ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA “VESALIUS”
EXCELENCIA 2012
PROFESOR: Erick Vásquez Llanos
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
FECHA: 21 – 07 – 2012
Nº 03 – TRIÁNGULOS I. TRIANGULOS: Se denomina triángulo a una región del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. B 2 B1 A
3.
Desigualdad de longitudes de sus lados. B
B2
a
c 3
1
A
C
ba a bc ac bac
En general el triángulo se denota como: ABC. II. ELEMENTOS Los elementos de un triángulo son: Vértices: Son los extremos comunes A, B, C de los segmentos rectilíneos que forman el triángulo ABC.
ba c ba
4.
Relación de Lado - Angulo B
Lados: Son los segmentos AB, BC y AC limitados por los
PROPIEDADES FUNDAMENTALES EN EL TRIANGULO, ANGULOS FORMADOS POR LINEAS NOTABLES. 1.
A
a
b
C
bac
si :
5.
“P” un punto interior cualquiera: B
Suma de los ángulos interiores: x
B
y
A C
A
z C
b
si : p x y z (2p)
180
donde: (2p) : perímetro p : semiperímetro
Medida de un ángulo exterior: z°
a
c
2.
c
vértices A, B y C. Angulos interiores: (1, 2, 3) son los ángulos formados por dos lados y el vértice común. Angulos exteriores: Son los ángulos que se forman mediante un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente (1, 2, 3).
III.
C
b
B3
B
A
y° C
x°
x y z
2.1. COROLARIO: Propiedad del cuadrilátero cóncavo.
01. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Un triángulo es congruente con otro, si y sólo sí, existe una correspondencia entre sus vértices de modo que sus lados y ángulos sean respectivamente congruentes con los lados y ángulos del otro. Según esto se tiene:
x°
x
AB DE A D ABC DEF BC EF y B E AC DF C F
Tercer Caso LLL (Lado- Lado – Lado) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes sus tres lados, entonces dichos triángulos son congruentes
La notación: ∆ABC ∆DEF, se lee: triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF. OBSERVACIONES:
En el lenguaje corriente se dice que dos figuras son congruentes si tienen exactamente la misma forma e
ABCDEF
igual tamaño.
Cuarto Caso ALL (Ángulo - Lado- Lado)
Al nombrar triángulos congruentes asegure hacerlo en el orden correcto, lo que permitirá identificar lados
Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes
correspondientes
dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos es
y
ángulos
correspondientes
sin
necesidad de mirar las figuras. Por ejemplo, cuando escribimos: ∆ABC ∆DEF, queremos decir que: AB DE
BC EF
AC DF
A D
A D
A D
respectivamente
congruente,
entonces
dichos
triángulos son congruentes.
02. CRITERIOS DE CONGRUENCIA Son las condiciones mínimas para que dos triángulos sean congruentes.
OBSERVACION:
Primer Caso- LAL (Lado- ángulo- lado)
Si dos triángulos son congruentes se cumplirá que a los lados iguales se oponen ángulos iguales, a la vez que a ángulos iguales se opondrán lados iguales.
Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo comprendido, entonces dichos triángulos son congruentes
ABCDEF
Segundo Caso – ALA (ángulo – lado- ángulo) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes un lado y los ángulos adyacentes a este lado, entonces dichos triángulos son congruentes.
ABCDEF
07.
Práctica de clase
Hallar el mayor valor entero de “x”, en la figura adjunta.
Existencia y unicidad 01.
Sean dos triángulos obtusángulos ABC y ADC, con sus ángulos obtusos en A y C. Si AD + BC = 10u y AC = 2u. ¿Cuántos valores enteros puede tomar la suma de las longitudes de AB y CD ?
a) sólo un valor c) 3 valores e) ningún valor entero
02.
b) 2 valores d) más de 3 valores
En un triángulo ABC, si m A 4m C . Calcular el mayor valor entero de BC, si AB = 2u.
