flamengo?” 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: “Quem e Internacional?” 28 levantaram o braço. Quantos alunos são, ao mesmo tempo, Flamengo e Internacional ? 3. Dos meus 26 colegas de turma, 18 fizeram e xames para Escola Técnica e 12 para o Colégio Naval. Só um deles não fez nenhum e xame. Quantos fizeram e xames só para o Colégio Naval? 4. De um total de 800 pessoas e xaminadas por um grupo de médico pesquisadores, 500 tinham sintomas de uma doença A, 200 tinham sintomas de outra doença B e 130 tinham sintomas das duas doenças. Quantas não tinham sintomas nem da doença A nem da B ? 5. Numa pesquisa realizada entre 500 pessoas, 318 gostavam de uma mercadoria A, 264 de uma mercadoria B e 112 gostavam das duas mercadorias. Quantas não gostavam da mercadoria A e nem da B ? 6. Numa turma de 30 alunos, 6 escrevem com a mão esquerda e dois com as duas mãos. Quantos escrevem com a mão direita? 7. Numa turma de 42 alunos, 35 gostam de futebol, 18 de basquete e 12 gostam dos dois . Quantos não gostam nem de futebol e nem de basquete? 8. De 24 carros que estavam no estacionamento, 17 eram “Volkswagens” e 10 eram de 1977. Quantos carros eram “Volkswagens” de 1977? 9. Em 100 jogadores de futebol, 32 jogam também futebol de salão, 18 jogam também basquete e 11 praticam os três esportes. Quantos jogam só futebol? 10. Uma pesquisa entre telespectadores mostrou que, em cada 100 pessoas, 60 assistem a novela A, 50 assistem a novela B, 50 assistem a novela C, 30 assistem as novelas A e B, 20 as novelas B e C, 30 as novelas A e C e 10 as três novelas. Quantos não assistem essas novelas? 11. Tenho 6 canetas. 4 escrevem em azul e 4 escrevem em vermelho. Quantas escrevem tanto em azul como em vermelho? 12. O Serviço de Orientação Educacional de uma escola verificou, num questionário apresentado a 800 rapazes, que 500 gostam de futebol, 200 de cinema e 130 dos dois. Portanto, o total daqueles que não gostam de futebol nem de cinema é: a) 670 b) 230 c) 100 d) 30 e) Não pode ser determinado, pois o enunciado é absurdo. (Concurso de Professores 1º Grau RJ-1976)


13. Dos 42 alunos de uma turma. 8 foram reprovados em matemática. 6 em Português e 5 em Ciências. 4 foram reprovados em Português e matemática, 3 em matemática e Ciências e 2 em Português e Ciências. Sabendo que 2 alunos foram reprovados nas três matérias, diga quantos não foram reprovados em nenhuma dessas matérias. 14. De 18 alunos que estão em recuperação, 6 fazem Português e Ciências; 5 fazem Português e Matemática; 9 jazem matemática e Ciências; 2 fazem essas 3 matérias; ninguém faz só Português ou só Ciências. Quantos farão recuperação só de Matemática?

GABARITO 1) 80 4) 230 7) 1 10) 10 13) 30

2) 22 5) 30 8) 3 11) 2 14) 2

3) 7 6) 26 9) 61 12) b

POLINÔMIOS 1. Calcular o valor numérico de :

a b x 0 a) x + + a para a = −4, b = +3 e x = 0 6 2 b)

a −3 para a = 3 e b = 1 2+b

(Col. Pedro II – 2º. Série Ginasial – P. Parcial – 1953) ( E.P.C. do Ar – Concurso – 1951)

c) ab3 − (− b ) para a = 2 −1 e b = −2 d) ab3 − a 3b − a 0 −

3b 1 para a = −2 e b = − 2 2

ba −2 − ab −2 2. Calcular o valor numérico de 2 − 3 para a = −2 e b = −1 a − (− b )

(E.N.C.D. – 1951)

3. Calcular o valor numérico do polinômio 1 1 P ( x, y ) = − x 2 + 3 x − 5 xy + xy 2 para x = −1 e y = − 3 2 4. Classificar as expressões: a) 2 x − x −2 + 1

(E.P.C. do Exército – 1953)

x 3 b) + 2 • x + 2−1 2 5. Classificar a expressão: x + 3 x3 − 5 x 2 + 2 x + 4

6. O polinômio, em x e y; mx3 + 2 x 2 + 3 x − 2 y + 1 é do 2º grau se m....

(C.N. – 1959)


7. O polinômio, em x, x 4 + 3 x 3 + mx 2 − 2 x + 5 é completo se m.... 8. O polinômio, em x e y, x 2 + y 2 + 3 xy + m − 1 é homogêneo se m.... 9. Calcular m e p para que o polinômio, em x e y, (m − 1) x3 + x 2 + xy + ( p − 2) y 2 seja homogêneo completo. 10. Reduza os termos semelhantes e calcule o valor numérico de : a) x3 + x 2 y + 2 xy 2 − y 3 − (3 x 2 y + 4 xy 2 + x 3 − 7 y 3 ) para x = −1 e y = 2 (Col. Pedro II – 2ª Série Ginasial – P. Parcial – 1954)

b) Da soma de 7a + 5b − 9c e 13b − 12c subtrair o polinômio 5a − 7b − 3c . (Col. Pedro II – 2ª Série Ginasial – P. Parcial – 1954)

c) Sendo P = −3a + 5ab − 14b Q = −9a 2 − ab + 6b 2 R = 6a 2 + 5ab − 8b 2 Calcule − p + (− Q + R ) 2

2

(I.E. – 1951)

d) Qual a diferença entre: 2 x 2 − 5 x + 3 e 2 x 2 − 6 x + 2 ? e) Qual o monômio que devo somar a 2 x 3 − 3 x 2 + x − 1 para obter um Trinômio do 2º grau ? 11. Efetuar a multiplicação ( x 2 − 5 x + 9) ( x + 3)

(C.N. – 1952)

12. Efetuar o produto ( x 2 + 2 − x ) ( x 2 − 1) dando a resposta ordenada segundo as potências decrescentes de x . 13. Desenvolvendo e ordenando, crescentemente em relação a x , a expressão: a 2 x( x − 2 x 2 ) − bx(1 − x 2 ) + 3 x 2 − a , o último termo terá como coeficiente........ (E.N.S.K. – 1959)

14. Efetuar a) (8 x3 − 6 x 2 + 4 x + 2) : 2 6 x 3 − 2 x 2 b) 2 x m +1 c) ( x − x m − x m −1 ) : x 15. Qual o quociente da divisão de 6 x 3 − 2 x 2 − 7 x + 4 por 3 x 2 − x − 2 ? 16. Calcule o resto da divisão de: x 2 − 3 x 2 + 4 por ( x − 2) . 17. Efetuar 2 a) (− 2 x m +1 )

1  b)   x1 3   3 

3

2

c) ( x 0,5 )

18. Calcular os valores de : a) B − [ A + ( B − C ) − ( A − B )] para A = 15 x5 − x 3 + 17 , B = x − 3 x 2 + 7 e C = x − 3 x 2 + 8 b) 5 A − [ B − 6( B − A)] para A = 5 x 2 + 10 x − 16 e B = x 2 + 2 x − 3 .


c) Calcular 2 x − 3[ x − 2( x − y − 1)] + 6( y + 1) + y para x = a 2 − a − 2 e y = 10 + 5a − 5a 2 . d) Calcule o valor da expressão Aa 2 − [ B − ( Ba − C )] + B sendo A = a + 1; B = 1 − a − a 2 ; C = a − 1 . e) Calcular o valor numérico para x = 1 e y = −1 e z = 2 , do polinômio que se deve somar a 5 x − 6 y + 3 z para se obter 11 x + 4 y − 8 z . (Col. Pedro II – 2ª Série Ginasial – P. Parcial – 1954)

f) Se o valor numérico da expressão 5 x − 2 y 2 é 27 e x e y são iguais e negativos, qual será o valor de x e y ? 2

g) Calcular c para que o valor numérico de − k + k 2 − c seja igual a 5, para k = − 1. h) Calcular o valor de a para que o valor numérico de a 2 + a + 1 seja o mesmo que o valor de a 2 . 2 i) A expressão 3ab 2 − ab3 tem para valor numérico –13, para b = − 2 numérico de a 3 é: 3 3 39 (a) − (b) (c) − 4 4 20 (d)

39 20

(e) nenhum dos resultados anteriores (I.E. – 71/72)

GABARITO 1) a)-2,5 c)-6

b)0 d)-4

7 12 79 3) − 12 4) a) Racional fracionária. b) Racional inteira do 3º grau, não homogênea, incompleta, reduzida e ordenada. 5) Racional fracionária. 6) m = 0 7) m ≠ 0 8) m = 1 9) m = 1 e p ≠ 2 10) a) 52 d) x + 1 b) 2a +2 25b − 18c e) − 2 x 3 c) 18a + ab 2)


11) x3 − 2 x 2 − 6 x + 27 12) x 4 − x3 + x 2 + x − 2 13) b − 2a 2 14) a) 4 x 3 − 3 x 2 + 2 x + 1 15) 2 x 16) 0 17) a) 4 x 2 m + 2 18) a)1 b)1 c)0

c) x m − x m −1 − x m − 2

b) 3 x 2 − x

b)

1 x 27

c) x

d)1 e)-26 f)-3

g)-15 h)-1 i) a

Produtos notáveis

1. Efetuar: 1. ( x + 5) ( x + 2)

15. (ab2 - 1)(ab2 - 1)

