EXAMEN PARCIAL 1 MOP 2013
PROBLEMA No.1 (CORTO) Un empresario pretende diversificar sus intereses en la industria turística ofreciendo travesías a los vacacionistas; tiene disponibles dos tipos de embarcaciones: El tipo A tiene una capacidad de 12 viajes diarios , el tipo B tiene una capacidad de 5 viajes diarios. La investigación del mercado muestra que puede esperar que se hagan 360 viajes diarios. Los fabricantes de la embarcación tipo B le comunican al empresario que pueden proporcionarle sólo 40 embarcaciones. Se dispone de una buena cantidad de embarcaciones tipo A. Una investigación de la situación laboral muestra que se dispondrá de una fuerza de trabajo de 400 hombres en total para tripular dichas embarcaciones. El tipo A requiere una tripulación de 10 y el tipo B una de 8. El tipo A produce una utilidad de $30 por viaje, y el tipo B $50 por viaje. Formule este problema como un modelo de programación lineal que le permita al empresario obtener la máxima ganancia.
PROBLEMA No.2 (CORTO) Una persona posee dos granjas en donde se cultiva trigo y maíz. Debido a las diferentes condiciones del suelo, existen diferencias en la producción y en los costos de producción de las dos granjas. La producción de maíz por acre en la granja 1 es de 500 quintales y en la granja 2 es de 650quintales. El costo de producción de un acre de maíz en la granja 1 es de 1000 colones y en la granja 2 es de 1200 colones. La producción de trigo por acre en la granja 1 es de 400 quintales y en la granja 2 es de 350 quintales. El costo de producción de un acre de trigo en la granja 1 es de 900 colones y en la granja 2 es de 800 colones. Cada granja dispone de 100 acres para los cultivos. Hay que producir 11000 quintales de trigo y 7000 quintales de maíz. Cada quintal de maíz se puede vender a 100 colones, en tanto que un quintal de trigo se vende a 150 colones. Formule este problema como un modelo de programación lineal que maximice las ganancias de la persona.
PROBLEMA No.3 Una compañía tiene un contrato para recibir 60000 libras de tomate maduro a 3 colones la libra, de los cuales producirá jugo de tomate y puré de tomate enlatados. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas cada una. Una lata de jugo requiere 1libra de tomates en tanto que una de puré requiere sólo 1/3 de libra. La participación de la compañía en el mercado está limitada a 2000 cajas de jugo y 6000 cajas de puré. Los precios al mayoreo por caja de jugo y de puré son 90 y 33 colones respectivamente. Formule este problema como un modelo de programación lineal que permita a la compañía maximizar sus ganancias.
PROBLEMA No.4 Un granjero desea determinar cuál es la mejor selección de animales para su granja con el objeto de maximizar sus utilidades por la venta de los animales al final del verano. Puede elegir entre comprar borregos, reses u ovejas. Cada borrego requiere un acre de pastura y $15 de alimentación y tratamiento. Un borrego cuesta $25 y puede venderse en $60. Para las reses esos valores son 4 acres, $30, $40 y $100; y para las ovejas los valores son ½ acre, $5, $10 y $20. La granja tiene 300 acres y el granjero dispone de $2500 para invertirlos en la compra y mantenimiento del rebaño. Por último, el granjero no desea que más del 40% de sus animales sean ovejas, o que los borregos sean menos del 30%. Plantee este problema en forma de Programación Lineal para maximizar las utilidades al final del verano. PROBLEMA No.5 La compañía ABC elabora la marca de agua “Transparente”. Para mantener la calidad, la compañía elabora el agua en sólo tres plantas 1, 2 y 3. De estas plantas se envía el agua a través de camiones a cuatro almacenes de distribución 1, 2, 3 y 4. Debido a los aumentos en los precios del combustible, el gasto de transporte es un concepto importante de los costos. Los administradores han comenzado a realizar un estudio para determinar si es posible reducir los costos de transporte. Los gerentes de producción de cada una de las tres plantas han estimado la producción mensual esperada para sus respectivas plantas. Se elaborará en total en las tres plantas una cantidad suficiente de agua para cargar 300 camiones. La producción total se asigna completamente a los respectivos almacenes. En la tabla siguiente se presenta la información de oferta (producción) y demanda (asignación), junto con los costos de transporte unitario (dólares por camión) de cada planta a cada almacén. Formule un modelo de Programación Lineal que permita determinar la cantidad de agua que debe enviarse para minimizar los costos totales de transporte.
