´s : Exercices - Topologie des espaces vectoriels norm es e ´enonc´e
Normes L2 /Mat ath h commencer... - L2/M Exercic Exercice e 1 - Pour commencer...
Sp´e e - 2 N : (x, y ) → |5x + 3y | est-elle une norme sur R ?
L2 /Mat ath h classiqu iques es ! - L2/M Exercic Exercice e 2 - Les class On d´efinit efin it sur
R2
Sp´e e - les 3 applications suivantes :
N 1 ((x, y)) = | x| + |y |, N 2 ((x, y )) =
x2 + y 2 , N ∞ ((x, y)) = max(|x|, |y |).
Prouver que N 1 , N 2 , N 3 d´efinissent efinissent 3 normes sur R2. Prouver que l’on a :
∀α ∈ R2 , N ∞ (α) ≤ N 2 (α) ≤ N 1 (α) ≤ 2 N ∞ (α). N 1 , N 2 et N 3 sont-el so nt-elles les ´equivalente equi valentess ? Dessiner Dess iner les boule bo uless unit´ u nit´es es ferm´ fer m´ees ees assoc ass oci´ i´ees ees `a ces normes.
L2 /Mat ath h Fonctions continues - L2/M Exercic Exercice e 3 - Fonctions
Sp´e e - Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0 , 1] ` 1] `a valeurs dans R. On d´efinit efini t pour po ur
f ∈ E
f ∞ = sup {|f (x)|; x ∈ [0 , 1]} , f 1 =
1
0
|f (t)|dt.
V´erifi er ifier er que .∞ et .1 sont deux normes sur E . Montrer que, pour tout f ∈ E , f 1 ≤ f ∞ . En utilisant la suite de fonctions f n (x) = xn , prouver que ces deux normes ne sont pas ´equi eq uival valen ente tes. s. L2 /Mat ath h Exercic Exercice e 4 - Espace de matrices matrices - L2/M
Sp´e e - On d´efinit efinit une application applica tion sur M n (R) en posant N (A) = n max |ai,j | si A = (ai,j ). i,j
V´erifier erifier que l’on d´efinit efinit bien une norme sur M n (R), puis qu’il s’agit d’une norme d’alg`ebre, ebre, c’est-` a-dire a-dire que N (AB ) ≤ N (A)N (B ) pour toutes matrices A, B ∈ M n (R).
L2 /Mat ath h omes omes - L2/M Exercic Exercice e 5 - Des polynˆ
Sp´e e - Soit E = R[X ] l’espace l’espace vectoriel vectoriel des polynˆomes. omes. On d´efinit efinit sur E trois normes par, si p i P = i=0 ai X :
p
N 1 (P ) =
i=0
1/2
p
|ai |, N 2 (P ) =
|ai |2
i=0
, N ∞ (P ) = max |ai |. i
V´erifier erifier qu’il s’agit de 3 normes sur R[X ]. Sont-elles Sont-elle s ´equivalentes equivalentes deux `a deux deux ? L2 /Mat ath h Exercic Exercice e 6 - Sup de deux norme normess - L2/M
Sp´e e - Soient N 1 et N 2 deux normes sur un espace vectoriel E . On pose N = max(N 1 , N 2 ). D´emontrer que N est une norme sur E . L2 /Mat ath h Norm e 2 ”pertu pe rturb´ rb´ ee” - L2/M ee” Exercic Exercice e 7 - Norme Soit a,b > 0. 0. On pose, pour tout (x, y) ∈ http://www.bibmath.net
R2 ,
Sp´e e - N (x, y) = a2 x2 + b2 y 2 .
1
´s : Exercices - Topologie des espaces vectoriels norm es e ´enonc´e 1. Prouver Prouver que N est une norme. 2. Dessin Dessiner er la boule boule de centre centre 0 et de rayon rayon 1. 3. D´eterminer eterminer le plus petit nombre p > 0 tel que N ≤ p.2 et le plus grand nombre q tel que q .2 ≤ N . L2 /Mat ath h Normes sur les polynˆ polynˆ omes omes - L2/M Exercic Exercice e 8 - Normes
Sp´e e -
Soit a ≥ 0. 0 . Pour P ∈ R[X ], on d´efini efi nitt N a (P ) = | P (a)| +
1
0
|P (t)|dt.
