Exemple Simple de Calcul d'Un Escalier en Béton Armé

1. Intr Introd oduc ucti tion on :

Les escaliers sont des éléments de la structure qui permettent de franchir les niveaux. Ils sont composés des éléments suivants : paillasse, volée, palier, marche (giron), contre marche. palier nez de marche

D

contre marche giron(marche)

h

g

e H

paillasse

L

Fig.1 : Caractéristiques dimensionnelles d’un escalier 2.

Prés Présen enta tattion ion et et con conc cepti eption on géom géomét étri riq que :

Dans notre projet lescalier ! étudier permet lacc"s du #D$ vers les divers étages , il comporte deux volées s%métriques,

Fig.2 : Schéma d’escalier 2.1. Dimensionnement : Dapr"s le plan darchitecture on a L&'cm* h& +cm: n& Q= 2.5 kN/m2

(escaliers d’habitations) ⇒

- g  

g& cm

 H = h = 310 = 19.37cm  2n 2x   1! ≤  H  ≤ 17 d "ou → H = 17cm    H   α  = arctg    g ÷ = 29.53°     Do/ !0 ≤  g

⇒

+ 2 ×H ≤!#cm

0éri1cation de 2L34D5L :

 g

+ 2 ×H =!#cm

or

e paill asse = 0.01 ) L ) 3 ρ  B )e + Q $’%&aisse'r de la &aillasse  *ar it%rations on tro'+e e=21cm.

2.2. Ealuation des charges : 2.2.1. charges permanentes : Les charges sont calculées par m"tre linaire hori6ontal.  ρ bb

,

2éton 7anché :  ρ ba

,

/ m3

= 20 KN / m3

5nduit :  ρ m

,

= 25KN

2éton armé :  ρ e

,

= 22 KN / m3

= 2 KN / m3

8ar7re: a. Charges sur la paillasse :



( 

chape en 7éton armé :(e&-+cm) e cos ( α )

) × ρ ba x 1m

=(

0.21 cos ( 29.53 )

)25

=!.03KN

8arche en 2éton 7anché :  H  2

× ρ bb x 1m =0.17 ×22x 1m =1.7 KN 2

em =3cm 

8arche en mar7re de :(

)

/m

/m

e m .H × ρ m

=0.03x 0.17 ×2 =0.1#2 KN e p



= 1.5cm

8arche en pose :( e p × 1m × ρ e

)

= 0.015 × 1× 20 = 0.3 KN

/m

ecm 

/m

= 2cm

$ontre marche en mar7re :( ecm

× ( H − e m ) × 1m

)

0.02 × ( 0.17 − 0.025 )

× ρ m =

 g 

0.3

×2 =0.2! KN emp



8ortier de pose pour contre marche :( e mp

× ( H − e m ) × 1m  g 

× ρ e =

0.015 × ( 0.17 − 0.025 ) 0.3

ee 

cos ( α )

 

0.01

× ρ e =

)

×20 =0.1# KN

/m

)

×20 =0.22 KN

cos ( 29.53 )

= 1.5cm

= 1cm

5nduit de la paillasse :( ee ×1m

/m

/m

0.1 KN / m 

9arde corps : G

= 9.0!KN

G

/m

 lors : paillasse.

ou

 : la charge permanente totale sur la

= 21cm

e

!. Charge sur le palier : " e = 21cm



#

chape en 7éton armé : ( ) e × 1m × ρ ba = 0.21× 25 = 5.25 KN / m e m =2cm



8ar7re : (

)

e m × 1m × ρ m

= 0.02 × 2 = 0.5! KN emp



)

ee × 1m × ρ e

lors : palier.

= !.#1KN

/m

= 1.5cm

5nduit : (

G

)

× 1m ×  ρ e = 0.015 × 20 = 0.3 KN ee



= 1.5cm

8ortier de pose : ( e mp

/m

= 0.015 × 20 = 0.3KN

/m

G

/m

ou

: la charge permanente totale sur le

2.2.2. Charges d’e$ploitation :  3n adopte pour lescalier une charge dexploitation : q

= 2.5KN

/m2

%. Schéma de calcul et Dimensionnement : %.1. calcul de la premi&re olée : a. Sollicitation :

Fig % : chargement de l’escalier -ombinaison

oments l%chissant (kN.m)

ort tranchant (kN)

1.351.5Q

!!.#5

#1.09

#2.27

Q

#7.99

29.!

