PRIMERA PRÁCTICA DE DINÁMICA 1.- El collarín D se desliza sobre una varilla vertical fija. El disco gira con una velocidad angular constante ω en sentido del movimiento de las manecillas del reloj. Utilizando cualquier método, menos el de movimiento en marcos móviles, obtenga una expresión para la aceleración ungular de la varilla BD en términos de θ, ω, b y l. Solución 1).- Aprovechando las condiciones geométricas del problema.
Para: B en X ℓsen
..........................(1) ....................(2)
(1)= (2) ℓsen = b(1+sen
2).- Derivando (3) dos veces respecto al tiempo. ℓcos =
= bcos
si:
= ω (constante)
..........................................................(4)
..............(3)
......................................(5)
Por la geometría: y Sustituyendo en (5)
2.- El rotor de un ventilador gira alrededor del eje Y a una velocidad constante ω1 = 0.8 rad/s. Al mismo tiempo, las aspas giran a una velocidad constante ω2 = dθ/dt =300 rpm. Si se sabe que la distancia entre el rotor y el punto A de la punta de las aspas es r = 160 mm y que θ = 450 en el instante que se muestra, usando coordenadas esféricas determine la velocidad y la aceleración del punto A.
er Solución:
A
e
1).- Orientación de los vectores unitarios e identificación de los parámetros que define el movimiento en coordenadas esféricas
eß
x
z
m rad/s
2).- Calculo de la velocidad y aceleración de A
3.- La barra eje β de 5 plg de longitud en la figura gira en el gozne a 1 = 3 rad/s en el sentido indicado. La rueda gira simultáneamente a 2 = 2 rad/s alrededor de su eje como se indica; ambas rapideces son constantes. El insecto se desplaza hacia adentro sobre un rayo de la rueda a 0.2 plg/s y aumentando a razón de 0.1 plg/s2, ambas magnitudes con relación al rayo. Para el instante mostrado, utilizando coordenada cilíndrica en la barra β, encuentre: a) la velocidad angular de la rueda y b) la aceleración del insecto.
ω1
O
C
I
ω2
y
Solución: 1).- Orientación de los vectores unitarios de las coordenadas cilíndricas en
c I
e ex
2).- Calculo del movimiento del marco móvil
y del punto base “C”
3).- Calculo del movimiento de , respecto al marco móvil. Identificando los parámetros que definen el movimiento en coordenadas polares:
4).- Calculo de la velocidad y aceleración de , respecto marco tierra.
5).- Velocidad angular de la rueda
.
PRIMERA PRÁCTICA DE DINÁMICA 1.- Por la guía horizontal fija se mueven el cursor y el pasador P cuyo movimiento lo manda el brazo ranurado giratorio OA. Si, durante un intervalo del movimiento, el brazo gira a una velocidad constante θ = 2 rad/s. Usando coordenadas cartesianas, hallar la velocidad y aceleración del cursor en la ranura para en el instante en que θ = 60°. También usando coordenadas cartesianas hallar las variación r y r . Solución 1).- Aprovechando las condiciones geométricas del problema: Y
tgθ = X
0.2 → X = 0.2 c o t θ X
(1)
Derivando (1) respecto el tiempo, dos veces: X = −0.2 csc 2 θ θ
(2)
X = 0.4 csc 2 θ ctgθ θ 2
(3)
Reemplazando valores, para el instante pedido en (1), (2) y (3): X = 0.2*0.5773 = 0.1155 m
X = −0, 2*1.333* 2 = −0.533 m/s
X = 0.4*1.333*0.773* 4 = 1.232 m/s2 2).- También aprovechando las condiciones geométricas del problema:
X → r = X sec θ r Derivando (4), dos veces respecto al tiempo: cos θ =
(4)
r = X sec θ + X sec θ tgθ θ
(5)
r = X sec θ + 2 X sec θ tgθ θ + X sec θ tg 2θ θ 2 + X sec3 θ θ 2
(6)
Reemplazando valores en (5) y (6): r = −0.533* 2 + 0.1155* 2*1.732* 2 = −0.266 m/s
r = 1.232* 2 + 2*(−0.533) * 2*1.732* 2 + 0.115* 4* ( 2*1.7322 + 8 ) = 1.546 m/s2 2.- La grúa que se muestra gira con una velocidad angular constante ω1 de 0.30 rad/s. de manera simultánea, la pluma se levanta con una velocidad angular constante ω2 de 0.50 rad/s relativa a la cabina. Si se sabe que la longitud de la pluma OP es l = 12 m. Usando coordenadas cilíndricas, determine a) la velocidad de la punta de la pluma, b) la aceleración de la punta de la pluma.