1. D´emontrer emo ntrer que N a est une norme sur R[X ]. 2. Soit Soit a, b ≥ 0 avec 0 avec a = b et b > 1. 1 . D´ D ´emont em ontre rerr que N a et N b ne sont pas ´equivalente equi valentes. s. 3. D´emontrer emontrer que si ( si ( a, b) ∈ [0 , 1], 1], alors N a et N b sont son t ´equiva eq uivalen lente tes. s. L2 /Mat ath h ole o le de norme norme ! - L2/M Exercic Exercice e 9 - Drˆ
Sp´e e - |x+ty| . Soit N l’application de R2 dans R : ( x, y ) → sup t∈R √ 1+t 1+t 2
1. Montrer Montrer que que N est une norme sur R2 . 2. La compar comparer er a` la norme euclidienne. 3. Expliquer. Expliquer. Une norm norme e ? - L1/Math Exercice 10 - Une
Sup/Oral Centrale - Soit E = = C ([0 ([0, 1], R). Pour f, g ∈ E , on pose N g (f ) = gf ∞ .
1. Donner une condition n´ ecessaire ecessaire et suffisante sur g pour que N g soit une norme. 2. Donner une conditio co ndition n n´ ecessaire ecessai re et suffisante sur g pour que N g soit so it ´equiva eq uivalen lente te `a la norme infinie. L2 /Mat ath h les boul boules es ! - L2/M Exercice 11 - Oh les
Sp´e e - Soit E un espace vectoriel norm´e. e. Pour a ∈ E et r > 0, 0 , on note B (a, r ) la boule bou le ferm´ee ee de centre a et de rayon r. On fixe a, b ∈ E et r, 0 . r, s > 0. 1. On suppose suppose que que B (a, r) ⊂ B (b, s). D´ D ´emont em ontre rerr que a − b ≤ s − r . 2. On suppose suppose que que B (a, r) ∩ B (b, s) = ∅. Montrer que a − b > r + s.
´ ´ ´ Ouverts, fermes, es, adherence, erence, interieur... erieur... Exercice 12 -
- L2/M L2 /Mat ath h Sp´e e - Dire si les ensembles suivants sont ouverts ou ferm´es es : A = { (x, y ) ∈ R2 | 0 < | x − 1| < 1 }, C = = { (x, y) ∈ R2 | |x| < 1 , |y | ≤ 1 },
D = { (x, y ) ∈ R2 | x ∈ Q, y ∈ Q},
= { (x, y) ∈ R2 | x E = ∈ Q, y ∈ Q},
F = { (x, y ) ∈ R2 | x 2 + y 2 < 4 },
G = (x, y ) ∈ R2 ; x2 − exp(sin y ) ≤ 12 , http://www.bibmath.net
B = { (x, y ) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ y },
H = { (x, y ) ∈ R2 ; ln |x2 + 1| > 0 }.
2
´s : Exercices - Topologie des espaces vectoriels norm es e ´enonc´e
Exercice 13 -
- L2/M L2 /Mat ath h Sp´e e - On d´efinit efinit un sous-ensemble sous-ens emble A de R2 en posant A = { (x, y ) ∈ R2 | x 2 + y 2 ≤ 2 } \ {(x, y ) ∈ R2 | ( x − 1)2 + y 2 < 1 }.
D´eter et ermi miner ner l’int´ l’ int´erie er ieur ur,, l’adh´ l’a dh´eren er ence ce et la front fr onti` i`ere er e de A. L2 /Mat ath h Exercice 14 - Fermeture ermetur e et adh´ erence erence d’un convexe - L2/M
Sp´e e - Soit C une partie parti e convexe d’un espace vectoriel norm´e. e. D´emontrer emontrer que l’adh´erence erence de C est convexe, puis que l’int´erieur erieur de C est convexe.
L2 /Mat ath h erence erence et int´ erieur erieur d’un sous-espace vectoriel - L2/M Exercice 15 - Adh´
Sp´e e -
Soit E un espace vectoriel norm´e, e, et V un sous-espace vectoriel de E . ¯ est 1. Montrer Montrer que que V est un sous-espace vectoriel de E .
◦
∅, alors V = E . 2. Montre Montrerr que si V = L2 /Mat ath h erence erence de boules boule s - L2/M Exercice 16 - Adh´
Sp´e e - Soit E un espace vectoriel norm´e. e. Montrer que l’adh´erence erence d’une boule ouverte est la boule ferm fe rm´´ee ee de mˆeme em e rayo rayon n
Exercice 17 -
- L2/M L2 /Mat ath h Sp´e e - Donner un exemple d’ensemble A tels que : A, l’adh´ l’a dh´erence eren ce de A, l’int´erieur eri eur de A, l’ad l’ adh´ h´eerence de l’int´erieur erieur de A et l’int´erieur eri eur de l’adh´ l’a dh´erence eren ce de A sont des ensembles distincts deux `a deux.
