Facultad de Ciencias Óptica Prof. Manuel Campos García
Semestre de 2017-2
PROBLEMAS DE ONDAS Y ELECTROMAGNETISMO 1. a) Deduce la ecuación de onda para una cuerda tensada. Di cuánto vale la velocidad de fase de la onda. b) ¿Cómo podría podría demostrarse demostrarse que una onda onda lleva energía? energía? c) Demuestra que la energía que porta una onda mecánica en una cuerda es proporcional al cuadrado de su amplitud. x,t ) y ψ2( x,t x,t ) son solución de la ecuación de onda, mostrar que c1ψ1( x,t x,t )+ x,t ) es también d) Si ψ1( x,t )+c2ψ2( x,t solución.
2. Explica brevemente lo que entiendas por medio: a) Isotrópico, b) Lineal, c) Homogéneo, y d) Dispersivo. ), y=h(t ), ), entonces x,y) y x=g(t ), *3. Usando el teorema: Si z=f ( x,y dz dt
=
∂z dx ∂z + ∂x dt ∂y
dy
.
dt
Deriva la expresión
∂ψ ∂t x ±v = − ∂ψ ∂ x t que nos da la velocidad de fase v de una onda viajera
ψ( x,t x,t ).
4. a) Muestra que para una armónica de fase φ ( x, t ) = k ( x ± vt + ε )
se puede determinar su velocidad haciendo d φ dt
=0
b) Usando Usando el resultado resultado del inciso inciso anterior, anterior, calcula la velocidad velocidad de las siguientes siguientes ondas
i)ψ ( x, t ) =
A B + ( x + Ct )
2
, ii) ψ ( x, t ) = e
− A( Bx ±Ct )2
, y iii) ψ ( x, t ) = Cos ( Ax ± Bt + C )
5. Una onda transversal armónica de frecuencia ω y velocidad c, viaja a lo largo de una cuerda de masa por unidad de longitud ρ. La máxima amplitud de la onda es yo, donde yo<< λ. La onda viaja a lo largo del eje x.
a) Escribe una expresión para la perturbación como función de t y x. b) ¿Cuál es la densidad de energía (energía por unidad de longitud) de la onda? c) ¿Cuál es la potencia transmitida a lo largo de la cuerda? d) Si la onda es generada por un dispositivo mecánico en x=0, encuentra la fuerza transversal F y (t ) ejercida sobre el alambre.
6. Una cuerda de densidad lineal µ (masa por unidad de longitud) esta bajo tensión T . Una masa puntual m se encuentra atada a un punto particular de la cuerda. Una onda de frecuencia angular ω viaja a lo largo de la cuerda e incide desde la izquierda. Calcula la fracción de energía reflejada por la masa m.
7. Considera un pulso descrito en términos de su desplazamiento a t =0 por ψ ( x, y ) t =0 =
A
2 + x 2
donde A es una constante. Esboza el perfil de la onda. Escribe una expresión para la onda que se propaga a lo largo del eje negativo de las x con velocidad v como función del tiempo. Si v=3 m/s, esboza el perfil a t =2 s.
8. a) Las siguientes funciones son de la forma f ( x±vt ): y = A(3x − vt );
y = A ln( x + vt );
y = A x − vt ;
y = A ( x + vt )
2
En ellas A es constante. Explica porque éstas no son útiles en el movimiento ondulatorio. b) ¿Hay pérdidas de energía cuando interfieren destructivamente dos ondas? c) ¿Una oscilación es una onda? ¿Por qué?
9. a) La función que describe una onda transversal que viaja por una cuerda está dada por: x − (1.5 x1015 seg −1 ) −7 2 x10 cm
φ ( x, t ) = 10cm × Cos 2π
t
donde [ x]= cm y [t ]=seg. i) Di cuánto vale la amplitud, ii) la frecuencia, iii) la longitud de onda, iv) la velocidad de propagación (magnitud y sentido), v) encuentre la velocidad transversal máxima de un elemento de cuerda. b) Muestra que
ϑ ( x, t ) = A e
2
−( 2 x +3t )
es solución de la ecuación de onda. ¿Cuál es la velocidad de propagación? ¿En qué dirección se propaga la onda? c) Encuentra la dirección de propagación de las ondas: i) ψ ( x, t ) = A Sen (k x − ω t )
ii) ψ ( x, t ) = A Cos (ω t − k x )
d) Si escribimos la función de onda en notación compleja inalterada cuando su fase se incrementa o decrementa por 2 π.
