Examen de Práctica prara Ceneval Ceneval de Matemáticas acuerdo acuerdo 286 Por: I, Q. Jose Luis Méndez “Nunca dejes que los que no tienen sueños te detengan...” Albert Einstein. Lea detenidamente antes de contestar. Solo hay una respuesta por pregunta. Marque en un círculo la que considere correcta.
MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS (1ra PARTE PARTE 60 min)
41
Son lo números que se utilizan para contar a) Enteros b) Naturales c) Racionales 42 Solo son divisibles entre si mismos y la unidad a) Primos b) Naturales c) Racionales 43- Son los numeros que no son primos, es decir que tienen más divisores divisores a)Enteros b) Naturales c) Compuestos 44- Son los números compuestos por un numerador y un divisor a)Enteros b) Naturales c) Racionales 45- Son los números que en su forma decimal son una serie infinita de dígitos a)Enteros b) Naturales c) Racionales 46- 1,2, 3, 4, 5,……, 19, 20, 21,……… son ejemplos de números a)Enteros b) Naturales c) Racionales 47- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,………… son ejemplos de números a)Primos b) Naturales c) Racionales 48-
d) Irracionales d) Imaginarios d) Irracionales d) Irracionales d) Irracionales d) Irracionales
8 15 2 1 3 , , , , son ejemplos de números 9 33 3 6 4
a)Enteros 49-
d) Irracionales
b) Naturales
2 3 8 15 , 9 son ejemplos de números 3 4 9 33
c) Racionales
d) Irracionales
a)Propios 7 , 3
50-
b) Mixtos 5,
4
,
3 2
a)Mixtos 51-
La expresión
a)
52-
53-
54-
b)
5 8
9
5
8
7 8
c) 1
31 8
d) 1
31 8
6
8 8
5
d)
36
5
5
2
b) 3
6
24
es igual a
2
La expresión
c)
36
b) 3
2
d) Irracionales
es igual a
2
7 7
c) Racionales
es igual a
9
36
La expresión a) 3
4
8
5
La expresión a) 3
b) Propios
3
d) Irracionales
Son ejemplos de números
2 , 2 2
,
c) Racionales
3
2
c) 2
3
d)
2
8
7
es igual a 3
a) 2
b)
2
c) 5
3
2 3
d)
3 2
2
55-
La expresión
6 2
es igual a
a) 3
b) 9
c)
12 4
d)
3 2
2
56-
La expresión a)
57-
8 3
es igual a
64
b) 7
6
La expresión a)
20 5
1 9
c) 7
6 3
d)
64 3
es igual a
20
b) 2
2
c)
5
d)
20 4
1
x 3 es igual a x 4
58--
La expresión a) x
2
b)
x
c) 2 x
d) 4 x
c) 1256
d) 4
1
59--
La expresión
16 2 es igual a 4
a) 2
b) 3
60-
256 16
2 x La expresión es igual a 4
a)
x
x
3
b)
3
c) 8 x
8
d)
x
2
UNIDAD 2.
Álgebra 2.1 Propiedades y Definiciones Término Algebraico.- Es la expresión algebraica, que se compone de: signo, coeficiente, base ó literal y exponente.
Término Semejante.- Es la expresión algebraica, que se compone de misma base y mismo exponente, aunque su signo y coeficiente sean diferentes. Ejem: es semejante a 4x3
Ejem:
4 7
a3b2
5x3 5
es semejante a
3
a3b2
Clasificación de Términos Algebraicos.- Se clasifican según su número de términos, de la siguiente manera: Monomio
= un solo término
Binomio
= dos términos
Ejem: 3x3 Ejem: 7x2 3x
Trinomio
= tres términos
Ejem: 2x2 3x 9
Polinomio
= 2 ó más términos
Ejem: 2x3 4x2 5x 8
2.2 Leyes de los signos Suma y Resta:
Signos iguales , conservan su signo y se suman Ejem: 4 8 12 Ejem: 3 18 21 Ejem: 3x 10x 13x Ejem: 8y2 12y2 20y2
Signos diferentes , signo del mayor y se resta el mayor menos el menor
Ejem: 12 22 10 Ejem: 15x 20x 5x
Ejem: Ejem:
3 18 15 5y2 12y2 7y2
Multiplicación y División:
Signos iguales , siempre es Signos diferentes , siempre es