2. ( x - 5) ( x - 4) 3. ( x + 8) ( x - 3)

2

4. ( x + l) ( x -1)

1  16.   x −1 y 2 − 2 x   2 

5. (2 x + 3) (2 x -3)

17. (2 x -3 y)2

1   1  6.   5 x 3 y 2 −   5 x 3 y 2 +  2   2  

18. (a + b) (a2- ab + b2)

7. (a + 3) (3 - a)

19. ( x + 1)( x2 - x + 1)

8. (- x -2) (- x + 2)

20. ( x - y) ( x2+ xy + y2)

9. (a + b + 1) (a + b -1) 10. ( x + 3 y + 2 z) ( x -3 y + 2 z)

21. ( x2 - 2) ( x4 + 2 x2 + 4)

11. (a + b - c) (a -b + c)

22. ( x2 + 2)3

12. ( x + 5)( x + 5)

23. ( xm + 2 y3)3

13. ( x3 + 3)2 14. (2 x3 ym + 3 x2 y)2

24. (3a2 - 2b)3 25. (0,5 x2 y--1 - 2 xy2)3

Exercícios de Álgebra Elementar – Prof. Ivan Monteiro b b 26. O produto de 2a 2 + por 2a 2 + é...... 3 3

(I.E. -1956 )

27. A igualdade a2 + b2 + c2 = (a + c)2 é verificada para o seguinte valor de b2: (a)0

(c) 2ac

(a + c )2 (b) 2 2 a +c

(d) 4a 2 c 2 (e) 2 ac (I.E. – 71/72)

1 1 28. Acrescentando à expressão x 4 y 2 + o termo........obtém-se o quadrado de x 2 y + . 4 2 (Seleção 3ª Série - Ginásio E. Guanabara -1961) (E.N.C.D. -1948) 29. Desenvolver (a8 b5 + c3d 6 )3 30. Quanto devemos subtrair de (a -2)3 para obter (a + 3)3? 31. Elevando x ao quadrado obtemos a2 + 2ob + b2. Podemos afirmar que x é igual a: a) (a + 2b)2 b) (a + b)2 2 c) (2a + b)2 d) ( a + b ) e) (a +b) (a -b) (Concurso Professores 5ª a 6ª Serie -1976)

GABARITO 1) x2 + 7 x + 10

10) ( x + 2 z)2 - 9 y2

2) x2 -9 x + 20

11) a2 - (b - c)2

3) x2 + 5 x –24

12) x2 + 10 x + 25

4) x2 –1

13) x6 + 6 x3 + 9

5) 4 x2 –9

14) 4 x6 y2m + 12 x5 ym+l + 9x4 y2

1 6) 25 x y − 2 6

4

15) a2b4 - 2ab2 + 1

7) 9 - a2

1 16) x − 2 y 4 − 2 y 2 + 4 x 2 4

8) x2 -4

17) 4 x2 –12 xy + 9 y2

9) (a + b)2 –1

18) a3 + b3


19) x3 + 1 20) x3 - y3

4 2 b2 26) 4a + a b + 3 9

21) x6 –8

27) c

6

4

4

28) x2 y

2

22) x + 6 x + 12 x + 8 3m

2m 3

m 6

9

29) a24bl5 + 3a16bl0c3d 6 + 3a8b5c6d l2 + c9d l8

4

2 2

3

30) –15a2 –15a -35

23) x + 6 x y + 12 x y + 8 y 6

24) 27a – 54a b + 36a b - 8b

1 3 25) x 6 y −3 − x 5 + 6 x 4 y 3 − 8 x 3 − 8 x 3 y 6 8 2

31) d

FATORAÇÃO 1. 2. 3. 4.

Fatorar 12a5b8 - 6a6b7 + 180a8b6 - 9a7b9 (E.N.C.D. -1948) Fatorar 8z(x -y) - 3(x -y) (C.N. -1952) 81x2 - y16 (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) Transforme a seguinte expressão num produto de fatores do primeiro grau:

4 2 3 x y − 25a 2 y 9

(I.E. -1954)

Decomponha em três fatores 16 x4 - 1 (C.N. -1954) Escrever todos os fatores do binômio: 256 y8 - z8 (E.N.C.D. -1951) Fatorar: y3 - x3 (E.P.C. do Ar -1958) Fatore: 9 y2 - 42 y + 49 (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) Decomponha o trinômio x2 - 7 x - 30 em um produto de fatores binômios do primeiro grau. (I.E. -1951) 10. Fatore: x2 - x - 56 (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) 11. Fatorando-se 3 x2 - 6 xy + 3 y2 obtém-se........... (I.E. -1956) 12. Decompor: ( x + y - 1)2 - 5( x + y - 1) - 6 num produto de dois fatores. 5. 6. 7. 8. 9.

(Curso C. Metropolitano -1960)

13. Fatore: mx + 5 y + xy + 5m . (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) (E.N.C.D. -1948) 14. Fatorar ab - ac + b2 - bc 15. Decomponha num produto de dois fatores binômios e polinômios: 2 - b - 2a + ab (I.E. -1951)

16. Decomponha em fatores do 1º grau a expressão seguinte: y = x3 + x2 – x – 1 (C.N. -1958)

17. Decomponha em fatores do primeiro grau a expressão: x – xy - 1 + y2 18. (I.E. -1955)


19. Decomponha em fatores do primeiro grau a expressão: a(a - 1) - b(b + 1) (E.N.C.D. -1955)

20. Fatorar x2 – 2 xy + y2 - a2 (C.N. -1951) 21. Decomponha em um produto de fatores do 1º grau a expressão: x2 - y2 + 2 yz - z2 (I.E. -1951)

22. Fatorar 4a2 + 9b2 - 25 -12ab 23. Fatorar os polinômios: a2 + 6a -7 e x4 – 2 x3 + x2 - 8 x + 8

(E.N.C.D. 1951)

(E.P.C. do Exército - Janeiro, 1953 –3º Ano)

GABARITO 1) 3a5b6 (4b2 - 2ab + 60a3 - 3a2b3) 2) ( x - y) (8 z - 3) 3) (9 x + y8) (9 x – y8) 2   2  y  xy + 5a   xy − 5a    3  4)  3 5) (4 x2 + 1) (2 x + 1)(2 x -1) 6) (16 y4 + z4) (4 y2 + z2) (2 y + z) (2 y - z) 7) ( y - x) ( y2 + xy + x2) 8) (3 y - 7)2 9) ( x - 10) ( x + 3) 10) ( x - 8) ( x + 7) 11) 3( x - y)2

12) ( x + y - 7) ( x + y) 13) ( x + 5) (m + y) 14) (b - c) (a + b) 15) (2 - b) (1 - a) 16) ( x + 1)2 ( x - 1) 17) (1 - y) ( x - y - 1) 18) (a + b) (a -b -1) 19) ( x - y + a) ( x - y - a) 20) ( x + y - z) ( x - y + z) 21) (2a - 3b + 5) (2a - 3b - 5) 22) (a + 7) (a - 1) e ( x - 1) ( x3 - x2 - 8)

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM(mmc) E MÁXIMO DIVISOR COMUM(mdc) DE POLINÔMIOS (C.N. -1956) O m.d.c. de 5 xy2, 15 x3 e 17 x5y4 é ....................... Calcular o m.d.c. entre ab - 2a - 3b + 6 e ab - 2a Calcular o m.d.c. entre a + 2; a2 - 4 e ax + 2 x Determinar o m.d.c. das expressões: x2 - 1 e x2 + 2 x - 3 (C.N. -1953) Fatorar: a3 – a 2b – ab2 + b3; a3 - b3 e a3 - 2a2b + ab2 e, a seguir, dizer qual o m.d.c. desses polinômios. 6. Calcular o m.d.c. dos polinômios: x2 + 2 x + 1 e x3 + 1

1. 2. 3. 4. 5.

(E.P.C. do Exército – Janeiro, 1953)

7. Achar o m.d.c. entre: ( x3 + 2 x2 -3 x) e (2 x3 + 5 x2 –3 x) 8. Determinar o m.d.c. de 4 x4 - x2 + 2 x -1 e 2 x3 - x2 -2 x + 1

(C.N. -1959)

(E.P.C. do Exército -1952 –3º Ano)

9. Calcular o m.m.c. entre 8 x4 y2, 16 x5 yz3 e 12 x6 y4 z


10. Calcular o m.m.c. entre a2 - b2 e a2 - 2ab + b2. 11. Calcular o m.m.c. entre ax - a; x2 - 2 x + 1 e a2 x2 - a2. 12. Calcular o m.m.c. dos polinômios: 2 x2 - x -1 e 2 x3 + 2 x2 - 2 x - 2 (E.P.C. do Exército -1953 –3º Ano)

GABARITO 1) x 2) b - 2 3) a + 2 4) x - 1 5) a - b 6) x + 1

7) x( x + 3) 8) (2x - l) ( x + 1) 9) 48 x6 y4 z3 10) (a - b)2 (a + b) 11) a2( x + 1)( x -1)2 12) 2( x + 1)2 ( x -1) (2 x + 1)

FRAÇÕES

ALGÉBRICAS

I. Simplificar: x 2 − 3 x + 2 1. 2 x − 2 x + 1

x 5 y − xy 4. 2 x y − xy

x 2 − 1 2. 2 x + x − 2

5.

a + 5 + ab + 5b a+5

x 4 + x 3 − 6 x 2 3. x 3 − 9 x

6.