ψ( x, y)
= Aeiϕ, muestra que
ψ permanece
*10. a) Muestra que en coordenadas esféricas la ecuación de onda se puede escribir como
∂2 1 ∂2 (rψ ) − 2 2 (r ψ ) = 0 ∂r 2 v ∂t ¿Cuáles son sus soluciones y cual es el significado físico de estas? b) Muestra que la velocidad de fase para un frente de onda arbitrario está dada por v(f) =
ω
∇S ( r )
aquí S (r ) = cte, representan los frentes de onda.
11. a) Escribe una expresión en coordenadas cartesianas para una onda armónica plana de amplitud A y frecuencia ω que se propaga en la dirección del vector k, el cual va desde el origen hasta el punto (4, 2, 1). Sugerencia: primero determine k y luego haga el producto punto con r. ¿Cuál es su longitud de onda? b) Escribe la función que describe una onda armónica que avanza en el sentido negativo del eje de las x y que tiene una amplitud de 0.01m, una frecuencia de 550 s -1, una velocidad de 330 m/s y que al tiempo t =0 la fase en x=0 es igual a π/4 radianes. Haz una gráfica de la onda al tiempo t =0 y otra al tiempo t =100 seg. c) Considera que una onda de luz tiene una velocidad de fase de 3x10 8 m/s y una frecuencia de 6x10 14 Hz. ¿Cuál es la distancia que hay entre dos puntos que tienen una diferencia de fase de 30 o? ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos desplazamientos que ocurren en cierto punto con un intervalo de 10 -6 seg?
*12. Muchos de los sistemas físicos reales causan pérdidas que decrementan la energía de una onda conforme esta se propaga a través de ellos; en dieléctricos, por ejemplo, la onda interactúa con los electrones ligados al dieléctrico y estos comienzan a vibrar en torno a su posición de equilibrio. Así tomando en cuenta el efecto de una fuerza disipativa es válido agregar un término de pérdida en la ecuación de onda resultando
∂ 2 f ∂ f 1 ∂ 2 f − γ − =0 ∂ x 2 ∂ t c 2 ∂ t 2 Suponiendo que la onda plana f ( x,t ) = Aexp{i(ωt -kx+ϕ)] es solución de esta ecuación, muestra que la magnitud del vector de propagación es un numero complejo (ésta es llamada ecuación de dispersión), este resultado muestra que la onda plana es una onda armónica cuya amplitud se atenúa conforme se propaga en la dirección x.
13. Escribe un resumen sobre le principio de superposición lineal de la sección 1.3 del libro de Jackson de Electrodinámica (pág. 10 a 13).
14. a) La Fig. 1 muestra una portadora de frecuencia ω que esta modulada en amplitud a
por una onda senoidal de frecuencia ω , es decir: m
E = Eo (1 + α Cos ωm t ) Cosω a t . Fig ura 1
Muestra que ésta es equivalente superposición de tres ondas.
a
la
b) Escribe una expresión matemática que represente la función de la Fig. 2, y después calcula los coeficientes de Fourier. Grafica An y Bn en función de n
*15. Considere una función periódica de la forma f (t ) = t
para
f (t + 2πτ ) = f (t )
− τ < t < τ
Tal función es conocida como diente de sierra. Obtén de coeficientes de Fourier de la función
16. a) Demuestra que la resultante de dos ondas: E 1 = E 01 Sen[ωt -k ( x+Δ x)] y E 2 = E 02 Sen[ωt -kx] es: ∆x k ∆x Sen t k x ω − + 2 2
E = 2 E01Cos
Bosqueja el perfil de la onda resultante. b) Usa la representación compleja para encontrar la resultante de = - E 0 Cos[kx- ωt ]; describe la onda compuesta.