Ejem: 125 60 Ejem: 8 4 32
Ejem: Ejem:
3 5 15 9 6 54
2.3 Signos de Agrupación Definición.- Son los signos que nos sirven para agrupar términos u operaciones entre ellos, los principales son:
Paréntesis
Llave
Corchete
Cuando se aplican en operaciones, el objetivo es suprimirlos multiplicando por el término ó signo que le antecede. Si en una expresión matemática existen varios signos de agrupación, se procede a eliminarlos de adentro hacia fuera. Ejem: 7 43 8 7 7 45 7 7 20 7 7 13 7 13 20
4 3 5
Ejem: 4 2
42 2
9 4x 2xx 6 x3x 1
Ejem:
9 4 x 2x2 12x 3x2 x 2
9 4 x x 13x
9 4x
9 4 x x2 13x 2
14x
9 4x2 56x
2.4 Evaluación de expresiones algebraicas El valor numérico de una expresión algebraica, es el que se obtiene al sustituir las bases o literales por un valor específico. Ejem: Si x =2 & y = -1 de la expresión: 3x2 5 xy y2 2
2
32 52 1 1
sustituyendo:
34 10 1 12 10 1 1
Ejem: Si a
1 2
& b
2
de la expresión: 2a2
3
3 4
ab
1 4
2
sustituyendo:
1 3 1 2 1 4 2 3 4 2
2
1 3 1 2 1 2 4 4 2 3 4
2 4 1 2
6
1
24 4 1 1 4
4
2.5 Lenguaje algebraico Definición.- Es la forma de expresión común o coloquial que se expresa de forma algebraica. Ejem: Un número cualq x e 2 Un número cualquiera aumentado x y La diferencia de dos números cualq x c4 El triple de un número disminuido 3en a
La cuarta parte de un nú 4 3
b c Las tres cuartas partes de la suma de dos nú 4
x x 1 x 2 La suma de tres números naturales conse
2
b 4 24 dos quintas partes de un número disminuido en cuatro es igual 5
x4 suma de tres números pares consecutivos, es igual al cuádrupl x x 2 x 4 4x 2 menor más la mitad del
2.6 Leyes de los Exponentes
x a x b x ab
Multiplicación: Ejem: 2 32 2 2 3 2 2 5
Ejem: xa
División: Ejem:
26 2
2
x
b
x a b
Ejem:
x
a b
:
x
ab
Ejem: 33 2 3 3 2 3 6
Ejem:
x
1 2
2
2
2
a
x a
ó
1 x
a
xa
x
2
x7 2 x5
x 5 3 x 53 x 15 Cambiar signo de exponente
Ejem:
x0 1
Unitario:
x7
Multiplicar los exponentes Ejem:
1
Inverso:
x 2 x 5 x2 5 x 7
Restar los exponentes
2 6 2 2 4
Potencia
Sumar los exponentes
1 x
2
x2
Siempre es igual a uno
Ejem: 13 0 1
Ejem:
y 0 1
2.7 Operaciones algebraicas Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó restar términos semejantes. Ejem:
Sumar
3a 5b & 2a 3b 3a 5b 2a 3b
3a 5b 2a 3b a 2b
Ejem:
Restar
4a 8b de 6a 7b 6a 7b 4a 8b 6a 7b 4a 8b 2a b
Multiplicación.- La operación algebraica de multiplicar, básicamente puede efectuarse, como sigue: Monomio por monomio Ejem:
2ab 3a bc 23 a1 a 4 b 2 b1 c 2 6a b c 2
4
2
1 4
2 1
2
6a5b3c 2
Monomio por polinomio Ejem:
2x 3x x 2 2x2 3x2 2x2 x 2x2 2 23 x2 x2 21 x 2 x 2 2 x 2
2
6 x2 2 2 x21 4x
6x4 2x3 4x
4a2b6 3a2b1 6a3b2 4a2b6 3a2b1 4a2b6 6a3b2 12a22b61 24a23b62 12a4b7 24a1b4
Ejem:
12a4b7 24a1b4
12a4 7
24
ab4
b
Polinomio por polinomio Ejem: 2x 3x 2 2x 1 2x x2 2x 1 3 x2 2x 1 21 x x2 2 2 x x 2 1 x 3 1 x2 3 2 x 3 1 2x1 2 4 x11 2x 3 x2 6 x 3 2x 3 4 x 2 2x 3 x 2 6 x 3 2x 3 7x 2 8x 3
División.- La operación algebraica de dividir, básicamente puede efectuarse, como sigue: Monomio entre monomio 30a3b2
Ejem:
12a2b4
30
12
5
5a
2
2
2 4
3 3
2
Ejem:
a b 3
2a bc 3ab 2 2
23 a6b3c9
32 a2b4 8 a6 2 b3 4 c 9 9
ab 2
2b2
8a4b1c9 9 4 9
8a c 9b
Polinomio entre monomio 12x3 6x2 18x
Ejem:
6x
12x3 6x
6 x2 6x
18x 6x
1x 3x11
2x
31
21
2x2 x 3
Polinomio entre polinomio Ejem:
x2 2x 15 x 3 x 5 x 3
Θ
x 2 2x 15
x2 x
x
xx 3
x2 3x
5x 15
Θ
5x
5x 3
5
x
5x 15 0
2.8 Radicales Propiedades de los radicales: a a
Índice = potencia :
a
x
xa
x 3
2 2
4
Ejem:
42
4
Ejem:
3
3
2
2
23
a b
Índice ≠ potencia:
a
x
xb
6
Ejem:
3
6
4
43
8 2
4 16
Ejem:
Multiplicación con mismo índice: 2 8
Ejem:
2 8 16 4
Ejem:
4
2 2 4 22 4
a
x a y a xy
3
2 3 32 3 2 32 3 64 4
8
Ejem: 4 28 2 18 42 2818 8 74 92 8 7 22 32 2 823 72 48 14
Multiplicación con diferente índice: Ejem:
3
3 2
32
32 23
69
24
5 4 32 8 6259 8 5625 a b
Raíz de una raíz: Ejem:
3 4
30
x b y ab x b y a
8 6 72
5 43
Ejem:
a
34
30 12 30
5
Ejem:
x ab x
223
División con índices iguales: 192
Ejem:
3
192
3
64 8
3
Ejem:
División con índices diferentes: Ejem:
Ejem:
64 3
16
3 9
3
64 23
5
125
16
39
6
2
59 3
125
2 2
6 3 4 2
27
6
218 8
2
59
5
3 3
27
6
250 3
a
x
b
y
3
25
a
x
a
y
3
ab
a
250
2
2
223 10 223 x y
3 125 5
xb ya
3
210 25 2 22 23 4
59 9
5
27
50 27 1 1
Operaciones con radicales: Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó restar radicales semejantes, es decir, con el mismo índice y la misma base, según la siguiente regla:
r n a sn a tn a r s t n a
Ejem:
Resolver:
8 3 3 3 9 3 8 3 9 3 2 3
Ejem:
Resolver:
5 3 3 6 3 3 9 3 3 5 6 93 3 8 3 3
Ejem:
Resolver:
4 50 5 18 2 98
4 25 2 5 9 2 2 49 2 4 52 2 5 32 2 2 72 2
45 2 53 2 27 2 20 2 15 2 14 2 20 15 14 2
21 2
Ejem:
Resolver:
3
2x
3
3
3x 3 375x 4 4
3
24x 4
3
2x 3 3x 3 25 15x3 x 4 4 6x3 x 3
3
2x 3 3x 3x 52 5 3x 4x 22 2 3x 3
3
2x 3 3x 3x 53 3x 4x 23 3x 2x 3 3x 3 5 x 3 3x 4 2x 3 3 x 2x 3 3x 15x 3 3x 8x 3 3x
9x 3 3 x
Racionalización.- Es el convertir una fracción con denominador en forma de radical, en otra fracción equivalente, donde su denominador sea un número entero.
De un denominador monomio: Forma:
y b
xa
, se multiplica por
3
Ejem:
3
3 3
3
6 3
2
3 3
2 3
3
b
xb a
3 3
3
32
3 6
Ejem:
xb a
, y se simplifica.
321 3 , el numerador y el denominador, obteniéndose:
, se multiplica por: 3
b
3
, se multiplica por:
22 2
2
63 4 3
3
2
63 4 2
3
23 1
3
22 , el numerador y el denominador, obteniéndose:
33 4
De un denominador binomio: Forma:
Ejem:
c a b
, se multiplica por el conjugado del denominador
3 1 3
a b a b
, y se simplifica.
, se multiplica por: 1 3 , el numerador y el denominador, obteniéndose:
3
1 3
1 3 1 3 6
Ejem:
33 3
1 3
12 32
33 3 2
, se multiplica por: 2 2 , el numerador y el denominador, obteniéndose:
2 2
6
33 3
2 2
2 2 2 2
12 6 2
12 6 2
22 22
42
12 6 2 2
63 2
Números Imaginarios.- Es el expresado como “ i “, significa la raíz cuadrada de “-1”, es decir:
1
2
i2
Entonces también:
1
i3 i2i 1i i i4 i2i2 1 1 1 i5 i2i2i 1 1i i
64 64 1 64 1 8i
Ejem: Ejem:
Ejem:
36 49 36 49
36 1 49 36 1 49
36 49 36 49
1
36
1
36
49
49
i i
6 7 6 7
i i
Operaciones con números imaginarios Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen aplicando: ai bi ci di a b c d i
Ejem:
Resolver:
4 36 3 81 9 49 7 25
4 36 1 3 81 1 9 49 1 7 25 1 4 36 1 3 81 1 9 49 1 7 25 1
46 i 39 i 97 i 75 i 24i 27i 63i 35i 24 27 63 35 i 23 i
Ejem:
Resolver:
2 75 4 18
1 3
36 12
2 253 1 4 92 1 2 52 3 i 4 32 2 i 25 3 i 43 2 i
1 3
1 3
6 i 2
10 2 3 i 12 2 i 2 i
Ejem:
Resolver:
2 i3 4 i2 8i 9
2 i2i 4 i2 8i 9
2 1 i 4 1 8i 9 2 i 4 8i 9
2 8 i 4 9 10 i 5
3
36 1 43 1
62 i 22 3 i
10 3 i 12 2 i 2 i 2 3 i 12 3 i 12 2 i 2 i
1
3i
i 1 .
