Este tema corresponde esencialmente al planteamiento de ecuaciones. La solución a este tipo de problema involucra reconocer cada uno de los siguientes elementos: elementos: - SUJETOS: Debemos identificar el número de sujetos que intervienen. - TIEMPO (verbo): debemos tener presente que la acción del problema se desarrolla en distintos tiempos. “Hace 5 años” “Actualmente” “Dentro de 8 años”.
- CONDICIONES: relación entre los personajes, en el tiempo. “Hace 5 años tu edad era el triple de la edad que tengo” “Dentro de 10 años mi edad s erá el doble de la que tenías hace 3 años”.
PROBLEMAS SOBRE EDADES TIPO I: CUANDO INTERVIENE LA EDAD (E) DE UN SOLO SUJETO
5 años resulta el doble de mi edad actual. Que edad tenía hace 5 años. Resolución: Edad actual: E Dentro de 10 años: E + 10 Hace 5 años: E – 5 Planteando la ecuación: 4(E + 10) – 3(E – 5) = 2E 4E + 40 – 3E + 15 = 2E E = 55 Hace 5 años tenía 50 años Ejemplo 3 Pedro tiene 45 años. Dentro de cuántos años tendrá el doble de la edad que tenía hace 15 años? Resolución: Edad actual: 45 años Hace 15 años tenía: 45 – 15 = 30 años El doble de esa edad es: 2(30) = 60 años El tendrá 60 años dentro de: 60 – 45 = 15 años TIPO II: CUANDO INTERVIENEN LAS EDADES DE DOS O MÁS SUJETOS
Analicemos en tres tiempos: Hace “m” años Dentro de “n” años
E – m E E + n Pasado Presente Futuro Ejemplo 1 Dentro de 20 años Pedro tendrá el doble de la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tendrá dentro de 2 años? Resolución: Edad actual: E Edad dentro de 20 años: E + 20 Edad hace 10 años: E – 10 Podemos plantear: E + 20 = 2(E – 10) E + 20 = 2E – 20 E = 40 Dentro de 2 años tendrá 42 años Ejemplo 2 Si al cuádruplo de la edad que tendré dentro de 10 años, le restamos el triple de la edad que tenía hace
Es conveniente para la solución de este tipo de problema el uso de un cuadro. Por ejemplo, analicemos para tres sujetos en tres tiempos y luego completamos el cuadro: TIEMPOS PASADO PRESENTE FUTURO S U A 30 J E B 15 T O C 42 S HACE 5 DENTRO AÑOS 8 AÑOS Se observa que: - La diferencia de edades entre dos personas, en el transcurso del tiempo no varía. Ejemplo 4 El le dice a Ella: “Yo tengo el triple de la edad que t u tenías cuando yo tenía la edad que tu tienes”.
¿Cuántos años tienen ambos, si sus edades suman 50 años? Resolución: Empleando un cuadro para 2 personajes, en dos tiempos, tenemos: Pasado Presente. EL y 3x ELLA x y Aplicando diferencia diferencia de edades, en el pasado y el presente, y teniendo en cuenta que no varía, tenemos: y – x = 3x – y y + y = x + 3x 2y = 4x y = 2x Del dato, que sus edades actuales suman 50 años: 3x + y = 50 3x + 2x = 50 x = 10 El tiene 3x = 3(10) = 30 años Ella tiene y; es decir: 20 años Ejemplo 5 Dentro de 20 años, la edad de María será a la de Diana como 4 es a 3. ¿Cuál es la edad de ambas si hace 13 años la edad de María era el quíntuplo de la de Diana? Resolución: Empleando cuadro de doble entrada, para dos personajes y tres tiempos. Partiendo de la información en el futuro (dentro de 20 años), tenemos: Pasado Presente Futuro María 4k Diana 3k Con este dato completamos el cuadro, para el presente y el pasado (hace 13 años). Pasado Presente Futuro María 4k – 33 4k – 20 4k Diana 3k – 33 3k – 20 3k
Teniendo en cuenta que hace 13 años la edad de María era el quíntuplo del de Diana, planteamos la siguiente ecuación: 4k – 33 = 5(3k – 33) 4k – 33 = 15k – 165 11 k = 132 k = 12 Edad de María = 4(12) – 20 = 28 años Edad de Diana = 3(12) – 20 = 16 años Ejemplo 6 Roberto tiene 24 años; su edad es el séxtuplo de la edad que tenía Betty cuando Roberto tenía la tercera parte de la edad que tiene Betty. Qué edad tiene Betty? Resolución: Pasado Presente Roberto x 24 = 6.4 Betty 4 3x Aplicando diferencias diferencias de edades o sumando sumando en aspa, tenemos: 4x = 28 x=7 Edad de Betty = 3x = 3(7) = 21 años Ejemplo 7 Hallar la edad de un padre y la de su hijo sabiendo que hace 8 años la edad del primero fue el cuádruple de la del segundo; dentro de 12 años sólo será el doble de la de su hijo. Resolución: De acuerdo a los datos, emplearemos un cuadro para dos personas en tres tiempos Hace 8 años Presente Dentro de 12 años Padre Hijo P=4H P=2H - Digamos que hace 8 años el hijo tenía “x” años; en tanto que el padre tenía “4x”.