Solución
1).- Orientación de los vectores unitarios e identificación de los parámetros que definen el movimiento en coordenadas cilíndricas: eY eφ
eρ
ρ = 12*cos 30° = 10.39 m
φ = 0.3 rad / s Y = ω2l cos 30° = 5.198 m / s
ρ = −ω2l sen30° = −0.5*12*0.5 = −3 m / s
φ = 0
Y = −ω22lsen30° = −0.52 *12*0.5 = 1.5 m / s 2
ρ = −ω22l cos 30° = −0.52 *12*0.866 = −2.598 m / s 2
2).- Reemplazando los valores en las formulas: VP = ρ eρ + ρ φ eφ + Y eY = −3 eρ + 10.39*0.3 eφ + 5.198 eY
VP = −3 eρ + 3.12 eφ + 5.2 eY (m / s )
(
)
(
→ VP = 6.77 m / s
)
aP = ρ − ρ φ2 eρ + 2 ρ φ + ρ φ eφ + Y eY aP = ( −2.598 − 10.39*0.32 ) eρ + 2*(−3) *0.3 eφ − 1.5 eY
aP = −3.53 eρ + 1.8 eφ − 1.5 eY (m / s 2 ) → aP = 4.24 m / s 2
3.- La figura representa un robot de pintura. El sólido ① sale del sólido ② con una velocidad constante v respecto de éste. El sólido ② gira con una velocidad angular constante ω 2 respecto del sólido ③ , alrededor del eje horizontal OF. El sólido ③ gira con velocidad angular constante ω 3 respecto de la bancada ④, alrededor del eje vertical EE’ que pasa por O. Suponiendo una referencia (O,x,y,z), solidaria del sólido ② , determinar: a) Aceleración angular de sólido ① en la posición general que se indica. b) Velocidad y aceleración del punto A en el instante en que θ = 0°.
Solución 1).- Cálculo de la aceleración angular de ①. Es el mismo del ②, porque ambos no cambian de orientación uno con respecto al otro:
a).- Por el teorema de adición:
ω2 = ω2 + ω 3 = ω2 + ω3 = ω2 j + ω3 ( senθ i + cos θ k ) = ω3 senθ i + ω2 j + ω3 cos θ k ℑ
3
(1)
4
b).- Derivando (1) respecto al tiempo en el marco de referencia tierra:
ω 2 = ω3 × ω2 = ω3 ( senθ i + cos θ k ) × ω2 j = −ω2ω3 cos θ i + ω2ω3 senθ k (unid. acel. Ang.) ℑ
2).- Cálculo de la velocidad y aceleración de A. Nuestro marco de referencia es el ② , por condiciones del problema y nuestro punto conveniente será el punto “o”: a).- Cálculo de la velocidad y aceleración del punto conveniente:
V0 = 0 y aP = 0 b).- Cálculo del movimiento de A, respecto al marco móvil ②: roA = d i + h k VA = v i 2
aA = 0 2
c).- Cálculo de la velocidad y aceleración de A, para θ = 0°: VA = V0 + ω 2 × roA + VA ℑ
2
ω2 × roA = (ω2 j + ω3k ) × ( d i + h k ) = ω2 h i + ω3d j − ω2 d k ℑ
VA = ( v + ω2 h ) i + ω3 d j − ω2 d k (Unid. de velocidad)
(
)
a A = ao + ω 2 × roA + ω2 × ω2 × roA + 2ω2 × VA + a A ℑ
ℑ
ℑ
ℑ
2
2
ω 2 × roA = ( −ω2ω3 i ) × ( d i + h k ) = ω2ω3 h j ℑ
(
)
ω2 × ω2 × roA = ℑ
ℑ
i
j
0
ω2
k
ω3 = − (ω22 d + ω32 d ) i + (ω3ω2 h ) j − ω3ω2 h k
ω2 h ω3d − ω2 d i 2ω2 × VA = ℑ
j
k
0
2ω2 2ω3 = 2ω3v j − 2ω2 v k
v
0
2
0
a A = − (ω22 + ω32 ) d i + 2ω3 ( v + ω2 h ) j − ω2 ( 2v + ω2 h ) k (Unid. de aceleración)
EXAMEN PARCIAL DEL CURSO DE DINÁMICA Fecha: 11 de Marzo del 2008 1.- En un instante dado, una grúa se mueve a lo largo de una vía a velocidad y aceleración que se muestra en la figura, mientras pivotea simultáneamente alrededor de su eje vertical con velocidad y aceleración angular, como se ilustra. Una pluma OC, sujeta mediante un pivote horizontal al poste vertical de la grúa, soporta un carro C que se mueve hacia fuera a lo largo de la pluma con velocidad y aceleración que se muestra. En el instante dado, la pluma se eleva alrededor del pivote O, como se ilustra, con velocidad angular y aceleración angular. Usando coordenadas esféricas en el eje vertical OB de la grúa, encuentre la velocidad y aceleración del carro C.
Solución 1).- Orientación de los vectores unitarios que definen las coordenadas esféricas en OB. B
eθ eφ
0
C
er
θ
2).- Calculo del movimiento de “C” respecto a “OB” a) Identificación de los parámetros que definen el movimiento.
