EXAMENES DESARROLLADOS DE FISICA II 1. Cierta carga Q se divide en dos partes: q y Q-q. ¿Cuál es la relación de Q a q para que las dos partes colocadas a una cierta distancia de separación, tengan una repulsión coulombiana máxima?
SOLUCION:
Para obtener la fuerza máxima, derivamos e igualamos a cero.
==>
==>
2. Una partícula de carga Q y masa m cuelga verticalmente de un hilo sin masa y cuya longitud es L, como se indica en la figura. Como carga de prueba se utiliza una segunda carga para medir el campo eléctrico, el cual está en la posición x. Obtenga el campo eléctrico en x y demuestre que el error fraccional en la práctica esta dado por:
L
Q
x
SOLUCION:
Si
T
mg
3. Se tiene un casquete esférico cargado con una densidad
sobre la carga puntual. R
y si existe una carga puntual q en P, halle la fuerza
P
SOLUCION: z
y
R
b t
x
⃑ ̂̂
P
R
;
dS
⃑ ̂ ̂ ⃑ ( ) Sabemos:
Para cargas puntuales
Del triangulo tenemos:
=>
b
R
̂ ̂ ⃑ ( ) ⃑ ̂ ̂ ⁄ ⁄ ⁄ ⃑ ⃑ ∫ ̂∫ ∫ ̂ ∫ ∫ ∫ ∫ , Reemplazando t y R en (1)
Integrando
t
0
0
⁄ ⃑ ∫ { , ⁄ ⁄ , ⃑ ∫ , ∫ ,
⃑
⃑
R
P
4. Una esfera metálica se carga de una máquina de electróforo con ayuda de una placa que después de cada contacto con
la esfera se vuelva a cargar de la máquina hasta la carga Q. Halle la carga máxima de la esfera si la carga del primer contacto es igual a q. SOLUCION: PLACA Q Q-q Q Q-q’ Q Q-q’’ Q Q-q’’’
ESFERA 0 q q q+q’ q+q’ q+q’+q’’ q+q’+q’’ q+q’+q’’+q’’’
Carga máxima = q + q’ + q’’ + q’’’ +
Para obtener los valores de q’, q’’, q’’’ Hacemos la proporción
Carga máxima =
ContactoNo: 1 2 3
4
Carga máxima =
Vemos que se trata de una progresión cuyo primer término es 1 y su razón es =>Carga máxima =
5. Dado un disco de radio R y una densidad de carga
eje.
, Halle el campo eléctrico en cualquier punto de su
SOLUCION:
̂̂ ̂ √ ̂ ̂ ⃑ ̂ ⃑ (√ ̂ ) ⃑ ⃑ ̂ ̂ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ z
==>
Pero en el problema
y
r
, además:
==>
Sabemos:
x
Entonces el problema tendremos:
==>
⃑ (̂ ̂ )
…………………………………………………..(*)
Operando primero
y
obtenemos:
∫ ∫
Seguidamente operamos
Operamos el segundo término
∫ ∫ ∫ ∫ { {
∫
Luego operamos el primer término.
Haciendo sustitución trigonométrica
Reemplazando
r
b
∫ ∫ ∫ ∫∫ * √ { √ { + √ √ Del triángulo tenemos:
∫ ∫ + ⃑ (̂ ̂ ) √ √ ̂ ̂ √ √ ̂ √ √ ̂ √ √
Remplazando en (*) Tenemos:
*̂
⃑
√ ⃑ √ ̂
z
y x
̂ ̂ √ ⃑ ⃑ (√ ̂ )
6. Dado un disco de radio R y una densidad de carga
SOLUCION:
z
⃑
̂ ̂ t
x
, Halle el campo eléctrico en cualquier punto de su eje.
==>
Pero en el problema
y
, además:
==>
Sabemos:
Entonces el problema tendremos:
⃑ ⃑ ̂ ̂ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ==>
⃑ (̂ ̂ )
…………………………………………………..(*)
∫ ∫ Operando primero
y
obtenemos:
Seguidamente operamos
Operamos el segundo término
∫ ∫ ∫ ∫ { { ∫
Luego operamos el primer término.
Haciendo sustitución trigonométrica
Reemplazando
t
b
∫ ∫ ∫ ∫∫ || √ { √ { √ √ √ √ ⃑ (̂ ̂ ) ̂̂ √ √ ⃑ ̂ √ √ ⃑ √ √ ̂ + ̂ ⃑ Del triángulo tenemos:
Evaluando en los límites tenemos:
Por lo tanto
==> De (*) tenemos
z
y x
7. Dado un disco de radio R y una densidad de carga
, Halle el campo eléctrico en cualquier punto de su eje.