Exercice 18
L2 /Mat ath h Sp´e e - - Somme d’un ensemble ensemble et d’un ouvert - L2/M Soit E un evn, et A et B deux parties de E . On d´efinit efin it : A + B = { z ∈ E ; ∃x ∈ A, ∃y ∈ B , z = x + y } .
Montrer que si A est ouvert, alors A + B est ouvert. L2 /Mat ath h front i` ere ere ! - L2/M Exercice 19 - La fronti`
Sp´e e - Soit A une partie d’un espace vectoriel norm´e E . On rappelle que la fronti` fronti` ere ere de A est ◦ l’ensemble Fr( l’ensemble Fr(A) = A¯− A. Montrer que : 1. Fr(A) = { x ∈ E | ∀ > 0 , B (x, ) ∩ A = ∅ et B (x, ) ∩ C A = ∅} 2. Fr(A) = Fr(C A ) 3. A est ferm´e si et seulement si Fr(A) est inclus dans A. 4. A est ouvert si et seulement si Fr(A) ∩ A = ∅ .
L2 /Mat ath h Dia m` etre et re d’une d’u ne partie par tie b orn´ orn ´ ee ee - L2/M Exercice 20 - Diam`
Sp´e e - Soit E un espace vectoriel norm´e. e. Soit A une partie non vide et born´ee ee de E . On d´efini efi nitt diam(A) = sup {y − x, x , y ∈ A }. 1. Montre Montrerr que si A est born´ bo rn´ee, ee, alo alors rs A¯ et Fr(A) sont so nt born´ bo rn´es. es .
◦
◦
¯) lorsque A est non vide. 2. Comparer Comparer diam( diam(A), diam(A) et diam(A 3. (a) (a) Montr Montrer er que que diam(Fr(A)) ≤ diam(A). http://www.bibmath.net
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´s : Exercices - Topologie des espaces vectoriels norm es e ´enonc´e (b) Soit x un un ´el´eme ment nt de A, et u un un ´el´ el ´ement en t de E avec u = 0. On consid`ere ere l’ensemble X = { t ≥ 0 | x + tu ∈ A }. Montrer que sup que sup X existe. (c) En d´eduire eduire que toute demi-droite issue d’un point x de A coupe Fr( coupe Fr(A). (d) En d´eduire eduire que diam(Fr( que diam(Fr(A)) = diam(A). L3/Ma th Dens e ou ferm´ fer m´ e - L3/Math Exercice 21 - Dense
Sp´e/Oral e/Oral Mines Min es - Soit E = = C ([0 ([0, 1], R) et F = { f ∈ E ; f (0) = 0}. 1. Si N est une norme sur E , montrer que F est ou bien une partie ferm´ee, ee, ou bien une partie dense de ( E, N ). 2. Donner Donner un exempl exemplee de norme pour laquel laquelle le F est ferm´e, e, et un exemple pour laquelle F est dense.
Espaces vectoriels norm´ es de dimension finie es L2 /Mat ath h vectoriels - L2/M Exercice 22 - Sous-espaces vectoriels
Sp´e e - Soit E un espace vectoriel norm´e de dimension finie. Montrer que tout sous-espace vectoriel de E est ferm´ fer m´e
L2/Ma th Exercice 23 - Int´ egrale egra le jamais jamai s nulle nu lle - L2/Math
Sp´e/Oral e/Oral Centrale Cent rale - Soit n ≥ 1 et E n l’ensemble des polynˆomes omes de R[X ] unitaires unit aires de degr´e n. Montrer que 1 inf P 0 . P ∈E 0 |P (t)|dt > 0. n
´ Applications lineaires eaires continues
Exercice 24 -
- L2/M L2 /Mat ath h Sp´e e - Soit E l’espace vectoriel des fonctions `a valeurs dans R , d´efinies, efin ies, continues conti nues et d´erivables eri vables sur [0,1 0,1]] et v´erifi er ifian antt f (0) = 0. 0. On O n d´efinit efinit sur cet espace les deux normes suivantes : N 1 (f ) = f ∞ et N 2 (f ) = f ∞ .
1. Montre Montrerr que N 1 (f ) ≤ N 2 (f ). En d´eduire eduire que l’applicatio l’appl ication n ”identit´e” e” de (E, N 2 ) vers (E, N 1 ) est continue. 2. A l’aide l’aide de la fonction fonction f n (x) = (E, N 2 ) n’est pas continue.
