Etnomatematicas y Sesiones BAJA[1]

Ministerio de Educación

Etnomatemática y sesiones de aprendizaje en EIB

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Ministerio de Educación

Etnomatemática y sesiones de aprendizaje en EIB Ministerio de Educación

Av. De la Arqueología cuadra 2. San Borja Av. Lima, Perú Teléono: 615-5800 www.minedu.gob.pe www .minedu.gob.pe

Primera edición

Tiraje: xxx ejemplares

Créditos Técnicos: Coordinadora del Área de Interculturalidad y Lenguas Maritza Nunonca Lupo

Elaboración Martha Rosa Villavicencio Ubillús Corrección de estilo Marcela Castro Rondón Diseño y diagramación Rosa Segura Impreso por Xxxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxxxxxx © Ministerio de Educación Todos los derechos reservados. reser vados. Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores.

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: Nº 20XX-XXXXX Impreso en el Perú / Printed in Perú

Presentación .......................................................................................................... 5 1. Etnomatemática en la Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB.................... EIB.................... 7 2. Elementos de etnomatemáticas de sociedades originarias de Perú ....................... 9 2.1. Etnomatemáticas andinas ........................................................................... 10 2.2. Etnomatemáticas amazónicas ..................................................................... 21

3. Sesiones de enseñanza y aprendizaje desarrolladas en primer grado EIB ......... 25 3.1. Una experiencia en la comunidad quechua Cañaris .................................... 25 3.2. Sesión de clase en Patacancha: .................................................................. 29 construcción de los tres primeros números naturales, usando la yupana como soporte 3.3. Resolución de un problema abierto, en una sección de primer grado de EIB .. 38 3.4. Puntos críticos en la aplicación de la PPM-EIB .............................................. 43

Bibliograía .......................................................................................................... 47

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En las aulas de primer grado de las instituciones de EIB de Cañaris (UGEL Ferreñae, Región Lambayeque) y Patacancha (UGEL Urubamba, Región Cusco), se viene trabajando con el enoque de nuestra Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB (PPM-EIB), vale decir, se está incluyendo en el proceso de enseñanza la etnomatemática de la comunidad. Tal como se podrá apreciar en este documento, en línea con la PPM-EIB, el énasis en tales sesiones se está colocando en los procesos de aprendizaje de los estudiantes orientados a la construcción y manejo de conocimientos, así como en el desarrollo de capacidades y actitudes, es decir, en el logro de competencias. Expresamos nuestro reconocimiento y gratitud a las personas responsables de la Dirección General de Educación Intercultural Bilingüe y Rural y de la Dirección Intercultural y Bilingüe (2010-2011,) por sus valiosas sugerencias para mejorar la versión preliminar de este documento; así como también a nuestros compañeros, los miembros del Equipo Técnico de la DEIB, por sus importantes reexiones y apoyo durante el proceso de construcción de la PPM-EIB. Hacemos extensivo, asimismo, este agradecimiento a los especialistas de la DEIB: Maritza Nuñonca Lupo (quechua Cusco Collao), Nicanor Apaza Suca (aimara y jacaru), Ana María Mamani Arana (quechua Ayacucho Chanka), Elren Ramos Espíritu (asháninka), Melody Ahuanari Rojas (shipibo konibo) y Alejandro Paati Antunce (awajun), por la colaboración brindada en los aspectos lingüísticos. Igualmente merecedores de este reconocimiento son los proesores: Oscar Bernilla, Estela Neyra y Domingo De La Cruz (Quechua Incahuasi Cañaris, Lambayeque); tanto como los aportes de la proesora Nancy Quispe (Patacancha, Cusco) y del docente de aula Víctor Manayay (Cañaris, Lambayeque). Nuestra gratitud, fnalmente, a Rossana Pereda, secretaria de la DEIB, quien nos apoyó con acciones puntuales de escaneo de ilustraciones destinadas a la versión preliminar de esta documento. Realmente, sin la colaboración brindada por todas las personas antes mencionadas, este documento no hubiera podido salir a la luz. Convencidos de la potencialidad educativa de las culturas y lenguas originarias de nuestro país, esperamos continuar trabajando, conjuntamente, en el marco de una educación bilingüe con enoque intercultural, a fn de generar sinergias que posibiliten a los estudiantes de comunidades cuyas raíces culturales son autóctonas, el logro de mejores niveles de aprendizaje que avorezcan el desarrollo humano sostenible.

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Etnomatemática en la Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB

En la Propuesta Pedagógica con enoque intercultural bilingüe, del área Matemáticas (PPM-EIB), se entiende por etnomatemática los conocimientos de un grupo sociocultural identifcable, que son utilizados en actividades de contar, medir, localizar, diseñar, jugar y/o explicar 1. Así como la necesidad de comunicación estimula a un grupo sociocultural para crear una lengua propia; la etnomatemática se desarrolla como respuesta a la necesidad de comprender y explicar diversos hechos y enómenos de su entorno 2. La etnomatemática de los grupos originarios ha ido ganando espacio, progresivamente, desde que el Ministerio de Educación decidió incluirla en el Programa curricular de primer grado de la Educación Primaria Bilingüe Intercultural 3. Por ser preciso que, en la práctica, tal inclusión se tradujera —tanto en la programación como en el desarrollo curricular y en la evaluación de aprendizajes— como un contenido curricular del área 1 MINISTERIO DE EDUCACIÓN. DEIB. Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB. Lima: MINEDU. 2011, p.13. 2 Idem, p.13. 3 MINISTERIO DE EDUCACIÓN. DIGEBIL. Programas curriculares de primer grado de Educación Primaria Bilingüe. Lima: MINEDU. 1989, p. 91.

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Matemáticas, el conocimiento de la etnomatemática del grupo sociocultural al cual pertenece el estudiante se ha convertido en una necesidad. Podemos afrmar que las etnomatemáticas constituyen el elemento central de la PPM-EIB; así como también que la necesidad de conocer la etnomatemática de cada grupo sociocultural originario, en su propia lengua, se encuentra debidamente sustentada en las actuales teorías de sicología del aprendizaje.

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Elementos de etnomatemáticas de las sociedades originarias de Perú

Si bien en el Perú se podía apreciar una tendencia marcada a ignorar la cultura de poblaciones rurales y pueblos originarios, es innegable que en el país coexisten diversas culturas que tienen su propia visión del mundo, sus propias costumbres y valores, su propia lengua y también su etnomatemática. La etnomatemática de cada grupo sociocultural originario identifcable ocupa hoy un espacio central en la PPM-EIB, motivo por el cual los docentes están obligados a conocerla recurriendo, principalmente, a uentes bibliográfcas y/o a la investigación-acción, con el fn de rescatarlas, desarrollarlas y potenciarlas a través de la educación matemática. Las etnomatemáticas de las dierentes sociedades originarias no son necesariamente las mismas que las de sus antecesores del siglo XVI, pero mantienen raíces culturales propias. Gracias a algunos estudios pioneros conocemos parte de las etnomatemáticas de los pueblos originarios de Perú, sin embargo, la investigación continúa abierta.

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A continuación presentaremos algunos elementos de las etnomatemáticas de comunidades con matriz cultural andina y amazónica. Hemos considerado pertinente diundir los resultados de investigaciones relacionadas con la repercusión de la estructura verbal de la secuencia numérica, en la representación mental que el niño tiene de dicha secuencia. Aún cuando tales estudios se han realizado en otras latitudes 4, constituyen un antecedente importante que reuerza nuestra convicción respecto de la importancia de incluir la etnomatemática originaria en el currículo de EIB y de hacer uso instrumental de la propia lengua como recurso pedagógico.

2.1. Etnomatemáticas andinas Sin duda alguna, la etnomatemática de una cultura debe ser expresada en su propia lengua. Así pues, en lo que a etnonumeración concierne, los nombres de los números en quechua Cusco-Collao, quechua Incahuasi Cañaris, aimara y jacaru, respectivamente, son: Quechua Cusco-Collao

Número

Quechua Incahuasi Cañaris

Jacaru

1

uk

uk

maya

maja

2

iskay

iskay

paya

paja

3

kimsa

kimsa

kimsa

kimsa

4

tawa

cusku

pusi

pushi

5

pichqa

pichqa

qallqu

pichqa

6

suqta

suqta

suxta

sujta

7

qanchis

qancis

paqallqu

qancxisi

8

pusaq

pusaq

kimsa qallqu

pusaqa

9

isqun

isqun

llätunka

isquña

10

chunka

cunka

tunka

cxunhka

11

chunka hukniyuq

cunka uk

tunka mayani

cxunhka mayani

12

chunka iskayniyuq

cunka iskay

tunka payani

cxunhka pajani

13

chunka kimsayuq

cunka kimsa

tunka kimsani

cxunhka kimsani

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chunka tawa

cunka cusku

tunka pusini

cxunhka pushini

15

chunka pichqa

cunka pichqa

tunka qallquni

cxunhka pichqani

16

chunka suqta

cunka suqta

tunka suxtani

cxunhka sujtani

17

chunka qanchis

cunka qancis

tunka paqallquni

cxunhka qancxisini

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chunka pusaq

cunka pusaq

tunka kimsa qallquni

cxunhka pusaqani

4 MINISTERIO DE EDUCACIÓN. DEIB. Op. cit., p.31.

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Aimara

2. Elementos de etnomatemáticas de las sociedades originarias de Perú

Quechua Cusco-Collao

Número

Quechua Incahuasi Cañaris

Aimara

Jacaru

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chunka isqun

cunka isqun

tunka llätunkani

cxunhka Isquñani

20

iskay chunka

iskay cunka

paya tunka

paja cxunhka

30

kimsa chunka

kimsa cunka

kimsa tunka

kimsa cxunhka

40

tawa chunka

cusku cunka

pusi tunka

pushi cxunhka

50

pichqa chunka

pichqa cunka

qallqu tunka

pichqa cxunhka

60

suqta chunka

suqta cunka

suxta tunka

sujta cxunhka

70

qanchis chunka

qancis cunka

paqallqu tunka

qancxisi cxunhka

80

pusaq chunka

pusaq cunka

kimsa qallqu tunka

pusaqa cxunhka

90

isqun chunka

isqun cunka

llätunka tunka

isquña cxunhka

100

pachak

pachak

pataka

pacxaka

1 000

waranka

waranka

waranqa

waranhqa

10 000

chunka waranka

cunka waranka

Tunka waranqa

cxunhka waranhqa

100 000

pachak waranka

pachak waranka

Pataka waranqa

pacxaka waranhqa

1 000 000

hunu

hunu

waranqa waranqani

junu

Respecto de etnomatemáticas andinas existen uentes documentales, publicadas por el CONCYTEC, sobre los conocimientos matemáticos de los antiguos pobladores de nuestro país, que ueron expresados a través de los quipus y la yupana 5 .

