Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters
U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications
Exercice d'Electromagnétisme Exercice N° 1: Montrez qu’une onde plane est une solution de l’équation d’onde. Corrigé de l'exercice N° 1: L’expression mathématique d’une onde plane se propageant selon une direction définie par le vecteur unitaire u est: avec k = k u et k = ω / c. Ψ ( r , t ) = A e j(ωt - k r ) r
r
r
r
r
r
r r
k est, par définition, le vecteur d’onde d’onde et r est la direction qui sépare le point d’observation de l’origine des axes du système de référence. Dans le système de coordonnées cartésienne, on a: k 2 = k x2 + k y2 + k z2 , r
r
k = k x ix
⇒
+ k y
r
iy
+ k z
r
iz
r
et
r = x ix
r
r
r
+ y iy + z iz
.
r
k r = k x x + k y y + k z z r
∂ 2Ψ =0 L’équation d’onde s’écrit : ∆Ψ c 2 ∂x 2 1
ou
∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ 1 ∂ 2Ψ + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 c2 ∂t 2
∂Ψ ∂ = [A exp j(ωt - k x x - k y y - k z z)] = - j k x A exp j(ωt - k x x - k y y - k z z) ∂x ∂x ∂ 2Ψ ∂ 2 = 2 [- j k x A exp j(ωt - k x x - k y y - k z z)] = - k x 2 A exp j(ωt - k x x - k y y - k z z) ou 2 ∂x ∂x ∂ 2Ψ 2 ⇒ = - k x Ψ . ∂x 2 ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ 2 2 = = De même, on aura : - k y Ψ et - k z Ψ ∂y 2 ∂z 2 On a:
∂ 2 Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2 Ψ + 2 + 2 = - k 2x Ψ - k 2y Ψ - k 2z Ψ = - k 2 Ψ D’où : 2 ∂x ∂y ∂z ∂Ψ ∂ On a aussi: = [A exp j(ωt - k x x - k y y - k z z)] = j ω A exp j(ωt - k x x - k y y - k z z) ∂t ∂t ∂ 2Ψ ∂ 2 [ = ou j ω A exp j(ωt - k x x - k y y - k z z)] = - ω2 A exp j(ωt - k x x - k y y - k z z) ∂t 2 ∂t 2 1 ∂ 2Ψ ω2 ⇒ 2 2 = - 2 Ψ = - k 2 Ψ c ∂t c 1 ∂ 2Ψ D’où : ∆Ψ - k 2 Ψ + k 2 Ψ = 0 = c 2 ∂x 2
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Exercice N°2 : r r
r
Soit U( r ) , une fonction scalaire et V( r ) , une fonction vectorielle de points. Dans le système de coordonnées curvilignes (u 1,u2,u3), on a: grad U = 1 ∂U e1 + 1 ∂U e 2 + 1 ∂U e 3 h1 ∂u 1 h 2 ∂u 2 h 3 ∂u 3 et div V = 1 ⎡ ∂ (h h V ) + ∂ (h h V ) + ∂ (h h V )⎤ , avec ei = 1 ∂r et h = ∂r (i = 1, 2, 3). 2 3 1 i ⎢ h i ∂u i h 1h 2 h 3 ⎣ ∂u 1 ∂u 2 3 1 2 ∂u 3 1 2 3 ⎥⎦ ∂u i r
r
r
r
r
r
r
r
1. Utilisez ces deux opérateurs pour exprimer le Laplacien scalaire ∆U en fonction des coordonnées (u1,u2,u3). 2. Explicitez les composantes en coordonnées cartésiennes (x,y,z) d'un vecteur r en fonction des coordonnées sphériques (r, θ,ϕ). 3. Déterminez les vecteurs unitaires (e1 , e 2 , e 3 ) et leurs paramètres directeurs (h1, h 2, h 3) en r
r
r
r
fonction des coordonnées (r, θ,ϕ).
Corrigé de l'exercice N°2 : 1. Le Laplacien scalaire ∆U s'écrit aussi:
r
∆U
= div grad U .