SOLUCION:
̂̂ ̂ √ ̂ ̂ ̂ ⃑ ⃑ ( ̂ ) ⃑ ⃑ ̂ ̂ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ z
==>
Pero en el problema
y
r
x
, además:
==>
Sabemos:
Entonces el problema tendremos:
==>
⃑ (̂ ̂ )
Operando primero
y
…………………………………………………..(*)
obtenemos:
∫ ∫ Seguidamente operamos
Operamos el segundo término
∫ ∫ ∫ ∫ { {
∫
Luego operamos el primer término.
Haciendo sustitución trigonométrica
r
b
∫ ∫ ∫ ∫∫ || √ { √ { √ √ √ √ ⃑ (̂ ̂ ) ̂ √ √ ̂ ⃑ ̂ √ √ ⃑ √ √ ̂ Reemplazando
Del triángulo tenemos:
Evaluando en los límites tenemos:
Por lo tanto
==> De (*) tenemos:
+ ̂ ⃑
z
y
x
8. Halle el potencial en un punto P situado en el eje de un anillo de radio R y una distribución de carga
z
b
R
=>
y
d
dl=Rd
x
dQ
̂ ̂
Sabemos que:
En el problema tenemos:
∫ ∫ { +
√ *
9. En la figura, si colocamos una carga Q en P, Halle la fuerza eléctrica y la energía eléctrica. ¿Qué tipo de energía es? P
b
L
SOLUCION No 1: Y d
P
b
dq
dx
x L
X
̂ ̂ ̂ ̂ √
Sabemos:
⃑ ̂ ̂ ⃑ √ ̂̂ ⃑ ̂ ̂ + ⃑ ⃑ ̂ ̂ ∫ ∫ ∫ ⃑ ⃑ ̂ ̂ ∫ ∫ ∫ ̂∫ ̂ ∫ ̂∫̂∫ ̂ ̂ √ { ̂ √ { ̂+ ̂ ̂ Reemplazando en el problema
Haciendo sustitución trigonométrica tenemos:
Reemplazando en el triangulo de la sustitución trigonométrica, tenemos:
[ * ̂ * ̂] ̂ ̂ ⃑ ̂ ̂ ̂ ̂ P
b
L
SOLUCION No 2: Y d
P
⃑
b
dq
dx
x L
Sabemos:
⃑ ⃑ √ ̂̂ Reemplazando en el problema
Del grafico demos que:
Reemplazando en (*) tenemos:
X
̂ ̂ ̂ ̂ √
⃑ ̂̂ ⃑ ̂̂ ̂ ̂* ⃑ ⃑ ̂ ̂ ̂ ∫ ∫ ∫ ∫ ̂ ∫ ⃑ { ̂ { ̂+ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃑ ̂ ̂ ⃑ ̂ ̂ También:
SOLUCION No 3:
d
⃑
Y
P
b
dq
x
dx
L Sabemos:
⃑ ⃑ √ ̂̂ Reemplazando en el problema
Del grafico demos que:
X
̂ ̂ ̂ ̂ √
Reemplazando en (*) tenemos:
⃑ ̂̂ ⃑ ̂̂ ̂ ̂* ⃑ ⃑ ̂ ̂ ̂ ̂ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⃑ { ̂ { ̂+ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃑ ̂ ̂ ⃑ ̂ ̂ También:
10. Dos esferas conductoras de radio R y r se encuentran muy alejadas una e la otra, están cargada con Q y q respectivamente. Luego se unen las dos esferas con un hilo conductor muy delgado. Halle las densidades en cada esfera. ¿Tienen igual densidad? Q
SOLUCION:
R q
r
Las esferas como son conductores eléctricos, su densidad de carga eléctrica es superficial, luego al ser unidas por un hilo conductor, los potenciales eléctricos se igualan.
SOLUCION:
r
R
Reemplazando en (*)
Luego:
Comparando tenemos:
De los radios no se dice nada. Si R > r entonces:
Donde se concluyes que:
11. Halle el campo eléctrico en el punto P de la fig.
P.
q
.
d
.
-q
SOLUCION:
P
.
.q
d
* *
⃑
-----------------------
.
-q
⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ̂ * * ⃑ [ ] ⃑ ( ) ⃑ ( ) ( ) ( ) ⃑ Como