Quipus El vocablo “quipu” signifca “nudo” en quechua. Este nombre pasó luego a denominar el sistema de cuerdas empleado para registrar, ya sea con caracteres conocidos (nudos) o sin ellos, o sea, “en blanco”. Andrés Altieri nos dice que las cuerdas de nudos, como sucedáneos de la escritura y/o como instrumentos mnemónicos, ueron utilizadas en “una vasta área que va desde Asia a América, pasando por las islas del Pacífco. En América se ha notado la presencia de estas cuerdas anudadas, entre los araucanos (Chile), araucos (Brasil), pueblos y nahuas (México), entre los puruhuas (Ecuador) antes de entrar en contacto con los Incas, y en la Columbia Británica”6.

5 CONSEJO NACIONAL DE CIENCIA Y TECNOLOGIA (CONCYTEC). Quipu y yupana. Lima: CONCYTEC. 1990. 6 CONCYTEC. Ídem, p.77.

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Según el mismo Altieri, el quipu usado en Perú ue sin duda alguna originario de la zona costeña, dado que los quipus más antiguos existentes ueron hallados en la región del litoral. Los conquistadores incas, que llegaron a conocer las culturas que orecían en la Costa, transportaron en época tardía, no antes de las últimas dinastías cusqueñas, este sistema de anotación a la Sierra; y lo incorporaron a su cultura diundiéndolo por todo el Tahuantinsuyo, desde el Ecuador hasta Argentina y Chile, y desde los llanos hasta los Andes. Radicati di Primeglio7 nos hace notar que si bien hace setenta años, cuando recién se inició en el estudio de los quipus, él pensó que era sufciente conocer uno o leer las descripciones de los ejemplares más comunes para poder saber cómo sería el resto; luego tomó conciencia de que existían grandes dierencias entre ellos. En consecuencia, propuso un esbozo de tipifcación sobre la base de los criterios siguientes: según el material, según la manuactura (quipus palimpsestos, quipus singulares por el tamaño, quipus con la cuerda transversal en aro, quipus con canutos o cartuchos), y según la época en que el quipu ue coneccionado (quipu preincaico, quipu incaico y quipu moderno).

El quipu incaico

La investigadora Marcia Ascher al reerirse a los quipus afrma que “constituyen un inusual sistema de registro lógico-numérico que tuvo una unción muy importante en la red de comunicación del imperio incaico. Existen alrededor de 550 quipus, la mayor parte de los cuales se conservan en museos de diversas partes del mundo” 8. Figura 1.

Cuerda subsidiaria

Representación esquemática de un quipu

Cuerda superior

Cuerda principal Cuerda colgante externa

Cuerdas colgantes

Cuerdas colgantes Cuerdas subsidia rias

Cuerdas subsid ia rias

Si tomamos como reerencia los estudios realizados sobre el quipu incaico por investigadores como Altieri y Marcia Ascher, entre otros, podemos caracterizar el quipu incaico del siguiente modo. 7 CONCYTEC. Op. cit., p.89. 8 Ídem, p.110.

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a) El quipu incaico es un conjunto de cuerdas de diversos colores con nudos. Está constituido por una cuerda principal o transversal, que es más gruesa, cuya extensión varía desde algunos centímetros hasta tres metros, más o menos. De la cuerda principal penden otras cuerdas, que se denominan cuerdas colgantes. Estas cuerdas son más fnas y su longitud varía entre 20 y 50 cm. El número de estas cuerdas colgantes puede llegar hasta algunas centenas. Generalmente todas están en una misma dirección, aunque existen ejemplares cuyas cuerdas colgantes están dispuestas en direcciones opuestas, es decir, unas hacia abajo y otras hacia arriba. Las cuerdas superiores serían resúmenes de los totales que se hallan en las cuerdas ineriores. b) Las cuerdas colgantes están repartidas por toda la extensión del quipu, unidas estrechamente entre sí, separadas por pequeñas distancias o bien ormando grupos (distanciados o cercanos unos de otros). Por ejemplo, en el caso del quipu N° 35 citado en la obra de Leland Locke, publicada en 1923, The Ancient Quipu , los grupos de cuerdas colgantes se hallan unidos mediante conchas marinas. Las cuerdas colgantes son de diversos colores. Se dice que son simples si son de un solo color; y compuestas, cuando son de dos colores. c) El quipu consta de cuerdas subsidiarias, que son pequeñas cuerdas que penden de las cuerdas colgantes. Pueden variar de valor, de color y de longitud, en comparación con las colgantes. Se hallan a diversas distancias de la cuerda transversal. También se ven casos de cuerdas pendientes de subsidiarias, que vienen a ser subsidiarias de subsidiarias, y subsidiarias de ellas, y así sucesivamente. Las cuerdas subsidiarias no pasan de 50 cm de longitud. Un quipu puede tener tan pocas cuerdas como 3, o tantas como 2000. Estas cuerdas pueden ser de uno de todos los tipos descritos. d) El quipu está coneccionado con lana o algodón retorcido, blanco o amarillo natural, y después teñido. e) El quipu tiene nudos que se coneccionan con las mismas cuerdas colgantes y subsidiarias. Los nudos están ubicados a diversas distancias de la cuerda transversal. En los mejores ejemplares conservados, los nudos se hallan más o menos al mismo nivel y cruzan todo el quipu. Se distinguen cuatro clases de nudos: simples, dobles, compuestos, y “a medio hacer”.

Figura 2. Los tipos de nudos (tomado de Locke, 1923:13)

representa generalmente de 2 hasta 9 unidades. Existen excepciones, como el quipu que se encuentra en el Museo Etnográfco de Munich, ilustrado por Nordenskiöld, que tiene nudos compuestos de hasta 15 unidades. El nudo compuesto

es simplemente un lazo que se halla ubicado al fnal de las cuerdas colgantes o subsidiarias. Todos los nudos, a excepción del nudo “a medio hacer”, tienen signifcado numérico en los quipus estadísticos. Sin embargo, excepcionalmente, un nudo “a medio hacer” puede encerrar nudos aparentemente de carácter numérico, como ocurre en el caso del quipu Nº 1 del Museo de Florencia. El nudo “a medio hacer”

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•

Valor de los nudos: i. Un nudo en la parte inferior de la cuerda, representa “1”. ii. Un nudo indica “10” si se halla ubicado más arriba. iii. Representa “100” si está ubicado aún más arriba. iv. Indica “1 000” si está colocado en la parte superior de la cuerda. v. Los nudos compuestos indican la repetición de la unidad de cada tipo.

Los nudos se encuentran colocados en posiciones determinadas a lo largo de las cuerdas colgantes, de modo que los números de mayor orden están más cerca de la cuerda principal. Cuando los nudos de una cuerda representan un número, este es un número natural en el sistema de numeración posicional de base 10. En el caso de nudos de una cuerda que representen varios números, ellos también están en el sistema posicional de base 10. En este caso, si se lee desde el extremo libre de la cuerda, cada nudo compuesto (o en ocho) ocupa la posición de las unidades de un nuevo número. El cero se representa en el quipu mediante la ausencia de nudos. La fgura 4 muestra un esquema con ejemplos de números representados por nudos. En la fgura 5 apreciamos más bien un quipu que tiene dos números en una cuerda. Figura 3

Figura 4.

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Esquema de números representados por nudos

Esquema de números múltiples representados por números en la misma cuerda

664

5

203 322

101

30

3 22 41

•

23 y 21

21 y 12

5 y 10

10 y5

¿Quiénes confeccionaban los quipus?

