CALCUL DES ESCALIERS I.
Calcul de l’escalier
Les escaliers présents sur le bâtiment permettent l’accès vertical entre différents étages de la structure ; ils sont soumis à des forces divers (poids propre des escaliers, les surcharges dues aux différent accès, personnes, équipement …) Ces différentes charges peuvent entraîner des dommages divers dans ces éléments de la structure (déformation, fissuration, ou même la ruine de l’escalier). Le calcul donc de ces escaliers à deux volets tiendra compte de tous t ous ces paramètres. Les détails de tous les calculs sont en annexe 10
1. Caract Caractér éristi istique quess géomé géométri trique quess : La hauteur d’étage est H T
=
3.06 m
2.30
D’après la l a formule de BLONDEL on a : 0 .59
≤
g
+
2 h ≤ 0.66 et 2 h + g
= 0.64
→
�
�
(1) ���
Les résultats des caractéristiques géométriques calculées sont : Hauteur de contre marche : h = 17cm La largeur de la marche marche : g = 30cm
���
���
Nombre de contre marches : n= 9 Nombre de marches : (n-1) = 8
Vérification de la formule de BLONDEL : 0.59 ≤ 0.64 ≤ 0.66 ………………Vérifiée
���
��� �
L’angle d’inclinaison : tgα =
h g
=
0.17 0 .3
= 0.567 ⇒ α =
29.54 0
L’épaisseur de la palliasse et de palier : Pour faciliter l’exécution on prend pour les deux éléments la même épaisseur : On a l/30 < e < l/20, l /20, on considère e =20cm
10. Calcul des aciers (palier + paillasse) RA =36,16 KN ; RB =50,63 KN Mmax en travée : 51,65 KN.m Mmax sur appui : 24,30KN.m
En travée: Ast = Mu / (Z × f su su) = 8,77 cm² ;
���
��� �
Choix : Lit 1 : 4HA14 (Ast1 =6,15cm²) ; Lit 2 : 4HA12 (Ast2 = 4,52 cm²) Sur appuis: Ast = Mu / (Z × f su) = 3,99 cm² Choix : Un seul lit : 4HA12 (A st1 =4,52cm²)
Vérification à l’état limite de service :
Vérification des contraintes (palier + paillasse) : Mser = 72,24 KN.m Position de l’axe neutre : y = 9.227 cm 4
Moment d’inertie : I= 56228.477cm
Coefficient K = M ser I = 128,47 MN/m
3
= 0.6 f c 28 = 15 MPa ,
Contrainte dans le béton
σ b =
K . y = 11,85 MPa < σ b
Contrainte dans l’acier
σ S =
15 K (d − y ) =169,1MPa
Condition vérifiée
250MPa, Condition vérifiée
< σ S �
Vérification de l’effort tranchant :
Données : Hauteur totale de la poutre : h= 20cm Hauteur utile de la poutre : d =18cm Largeur de l’âme : bo= 1m Section d’acier tendu : 10,67cm² Effort tranchant : T = 50,63KN
Vérification de la contrainte de cisaillement: Contrainte tangentielle :
τ u =
T b.d = 0,281MPa
Contrainte tangentielle limite : τ u = min(0.1 f c 28 ;4 MPa ) = min (2.5 , 4) = 2,5 MPa => (Pas de risque de cisaillement)
Armatures de répartition
Section des armatures de répartition = A L 4 =2,67 cm² ; Choix :4HA10 (3,14 cm²) ;
11. La poutre palière : Pré dimensionnement : l l 0.15 ≤ h ≤ 0.23 ≤h≤ ⇒ 15 10 0.3h ≤ b ≤ 0.4h 0.05 ≤ b ≤ 0.10
h = 20cm
prend :
b = 10 cm
Sollicitations
�
�
On 2,30
Mmax =Pl²/8 = 8,86 KN.m V = 15,41 KN Pour tenir compte de semi encastrement : Ma = 0,30 Mmax = 2,66 KN.m Mt = 0,85 Mmax = 7,53 KN.m
Calcul des aciers à l’ELU En travée: Ast = Mu / (Z × f su) = 1,35 cm² ; Amin
≥ 0.23b.d.f t28 / f e =
0,22cm² [Choix : 2HA10 (1,57cm²)]
≥ 0.23b.d.f t28 / f e =
0,22cm² [Choix: 2HA6 (0,57cm²)]
En appui Ast = Mu / (Z × f su) = 0,45 cm² ; Amin
Vérification à l’ELS Ms = 6,31 KN.m La position de l'axe neutre : y = 2,33 cm = 0.6 f c 28 = 15 MPa ,
Contrainte dans le béton
σ b =
K . y = 2,53 MPa < σ b
Contrainte dans l’acier
σ S =
15 K (d − y ) =156,04MPa
Condition vérifiée
250MPa, Condition vérifié
< σ S �
Plan de ferraillage
Figure 12 : Plan de ferraillage de l’escalier
NOTE DE CALCUL DE L’ESCALIER La hauteur d’étage est H T
=
3.06 m
D’après la formule de BLONDEL on a : 0.59 ≤ g
+
2 h ≤ 0.66
Avec : h : la hauteur de la contre marche. g : la largeur de la marche. Pour déterminer (h et g) il faut résoudre l’équation : 2h + g
H =
=
H T
0.64 =
3.06
2
(1)
→
=
2
1.53 m ²
l ( n − 1)g = l ⇒ g = n−1 n.h = H ⇒ h = H n
n : Nombre des contres marches.