Destino Origen Planta 1 Planta 2 Planta 3 Demanda (Camiones agua)
1
2
3
4
464 352 995 80
513 416 682 65
654 690 388 70
867 791 685 85
Producción (Camiones de agua) 75 125 100 300
de
PROBLEMA No.6 Una pequeña fábrica de muebles produce mesas y sillas. Tarda una hora con treinta minutos en ensamblar una mesa y 45 minutos en armar una silla. El ensamblaje lo realizan seis trabajadores sobre la base de un solo turno diario de 6 horas. Los clientes compran al menos seis sillas con cada mesa. El precio de venta es de ¢96 por mesa y ¢36 por silla. Encuentre la combinación óptima de sillas y mesas en la producción diaria que maximice el ingreso total diario de la fábrica.
PROBLEMA No.7 Un empresario se dedica a la fabricación de tres productos para uso en el hogar que se clasifican de acuerdo a su calidad: normal, media y alta. Posee tres departamentos de producción: corte, pegado y acabado a través de los cuales pasa cada producto. La tasa de producción (en unidades por hora) para cada producto en cada departamento, se muestran en la siguiente tabla. Los costos de las materias primas asociados con la fabricación de cada producto son de $5 (calidad normal), $6 (calidad media) y $10 (calidad alta). Los costos por hora de las respectivos departamentos de producción son $250 (corte), $200 (pegado) y $100 (acabado). Los precios unitarios de venta son $25, $39.75 y $67.50 para los tres productos, respectivamente. Formule un modelo de programación lineal que permita al empresario maximizar sus utilidades.
Tasa de producción (Unidades por hora) Producto Corte Pegado
Acabado
Calidad normal
50
40
25
Calidad media
40
20
20
Calidad alta
25
10
10
Problema No.8 El departamento de publicidad de un almacén tiene que planear para el próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una línea de televisores a color. La compañía tiene en consideración dos medios de comunicación: publicidad a través de canales de TV y anuncios en periódicos. Estudios de mercado han demostrado que los anuncios de TV llegan al 2% de las familias de ingresos altos y al 3% de las de ingresos medios por comercial. Los anuncios por el periódico llegan al 3% de las familias de ingresos altos y al 6% de las de ingresos medios por anuncio. La propaganda en el periódico tiene un costo de ¢500.00 por anuncio y por TV un costo de ¢2000.00 por comercial. La meta del almacén es obtener al menos un alcance del 36 % de las familias de ingresos altos y el 60 % de las familias de ingresos medios. Formule y resuelva el modelo para minimizar los costos de propaganda. PROBLEMA No.9 (DE SUFICIENCIA) Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se muestran a continuación:
Compartimiento
Capacidad
Capacidad
de peso
de espacio
(toneladas)
(pies cúbicos)
Delantero
12
7000
Central
18
9000
Trasero
10
5000
Para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. Se tienen ofertas para los siguientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio:
Carga
Peso
Volumen
(toneladas) (pies cúbicos /tonelada)
Ganancia ($/tonelada)
1
20
500
320
2
16
700
400
3
25
600
360
4
13
400
290
Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo. Formule un modelo de programación lineal para este problema.
PROBLEMA No.10 Un proveedor debe preparar con cinco bebidas de fruta en existencia, 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de maracuyá. Si los datos del inventario son los que se presentan a continuación, ¿Qué cantidad de cada bebida de fruta deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo?. Formule este problema como un modelo de programación lineal.