Generalmente se diunde la imagen del quipucamayo como un personaje de la élite incaica que tenía a su cargo la conección y cuidado de los quipus. Investigaciones recientes nos permiten aproximarnos a un mayor conocimiento sobre los quipucamayos. 16


Chirinos9 (2010) destaca que Guamán Poma de Ayala es uno de los pocos cronistas que establece distintas categorías de uncionarios a cargo de los quipus. Luego de hacer notar que Guamán Poma llama quipucamayo solamente a uno de ellos, Chirinos hace una traducción literal de los nombres quechua correspondientes, los mismos que se presentan en el cuadro siguiente:

Categorías de quipucamayos en las ordenanzas de Tupac Yupanqui, según Guamán Poma Nombres en quechua

Traducción literal posible

Incap quipocamayocnin

Quipucamayo del Inca

Tauantinsuyo quipoc

El que hace quipus para el Tahuantinsuyo

Lactapi quipococ

El que hace quipus en el pueblo

Caroman cachasca quipococ

El que es enviado lejos a hacer quipus

Tauantinsuyo hucha tasa ima hayca uata quillatauan qui- El que se encarga de ver las altas en el tributo (tasa) por sus pococ yupacoc años y meses, haciendo quipus y sacando cuentas

De acuerdo con esta inormación, el quipucamayo era una especie de secretario del Inca, pero no era la única persona especializada en la elaboración e interpretación de los quipus. Los quipucamayos eran personas importantes debido a que procesaban y hacían accesible valiosa inormación. Se encargaban del resguardo de los quipus principales y de los resúmenes generales. Según los cronistas, también se ocupaban de los quipus cronohistóricos, destinados a recordar la historia de las genealogías, hechos, acontecimientos, etc.

Quipucamayo, que se presenta en Nueva Corónica y Buen Gobierno de Guamán Poma de Ayala, siglo XVII.

Según Altieri, los quipucamayos cronohistóricos tenían una preparación especial que se transmitía de padres a hijos. Los iniciados recibían una esmerada educación en lo reerente a decodifcación e interpretación de los quipus ya existentes, la conección de otros nuevos y la retención, por la memoria, de los hechos y genealogías cuyas convenciones se hallaban en el quipu. 9 CHIRINOS RIVERA, Andrés. Quipus del Tahuantinsuyo. Lima: Editorial Comentarios. 2010. p. 96.

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¿Para qué se utilizaron los quipus?

Si bien se han planteado hipótesis respecto de que el quipu es una orma de escritura; hasta la echa esto no ha sido demostrado. Más bien han ganado espacio las hipótesis reeridas a interpretaciones de convención ideográfca o las que le atribuyen un valor exclusivamente numérico. Al respecto Marcia Ascher afrma que “los incas se caracterizaron por ser metódicos, altamente organizados y por hacer uso intensivo de datos.La burocracia inca dirigía permanentemente las áreas bajo su control.El Inca y sus altos uncionarios recibían muchos mensajes y enviaban muchas instrucciones diariamente” 10. “Los mensajes tenían que ser claros, compactos, y el objeto donde estuvieran registrados debía ser ácil de portar”11. Respecto a la interpretación exclusivamente numérica, algunos cronistas —como Molina, el almagrista; o el padre Lozano— afrman que el sistema de nudos ue solamente un registro de ciras. Sobre la base de esta hipótesis trabajaron Locke y Nordenskiöld en el siglo pasado. En recientes estudios, Gary Urton airma que “ los inkas desarrollaron un sistema de estructuras visuales y táctiles consistentes de hilos y cordeles que comunicaban cuerpos de inormación particular –por ejemplo, estadística (datos censales), narrativa (mitos y registros genealógicos), y otros géneros de textos– en una orma de codiicación binaria” 12. Asimismo, Urton identiica ejemplares de quipus a los que llama “anómalos”.”Esta designación releja el hecho de que estos ejemplares poseen tipos y ubicaciones de nudos que violan, o divergen de, las técnicas de registro y principios estructurales básicos del registro numérico decimal observados en la mayoría de los quipu ” (Urton, 2005)13. Los estudios de los quipus realizados permiten confrmar que gran parte de ellos ueron instrumentos contables complejos, una especie de registros estadísticos de cantidades de bienes, servicios y personas, entre otros. Muestra de la inormación que se podría extraer de algunos quipus se encuentra en tablas como las que presenta Andrés Chirinos (2010) en una publicación reciente 14. En estas tablas se pueden encontrar relaciones numéricas entre los datos registrados (por ejemplo de proporcionalidad), lo cual permite apreciar el uso de conceptos aritméticos en el sistema administrativo del Imperio Incaico. La existencia de los denominados quipus “anómalos” ha llevado a los investigadores a ormular la hipótesis de que los quipus habrían sido también un tipo de escritura. A la echa no hay coincidencia entre los especialistas y, por lo tanto, habrá que continuar las investigaciones al respecto. 10 CONCYTEC. Op. cit., p.110. 11 CONCYTEC. Ídem, p.110. 12 URTON, Gary. Signos del Khipu Inka. (Traducción de Alberto Miori). Cuzco: Centro de Estudios Regionales Andinos Bartolomé de Las Casas. 2005, p. 46. 13 Ibidem; p.34. 14 CHIRINOS. Op. cit.

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Dos quipus con características numéricas excepcionales

El investigador Hugo Pereyra, basado en la investigación realizada por los Ascher en su libro Code of the Quipu-Databook , proundiza el estudio de los quipus AS120 y AS143. Estos quipus tienen la par ticularidad de poseer cuerdas totalizadoras (llamadas también cuerdas resumen o sumatorias), en las que se registra la suma de los números correspondientes a un grupo de colgantes. Sobre estos dos quipus, entre otras conclusiones Pereyra destaca que 15 : a) De acuerdo con los Ascher, no existen indicios de que los incas hayan tenido representación alguna para las racciones o los decimales. A pesar de ello, según dichos autores, se debe concluir que los incas tuvieron la capacidad de realizar operaciones donde intervienen este tipo de números. Esto podría haber sido hecho con la ayuda de algún ábaco, como la yupana . b) La proporcionalidad casi perecta que existe entre los números de cualquier par de flas sugiere la representación mediante una recta, y conduce a la idea de que los números del quipu se referen a medidas angulares. c) Siguiendo esta idea, los ángulos correspondientes a los dos quipus mencionados muestran una concordancia que diícilmente puede deberse al azar. Este hecho constituye evidencia de que los dos quipus contienen inormación sobre el mismo asunto.

Yupanas El término yupana deriva de yupay , vocablo quechua que signifca “objeto que se utiliza para contar”. La yupana es un ábaco andino. A la echa, las investigaciones indican que es posible que se utilizaran dierentes tipos de yupana en el Imperio Incaico y/o en períodos preincaicos. En la “Nueva Corónica y Buen Gobierno” de Guamán Poma de Ayala, cuyo manuscrito data de los años 1613 a 1615 (ver igura 6), se presenta un tipo de yupana . Esta yupana es una especie de tabla constituida por cinco columnas y cuatro ilas que orman rectángulos aproximadamente de las mismas dimensiones; dentro de estos rectángulos, en cada columna hay círculos dispuestos siempre del mismo modo. La cantidad de círculos de cada rectángulo en las columnas, yendo de derecha a izquierda es de 1, 2, 3 y 5, respectivamente. A in de dierenciar la yupana presentada por Guamán Poma de Ayala de otras tablas de contar, recientemente se la ha empezado a identiicar como “ yupana de un nivel”.

15 PEREYRA, Hugo. Acerca de dos quipus con características numéricas excepcionales. En: Bulletin de l’Instituto Français d’Etudes Andines; Tomo 25, Nº 2. Lima.1996, pp.187-202.

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Figura 5. Esquema de la yupana de un nivel

Existen varias hipótesis respecto de cómo ue utilizada la yupana presentada en la obra Nueva Corónica y Buen Gobierno de Guamán Poma de Ayala, en el Imperio Incaico. Una de las primeras ue la de Henry Wassen (1934). Otra hipótesis es la de William Burns, publicada en el Boletín de Lima (1980). Según Burns, cada una de las columnas de la yupana , de derecha a izquierda, representa un orden numérico en el sistema de numeración decimal: unidades, decenas, centenas, unidades de millar y decenas de millar, respectivamente. Dada la potencialidad pedagógica de esta hipótesis, desde 1982 en Perú se le ha usado como base para elaborar secuencias didácticas de actividades en el área Matemática16. Así, la yupana ha logrado introducirse como un material educativo que, adecuadamente utilizado, puede apoyar los procesos de comprensión del sistema de numeración posicional, tanto como la construcción de algoritmos de las operaciones numéricas básicas. Yupana de dos niveles.

La interpretación de la ilustración que se presenta en la obra mencionada de Guamán Poma de Ayala nos permite inerir que el uso de la yupana de un nivel habría estado asociado al de los quipus. Esta imagen ha sugerido a Carlos Radicati Di Primeglio, la opinión de que “el quipu es (…) una derivación de la yupana ”. Esta hipótesis es compartida por otros estudiosos de la yupana y los quipus, y ha inspirado también el uso del quipu como material educativo en clases de Matemáticas. Otros tipos de yupana utilizada por nuestros ancestros ueron las elaboradas con barro o con piedra. En la fgura 7 se presenta una yupana de este tipo, que es una yupana de dos niveles, estudiada entre otros especialistas por Nicolino de Pasquale (2003).

16 VILLAVICENCIO UBILLÚS, Martha. La Yupana I Lima: Central de Producción Audiovisual del Instituto Nacional de Investigación y Desarrollo de la Educación - INIDE. 1986.