35 + 5 x + 7 y + xy 5 + y

7. Simplificando a fração

15 − 9 x obtêm-se ........................... 18 x 2 − 50

(E.N.C.D.-1948) (E.N.C.D.-1959)

a 2 − 3a + 2 8. Reduza a fração 2 a expressão mais simples e, a seguir, calcule o valor a − 4a + 4 2 numérico para a = . (E. Aeronáutica -1948) 3

9 − x 2 9. 2 x + 6 x + 9 a4 − b4 10. 3 a + a 2 b + ab 2 + b 3

2ab + a 2 + b 2 − c 2 11. 2ab − b 2 − c 2 + a 2

(E. Aeronáutica – 1945)

Exercícios de Álgebra Elementar – Prof. Ivan Monteiro x 2 + x − 6 12. 3 x − 2 x 2 − 9 x + 18

(I.E. – 1945)

x 3 − 2 x 2 − x + 2 13. x 2 − 1 a 2 + 7a + 12 14. Simplificando a fração 2 encontramos: a + 6a + 9 12 19 a+4 a) b) c) a+3 9 15

4 x 2 − 4 x + 1 15. Simplifique a fração: 2 2 x + 3 x − 2 1 2 x − 1 x − 1 x − b) c) 2 x + 1 x − 2 a) x + 2

(C.N.-1958)

d)

a+7 a+6

e)

2 x − 1 x + 2

e)

4 3

(Supletivo – Rio de Janeiro)

d)

x − 4 x − 2

(E. Técnica – Rio de Janeiro – 1971)

a 2 − b 2 − c 2 − 2bc ) (a + b − c ) ( 16. (a + b + c ) (a 2 + c 2 − 2ac − b 2 ) (C.N.-1959)

II. Efetuar x 2 − 2 x − 15 x 2 − 3 x 17. • 2 x 2 − 9 x − 5 x 2 a + b + ax + bx x − 1 18. : 2 ax + bx x − x

( x + y )2 x + y : 19. x − y ( x − y )2 a 2 − 1 a 2 − 3a + 2 20. 2 : 3 x + 3 y x − y 2

(E.N.C.D. – 1948)

(I.E. – 1951)

x 3 − y 3 x 2 − x − 6 x 3 21. 2 • • x + xy + y 3 x 3 − 3 x 2 x 2 − xy x 2 − 7 x + 12 x 2 − 9 x 3 + 3 x 2 : 22. 2 • x − 6 x + 9 x 3 − 64 x 3 + 4 x 2 + 16 x −3 2

 x −1 y 14 3   y  23.  2 7 −1  •  21 4   x z   z  24. Efetue e simplifique: −3

x 4 − y 4 4 2 2 4 12 − 2 + x x y y : ( ) 2 2 2 ( x + y )

(C.P.O.R – Seleção – Novembro 1950)

Exercícios de Álgebra Elementar – Prof. Ivan Monteiro (C.N.-1957)

III - Efetuar 25.

(4a + 3b ) − 2b (2a − 4b) + (2a + 7b) • 2a − 4b (4a + 3b)(4a + b )

(a − 2)a + 1 (a 2 − 1) − 3(a − 1) 26. • (a − 1)(a + 1) (a − 2)(a + 1) (a − 1)a − 2 a 2 + (a − 2) 27. • (a − 1)(a − 2) a2 − 4 28.

(2a − 3b) + 3b (a − b)b • (a − b ) − a (2a − 3b ) • 2a

29.

4a − b (a − 2b ) + b (a − b) + 3a : • (a − 2b ) + a 3a − b 3a − b

( x − 4) x + 4 ( x − 2) x + 1 x 3 − 3 x 2 + 2 x 30. • : ( x − 4) x + 3 ( x − 2)( x + 2) x 2 − x − 6 x 2 − y 2 x 2 + xy 31. O resultado mais simples da expressão 2 : e: x − 2 xy + y 2 x − y

a) x x − y b) 2 x + xy c) x( x + y ) x − y

d)

1 x

x 2 e) 2( x − y ) (Exames Madureza – GB – 1971)

32. Efetuar, dando a resposta em sua expressão mais simples: a b c + + (a − b) (a − c ) (b − c) (b − a) (c − a) (c − b) (C.N. – 1959)

33. Reduzir a expressão mais simples: a3 b3 c3 + + (a − b) (a − c ) (b − c) (b − a) (c − a) (c − b)

GABARITO � � �

x − 2 1) x − 1

2)

x + 1 x + 2

3)

x − 2 x x − 3 2

4) ( x 2 + 1) ( x + 1) 5) b + 1 6) x + 7 7)

−3 6 x + 10


1 x − 3 13) x − 2

8) 1 4

12)

3 + x 3 − x 10) a − b 9)

11)

14) a 15) d 16) 1

a+b+c a −b+c

� � � � �

a −1 2 ) a +1

17) 1 18) 1

26) (

19) x 2 − y 2

27)

a +1 a−2

28)

b−a 2a − 3b

29)

1 2

20)

3a + 3 ax − 2 x − ay + 2 y

21) x + 2 22)

1 x 17

23) x y

1 x 31) d 32) 0 33) a + b + c 30)

35 6

24)

1 x 2 + y 2

25)

1 2a − 4b

EQUAÇÃO

DO

1º

GRAU

2a 3 3a − = ? 5 4 20 y 2. Calcule o valor de y na equação: y + = n m 1. Qual o valor de a na equação:

(E.P.C. do Ar -1951)

(Col. Pedro 11 -3~ Série Ginasial -P. Parcial -1953)

3. Resolva em relação a a, a seguinte fórmula: C =

ka − b a (E.P.C. do Ar -1951)

2

4. Quantas raízes tem a equação . (a – l ) x = a + 1, quando a = -1 ?

(C.N. -1957)

5. Quantas raízes tem a equação: (m – l) x = m2 + 1, quando m = 1? (C.N. -1957) 6. Determine os valores de m para que a equação abaixo tenha solução 2mx + 7 = 4x (l.E. -1951)

7. A igualdade (m + 3) x = 3p + 1 é uma identidade quando m ................ . e p................ (I.E. -1959)


8. Determine a a fim de que a equação (a –l ) x = b seja determinada. (C.N. -1958)

9. Para que a equação (2m –l ) x = 3 p - x - 2 não tenha solução devemos ter m ....... e p....... (I.E.-1957) 10. Para que a equação 2 x - 3 = ax + 1 seja impossível, devemos ter a = .................. (E.N.S.K. -1959)

11. Determine os valores de p e q para que a equação (5 p -1) x + q - 3 = 0 seja impossível. (I. Educação –2ª P. Parcial –3ª Série Ginasial -25/11/53)

12. Calcule o valor de k para que se torne impossível a equação: k 2 y - k 2 =: 2k + 2ky

(E.P.C. do Exército -1955)

13. Discutir as soluções da equação px + q = O. (C.N. -1952) 14. Discutir a equação (b + a) x = b2. (Exame Aptidão - Portugal -1942) 15. Sabendo que a e b são números ímpares, resolva e discuta a equação: x − a x − b x b (Pré-normal) − = + −2 a b b a ax − ab a 2 − b 2 16. Se a ≠ 0 e a ≠ -b, a solução da equação = , após as simplificações a2 (a + b )2 (E.N.C.D. -1958) é. ............................................

17. A solução da equação ax - b =.bx - a, (a ≠ b) é ...............................

(I.E. -1956)

Resolver as equações : 18.

x − 1 x + 1 + =2 1+ a 3 + a

(I.E.-1953)

19.

y + 1 y + 3 + =4 m m +1

(E.N.C.D.-1953)

20.

x + b x − a x − a −1 = − a+b b − a a2 − b2

(E.N.C.D.-1955)

21.

x + a 2b + 2 x x + b x − a + = − a −b b−a a+b a+b

(I.E.-1955)

22. Dada a equação mx – k = km – m , podemos afirmar que: a) x = -1, qualquer que sejam m e k ; b) ela e impossível; c) ela e indeterminada; d) x = -1, se m ≠ k ; e) x = 1, se m ≠ k. (Concurso Professor – Município do Rio de Janeiro – 1976)

GABARITO 1) 3


2)

mn m +1

3)

b k − c

Indeterminada: p = q = 0 Impossível: q ≠ p = 0. 14) b ≠ -a: determinada; b = a = 0: indeterminada;

4) Uma infinidade.

b = -a ≠ 0: impossível.

5) Nenhuma

15) Sempre determinada e x = b.

6) m ≠ 2

a 2 + b2 16) a+b

1 7) m = 0, p = − . 3

17) –1

8) a ≠ 1

18) a + 2

2 9) m = 0, p ≠ 3

19) 2m - 1 20) a

10) a = 2 1 11) p = , q ≠ 3 5

21)

b 3

22) d

12) K = 2 13) Determinada: p ≠ 0.

SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS.