xn n ,
montrer m ontrer que l’applicatio l’appl ication n ”identit´e” e” de (E, N 1 ) vers
L2 /Mat ath h Sont-elless continu continues es ? - L2/M Exercice 25 - Sont-elle
Sp´e e - D´etermi ete rminer ner si l’appl l’a pplica icatio tion n lin´eaire eai re T : (E, N 1 ) → ( F, N 2 ) est continue dans les cas suivants :
1. E = = C ([0 ([0, 1], R) muni de f 1 = est es t fix´ fix ´e. e. 2. E = = R[X ] muni de 4. E = = R[X ] muni de
k k 0 ak X = n k k=0 ak X = k k 0 ak X =
≥ ≥
3. E = = Rn [X ] muni de
1 0 |f (t)|dt et T
5. E = C ([0 ([0, 1], R) muni de f 2 = 1 0 |f (t)|dt et
: (E, .1 ) → ( E, .1 ), f → f g o` o u ` g ∈ E
k 0 |ak | et T : n k=0 |ak | et T
≥ ≥
(E, .) → ( E, .), P → P . : (E, .) → ( E, .), P → P .
k 0 k !|ak | et T 1/2 1 2 dt ( ) , | f t | 0
: (E, .) → ( E, .), P → P . ([0, 1], R) muni de f 1 = F = C ([0
T : (E, .2 ) → ( F, .1 ), f → f g o` u g ∈ E est est fix´ fix´e. e.
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´s : Exercices - Topologie des espaces vectoriels norm es e ´enonc´e L2 /Mat ath h Ap plications lin´ eaires eaires sur les polynˆ p olynˆ omes omes - L2/M Exercice 26 - Applications Soit E = = R[X ], muni de la norme
i ai
X i =
Sp´e e -
i |ai |.
1. Est-ce que l’application lin´eaire eaire φ : (E, .) → ( E, .), P (X ) → P (X + + 1) est continue sur E ? 2. Est-ce que l’applic l’ application ation lin´ li n´eaire eaire ψ : (E, .) → ( E, .), P (X ) → AP , o`u A est est un ´el´eme ment nt fix´e de E , est continue sur E ? Exercice 27 -
- L2/M L2 /Mat ath h Sp´e e - Soit E = = C ([0 ([0, 1], R). Pour f ∈ E , on pose
f 1 =
1
0
|f (t)|dt,
dont on admettra qu’il s’agit d’une norme sur E . Soit φ l’endomorphisme de E d´efini efi ni par pa r x
φ(f )(x) =
0
f (t)dt.
1. Justifier Justifier la terminologie terminologie : ”φ est un endomorphisme de E .” .” 2. D´emontrer emo ntrer que φ est continue. 3. Pour Pour n ≥ 0, 0 , on consid` con sid`ere ere f n l’´ l’´el´ement de E d´efini efi ni par pa r f n (x) = ne −nx , x ∈ [0 , 1]. 1]. Calculer Calculer f n 1 et φ(f n )1 .
|φ| = sup f =0 4. On pose | =0
φ(f ) f
1
E
1
|φ|. . D´eter et ermi miner ner |
L2 /Mat ath h eaires eaires sur les polynˆ polyn ˆ omes omes - L2/M Exercice 28 - Formes lin´
Sp´e e -
On munit R[X ] de la norme suivante : n
ak X k = sup {|ak |; 0 ≤ k ≤ n }.
k=0
Pour c ∈ R, on d´efinit efini t la forme for me lin´eaire eai re φc : (R[X ], · ) → (R, | · |), P → P (c). Pour quelles valeurs de c la forme for me lin´eaire eai re φc est-elle continue ? Dans ce cas, d´eterminer eterminer la norme de φc . L2 /Mat ath h continue - L2/M Exercice 29 - Jamais continue
Sp´e e -
Soit E = = C ∞([0, 1], R). On cons co nsid` id`ere er e l’op´ l’ op´erat er ateu eurr de d´erivat er ivatio ion n D : E → E , f → f . Montrer que, quelle que soit la norme N dont on munit E , D n’est jamais une application lin´eaire eaire continue de ( de ( E, N ) dans ( dans ( E, N ). L2 /Mat ath h Exercice 30 - Op´ erateur erat eurss posit p ositifs ifs - L2/M
Sp´e e - Soit I = [a, b] un intervalle de R. On munit C (I ) de la norme .∞. On dit qu’une forme lin´ li n´eair ea iree u : C (I ) → R est positive si u(f ) ≥ 0 pour tout f ∈ C (I ) v´ v´erifi er ifian antt f (x) ≥ 0 si x ∈ I . 1. D´emontrer emontrer que, pour toute forme lin´eaire eaire u : C (I ) → R positive, | u(f )| ≤ u (|f |). 2. Soit Soit e la fonction foncti on d´efinie efinie par e(x) = 1 pour tout x ∈ I . D´eduir edu iree de la quest qu estio ion n pr´ec´ ec´edent ed entee que toute to ute forme lin´ eaire eaire positive est continue, et calculer u en fonction de u(e).
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