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El sistema de ceques El sistema de ceques (siqikuna awa) es una interesante evidencia de la etnomatemática Inca, cuyos antecedentes se remontan a sociedades preincaicas. El sistema de ceques incluye procesos de conteo, de diseño, de localización, de medición y de explicación. Su singularidad radica en que constituye un sistema de racionalización del universo cultural y natural. El investigador holandés Tom Zuidema sustentó en 1962, en la universidad de Leiden, la tesis “The ceque system of Cuzco.The Social Organization of the Capital of the Inca” , trabajo que ue el punto de partida de un prolongado estudio, cuyos resultados han sido publicados recientemente17 . Los ceques (siqikuna) son segmentos de líneas rectas que representan los caminos que partían desde el templo del Sol, Coricancha, y terminaban en una de las huacas que existían en el valle del Cuzco 18, tal como se puede observar en la ilustración. Ceques del Cusco

La obra de Zuidema sobre el sistema de ceques nos permite conocer que hay un orden en el diseño de la ciudad del Cusco, en sincronía con la realidad. Tom Zuidema en la presentación oral de su libro, que se realizó en el Museo de la Nación de Lima en junio de 2011, inorma que los ceques en Cuzco se pueden ver desde el techo del templo de Santo Domingo, cuyos cimientos son el antiguo Coricancha. Entre otros detalles señala: “que los ceques sirven como mapa del espacio e instrumento para medir el tiempo de todo un año.Que uncionaron como un sistema reloj para múltiples usos temporal y espacial. Midieron meses de dierente tamaño. Aparte de los doce meses tuvieron un periodo de año que no midieron.Cada año comenzó con la siembra y terminó en la cosecha. Cuarenta y una semanas ueron promedio de 8 a 10 meses, algunos más largos que otros.Doce meses pertenecieron a un año solar.Las semanas ueron según el año lunar, y ueron usadas por las mujeres.Esta dierencia existe actualmente, las mujeres miden el tiempo por la luna y las estrellas.Existen tejidos de tiempo Inca, de Tiahuanaco, de Wari, que representan el calendario.Los tejidos apoyan el calendario ceque (sic)”. 17 ZUIDEMA, Tom. El calendario Inca. Tiempo y espacio en la organización ritual del Cuzco. La idea del pasado. Lima: Congreso de la República. 2011. 18 DÍAZ LON, Iván. El sistema de ceques. En: http://www.monografas.com/trabajos32/sistema-ceques/sistema-ceques.shtml 2005 (27 mayo 2011, 9 a.m.).

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En el Cuzco y sus alrededores había 328 huacas o lugares sagrados, vale decir, piedras, manantiales o casas que, por una razón u otra, ueron de particular relevancia para la historia o en la mitología Inca. Estos lugares estaban divididos en grupos, cada uno de los cuales se concebía como dispuesto en una línea recta llamada ceque (siqi) . María Rostworowski dice sobre el sistema de ceques: “Este complejo sistema de organización compuesto por ceques y huacas, hacía la veces de un gran quipu que con sus “cuerdas y nudos” cubría toda la ciudad. El culto de cada uno de los 348 lugares se encontraba a cargo de un grupo social, el cual debía ser practicado según el calendario ritual. Estas líneas también ueron reerencias para delimitar la propiedad de las tierras de los ayllus cusqueños. Finalmente, algunas huacas ueron observatorios astronómicos orientados en dirección de puntos precisos del horizonte, con los cuales los incas registraban las salidas y puestas de sol de los astros” 19. Según Rostworoski el culto de cada una de las 328 huacas estaba a cargo de un grupo social y debía realizarse de acuerdo al calendario ritual. Los ceques también ueron líneas de reerencia para delimitar la propiedad de las tierras de los ayllus cuzqueños. Además, algunas huacas ueron observatorios astronómicos orientados en dirección de puntos precisos del horizonte, con los cuales los incas registraban las salidas y puestas de sol.

Figura 6. Los suyos en el sitema de ceques

De acuerdo con Díaz León, Federico Kaumann Doig confrma lo que dice María Rostorowski, pues él indica que cada una de las 328 huacas estaba asignada a una amilia, que debía venerar una huaca especial un día determinado del año. De esta orma se establecía para todo el año una distribución de las tareas económicas y rituales. Además de su unción de calendario, el sistema ceque era un sistema de clasifcación cultural. Como se puede notar en la fgura, las 328 huacas estaban distribuidas entre los ceques en números desiguales. Los ceques se organizaban, ante todo, de acuerdo con un sistema de clasifcación bipartita de todo el valle. Estas mitades se llamaban Hanan (superior) y Hurin (inerior). A su vez cada una de estas estaba dividida en dos partes, ormando de este modo cuatro cuadrantes. Estas regiones llevaban nombres geográfcos que correspondían a los cuatro suyus de todo el imperio: Chinchaysuyu, Antisuyu, Collasuyu y Cuntisuyu.

19 DÍAZ LON, Iván. Op. cit.

22


Otros conocimientos etnomatemáticos andinos Los propios hablantes de las dierentes variedades de quechua y aimara son testimonios vivos de las expresiones del pensamiento matemático de sus culturas originarias respectivas20. Expresiones como kuskanpaq kuskan en quechua o chikatana chikatapa en aimara, cuyo signifcado es “la mitad de la mitad” expresan claramente el signifcado de la racción “un cuarto”. No obstante, hay algunas cuestiones cuya respuesta queda pendiente, por ejemplo, respecto de la cultura aimara, cuyo sistema de numeración tiene vestigios del antiguo uso de una sub-base que es cinco, tal como se puede notar al analizar los términos qallqu (cinco), paqallqu (siete) y kimsaqallqu (ocho). Cabe preguntarse: ¿en qué momento la sociedad aimara empezó a utilizar la base diez?, y ¿por qué?. Es importante también conocer cuales son los reerentes que utilizan en una cultura determinada para orientarse en el espacio. En el caso de las comunidades andinas es usual utilizar, como reerente de ubicación espacial, una pendiente representada ísicamente por un cerro.

Pieza textil incaica que muestra diseños geométricos

De otro lado, nótese que algunas comunidades andinas, como la de Huilloc en Urubamba (Cusco) y Taquile en Puno, continúan desarrollando técnicas de textilería heredadas de sus antepasados, en las que aplican conocimientos geométricos.

2.2. Etnomatemáticas

amazónicas

De modo similar a lo que ocurre en las culturas andinas, las lenguas de los dierentes grupos socioculturales originarios de la Amazonía incluyen términos que expresan sus prácticas numéricas. Existen también objetos concretos en los que se plasma la etnogeometría respectiva.

20 VILLAVICENCIO UBILLÚS, Martha y otros. Numeración, algoritmos y aplicación de relaciones numéricas y geométricas en las comunidades rurales de Puno. Lima: Programa de Educación Bilingüe- Puno. 1983.

23


Por ejemplo, los términos para nombrar los primeros números naturales en las lenguas shipibo-konibo, asháninka y awajun respectivamente son: Número

24

Shipibo Konibo

Asháninka

Awajun

1

westiora

aparoni

makichik

2

rabe

apite

jimag

3

kimisha

maba

kampatum

4

chosko

otsi

Ipaksumat / ipak usumat

5

pichika

koni

makichik uweja amua

6

sokota

iko

uweja makichik ijuk

7

kanchis

tson

uweja jimaja ijuk

8

posaka

soti

uweja kampatum ijuk

9

iskon

tin

uweja ipaksumat ijuk / uweja ipak usumat ijuk

10

chonka

tsa

uweja mai amua

11

chonka westiora

tsapani

dawe makichik ijuk

12

chonka rabe

tsapite

dawe jimaja ijuk

13

chonka Kimisha

tsa maba

dawe kampatum ijuk

14

chonka chosko

tsa otsi

dawe ipaksumat ijuk / dawe ipak usumat ijuk

15

chonka pichika

tsa koni

dawe makichik amua

16

chonka sokota

tsa iko

dawe juinia ijuk / dawe juinia makichik ijuk

17

chonka Kanchis

tsatson

dawe juinia jimaja ijuk

18

chonka posaka

tsasoti

dawe juinia kampatum ijuk

19

chonka Iskon

tsatin

dawe juinia ipaksumat ijuk / dawe juinia ipak usumat ijuk

20

rabe chonka

pitetsa

dawe mai amua

30

kimisha chonka

mabatsa

40

chosko chonka

otsitsa

50

pichika chonka

konitsa

60

sokota chonka

ikotsa

70

kanchis chonka

tsontsa

80

posaka chonka

sotitsa


Número

Shipibo Konibo

Asháninka

90

iskon chonka

tintsa

100

pacha

sheki

1 000

waranka

irinka

10 000

chonka waranka

100 000

pacha waranka

Awajun

El análisis de estos sistemas de numeración nos permite confrmar lo que ya señaló Geno vieve Guitel21 en su estudio sobre diversos sistemas de numeración creados por dierentes culturas del mundo: Las bases son siempre 5, 10 o múltiplos de estos números, porque el apoyo concreto al cual recurre el hombre en primer lugar son los dedos de las manos y pies. Sin embargo la lógica de construcción de cada sistema no siempre es el mismo. Por ejemplo, en el sistema numérico awajun, utilizan las manos para contar hasta 10; dejan separados estos diez y para continuar el conteo empiezan otra vez a contar teniendo como soporte concreto los dedos de un pie y luego los del otro. Es muy importante que el docente tenga claro el procedimiento que se sigue en la cultura originaria, a fn de poder ayudar a los estudiantes, en primer lugar, a desarrollar su etnomatemática, y luego a aprender la matemática mayoritaria. Por otro lado, la construcción de viviendas de los shipibo-konibo de San Francisco en la Región Ucayali nos permite constatar actualmente el manejo de técnicas propias a través de las cuales aplican la etnogeometría respectiva, en el dominio de relaciones en el plano y en el espacio.

Casas de la comunidad shipibo konibo de San Francisco. (marzo 2010)

En las otos se puede identifcar en las construcciones ormas geométricas que se aproximan a la del cono, triángulo y rectángulo. En la construcción de la izquierda las paredes son parte de un prisma recto cuya base es un hexágono regular. Adicionalmente, en los diseños de cada cara de la superfcie lateral del prisma hexagonal se pueden identifcar y estudiar transormaciones de fguras en el plano, tales como traslaciones, simetrías axiales y rotaciones.