r = 5m
r = 1m / s
φ = −1rad / s
θ = 90º
θ = 0.5rad / s
1
r = 2m / s 2
θ = 1rad / s
φ = −2rad / s 2
b) Cálculo del movimiento. ____
rOC = 5 er
VC
VC
aC
aC aC
OB
OB
OB
OB OB
= r er + r θ eθ + r φ senθ eφ = er + 5* 0.5 eθ + 5*(−1) sen90º eφ
= er + 2.5 eθ − 5 e φ
(m / s)
2 2 = r − r θ − r φ Senθ er + 2 r θ + r θ eθ + 2 r φ Senθ + r φ Senθ eφ
= ( 2 − 5*0.52 − 5*1*1) er + ( 2 *1* 0.5 + 5*1) eθ + ( 2 *1* (−1) *1 + 5* (−2) *1) eφ = −4.25 er + 6 eθ − 12 eφ (m / s 2 )
3).- Calculo del movimiento del marco móvil OB y del punto base O. ____
__
____
ωOB = O
ωOB = O
___
VO = −10 eφ ___
aO = −4 eφ
(m s )
(m s ) 2
4).- Calculo de la velocidad y aceleración de C respecto al marco inercial tierra. ___
___
VC = VO + VC
____
OB
___
+ ωOB × rOC = er + 2.5 eθ − ( 5 + 10 ) eφ
__
VC = er + 2.5 eθ − 15 eφ
(m / s)
__
VC = 15.24 m / s __
__
aC = ao + aC
OB
= −4.25 er + 6 eθ − (12 + 4 ) eφ
__
aC = −4.25 er + 6 eθ − 16 eφ (m / s 2 )
2
__
aC = 17.609 m / s 2
2.- En el instante que se muestra, la barra OB gira en el sentido de la manecillas del reloj con una velocidad angular ωOB = 2 rad/s y aceleración angular αOB = 8 rad/s2. El collarín C está unido por un perno a una barra AC y se desliza sobre OB. Usando coordenadas Polares, determine la velocidad angular y aceleración angular de la barra AC en el instante dado.
Solución
1).- Orientación de los vectores unitarios e identificación de los parámetros que definen el movimiento en coordenadas polares, para los dos puntos de referencia O y A. er = senφ eρ − cos φ eθ
ρ
eφ = cos φ eρ + senφ eθ
A
r
ρ = 10 pies
θ = 2 rad / s
θ = 8 rad / s 2
ρ =?
ρ =? r = 36 + 64 = 10 pies
r =0
φ = ω AC
r =0
φ = α AC
2) Cálculo de la velocidad y aceleración de “C”, tomando como punto de referencia a “O”. ___
VC = ρ eρ + ρ θ eθ = ρ eρ + 10 * 2 eθ = ρ eρ + 20 eθ
3
(pies/s) ………….(1)
2 aC = ρ − ρ θ eρ + 2 ρ θ + ρ θ eθ = ρ − 10 * 4 eρ + 2 ρ * 2 + 10 *8 eθ
__
__ aC = ρ − 40 eρ + 4 ρ + 80 eθ
( pies / s ) ……… 2
……………………… (2)
3) Calculo de la velocidad y aceleración de “C”, tomando como punto de referencia a “A”. ___ 3 4 VC = r er + r φ eφ = 10*φ eφ = 10 φ eρ + eθ ………… ………………….(3) 5 5
(1) = (3) e igualando componentes.
°
ρ = 8φ
y
20 = 6 φ
→
20 pie = 26.6667 s 6
φ = 3.33 rad / s → ρ = 8*
Luego: ω AC = φ = 3.33 ↻ rad/s __ aC = r − rφ 2 er + 2 r φ + r φ eφ = −10*3.33 er + 10 φ eφ
__ 4 4 3 3 aC = −111.11 eρ − eθ + 10 φ eρ + eθ = 8φ − 66.667 eρ + 6 φ − 88.887 eθ .(4) 5 5 5 5
(2) = (4) e igualando la componente en eθ (transversal)
4* 26.667 + 80 = 6 φ + 88.887 → φ = 16.297 rad / s 2 Luego:
α AC = 16.297 ↻ (rad/s2)
3.- La figura representa un dispositivo para prensar. En el instante considerado en la figura, la manivela OA de longitud es horizontal y son conocidas su velocidad y aceleración angulares. El ángulo en B es recto. Usando el método de los centros instantáneos de velocidad nula, determinar las velocidades angulares de las barras.
Solución
1).- Cálculo de la velocidad de las barras: a).- Determinación de los centros instantáneos de velocidad nula y cálculos elementales.
4
sen ϕ =
tg ϕ =
C1 A
C1 B
→ C1 A =
→
sen ϕ
C1 B = cot ϕ
b).- Cálculo de las velocidades
ω AB =
VA ω = = ω sen ϕ ↺ C1 A sen ϕ
VB = ω ABC1 B = ω sen ϕ l
ωCB =
cos ϕ = ω cos ϕ (Unidades de velocidad) sen ϕ
VB ω cos ϕ ω cos ϕ = = CB 2 2
ω DB = −ωCB =
ω cos ϕ 2
(Unidades de velocidad angular)
↺
↻ (Unidades de velocidad angular)
(Unidades de velocidad angular)
4.- En el sistema de engranajes de la figura, OB gira con ωB y αB conocidas en torno del punto O fijo. El piñón 1, de centro O, tiene ω1 y α1 también conocidas. Se pide los Valores de ω2 y α2. Si OC = r y BC = 2r.
