UNIVERSIDADE SALGADO DE OLIVEIRA CAMPUS BELO HORIZONTE
Curso: Engenharia de Produção – 4o Período Disciplina: Cálculo Numérico – Profa. Profa. Luciana Tavares Pires II Exercício Avaliativo – 5,0 pontos – Entrega: até terça-feira 02/Junho/2009 Em todos os exercícios, exercícios, descreva o método que está está sendo utilizado.
1 – Dada
a função f(x) = 10x4 + 2x + 1 com os valores de f(0,1) e f(0,2) determinar P P 1(0,15). Descreva o sistema linear utilizado para solução deste problema.
Substitui, em f(x) = 10x 4 + 2x + 1, x = 0,1 teremos f(0,1) f(0,1) = 1,2010; x = 0,2 teremos f(0,2) = 1,4016. 1,4016. Daí: x i i 0,1 0,2
f(x ) i i 1,2010 1,4016
Utilizando Interpolação Linear (pois temos 2 pontos) obtemos: O polinômio interpolador é : 1,0004 +2,006*X; P1(0,15) = 1,3013
a + b(0,1) = 1,2010 Sistema linear utilizado para solução deste problema: a + b(0,2) = 1,4016 2 – Calcular o número aproximado de habitantes de Belo Horizonte em 1975 usando os valores da tabela abaixo, para 1970
e 1980: ANO (X) NÚMERO DE PARTICIPANTE PARTICIPANTES S (Y)
1970 1.235.030
1980 1.814.990
Utilizando Interpolação Linear (pois temos 2 pontos) obtemos: O polinômio interpolador é : P1(x) = - 113.017.090 + 57.996*X; para x = 1975 temos Y = 1.525.010 3 – A função y = f(x)
passa pelos pontos apresentados na tabela abaixo. Pede-se: a) determ determina inarr o valor valor aprox aproxima imado do de f(0,32) usando um polinômio interpolador de 2º grau, P 2(0,32).
Como Como foi pedido pedido o polinô polinômio mio inter interpol polado adorr do 2º grau, grau, devemo devemos s utiliza utilizarr 3 pontos pontos cujo cujo interv intervalo alo contenha o ponto 0,32. Por isso, devemos utilizar os 3 últimos pontos: 0,100; 0,300 e 0,400. Utilizando estes dados então, obtemos:
0,100 0,300 0,400
0,761 0,067 -0,376
O polinômio interpolador é : 1,012 - 2,19*X - 3,2*X2; para x = 0,32 temos P2(0,32) = - 0,0165.
b) calcular P P 3(0,32). Como desejo calcular P3(0,32), devemos calcular o polinômio interpolador utilizando 4 pontos, assim obtemos um polinômio do 3º grau: x i i
f(x ) i i
0 0,100 0,300 0,400
1,000 0,761 0,067 -0,376
O polinômio interpolador é : P3 = 1 - 2*X - 4*X 2 + X3 e P3(0,32) = - 0,016832
c) dete determ rmin inar ar o val valor or de de f(0,32), sabendo-se que a função f(x) é x3 - 4x2 – 2x + 1
O valor de f(0,32) = - 0,0168
d) calcular E 1 = f(0,32) – P 2(0,32) e E 2 = f(0,32) – P 3(0,32) E 1 = f(0,32) – P 2( 0,32) = - 0,0003 E 2 = f(0,32) – P 3(0,32) = 0
e) comparar os valores de E 1 e E 2 calculados no item anterior. Sua conclusão era esperada? Por que? Para encontrarmos o polinômio na letra a), utilizamos 3 pontos, pois foi pedido um polinômio do 2º grau. O polinômio encontrado na letra b) é um polinômio de 3º grau (foram utilizados 4 pontos). A função dada na letra c) é exatamente o polinômio encontrado na letra b). Quando calculamos E 1 e E 2, os valores encontrados eram esperados, pois aproximamos na letra a) 3 valores dados na tabela por um polinômio de 2º grau, o que acarreta erro de truncamento, e na letra b) aproximamos os 4 valores da tabela por um polinômio do 3º grau, não havendo neste último caso, erro de truncamento, pois estes 4 valores derivam exatamente do polinômio do 3º grau dado na letra c) que o mesmo polinômio encontrado na letra b). 4 – Sabe-se