2.9 Productos Notables Definición.- Son multiplicaciones abreviadas, que sin necesidad de efectuarlas, podemos llegar a su resultado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son: Binomio al cuadrado Binomios conjugados Binomios con término común Binomio al cubo
Binomio al cuadrado
a b2 a 2 2ab b 2
Regla:
a b2
a 2 2ab b 2
Ejem: x 32 x2 2x3 32
Ejem:
x 22
x 2 2x 2 22
x 2 4x 4
x 2 6x 9
Binomios conjugados Regla: a b a b a 2 b 2 Ejem: x 4 x 4 x2 16
Ejem:
2x 22x 2 4x2 4
Binomios con término común x ax b x 2 a b x ab Regla: Ejem:
x 5x 2 x 2 5 2 x 5 2 x 2 3x 10
Ejem:
x 7x 5 x 2 7 5 x 7 5 x2 12x 35
Binomio al cubo Regla:
a b3
a 3 3a 2b 3ab 2 b 3
a b3 a2 3a2b 3ab2 b3 Ejem: x 43 x 3 3x 2 4 3x 4 2 4 3 x 3 12x 2 3x16 64
x 3 12x 2 48x 64
Ejem: x 23 x 3 3x 2 2 3x 2 2 2 3 x 3 6x 2 3x4 8
x 3 6x 2 12x 8
2.10 Factorización Definición.- Es la forma más simple de presentar una suma o resta de términos como un producto indicado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son: Factor común Diferencia de cuadrados Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma x 2 bx c
Trinomio de la forma ax 2 bx c
Factor común Regla:
Paso 1: Obtener el máximo común divisor ( MCD ) Paso 2: Menor exponente de las literales comunes Paso 3: Dividir cada término entre el factor común obtenido
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x2+bx+c Regla: x 2 a b x ab x ax b x 2 8x 15
Ejem:
x 2 10x 24
Ejem:
x 4x 6
x 5x 3
Trinomio de la forma ax2+bx+c
Simplificación de fracciones algebraicas.- Es la aplicación de los conocimientos de productos notables y factorización, tanto en el numerador como en el denominador, se simplifica a su mínima expresión.
Suma y resta con denominadores diferentes Ejem:
5a 2
a 5a 6
7 a2
Ejem:
x2 x 3
3x x4
5a
a 2a 3 5a 7a 3 a 2a 3
7
a2
5a 7a 21
a 2a 3 12a 21
a 2a 3
x 2x 4 3 x x 3 x 3x 4
x2 6x 8 3 x 9 x 2 3 x
x 3x 4 2
x 6x 8 3x 9 x 2 3 x
x 3x 4 2x 2 17
x 3x 4
División Ejem:
x 2 5x 6 x2 2x 3
Ejem:
2x 2 2xy 4x 2 y
x 2x 3 x 1x 3 x 2 x 1
Ejem:
a2 9 2
a 2a 3
a2 12a 27 2
a 10a 9
Ejem:
a 3a 3 a 9a 3 a 3a 1 a 9a 1 a3 a 1
4a2 2
6b
a 3 a 1 a 3 a 1
xy 2 xy
7b3
a 1
4 x xy
2a
a3
2 xx y
2a6b 2
3
4a 7b
2
28a2b3 12ab2 7ab 3
1
Multiplicación Ejem:
a2 9a 18 5a 25 a 5 5a 15
a 6a 3 5a 5 5a 3 a5 5a 6 a 3 a 5 5a 5a 3
a6
Reactivos Unidad 2:
Ejem:
5x 25 7x 7 14 10x 50 5x 5 7x 1 14 10x 5 35x 5 x 1 140x 5 x 1 4
UNIDAD 3.
Ecuaciones 3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita Definición.- Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la incógnita debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su valor, por lo que se deben tener las siguientes consideraciones:
3.2 Desigualdades de primer grado con una incógnita Definición.- Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la variable debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su conjunto solución, se aplican básicamente las mismas reglas que para una ecuación, además de las siguientes consideraciones: Regla: Cada vez que un término se multiplique ó divida entre un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad
Signos de Desigualdad y Gráfica
3.3 Sistema de Ecuaciones (2 ecuaciones con 2 incógnitas) Definición.- Es el llamado “Sistema de 2 ecuaciones de 1er grado con 2 incógnitas”, en que el objetivo es encontrar los valores de éstas 2 variables. Existen varios métodos para su solución, entre los cuales están los llamados “Reducción” (Suma y Resta) y “Determinantes” (Regla de Kramer), que se explican a continuación:
Método de Reducción (Suma y Resta) Regla: Eliminar una de las 2 variables multiplicando una ó las 2 ecuaciones por un factor ó factores que hagan que la suma de una de las variables sea “cero” y despejar la variable restante para obtener su valor, posteriormente sustituir el
valor encontrado en una de las ecuaciones originales y obtener el valor de la segunda variable.