r
Posons : V = grad U . Dans le système de coordonnées curvilignes (u 1,u2,u3) on a: 1 ∂U 1 ∂U 1 ∂U grad U = e1 + e2 + e3 h 1 ∂u1 h 2 ∂u 2 h 3 ∂u 3 r
r
r
div V = r
r
r
⎡ ∂ ⎤ ∂ ∂ ( ) ( ) ( ) h h V h h V h h V + + 2 3 1 ⎢ h1h 2 h 3 ⎣ ∂u 1 ∂u 2 3 1 2 ∂u 3 1 2 3 ⎥⎦ 1
En explicitant ces deux opérateurs dans le Laplacien, on obtient:
∆U =
⎡ ∂ ⎛ h 2 h 3 ∂U ⎞ ∂ ⎛ h 3 h 1 ∂U ⎞ ∂ ⎛ h 1 h 2 ∂U ⎞⎤ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎢ h1h 2 h 3 ⎢⎣ ∂u 1 ⎜⎝ h 1 ∂u 1 ⎠⎟ ∂u 2 ⎜⎝ h 2 ∂u 2 ⎠⎟ ∂u 3 ⎜⎝ h 3 ∂u 3 ⎠⎟⎥⎦ 1
2. Dans le système de coordonnées sphériques,
z r
le point (P) est repéré par la distance u1 = r ,
iϕ r
l'angle de site u2 = θ et l'angle d'azimut u3 = ϕ. r
r
r
(P) r
θ
r
r
Les vecteurs unitaires sont e1 = ir , e 2 = iθ , e 3 = iϕ . r
ir r
r
iθ
r
r
Soit ix , iy et iz , les vecteurs unitaires du
(O)
ϕ
système de coordonnées cartésiennes et x , y et z les composantes du vecteur OP = r . En projetant ce vecteur sur les axes Oz et O∆, x on trouve que: z = r cos θ et ∆ = r sinθ Puis, en projetant la composante ∆ sur les axes Ox et Oy, on obtient: x = r sinθ cosϕ et y = r sinθ sinϕ. r
r
r
D'où: r = x ix r
r
r
+ y iy + z iz =
r
r sinθ cosϕ ix
y
r
∆ r
r
+ sin θ sin ϕ iy + cos θ iz
3. Par définition, les vecteurs unitaires du système de coordonnées curvilignes sont et les paramètres directeurs de ces vecteurs sont respectivement:
∂r ei = h i ∂u i r
1
r
Par conséquent, on aura:
∂ r hi = ∂u i r
et
avec
i = 1, 2, 3.
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∂r ∂ = [r sinθ cosϕ ix + r sinθ sinϕ iy + r cosθ iz ] ∂r ∂r ∂r ⇒ = sinθ cosϕ ix + sinθ sinϕ iy + cosθ iz ∂r ∂r = [sin 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ + cos 2 θ]1 / 2 = [sin 2 θ (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) + cos 2 θ]1/ 2 et h r = ∂r ou h r = [sin 2 θ + cos 2 θ]1/ 2 ⇒ hr = 1 et ir = sinθ cosϕ ix + sinθ sinϕ iy + cosθ iz ∂r ∂ = [r sinθ cosϕ ix + r sinθ sinϕ iy + r cosθ iz ] ∂θ ∂θ ∂r ⇒ = r [cosθ cosϕ ix + cosθ sinϕ iy − sinθ iz ] et ∂θ ∂r = r [cos 2 θ cos 2 ϕ + cos 2 θ sin 2 ϕ + sin 2 θ]1/ 2 = r [cos 2 θ (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) + sin 2 θ]1/ 2 hθ = ∂θ ou h θ = r [sin 2 θ + cos 2 θ]1/ 2 ⇒ hθ = r et iθ = cosθ cosϕ ix + cosθ sinϕ iy − sinθ iz ∂r ∂ = [r sinθ cosϕ ix + r sinθ sinϕ iy + r cosθ iz ] ∂ϕ ∂ϕ ∂r ⇒ = r [- sinθ sinϕ ix + sinθ cosϕ iy ] ∂ϕ ∂ r = r [sin 2 θ sin 2 ϕ + sin 2 θ cos 2 ϕ ]1/ 2 = r sinθ [cos 2 ϕ + sin 2 ϕ]1 / 2 et h θ = ∂θ ⇒ hθ = r sinθ et iϕ = − sinϕ ix + cosϕ iy r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Exercice N°3: r
r
r
1. Le double produit vectoriel de trois vecteurs A , B et C s’écrit : r
A ∧ B ∧ C = (A . C) B - (A . B) C . Montrez que ro t ro t V = grad divV − ∆V en utilisant r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
r
r
r
l’opérateur nabla ( ∇). 2. Citez les lois de l'électricité d'où sont issues les équations de Maxwell. 3. Précisez les caractéristiques électriques du vide et écrivez les équations de Maxwell dans un tel milieu. 4. Sachant que ro t ro t V = grad divV - ∆V , trouvez à l'aide des équations de Maxwell, les équations de propagation des champs électrique et magnétique dans le vide. 5. A partir des équations de Maxwell dans le vide, montrez que le champ électrique et le champ magnétique dérivent d’un potentiel scalaire Φ et d’un potentiel vecteur A . 6. Déterminez la condition de Lorentz et trouver les équations de propagation des potentiels r
r r
r
r
r
r
r
r