2 x − 3 y = 4 1. O sistema  − 4 x + 6 y = −8

e indeterminado. Dê uma de suas soluções. (C.N. -1951)

ax + y = 1 2. Calcule a para que o sistema abaixo admita infinitas soluções.   x + ay = 1

(Fac. Filosofia Ciências e Letras Santo André -1914)

3. Determine o valor de a para que o sistema tenha uma única solução.  2ax + 10 y = 30   8 x + 5 y = 23

(C.N. -1911)

5 x + 2 y = 4 4. O sistema  é impossível quando b ........................... x y b 10 + 4 =  kx + 3 y = 7 5. O valor de k para o qual o sistema  não tem solução é: x y 2 − 5 = 3  a) 2

b) 5

c) 3

d) –0,8

(I.E. -1959)

e) –1,2

(Matemática –Humanas - Univ. MACK -S.P. -1915)

6. Determinar os parâmetros a c b de modo que o sistema


ax − by = 4 seja indeterminado.  x y 3 + 5 = 1  (E.P.C. do Exército –Janeiro, 1953. 1º Ano)

mx − 3 y = 2 7. O sistema  e indeterminado para m = ............. e p = ....................... 2 6 3 x y p + = −  (I.E. -1957)

2 x − 3 y = a 8. Para quais valores de a e b o sistema  será indeterminado? 4 x + by = 10 (C.N. -1951)

mx + 2 y = 7 9. Calcular o valor de m para que o sistema  seja impossível. x y 13 + 26 = 9  (C.N. -1955)

3 x + 2 y = 4m + 4 10. Calcule m e p de forma que o sistema seguinte seja impossível:  6 x − ( p + 2) y = 1 (I.E.-1955)

11. Calcule m e p de forma que o sistema seguinte seja indeterminado: 6 x + (m − 1) y = 4  9 x − 2 y = p + 1

(E.N.C.D.)

12. Se 51 x + 49 y = 35 e 49 x + 51 y = 65, então 2 x é: a) -14

b) -7

c) 7

d) 14

e) 35

(Concurso Professores - Município do Rio de Janeiro -1916)

4 x + ky = 14 13. Determinar k. para que o sistema  seja indeterminado. kx y + 9 = 21  (E.P.C. do Exército - Janeiro, 1953 e Seleção lº Científico -C. Militar -1954)

14. Determine m de modo que o sistema abaixo não admita solução. m( x + y ) = 5 − y  m( y − x + 1) = 12 − 2(3 x + 2 y ) 15. Determinar o valor de k para que o sistema seja indeterminado: 3 x = ky  12 y = kx − 1

(I.E. -1953)

(C.N. -1952)

kx − 6 y = 5k − 3 p 16. Determinar k e p para que o sistema  seja indeterminado. ( ) − 4 + 2 = 4 + 3 k x y k  (E.P.C. do Exército -1955)

mx − 6 y = 5m − 3 17. Determinar m, para que o sistema  tenha uma infinidade ( ) x m y m 2 + − 7 = 29 − 7  de soluções. 18. Determinar k, no sistema abaixo, de modo que as equações sejam incompatíveis (8k − 13) x + 5 y = 10k + 8 (E.Naval-1944)  7 2 12 14 x y k − = + 


kx − 2 y = k + 2 19. Determinar k no sistema  de modo que : ( ) x k y k 3 + 5 − = 2 + 2  1º) as equações sejam incompatíveis; 2º) o sistema seja indeterminado. 20. Qual o valor a atribuir ao parâmetro m para que os sistemas mx + 2my = 1  x = a e   mx + 3my = 2  y = −a sejam equivalentes?

(C.N. -1954)

kx − 6 y = k − 1 21. Dado o sistema  determinar k para que os valores de x e y sejam x y 2 + 3 = 11  iguais. (C.N. -1959) kx + (k − 2) y = k 22. Para que o sistema  seja indeterminado, devemos ter k igual a: ( ) k x y + 2 + 3 = 1  a) 4 b) –4 c) 1 d) –1 e) n.r.a. (Marinha Mercante -1972)

GABARITO 1) 2 e 0 2) a = -1

13) 14) 15) 16)

3) a ≠ 4 4) 5) 6) 7) 8) 9)

b ≠ 8 e

k=6 m = -1,5

Não há valor de k k = 3 e p = 20

a = 12, b = -20

17) m = 3

m = -I, p = -1 a = 5, b = -6

18) k = −

9 16 19) k = 6 e k = -1; não há valores

m = 1

10) p = -6, m ≠ − 1 11) m = − , p = 5 3 12) a

7 8

20) −

1 a

21) k =

61 6

22) d

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

1. Indique os valores de x que satisfazem a. inequação 2 x - 3 > 3 ( x - 2) (E.P.C. do Ar - Admissão -1951)


2. Dê o maior número inteiro que satisfaça a inequação: 2 -3 x > 7 (I.E. -1954)

3. O menor valor inteiro de x, para o qual a inequação 19 x - 40 > 14 x -16 é satisfeita é . (E.N.C.D.-1959)

4. O maior valor inteiro de x que satisfaz a inequação −

3 x − 1 > x e............................ 4 (E.N.C.D. -"1958)

5. Dar o menor número inteiro que satisfaz a inequação:

x x + 2 x + 2 − < 4 6 9

(I. Educação – 4º Série Ginasial –1º P. Parcial –25/6/51)

6. Resolvendo o sistema de inequações 4 x + 8 > 0 e 3 -x < 0, obtém.se, como solução. (I.E.-1959)

O menor, número inteiro que satisfaz simultaneamente as inequações 2 x < 4 e ..................................... 8. O menor número inteiro que satisfaz simultaneamente as inequações : 3 x > 9 - 5 x < -46 e .................. 9. Determine os valores de x que verifiquem o sistema:  y − 1  y − 5 > 1   3 y − 4 − 7 y − 6 < 0  2 4 7.

-2 x < 6 e (I.E. -1958)

(I.E.-1957)

(I.E.-1954)

10. Quais os valores inteiros de y que verificam, simultaneamente, as desigualdades: x − 3 2 x − >6 4 (E.N.C.D. -1951) 3 x + 7 − 1 > 2 x 2 11. Quais os valores de y para que o sistema abaixo se verifique?  y − 1  y − 5 > 1   3 y − 4 − 7 y − 6 < 0  2 4

(E.N.C.D. -1951)

12. Calcule os números inteiros que satisfaçam, simultaneamente, as desigualdades x − 3 >6 4 3 x + 7 − 1 > 2 x 2

2 x −

(I.E. -1951)

 y − 3 2 y + 3  4 < 2 − 3 13. Determine os valores inteiros que verificam o sistema   3 y − 1 < 5 − 4 y − 2  10 5 (E.P.C. do Exército -1955)


14. Qual o menor valor de x inteiro e positivo que satisfaz a condição:

3 x − 2 >1 x − 1

(C.N. -1957)

7 x − 3 > 1 e: 4 d) 1

15. Maior valor Inteiro e x que satisfaz a inequação e: x − a) - 1

b) - 2

c) 0

e) 2

(Concurso Professores - Município do Rio de Janeiro -1976)

 x − x − 3 > −1  3 16. O conjunto de soluções inteiras do sistema  e: 3 − 1 x 2 x − <3  5 a) {-3, -2, -1, 1, 2} c) {-3, -2, -1, 0, 1, 2} e) {-2, -1, 1} b) {-2, -1, 0, 1} d) {-2, -1, 0,...} 17. O conjunto solução a inequação a) { x ∈ R x > 2}

4 x − 7 > 1 e: x − 1 d) { x ∈ R x < 1 e x >2}

b) {x ∈ R x < 1 ou x > 2}

e) ∅

c) { x ∈ R1 < x < 2}

GABARITO 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

x < 3

10) 2, 3 e 4 11) y > 5 12) 4 13) 2,3 e 4 14) 2 15) a 16) b 17) b

-2 5 0 -19 x > 3 –2 10 Entre 4 e 6

EQUAÇÕES

DO

2º

GRAU

I. Calcule o valor de x nas equações: a) 15 x2 = 0 b) l4 x2 + 7 x = 0 x 2 + 2 c) =3 9

(E.P.C. do Exército –1953)


d) 4 x2 + 17 x + 4 = 0

(Maratona Intelectual -1953)

e) x 2 + 2 x − 4 = 0 f) a4m2 x2 - a6m4 = 0 g) x2 - 8ax + 15a2 = 0 a 2 − b 2 ) ( x 2 + 1) ( h) = 2 x 2 2 a +b

i) k 2 x2 - 2 pkx + p2 - q2 = 0 j)

(Escola Naval) (E.P.C. do Exército -1955)

1 1 3 + = x − 1 x − 2 2

k) 6 x-2 -17 x-l + 12 = 0

(Escola de Aeronáutica)

3

l) x = 4−

3 4 − x

m)

3 3 x − = x − 2 x − 1 ( x − 2) ( x − 1)


n)

x + a x + b + = −2 x − a x − b


II. Faça o que se pede ou responda ao que se pergunta: 1. Determine o valor da maior raiz da equação 3 x2 + 4 x - 2 = 0 (E.P.C. do AI -1951)

2. Calcule o valor da raiz de maior valor absoluto na equação 2 x2 + 3 x -2 = 0 3. Calcular m na equação mx2 - 3 x + m - 1 = 0 de modo que a unidade seja sua raiz. 3 4. Sabendo que − é raiz da equação 5mx2 - 5 x - 1 = 0, calcule o valor de m. 5 5. Sem efetuar o produto dos primeiros membros das equações: ( x -2) ( x + 2) = 0 e (2 x + 1) (3 x - 5) = 0 , calcule as raízes. a−2 é uma de suas raízes. 3 7. Determinar m e p de modo que sejam nulas as raízes da equação: (E.P.C. do Exército -1953) m( x2 - x + 1 + m) + px = x + 2 8. Que valores pode assumir o parâmetro k para que a equação abaixo tenha uma das (E.P.C.doExército-1953) raízes nulas? x 2 − 6 x + k 2 − 3k − 4 = 0