21 GUITEL, Genovieve. Histoire comparèe des numerations écrites. Paris: Editorial Flammarion. 1975.

25


La abundancia de diseños y transormaciones etnogeométricas se evidencia también en los objetos de cerámica y telas coneccionadas, actualmente, por mujeres shipibo konibo. Artesanías de la comunidad shipibo konibo. San Francisco. (marzo 2010)

Es necesario proundizar en el conocimiento de las etnomatemáticas de las culturas originarias peruanas, pues además de su potencialidad educativa para el ortalecimiento de la autoestima de los estudiantes, ellas pueden constituir un importante recurso pedagógico que les acilitaría el aprendizaje en el área Matemáticas. Tener en cuenta estas prácticas etnogeométricas posibilitaría la comprensión de modelos matemáticos tales como las transormaciones del plano en el plano, que son unciones de RxR en RxR .2 En eecto, es evidente en los tejidos y en la cerámica de culturas andinas y amazónicas la práctica de la simetría axial, de las traslaciones, de las rotaciones en el plano y en el espacio. En otras palabras, es posible encontrar diversas ideas matemáticas en el estudio de las etnogeometrías. Lo dicho es válido para otros contenidos de Matemática, por ejemplo, aquellos que se relacionan con la aritmética. Tal es el caso del sistema de numeración de una cultura. En el enoque que desarrollamos en la EIB se reconoce que en las actividades de toda cultura están presentes muchas ideas y prácticas de las matemáticas que no se pueden jerarquizar, sino que han de ser consideradas en el plano de la diversidad y del enriquecimiento mutuo que genera un intercambio en relaciones de respeto y equidad. Por otro lado es muy importante que cualquier persona de una sociedad originaria pueda desarrollar sus capacidades matemáticas, de modo que “los niños indígenas no sean discriminados, ni condenados a unos conocimientos que no les sirven, ni para entender el mundo de los otros, ni para desarrollarse en el propio. Queremos que los jóvenes indígenas puedan saber las matemáticas de aquí y de allá, con respeto, amor y alegría” 23 22 Funciones de RxR en RxR, es decir, unciones defnidas en el producto cartesiano del conjunto de números reales R por el mismo conjunto R, cuyas imágenes pertenecen al mismo producto cartesiano RxR que representa el plano (Nota del autor). 23 CAICEDO, Natalia y PARRA, Aldo y otros. Matemáticas en el mundo Nasa. Bogotá: Centro Indígena de Investigaciones Interculturales de Tierradentro. 2009, p. 13.

26

Sesiones de enseñanza y aprendizaje desarrolladas en Primer grado EIB

3.1. Una experiencia en la comunidad quechua Cañaris A continuación se transcribe una sesión de trabajo en aula, orientada a que los niños construyan el concepto de adición desarrollando sus capacidades matemáticas a través de la resolución de problemas. La inormación registrada se basa en la observación de la clase realizada con niños de la sección de primer grado de la institución educativa de EIB de Cañaris (UGEL Ferreñae, Región Lambayeque) durante 50 minutos.

27


Hora

8:30

Participantes

Acciones y enunciados

Observación

Docente

Conversa en quechua con los niños sobre las actividades que realizan sus papás en el campo y las tareas que ellos realizan para ayudarles en el trabajo.

Los niños se muestran interesados en el tema de conversación.

Pedro

Semanamantaqa uk diyatami warmi ukniywan nuqaqa uyshata michinillapa (Un día a la semana, mi hermana y yo pastamos ovejas en el campo.)

Jimena

Nuqaqami tukuy diyakuna tardikaq uyshata michiyta yanapakuni. (Yo ayudo a pastar las ovejas todos los días por las tardes.)

Docente

¿Qamkuna mana papel qillayta riqsinkillapachu? Qam Rosita, ¿ima mana papel qillaytataq riqsinki? (¿Y ustedes conocen las monedas? A ver Rosita, ¿qué monedas conoces?)

Rosita

El docente cuenta a los niños una pequeña historia, que ellos escuchan atentamente.

Arí. Nuqaqa uk solta pichqa solesta ishkay soltapis riqsinimi. Mamaymi imanupiqa tampuman rantiq kaˆcaman. (Sí. Conozco monedas de un sol, de cinco soles, de dos soles .Mi mamá me manda comprar a veces a la t ienda.)

Docente

¿Tukuyniykillapa riqsinkillapachu uk sol qillayta ishkay sol qillayta pichqa soles qillaytapis? (¿Todos ustedes conocen las monedas de un sol, de dos soles y de cinco soles?)

Niños

¡Arí! (¡Sí!)

8:40

Docente

¿Sabadota Kañaripa yestan kashanman riyta puydiraykillapachu? (¿Pudieron ir el sábado a la eria que hubo en Cañaris?)

Imataq Doritata kusa aligri yestaman ritin pasasha nirmi parlashaykillapa.

(Les voy a contar lo que le ocurrió a Dorita, que ue muy contenta a la eria.)

Doritaqa ishkay solesniyjun katin mamanqa ˆcusku solta makyaran, ¿maynu qillaytataq Doritaqa yestamanqa aparan? (Dorita tenía dos soles y su mamá le regaló cuatro soles, ¿cuántos soles llevó Dorita a la eria?)

Niños

Docente

Rubén

Doritaqa ishkay solesniyjun katin mamanqa ˆcusku solta makyaran, ¿maynu qillaytataq Doritaqa yestamanqa aparan?

Yaˆcaninami...¡Doritaqa seys solesniyjun! (Ya sé...¡Dorita tiene seis soles!)

28

Como en la clase hay cinco niños que manejan mejor el castellano que el quechua, el docente también cuenta a todos la misma historia, pero esta vez en castellano. Los niños reexionan y se ayudan con objetos concretos para dar la respuesta a la pregunta planteada.

(Dorita tenía 2 soles y su mamá le regaló 4 soles, ¿cuán- tos soles llevó Dorita a la eria?)

8:50

Los niños de la clase son bilingües, aunque algunos de ellos manejan mejor una u otra de las dos lenguas instrumentales: quechua y castellano.

El proesor repite la historia primero en quechua y después en castellano, a fn de que los niños tengan clara la historia y sepan lo que se pregunta. Los niños buscan una estrategia para responder las preguntas. Rubén dice “seys”, reonologizando en quechua.

3. Sesiones de enseñanza y aprendizaje desarrolladas en Primer grado EIB

Hora

Participantes

Docente


Observación

Imanutaq Doritaqa suqta solesniyjun nirqa yaˆcashayki” nir ukniykikunata parlay. (A ver explica a tus compañeros cómo encontraste que Dorita tiene seis soles.)

Rubén

Kada rumisitumi uk sol, chaymi kaypiqa Doritapa ishkay solesnin, kaypishuypaqa maman qushan kwatru sol. Ishkay soleswan kwatru solta tantatiyqa seys soles kan.

Rubén tiende a usar palabras en castellano para designar los números.

(Cada piedrita es un sol...aquí están los dos soles que tenía Dorita y acá los cuatro soles que le dio su mamá. Al juntar los dos soles con los cuatro soles, me da seis soles.)

9:00

Docente

Allinchu Ruben nishanqa. (¿Están de acuerdo con Rubén?)

Niños

Aríiii... (¡Sííííí!)

Docente

Kananqa imanutaq Doritapa yaˆcashaykillapa niy dibujuwan.

limpu

qillayninpaq

(A ver, ahora dibujen en su cuaderno lo que hicieron para hallar la cantidad de soles que tiene Dorita.)

Rosa

Yaˆcachikuq, nuqaqa puntataqa Doritapa ishkay solesninta ˆcuraray, chaymantaqa kwatru sol maman qushanwan tantaray…¡Doritaqa seys solesniyjun!. (Mire proesor, yo coloqué primero los dos soles que tenía Dorita y luego los junté con los cuatro soles que le dio su mamá....Dorita tiene seis soles!)

Docente

Luisa, imanutaq qamqa Doritaqa seys solesniyjun nir yaˆcashayki nir pisarrapi rikachimayllapa. (A ver, Luisa, representa en la pizarra lo que hiciste para encontrar lo que Dorita tiene ahora.)

2 Docente

El docente utiliza también un préstamo del castellano para nombrar el número “seis”. Observa y revisa las respuestas que los niños representan en sus cuadernos y los orienta individualmente mientras Luisa dibuja en la pizarra.

Luisa

9:20

Espontáneamente, Rosa cuenta al docente la estrategia que utilizó para responder a las preguntas planteadas. La niña nombra los números cuatro y seis en castellano.

4

6

Considerando la representación que hizo Luisa, escribe los signos “+” e “=”, así:

2 + 4 = 6 Y luego dice: Allinmi rurashanchikqa. Chayqa ishkayta kwatruwan achkachashaqa seysimi. (Muy bien. O sea que “dos más cuatro es igual a seis”.)

Kayqami shutin “yapachikuq”, kayshuypaqa “chayqa”. (Este signo quiere decir “más”. Señala el signo “+”, Y este signifca “es igual”. Señala el signo “=”.)

El docente utiliza dos préstamos para nombrar los números: “cuatro” y “seis”. Tendría que utilizar los nombres de los números en quechua: cusku y suqta, respectivamente. Luego, cuando el docente se refere al signo “más” y al signo “igual”, señala sucesivamente a cada uno de ellos.