- En la actualidad el hijo tendrá “x+8” y el padre “4x + 8”
- Dentro de 12 años tendrán “x + 20” y “4x + 20”.
Ubicando esta información en el cuadro tenemos: Hace 8 años Presente Dentro de 12 años Padre 4X 4X + 8 4X + 20 Hijo X X + 8 X + 20 De la segunda condición: P = 2H 4x + 20 = 2(x + 20) 4x + 20 = 2x + 40 2x = 20 x = 10 Edad del Padre = 4(10) + 8 = 48 años Hijo = 18 años
Reemplazando en (I) tenemos 2(6x – 63) = 3x 12x – 126 = 3x x = 14 En (II): y = 6(14) – 63 = 21 las edades son:
José: 2(14) = 28 años Pablo : 21 años TIPO III: USO DEL CRITERIO ARITMÉTICO Aplicaremos la siguiente siguiente relación: Ejemplo 9 Una persona nació en y en cumplió (a+b) años. ¿En qué año cumplió a(b) años?
Ejemplo 8 José le dice a Pablo: “Yo tengo el doble de la edad
que tu tenías cuando yo tenía la edad que tienes; pero cuando tu tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años”. Hallar ambas
Resolución: Empleando Edad = Año Ref. – Año Nac. Tenemos: a + b = –
edades actuales. Resolución: Empleando cuadro para dos personas y en tres tiempos; así como ubicando la información de la primera condición del problema, tenemos: Pasado Presente Futuro José Y 2X Pablo X Y De la segunda condición: “ nuestras edades sumarán 63 años”
Si Pablo tendrá 2x, entonces José tendrá 63 – 2x Pasado Presente Futuro José Y 2X 63 – 2X Pablo X Y 2X Por diferencia de edades (no cambia con el transcurso del tiempo): - Tiempos pasado y presente y – x = 2x – y 2x = 3y …. (I)
- Tiempos presente y futuro 2x – y = (63 – 2x) – 2x 2x – y = 63 – 4x y = 6x – 63 ….. (II)
descomponiendo polinómicamente: a+b = 1900+10b+a –(1900+10a+b) a+b =1900+10b+a –1900 –10a-b desarrollando encontramos que: 10a = 8b 5a = 4b Teniendo en cuenta que a y b son números de una cifra, esta igualdad cumple para: a = 4 y b = 5 Año de Nacimiento: 1945
Para saber en que año cumplió a(b) años, es decir: 4(5) = 20 años esta edad la sumaremos a su año de nacimiento; es decir: 1945 + 20 = 1965 Ejemplo 10 Una persona tiene en 1988 tantos años como el producto de las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es su edad actual (2004), considerando que este año ya celebró su onomástico? Resolución: Considerando año de nacimiento: Tendremos que:
a(b) = 1988 – a(b) = 1988 – 1900 – 10a – b ordenando 10a + b + a(b) = 88 10a + b(1 + a) = 88 Esta igualdad cumple para: a=6yb=4 ya que: 10(6) + 4(1 + 6) = 88 Año de nacimiento: 1964 Edad actual = 2004 – 1964 = 40 años Ejemplo 11 Un profesor nació en y en 1990 tuvo (a + b) años. En que año llegó a tener (2a + b) años?