6. Sem resolver a equação 9 x2 - 6ax + a2 - 4,= 0, diga se

9. Determinar k de sorte que a equação ( x - k )2 + 3 ( x - 2k ) = 0 tenha uma raiz igual a zero. (Col. Militar - Seleção 1º Científico -1954)


10. Qual o valor de m para que a equação (m -1 ) x2 + 3 mx – 2 m = 0 tenha uma só raiz não nula?. 11. Determinar os valores de m para que a equação abaixo tenha raízes iguais: x2 - (m - l) x + m - 2 = 0 (E.P.C. do Exército- Julho, ,1953) 12. Determinar m para que a equação x2 - m( x -1) = 2 - x tenha uma raiz dupla. 13. Determinar k de modo que as raízes da equação 5 x2 + 9 x + k = 0, sejam reais e desiguais. (E.P.C. do Exercito -1953) 14. Achar m para que a equação (2m + l) x2 + 4mx + 2(m -1) = 0 tenha duas raízes distintas. 15. Qual a condição para que as raízes da equação mx2 + nx + p = 0 sejam imaginárias? (E.P.C. do Ar -1951)

16. Achar m para que a equação 4x2 - 4 x + 2m - 1 = 0 não possua raízes reais. 17. Dada a equação 3 x2 - 7 x + 1 = 0, determinar x' + x" e x' •. x"; sem resolver a equação. (E.P.C. do Ar -1952) 18. Sem resolver as equações abaixo, determinar a soma e o produto das raízes: a) 2 x2 + 6 x-1 = 0 c) x2 – ax – x + a = 0 d) (m - 2) x2 + (m + 2) x – m2 + 4 = 0 b) 4 x 2 + 3 2 x − 12 2 = 0 19. Determine os valores de k para os quais a equação: (9k -12) x2 - (2k + 7) x + k + 5 = 0 1º) tem raízes simétricas; 2º) tem uma só raiz nula. 2

(E.P.C. do Exército – 1955)

20. Calcule a soma dos quadrados das raízes da equação x - 2 x + 6 = O (I. Educação -2~ P. Parcial -1953)

21. Sem resolver a equação 3 x2 - 2 x - 5 = 0, calcule a soma dos inversos de suas raízes. 22. Calcular h na equação (h + 3) x2 - 2(h + l)x + h -10 = 0 de modo que a soma dos 1 inversos da raízes seja . (E. Aeronáutica -1942) 3 23. Dada a equação x2 - 5 x + q = 0, achar q de modo que: a) uma das raízes seja 3; 5 b) a soma dos inversos das raízes seja . 4 (Col. Militar - Admissão -1945)

24. Determinar k na equação x2 + kx + 36 = 0, de modo que entre as raízes x' e x" exista 1 1 5 a relação: + = (E.P.C. do Ar -1957) x' x" 12 25. Sem resolver as equações abaixo diga qual o sinal de suas raízes: a) 2 x2 - 8 x + 5 = 0 d) m2 x2 - 2 x + 1 = 0 b) 3 x2 + 5 x + 1 = 0 e) x2 + m2 x + 1 = 0. c) 5 x2 - 2 x + 8 = 0 26. Sem resolver a equação 5 x2 + 22 x -15 = 0 diga:


a) se as raízes têm o mesmo sinal; por quê? b) qual o sinal da maior raiz; por quê? (E.P.C. do Ex. -1952)

27. Reconheça os sinais da seguinte equação: ax2 + a3 x + a2 + b2 = 0. (E.P.C. do Exército -1955)

28. Calcular m na equação mx2 - 3 x + 1 = 0 de modo que suas raízes sejam positivas. 29. Calcular o menor valor inteiro de m para o qual as raízes da equação mx2 + 3 x -1 = 0 são positivas. 30. Calcular o valor inteiro de m para o qual a equação 2 x2 + 3 x + m = 0 tem raízes reais, desiguais e negativas. 31. Calcular m de modo que a equação. (m - 2) x2 + 2 x -1 = 0 tenha raízes de sinais contrários sendo a maior, em valor absoluto, negativa. 32. Determine os sinais de xl e x2 ( x1<  x2), raízes da equação em x: x2 + bx + c = 0 onde b > 0 e c < 0 (C.N. -1958) 33. Formar as equações cujas raízes são a) 2 e -5. b) -0,5 e 0,4 (Col. Pedro 11 - Art. 91) c) ±k d) 2 + 3 e 2 − 3 .

(Col. Pedro 11 -P. Parcial -1953)

34. Compor a equação do 2º grau cujas raízes são os valores absolutos de x e y no 2 x + 2 y = 3 Sistema  3 xy = 1 35. Estabelecer a equação do 2º grau cujo produto de suas raízes e 1 e a maior e 2+ 3 36. Qual o valor de k que torna equivalentes, no campo real, as equações: ( x2 + 1) • ( x - k ) = 0 e -7 x + 2 = -3 x ? (C.N. -1957) 37. Calcule a menor raiz da equação px2 + px + 2 = 0 sabendo que, se subtrairmos uma unidade do valor de p obteremos uma nova equação do 2º grau, cujas raízes são (E.N.C.D. -1958) iguais. 38. Determinar c na equação x2 -10 x + c = 0, de modo que uma raiz seja o quádruplo, da outra. 39. Determinar c na equação, de modo que suas raízes sejam consecutivas: x2 -7 x + c = 0. 40. Determinar b na equação 2 x2 + bx + 1 = 0 de modo que uma de suas raízes seja a metade da outra. 41. Calcular o menor de m na equação mx2 - (3m – l ) x + m = 0 de modo que a razão entre suas raízes seja 1/4. 42. Calcular m de modo que as raízes da equação abaixo existam e sejam inversas. 2 x2 + 5 x + 2m - 3 = 0.


43. Os números a e b são raízes da equação em x: 10 x2 + 3 x + 10ab = 0; calcule a e b sabendo-se que o quíntuplo do inverso de a é igual ao simétrico do dobro do inverso de b. (C.N. – 1º Concurso - 1958) 44. Dada a equação 2 x2 – 3 x + 4 = 0, cujas raízes são x' e x", forme outra equação cujas 1 1 e raízes são . x' x" 45. Dada a equação x2 – 14 x + 25 = 0, formar outra equação cujas raízes sejam, respectivamente, a média aritmética e a média geométrica das raízes da equação dada. 46. Dada a equação x2 - 6 x + 25 = 0 determinar a equação do 2º grau cujas raízes são as médias aritmética e geométrica das raízes da equação dada. (C.N. – 1º Concurso - 1959).

47. Dada a equação x2 - 2 px + q2 = 0, forme outra equação do 2º grau cujas raízes sejam, respectivamente; a média aritmética e a média geométrica das raízes da equação dada. (E.P.C. do Exercito -1955) 48. Determine c na equação 4 x2 - 12 x + c = 0 de modo que a diferença das raízes seja nove. (C. Naval -1956) 49. Completar: a) A equação incompleta do 2º grau que tem uma raiz nula é da forma.................... = 0. b) Quando a soma das raízes da equação do 2º grau for nula, a equação é do tipo.....= 0 c) Supondo a > 0 e sendo x' e x" as raízes de ax2 + bx + x = 0 quando x’• x" < 0 c teremos ................ 0. (E.P.C. do Exército -1953) −a 50. A diferença das raízes da equação 4 x2 - 15 x + p = 0 é (a) 9 (d)

15 4

(b) 3 (e)

9 . O valor de p é: 4 (c) –9

4 15

(I.E. -1972)

51. Resolva equação: abcx2 - (a2b2 + c2)x + abc = 0 (a)

ab c e c ab

(b) a (b + c ) e b(c + a)

(c)

b a e ca cb

(d) abc e − abc

(e)

e a e ab bc (E. Técnica -1971)

52. Determinar k na equação x2 - 4 x + k = 0 sendo R e S as suas raízes e sendo: (C.N.-1971) S S • RR • S R • RS = 256. 53. Qua1 a resposta que você aceitaria de seus alunos para a expressão b as raízes da equação x2 - 4 x + 12 = 0 ?

1 1 + , sendo a e a b


(a) 3 (b) –3 (c)

1 3 (e) Impossível calcular (d) −

1 3

(Concurso Professores Estado RJ - 1976)

54. Na equação x2- 4 x + k = 0 onde a e b são suas raízes e aa • bb • ab • ba = 16 , o valor de k 2 é: (a)1 (b)9 (c)4 (d)16 (e)25 (Concurso Professores - Município do Rio de Janeiro -1976)

GABARITO � � �

a) 0 e 0 b) 0 e − c) ±5

1 2

1 4 2 e −2 2 ±am 5a e 3 a a+b a−b e a −b a+b

d) –4 e − e) f) g) h)

p ± q k 4 j) 3 e 3 3 2 e k) 4 3 l) 3 e 1 m) x = 3 (1 é raiz estranha, pois anula o m.m.c.). a+b n) 0 e 2

i)

� � � � �

81 20

− 2 + 10 3 2) –2 3) 2

13) k <

10 4) − 9

15) n 2 < 4mp

1)

1 5 5) 2, -2 e − , 2 3 6) Sim 7) m = -2, p = -1 ou m = 1 , p = 2 8) 4 ou –1 9) 0 ou 6 10) Não há valor de m 11) 3 12) 3

14) m > −1 e m ≠

16) m > 1 17)

7 1 e 3 3

18) a) –3 e − 19) -3,5 e -5 20) -8 21) -0,4 16 5 23) 6 e 4 22) −

1 2

1 2


24) -15 25) a) Positivas; b) negativas; c) não tem raízes reais; d) positivas; e) negativas. c < 0 ; b) maior raiz é positiva, porque um número a positivo é maior do que um negativo; a maior raiz, em valor absoluto, é negativa −b porque a soma < 0. a 27) Se a > 0 negativa; se a < 0, de sinais contrários, sendo a maior em valor absoluto negativa.