Solución
1).- Cálculo de la velocidad angular del engranaje ②: a).- Cálculo de la velocidad de B, como parte de la barra OB VB = −ω B k x 2r j = 3 r ωB i ………………………………………………………(1)
b).- Cálculo de la velocidad de B, como parte del disco ② VB = VA + ω2 k x rAB = ω1k x 5 r j + ω2 k x (−2 r j ) = (2rω2 − 5rω1 ) i ………..……(2)
5
(1) = (2) 3rω B = 2rω2 − 5rω1 → ω2 =
3ωB + 5ω1 ↺ (Unidades de velocidad angular) 2
2).- Cálculo de la aceleración angular del engranaje ②: a).- Cálculo de la aceleración de B, como parte de la barra OB aB = −α B k x 3r j − ω B2 (3r j ) = 3rα B i − 3rωB2 j
b).- Cálculo de la aceleración de A2 (punto perteneciente al engranaje ② coincidente con el punto A1 del engranaje ①, ambos en A) a A2 = aB + α 2 k x rBA2 − ω22 rBA2 = aB + α 2 k x (2r j ) − ω22 (2r j ) a A2 = (3rα B − 2rα 2 ) i − (3rω B2 + 2rω22 ) j ……………………………………………(3)
c).- Cálculo de la aceleración de A1 a A1 = α1k x rOA1 − ω12 rOA1 = α1k x (5r j ) − ω12 (5r j ) = −5rα1 i − 5rω12 j ………………(4)
Como las aceleraciones tangenciales son iguales (en la dirección horizontal), en (3) y (4): 3α B + 5rα1 ↺ (Unidades de aceleración angular) 2 5.- Los tres sólidos de la figura son engranajes cuyo dentado no se muestra. El piñón cónico ② gira con ω constante conocida, y el piñón ③ tiene Ω constante también conocida. Determinar la velocidad y aceleración angulares del piñón cónico ①. 3rα B − 2rα 2 = −5rα1
→ α2 =
6
Solución
1).- Cálculo de la velocidad angular del piñón ①:
a).- Cálculo de la velocidad de A, como parte de ① en movimiento alrededor del punto fijo D) VA = ω1 x rDA = (ω X i + ωY j + ωZ k ) x ( Ri + R cot 30° j ) VA = −ω Z R 3 i + ωZ R j + (ω X R 3 − ωY R ) k ………………………………….(1)
b).- Cálculo de la velocidad de A como parte de ② en movimiento alrededor de un eje fijo VA = ω j x R i = −ω R k …………………………………………………………(2)
(1) = (2):
ωZ = 0 ω X R 3 − ωY R = −ω R ……………………………………………………………(3) c).- Cálculo de la velocidad de B, como parte de ① VB = ω1 x rDB = (ω X i + ωY j ) x (2 R i ) = −2 RωY j ………………………………….(4)
d).- Cálculo de la velocidad de B, como parte de ③ VB = −Ωk x rDB = −Ωk x (2 R i ) = 2 R Ω j ………………………………………..(5)
(4) = (5):
7
−2 RωY = 2 R Ω
→ ωY = −Ω
ωX = −
y
(Ω + ω ) 3
Luego:
ω1 = −
(Ω + ω ) i − Ω j (Unidades de velocidad angular) 3
2).- Cálculo de la aceleración angular: a).- Por el teorema de adición
ω1 = ω 1
DC
+ ω DC ……………………………………………………………………..(I) ℑ
Si: VC = ω1 x rDC
y VC = ωDC x rOC
¨− ( Ω + ω ) VC = i −Ω 3
ℑ
R j x ( 2 R cos 2 30° i + 2 R cos 30°sen30° j ) = ( 2Ω − ω ) k ..(6) 2
También: 3 VC = ωDC j x 2 R cos 2 30° i = − R ωDC j …………………………………………(7) ℑ ℑ 2
(7) = (6): 3 R − R ω DC = (2Ω − ω ) ℑ 2 2
→
ω DC = ℑ
Luego en (I):
− (Ω + ω ) (ω − 2Ω) i − Ω j = ω1 + j DC 3 3
ω1
=− DC
(Ω + ω ) (Ω + ω ) i − j 3 3
b).- Derivando (I) respecto al tiempo:
8
(ω − 2 R ) j 3
0 ω1 = ω 1 + ωDC x ω 1 DC
ω1 =
ℑ
DC
0 (ω − 2Ω) (Ω + ω ) (Ω + ω ) + ω DC = j x − i − ℑ 3 3 3
(ω − 2Ω)(Ω + ω ) k (Unidades de aceleración angular) 3 3
9
j
EXAMEN PARCIAL DE DINÁMICA 1.- En el instante θ = 50°, La guía ranurada se esta moviendo hacia arriba con aceleración de 3 m/s2 y velocidad de 2 m/s. Usando coordenadas cartesianas, determine la aceleración angular y la velocidad angular del eslabón AB en este instante. Nota: El movimiento hacia arriba de la guía es en la dirección de y negativa.