29


Refexiones y comentarios:

El análisis de la sesión de enseñanza y aprendizaje observada nos permite, a la luz de las características de la Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB, puntualizar lo siguiente:

1. Programación, desarrollo y evaluación, articulados con el calendario comunal: Aun no hay evidencia de una práctica consolidada de la programación, desarrollo y evaluación que se articule con el calendario comunal. 2. Inclusión de la etnomatemática para el aprendizaje signifcativo: La inclusión de la etnomatemática quechua en el desarrollo curricular de Matemáticas desde los primeros grados de EIB, en particular en lo que concierne al uso del sistema de numeración originario en clase de Matemáticas, está todavía en un proceso inicial. En este sentido se observó por ejemplo que, tanto el docente como los niños, en contextos de expresión en lengua quechua, utilizan generalmente el nombre de los números cuatro y seis en castellano. Los números uno, dos y cinco se nombran en quechua. 3. Uso de la lengua originaria y el castellano como lenguas instrumentales: Se evidenció que el quechua es útil como lengua instrumental en el área Matemáticas de EIB. Facilita el proceso de comunicación entre docente y niños, y entre pares. 4. Naturaleza lúdica: Se busca que los niños se sientan cómodos, se atrae su atención y se posibilita su bienestar a través de una historia que el docente cuenta, contextualizada en su realidad. Se da un espacio para expresar su originalidad cuando se les pide que dibujen la estrategia que usaron para responder a la pregunta planteada en la historia. 5. Uso de material educativo diverso: Los niños tienen libertad para usar el material concreto no estructurado disponible en su aula: piedrecitas, semillas, chapitas, para responder las preguntas que ormula el docente. 6. Desarrollo de capacidades para investigar: En la práctica se constata que los niños resuelven un problema de estructura aditiva de cambio, sin necesidad de que el proesor les haya dicho que van a resolver un problema. Lo importante es que a través de la situación que les relata, que involucra una pregunta a la cual los invita a responder, estimula a los niños a pensar por sí mismos y a buscar estrategias personales o colectivas para encontrar una solución, con lo cual propicia el desarrollo de capacidades para investigar. 7. Orientación al logro de competencias: El proesor logra seleccionar o diseñar actividades pertinentes para proponer a los niños, relacionadas con sus intereses y vivencias, lo cual contribuye a generar en estos actitudes positivas hacia las matemáticas. Asimismo, en la sesión observada la operación de adición surge como una herramienta cuya necesidad se genera a 30


partir de la situación que se ha planteado para resolver. Los niños tienen la libertad de utilizar material concreto y posteriormente representan gráfcamente el procedimiento seguido. El docente introduce el uso de signos convencionales para representar la operación de adición, y también emplea términos en quechua en proceso de estandarización: “yapachikuq” (signo “más”: +). En otras palabras, los niños han vivido un proceso de construcción del concepto de la operación de adición, a partir de una situación problema que han resuelto. El proceso seguido para hallar la solución permite el desarrollo de la capacidades de resolución de problemas, razonamiento y comunicación matemática. El trabajo realizado por los estudiantes les ayuda, no solo a construir conocimientos y a utilizarlos, sino a desarrollar capacidades y actitudes positivas, es decir, se orienta al logro de competencias. Algunos trabajos realizados por los niños en el marco de la sesión de clase desarrollada en Cañaris.

En estas representaciones se observa la nota personal en la estrategia utilizada. Así por ejemplo, el niño llamado Aldair, para responder la pregunta del problema, representó tres monedas de 2 nuevos soles, una que tenía Dorita y dos que le dio su mamá después.

3.2. Sesión

de clase en Patacancha: construcción de los tres primeros números naturales, usando la yupana como soporte: Esta vez se presenta la transcripción de una sesión de trabajo en aula orientada a que los niños inicien la construcción de la sucesión de números naturales y el concepto de valor posicional. La inormación registrada se basa en la observación de la experiencia realizada en la sección de primer grado de la institución educativa de EIB de Patacancha (UGEL Urubamba, Región Cusco) durante 65 minutos. 31


La proesora responsable de la sección de niños de primer grado ha empezado a aplicar en sus clases los principios de la propuesta pedagógica, en quechua. Evita decir a los niños que van a resolver problemas de Matemática, es decir, no utiliza la palabra “problema” a fn de condicionar positivamente el estado emocional de los niños, aún cuando en la práctica conduce el proceso de aprendizaje a partir de preguntas que plantea de modo sistemático. Ella cuida de que todos participen, observa sus reacciones y orienta sobre todo a quienes necesitan su apoyo. He aquí una aproximación de la clase observada en Patacancha el 14 de julio de 2010, luego de que la proesora propiciara, entre otras, el desarrollo de las capacidades comunicativas y de ubicación en el tiempo, conversando con los niños sobre la echa y la asistencia de los alumnos ese día.

Mural del aula de 1º grado de la I.E. de Patacancha

Niños de 1º grado de la I.E. de Patacancha

32


Ese día se flmó el proceso de enseñanza y aprendizaje, que condujo la proesora Nancy. Los niños están organizados en cuatro grupos de trabajo: chawlla, waka, llama y uwija.

El grupo “Chawlla” tiene cuatro integrantes, pero en la clase del 14 de julio solo asistieron tres de ellos. Este hecho, entre otros, ue utilizado por la proesora como contexto para apoyar procesos de aprendizaje signifcativo en el área Matemáticas, siempre estimulando el pensamiento de los niños a tra vés de preguntas ormuladas en unción del propósito de la clase.

Hora

8:30

Participantes

Proesora

Dibujo realizado por niños de 1º grado de la I.E. de Patacancha


Observación

Kunanmi kay yupanawan tablachakunawan pukllasunchik.

En la pizarra, la proesora ha colocado una cartulina en la cual ha representado la yupana así:

(Hoy vamos a jugar con la yupana y estas tablitas).

Escribe en rojo en la pizarra la palabra:

Yupana

P

CH

S

La proesora muestra y entrega yupanas a cada grupo. Asimismo les entrega piezas encajables en los hoyitos de las yupanas y cinco tablitas numeradas rectangulares pequeñas, de tamaño 3,5 cm x 4 cm. En cada una de estas tablitas está escrita una de las ciras: 1, 2, 3, 4, 5. Es importante que cada niño tenga una yupana, y que tenga disponible sufciente cantidad de piezas encajables y tablitas numeradas.

33


Hora

8:35

Participantes


Niños

Proesora

Observación

Los niños muestran interés cuando se les entregan las yupanas y las tablitas numeradas. Yupanata qhawaychik. ¿Imatam yupanapi qhawachkankichik? (Fíjense cómo es la yupana. ¿Qué observan en ella?)

Niños Proesora Niños Proesora

T’uquchakuna kachkanchu… chuntakunari. (Hay hoyitos... hay rectángulos...)

Hayk’ataq yupanaq wachunri? (¿Cuántas columnas tiene la yupana?)

Señala las columnas de la yupana que tiene en sus manos.

Uk, iskay, kimsa! (Uno, dos, tres!)

Allinmi. (Muy bien.)

Yupana qusqaykichik kimsa wachuyuqchu . Sapanka wachuqa sutiyuqmi, kunanqa sapankuna wachukunallawanmi pukllasunchik. Kay qillqayqa muyupim kachkam chayqa sapankuna wachukunamanmi umallin, ¿ima qillqayri kay? (Las yupanas que les he dado tienen tres columnas. Cada columna tiene un nombre. Por ahora solo vamos a jugar en la columna de las unidades. Esta letra que está en este círculo quiere decir que en esta columna se representan las unidades. ¿Qué letra es?)

8:40

Niños

“S” qillqaymi kay. (Es la letra “s”.)

Proesora

¿Ima ninantataq kay “s” qillqayri nin? (¿Qué quiere decir “s”?)

Niños

Sapankuna. (Unidades.)

Proesora

Dibuja un diente y escribe la palabra kiru (diente) en la pizarra. Luego pregunta a los niños : ¿Hayk’ataq Juanapa kirunkuna urmarqun? .... (¿Cuántos dientes se le cayeron a Juana?)

Niños

La proesora aprovecha una situación signifcativa que se dio en el aula: a una niña se le había caído un diente, pues estaba mudando. Hace notar esta situación a la clase y les ormula la pregunta .

Uk! (Uno!)

8:45

Proesora


Tapachakunawan huk yupayta sapam wachupi churay. (Utilizando las tapitas representen “huk” en la columna de las unidades de la yupana.)

8:55

Niños

Los niños tratan de colocar la tapita en uno de los hoyitos de la columna de las unidades de la yupana.

Proesora


34

La docente observa que hay dierencia en la ubicación de


Hora

Participantes


Observación

“Huk” yupayta sapam wachupi llapaykichikchu churarankichik.

la tapita en las yupanas de los niños; sin embargo, todos acertaron en colocarla en uno de los hoyitos de la columna de las unidades.

(Todos colocaron “uno” en la columna “unidades” de la yupana.)

Kunanmantaqa tapachakunata churayta qallarisun, chuntaq uranpi lluq’i t’uquchapi. ¡Kunanqa 1 yupayta kikillanta churay!

(Sin embargo, en adelante vamos a empezar colocando las tapitas siempre en el rectángulo de abajo, en el hoyito de la izquierda. ¡A ver, representen “uno” de este modo!)

Niños

Adoptan el acuerdo colocando la tapita en el hoyito de la izquierda del rectángulo de la parte inerior de la columna.

Proesora

Martina, kunanqa 1 yupayta pizarra yupanapi muyupi siq’ispa kaqninman churay.