26) a) Não, porque o produto

30) 1 31) m > 2 29) –2 32) x1 > 0 e x2 < 0 33) a) x2 + 3 x -10 = 0 ; b)10 x2 + x - 2 = 0; c) x2 – k 2 = 0; d) x2 - 4 x + 1 = 0 34) 6 x2 - 9 x + 2 = 0 44) 4 x 2 − 3 x + 20 = 0 35) x2 - 4 x + 1 = 0 45) x2 – 12 x + 35 = 0 28) 0 < m ≤ 2

1 4

46) x2 – 8 x + 15 = 0 47) x2 – ( p + q) x + pq = 0 48) –72

1 36) 2 2 3 38) 16 39) 12 37) −

49) ax2 + bx = 0; ax2 + c = 0;

40) ±3 2 11 42) 2,5 41)

43) a = −

1 1 e b= 2 5

c >0 −a

50) a 51) a 52) 4 53) c 54) c

EQUAÇÃO BIQUADRADA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Resolver: 5x4 = 0 Resolver: 4 x4 - 1 = 0 As raízes da equação 3 x4 - 6x2 = 0 são ....................... As raízes da equação x4 - 5 x2 + 4 = 0 são..................... Resolver: 4 x4 - 9 x2 + 2 = 0 Resolver: 214 – 512 - 3 = 0 Resolver: c4 x4 + c2(a2 - b2)x2 – a2b2 = 0

(I.E. e C.D. - 1957) (I.E. -1956)

(F. Eng. S.P. -1975) (E.P.C. do Ar -1957)

Exercícios de Álgebra Elementar – Prof. Ivan Monteiro 2

2

 x   x  10 8. Resolva a equação:  (C.N. -1958)  +  = 9  x − 1   x + 1  9. Resolver: 5 x-4 – 2x-2 - 3 = 0 10. A soma das raízes da equação 3 x4 + x2 + 5 = 0 é igual a ................... (I.E..- 1959) 11. Uma das raízes da equação x4 - bx2 + 36 = 0 é 3. Calcular as outras, sendo b constante. (C.N. -1959) 12. Calcule a média aritmética das raízes da equação: x4 – 5 x2 + 4 = 0 (C.N. -1957) Compor as equações de raízes:

13. ± 2 e ± 3 14. ± 2a e ±

1 2a

15. ±2m e ±m 16. ± 3 + 5 e ± 3 − 5 17. Qual a equação biquadrada que possui uma raiz nula e uma. raiz igual a –2 ? 18. A equação biquadrada, de coeficientes inteiros e primos entre si, que apresenta as raízes -3 e +2 é ..................................... (E.N.C.D. -1958) 19. Resolva a equação: x4 - 8 x2 + 9 = 0, transformando as raízes em radicais simples. Sem resolver as equações abaixo, dizer a natureza de suas raízes:

20. 2 x4 - 3 x2 + 5 = 0 21. x4 – 2 x2 -15 = 0 22. 9 x4 - 6 x2 + 1 = 0 23. 4 x4 + 4 x2 + 1 = 0 24. Calcular m para que a equação tenha duas raízes nulas: x4 - 3 x2 + m -1 = 0 25. A equação mx4 + ( p + 1 ) x2 + m2 + m = 0 tem todas as suas raízes nulas se ............ 26. A equação x4 – 2 x2 + m -3 = 0 tem duas raízes nulas e duas reais e simétricas se........ 27. Para que a equação 2 x4 + 3 x2 + m + 1 = 0 tenha duas raízes nulas e duas imaginárias. temos...................... 28. Para que a equação x4 + ax2 + 4 = 0 tenha raízes deveremos ter................. (E.N.S.K. - 1959)

GABARITO 1) Todas nulas 2) ±

2 2

3) 0, 0, 2 e - 2 4) ±4 e ±1

5) ±

1 e ± 2 2

6) ± 3 7) ±

b c


8) ±

1 2

19) ± 7 2 + 1 2 e ± 7 2 − 1 2

9) ± 1 10) 0 11) -3 e ±2 12) 0 13) x4 - 7 x2 + 12 = 0 14) 4a2 x4 - (8a3 + l) x2 + 2a = 0 15) x4 - 5m2 x2 + 4m4 = 0 16) x4 - 6 x2 + 4 = 0 17) x4 – 4 x2 = 0 18) x4 - 13 x2 + 36 = 0

20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27)

Não tem raízes reais Duas reais simétricas Duas a duas reais e simétricas Não tem raízes reais m=1 m = p = -1 m=3 m = -1

28) a ≤ -4

EQUAÇÃO IRRACIONAL Resolver: 1. 2 x 2 − 1 = x 2.

3

3 x − 1 = 1

3. 1 + 3 x − 5 = x 4. x x = 2 5.

x + 7 + 1 = 2 x

6. 1 + x 2 − 1 = x

(I.E.-1956)

2 x = 3 + x − 1

(I.E.-1959)

7.

8.

4 x + 7 − 2 x + 8 = 0

9.

x + 7 = 5 − x + 2

10. 6 + x + 2 x + 10 = 1

(C.N.-1959)

11. x + 3 + x − 2 = 3 x + 7 12.

x + 1 + x − 1 = 2 x + 1

(C.N.-1959)

13. 2 + x + 3 − x = 5 14. 2 + 2 x − 2 = 2 15. 21 − 4 3 x − 6 = 3 16.

2 x − x = 3 3

(I.E. e E.N.C.D.-1957)


17. x 1 2 + ( x + 5)1 2 = 5 18. x +

1 =2 x

19. x − 4 x = 6 20. 6 x + 3 x = 30

GABARITO 1) 1 2) 3) 4) 5) 6) 7)

12) ±

2 3 2 ou 3 4 2 1 2

5 2

13) 3 14) 3 15) 5 16) 9 17) 4 18) 1 19) 81 20) 15.625

1 2 9) 2 10) –5 11) 6 8)

SISTEMAS

DE EQUAÇÕES

(PARTE 2)

1. Calcule os valores reais x e y, que são soluções dos seguintes sistemas redutíveis ao 2º grau.  x 2 − y 2 = 16 1.  2  x − y 2 + xy = 31

 x 2 − y 2 = 10 2.   xy = 3 9 x 2 + 2 y 2 = 17 3.  2 4 x − 3 y 2 = −8


1 1  x − y = 2 4.   1 − 1 = 16  x 2 y 2  x 2 + y 2 25  x 2 − y 2 = 7  5.   x = 48  y

(E.Militar-1937)

 x 2 + y 2 − ( x + y ) = 48 6.   x + y + xy = 31

(E.Militar-1940)

2 x + y = 7 7.   x + y = 4  x 2 + y 2 = 3 8.  2  x + y = 3

GABARITO 1) 5 e 3; -5 e –3 x = ±3 e y = ±1 2) x = ±1 e y = ±2 3) x = ±1 e y = ±2 4)

5) 8 e 6; -8 e -6 6) 3 e 7; 7 e 3 7) x = 3 , y = 1 8)

2 e 1; 3 e 0

1 1 e 5 3

PROBLEMAS 1ª PARTE 1. Qual é o número, cujos

2 3 mais os , mais 54 é igual ao próprio número, mais 72? 5 7

(E.N.C.D. -1948)

2 2. Que horas são, se o que ainda resta para terminar o dia e do que já passou? 3 3. As idades de João e Pedro somam 45 anos e há 5 anos a idade de João era quatro (E.P.C. do Ex. -1953) vezes a de Pedro. Que idades têm agora João e Pedro? 4. Roberto tem 24 anos e Paulo 10. No fim de quantos anos a idade de Roberto será o (C.N. -1951) triplo da de Paulo?


Dois indivíduos têm: o primeiro 45 anos e o segundo 15. Depois de quantos anos a idade do 2º será um quarto da idade do 1º ? (E.P .C. do Ex. -1954) 6. A soma das idades de A e B é 35. Daqui a 5 anos a idade de A será o dobro da de B. Calcular as idades de A e B. (C.N. -1955) 7. Um pai tem 32 anos e o seu filho 14. Quando aconteceu ou acontecerá que a idade de um seja o triplo da do outro? 5.