Φ et A dans le vide. Corrigé de l'exercice N°3: 1. En développant le double produit vectoriel, on a: A ∧ B ∧ C = (A . C) B - (A . B) C . r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Faisons: A = ∇ , B = ∇ et C = V . En remplaçant, on a : r
r
2
∇ ∧ ∇ ∧ V = (∇ . V) ∇ - (∇ . ∇) V = ∇(∇ V) - ∇ V Or: ro t V = ∇ ∧ V , divV = ∇V , gradU = ∇U ⇒ div gradU = ∇(∇U) = ∇ 2 U = ∆U r
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
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r
Sachant que chaque composante de V est une fonction scalaire telle que U, on en déduit
∆ V = ∇2 V . r
que:
r
r
r
D'où: ro t ro t V = grad divV - ∆V r r
r
r
r
r
∂B 2. ro t E = − Lois de Faraday et de Maxwell (génération d'une f.e.m.) ∂t ∂D + J Lois d'Ampère et de conservation des charges (équation de continuité) ro t H = ∂t divB = 0 Loi de Maxwell (conservation du flux d'induction magnétique div D = ρ Théorème de Gauss (Equation de Poisson) avec D = εE et B = µH . r
r r
r
r r
r
r
r
r
r
r
3. Pour que le milieu de propagation soit assimilé au vide, il ne doit y avoir ni charges, ni courants, c'est-à-dire que ρ = 0 et J = 0 . De plus, dans le système SI (MKSA rationalisé), on -9 -7 doit avoir: ε = εo = (1/36π) 10 F/m et µ = µo = 4π 10 . Compte tenu des conditions dans le vide, les équations de Maxwell s'écrivent: ∂H ro t E = −µ o ∂t ∂E ro t H = ε o ∂t divH = 0 r
r
r r
r
r r
r
r
divE
=0 r
4. Sachant que: ro t ro t V = grad divV - ∆V , on a en posant V = E : r r
r
r
r
r
r
r
∂H ∂ ro t ro t E = grad divE - ∆E = ro t (−µ o ) = −µ o (ro t H) ∂t ∂t ∂ ∂E ∂ 2E ⇒ ro t ro t E = - ∆E = −µ o (ε o ) = −µ o ε o car divE = 0 2 ∂t ∂t ∂t 2 1 ∂ E -1/2 +8 =0 D'où: ∆E − avec c = (µo εo) = 3 10 m/s. 2 2 c ∂t r
r r
r
r
r
r
r
r r
r
r
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
∂ 2H =0 De même, en faisant V = H , le calcul est identique et on trouve que: ∆H − c 2 ∂t 2 r
r
r
r
r
1
r
5. La troisième équation de Maxwell est divB = 0 . Elle implique que div rotA = 0 . En r
r
r
identifiant, on voit que le champ B dérive bien du potentiel vecteur A . Soit: B = ro t A En remplaçant dans la première équation de Maxwell, on obtient: ∂B ∂ ∂A = - (ro t A) = ro t (- ) ro t E = − ∂t ∂t ∂t L'équation des rotationnels est résolue à un gradient près, car on a: r
r
r
r
r
r r
r
r
r
r
ro t gradU = ∇ ∧ (∇U) = (∇ ∧ ∇) U = 0 r
r
De plus, en électrostatique, on avait trouvé que: E = - gradU . r
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Faisons: U = Φ. En superposant les deux types d'équations, on obtient:
⎡ ∂A ⎤ ∂A ro t E = ro t () + ro t (- gradΦ ) = ro t ⎢- gradΦ ⎥ ∂t ⎣ ∂t ⎦ ∂A D'où: E = - gradΦ ∂t Le champ E dérive donc du potentiel scalaire Φ. r
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
∂E et ∂t ∂⎡ ∂A ⎤ ro t ro t A = ε o µ o − gradΦ − ⎥ ⎢ ∂t ⎣ ∂t ⎦ r
6. En combinant la seconde équation de Maxwell ro t H = ε o r r
∂E ro t B = ε o µ o ∂t
r
B = ro t A , on a: r
r
r
r
⇒
r r
r
r
r
r
∂Φ ⎤ ∂ 2A ⎡ et grad divA - ∆A = - grad ⎢ε o µ o -ε µ ∂t ⎥⎦ o o ∂t 2 ⎣ r
r
r
r
r
r
∂ 2A 1 ∂Φ ⎤ ⎡ ∆A - 2 2 = grad ⎢divA + 2 ⎥ c ∂t c ∂t ⎦ ⎣ r
r
ou
r
1
r
r
c=
avec
1 (µ o ε o )1/ 2
Le premier membre de cette équation est celui de l'équation d'onde. r
Or, d'après la condition de Lorentz : divA +
∂Φ =0 2 ∂t c 1
∂ 2A =0 D'où: ∆A 2 2 c ∂t r
r
1
r
∂A et E = - gradΦ , on a: ∂t r
r
En combinant la quatrième équation de Maxwell divE
⎡ ∂A ⎤ divE = div ⎢- gradΦ ⎥ = 0 ⎣ ∂t ⎦ r
r
r
=0
r
r
∂A ) + div gradΦ = 0 ∂t r
⇒
r
div(
∂ ∂ 1 ∂ 2Φ ou ∆Φ + (divA) = 0 . Or, d'après la condition de Lorentz: (divA) = ∂t ∂t c 2 ∂t 2 r
r
∂ 2Φ =0 D'où: ∆Φ − 2 2 c ∂t 1
r
r
Comme les champs E et H , les potentiels dans le vide à la vitesse de la lumière.
r
Φ et A se propagent comme dans des ondes