Porcentaje de jugo por bebida Jugo de naranja
Jugo de toronja
Jugo de maracuyá
Existencias por bebida (galones)
Costo unitario por bebida ($/galón)
Bebida A
40
40
0
200
1.50
Bebida B
5
10
20
400
0.75
Bebida C
100
0
0
100
2.00
Bebida D
0
100
0
50
1.75
Bebida E
0
0
0
800
0.25
PROBLEMA No.11 Un fabricante puede producir en una planta, acondicionadores de aire y refrigeradores. Los componentes principales de cada uno de estos artículos son la unidad mecánica y el gabinete. En cada uno de los casos estos componentes se hacen en los mismos departamentos, cuyas capacidades son limitadas, como se muestra a continuación. Sin embargo, los acondicionadores de aire y los refrigeradores se ensamblan en departamentos separados.
Acondicionadores
Refrigeradores
de aire Unidades Mecánicas
125
100
Gabinetes
200
50
Ensamble
150
120
La utilidad obtenida en la venta de cada acondicionador de aire es de $50.00 y de cada refrigerador es de $75.00. ¿Qué combinación de acondicionadores de aire y de refrigeradores se debe producir, de acuerdo a las instalaciones disponibles a fin de maximizar las utilidades?.
PROBLEMA No.12 (DE SUFICIENCIA) El gerente de mercadotecnia de una compañía que vende productos alimenticios dietéticos está considerando la promoción de un nuevo producto. El presupuesto de publicidad de la compañía incluye $60000 durante el próximo trimestre para este fin. La compañía puede hacer publicidad al nuevo producto a través de comerciales en televisión y anuncios en revistas. Cada comercial de televisión cuesta $8000, pero se ha estimado que cada vez que aparecen esos comerciales los ven 50000 personas. Cada anuncio de revista cuesta $4500. Se estima que cada uno de estos anuncios es visto por 25000 personas. Debido a que la compañía controladora de la empresa que vende alimentos dietéticos también tiene inversiones en diversas imprentas, los administradores de primer nivel han dado instrucciones al gerente de mercadotecnia de que coloque cuando menos tres anuncios en revistas. El gerente ha decidido que la compañía debería tener cuando menos tantos comerciales de televisión como anuncios en revistas. Formule este problema como un modelo de programación lineal y encuentre la cantidad de dinero que se debe invertir en cada tipo de publicidad haciendo la mejor asignación presupuestaria para maximizar la cantidad de personas que verán los anuncios.
PROBLEMA No.13(DIFERIDO) Una compañía de calzado fabrica zapatos "Exclusivos". Fabrica tres tipos de calzado para caballero: zapatos, botas y pantuflas. El gerente de producción tiene el problema de decidir cuál es el mejor programa de fabricación para el siguiente mes. Para lograr ese objetivo debe decidir qué mezcla de fabricación de los tres estilos producirá la mayor contribución a las utilidades, al mismo tiempo que satisfaga diversos requerimientos financieros y de producción. Los datos de la tabla siguiente describen la operación de manufactura para la empresa y se recopilaron en meses anteriores de operación. Existe una oferta ilimitada de piel para el fabricante; sin embargo, se dispone de un máximo de 1,200 horas de producción durante el siguiente mes. El tiempo de producción cuesta $10 por hora, mientras que para cada unidad de piel el costo es de $4.
Producto
Horas de tiempo
Unidades de piel
de operación por
que se requieren
par de calzado
por par de calzado
Zapatos
3.50
3.25
Botas
2.50
4.50
Pantuflas
2.00
2.00
La empresa hace todas sus ventas a mayoristas, que le pagan en efectivo toda la mercancía; por lo tanto la compañía no tiene cuentas pendientes de clientes. Los precios de venta para cada par de zapatos a los mayoristas son de $60, $64 y $50, respectivamente para los tres estilos. Los costos fijos de la empresa para el siguiente mes de operación son $3000 y el saldo actual de efectivo es $16560. El gerente de producción tiene comprometidos los siguientes pedidos para los diferentes estilos: 30 pares de zapatos, 55 de botas y 32 de pantuflas. Pueden venderse todos los pares que se fabriquen durante el mes, que excedan esos pedidos ya comprometidos. Es decir, el movimiento de la producción es tal que todo el calzado que se fabrique en un mes determinado se distribuye durante el mismo y por ello no existen inventarios. Formule este problema como un modelo de programación lineal que ayude al gerente a decidir la mezcla óptima de los diferentes estilos de calzado.