30.5

Tableau 1:calc'l des sollicitations a &artir d' loiciel 4!

!. Ferraillage :

Le calcul des armatures est réalisé sur une poutre isostatique de section (.-+x+) m- soumise ! la ;exion simple. 'rmatures principales : o (oment réduit agissant :  µ  =

 M u b ×d 2 × f  bu

o

=

!!.#5 ×10−3

× 1 × 0.1 2 12.#!

= 0.1!#

)écessité d’aciers comprimés μl =0.39

o

 μ

6



μl

⇒

3n na pas 7esoin daciers comprimés.  A st  o

Section d’aciers tendus  : α =1.25∗(1− √ 1− 2∗ μ ) = 0.225

 yu =α ∗d =¿

0.0#05m

 z = d − 0.4∗ yu=¿ 0.1!3 m

⇒  A st  =

 M u  Z

× f   su

=

!!.#5 ×10 −3 0.1!3 × 3#7.3

= 11.!!cm 2

Sections minimales "condition de non *ragilité# :

o

 f  

= 0.23 ×b d× ×t 2

 A min

 f  e

0.23 = 1× 0.1 ×

1.92

×

#00

1.9 = cm 2 p A st  ⇒

C)F éri+ée. Do/ on choisie pour les armatures principales : ,-'1 /ml

( A = 12.31cm ) 2

 st 

'rmatures en chapeaux :  Aap

⇒

= 0.15Ast =  1.7#cm 2 / ml 

 Aap

 *
( 2.01cm ) 2

= => ?ml

0.

Calcul des armatures de répartition : La section des armatures de répartition, dans le sens de la largeur des escaliers, est prise égale au quart de la section des armatures principales, on a alors:  A r 

=

 A s #

= 2.91cm 2 / ml 

(  A s = 3.01cm 8 )

* $hoix : -',/ml éri+cation 3 l’E4S :  M S  b 2

.

= #7.99 KN .m

×  1 2 + [15 ×  A st  ] ×  1 − 15 ×  A st  × d  = 0

0.5  12 + 1.#!10 −3  1 − 3.32310 −3

=0

  1 =  0.0!51m

&@ b ×  1

3

 ! S"H 

=

⇒  ! S" H 

⇒

3

+ 15 ×  A st  × ( d  −  1 ) 2

= 3.35710 −# m #  M  s

σ bc

=

σ bc

< σ bc = 13.2 M#a

 !  srh

×  1 =  9.30M#a

éri+cation des contraintes : Aour les poutres dalles* coulée sans reprise de 7étonnage sur leur épaisseur, les armatures transversales ne sont pas nécessaire si:

τu

≤ τ u $ u

τ u

=

τ u

  f     = min  0.0! c 2 1.5 M#a÷ = 0.M#a γ  b   

τu

= 0.23# M#a ≤ τ u = 0.M#a ⇒ %erifi&e

b0 ×d 

=

#2.27 ×10−3 1 ×0.1

= 0.23# M#a

éri+cation de 5&che : h l 

≥

1

h

1!

l

0.257

0.0625 ok

≥

 M t 

 A

10 M 0

b0 .d

0.257 0.66 Non vérifiée

≤

0,0006 ok

#.2 f  e 0,0105

Calcul De la Fleche Par la (éthode de l’Inertie Fissurée *'is:'e la condition de l;che n’est &as +%rii%e 6 'n calc'l de l;che est indis&ensable.

0.05 × f t 2

=

As

a+ec ρ  = = b0 .d   b 0   ρ  2 + 3 ÷ b 0   0.05 × 1.92 = = 2.2 M#a 1   0.00! ×  2 + 3 ÷ 1  

λi

 

= 15 K ( d −  )

σ  s

a+ec <=

12.31.10

−#

1 × 0.1

= 0.00!

 ser  0

→ 0 = 3.357.10 −# m # . #7.99

 K

=

 '

= 1−

−#

3.357.10 . σ  s = 2#!.2. M#a

= 1#.29.10 # KN

1.7 5 f  t  2 # ρσ  s

+ f  t 2

= 0.!1 →  ' = 0.! > 0

 L " inertie iss'r%e (  i

=

1.1 ! 0 1 + λ i '

 ( i

= 11000 3 f c 2 = 3022 M#a

 f i

=

 f adm

 M  ser  .l 8 10 ( i

=

×  i

l  1000

/m3

= 0.0001357 m #

= 0.#1cm

+ 0.5cm = 1.103cm ⇒ f i < f  adm .