Examen de Electromagnetismo

Examen de Electromagnetismo No. 1. Escriba la expresión más general que conoce del campo eléctrico, del potencial eléctrico y de la energía electrostática. Defina con claridad los términos y conceptos involucrados. Puntos adicionales si se apoya fuertemente en figuras.

No. 2. Tómese una canica de vidrio cargada eléctricamente con una densidad de carga  (T )  ar  b dentro de ella r  R donde R es el radio de la canica. A) ¿Cuánto vale la carga en ella desde Rc  0 y hasta r  B) ¿Cuánto vale la carga en ella desde su centro y hasta

1 R? 10

1 R? 2

C) ¿Cuánto vale la carga total en ella?

 1 1 D) Calcule E dentro de la canica para 0  r  R y para R  r  R . 2 2  E) Calcular E fuera de la canica. No. 3. Configuración A. -2e

a

-e

+3e a

a

-e

a

-2e

Configuración Adist . . -2e

a

1/10 a

-e

a

a

a

-e

-2e

Calcular la energía electrostática del sistema: a) Para la configuración A. b) Para la configuración Adist . .

No. 4. A) Demuestre que el campo eléctrico en el interior de un conductor cargado es siempre cero. B) Demuestre que en el interior de tal conductor no puede residir densidad de carga libre. C) Describe tantas características eléctricas de sistemas conductores como puedas.

No. 5. Para un sistema eléctrico en general: 1) Obtenga la ecuación de Poisson para el potencial V. 2) Obtenga después la ecuación de Laplace para V, e indique claramente bajo que condiciones se aplica.

Región Fuente.

 (r )

Vol. v

q0 Observador.

 r2 z

 r

y x

No. 6. Considere una varilla de plástico de radio “a” cargada uniformemente con carga total q a . La varilla es muy larga y es cubierta con un baño de oro que llega a un espesor de 10 3 micras. La cubierta de oro también es cargada con una carga total q b . El espesor de la capa de oro es muy pequeño a comparación con el diámetro de la varilla.  A) Calcular y graficar E en todo el espacio. B) Calcular y graficar V en todo el espacio. C) Calcular y graficar la energía electrostática del sistema.

No. 7. En la varilla anterior tómese q a   qb con q a distribuida sólo sobre el eje de la varilla. Así se ha formado un capacitor. 1) ¿Cuánto vale su capacitancia? 2) ¿Cuánto vale la energía electrostática del nuevo sistema?

Soluciones:

No. 1. Para el campo eléctrico la expresión mas general es:

E (r ) 

1 4 o

rr

N

q i 1

i

rr

3



rr

1 4 o

 rr

3

 (r ' )dv' 

S

1 4 o

rr

 rr

3

 (r ' )da'

S

ρ es la densidad de carga volumétrica, σ es la densidad de carga superficial .

Para el potencial eléctrico la expresión más general es :

V (r ) 

1 4 o

N

 i 1

qi 1  r  r 4 o

 (r ' )

 rr S

dv' 

 (r ' )

1 4 o

 r  r da' S

La expresión para la Energía electrostática de una distribución de carga es: W 

1 N  qiVi 2 i 1

No. 2. A) ¿Cuanto vale la carga en ella desde R = 0 hasta r  La densidad de carga volumétrica es   q   dv

1 R? 10

dq  dq  dv entonces: dv

En coordenadas esféricas dv  r 2 sendd con 0  r 

S

0     y 0    2 . 2

Por lo tanto se obtiene: q 



1 R 10

   ar  br   0 0 r 0

Integrando la ecuación

2

sendrdd

1 R, 10

4 br 3  10 R   ar   q  2 ( cos ) 0   3  0  4 1

 a  1 4 b  1 3  q  2 ( cos   cos 0)   R    R   4  10    4  10  4 b   a q  R 4  4   3R 10 3   10

¿Cuanto vale la carga en ella desde su centro y hasta r 

1 R? 2

En este caso la carga se obtiene a partir de la ecuación (1) solo que aquí los límites de integración para la r son: 0r

q

1 R 2

2



1 R 2

 0

 0

r 0

2  d  send  ar  br dr 

 ar 4 br 3  2 R   q  2 cos  0   4 3  0 1



 a  1 4 b  1 3  q  2 (2)   R    R   4  2    4  2  b   a Por lo tanto obtenemos: q  R 4     16 6 R 

¿Cuánto vale la carga total en ella?