4y = 68 y = 17 José tiene 17 años
Resolución: Edad = Año de ref. – Año de nac. a + b = 1990 – a + b = 1990 – 1900 – 10a – b ordenando 11a + 2b = 90 esta igualdad cumple para: a=8yb=1 porque 11(8) + 2(1) = 90 Año de nacimiento: 1981 Llegó a tener: 2a+b =2(8)+ 1 = 17 en: 1981 + 17 = 1998
Rpta:……………………………….
Ejemplo 12 Juan le dice a José: Cuando tú tenías 7 años menos de la edad que yo tengo, yo tenía 3 años menos de la edad que tú tienes y cuando tenga el doble de la edad que tu tienes, nuestras edades sumarán 66 años. ¿Qué edad tiene José? Resolución: Como el problema relaciona a tres tiempos, entonces hacemos el esquema para el primer párrafo: Pasado Presente Futuro Juan y-3 x José x-7 y Según el segundo párrafo tenemos: Pasado Presente Futuro Juan x 2y José y 66-2y De los dos esquemas, aplicando diferencia de edades, tenemos: (y-3)-(x-7) = x-y x = y+2 2y-(66-2y) = x-y x = 5y-66 Igualando: 5y – 66 = y+2
PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Si al doble de mi edad actual, se le quita mi edad aumentada en 10, se tendría 19. ¿Qué edad tengo? Rpta:……………………………….
2. La tercera parte de la edad de María es 13 años más que la edad de Norma y el quíntuplo de la edad de Norma es 25 años menos que la edad de María. Hallar la edad de Norma.
3. Si Ricardo hubiera nacido en el año 19ba en el año 2030 tendría ba años. Sin embargo nació en el año 19aa. ¿Cuántos años tenía en el año 1999? Rpta:……………………………….
4. La edad de Carlos en 1975 era tanto como la mitad de las dos últimas cifras del año de su nacimiento, que edad tiene actualmente (2004) si ya celebró su cumpleaños. Rpta:………………………………. 5. “Diego” y su abuelo tenían en 1928 tantos años
como indica las dos últimas cifras del año de su nacimiento. Cual era la edad del abuelo cuando nació “Diego”. Rpta:……………………………….
6. Bertha tenía en 1962, tantos años como el producto de las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál era su edad en aquel año, si en un año más su edad será un número cuadrado perfecto? Rpta:……………………………….
7. Elsa es 6 años mas joven que Ivan. Hace 3 años Ivan tenía el triple de la edad que Elsa tenía entonces. Encontrar la edad de Ivan. Rpta:……………………………….
8. Miguel tiene 5 años menos que Doris. Hace cuatro años la suma de sus edades era 21 años. ¿Qué edad tiene Doris?
Rpta:……………………………….
9. Denise es 3 veces mayor de edad que Clara. Hace 5 años la suma de sus edades era 40 años. ¿Qué edad tiene Clara?
onceava parte de la edad que tu tienes, pero cuando tú tengas el cuádruplo de la edad que tengo yo, la suma de nuestras edades será 80 años. ¿Qué edad tiene el discípulo?
Rpta:……………………………….
Rpta:……………………………….
10. Juan tiene 2 años más que su hermano Roberto y la edad del padre es el cuádruplo de la edad de su hijo Roberto. Si hace 5 años la suma de las edades de los tres era 47 años. ¿Cuántos años tiene actualmente el Padre?
17. Dentro de 8 años la suma de nuestras edades será 42 años; pero hace “n” años la diferencia de nuestras edades era de 8 años. ¿Hace cuántos años la edad de uno era el triple de la del otro?
Rpta: …………………………….
Rpta:……………………………….
11. La edad de un Padre supera en 5 años a la suma de las edades de sus 3 hijos. Dentro de 10 años su edad será el doble que la del primero, dentro de 20 años su edad será el doble del segundo y dentro de 30 años será el doble que la del tercero. ¿Cuál es la edad del hijo menor?
18. Cuando transcurran desde hoy tantos años como los años que pasaron desde que nací hasta la edad que tenía hace 10 años, tendré el cuadrado de la edad que tenía hace 9 años. ¿Cuántos años tenía hace 3 años? Rpta:………………………………..
Rpta:……………………………….