PROBLEMA No.14 Cierta empresa agrícola opera tres granjas de productividad comparable. La producción de cada granja es limitada por la extensión utilizable y por la cantidad de agua disponible para irrigación. Los datos para la próxima cosecha son los siguientes:
GRANJA
EXTENSIÓN UTILIZABLE AGUA DISPONIBLE (ACRES)
(PIES-ACRE)
1
400
1500
2
600
2000
3
300
900
La empresa pretende hacer 3 cultivos los cuales difieren principalmente en su utilidad esperada por acre y su consumo de agua. Además, la extensión total que puede ser destinada a cada cultivo está limitada por la cantidad de equipo disponible, como se muestra a continuación:
CULTIVO
EXTENSIÓN MÁXIMA
CONSUMO DE AGUA
(ACRES)
(PIES-ACRE/ACRE)
UTILIDAD ESPERADA POR ACRE ($)
A
700
5
400
B
800
4
300
C
300
3
100
A fin de mantener una carga de trabajo uniforme entre las granjas la empresa tiene la política de que el porcentaje de extensión utilizable sembrada sea la misma en cada granja. Sin embargo, cualquier combinación de cultivos puede hacerse en cualquiera de las granjas. La empresa desea saber cuánto de cada cultivo debería sembrar en cada granja a fin de maximizar las utilidades. Formule el problema como un modelo de Programación Lineal.
PROBLEMA No.15(DIFERIDO) Una pequeña planta fabrica dos tipos de partes (A y B) para automóvil. Compra piezas fundidas que se maquinan, taladran y pulen. Los datos de las capacidades por departamento se presentan en la siguiente tabla.
CAPACIDADES (PIEZAS POR HORA) PARTE A
PARTE B
MAQUINADO
25
40
TALADRADO
28
35
PULIDO
35
25
Las piezas fundidas para la parte A cuestan dos colones cada una; para la parte B, tres colones cada una. Se venden a cinco y seis colones por unidad, respectivamente. Los costos de operación de maquinado, taladrado y pulido son 20, 14 y 17.50 colones por hora, respectivamente. Formule este problema como un modelo de Programación Lineal para maximizar las utilidades.
PROBLEMA No.16 (CORTO) Larry Edison es el director del centro de cómputo de BC. Él debe programar las horas de trabajo del personal del centro. Abre de las 8 am a la media noche. Larry estudió el uso del centro en las diferentes horas del día y determinó los siguientes números de asesores en computación necesarios: HORARIO Mínimo de Asesores requeridos 8 am – 12 am 4 12 am – 4 pm 8 4 pm - 8 pm 10 8 pm – 12 pm 6
Puede contratar dos tipos de asesores: de tiempo completo y de tiempo parcial. Los primeros trabajan 8 horas consecutivas en cualquiera de los siguientes turnos: matutino (8am-4pm), vespertino (12am-8pm) y nocturno (4pm-12pm). Estos asesores ganan $14 por hora.
Los asesores de tiempo parcial pueden trabajar en los cuatro turnos enumerados en la tabla anterior y ganan $12 por hora. Un requisito adicional es que durante todos los períodos debe haber al menos dos asesores de tiempo completo por cada uno de tiempo parcial. Larry desea determinar cuántos asesores de tiempo completo y cuántos de tiempo parcial debe haber en cada turno para cumplir con los requisitos a un costo mínimo.