E = E1 + E 2 ,
donde: E 1 = E 0 Cos[kx+ ωt ] E 2
c) Por el método de fasores encuentra la resultante de las siguientes ondas:
(
)
(
)
(
)
0 0 0 E1 = 5Cos kx − ω t + 45 , E2 = 8Cos ( kx − ω t ) , E3 = 3Cos kx − ω t − 30 y E4 = 4Cos kx − ω t − 90 .
*17. El desplazamiento en una cuerda está dado por: 2π x − 2πν t λ
y (x, t) = A cos
λ y v representan la amplitud, longitud de onda y la frecuencia respectivamente, de la onda. Asuma A=0.1 cm, λ=4 cm v=1s-1. Grafique la dependencia con el tiempo del desplazamiento a x=0, 0.5, Donde a,
1.0 1.5, 2, 3 y 4 cm. Interprete físicamente los resultados.
*18. El desplazamiento asociado con una onda estacionaria en un sonómetro está dado por: 2π x cos(2πν t ) λ
y ( x, t ) = 2 Asin
Si la longitud de onda es L, entonces los valores permitidos de λ son 2L, 2L/2, 2L/3… Considérese el caso cuando λ=2L/5, estudie la variación del desplazamiento con el tiempo en cada sección de lazo de la onda y muestre que los lazos alternados vibran en fase (con diferentes puntos en un lazo teniendo diferentes amplitudes) mientras que los lazos adyacentes vibran fuera de fase.
19. Se cava un túnel a través de la tierra como se muestra en la figura. Se deja caer una masa en el punto A a lo largo del túnel, muestre que esta masa describirá movimiento armónico simple. ¿Cuál es el periodo de este movimiento?
*20. Una masa de 1 gramo, se suspende de un resorte vertical. Este ejecuta un movimiento armónico simple con periodo de 0.1 s. ¿Qué tan estirado se encontraba el resorte al momento de amarrar la masa?
*21. a) Estudie la propagación de un pulso semicircular en la dirección x positiva cuyo desplazamiento al tiempo t=0 está dado por las siguientes ecuaciones:
[(R 2 − x 2 )1/ 2 ] x ≤ R y ( x, t = 0) = 0 x > R b) Considere dos pulsos semicirculares que se propagan en direcciones opuestas. A t =0, los desplazamientos asociados con los pulsos propagados en la dirección x positiva y x negativa están dados por ( R2-x2)1/2 y – [ R2 – ( x-10R)2]1/2 Respectivamente. Grafique la perturbación resultante al t = R/v, 2.5R/v, 5R/v ,7.5 R/v, donde v es la velocidad de propagación de la onda.
*22. Considere un pulso que se propaga en la dirección x negativa con velocidad de propagación v, la forma de este pulso al tiempo t=0 está dado por: y ( x, t = 0) =
b
2
2 2 a + ( x − x0 )
(a este pulso se lo conoce como pulso Lorenziano.) Determine la forma del pulso a un tiempo arbitrario t .
23. Muestre que cuando una onda transversal se propaga a través de una cuerda, la energía transmitida por unidad de tiempo es:
1
ρω 2 a 2 v , donde ρ es masa por unidad de longitud, a es la amplitud de la onda y v
2 es la velocidad de propagación de la onda.
*24. Resuelva la ecuación de onda en una dimensión por el método de separación de variables y muestre que la solución puede efectivamente ser expresada en la forma dada por las siguientes ecuaciones:
Ψ = A sin[k ( x±vt )+ϕ],
Ψ = A cos[k ( x±vt )+ϕ]
*25. En tres dimensiones la ecuación de onda es de la forma: 1 ∂ 2Ψ 2 ∇ Ψ= 2 2 v ∂t Donde:
∂ 2Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ ∇ Ψ= 2 + 2 + 2 ∂ x ∂y ∂z 2
Resuelva la ecuación de onda tridimensional por el método de separación de variables e interprete las soluciones físicamente.