12. La edad actual de un hijo es los 4/9 de la edad de su padre, si dentro de 5 años, la mitad de la edad del padre será igual a la del hijo. ¿Cuál es la edad del Padre?
19. Saúl le dice a Erick: Tengo el triple de la edad que tu tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes y cuando tengas la edad que tengo, yo tendré el doble de la edad que tenías hace 12 años. Cuántos años suman sus edades actuales
Rpta:……………………………….
Rpta:……………………………..
13. Romeo le dice a Julieta: Tu tienes 18 años pero cuando tu tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 48 años. ¿Qué edad tendrá Romeo dentro de 8 años?
EJRCICIOS RESUELTOS 1. Teófilo tiene el triple de la edad de Pedro. Cuando Pedro tenga la edad de Teófilo, este tendrá 75 años. ¿Cuál es la edad de Teófilo?
Rpta:……………………………….
14. Un padre le dice a su hijo: Hace 8 años mi edad era el cuádruplo de la edad que tu tenías, pero dentro de 8 años únicamente será el doble. ¿Cuál es la edad actual del hijo?
A) 30 B) 35 C) 40 40 D) 45 E) 50 RESOLUCIÓN La diferencia de edades siempre es la misma.
Rpta:………………………………. 15. Toño le dice a Alex: “Cuando tu tenías 7 años
menos de la edad que yo tengo, yo tenía 3 años menos de la edad que tu tienes y cuando tenga el doble de la edad que tu tienes, nuestras edades sumarán 66 años. ¿Qué edad tiene Toño? Rpta:………………………………. 16. Un discípulo le dice a su maestro: “Cuando tu
tenías el triple de la edad que yo tengo, yo tenía la
Teófilo tiene 45 años RPTA.: D 2. Hace (a + b) años, Martín tenía 2a años, ¿Qué edad tendrá dentro de (a – b) años? A) 4a B) 2a – 2b C) 3a D) 3a – 2b E) 2a + 2b RESOLUCIÓN
RPTA.: A 3. Las edades de tres amigos son (2x + 9), (x 1) (x + 2) años respectivamente. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la suma de las edades de los últimos sea igual a la edad del primero? A) 10 B) 8 C) 6 D) 5 E) 4 RESOLUCIÓN Condición:
6. María tuvo su primer hijo a los 20 años y 5 años después tuvo a su segundo hijo. Si en el 2004 las edades de los tres sumaban 60 años, cuánto suman las cifras del año en que nació María. A) 16 B) 20 C) 25 25 D) 28 E) 31 RESOLUCIÓN En el 2004 tenía: 25 + x = 25+10 = 35 años María nació en: 2004-35 =1969 Se pide: Suma de cifras 1 + 9 + 6 + 9 = 25 RPTA.: C
RPTA.: B 4. La edad de Juana dentro de 6 años será un cuadrado perfecto. Hace 14 años, su edad era la raíz cuadrada de ese cuadrado. ¿Qué edad tendrá d entro de 9 años?
7. Julio l e dice a Diana: “yo tengo el triple de la edad que tenías cuando yo tenía la edad que tu tienes y cuando tu tengas la edad que yo tengo la diferencia de nuestras edades será 12 años” ¿Qué edad tiene
Diana?
A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29
A) 18 B) 20 C) 22 22 D) 24 E) 26
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Luego:
La diferencia de edades es una constante.
Tiene: 5 + 14 =19 Dentro de 9 años Tendrá: 19 + 9 =28 RPTA.: D
x = 12 y – 12 = 12 y = 24 RPTA.: D
5. José le dice a Elena; “si al triple de mi edad se le
quita 16 años, tendría lo que me falta para tener 88 años”. Elena le responde: “si al triple de la edad que
tendré dentro de 4 años le sumo el cuádruple de la edad que tenía hace 9 años, resultará el séxtuplo de mi edad”. ¿Cuánto suman sus edades? A) 45 años B) 50 50 años C) 55 años D) 35 años E) 30 años RESOLUCIÓN Sea: x la edad de José años Sea: y la edad de Elena Luego: RPTA.: B
8. Yo tengo el triple de tu edad, y él tiene el triple de la mía. Si dentro 10 años tu edad sumada a la mía será 20 años menor que la de él, qué edad tengo? A) 14 B) 16 C) 18 18 D) 20 E) 21 RESOLUCIÓN Dentro de 10 años se cumplirá que: ( 4x + 20 = 9x 10 5x = 30 yo tengo: x = 6 3(6) = 18 RPTA.: C 9. Carlos le dice a Nancy: “dentro de 8 años la suma de nuestras edades será 51 años” y Nancy responde: “pero hace 8 años el producto era 84” ¿Cuál es la
diferencia de los cuadrados de sus edades? A) 625 B) 724 C) C) 175 D) 93 E) 68
RESOLUCIÓN x + 8 + y + 8 = 51
RESOLUCIÓN Nace: Edad: a + b en 1984
…………………………….
