Ejemplos de inducción electromagnetismo
1. Una espira se encuentra en reposo en el plano horizontal, en un campo magnético vertical y dirigido hacia arriba. Indique en un esquema el sentido de la corriente que circula por la espira si: a) Aumenta la intensidad del campo magnético. b) Disminuye dicha intensidad. 2. A una espira circular de 5 𝑐𝑚 de radio, que descansa en el plano XY, se le aplica durante el ⃗ = 0,1 𝑡 2 𝑘⃗ 𝑇 donde 𝑡 es el intervalo de tiempo de 𝑡 = 0 a 𝑡 = 5 𝑠 un campo magnético 𝐵 tiempo en segundos. a) Calcule el flujo magnético que atraviesa la espira y represente gráficamente la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo. b) Razone cómo cambiaría la fuerza electromotriz inducida en la espira si: i) el campo ⃗ = (2 − 0,01𝑡 2 )𝑘⃗ 𝑇; ii) la espira estuviera situada en el plano 𝑋𝑍. magnético fuera 𝐵 3. Un solenoide de 200 vueltas y de sección circular de diámetro 8 𝑐𝑚 está situado en un campo magnético uniforme de valor 0,5 𝑇 cuya dirección forma un ángulo de 60° con el eje del solenoide. Si en un tiempo de 100 𝑚𝑠 disminuye el valor del campo magnético uniformemente a cero, determine: a) El flujo magnético que atraviesa inicialmente el solenoide. b) La fuerza electromotriz inducida en dicho solenoide. 4. Un solenoide de 20 Ω de resistencia está formado por 500 espiras circulares de 2,5 𝑐𝑚 de diámetro. El solenoide está situado en un campo magnético uniforme de valor 0,3 𝑇, siendo el eje del solenoide paralelo a la dirección del campo. Si el campo magnético disminuye uniformemente hasta anularse en 0,1 s, determine: a) El flujo inicial que atraviesa el solenoide y la fuerza electromotriz inducida. b) La intensidad recorrida por el solenoide y la carga transportada en ese intervalo de tiempo. 5. Un alambre de cobre de 15𝑐𝑚 de longitud está situado perpendicularmente a un campo magnético de 0,5 𝑇, y se mueve perpendicularmente a él con una velocidad de 2 𝑚𝑠 −1 . Calcula la fem inducida en el alambre. 6. Halla el número de espiras que debe tener el primario de un transformador sabiendo que la tensión en la entrada es de 3000𝑉 y la tensión en la salida vale 125 𝑉. El secundario está formado por 50 espiras. ¿Cuánto vale la razón de transformación? Si el transformador tiene una potencia de 500 𝑊, ¿cuánto vale la intensidad de la corriente en el primario y en el secundario?
Solución: 1.
Dado que el campo magnético es perpendicular al plano de la espira el vector superficie y el campo son siempre paralelos (𝜑 = 0°), el flujo que atraviesa la espira viene dado por la siguiente expresión ⃗ ⋅ 𝑆 = 𝐵𝑆𝑐𝑜𝑠(𝜑) = 𝐵𝑆 𝜙𝑚 = 𝐵
Al aumentar o disminuir la intensidad del campo magnético B cambia el flujo y por lo tanto se induce una fuerza electromotriz en la espira. a) Si aumenta la intensidad del campo magnético
Como vemos en la figura ,la corriente inducida es de sentido horario, esto es debido a que al aumentar la intensidad del campo magnético en sentido vertical ascendente, aumenta el flujo magnético en el mismo sentido, con lo que según la Ley de Lenz sentido de la corriente inducida es tal que el campo magnético creado por dicha corriente tiende a oponerse a la variación del flujo magnético que la ha originado, es decir la corriente inducida ha de crear un campo magnético en sentido vertical descendente y para ello ha de girar en sentido horario. b) Si la intensidad del campo disminuyese en lugar de aumentar la fuerza electromotriz cambiaría de signo, lo que significa que el sentido de la corriente inducida ahora sería antihorario como puede apreciarse en la siguiente figura
2. a) Tenemos los siguientes datos para calcular el valor de 𝑆: 𝑟 = 0,05 𝑚
𝐵 = 0,1𝑡 2 𝑇
𝑆 = 𝜋𝑟 2 = 7,85 ⋅ 10−3 𝑚2
El flujo magnético se define como el producto escalar entre el campo magnético y el vector superficie de la espira 𝜙𝑚 = 𝐵 ⋅ 𝑆 = 𝐵𝑆 cos(𝜑) Como el campo magnético es de dirección normal al plano de la espira 𝜑 = 0° y por lo tanto cos(𝜑) = 1
𝜙𝑚 = 𝐵 ⋅ 𝑆 = 0,1𝑡 2 ⋅ 7,85 ⋅ 10−3 𝑊𝑏 = 𝟕, 𝟖𝟓 ⋅ 𝟏𝟎−𝟑 𝒕𝟐 𝑾𝒃 Calculamos primero la expresión de la fem en función del tiempo 𝑒=−
𝑑𝜙𝑚 = −𝟏, 𝟓𝟕 ⋅ 𝟏𝟎−𝟐 𝒕 𝑽 𝑑𝑡
Realizamos la tabla y la gráfica correspondiente
⃗ = (2 − 0,01𝑡 2 )𝑘⃗𝑇), como el campo b) I) Calculamos el nuevo flujo magnético (𝐵 magnético es de dirección normal al plano de la espira 𝜑 = 0° y por lo tanto cos(𝜑) = 0 𝜙𝑚 = 𝐵 ⋅ 𝑆 = (2 − 0,01𝑡 2 ) ⋅ 7,85 ⋅ 10−3 𝑊𝑏 = 1,57 ⋅ 10−2 − 7,85 ⋅ 10−4 𝑡 2 𝑊𝑏 Calculamos la nueva expresión de la fem 𝑒=−
𝑑𝜙𝑚 = −𝟏, 𝟓𝟕 ⋅ 𝟏𝟎−𝟑 𝒕 𝑽 𝑑𝑡
ii) Si la espira estuviera situada en el plano 𝑋𝑍, como el campo magnético es de la misma dirección que el plano de la espira, 𝜑 = 90° y por lo tanto cos(𝜑) = 0, en consecuencia, el flujo magnético sería, constantemente, cero y no se induciría corriente eléctrica. 3.