que a função y = f(x) é um polinômio de 4º grau e que passa pelos pontos: (0,0; 1,011), (0,5; 1,636), (1,0; 11,011) e (1,5; 51,636). a) determinar o polinômio interpolador de maior grau possível. O polinômio interpolador de maior grau é o polinômio do 3º grau, pois temos 4 pontos: P3(x) = 1,011 + 7,5X - 27,5X2 + 30X3
b) no cálculo de P(x) foi cometido erro de truncamento? Justificar sua resposta. Foi cometido erro de truncamento, pois aproximamos um polinômio de 4º grau por um polinômio de 3º grau. 5 – Usar
os valores de e0,0 , e0,2 , e0,4 para determinar o valor aproximado de e0,1. Descreva o sistema linear utilizado para solução deste problema. x i 0,0 0,2 0,4
f(x ) i 1,000 1,2214 1,4918
O polinômio interpolador é : P2(x) = 1 + 0,9845*X +0,6125*X2, para x = 0,1 temos e0,1 Sistema linear utilizado para solução deste problema:
≈
1,1046
a + b(0,0) + c(0,0) 2 = 1,0000 2 a + b(0,2) + c(0,2) = 1,2214 a + b(0,4) + c(0,4) 2 = 1,4918 6 – Um automóvel percorreu 160Km numa
rodovia que liga duas cidades e gastou, neste trajeto, 2 horas e 20 minutos. A tabela abaixo dá o tempo gasto e a distância percorrida em alguns pontos entre as duas cidades. Tempo (min)
Distância (Km)
0 10 30 60 90 120 140
0,00 8,00 27,00 58,00 100,00 145,00 160,00
Determinar: a) Qual foi aproximadamente a distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 45 minutos de viagem, considerando apenas os 4 primeiros pontos da tabela.
Como queremos calcular a distância percorrida em função do tempo de viagem, consideramos x = tempo de viagem e y = distância percorrida. Daí teremos: O polinômio interpolador é : P6(x) = 0,6615*X + 0,0187*X2 - 0,0006*X3 + 8,2633E-6*X4 - 5,0258E-8*X5 + 1,0329E-10*X6 P6(45) = 41,7106 Km
b) Quantos minutos o automóvel gastou para chegar à metade do caminho? Na metade do caminho temos 80 Km. Como queremos calcular o tempo gasto em função da distância percorrida, utilizamos x = distância percorrida e y = tempo de viagem. Assim teremos: O polinômio interpolador é : P6(x) = 1,3657*X - 0,0175*X2 + 0,0004*X3 - 5,0876E-6*X4 + 2,6932E-8*X5 - 4,9438E-11*X6 P6(45) = 77,8355 minutos. 7 – Determine a derivada da função f ( x)
=
cos( x) 2
, no ponto x = 1, para os passos h = 0,1; 0,001.
10 e x Derivada de ordem 1: f´(x = 1) = - 0,23708838292, para h = 0,1 Derivada de ordem 1: f´(x = 1) = - 0,23708838284, para h = 0,001 −
8 – Determine
a derivada segunda da função
f ( x ) =
e x cos( x ) + sen( x )
, no ponto x = 1, para os passos h = 0,2; 0,1;
0,05; 0,001. Derivada de ordem 2: f´´(x = 1) = Derivada de ordem 2: f´´(x = 1) = Derivada de ordem 2: f´´(x = 1) = Derivada de ordem 2: f´´(x = 1) =
4,97894605452068994, para h = 0,2 4,97894605592039436, para h = 0,1 4,97894605429752377, para h = 0,05 4,97894605430606443, para h = 0,001
9 – Utilizando a Regra dos Trapézios, calcular o valor da integral, para n = 6:
a) b)
1
cos( x )
0
1 + x
∫
1
4 ,5
∫
x
4
2
dx Valor da integral: 0,6020694; para número de pontos: 7 e h = 0,166666666....
dx Valor da integral: 0,027783; para número de pontos: 7 e h = 0,08333333....