Martina

Pinta el círculo de la izquierda de la primera fla del rectángulo inerior de la columna de las unidades de la yupana que está dibujada en la pizarra:

(A ver, Martina, representa “uno”, ahora en la yupana de la pizarra, y pinta un círculo donde corresponde.)

P

8:58

Proesora

CH

S

Tablachakunata 1 yupayta sapankuna nisqa yupanaq wachunpi churaychik.

(Coloquen la tablita en la que está escrito el número “1” debajo de la columna de las unidades.)

Proesora

Wayta, kunaqa 1 yupanata pizarra yupanapi qillqay.

Wayta

Escribe “1” según lo indicado:

(A ver, Wayta, escribe el número “1” en la yupana de la pizarra.)

P

CH

S

1 9:00

Proesora

Les invita a hacer ejercicios ísicos para que se relajen un poco.

Fue acertado que los niños eectuaran la dinámica dirigida por la proesora.

35


Hora

9:05

Participantes

Proesora


Observación

Escribe en la pizarra y verbaliza la pregunta: ¿Hayk’a yachachiqkunataq kaypi kanku? (¿Cuántas proesoras hay aquí?)

Niños

Iskay.

Dibuja en la pizarra el rostro de cada proesora y escribe el número “2”.

(Dos)

Proesora

Pide a los niños: Tapachakunawan 2 yupayta sapankuna nisqa yupanaq wachumpi churay. (Utilizando las tapitas representen “iskay” en la columna de las unidades de la yupana.)

Niños

Cada niño coloca dos tapitas, una en cada hoyito de la La proesora les orienta a fn de columna de las unidades de la yupana. que respeten el acuerdo de empezar colocando las tapitas desde la última fla del rectángulo inerior de la columna de las unidades.

Proesora

Arturo, kunanqa 2 yupayta pizarra yupanapi churay, mu yuwantaq siq’iy. (A ver Arturo, representa el número “dos” ahora en la yupana de la pizarra pintando dos círculos donde corresponde.)

Arturo

Pinta dos círculos, empezando por la izquierda de la primera fla del rectángulo inerior de la columna de las unidades de la yupana que está dibujada en la pizarra: P

Proesora

CH

S

Indica a los niños: “2” yupaywan qillqasqata sapankuna nisqa yupanaq wachunpi churaychik. (Coloquen la tablita en la que está escrito el número “2” debajo de la columna de las unidades de la yupana.)

Qanri Arturo 2 yupayta, sapankuna nisqa yupanaq wachunpi qillqay. (Y tú Arturo, escribe el número “2” debajo de la columna de las unidades en la yupana de la pizarra.)

Arturo

Escribe en la pizarra el número “2”, de acuerdo con lo indicado: P

CH

S

2 Niños

36

Colocan la tablita con el número “2”, según lo indicado.


Hora

9:10

Participantes

Proesora

Niños Proesor


¿Mayqin t’aqakunapi pisi irqikuna hamunku? (¿En cuál de los grupos han venido hoy menos niños?)

Chawlla t’aqamanta.

Observación

La docente siempre cuida de ormular a los niños preguntas que toman en cuenta su entorno.

(En el grupo “Chawlla”). ¿Hay’ka irqikunataq challwa t’aqamanta kunam p’unchaw

hamunku?

(¿Cuántos niños del grupo “Chawlla” han venido hoy ?)

Niños

Kimsa. (Tres.)

Proesora

Dibuja en la pizarra el rostro de cada niño que integra el grupo “Chawlla” y escribe el número “3”. Pide a los niños: Tapachakunawan kimsa yupayta, sapan wachukunapi churay. (Utilizando las tapitas representen “tres” en la columna de las unidades de la yupana.)

Niños

Cada niño coloca tres tapitas, una en cada hoyito de la columna de las unidades de la yupana.

Proesora

Raquel, kunanqa 3 yupayta pizarra yupanapi churay, mu yuwantaq siq’iy.

La proesora les orienta a fn de que respeten el acuerdo de empezar colocando las tapitas en la última fla del rectángulo inerior de la columna de las unidades.

(A ver, Raquel, representa el número “tres” ahora en la yupana de la pizarra pintando los círculos donde corresponde.)

Raquel

Proesora

P

CH

S

Raquel pinta los tres círculos de la última fla del rectángulo inerior de la columna de las unidades de la yupana que está dibujada en la pizarra.

Indica a los niños: Tablachata 3 yupay qillqasqapi churay, yupanaq sapan wachu urayninpi.

Simultáneamente, la docente revisa el trabajo que cada niño realiza y orienta prioritariamen(Coloquen la tablita en la que está escrito el número “3” te a quienes tienen difcultad. debajo de la columna de las unidades de la yupana.)

Qamri Raquel kimsa yupayta sapan wachukunaq urayninpi pizarrapi qillqay. (Y tú, Raquel, escribe el número “3” debajo de la columna de las unidades en la yupana de la pizarra.)

Raquel

Escribe 3 debajo de la yupana en la pizarra: P

CH

S

3

37


Hora

9:20

Participantes


Niños

Colocan la tablita con el número “3” según lo indicado.

Proesora

Pide a los niños: Yupanapi rurasqaychichikta Cuadernuykichikpi churaychik.

Observación

(Representen en su cuaderno lo que han contado y representado en la yupana y escriban el número respectivo cada vez.)

Niños

Cada niño dibuja y escribe en su cuaderno de acuerdo a lo indicado por la proesora.

9:35

Muestran a la proesora lo que representaron en sus cuadernos. Se observa que los niños están acostumbrados a copiar lo que está en la pizarra, pues reproducen lo que ven allí.


Tomando como reerente las características de la Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB, el análisis de la programación curricular y de las actividades de la sesión de enseñanza y aprendizaje de primer grado observada en Patacancha, es posible puntualizar lo siguiente:

1. Programación, desarrollo y evaluación, articulados con el calendario comunal: La programación, desarrollo curricular y evaluación de los aprendizajes se enmarca en el calendario de la comunidad, a través de proyectos y unidades de aprendizaje. La lengua instrumental utilizada es el quechua, en la variedad Cusco Collao. 2. Inclusión de la etnomatemática para el aprendizaje signifcativo: La inclusión de la etnomatemática de la comunidad está dada por el uso del sistema de numeración en quechua, lengua materna de los niños. Asimismo, como material concreto de soporte para el trabajo conceptual de la etnomatemática andina se usa la yupana , con lo cual se reconoce el valor que tiene el ábaco utilizado en el Imperio Incaico. Se usan términos en quechua Cusco Collao y Ayacucho Chanka, propuestos en el diccionario elaborado con participación de educadores, especialistas de Matemáticas de Institutos Superiores Pedagógicos24. Tales términos están en proceso de estandarización: yupana (ábaco), sapankuna (unidades), lluq’i (izquierda), wachu (columna), huk (uno), iskay (dos), kimsa (tres). Se usan también términos propuestos para estandarización: pisi (pocos) cuando se refere a “menos”, y ura (abajo) en urayninpi (debajo). Por otro lado, se observa que en lugar de los términos por estandarizar: yupa (número), chutarisqa tawa kuchu (rectángulo), chiqan muyu (círculo), propuestos en el diccionario reerido, se utilizaron: yupay , chunta y muyu , respectivamente.

3. Uso de la lengua originaria y el castellano como lenguas instrumentales: Dado que la lengua materna de los niños es el quechua Cusco Collao, se utilizó esta lengua durante las actividades realizadas. 24 PROEDUCA-GTZ. Diccionario de Matemática Yupa awa simi taqi . Lima: GTZ. 2004.

38


4. Naturaleza lúdica: A fn de que las actividades de los niños respondan al interés lúdico que ellos tienen, se les invita a jugar con la yupana y, progresivamente, se les va planteando preguntas que suponen el respeto de ciertas reglas de juego, en unción de los propósitos de la clase. La docente también propone a los niños otras dinámicas que propician su bienestar y el agrado por las actividades que se le proponen.

5. Uso de material educativo diverso: Se usa el material concreto estructurado, esto es, el ábaco andino ( yupana ), con piezas encajables auxiliares y tablitas numeradas. 6. Desarrollo de capacidades para investigar: El hecho de que se ormulen preguntas a los niños considerando el contexto y ciertas reglas de juego asumidas, los estimula a buscar estrategias de solución. Este espacio es propicio para que los niños desarrollen las capacidades para investigar, es decir, que identifquen o ormulen situaciones problema, y que sean capaces de elaborar y aplicar estrategias que permitan responder a las preguntas que se les plantea. Son los niños quienes dan las respuestas, cuya corrección es validada por sus mismos compañeros conjuntamente con el docente. 7. Orientación al logro de competencias: Se posibilitan aprendizajes en el área Matemáticas, al proponer a los niños actividades generadas por situaciones signifcativas extraídas de su entorno. Un aspecto rele vante en la sesión de clase es la pertinencia de las preguntas que ormula la docente a los niños, aprovechando estratégicamente las situaciones que el contexto le orece. De esta manera propicia que el signifcado cuantitativo de los números vaya siendo comprendido por ellos, con el apoyo de su representación concreta en la yupana , como respuesta a las preguntas ormuladas, y que los niños desarrollen su pensamiento pues, para poder responder, tienen que observar, reexionar, establecer correspondencias y localizar objetos en el espacio, entre otros procesos. En la sesión de enseñanza y aprendizaje de la clase transcrita se evidencia también que se puede plantear y resolver problemas cuando se utiliza material concreto adecuadamente, hecho que acilita el aprendizaje comprensivo y la representación simbólica. En eecto, se posibilita que los niños pasen de la representación concreta a la representación gráfca y simbólica, cuando se les pide que dibujen lo que hicieron en clase con la yupana y que escriban cada número, del 1 al 3 respectivamente. Asimismo los niños empiezan a construir el concepto de valor posicional, pues la representación concreta y simbólica de los números debe hacerse en la columna unidades ( sapankuna , en quechua Cusco Collao). Por otro lado, la comprensión de los niños de lo que hacen y expresan en la sesión de trabajo en el área Matemáticas genera en ellos un sentimiento de seguridad y, por ende, una actitud positiva para la realización de las actividades que se les propone. En resumen, la operativización de la PPM-EIB permite que los niños construyan conocimientos y desarrollen capacidades, principalmente de investigación y resolución de problemas, y que asuman actitudes positivas hacia las matemáticas. Es decir, esta operativización se orienta al logro de competencias. 39


3.3. Resolución

de un problema abierto, en una sección de primer grado de EIB

A continuación presentamos el registro de la observación de una sesión de enseñanza y aprendizaje realizada en un aula de primer grado de EIB, en Patacancha. La sesión se realizó el 5 de noviembre de 2010, tuvo una duración de dos horas y en ella se empleó el quechua Cusco Collao. Hora

9:30

Participantes

Proesora


Ima raymitaq qayna p’unchaw rurakurqam? (¿Qué festa se ha celebrado ayer?)