a) 3u d) 7u
b) 4u e) 9u
a) 19 d) 27
b) 21 e) 29
c) 25
08. En la figura mostrada, si: BD = 4 y BC = 6, hallar AD.
c) 5u
03. Si en un triángulo PQR, PQ+QR=30 cm y PR=20 cm, entonces el menor valor entero que puede tomar la ceviana QM , en cm, es: a) 3 d) 6
b) 4
[UNT – 11 – I] c) 5
e) 7
04. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B. Si desde
a) 10 d) 13
b) 9 e) 8
c) 12
09. En la figura, halle el menor valor entero de AD
el punto A se traza la bisectriz interior que divide al cateto opuesto en segmentos de 3 y 5 unidades respectivamente, entonces el valor de su hipotenusa, es: [Excel – 11 – II] a) 9
b) 10
d) 12
e) 13
c) 11
05. Sobre el cateto BC de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se construye exteriormente el triángulo equilátero
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
BCD. Si P, Q y R son puntos medios de AD, BD y BC respectivamente, la medida del ángulo PQR, en grados sexagesimal, es: a) 20º
b) 30º
d) 45º
e) 60º
10. En el triángulo ABC, AB = 8, se traza la bisectriz
[Excel – 11 – II]
= 2.B, la medida de
c) 37º
máximo es:
AD , cuando BC
BD , A
toma su valor
06. En un terreno triangular sus vértices son señalados por A, B y C. Las medidas de sus lados son AB=24m; BC=16m y AC=20m. Si desde el vértice B se trazan la bisectriz interior BM y la bisectriz exterior BE, (E en la prolongación de AC), entonces la distancia de M a E, es: [Excel – 11 – II] a) 52 m.
b) 51 m.
d) 49 m.
e) 48 m.
c) 50 m.
a) 6
b) 7
d) 9
e) 10
[UNT – 10 – II] c) 8
11. Del gráfico obtener “x” si KH toma su mínimo valor entero.
a) 65º d) 68º
b) 66º e) 72º
c) 67º
Ángulo
12.
b) ICE e) IBC
a) 7,5º
b) 15º
d) 30º
e) 36º
c) 22,5
16. En la figura siguiente, halle ”x”
El ángulo BID es congruente con:
a)BAC d) DIE
15. En la figura, halle “x”
c) EIC
a) 20º
b) 24º
d) 36º
e) 40º
c) 30º
Isósceles Congruencia
13. Halle “x” en la figura siguiente:
17. Del gráfico hallar “x”
a) 12º d) 18º
b) 15º e) 20º
c) 16º
Ángulos notables
a) 15º
b) 18º
d) 30º
e) 10º
c) 22º 30’
18. Calcular “x”
14. En la figura siguiente, halle ”x”
a) 10º d) 20º
b) 15º e) 30º
c) 18º
a) 10º d) 18º
b) 12º e) 22º30’
c) 15º
23. Calcular “x” 19.
En el gráfico, AC = 2 (BP), calcule mBCP.
a) 30º d) 45º
b) 40º e) 37º
a) 9º
b) 10º
d) 15º
e) 18º
c) 12º
c) 18º
24.
En el gráfico, AB = PC. Calcular “ACB”
20. Si MN = NP, halle “x”
a) 20º
25. a)
72º
b) 75º
d) 84º
b) 24º
c) 25º
d) 30º
e) 37º
En el gráfico, halle “x”
c) 80º
e) 90º
21. En la figura, halle la mC
a) 72º d) 84º
26. a) 60º d) 90º
e) 100º
b) 72º
b) 75º e) 90º
c) 80º
En el gráfico, halle “x”
c) 84º
22. Halle “x” en: a) 10º
b) 15º
d) 20º
e) 30º
c) 18º
27. Halle el valor de “x” en:
a) 10º
b) 15º
d) 20º
e) 30º
c) 18º
a) 10º
b) 15º
d) 20º
e) 30º
c) 18º
28. Si M es punto medio de BC, halle el valor de “x” en:
03. En un triángulo ABC. Si BC = 7.AB y
AC = 48. Hallar el
valor entero de AB.
a) 5u d) 8u
b) 6u e) 7u
c) 9u
04. Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de razón 5. Hallar el mínimo valor entero que puede asumir el perímetro de dicho triángulo.
a) 30u d) 33u a) 10º
b) 15º
d) 20º
e) 30º
c) 18º
b) 31u e) 32u
c) 29u
05. Se tiene un triángulo tal que dos de sus lados miden 9 y 18. Un posible valor del perímetro del triángulo es:
a) 45u d) 32u
29. Halle el valor de “x” en:
b) 36u c) 18u e) dos respuestas
06. En la figura, si AC = 5u,, BD = 7u y
AB = 16u.