Método por Determinantes (Regla de Kramer)
Problemas de Aplicación Dentro del proceso de resolución de problemas, se pueden diferenciar seis etapas: 1. Leer el problema 2. Definir las incógnitas principales de forma precisa 3. Traducción matemática del problema 4. Resolución del problema matemático 5. Interpretar las soluciones 6. Contrastar la adecuación de esas soluciones Ejem: En un zoológico hay aves (de dos patas) y tigres (de 4 patas). Si el zoológico contiene 60 cabezas y 200 patas, ¿cuántas aves y cuántos tigres viven en él?
3.4 Sistema de Ecuaciones (3 ecuaciones con 3 incógnitas) Definición.- Es el llamado “Sistema de 3 ecuaciones de 1er grado con 3 incógnitas”, en que el objetivo es encontrar los valores de éstas 3 variables. Los métodos para su solución, son: “Reducción” (Suma y Resta) y “Determinantes” (Regla
de Kramer):
Método por Determinantes (Regla de Kramer)
Realizar los pasos siguientes: 1. Se escribe el determinante de tres por tres. 2. Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales. 3. Se trazan 3 diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha. 4. Se multiplican entre si los tres números por los que pasa cada diagonal. 5. Los productos de los números que están en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los de derecha a izquierda con el signo cambiado.
1 1 4
z
z
2
2
11
1
1
13
1 1 4 2 2 11 1 1 4 2 2 1 1 1 3
26 8 11 8 11 26 6 8 1 8 1 6
30 10
z3
1 1 4 2
2
1
3.5 Ecuaciones de 2do grado con una incógnita Clasificación Completas: ax2 bx c 0 Ecuaciones de 2do grado Mixtas: ax2 bx 0 Incompletas 2 Puras : ax c 0
Métodos de solución Completas: forma ax2 + bx + c = 0 Es cuando, la ecuación está compuesta por un trinomio, donde existen los valores de “a, b y c” , y para encontrar sus dos
raíces ó soluciones, se utilizan los métodos siguientes:
Incompletas mixtas: forma ax2 + bx = 0 Es cuando, la ecuación está compuesta por un binomio, donde existen los valores de “a y b, pero no de c”, y para
encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utiliza el método de factorización por término común y se despeja, como sigue:
Incompletas puras: forma ax2 + c = 0 Es cuando, la ecuación está compuesta por un binomio, donde existen los valores de “a y c, pero no de b”, y para
encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utiliza el método de despeje, como sigue:
Reactivos Unidad 3:
1. a)
¿Cuál es el valor de “x” que satisface la ecuación 1 4
2. a) 6 3. a) 2 4.
b) 4
c) 4
¿Cuál es el valor de “x” que satisface la ecuación
b)
1 6
Al resolver la ecuación b)
2 3
Al resolver la ecuación
x 3x 3 6 8x 12 ?
c)
d)
e)
1
1 4
8x 5 6x 7 ?
1 6
d) 3
e) 6
2x x 3 10 7x 4 , se obtiene:
c)
3 2
32x 1 25 x 3 , se obtiene:
d)
2 3
e)
3 2
a) 2
b)
5.
b)
6.
3
d)
2
5
1
d)
c) 2
4
12
5
5
b)
8.
3
c)
8
Al resolver la ecuación
a) x 5
9.
b) x
a) x 2
10.
b) x
4
b) x
De la ecuación
4
2x 1 3
x2 9
3
3
6
9 3x 2
1 6
x
1 4
x3 6
4 3
es: d)
3x 8
x 2
3 2
5
e)
8
5 12
es:
1 12
d)
3
e) 12
8
2 se obtiene:
x 8 3
x2 4
e) 4
4
8
d) x
2 5
e)
1 12
se obtiene:
c) x
2
1
x
1
c) x 5
5
Al resolver la ecuación 1
3x 5
2
Al resolver la ecuación
e) 2
2
3
c)
8
3
El valor de “x” que cumple con la igualdad
a) 12
a) x
b)
1
x 3x 1 6 42x 3 , se obtiene:
El valor de “x” que cumple con la igualdad
7.
11.