10 – Determine o melhor método para calcular a
integral:
6
∫ (3 x + 2)dx . Justifique sua resposta. 3
Como a função a ser integrada é uma função do 1º grau, o melhor método utilizado é a Regra dos Trapézios. Valor da integral: 46,5; para número de pontos: 2 e h = 3 11 - Utilizando a 1ª Regra de Simpson, calcular
a)
1
ln(1 + x)
0
1 + x 2
∫
o valor da integral:
dx , para n = 10
Valor da integral: 0,272201; para número de pontos: 11 e h = 0,1
b)
3
∫ 1 + 2
dx ln( x )
, para n = 5
Valor da integral: 0,51289 para número de pontos: 6 e h = 0,2 1ª e 2ª Regra de Simpson. 12 - Utilizando a 2ª Regra de Simpson, calcular −2
a)
∫
−4 3
dx (7 − 5 x ) 2
, para n = 9
o valor da integral:
Valor da integral: 0,257231; para número de pontos: 10 e h = 0,2222222...
b)
3, 2
∫ 2
ln( x + 2) −1 dx
, para n = 6
Valor da integral: 0,627847; para número de pontos: 7e h = 0,2 13 – Determinar o
valor de I para n = 3, aplicando-a a regra dos trapézios. Depois calcule o valor da integral aplicando a 1ª e a 2ª regra de Simpson. Compare os resultados obtidos pela regra dos trapézios e pelas regras de Simpson. Explique porque a 2ª regra de Simpson é automaticamente selecionada pelo VCN. Qual dos 3 métodos dá o resultado exato desta integral? I =
∫ (2 x 1, 3
1
3
)
+ x 2 + x − 2 dx
Como a função a ser integrada é um polinômio do 3º grau e a 2ª Regra de Simpson aproxima a função integrada a um polinômio do 3º grau, o VCN seleciona automaticamente a 2ª Regra de Simpson, ao invés da 1ª Regra de Simpson (que aproxima a função a ser integrada por um polinômio do 2º grau). Regra dos Trapézios: valor da integral: 1,076; para número de pontos: 4e h = 0,1. 2ª Regra de Simpson: valor da integral: 1,07205; para número de pontos: 4e h = 0,1. (Cálculo exato da integral)
Calcular o valor da integral dada a tabela abaixo, utilizando a regra dos trapézios, a 1ª regra de Simpson e a 2ª regra de Simpson. Discuta os resultados encontrados. 14 -
x i
yi
1 2 3 4 5
1,0000 0,5000 0,3333 0,2500 0,2000
Regra dos Trapézios: valor da integral: 1,6833; para número de pontos: 5 e h = 1 1ª Regra de Simpson: valor da integral: 1,6222; para número de pontos: 5e h = 1 2ª Regra de Simpson: valor da integral: 0; para número de pontos: 5e h = 1. Para o cálculo da 2ª Regra de Simpson o número de intervalos deve ser múltiplo de 3 (número de pontos deve ser múltiplo de 4), pois este método aproxima cada subintervalo de integração a um polinômio do 3º grau. 15 – Calcular as integrais duplas abaixo:
x 2 dy dx 2ª Regra de Simpson(x) x 1ª Regra de Simpson(y): valor da integral: a) 1 0 1 + y 2 16,4933, para h = 0,1. 4
1
1
3
∫ ∫
b)
∫ ∫ x 0
0
2
( x + y )( y 2 + x ) dx dy 2ª Regra de Simpson(x) x 1ª Regra de Simpson(y): valor da
integral: 67,72509, para h = 0,1.