xy – 8(x + y) + 64 = 84 xy = 20 + 8(35) ………………………………..
Pero: Se pide: RPTA.: C 10. Cuando yo tenga la edad que él tiene, que es lo que tenías cuando él tenía lo que yo tengo, él tendrá la edad que tienes y a ti te faltará 15 años para duplicar la edad, que tengo. ¿Cuántos años tengo, si hace 10 años tenía la mitad de la edad que tienes? A) 15 B) 20 C) 24 D) 30 E) 34 RESOLUCIÓN z = 2y 20 ………………….(I) * y –z = x – (2y -15) y – z = x – 2y + 15 z = 3y – x – 15 ……………..(II) * x – y = z – x ………………….(III) z = 2x – y 2y-20 = 3y –x -15 x = y + 5 ………………………()
3y –x – 15 = 2x –y = ……………….() y+5= 3y + 15 = 4 y – 15 RPTA.: D 11. En 1984 la edad de una persona era igual a la suma de las dos últimas cifras del año en que nació. ¿Qué edad tiene en el 2007, si ya cumplió años? A) 34 años B) 29 29 años C) 38 años D) 37años E) 41 años
Nace: 1969 En el: 2007 tiene: 2007 – 1969 = 38 años RPTA.: C 12. Si Alberto hubiera nacido en el año , en el año 2030 tendría años; sin embargo nació en el año . ¿Cuántos años tendrá en el año 2008? A) 36 años B) 32 años C) 38 años D) 45 años E) 42 años RESOLUCIÓN Si nace: en 2030 tiene b=6 a=5 Pero nació: En el 2008 tendrá: 2008 – 1966 = 42 años RPTA.: E 13. Pablo y su abuelo tenían en 1928 tantos años como indicaban las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Qué edad tenía el abuelo cuando nació Pablo? A) 60 años B) 50 años C) 49 años D) 54 años E) 56 años RESOLUCIÓN En El abuelo tenía: 64-14 = 50 años al nacer Pablo. RPTA.: B 14. Un individuo nació el 8 mayo de 1977 y otro el 11 de junio 1985. ¿En que fecha (día, mes y año), la edad del primero fue el triple de la edad del otro? A) 28 Junio de 1989 B) 26 Junio de 1989 C) 18 Mayo de 1987 D) 14 Mayo de 1989 E) 15 Marzo de 1987 RESOLUCIÓN
Uno nació: 8 mayo de 1977 8 años 8 mayo de 1985 Otro nació: 11 Junio de 19 85 34 días Por diferencia de edades: 8 años 34 días – 0 = 3n – n 4 años 17 días = n 11 Junio 1985 + b
Para b = 4 Nació en: 1984
años los tuvo en: 1984 + 16 = 2000 RPTA.: C 17. Raquel le pregunta la edad a su abuelo y él contesta “no tengo mas de 80 ni menos de 69 años, pero cada uno de mis hijos me ha dado tantos nietos como la mitad del número de hermanos que tiene, y mi edad es exactamente el doble del número de mis hijos mas el triple del número de nietos”. ¿Qué edad
La fecha buscada a partir del 11 Junio de 1985 será: 28 Junio de 1989 RPTA.: A 15. Teófilo festejó su cumpleaños con 8 amigos en junio de 2007, y se le ocurre sumar sumar las edades edades de todos con los años en que habían nacido, obteniendo como resultado 18059 ¿Cuántos cumpleaños faltaban festejar el resto del año?