1
c)
Al resolver la ecuación
a) 4
a)
1
1 2
d) x 2
e)
d) x 4
e)
1 2
se obtiene:
c) x 4
1 el valor de “x” que satisface es:
1 4
a)
1
b)
2
12. a)
3
3
2
4
x 5 5
b)
5
3 x
b)
5
d)
11
11
e)
3
3 11
el valor de “x” que satisface es: 3
c)
4 3
Al resolver la siguiente ecuación 1
3
c)
De la ecuación
13. a)
11
2x
d)
4 7 5
4 5x
7
c)
11
5 2 7
5
e)
4
3 4
se obtiene: d) 7
11
e) 11
14. :La suma de dos números naturales enteros consecutivos es 183, hallar los números: a) 90 y 93 b) 91 y 92 c) 90 y 93 d) 91 y 92 e) 91 y 92 15. El menor de dos números impares consecutivos es el doble del mayor disminuido en 15. Hallar los números a) 11 y 17 b) 9 y 11 c) 11 y 13 d) 11 y 15 e) 13 y 15 16.
El triple de la suma de un número con su mitad igual a las 2/3 partes del mismo número aumentado en 46.
2x 2 x 46 2 3 x 2 d) 3 x x 46 2 3
17. a) 78
x
2
2
3
b) 3 x
a) 3
x 46
c)
2 x x 3x 46 3 2
2x 2 x 46 2 3
e) 3
¿Cuál es el número que sumado con su duplo da 261? b) 45 c) 87
d) 97
18. La suma de dos números es 450 y su cociente 8. Hallar los números. a) 425 y 25 b) 400 y 50 c) 350 y 100 d) 410 y 40
e) 89
e) 420 y 30
19. Si a un número añado 23, resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2, obtengo 122. ¿Cuál es el número? a) 84 b) 48 c) 45 d) 79 e) 58 20. La edad de Roberto es 2/3 de los 3/5 de la de Guillermo, Si éste tiene 30 años ¿Cuál es la edad de Roberto? a) 14 años b) 18 años c) 13 años d) 10 años e) 12 años
21. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. ¿Cuáles son los números? a) 57 y 49 b) 81 y 25 c) 58 y 48 d) 50 y 56 e) 52 y 54 22.
Encontrar los tres números consecutivos cuya suma sea 186. a) 61,62 y 63 b) 61,61 y 61 c) 64,67 y ,69 d) 32,33 y 34
23. edades.
e) 62,62 y 62
La suma de las edades de Sonia y Toño es 84 años y Toño tiene 8 años menos que Sonia. Hallar ambas a) 38 y 46
b) 40 y 44
c) 41 y 43
d) 37 y 40
e) 38 y 41
24. Un cateto de un triángulo mide 20 cm y la hipotenusa es 10 cm mayor que el otro cateto .Hallar las longitudes de los lados desconocidos a) 15 y 25 b) 17 y 21 c) 16 y 22 d) 24 y 11 e) 25 y 16 25.
¿Cuáles son las raíces de
a) 3 y 4 26.
b) 3 y 4
Al resolver la ecuación
a)
3 2
y
27.
4 3
1 2
28.
El conjunto solución de 1
3 , 2 2
a)
29.
a) 5 , 5
30.
1 1 2 2
a) 31.
3 2
,
3
2
b)
El conjunto solución de 2
a)
5
i,
2 i 5
d) 3 y 4
e) 3 y 4
c)
3 2
y
4 3
d)
3 4
y
2
e)
3
3 4
y
2 3
c)
1 2
y
1 2
d) 2 y
1
e)
2
1 2
y 2
1
1 , 2 2
d)
1 1 , 5 5
d)
1 1 , 3 3
d) 2 , 2
2 2 i, i 5 5
d)
c)
3 1 , 2 2
e) ,
10 , 10
e)
3
1
2
2
x2 5 0 es:
b) 5 , 5
El conjunto solución de
4
4x2 4x 1 0 es:
b) ,
El conjunto solución de
1
2x2 3x 2 se obtiene:
b) 2 y 2
y 2
c) 3 y
6x2 x 12 se obtiene:
b) 3 y 4
Al resolver la ecuación
a)
x2 x 12 0 ?
c)
2.5 , 2.5
3x2 2 0 es:
3 , 3
c)
2 2 , 3 3
e)
5x2 4 es:
2 2 i, i 5 5
b)
c)
2 5
,
2
5
2
2
5
5
e) ,
32. a)
1 2
y 2
33. a)
c) 1 y 0
b) 1 y 1
3
b)
y0
2
2 3
4
3 2
y
3
3
d)
2
4x2 x 0 se obtiene: 1 1 c) y 4 4
b) 4 y 0
y0
c)
y0
Al resolver la ecuación 1
d) 2 y 0
e) 1 y 0
2x2 3x 0 se obtiene:
Al resolver la ecuación
34. a)
x2 x 0 se obtiene:
Al resolver la ecuación
y0
2
d) 2 y 0
e)
3
e)
1
2
4
y0
y0
Al resolver la ecuación 10x2 15x 0 se obtiene:
35. a)
3 2
y0
36.