8. Um pai diz a seu filho: hoje, a sua idade é

2 1 da minha e há 5 anos era . Qual a 7 6

(E.P.C. do Ex. -1953) idade do pai e qual a do filho? 9. Resolva o problema: Há 18 anos, a idade de uma pessoa era o duplo da de outra; em 5 9 anos a idade da primeira passou a ser da segunda. Que idade têm as duas 4 atualmente? (E.P.C. do Ex. -1952) 10. Uma pessoa possui 2 cavalos e uma sela que vale R$ 15,00. Colocando a sela no primeiro cavalo, vale este o dobro do segundo. Colocando-a no segundo, vale este R$ 30,00 menos que o primeiro. Quanto vale cada cavalo? (Maratona Intelectual -1953)

11. Duas vasilhas contêm, em conjunto, 36 litros de água. Se transferíssemos, para a que 2 tem menos água, da água contida na outra, ficariam ambas com a mesma 5 (E.N.S.K; -1959) quantidade de água. Quantos litros contém cada vasilha? 12. Tenho R$ 53,00 em notas de R$ 5,00 e de R$ 1,00. Sabendo que o total de notas é 21, calcular o número de notas de cada valor. 13. Têm-se galinha e carneiros, ao todo 21 cabeças e 50 pés. Quantos animais há de cada espécie? (Col. Pedro II - Artigo 91 -1949) 14. Resolver o seguinte problema: Num depósito, há viaturas de 4 e de 6 rodas, ao todo 40 viaturas e 190 rodas. Quantas viaturas há de cada espécie, no depósito? (A (E.P.C. do Exército - Julho, 1953, 1º Ano)

solução deve ser algébrica.)

15. Duas torneiras enchem um tanque em 4 horas. Uma delas, sozinha, enchê-lo-ia em 7 horas. Em quantos minutos a outra, sozinha, encheria o tanque? (C.N. -1952) 16. Uma torneira enche um tanque em 12 e outra em 18 horas. Em quantas horas e minutos as duas juntas encherão o tanque?

GABARITO 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

-105 14h 24min 33 e 12 Há 3 anos Há 5 anos 25 a 10 Há 5 anos 35 e 10 anos

9) 24 e 21 10) R$ 60,00 e R$ 105,00 11) 30 e 60 12) 8 e 13 13) 17 e 4 14) 25 e 15 15) 560 16) 7h 12min


2ª PARTE 1. Determine dois números cuja soma seja (-2) e o produto seja (-15). Solução algébrica. (E.P.C. do Exército -1952) 5 e a diferença entre seus quadrados 7 excede de 5 centenas o quádruplo do menor. Calcular os números.

2. Dois números inteiros estão entre si na razão

(E.P .C. do Exército -1953)

3. Qual o maior de dois números cuja soma é 2 e cujo produto é

3 ? 4

(C.N. -1951)

4. A soma de dois números é 100 e o produto, 1.875. Determinar estes números. (E.N.C.D. -1948)

5. A soma de dois números é 14 e a soma dos seus quadrados, 100. Quais são os (E.P.C. do Exército - Julho, 1953) números ? 5 6. Qual o menor dos dois números cuja soma é 2 e o produto é ? 9 7. A diferença de dois números é uma dezena. Qual o menor dos dois números, se ele excede a raiz quadrada do maior de 2 unidades. 8. A soma dos quadrados de dois números inteiros e positivos é 41. Achar esses números, sabendo-se que são consecutivos. 9. A diferença dos quadrados de dois números inteiros é 32. O triplo do menor excede o dobro do maior de 3 unidades. Achar os números. 10. A soma dos quadrados de dois números inteiros é 41. Três vezes um deles é igual ao dobro do outro mais duas unidades. Achar os números. (E.N.C.D. - 1950) 11. A soma de dois números é 7 e o primeiro mais a raiz quadrada do segundo é 5. Achar os números. 12. A soma de dois números é 13; o primeiro mais a raiz quadrada do 2º é 7. Calcular (C.N. –1953) esses números. 13. O produto dos dois algarismos de um número é 12. Trocando a posição dos algarismos, obteremos um outro número que excede o primitivo de 36 unidades. Qual o número? 14. Determinar um número de dois algarismos, tal que, dividindo-o pela soma dos algarismos. é igual ao quociente 4; e que o produto destes algarismos mais 52 é igual ao número, escrito em ordem inversa. (C.P.O.R. - Seleção -1950)

GABARITO 1) 2) 3) 4) 5) 6)

-5 e 3 25 e 35 1,5 75 e 25 6e8 1/3

7) 6 8) 4 e 5 9) 7 e 9 10) 5 e 4 11) 3 e 4 12) 4 e 9


13) 26

14) 48

3ª PARTE I. Resolva: 1. A soma de dois números é 48. Um deles é o dobro do outro. Calcule o menor. 2. João e Pedro têm juntos 44 anos, João tem o triplo da idade de Pedro. Calcule suas idades. 3. Comprei um terno e uma camisa por R$ 800,00. O terno custou o triplo do preço da camisa. Qual o preço do terno? 4. A soma de dois números é 72 e o quociente exato da divisão desses números é 5. Quais são esses números ? 5. Eu sou. 26 anos mais velho do que minha filha. Qual a minha idade se é o triplo da de minha filha? 6. Um pai tem 30 anos e seu filho 6. Daqui a quantos anos a idade do pai será o dobro da do filho? 7. Eu tenho 37 anos e minha melhor aluna 15 anos. Há quantos anos eu tive o triplo de sua idade? 8. Um pai tem 37 anos e o filho 7. Quando aconteceu ou acontecerá da idade do pai ser o triplo da do filho? 9. Um pai tem 50 anos e os seus três filhos 5, 7 e 10 anos, respectivamente. Daqui a quantos anos os filhos, juntos, terão a mesma idade do pai? Sugestão: é bom lembrar que, cada ano, a diferença entra a idade do pai e dos filhos, juntos, diminui de 2 anos.

GABARITO 1) 2) 3) 4) 5)

16 33 e 11 R$ 600,00 12 e 60 39

6) 7) 8) 9)

18 4 Daqui a 8 anos 14


DESAFIOS 1. Determine o polinômio P( x), do 2º grau, tal que P(-1) = 1, P(1) = 2 e P(2) = 3. 2. Determine a equação do 2º grau cuja menor raiz é 2 − 3 e o produto das duas raízes é 1. 3. Dados dois conjuntos A e B tais que n.(Α ∪ Β) = 10, n.(Α ∩ Β) = 5 e n.(Α) 〉 n.(b), pode-se afirmar que a soma dos valores possíveis paras n.(Α − Β) é: a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 c) 12 (Col. Naval – 1998)

4. A solução da equação x + 1 − x = a) b) c) d) e)

1 é: 4 x

Uma dízima periódica. Um n.º natural, quadrado perfeito. Um n.º racional cujo inverso tem 4 divisores positivos. Um n.º irracional Inexistente (Col. Naval – 1996) 9

x8 17 = é: 5. O quociente entre a maior e menor raiz da equação x + 4 x 9

(Col. Naval – 1994)

2

6. A soma e o produto das raízes da equação ( x 2 − 5 x + 6) − 5( x 2 − 5 x + 6) + 6 = 0 são, respectivamente: (Col. Naval – 1996)

a −2 + b −2 (ab ≠ 0, a + b ≠ 0) é igual a: 7. a −1 + b −1

1 1 + a b e) NRA

b2 + a2 a) b+a

d)

b2 + a2 b) ab(b + a )

c)

b+a ab

8. Calcule

a b c + + (a − b )(a − c ) (b − c )(b − a) (c − a)(c − b) 2

2

9. Demonstre identidade de Platão. (a 2 + b 2 ) = (a 2 − b 2 ) + (2ab)2 10. A média aritmética de 50 número é 38. Se dois dos números, 45 e 55. São suprimidos, a média aritmética passa a ser: a) 35,5 c) 37,2 b) 37 d) 37,5


e) 37,52 p uma fração irredutível, que número se deve subtrair de seus termos para q se obter p inverso dessa fração? 12. Se na fórmula Ζ = xy 2 , x e y descrevem de 25%, Ζ .

11. Sendo

a) Decresce 50% b) Decresce 75% c) Decresce

37 do seu valor 64

d) Decresce

27 do seu valor 64

e) N R A 2

13. As raízes de x + x − 6 = 0 a) b) c) d) e)

São positivas Têm produto igual a –6 Têm soma 0 Têm soma 1 NRA

14. Calcule a soma dos cubos das raízes da equação x 2 − 6 x − 2 = 0. 15. Calcule m de modo que uma das raízes de x2 + mx + 27 = 0, seja o quadrado da outra. 16. Dada a equação 2 x2 + x + 1 = 0 de raízes x1 e x2 , calcule o valor da expressão x1 x 2 + . 1 + x12 1 + x22 17. Determinando-se os pares ( x,y) de números reais que satisfaçam às condições  y = x 2 + 2 x  2 2  x + y ≤ 1 tem-se:  y = x  a) b) c) d) e)

Dois pares Nenhum par Três pares Uma infinidade de pares Um único par

x 2 − 5 x + 4 18. Verifique se existem números inteiros positivos x tais que 2 ≤ 0. x − 3 x − 28 19. Cada sistema disposto na primeira coluna possui uma correspondente representação gráfica, constante da segunda coluna.

Exercícios de Álgebra Elementar – Prof. Ivan Monteiro Y

 y + x = 0 S 1  2  y = x

(

)

X

 y = x 2 S 2   y = 2 x − 1

(

)

Y

X

 y = x 2 S 3   y = 2 x − 4

(

)

 x + y = 2 S 4   x − y = −1

(

)

− x + y = 2 S 5  − 2 x + 2 y = −2

(

)

Assinale a seqüência resultante da correta associação das duas colunas. a) S 4 – S 5 – S 2 – S 3 – S 1 b) S 1 – S 2 – S 4 – S 5 – S 3 c) S 5 – S1 – S4 – S3 – S2 d) S 5 – S2 - S3 – S4 – S1


e) S 5 – S4 – S2 – S3 – S1 20. Sabendo que os números inteiros q e r são tais que q 2 • r + q • r 2 = 6 , podemos afirmar que q e r são as raízes da equação. a) 2 x2 + 4 x – 6 = 0 b) x2 – x – 12 = 0 c) 3 x2 – 9 x + 4 = 0 d) – x2 + 6 x + 1 = 0 e) –2 x2 – 12 x + 6 = 0 2

 x + y  x 2 + y 2  = 2 2 no universo dos números 21. Sobre o conjunto verdade da equação  x y •   x • y podemos afirmar que. a) É infinito b) É vazio c) É unitário d) Contém números negativos e) Contém dízimas periódicas.