tiene el abuelo? A) 73 años B) 75 años C) 77 años D) 78 años E) 79 años RESOLUCIÓN 69 < Edad < 80 …………….(I) # Hijos: 1º 2º 3º…… nº
Nietos: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 RESOLUCIÓN Suponiendo que todos ya cumplieron años, se cumplirá:
# Total de Nietos= Edad de Abuelo ………………..(II)
En (I): Edad+Año de Nacimiento = 2007 + = 2007 + = 2007 ..9 . . sumandos .. + = 2007 E + N = 9 x 2007 = 18063 Si todos ya hubiesen cumplido años, el resultado debió ser 18063 pero como el resultado real es de 18032, quiere decir que 18063-18059 = 4 amigos aún no cumplen años. RPTA.: C 16. Silvia nació en el año y en el 2004 cumplió (2a + b) años. ¿En que año tuvo (2b + a) años? A) 1998 B) 1999 C) 2000 D) 2001 E) 2002
Si n = 7 138 En (II):
RPTA.: C 18. Hace 7 años el exceso del cuadrado de la edad de Juan sobre el triple de su edad actual era mayor que 32, y el exceso del duplo de su edad sobre la que tendrá dentro de nueve años es menor que 8. ¿Qué edad tendrá Juan dentro de 20 años? A) 16 B) 26 C) 36 36 D) 46 E) 49 RESOLUCIÓN …………………… ………………….
De RESOLUCIÓN Se cumple:
en
en Su edad es 16 años Dentro de 20 años tendrá: 36 años RPTA.: C 19. En un concurso de matemática al con cursante T.S.L. le formulan la siguiente pregunta: ¿Cuántos años tiene una persona, sabiendo que l a raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 2 años, aumentada en la raíz cuadrada de la edad que tuvo hace 7 años da como resultado 9? Indique la respuesta del concursante, si fue correcta. A) 47 B) 34 C) 23 D) 14 E) 7 RESOLUCIÓN Operando x = 23 RPTA.: C 20. Preguntado Teófilo por su edad contesta: “Mi
edad, mas el doble de ella, mas el triple de ella y así sucesivamente sucesivamente hasta tantas veces el doble de mi
22. Los primeros días de noviembre, una persona sumó al número que representa los años que tiene, los meses que ha vivido y obtuvo 239. ¿En que mes nació dicha persona? A) Marzo B) Abril C) C) Mayo D) Junio E) Julio RESOLUCIÓN Años vividos : A Meses vividos : 12A + m A + 12A + m = 239 13A + m = 239 A = 18 años m = 5 meses Falta 7 meses para un cumpleaños Nació =Noviembre + 7 meses Nació = Junio RPTA.: D 23. Isabel multiplica la fecha del día de su nacimiento por 18 y el número del mes por 39, luego suma estos dos productos obteniendo 246. ¿Cuándo nació Isabel?
edad suman 10115”. ¿Cuál es su edad?
A) 21 B) 20 C) 19 D) 18 E) 17
A) 5 de Abril B) 4 de de Mayo C) 2 de Mayo D) 6 de Junio E) 12 de Agosto
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
x + 2x + 3x +…….+ 2x.x = 10115
RPTA.: E 21. Una persona tuvo hace 24 años una edad igual a la raíz cuadrada del año en que nació. ¿Qué edad tiene actualmente? A) 68 años B) 70 70 años C) 72 años D) 74 años E) 76 años RESOLUCIÓN
5 de Abril RPTA.: A 24. Al dividir mi edad entre la tuya el cociente es uno y el resto es 16. Si divido el quíntuplo de tu edad entre el doble de la mía el cociente sigue siendo el mismo, pero el resto es ahora 12 unidades más que en la primera división. Cuál es la diferencia de edades? A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) 18
Sea la edad actual: “x” años
Pero: …(año de nacimiento).