Hallar el mayor valor entero de CD. C B
A D
a) 26u d) 27u
b) 5u e) 30u
c) 6u
07. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en B, si AC a) 10º
b) 15º
d) 20º
e) 30º
= 10 y BC = 2. Hallar AB, si su valor es entero.
c) 18º
a) 8u d) 11u
b) 9u e) 12u
c) 10u
30. Halle el valor de “x” 08.
En
un
triángulo
ABC,
m C 10º , sean los punto M AC y
modo que AB = BQ = AM. Calcule m QMC . a) 30º d) 55º
b) 35º e) 70º
09.
m A 60º ; Q BC de
c) 45º
En la figura: AD = AB + BC y BC = CD
Halle x. C
a) 10º
b) 15º
d) 20º
e) 30º
B
c) 18º
70º
AB = 2.
Calcular BC, si se sabe que es entero. a) 1 d) 2
b) 3 e) 4
60º
A
TAREA DOMICILIARIA 01. En un triángulo ABC, m A 2m C ;
x
c) 5
a) 100º d) 135º
10.
D
b) 120º e) 140º En
un
c) 130º
triángulo
m MAC .
02. Los lado AB y BC de un triángulo ABC miden 4cm y 6cm respectivamente. Sobre el lado AC se construye el triángulo equilátero AFC, exterior al triángulo ABC, hallar el mayor valor entero del perímetro del triángulo AFC. a) 21u d) 29u
b) 24u e) 30u
c) 27u
ABC,
m ACB 30º ;
m ABC 105º , sea M punto medio de BC . Calcule
a) 15º d) 45º/2
b) 20º e) 18º
c) 30º
11.
En un triángulo ABC, en AB y AC se ubican E y D respectivamente. Si m EAD 20º ; m AED 40º y ED = DC = BC, calcule m B
a) 20º d) 80º
b) 40º e) 100º
c) 60º
12. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior AD , la mediatriz de CD interseca a AC y a la prolongación de AD en P y Q respectivamente. Si BD = PC, calcule m AQP . 45 2 d) 37
a)
13.
c) 25
b) 48º e) 60º
c) 50º
b) 22º e) 45º
c) 25º
19. Calcular “x”
e) 53
Exteriormente y relativo al cateto BC del triángulo rectángulo ABC, se ubica D, tal que: m ADC m ABC 90 Si m CAD 15 y m BCD 15 . Calcule la razón entre AB y la distancia de D hacia AB .
a) 3 d) 2
14.
b) 30
a) 42º d) 52º
b) 2 e) 3
c) 2 3
a) 15º d) 30º
20. Calcular “x”
En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, en AB y AC se ubican los puntos N y M respectivamente, tal que m NMA 90 y los triángulos NMA y NBC son congruentes, calcule m NCM .
a) 36 d) 45
b) 30 e) 50
c) 37
15.
En el triángulo ABC, la mediatriz de BC interseca a AC en Q, tal que: AB = 2(QC) y m ACB 45 . Calcule m BAC a) 20 d) 30
16.
b) 53 e) 36
b) 10º
d) 15º
e) 18º
c) 12º
c) 37
En el triángulo ABC, obtuso en B se cumple m BAC 8 y AB 5 BC . Calcule m BCA .
a) 45 d) 30
17.
b) 25 e) 36
a) 9º
21. L es mediatriz de BC, luego el valor de “x” es:
c) 37
En la figura AC = BD, halle el valor de
a) 10º
b) 15º
d) 20º
e) 30º
c) 18º
22. Halle el valor de “x” en: a) 32º d) 42º
18.
b) 38º e) 48º
c) 40º
En la figura AD = BC, halle el valor de
a) 10º
b) 12º
d) 20º
e) 30º
c) 18º