Solución 1).- Por condiciones geométricas que presenta el sistema:
cos θ =
y r
⇒
y = r cos θ
(1)
2).- Derivando dos veces con respecto al tiempo (1).
y = −r sin θ⋅θ = −r sin θ ⋅ ω
(2)
= −r cos θ⋅ ω2 − r sin θ⋅ α y = −r cos θ⋅θ 2 − r sin θ⋅θ
(3)
3).- Para el acaso específico de θ = 50o ,
r = 0.3 m , y = −2 m seg y y = −3 m seg2
En (2)
ω= − y = − r sinθ
( −2) 0.3sin50o
= 8.7 rad seg
∴ ω = −8.7 k ( rad seg ) En (3)
α=−
y − r cos θ⋅ω2 (−3) − (0.3cos50) ⋅ (2.72 ) =− = −50.46 rad seg2 r sin θ 0.3cos50
α = 50.46 k
( rad
seg 2 )
2.- En el instante mostrado, el brazo OA de la banda transportadora está girando alrededor del eje z a velocidad angular constante ω1, mientras que al mismo instante el brazo se encuentra girando hacia arriba a razón constante ω2. Si la banda está avanzando a razón de r = 5 pies/s, la cual aumenta a r = 8 pies/s2. Usando coordenadas esféricas, determine la velocidad y la aceleración de paquete P en el instante mostrado. Desprecie el tamaño del paquete.
Solución 1).- Orientación de los vectores unitarios e identificación de los parámetros que definen el movimiento en coordenadas esféricas.
r = 6 pies r = 5 pies seg r = 8 pies seg2
β = 45o β = −4 rad seg
= 0 β φ = 6 rad seg
φ=0 2)--Cálculo de la velocidad y aceleración del paquete P
VP = ( r ) er + r β eβ + r φ sinβ eφ = ( 5) er + 6 × ( −4 ) eβ + ( 6 × 6sin45) eφ
( )
)
(
VP = ( 5) er − (24 ) eβ + (25.456 ) eφ
(
⇒ VP = 35.341 pies seg
) (
)
cos β + 2r ⋅φ⋅ sinβ e aP = ( r − r ⋅β2 − r ⋅φ2 ⋅ sin2 β ) er + 2r ⋅β − r ⋅φ 2 ⋅ sinβ⋅ cos β eβ + 2r ⋅β⋅φ⋅ φ
aP = ( 8 − 6 × 16 − 6 × 36sin2 45) er + ( (2 × 5 × −4 ) − 6 × 62 × sin2 45) eβ + + (2 × 6 × ( −4 ) × 6cos45 + 2 × 5 × 6sin45) eφ aP = − (146 ) er − (148 ) eβ − (161.22 ) eφ
⇒
aP = 293.79 pies seg 2
3.- Los discos ruedan sobre la superficie plana. El izquierdo gira a 2 rad seg en dirección horaria. Use el método de centros instantáneos de velocidad nula y calcule las velocidades angulares de la barra y del disco derecho. Solución 1).- Determinación de los centros instantáneos de velocidad nula:
C3 A = 4 pies C3B = 1.83 pies
2).- Cálculo de velocidades:
VA = ωC1A ⋅ rC1 A = 2 × 2 = 2.83 pies seg
ωAB =
VA 2.83 = = 0.7075 rad seg rC3A 4
VB = ωAB ⋅ rC3B = 0.7075 × 1.83 = 1.2947 pies seg
ωC2B =
VB = 0.647 rad seg 2
4.- La barra ① de las figura tiene un pasador en A montado sobre el disco ③; dicha barra desliza a lo largo de la guía de centro B situado sobre el disco ②. Ambos discos giran con velocidades angulares constantes y conocidas. Se pide: a).- La velocidad angular de la barra ①. b).- La aceleración angular de la misma barra. c).- La aceleración de B1 (Punto coincidente con B perteneciente a la barra ①).
1).- Cálculo de la velocidad angular de
Solución
①
VA = VB + ω1k × rBA + VA = ω2k × Rj + ω1k × ( di − ( R − r ) j ) + VA B
−di + ( R − r ) j ωk × r j = −RΩ i + ( R − r ) ω1 i + dω1 j + VA 2 B d 2 + (R − r )
Igualado componentes:
0 = dω1 + VA
(R − r )
⇒
B
B
−r ω = −RΩ + ( R − r ) ω1 +
RΩ − r ω = ω1 ( R − r ) +
VA = −
d ⋅ ⋅ω (R − r ) 1
d⋅ d ⋅ ⋅ω (R − r ) 1
d 2 ω1 ⋅ 2 = (R − r ) (R − r )
B
ω1 =
(RΩ − r ω) (R − r )
(Unidades de velocidad angular)
2
Donde:
2
2 = ( R − r ) − d 2
2).- Cálculo de la aceleración angular de
①
aA = aB + α1k × rBA − ω12 ⋅ rBA + 2ω1 × VA + aA B
B
aA = −ω2r j
Si:
aB = −Ω2R j
α1k × rB = α1k × d i − ( R − r ) j = α1 ( R − r ) i + ( α1d ) j A
−ω12 ⋅ rBA = −ω12 d i − ( R − r ) j = − ( ω12 ⋅ d ) i + ω1 ( R − r ) j
2ω1k ×
d i + (R − r ) j d⋅ d = − (2ω12 ⋅ d ) i + 2ω12 ⋅ω1 j ( R − r ) (R − r ) d i + (R − r ) j (R − r ) j d = −aA ⋅ i + aA B B B
a A = aA − B
Luego:
0 = α1 ( R − r ) − ω12 d − 2ω12 d − aA ⋅ B
aA = B
d