Luego: años RPTA.: A
RESOLUCIÓN Mi edad: x Tu edad: y X = y(1) + 16 ……………………..….(I) 5y = 2x(1) +16+12…………..….. (II)
Como se pide la diferencia de edades De (I) : x –y = 16 RPTA.: D 25. La suma de las edades de Pepe y María es 6 veces la suma de las edades de sus hijos. Hace 2 años esta suma era 10 veces la de sus hijos y dentro de 6 años será 3 veces la edad de sus hijos. ¿Cuántos hijos tienen? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
6y = 48 y = 8 en x= 5 (8) x = 40 RPTA.: B 27. Las edades de tres hermanos hace 2 años estaban en la misma relación que 3, 4 y 5. Si dentro de 2 años serán como 5, 6 y 7. ¿Qué edad tiene el mayor? A) 18 años B) 14 años C) 12 años D) 10 años E) 8 años
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN Presente:
x = 6y ……………..………………………
Pasado: a = 3k b = 4k
Pasado:
……………………..
xy
c = 5k ……………………………………..
De 6y – 4 =10y – 20n 20n – 4 = 4y ………………………………….
Futuro:
Futuro: a + 4 = 5 b + 4 = 6 c + 4 = 7 …………………………….. a+b+c+12=18
De 6y + 12 = 3y + 18n
De 12 k + 12 = 18 2k+ 2 = 3
…………………….
De “ y
RPTA.: B
Igualando :
26. La suma de las edades de un padre y su hi jo da 48 años. Dentro de algunos años el padre tendrá el doble de la edad del hijo; y la edad del padre será entonces 8 veces la edad que el hijo tiene ahora. ¿Cuántos años tiene el padre?
k=2 En c = 10 + 2 Presente: 12 RPTA.: C
A) 38 B) 40 C) 42 D) 44 E) 46
28. La edad de Antonio es el doble de la que tenía Víctor cuando Antonio tenía la edad actual de Carlos; si en aquel entonces Carlos tenía 3 años menos que la séptima parte de la edad actual de Víctor, y actualmente las edades de los tres suman 90 años, cuántos años tiene Antonio?
RESOLUCIÓN ………………………………. …………………….. ………………………………
II = III ………………………………………
En x + 3y = 2(y+3y) x + 3y = 8y x = 5y En 5y + y = 48
A) 21 B) 24 C) 36 36 D) 42 E) 48 RESOLUCIÓN 2x + z + y = 90 ……………………….
Dif. De edades y – x = 2x – z
A) 7 B) 9 C) 11 D) 12 E) 15
z + y = 3x ………………………………..
En (1): 2x + 3x =90 5x = 90
RESOLUCIÓN Si al morir su edad es (año de su nacimiento). Año de su nacimiento nacimiento es
Antonio tiene RPTA.: C 29. Víctor nació 6 años antes que Julio y hace 2 m años sus edades eran como 7 a 4; a su vez hace 2n años fueron como 2 a 1. Si dentro de “n” años sus
edades serán como 5 a 4, y dentro de 3m años como 13 a 11, en qué relación estarán sus edades dentro de 2 (m + n) años? A) 23 a 20 B) 15 15 a 11 C) 18 a 13 D) 15 a 8 E) 12 a 10 RESOLUCIÓN ….……… …… …….. …
Se pide:
A. N. Edad AM AM 1860 es 60 1920 1891 es 61 1952 1922 es 62 1984 En 1936 tendría: 1936 1891 = 45 1936 1922 = 14 RPTA.: B
31. Tu tienes la edad que yo tenía, cuando tu tenías la mitad de la edad que yo tengo; pero cuando tu tengas mi edad, yo tendré 10 años mas de lo que actualmente tienes. ¿Cuántos años tengo? A) 15 B) 18 C) 20 20 D) 25 E) 30 RESOLUCIÓN
……………………….
(III).(2) 8V – 10J = 2n ……….
Diferencia de edades: x – y = 2y – x 2x = 3y ………………………..(I)
I + 9V = 12J 3V = 4J …………………………
Diferencia de edades: V – J = 6………………………………….. en
x – y = x + 10 – 2y y = 10 En (I) 2x = 3(10) Se pide: 2y 2(10) = 20 años. RPTA.: C
en en en 11(24) -13 (18) =6m en RPTA.: A
32. Gundicario, quien fue un orador griego, nació el 21 de noviembre del año 30 a.C. y murió el 21 de noviembre del año 30 d.C. ¿Cuántos años tenía cuando murió? A) 59 B) 60 C) 61 61 D) 62 E) 58 RESOLUCIÓN
30. La edad de una persona al morir era del año de su nacimiento. Calcular qué edad tuvo en 1936, y dar como respuesta la suma de las cifras.