2

0 r  R

q

 

d

0



 

send

0

R

 ar  br

2

dr



r 0

 ar 4 br 3    q  2 cos 0   3  0  4 R



b  a q  2 ( cos   cos 0)  R 4  R 3  3  4

4b   Por lo tanto obtenemos: q  R 4  a   3R  

Calcular E dentro de la canica para 0< r <

1 1 R y para R< r < R 2 2

Solución: Calcular E fuera de la canica

Solución:  QTotal E . La superficie de Gauss es una esfera de radio R< r.   nˆda 

o

S



 E  nˆda  E  da  E 4r S

2

S

E 4r 2 

R 4  4b  a   o  3R 

R4  4b  a  2  3R  or 

E

No. 3. Para el sistema A

U

1 W12  W13  W14  W15  W23  W24  W25  W34  W35  W45  2

U

q1q2 qq qq qq qq qq  1 3  1 4  1 5  2 3  2 4 4 o r21 4 o r31 4 o r41 4 o r51 4 o r23 4 o r42



q2 q5 qq qq qq  3 4  3 5  4 5 4 o r52 4 o r43 4 o r53 4 o r54

Sustituyendo valores U

q1 q3 q q 2 q 2 q3 q1 q2 qq   1 4  1 5   4 o a 4 o 2a 4 o a 4 o a 4 o a

q q 2 q3 q 4 q q 2 q 4 q5 2 q2 q4  2 5   3 5  4 o a 4 o 2a 4 o a 4 o a 4 o a

Por lo tanto: U

2e 2 e2 2e 2 3e 2 2 2e 2      4 o a 4 o 2a 4 o a 4 o a 4 o a

4e 2 4 o 2a





6e 2 2 2e 2 3e 2 2 6e 2 2    4 o a 4 o a 4 o a 4 o a

U

2e 2 5e 2 18e 2 2    o a 4 o 2a 4 o a

Para el sistema B

U

1 W12  W13  W14  W23  W24  W34  2

U

qq q q q q q1 q 2 qq q q  1 3  1 4  2 3  2 4  3 4 4 o r21 4 o r31 4 o r41 4 o r23 4 o r42 4 o r43

U

2e 2 e2 2e 2 2e 2 4e 2 2e 2      4 o 1.1a 4 o 2a 4 o 1.01a 4 o 1.01a 4 o 2.01a 4 o 1.1a

U

1 4 4  e2 4     11 . 145  4 o a 1.1 4 o a 2 1.01 2.01  e2

No. 4. Para mostrar que el campo eléctrico en el interior de un conductor es cero, tomemos una figura, en este caso elegimos una superficie esférica de radio R y carga q. Calculemos el campo eléctrico en el interior de la figura, en 0≤r≤R, para ello tomemos una superficie gaussiana. Aplicando ley de Gauss tenemos

R

 QT E SG .nˆ da   0  Q  E  da  T  E.4r 2 0

Pero sabemos que la carga en un conductor se encuentra en la superficie, lo cual implica que para r≤R no hay carga, por lo que tenemos que

E.4r 2 

QT

0



0

0

 E0  En el interior de un conductor E  0 .

No. 5. La ecuación de Poisson es:  2V 

 O

Calculando el potencial para la distribución de cargas de la figura: 1 N qi 1  (r ' ) 1  (r ' )  V (r )   dv '        da' 4 o i 1 r2  ri 4 o S r2  r ' 4 o S r2  r '

La ecuación de Poisson es :  1    4 o 2

N

 i 1

qi 1    r2  ri 4 o

 S

 (r ' )

1

  dv'  r2  r ' 4 o

 S

 (r ' )

   da '     r2  r ' o 

La ecuación de Laplace es:  1    4 o 2

N

 i 1

qi 1    r2  ri 4 o

 S

 (r ' )

1

  dv'  r2  r ' 4 o

 S

 (r ' )

   da'   0 r2  r ' 

qa qb

No. 6.

A) Para r > a Sabemos de la ley de Gauss

∮

̅

h

̅

En este caso el campo eléctrico es paralelo a la diferencial de área En la superficie lateral y es perpendicular en las tapas de la superficie Gausiana.

Entonces ∮

̅

̅

∫ ̅

̅

∫ ̅

̅

∫ ̅

̅

∫ (

)

̅

̂

Para 0 < r < a

En este caso Es la misma situación que para r > 0, el campo eléctrico tiene dirección radial.

∮ ̅

̅ (

̅

∫ )

̂

E

r a

B) Sabemos que de ∫ ̅

de ahí tenemos que ̅

II

I

E

Cuando r > a Al punto A lo madamas a infinito; entonces

A→

̅

∫ ̅

Entonces obtenemos

̅

Para este caso el campo eléctrico es

̂ B

∫

̅

̂ ∫

Cuando

0
Ahora hacemos las siguientes consideraciones

En este caso el campo es

̅

̂

∫

Como

entonces

̂

̅

∫

̂

̅

No. 7.

Ahora solo nos interesa el campo dentro del capacitor que es generado por la línea de carga, ya que el campo eléctrico fuera de él es cero ya que la carga neta fuera es cero.

-qb qb

0
Superfici e de Gauss Por ley de gauss calculamos

∮ ̅

̅

(

)

̅

̂

Ahora calculamos la diferencia de potencial

Entre las superficies del capacitor; es considerado el radio del alambre muy pequeño de valor ε

∫ ̅

̅

∫

Utilizando que

Entonces

Ahora para el cálculo de la energía tenemos que