ÁLGEBRA Ex1 . Prove que :

(1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) = = (1 − x ) (1 − y ) (1 − z ) Ex 2 : Simplifique

a)

1 1 1 + + a(a − b ) (a − c ) b(b − a ) (b − c) c(c − a) (c − b)

b)

1 1 1 + 2 + 2 a (a − b ) (a − c ) b (b − a ) (b − c) c (c − a) (c − b) 2

Ex 3: Mostre que:

a2

( x − b) ( x − c) 2 ( x − c ) ( x − a ) 2 ( x − a ) ( x − b) 2 +b +c = x (a − b) (a − c) (b − c ) (b − a ) (c − a ) (c − b)

Ex 4: Mostre que:

( x − b) ( x − c) ( x − c ) ( x − a ) ( x − a ) ( x − b) + + =1 (a − b) (a − c ) (b − c ) (b − a ) (c − a ) (c − b) Ex 5: Mostre que se a + b + c = 0

a − b b − c c − a   c a b  Então :  + + + +   =9 a b   a − b b − c c − a   b

Exercícios de Álgebra Elementar – Prof. Ivan Monteiro Ex6 : Simplifique a seguinte expressão:

a 2 − bc b 2 − ac c 2 − ab + + (a + b ) (a + c ) (b + c) (b + a) (c + a) (c + b) Ex7 : Calcule S =

1 1

1+

1

1+ 1+

1 1 + ..............


PROVAS MINISTÉRIO DA DEFESA . EXÉRCITO BRASILEIRO DEP - DFA - EsS A Concurso de Admissão aos CFS/2000 EXAME INTELECTUAL

APROVO: Diretor de Ensino da Essa

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Inicialmente, confira os campos de identificação do candidato na Folha Respostas e na Folha de Redação, seguindo a orientação do aplicador da prova. A solução das Provas só será válida na Folha de Respostas e na Folha de Redação. Não serão fornecidas Folha de Respostas reserva e Folha de Redação reserva por erro do candidato. Folhas reservas só serão fornecidas nos casos de falha de impressão. Ao terminar, verifique o preenchimento e entregue a Folha de Respostas, Folha de Redação e a Prova ao aplicador. A Prova e o gabarito estarão à disposição dos interessados em data, hora e local informados pela Comissão de Aplicação. Só será permitida a saída do local da prova após transcorridas 02 h 40 min (duas horas e quarenta minutos) do tempo total destinado à realização das provas (após às 11:40 hs) . Tempo de duração das Provas (Múltipla Escolha + Redação): 04 horas

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1. Para armar um circo, 50 homens levam 2 dias, trabalhando 9 horas por dia. Com a dispensa de 20 homens, em quantos dias o circo será armado, trabalhando-se 10 horas por dia? (A) 7 dias; (B) 6 dias; (C) 5 dias; (D) 4 dias; (E) 3 dias. 2. Seja ABCOE... um polígono regular convexo onde as mediatrizes dos lados AB e CD formam um ângulo de 30°. Sendo assim, temos que o número de diagonais desse polígono é igual a: A) (A)252; (B) 251; (C) 250; (D)249; (E) 248. 3. A expressão algébrica x2 - y2 – z2 + 2 yz + x + y – z, admite como fator: (A) –x + y + z + 1; (B) x – y – z + 1; (C) x + y – z + 1; (D) x – y + z + 1; (E) x + y + z + 1. 4. Dos 800 sargentos formados pela EsSA a cada ano, 5% pedem para sair do Exército ao completarem 5 anos de serviço. Então, a quantidade de sargentos formados pela EsSA após 12 anos e que ainda estão em atividade é: (A)96OO; (B) 9460; (C) 9280; (D)9120; (E) 8800;


5. Considere os pontos colineares A, B, O e C na ordem OABC. Se AO = 3 cm, OB = 5 cm e 4AB + AC – 2BC = 6cm , então a distância, em cm, entre os pontos O e C é igual a: (A) 5; (B) 6; (C) 7; (D) 8; (E) 9. 6. Duas pessoas, fazendo seus exercícios diários, partem de um mesmo ponto e contornam, andando, uma pista oval. Uma dessas pessoas anda de forma mais acelerada e dá uma volta completa na pista em 12 minutos, enquanto a outra leva 20 minutos para completar a volta. Depois de quanto tempo essas duas pessoas voltarão a se encontrar no ponto de partida? (A) 40 minutos; (B) 50 minutos; (C) 60 minutos; (D) 70 minutos; (E) 90 minutos. 7. A potência (2°,12121212...)990 tem quantos divisores naturais ? (A) 12; (B) 13; (C) 120; (D) 121; (E) 991. 8. Numa circunferência, uma corda de 60 cm tem uma flecha de 10cm. O diâmetro da circunferência mede: (A) 50 cm; (B) 100 cm; (C) 120 cm; (D) 180 cm; (E) 200 cm. 9. A soma dos inversos das raízes da equação x2 - 36 x + 180 = 0 é: (A)

1 ; 5

(B)

1 ; 6

(C)

1 ; 30

(D)

1 ; 36

2 ; 15 10. Um grupo de 18 homens pretendem construir um muro em 15 dias. Ao final de 10 2 dias perceberam que só haviam realizado da obra. Se o grupo for reforçado com 5 mais 12 homens, quanto tempo a mais que o pretendido levarão para concluir a obra? (A) 2; (B) 4; (C) 7; (D) 9; (E) 10. (E)


2ª Prova de Matemática

AB // CB AB AB 1 =1 e = CA CD 2

( x + 1)100 • ( x − 1)49 1. valor da expressão para x = 101/99 é: 50 99 (1 − x ) • (− x − 1) (A) -1

(B) 100

(C) 1

(D) -100

(E) 101

2. Observando a figura2 (Fig.2) acima, concluí-se que o valor do ângulo a é: (A) 70°

(B) 800

(C) 75°

(D) 85°

(E) 650

3. O número natural N = (105 + 3.104 + 7.103 + 440 + n ) é divisível por 13, n é um número natural menor que 10, e q é o quociente da divisão de N por 13. Logo, o valor de q + n é: (A) 13052

(B) 10582

(C) 10739

(D) 10126

(E) 10026

4. O suplemento do ângulo 45° 17' 27" foi dividido em três partes iguais. A medida de cada parte é: (A) 22°54'41" (B) 44°54'11" (C) 11°34'51" (D) 34°42'33" (E) 54°44'33" " 5. Um triângulo tem lados que medem 6, 9 e c . O número máximo de elementos do conjunto que podem ocupar o lugar de c é: (A) 5

(B) 6

(C) 9

(D) 3

(E) 7

6. Numa determinada escola, onde 40% dos alunos são do sexo masculino, foi feita uma pesquisa sobre conhecimentos na área de informática, com o seguinte resultado: a) 18% dos alunos não têm conhecimento na área de informática. b) 30% dos alunos do sexo masculino não têm conhecimento na área de informática.


Pode-se concluir, portanto, que a razão entre ,a quantidade de alunas desta escola que não tem e as que tem conhecimento, na área de informática é: (A) 1/4 (B) 1/6 (C) 1/5 (D) 1/10 (E) 1/9 7. Uma empresa de telefonia precisa implantar torres de comunicação ao longo de três rodovias distintas, que medem 450 km, 330 km e 300 km, Para facilitar sua localização, decidiu-se instalar as torres mantendo, entre elas, sempre a mesma distância nas três rodovias. Foi utilizada a maior distância possível, e elas foram instaladas a partir do quilômetro zero de cada rodovia. O número de torres instaladas nas rodovias foi: (A) 35

(B) 37

(C) 39

(D) 36

(E) 38

8. Na figura 1(Fig.1), a medida do segmento AB é 12cm, e a do segmento CD e 8cm. Logo, a medida do segmento EF é: (A) 24/5 cm (B) 30/5 cm (C) 20/5 cm (D) 29/5 cm (E) 25/5 cm 9. Numa lanchonete, o refrigerante é vendido em copos descartáveis de 300 ml por R$ 1,35 e de 500 ml por R$ 1,80. Ao se comparar o preço do refrigerante no copo de 500 ml em relação ao de 300 ml, conclui-se que é: (A) 20% maior (B) 30% maior (C) Igual (D) 20% menor (E) 30% menor 10. Exército Brasileiro foi chamado para auxiliar no combate à Dengue. O sargento Nilton recebeu um grupo de soldados, e a missão de distribui-los nos bairros de uma cidade. Observou, então, que se enviasse 12 soldados para cada bairro, sobrariam 4 soldados, e que se enviasse 16 soldados para cada bairro, 3 bairros não receberiam soldado algum. O número de soldados recebidos pelo sargento Nilton é: (A) 160

(B) 176

(C) 128

(D) 144

(E) 192

Exercícios de Algebra Elementar - Ivan Monteiro

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