b)
2 3
c)
y0
3 2
y
3 2
7
c) 7
b) 7
2
2
e)
y0
3
d)
1
e) 1 0
7
37. ¿Cuál de los siguientes afirmaciones es verdadera, si 10x 90 a) x 9 b) x 9 c) x 9 d) x 9 38. El conjunto solución de a) x 2 b) x 2
3 y0 2
x 7
¿Cuál de los siguientes valores cumple con:
a)
d)
e) x 9
3x 1 2x 3 es:
c) x 2
e) x 2
d) x 2
39. El conjunto solución de la desigualdad 32x 5 71 x 44 3x es: a) x 6 b) x 6 c) x 6 d) x 6 e) x 6 40.
El conjunto solución de la desigualdad
41.
2 c) x 2
b) x 2
a) x 2
El conjunto solución de la desigualdad
a) x
42.
10 9
b) x
10
4
4
3 2
c) x
9
El intervalo que satisface a
a) , 3
5x 4
b) , 3
7x 8
5 6
3x 4
x 2 9
4x 1 3
9 es:
e) x 2
d) x 2
x 7
11 14
es:
d) x
10
9 10
10 9
1 es:
4
3
c) ,
4
3
d) ,
43. La expresión que representa “a lo más tengo 250” es: a) x 250 b) x 250 c) x 250 d) x 250 44.
e) x
La expresión que representa “por lo menos tengo 500” es:
4
e) , 3
e) x 250
a) x 500
b) x 500
45. El conjunto solución de a) 5, 5 b) 46.
48.
d) x 500
, 5 5,
c)
, 5
Los valores de las incógnitas del sistema
d) , 5 5,
2x y 7 son: 3x 4y 5
c) x 3, y 1
b) x 3, y 1 e) x 1, y 3
a) x 2, y 3 d) x 2, y 3
e) x 500
x2 25 0 es:
Los valores de las incógnitas del sistema
47. a) x 3, y 1 d) x 3, y 1
3x 2y 12 son: 5x 3y 1
b) x 2, y 3 e) x 2, y 3
c) x 3, y 2
xy 6 El valor de “x” del sistema de ecuaciones es: 3x y 2
49. a) 4
c) 2
b) 2
d) 4
e) 3
4x 9y 12 El valor de “y” del sistema de ecuaciones es: 2x 6y 1
50.
a)
c) x 500
2
b)
3
51.
2 3
c)
3 2
d) 2
e)
3 2
Si x = 2 y y = 3 . La solución del sistema de ecuaciones simultáneas es: x y 5 x y 2
a)
2x y 5 xy 2
b)
2x y 7 xy 3
c)
e) 5, 5
x y 1 x y 2
d)
xy 5 2x y 1
e)
52. Un perro y su collar han costado $54, y el perro costó 8 veces lo que el collar. ¿Cuánto costó el perro y cuánto el collar? a) Perro $48 y collar $6 d) Perro $46 y collar $8 53.
b) Perro $32 y collar $22 e) Perro $47 y collar $7
La edad de Juan es el doble que la de Pedro, y ambas edades suman 36 años. Hallar ambas edades.
a) Juan 12, Pedro 24 d) Juan 21, Pedro 15
b) Juan 24, Pedro 12 e) Juan 15, pedro 21
2
1
1
1 1 1
1
b)
2 1
2
e)
1
1 1
1
c)
1
1
1 1 1
1
1 2
3x y 1 El valor de “y” , por medio de determinantes es: 2y 6x 2
55.
1 3
a)
1
2 1
2
2 1
1
2 1
1 2
d)
c) Juan 12, Pedro 12
xy 2 El valor de “x” , por medio de determinantes es: 2x y 1
54.
a)
c) Perro $50 y collar $4
2
2
3
1
6
2
b)
3
1
6
2
1 2 6
3
3 1
c)
2
2
1 2 6
3
1
1 1 1
1
2
1
UNIDAD 4.