*26. Para una onda esférica, el desplazamiento depende sólo de r y t , donde r es la magnitud de la distancia para un punto fijo. Obtenga la solución general de la ecuación de onda para una onda esférica.
*27. El desplazamiento asociado con una onda está dado por: a) y( x,t )=0.1 cos (0.2 x-2t ), b) y( x,t )=0.2 sin(0.5 x+3t ), c) y( x,t )=0.5 sin(2π (0.1 x-t )) Donde en cada caso x y y están medidas en centímetros y t en segundos. Calcule la longitud de onda, amplitud, frecuencia y velocidad en cada caso.
28. Un pulso gaussiano se propaga en la dirección x positiva y al tiempo t= 0 el desplazamiento está dado por
( x − b) 2 y ( x, t = 0) = a exp − σ 2 Encuentre y(x,t).
29. El desplazamiento asociado con una onda tridimensional está dada por:
3 1 kx + ky − ω t Ψ ( x, y , z , t ) = a cos 2 2 Muestre que la onda se propaga en una dirección con un ángulo de 30º respecto al eje X.
30. Obtenga el vector unitario sobre la dirección de propagación para una onda, cuyo desplazamiento está dado por
Ψ ( x, y , z , t ) = a cos(2x + 3 y + 4z − 5t )
Donde x, y, y z están medidos en centímetros y t está medido en segundos. ¿Cuál será la longitud de onda y frecuencia de la onda?
*31. El desplazamiento asociado con dos ondas (que se propagan en la misma dirección) teniendo la misma amplitud, pero con frecuencias ligeramente distintas pueden ser escritas en la forma x x y a cos2π vt − a cos2π (ν + ∆ν ) t − λ λ − ∆λ (Estos desplazamientos se obtienen cuando tenemos dos diapasones con frecuencias ligeramente diferentes.) Discuta la superposición de los desplazamientos y muestre que, a un valor particular de x, la intensidad variará con el tiempo.
32. ¿Cuál es la polarización de las siguientes ondas?:
5π E = Eo cos (ωt − kz ) iˆ + cos ω t − kz + ˆj , 4 π b) E = Eo cos (ω t + kz ) iˆ + cos ω t + kz − ˆj , 4 π c) E = Eo cos (ωt − kz ) iˆ − cos ω t − kz + ˆj . 6 a)
33. Usando notación vectorial convencional, prueba que las ondas polarizadas circular derecha e izquierda pueden combinarse para producir una onda polarizada linealmente. Efectúa la misma demostración usando la notación de los vectores de Jones. ¿Qué condiciones deben tener las dos ondas polarizadas circularmente? Haga una construcción geométrica que demuestre que la combinación de las dos ondas circulares produce una onda polarizada linealmente.
34. a) Una onda estacionaria está dada por: 2 E = 100 cos( 5 π t ) sen π x , 3 Determina las dos ondas que deben superponerse para generarlas. b) Muestra que la velocidad de grupo puede escribirse como: v
(g)
= v − λ
dv d λ
.
c) Con la relación de dispersión
ω = ak 2, calcula las velocidades de fase y de grupo.
*35. Calcula la velocidad de grupo la longitud de onda λ por:
v(g) de las ondas cuyas velocidades de fase v están dadas en función de
a) v = A. (ondas acústicas en el aire). b) v=A/ λ. (Ondas elásticas transversales en una barra). c) v = A λ . (Ondas de agua profunda). d) v = A / λ . (Ondas en capilares) e) v = c 2 + A2 λ 2 . (Ondas electromagnéticas en la ionosfera). Aquí A es una constante y c es la velocidad de la luz en el vacío.
−i 1 1 1 − i 36. Describe la polarización de las ondas cuyos vectores de Jones son: , , , . 2 + i − i 2 1 3 Escribe los vectores de Jones ortogonales a estos vectores y describa su polarización. Dibuja los vectores.