R − r ) α1 − ω12 ⋅ = 2ω12 ⋅ ( d 2 d 2 2 + ω1 ( R − r ) + 2ω1 ( R − r ) = α1 d + ( R − r ) α1 R−r
RΩ2 − ω2 ( R − r ) − 2ω12
d 2 + ( R − r )2 2 =α = α1 1 d d
( Ω R − ω r ) d − 2( ΩR − ωr ) (R − r ) d = 2
α1
2
2
2
3).- Cálculo de la aceleración de B1
4
(Unidades de aceleración angular)
aB1 = aA + α1 × rAB1 − ω12 ⋅ rAB = − ( ω2R ) j + α1k × −d i + ( R − r ) j − ω12 −d i + ( R − r ) j aB1 = ω1d − α1 ( R − r ) i − ω2R − α1d − ω1 ( R − r ) j
(Unidades de aceleración)
Nota: , ω1 y α1 son conocidos 5.- En el dispositivo de la figura, la rueda dentada ① de radio R1 gira con ω1 constante y conocida. La rueda dentada ② está inmovilizada. La manivela ③ puede girar en torno al eje vertical. El movimiento se transmite a dicha manivela por acción del árbol ④, del cual son solidarios dos engranajes (satélites) de radios respectivos R y r que engranan con los piñones ① y ② en P y Q. Determinar: a).- La velocidad angular y aceleración angular de los satélites. b).- La aceleración de Coriolis del punto P del satélite si la referencia móviles es el piñón ①. c).- Aceleración del punto Q del satélite.
Solución 1).- Consideraciones iniciales:
El cuerpo 1 tiene un movimiento alrededor de un eje fijo. El cuerpo 3 tiene un movimiento alrededor de un eje fijo. El cuerpo 4 tiene un movimiento alrededor de un punto fijo.
( ) ω = ω (cos φ i + sinφ j ) ω3 = ω3 cos φ i + sinφ j 1
1
ω4 = ω3 + ω4
3
2).- Cálculo de la velocidad angular de a).- Si:
VQ = 0
④
y
VQ = ω3 + ω4 × rOQ = ω3 ( cos φ i + sinφ j ) + ω4 i × rOQ 3 3 R + r cos φ 0 = ω3 cos φ + ω4 i + ω3 sin φ j × − 2 i − (r ) j 3 sin φ Igualando componente en z
0 = − ω3 cos φ + ω4 r + ω3 ( R2 + r cos φ )
3
0 = −ω4 r + ω3R2 3
→
ω4 = 3
b).- Cálculo de la velocidad de P como parte de
R2 ω r 3
①
VP = −ω1R1k
(1)
c).- Cálculo de la velocidad de P como parte de
④
R + R cos φ VP = ω3 cos φ + ω4 + ω4 i × 1 i +R j 3 3 sin φ
VP = ω3 cos φ + ω4 R k − ω3 ( R1 + R cos φ ) k
3
VP = ω4 R − ω3R1 k =
R2R ω3 − ω3R1 k r
3
(2)
(1) = (2)
R2R − R1r r
−ω1R1 = ω3
ω1 R1 r R1 r − RR2 ωRR ω4 = 1 1 2 3 R1 r − RR2 ω3 =
(Unidades de velocidad angular) (Unidades de velocidad angular)
d).- Por el Teorema de adición:
ω4 = ω3 + ω4 = ω3 cos φ + ω4 i + ω3 sin φ j (Unidades de velocidad angular) (3)
3
3
④: Derivando (3) respecto al tiempo
3).- Cálculo de la aceleración angular de 0
0
3 + ω3 ×ω4 + ω4 = ω3 cos φ i + sinφ j × ω4 i α4 = ω 3
(
3
α 4 = − ω3 ω4 sinφ k
3
)
3
(Unidades de aceleración angular)
4).- Cálculo de la aceleración de coriolis de P Si P es punto de 1 :
aC = 0 5).- Cálculo de la aceleración de Q:
aQ = α 4 × rOQ + ω4 × ( ω4 × rOQ ) R2 + r cos φ
α 4 × rOQ = −ω3 ω4 sin φ k × −
3
sin φ
i − r j = −ω3 ω4 r sin φ i − ( R2 + r cos φ ) j
3
R + r cos φ ω4 × rOQ = ω3 cos φ + ω4 i + ( ω3 sin φ ) j × − 2 i − r j ( ) 3 sin φ
ω4 × rOQ = − ω3 cos φ + ω4 r k + ω3 ( R2 + r cos φ ) k
3
ω4 × ( ω4 × rOQ ) = ω3 cos φ+ω4 i − ( ω3 sin φ ) j × ω3 ( R2 + r cos φ ) − ω3 cos φ + ω4 r k 3 3
ω R − ω r j = 0 = −ω3 sin φ ω3 R2 − ω4 r r i + ω3 cos φ + ω4 4 3 2 3 3 3
Luego:
R2 R ω3 sin φ r i + ω3 2 ω3 ( R2 + r cos φ ) r r R (Unidades de aceleración) aQ = −ω23R2 sin φ i + ω23 2 ( R2 + r cos φ ) j r
aQ = − ω3
ó
aQ = − ( ω23R2 sin φ ) i + ω3 ω4 + ω3 cos φ R2 j
Nota: Se conoce
ω3
y
ω4
3
3
(Unidades de aceleración)
PRIMER EXAMEN DE DINÁMICA 1.- El Movimiento del pasador D se guía mediante una ranura cortada en la barra AB y una ranura cortada en una placa fija. Si en el instante indicado la barra AB gira con una velocidad angular de 3 rad/s y una aceleración angular de 5 rad/s2, ambas en el sentido de las manecillas del reloj, determine la aceleración del pasador D. Solución Marco móvil la barra AB. 1).- Cálculos elementales. D´ є AB coincidente con D.