Álgebra de funcio nes Valor de una función Se obtiene, al sustituir el valor de “x” en la función f(x):
Ejem:
Si f(x) = x2 9 , obtener el valor de f(-4) y f(3) 2 f ( 4) 4 9 16 9 25
Ejem:
Si f(x) =
x 2 9x 2 x4
2
f (3) 3 9 9 9 18
, obtener el valor de f(-2) y f(4)
22 9 2 2 4 18 2 16 8 f ( 2) 24
6
6
3
f ( 4)
42 94 2 16 36 2 50 44
0
0
4.1 Dominio y Rango Dominio, es el conjunto de todos los valores de “x” admisibles para una función. Rango, es el conjunto de todos los valores resultantes de “y” al sustituir cada una de los elementos del dominio en la
función. Ejem: El dominio de la función racional f ( x) x
2
1 2
x 11x 24
11 x 24 x 3( x 8) 0 , entonces, sus raíces son: x1 3
y
x 2 8
Do minio x / x 3,8
Ejem: El dominio de la función racional f ( x) x
2
1 2
x 81
81 x 9( x 9) 0 , entonces, sus raíces son: x1 9 y
x2 9
Do minio x / x 9,9
Ejem: Para que valor de “x” la función f ( x) x
7 0 , entonces, para:
1
se indetermina:
x 7 x 7 la función se indetermina
Función cuadrática Es de la forma ax2 bx c y representa una parábola, donde su concavidad es hacia arriba cuando “a” es positiva y es hacia abajo cuando “a” es negativa.
El vértice de la parábola, se obtiene en el punto:
b 4ac b2 V , 2a 4 a
Los puntos donde la gráfica interseca al eje “x” , son la solución de la ecuación. Dependiendo de su concavidad y la
coordenada de su vértice, se puede obtener el dominio y el rango de la función. Ejem: Sea la función f ( x) x2 4x 3 , obtener su dominio y rango.
El vértice es: V
4
21
,
2 413 4
41
entonces, V 2,1 y la curva es cóncava hacia arriba
ahora, las raíces de: f ( x) x2 4x 3 x 3x 1 0 sus raíces son: x1 3 y entonces: Do minio , y Rango 1,
x2 1
Ejem: Graficar las siguientes funciones indicando dominio y rango.
4.2 Funciones y relaciones Definición Se le llama relación , a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2 conjuntos. Se le llama función , a la relación entre dos conjuntos, de tal manera que para cada “x”, corresponda un solo elemento de “y”.
Regla: Para determinar si una gráfica es una función ó relación, basta con trazar una vertical imaginaria sobre ella, y verificar los puntos de intersección. Es decir, si sólo toca un punto, se refiere a una función; si toca más de un punto se refiere a una relación.
Clasificación de Funciones
Cons tan tes : Las que no cambian. Ejem : f x 4 Lineales: Son de 1er grado. Ejem : f x 5x 2 Funciones Cuadráticas : Son de 2do grado. Ejem : f x x2 2x 6 x Exponenciales : Donde la var iable está como exponente. Ejem : f x 5 Logarítmicas : Donde exista log ó ln. Ejem : f x ln x
4.3 Función Logarítmica y exponencial: Es de la forma f (x) y loga x ,
donde:
: y loga x For m a log arítm ic a Ejem: Al convertir
3 log4 x ,
Ejem: Al convertir
2 logx 36 ,
Ejem: Al convertir
3 2
: x a y Forma exponencial
en forma exponencial, obtenemos:
lo gx 225 ,
x 43 64
en forma exponencial, obtenemos: en forma exponencial, obtenemos:
x3 27 x3 272 x3 729 x 3 729
2 logx 36 ,
Reactivos Unidad 4:
corresponde a:
x argumento f ( x) y exponente
36 x2
x6 3
entonces: Ejem: Al convertir
a base
en forma exponencial, obtenemos:
27 x 2
x9 36 x2
x6
UNIDAD 5.
Geo m etr ía eu cl id ian a 5.1 Ángulos Clasificación Básica
o
Se le llama án g u lo c o m p lem en tar io , son los ángulo cuya suma es igual a 90 . o o Ejem: El complemento de 70 es 20 , porque 70o 20o 90o o
o
Ejem: El complemento de 35 es 55 , porque 35o 55o 90o o
Se le llama án g u lo s u p lem en tar io , los ángulo cuya suma es igual a 180 . o o Ejem: El suplemento de 40 es 140 , porque 40o 140o 180o o
o
Ejem: El suplemento de 135 es 45 , porque 135o 45o 180o
5.2 Conversión de grados a radianes y viceversa
Reactivos Unidad 5:
UNIDAD 6.
Tr ig o n o m et ría 6.1 Teorema de Pitágoras Definición.- Aplicado para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ( c ) es igual a la sum a de los cuadrados de sus catetos (a y b ).
6.2 Funciones Trigonométricas Definición.- Son las razones existentes establecidas entre los lados de un triángulo rectángulo y son:
1. a) 9
Una oficina de forma rectangular, un lado mide 4m y su diagonal mide 5 m, ¿Cuánto mide el otro lado? b) 3 c) 5 d) 4 e) 2
2.
Según la figura, la razón
7 10
, corresponde a la función:
3.
Según la figura, la razón :
17 8
, corresponde a la función:
Resp ues tas a Reactiv os d e Matemátic as