*37. Discuta el estado de polarización cuando los componentes x y y del campo eléctrico están dados por las siguientes ecuaciones. a) E x = E0 cos(ωt + kz );
Ey =
1 2
E 0 cos(ωt + kz + π )
b) E x = E0 sin(ω t + kz ); E y = E 0 cos(ω t + kz )
π ; 3
π
c) E x = E0 sin kz − ωt +
d) E x = E0 sin kz − ωt +
;
4
E y = E 0 sin kz − ω t −
Ey =
1 2
π
6
E 0 sin(kz − ω t )
En cada caso, grafique la rotación de la punta del vector eléctrico en el plano z=0.
*38. El campo eléctrico de los componentes del campo de una onda electromagnética plana son: E x = 2 E 0 cos(ωt − k z + φ )
E y = E0 sin(ω t − k z )
Dibuje el diagrama que muestre el estado de polarización (i.e. circular, plana, elíptica o sin polarizar) cuando a) ϕ=0, b) ϕ=π/2, c) ϕ=π/4
39. Obtenga el estado de polarización descrita por: a) E x =
3 2
E0 cos (ωt − kz ) ;
Ey =
1 2
E0 cos(ωt − kz+ π / 4)
b) E x =
3 2
c) E x =
1
d) E x =
1
2
2
E0 cos (ωt − kz ) ;
Ey =
E0 cos (ωt − kz ) ;
Ey =
E0 cos (ωt − kz ) ;
Ey =
1 2 3
2 3 2
E 0 cos(ωt − k z + 3π / 4)
E0 cos(ωt − kz+ π / 4)
E 0 cos(ωt − k z + 3π / 4)
e) E x = a cos (ωt − kz ) ;
E y = a cos(ωt − kz + π / 4)
f) E x = a cos (ωt − kz ) ;
E y = a cos(ωt − kz + 3π / 4)
*40. El vector eléctrico de una onda está dado por la expresión real E
= Eo xˆ Cos ( kz − ω t ) + yˆ b Cos ( kz − ω t + ϕ )
a) Muestra que esto es equivalente a la expresión compleja E
= Eo ( xˆ + yˆ b eiϕ ) ei( kz −ω t )
b) Bosqueja diagramas de muestren el estado de polarización de la expresión anterior, para los siguientes casos: i) φ = 0, b = 1; ii) φ = 0, b = 2; iii) φ = π / 2, b=-1; iv) φ = π/4, b = 1.
*41. Muestra que la relación J = σ E es equivalente al enunciado usual de la ley de Ohm,
V = RI (voltaje =
corriente x resistencia). Nota que J es una densidad de corriente.
*42. Muestra que la capacitancia C de un capacitor de placas paralelas está dada por C =
Γ
S
Fig. 4
eA
4π d
donde ε es la constante dieléctrica del material entre las placas, A es el área de cada placa y d es la separación entre las placas. Usa este resultado para mostrar que la derivada temporal de la integral de superficie de D• nda sobre la superficie cerrada S es exactamente la corriente I que fluye a través del capacitor. Justifica así la introducción de la corriente de desplazamiento dentro de la ley de Ampere realizada por Maxwell, Figura 4.
43. a) El tiempo promedio de alguna función periódica f(t) tomado sobre un periodo T , está dado por: f (t ) =
1 T
t + T
∫ t
f (t ')dt '
donde t’ es solamente una variable muda. Si T=2π / ω es el periodo de una función armónica, demuestra que: sen 2 ( kr − ω t ) = 1/ 2
cos 2 ( kr − ω t ) = 1/ 2 sen ( kr − ω t ) Cos ( kr − ω t ) = 0
b) Demuestra que el promedio temporal del vector de Poynting está dado por: S
=
c
8π
Re(E0 × B*0 )
Donde Bo Eo son las amplitudes de los campos complejos de una onda de luz.
44. Dos ondas planas sinusoidales linealmente polarizadas de frecuencia ν y amplitud A y que vibran en el mismo plano, viajan en direcciones opuestas en el vacío, toma el eje x como la dirección de propagación. Calcula (como funciones de x y de t ): a) El campo eléctrico E resultante. b) El campo magnético B resultante. c) El promedio temporal de E2 (como función de x, también). Supón, por simplicidad, que la diferencia de fase relativa entre ambas ondas es nula.
*45. Dos ondas planas sinusoidales; de frecuencia ν y amplitud A, viajan en el vacío en direcciones de los ejes x y y, respectivamente. Los campos eléctricos de ambas ondas son paralelos al eje z. a) Calcula las componentes del campo eléctrico total E. b) Calcula las componentes del campo magnético total B. c) Determina los planos en los que el valor medio de E2 es un máximo o un mínimo. d) Determina los planos en los cuales el vector B realiza oscilaciones circulares. e) ¿Cuál es la longitud de onda de la onda resultante?
46. El campo eléctrico de una onda electromagnética en el vacío está dado por
8 E x = 0 , E y = 30cos 2π ×10 t −
2π x , E z = 0 , 3
donde E esta en volts/metro y x en metros. Determina: a) La frecuencia, la longitud de onda y la dirección de propagación de la onda. b) La dirección del campo magnético. c) La densidad de flujo de energía S .
*47. El campo eléctrico de una onda electromagnética está dado por
π z Cos ( kx − ω t ) j z o
E = Eo Sen a) Describe el campo electromagnético. b) Determina una expresión para k . c) Encuentra la velocidad de fase de la onda.
48. En una región del espacio, el campo magnético (unidades Gaussianas) está descrito por B
= Bo eax sen ( ky − ω t ) zˆ
con a<0. a) Calcula el campo eléctrico E. b) Encuentra la velocidad de propagación de la onda. c) La densidad de flujo de energía S . d) Haz un diagrama tridimensional del campo a un tiempo arbitrario t=t o.
49. Considera una onda plana armónica linealmente polarizada que viaja en la dirección
+x cuyo plano de
vibración es el plano xy. Si su frecuencia es de 10 MHz y su amplitud 0.08 V/m: a) Encuentra el periodo y la longitud de onda de la onda. b) Escribe una expresión para E(t ) y B(t). c) Encuentra la densidad de flujo S , de la onda.
50. a) Deriva una expresión para la presión de radiación cuando el haz de luz que incide normalmente es totalmente reflejado. Generaliza este resultado al caso de incidencia oblicua a un ángulo θ con la normal. b) Explica por que las antenas de radio son verticales y no horizontales.
51. Una superficie se coloca perpendicular a un haz de luz de irradiancia constante I . Suponga que la fracción de irradiancia absorbida por la superficie es α. Muestra que la presión sobre la superficie esta dada por P = ( 2 − α ) I / c
52. a) ¿Cuál es la longitud de onda y frecuencia para una de las líneas del doblete de sodio? b) ¿En qué rango de longitud de onda y frecuencia se encuentra las siguientes partes del espectro electromagnético? i) El espectro visible, ii) los rayos X, iii) las microondas, iv) los rayos gamma, v) el infrarrojo. c) ¿En cuánto cambia la fase de una onda de radio en 5 minutos? d) Encuentra la longitud de onda de la luz roja con una frecuencia de 5x10 14 Hz y compárala con la longitud de onda electromagnética de 60 Hz. ¿A qué región del espectro electromagnético corresponde ésta última?
53. a) Obtenga la densidad de intensidad y la densidad de energía para un rayo láser de 5-mW con radio de 1-mm propagándose en el aire. b) Obtenga la densidad de intensidad y de energía a una distancia de 2 m de una fuente de 200 W que emite luz uniformemente en todas direcciones.
54. a) En la superficie de la tierra recibimos alrededor de 1.37kW de energía por metro cuadrado provenientes del Sol. Calcule el campo eléctrico asociado con la luz solar (en la superficie de la tierra), asumiendo que es esencialmente monocromática con λ=6000Ǻ. b) En la superficie de la tierra recibimos aproximadamente 1370 W/m 2 de energía. Muestre que la presión de radiación es cercana a los 4.6 μPa (1Pa≈10-5 N m-2). c) Una lámpara de sodio (λ≈5890Ǻ) de 100 W de potencia emite ondas uniformemente en todas direcciones. ¿Cuál es la presión de radiación a una distancia de 10 m desde el bulbo?
NOTA: Los problemas con asterisco son opcionales.