La dirección del vector 𝑆 coincide, por construcción, con el eje del solenoide y su módulo vale: 𝑆 = 𝑁𝜋 𝑅 2 = 200 ⋅ 𝜋 (4 ⋅ 10−2 )2 = 1,01 𝑚2 El valor inicial del flujo magnético que atraviesa el solenoide es: 𝜙𝑖 = 𝐵𝑖 ⋅ 𝑆 = 0,5 ⋅ 1,01 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 (60°) = 𝟎, 𝟐𝟓 𝑾𝒃 El valor final de dicho flujo es:
𝜙𝑓 = 𝐵𝑓 ⋅ 𝑆 = 0
(𝐵𝑓 = 0)
La variación del flujo magnético que ha tenido lugar implica que en el solenoide aparezca una fuerza electromotriz inducida, cuyo valor promedio viene dado por la Ley de Faraday: 𝑒=−
4.
Δ𝜙 0 − 0,25 =− = 𝟐, 𝟓𝟏𝑽 Δ𝑡 0,1
El flujo magnético inicial que atraviesa el solenoide vale: 𝜙𝑖 = 𝑁𝐵𝑆 = 𝑁𝐵𝜋 𝑅 2 = 500 ⋅ 0,3 ⋅ 𝜋(1,25 ⋅ 10−2 )2 𝜙𝑖 = 𝟕, 𝟑𝟔 ⋅ 𝟏𝟎−𝟐 𝑾𝒃
Cuando se anula la intensidad del campo magnético el flujo a través del solenoide también se hace cero, y esa variación provoca que se induzca una fuerza electromotriz que, de acuerdo a la Ley de Faraday, la fem inducida media será: Δ𝜙 0 − 7,36 ⋅ 10−2 𝑒=− =− = 𝟕, 𝟑𝟔 ⋅ 𝟏𝟎−𝟏 𝑽 Δ𝑡 0,1 Esta fuerza electromotriz inducida hace que por el solenoide circula una corriente cuya intensidad viene dada por la ley de Ohm: 𝐼=
𝑒 7,36 ⋅ 10−1 = = 𝟑, 𝟔𝟖 ⋅ 𝟏𝟎−𝟐 𝑨 𝑅 20
Por último, de la definición de la intensidad de la corriente eléctrica encontramos la cantidad de carga transportada en 𝑡 = 0,1𝑠: 𝑞 = 𝐼𝑡 = 3,68 ⋅ 10−2 ⋅ 10−1 = 𝟑, 𝟔𝟖 ⋅ 𝟏𝟎−𝟑 𝑪 5. 6.
En este caso la fem inducida viene dada por: 𝑒 = 𝐵𝑙𝑣 = 0,5 ⋅ 0,15 ⋅ 2 = 0,15 𝑉 Aplicamos la ecuación de transformación: 𝑣𝑠 𝑁𝑠 125 50 3000 ⋅ 50 = ⇒ = ⇒ 𝑁𝑝 = 𝑣𝑝 𝑁𝑝 3000 𝑁𝑝 125
𝑁
Se llama razón de transformación a la razón 𝑁𝑝 entre el número de espiras en el primario y en 𝑠
el secundario. 𝑁𝑝 1200 = = 24 𝑁𝑠 50 La bobina del primario tiene 24 espiras por cada espira de secundario. La potencia eléctrica viene dada por 𝑃 = 𝐼 ⋅ 𝑒. Por tanto, la corriente en el primario: 𝑃
500
𝑃
500
𝐼𝑝 = 𝑒 = 3000 = 0,16𝐴; En el secundario: 𝐼𝑠 = 𝑒 = 125 = 4𝐴. 𝑝
𝑠