Por la Ley de senos:
2).- Cálculo de la velocidad y aceleración de D´.
3).- Cálculo del movimiento de D, respecto a la barra AB.
4).- Cálculo de la velocidad y aceleración de D.
Igualando componentes:
Igualando Componentes:
Operando se tiene:
2.- El carrete de cinta que se muestra y el armazón en el que se monta se jalan hacia arriba a una velocidad vA = 750 mm/s. Si el carrete de 80 mm de radio tiene una velocidad angular de 15 rad/s en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj y en el instante mostrado el espesor total de la cinta en el carrete es de 20 mm, determine: a) el centro instantáneo de velocidad nula del carrete, b) las velocidades de los puntos B y D. Solución 1).- Ubicación del centro instantáneo de velocidad cero
VA
2) Calculo de la velocidad de “B”Y “D” VB
↓ ↑
3.- El pasador P está unido a la rueda que se muestra y se desliza en una ranura cortada en la barra BD. La rueda gira hacia la derecha sin deslizarse con una velocidad angular constante de 20 rad/s. Si se sabe que x = 480 mm cuando θ = 0o. Usando coordenadas polares, determine: la aceleración angular de la barra y la aceleración del pasador P con respecto a la barra cuando θ = 90o.
Solución 1).- Orientación de los vectores unitarios e identificación de los parámetros que definen le movimiento en coordenadas polares.
ρ
P
Ci
2).- Calculo de la velocidad y aceleración de “P” usando coordenadas polares y tomando como punto base a “B”. …………………………………………………………………(1) ...(2) 3).- Calculo de la velocidad y aceleración de “P” como parte del disco que rueda. …………………………….(3) Igualando componentes de (1) y (3)
………………………………………….(4) Igualando componentes de (2) y (4)
2*4*2.998+0.934
0
4.- La grúa que se muestra gira a la razón constante ω 1 = 0.25 rad/s, simultáneamente, la pluma telescópica desciende a una velocidad constante ω2 = 0.40 rad/s. Si se sabe que en el instante indicado la longitud de la pluma es de 6 m y que aumenta a la velocidad constante u = 0.45 m/s. Usando coordenadas cilíndricas, determine la velocidad y la aceleración del punto B. Solución
1).- Orientación de los vectores unitarios e identificación de los parámetros que definen el movimiento en coordenadas cilíndricas.
6 cos 30º 5.196 m. .
(u cos 30º ) (6 2 sen30º ) (0.4*cos 30º 6*0.4* sen30º ) .
1.59m / s. ..
(22 rAB cos 30º ) (2 2 u sen30º ) (0.42 *6*cos 30º ) (2*0.4*0.45* sen30º ) ..
0.651m / s 2 . .
1 0.25 rad / s. ..
0 rad / s 2 .
Y (u sen30º ) (6 2 cos 30º ) (0.4* sen30º ) (6*0.4*cos 30º ) .
Y 1.853 m / s ..
Y (22 rAB sen30º ) (2*0.4*0.45cos 30º ) ..
Y 0.792 m / s 2 2).- Calculo de la velocidad y aceleración de B. .
.
.
VB e e Y eY 1.59 e 5.196*0.25 e 1.853 eY VB 1.59 e 1.299 e 1.853 eY (m / s)
..
.
.
.
..
..
aB ( 2 ) e (2 ) e Y eY aB (0.651 5.196*0.252 ) e (2*1.59*0.25) e (0.792) eY aB 0.976 e 0.795 e 0.792 eY
(m / s 2 )
X
5.- Dos flechas AC y EG, que se encuentran en el plano vertical yz, se conectan mediante una junta universal en D. La flecha AC gira con velocidad angular constante ω1 en la forma indicada. En el momento en el que el brazo de la cruceta conectada a la flecha AC está en la posición vertical, determine la velocidad angular de la flecha EG.
Solución
Las flechas AC y EG tiene un movimiento alrededor de sus ejes fijo. La cruceta D tiene un movimiento alrededor de un punto fijo.
1).- Calculo del movimiento angular de la junta universal tomando como referencia a la flecha AC
………………………………. (1) 2).- Calculo de movimiento angular de la junta universal tomando como referencia la flecha EG
……….. (2 )
(1) = (2) e igualando componentes en
SOLUCIONARIO DE LA PRIMERA PRÁCTICA DE DINÁMICA Fecha: 9 de Febrero del 2008 1.- Un juego en un parque de diversiones consta de un brazo giratorio AB con velocidad angular constante ωAB = 2 rad/s con respecto al punto A, y de un carro montado en el extremo del brazo que tiene velocidad angular constante ω´= 0.5 rad/s, medida con relación al brazo. En el instante mostrado, usando coordenadas Natural en el carro, determine la velocidad y aceleración del pasajero instalado en C. Solución El marco móvil es AB y el punto base o conveniente es B 1).- Orientación de vectores unitarios que definen la coordenada natural en el carro.