D’après (1) on a :
2
H
l
+
n
n −1
⇒ 0.64n 2
−
= 0.64
(0.64 + l + 2 H )n + 2 H = 0
La solution est n=9
H 1.53 h = n = 9 = 0.17 m g = l = 2.4 = 0.30 m n-1 9 −1 Vérification de la condition de « BLONDEL » : 0.59 ≤ g + 2 h ≤ 0.66
0.59 ≤ 0.64 ≤ 0.66 ………………Vérifiée
L’angle d’inclinaison : tgα =
h g
=
0.17 0.3
= 0.567 ⇒ α =
29.54
0
L’épaisseur de la palliasse et de palier : Pour faciliter l’exécution on prend pour les deux éléments la même épaisseur : on à : l = 4.7 l
≤
30
e≤
l 20
⇒ 0.16 ≤ e ≤ 0.24
Donc prend une épaisseur : e = 20 cm
Sollicitations :
RA =36,16 KN ; RB =50,63 KN Mmax en travée : 51,65 KN.m Mmax sur appui : 24,30KN.m
Calcul des aciers (palier + paillasse)
En travée: Mu = 51,65 KN.m µu =Mu /
(
)
(b × d² × f bu) = 0,271; α = 1.25 1 − 1 − 2 µ u = 0,149 ; Z = d×(1 - 0.4α))= 0,23m
Ast = Mu / (Z × f su) = 8,77 cm² Amin
≥ 0.23b.d.f t28 / f e =
0,978cm²
Choix : Lit 1 : 4HA14 (Ast1 =6,15cm²) ; Lit 2 : 4HA12 (Ast2 = 4,52 cm²) Sur appuis: Mu = 24,30 KN.m µu =Mu /
(
)
(b × d² × f bu) = 0,127; α = 1.25 1 − 1 − 2 µ u = 0,07 ; Z = d×(1 - 0.4α))= 0,25m
Ast = Mu / (Z × f su) = 3,99 cm² Amin
≥ 0.23b.d.f t28 / f e =
0,978cm²
Choix : Un seul lit : 4HA12 (A st1 =4,52cm²) Vérification à l’état limite de service : Vérification des contraintes (palier + paillasse) : Mser = 72,24 KN.m
by²
Position de l’axe neutre :
Moment d’inertie : I =
2
by 3
+ 15 AS
(d − y ) = 0
soit y = 9.227 cm
3
+ 15 AS
(d − y )2
= 56228.477cm
4
Coefficient K = M ser I = 128,47 MN/m
3
= 0.6 f c 28 = 15 MPa ,
Contrainte dans le béton
σ b =
K . y = 11,85 MPa < σ b
Contrainte dans l’acier
σ S =
15 K (d − y ) =169,1MPa
Condition vérifiée
250MPa, Condition vérifiée
< σ S �
Vérification de l’effort tranchant :
Données : Hauteur totale de la poutre : h= 20cm Hauteur utile de la poutre : d =18cm Largeur de l’âme : bo= 1m Section d’acier tendu : 10,67cm² Effort tranchant : T = 50,63KN
Vérification de la contrainte de cisaillement: Contrainte tangentielle :
τ u =
T b .d = 0,281MPa
Contrainte tangentielle limite :
τ u
= min (0.1 f c 28 ;4 MPa ) = min (2.5 , 4) = 2,5 MPa
=> (Pas de risque de cisaillement)
Armatures répartition
Section des armatures de répartition = A L 4 =2,67 cm²
Choix :4HA10 (3,14 cm²) ;
La poutre palière :
Dimensionnement : l l 0.15 ≤ h ≤ 0.23 ≤h≤ ⇒ 15 10 0.3h ≤ b ≤ 0.4h 0.05 ≤ b ≤ 0.10
�
�
On 2,30
h = 20cm
prend :
b = 10 cm
Sollicitations Mmax =Pl²/8 = 8,86 KN.m V = 15,41 KN Pour tenir compte de semi encastrement : Ma = 0,30 Mmax = 2,66 KN.m Mt = 0,85 Mmax = 7,53 KN.m
Calcul des aciers à l’ELU En travée: µu =Mu /
(b × d² × f bu) = 0,00753/(0,10x0,18²x14,2) = 0,164<0,392 ( Pas d’aciers comprimés)
α =
1.25(1 − 1 − 2 µ u )= 0,225
Z = d×(1 - 0.4 α))= 0,16m Ast = Mu / (Z × f su) = 1,35 cm² Amin
≥ 0.23b.d.f t28 / f e =
0,22cm²
Choix : 2HA10 (1,57cm²) En appui µu =Mu / α =
(b × d² × f bu) = 0,00266/(0,10x0,18²x14,2) = 0,06<0,392 ( Pas d’aciers comprimés)
1.25(1 − 1 − 2 µ u )= 0,08
Z = d×(1 - 0.4α))= 0,17m Ast = Mu / (Z × f su) = 0,45 cm² Amin
≥ 0.23b.d.f t28 / f e =
0,22cm²
Choix: 2HA6 (0,57cm²) Vérification à l’ELS Ms = 6,31 KN.m La position de l'axe neutre :
by² 2
+ 15 AS
(d − y ) = 0 soit 0,05y² - 23,25x10 -4y +42,39x10 -5 =0
Soit y = 2,33 cm. Le moment d'inertie : I =
by 3 3
+ 15 AS
(d − y )2 = 5803,76 cm 4
Coefficient K = M ser I = 108,72 MN/m
3
= 0.6 f c 28 = 15 MPa ,
Contrainte dans le béton
σ b =
K . y = 2,53 MPa < σ b
Contrainte dans l’acier
σ S =
15 K (d − y ) =156,04MPa
Condition vérifiée
250MPa, Condition vérifié
< σ S �
