Exemple de Exercitii Matematica Ase

Varianta A 3n 1  4n 1) (1p) Să se calculeze suma seriei  . 5n n0 



2) (2p) Să se calculeze mulţimea de convergenţă a seriei de puteri:

1

 3n (5n  1)  x  2 

n

.

n0

3) (2p) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei: f: R2R, f  x, y   5 x 3  10 xy  y 2  40 x  8 . 4) (1p) Fie două evenimente independente A, B, definite pe acelaşi câmp de probabilitate, astfel încât P(A)=0,2 şi P(AB)=0,6. Să se determine P(B). 5) (1p) Dintr-o urnă cu 3 bile albe şi 4 negre se extrag, cu revenire, 2 bile. Să se calculeze probabilitatea ca bilele extrase să fie albe. 6) (2p) Fie variabila aleatoare continuă X cu densitatea de probabilitate: f: RR,  k  1- x  , x   0, 1 f  x   , unde kR.  0, x   0, 1 Să se afle constanta k, media şi funcţia de repartiţie ale variabilei aleatoare X. 7) (2p) Fie variabila aleatoare discretă bidimensională Z=(X, Y), dată prin următorul tablou de repartiţie: Y -1 1 P(X=xi) X 0 α 0,1 1 0,2 0,4 P(Y=yj) Să se completeze tabelul şi să se afle repartiţiile variabilelor aleatoare marginale X, Y. Să se studieze independenţa variabilelor aleatoare X, Y şi să se calculeze (X, Y).

Varianta B 

2 5 n 3n 1) (1p) Să se calculeze suma seriei  . 7n n0 2) (2p) Să se calculeze mulţimea de convergenţă a seriei de puteri:



 1

n

 3n  1  x  4 

n

.

n 1

3) (2p) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei: f: R2R, f  x, y   3 x 2  9 y 2  3 xy 2  9 x  19 . 4) (1p) Fie două evenimente oarecare A, B, definite pe acelaşi câmp de probabilitate, astfel încât P(A)=0,2, P(AB)=0,6 şi P(A B)=0,2. Să se determine P(B). 5) (1p) Dintr-o urnă cu 4 bile albe şi 3 negre se extrag, fără revenire, 2 bile. Să se calculeze probabilitatea ca bilele extrase să fie negre. 6) (2p) Fie variabila aleatoare continuă X cu densitatea de probabilitate: f: RR,  k  2  x  , x   0, 2 f  x   , unde kR. Să se afle constanta k, media şi funcţia de  0, x   0, 2 repartiţie ale variabilei aleatoare X. 7) (2p) Fie variabila aleatoare discretă bidimensională Z=(X, Y), dată prin următorul tablou de repartiţie: Y 0 1 P(X=xi) X -1

1 6

1 3

1 3 4 Să se completeze tabelul şi să se afle repartiţiile variabilelor aleatoare marginale X, Y. Să se studieze independenţa variabilelor aleatoare X, Y şi să se calculeze (X, Y). P(Y=yj)