2).- Cálculo del movimiento del marco móvil, la velocidad y aceleración del punto base o conveniente B.
2eb (rad / seg )
AB /
vB aB
AB / 2
x rAB rAB AB /
AB /
2eb x10( cos 30 et 4( 8.66et 5en )
0
sin 30 en ) 10et 17.32en ( pies / seg ) 34.64et 20en ( pies / seg 2 )
3).- Cálculo del movimiento de C respecto al marco móvil
rBC VC / BC aC / AB
2e n
( pies / seg ) rBC et 0.5 x 2et et ( pies / seg ) '2 2 rBC en 0.5 x 2en 0.5 e n ( pies / seg 2 ) '
4).- Calculo de la velocidad y aceleración del pasajero en C
VC
VB
AB
AB
x rBC
x rBC
VC / AB
2eb x ( 2eb )
VC
(10 4 1)et
VC
18.681 ( pies / seg )
aC 2
2
aB 2
aC aC
34 .64 et 34 .64 et
4et
17.32en
rBC
AB /
rBC x VC / AB
AB /
AB /
( pies / seg )
7 et
2
4( 2en ) 4 eb xet
17.32 en ( pies / seg )
AB /
x VC / AB
aC / AB
8en 4en
( 20 8 4 0.5)en 15 .5en ( pies / seg 2 )
( pies / seg 2 ) aC 37 .95
( pies / seg 2 )
2.- Un manipulador robótico especial (ver figura) tiene cinco ejes rotatorios, con sus respectivas velocidades angulares. Para ω1= 10, ω2= 15, ω3= 10, ω4= 5 y ω5= 20 rad/s, determine la aceleración angular del sensor óptico.
Solución 1).- Determinación de la velocidad y angular del sensor óptico 5, por el teorema de la adición. 5/
5/ 4
5/
5
4/3 4
3/ 2 3
2
2 /1 1
1/
(1)
2).- Calculo de la aceleración angular del sensor óptico 5, derivando (1) respecto al tiempo.
5 / 3
5 (
Si: 5
(
4
3
1)x
2
4
2
3
3
2
1
)x
1x
2
2
1
5
4
5( sen20 j
3
10 i ( rad / seg )
2
15i ( rad / seg )
1
10 ik ( rad / seg )
(
3
2
1
)x
4
0
cos 20 k ) ( rad / seg )
(
4
3
2
1
)x
5
(
4
3
2
1
)x
5
(
3
2
1
)x
4
(25 i
10k ) x(1.71 j
(
3
2
1
)x
4
17.1i
117.45 j
(
2
1
x 2 Luego:
5 / 5 /
4
20 i ( rad / seg )
5
1
1
)x
3
(15 i
10k x 15 i
17 .1i 17 .1i
(10 15) i 106.04 j
10k ) x10 i
150 j
1.71 j 34.2k
( 4.698 10) k ) x( 20 i ) ( rad / seg )
4.618k )
42.75k
100 j
( rad / seg )
(rad / seg )
(rad / seg )
( 106 .04 117 .45 100 150 ) j 261 .41 j 76 .95 k (rad / seg 2 )
3.- La barra doblada que se muestra gira a la velocidad constante ω1= 5 rad/s y el collarín C se mueve hacia el punto B a una velocidad relativa constante u = 39 in/seg. Si se sabe que el collarín C se encuentra a la mitad entre los puntos B y D en el instante indicado, determine la velocidad y aceleración de C.
Solución
(34 .2
42 .75 )k
Sea el marco móvil la barra doblada ABDE al que llamaremos conveniente es D
y el punto base o
1).- Calculo de movimiento del marco móvil, y de la velocidad y aceleración del punto base /
VD
1
xrED 2
aD
1
1
5k (rad / seg)
1
30 j (plg/seg)
5k x6i
rED
0
150i (plg/seg2)
25(6i )
2).- Calculo del movimiento de C respecto al marco móvil
r DC
3i
VC/
39 (
aC /
7.2 j 3i
10.4k 7.2 j 10 .4k ) 13
9i
21 .6 j
31 .2k (plg/seg)
0
3) Calculo de la velocidad de C respecto al marco inercial tierra
VC
VD
1
xrDC
VC/
xV DC 5k x( 3i 7.2 j 10 .4k ) VC ( 9 36 )i (30 21 .6 15 ) j
36 i 15 j 31 .2 k
1
VC
45i
VC
aD
x(
2
aC aC
1
31.2k (plg/seg)
65.863 plg/seg
aC 1
36.6 j
1
1
x(
r DC )
xV C /
( 150
1
r DC )
2
5k x ( 36i
10k x ( 9i
75
216)i
396.96 plg/seg2
1
xV C /
15 j )
21.6 j
aC / 75i 180 j
31.2k )
( 180
90) j
216i
90 j
291i
270 j (plg/seg2)