Edad = 59 años RPTA.: A
33. Yo tengo el quíntuplo de la edad que tu tenías cuando yo tenía la tercera parte de la edad que tu tendrás, en el tiempo que yo tenga nueve veces la edad que tu tenías. Si yo tuviera la suma de las edades que tienes, tenías y tendrás, tendría 24 años más de lo que tendré. ¿Cuántos años tienes? A) 24 B) 28 C) 36 D) 48 E) 50
que tenía Humberto, este tenía la mitad de la edad que tendrá de un año. Halle la edad de Piero y dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 12 B) 11 C) 10 10 D) 9 E) 8 RESOLUCIÓN Diferencia de edades
RESOLUCIÓN Si: x + z + 3y = 9x + 24
Si: Luego Piero tiene: 53 años Se pide: 5 + 3 = 8 RPTA.: E
z = 8x 3y + 24 ……………….(I)
(Pas-Pre): y – x = 5x – z ………(II) (I) = (II) ….(III)
36. César y Pablo nacieron en 1893 y 1889, respectivamente. respectivamente. Si ambos murieron al cumplir y años, cuántas veces como máximo se cumplió que la suma de sus edades fue ?
(Pre-Fut): 5x-z = 9x-3y De II 5x-(6x-y)=9x-3y 5x-(6x-y)=9x-3y - x + y = 9x-3y 4y = 10x 2y = 5x De (III): 2y = 5(y-12) 2y = 5y – 60
A) 5 B) 3 C) 6 D) 4 E) 8
En (III) : x=20 -12 X= 8
1889 + 89
En (II) : z = 6(8) – 20 RPTA.: B 34. Al ser preguntado César por su edad en 1975, respondió: “si se extrae la raíz cuadrada al año de mi nacimiento, el residuo representa mi edad”. ¿Cuán tos
RESOLUCIÓN César: 1893 Pablo: 1889
Año: 1978 Para César; Suma máxima= 89 + 85 = años César: k Pablo:
años tenía? A) 60 B) 63 C) 70 D) 72 E) 74 RESOLUCIÓN Nació: 1975= 1975= 1975=
k = 15 k = 32 k = 49 k = 60 k= 83 Se cumplió 5 veces RPTA.: A 37. Al ser preguntado Eduardo por la edad de su hermana, respondió: “Cuando yo tenía 14 años, mi
Pero: RPTA.: B
hermana tenía la mitad de la edad que tenía mi padre; actualmente sucede lo mismo con mi edad y la edad de mi padre; en cambio hace 16 años, mi edad era la mitad de la edad que tenía mi hermana”.
35. Las edades de Piero y Humberto están formadas por las mismas dos cifras pero con el orden cambiado. Si cuando Piero tenía el doble de la edad
¿Cuántos años tiene la hermana de Eduardo?
A) 20 B) 18 C) 32 D) 16 E) 28 RESOLUCIÓN
Se pide:
Por diferencia de edades: *
39. Rosa le dice a Isabel: “La razón de nuestras edades es ; además yo tengo la edad que tú tenías, cuando mi padre tenía la edad de tu padre. Cuando tu padre tenga la edad de mi padre, mi edad será la mitad de la edad que tu padre tenía hace 10 años y tu edad será la mitad de la edad que tenía mi padre
………………………………(II)
* 14 – 2x = y – 2y …………………………(I)
RPTA.: C
hace 5 años”. Halle la suma de las edades de Rosa e
(I)(II)
Isabel.
En II La Hna. Tiene: 2(18 – 16) + 16 = 20 años RPTA.: A
A) 56 B) 35 C) 42 42 D) 28 E) 46
38. Víctor tiene 16 años; a Julio le faltan 8 años para tener 10 años mas que el doble de lo que tiene Víctor; a César le sobran 9 años para tener la semisuma de las edades de Víctor y Julio. ¿En cuánto excede 70, a la suma de las edades de Julio y César disminuido en la edad de Víctor?
Pasado-Presente:
RESOLUCIÓN
……………………..(I)
Pres-Fut. ……
I en II A) 20 B) 10 C) 18 D) 70 E) 39 RESOLUCIÓN Víctor: 16 Julio: x César: y
Sus edades suman: 3k + 4 k = 7k =35 RPTA.: B
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