Niño

Observación

La docente ormula preguntas relacionadas con las vivencias de los estudiantes. En la comunidad se ha celebrado la festa de Todos los Santos.

Wañuqkunaq raymin. (La festa de los muertos.)

Niña

Todo santuspa raymin. (La festa de Todos los Santos.)

Proesora

Todo santuspa raymipiri, ¿ima mikhunakunatataq wasinkupi ruranku? (En la festa de Todos los Santos, ¿qué es lo que preparan para comer en sus casas?)

Proesora

¿Imatataq qillqana qatapi siq’irqani? (¿Qué es lo que he dibujado en la pizarra?)

Niños

La docente dibuja wawas de pan en la pizarra.

Wawakuna. (Son wawas…)

Proesora

¿Hayk’a wawakunatataq siq’arqani? (¿Cuántas wawas he dibujado en la pizarra?)

Proesora

Mama Ruperta wawakunata qhatun, imaymana waliqni yuqmi wawankunapa. (La señora Ruperta vende wawas. Tiene wawas de die- rentes precios.)

¿Qamkuna, riqsinkichikchu qullqita? ¿Ustedes conocen las monedas?)

Niña

Arí.Huk solis, iskay solis pichqa solis qullqiita. (Sí. Monedas de 1 sol, de dos soles, de 5 soles…)

40

En la festa de Todos los Santos se acostumbra hacer wawas en la comunidad. Las wawas son un tipo especial de pan que se prepara principalmente en pueblos andinos.


Hora

9:50

Participantes

Proesora


Observación

Qullqita qusaykichik, mañakusqaymanhina qhawachiwankichik.

El docente les entrega monedas de papel que ha recortado previamente.

(Les voya a dar monedas para que me las muestren de acuerdo a lo que les vaya pidiendo.)

Proesora

Iskay solis qullqita qhawachiwaychik. (Muéstrenme las monedas de dos soles…)

Kunanqa huk sol qullqita.

(Ahora, las monedas de un sol…)

Pichqa solis qullqita qhawachiwaychik.

La docente se acerca a cada grupo y pide a los niños que le muestren monedas de dierente clase.

(Muéstrenme las monedas de 5 soles… )

Proesora

Antenorpa taytan chunka soliswan wawata rantin (El papá de Antenor compró una wawa de 10 soles.)

¿Ima qullqiwantaq chunka solista pagakuman?

(¿Con qué monedas puede pagar los diez soles?)

La proesora no dejó a los niños un tiempo prudencial para que buscaran cómo encontrar la respuesta a la pregunta que les ormuló respecto a las monedas con las cuales puede pagar Antenor los 10 soles que le costó la wawa. Ella les dio la respuesta casi enseguida. Hubiera sido interesante que los niños utilizaran sus propias estrategias para responder a la pregunta. Es necesario estimular a los niños para que piensen por ellos mismos para responder.

Proesora

Kimsa sulisman pichqa sulista yapaykun chaymanta iskay sulistawan yapaykun. (A tres soles le aumenta cinco soles, y luego aumenta dos soles.)

La docente va representando con dibujos en la pizarra lo que va diciendo oralmente. De este modo la docente da una respuesta a la pregunta que planteó a los niños sobre las monedas con las cuales el papá de Antenor puede pagar la wawa.

41


Hora

10:10

Participantes

Proesora


Observación

¿Maypitaq rantinkuma pukllanata? (¿Dónde se pueden comprar juguetes?)

Niña

Tiendapi. (En la tienda.)

Proesora

¿Tiendapi pukllayta munawaqchikchu? (¿Les gustaría jugar a la tienda?)

Niños

Ariiii (Sííííí...).

Proesora

La docente les muestra dos ob(Ahora, van a jugar a la tienda.) jetos: un carro y una lámpara, Tiendapin iskay pukllanakuna qhatukun, uk carro hinalltaq y los coloca sobre la mesa en 1 lámpara la que los niños van a jugar a (En la tienda se venden estos dos objetos: un carro y una la tienda. Kunanqa tiendapi pukllasunchik.

lámpara.)

Proesora

Iskay irqikuna qhatunqaku, Juanita hinallataq Johnny hamuychik, qamkunan kay iskay pukllanakunata qhatunkichik. Carrun walin chunka solis, lamparapis waklinchunka solis.

Los niños escuchan con atención y asumen los roles que se les asigna para jugar “a la tienda”.

¿Imatataq kay t’aqa rantiyta munam? ¿Carrotachu utaq lamparatachu?

La proesora se acerca a cada grupo para preguntar a sus integrantes cuál juguete quieren comprar y con qué monedas pueden pagar el juguete que compran.

(Dos niños son los vendedores. Vengan aquí Juanita y Johnny, ustedes son los que venderán estos dos juguetes. El carro cuesta diez nuevos soles y la lámpara también cuesta diez nuevos soles.)

Proesora

(¿Qué quiere comprar este grupo?, ¿el carro o la lám- para?)

En la pregunta la docente utiliza explícitamente el conectivo “o”.

10.30

42

Niños

Carruta.

Proesora

Hayk’ataq carruri walin?

Niños

Chunka.

(El carro.) (¿Cuánto cuesta el carro?) (Diez ...)


Hora

Participantes


Observación

¿Ima qullqiwantaq carruta pagankuma sichus 10 solis

La pregunta planteada por la dowalin chayri? cente estimula el pensamiento de (¿Con qué monedas pueden pagar los 10 soles que cues- los niños.Hay varios modos de resta el carro?). ponderla correctamente. Es decir, es una situación para resolver que no tiene una única solución.

10.40

Kay rapipi sapanka t’aqan ima puklantam rantiyta munan La proesora entrega un papelote chayta siq’inkichik, hinallataq ima qullqiwanmi rantinki- y plumones de colores a cada chik chaytapas, ¿allinchu? grupo.Luego hace el seguimien(En este papelote cada grupo va a dibujar el juguete que to y orienta a los niños a partir quiere comprar y también las monedas con las cuales van de preguntas, a fn de que realia pagar los 10 soles, ¿entendido?) cen la tarea que les ha indicado.

Proesora

¿Kay t’aqari imatataq rantiyta munan? ¿ carrutachu, lamparatachu?

(¿Este grupo qué quiere comprar?: ¿el carro?, ¿la lám- para?)

La proesora continúa preguntando separadamente a cada grupo sobre cuál juguete es el que quieren comprar y con qué monedas pueden pagar el juguete que compran. En la segunda pregunta el conectivo “o” está implícito.

Niños

Lamparata.

Proesora

¿Hayk’ataq lámpara walin nirqanchik? (¿Cuánto hemos dicho que cuesta la lámpara?)

La proesora dialoga con los niños y les orienta para que participen en la realización de la tarea asignada, que implica la respuesta a la pregunta sobre las monedas que utilizarán para comprar la lámpara de 10 nuevos soles.

Niño

Diez solis.

Uno de los niños responde en castellano.

(La lámpara.)

(Diez soles ...)

43


Hora

Participantes

Proesora


Observación

Ñachu rapipi, t’aqapi munasqaykichik pukllana rantisqa ykichikta siq’inkichikña, hinallataq qullqikunawan paganaykichik chunka solista ima?

La docente anima a los niños a realizar la tarea grupal que les propuso.Ella ayuda a cada grupo de niños a encontrar una solución a la situación problema que les planteó.

Runasimipi. (En quechua...)

Niño

Chunka solis. (Diez soles ...)

Proesora

(¿Ya han empezado a dibujar en el papelote el juguete que quiere comprar el grupo y también las monedas con las cuales van a pagar los 10 soles?)

11:25

Proesora

Tukunkichik chayqá, qhatapi k’askachinkichik, llapanchik qhawanachikpaq. Una vez que haya terminado, cada grupo pegue el papelote en la pared para que todos podamos ver.

La docente propicia la socialización de las respuestas que los niños encontraron grupalmente. Las respuestas de cada uno de los grupos ueron dadas en papelotes, tal como se muestra en las otos. Un grupo respondió, mediante el papelote, que pagaría el carro con una moneda de 5 soles, tres de 1 sol y una de 2 soles.

El otro grupo respondió en su papelote que pagaría la lámpara con tres monedas de 2 soles, dos monedas de1 sol y una moneda de 2 soles.

Los niños se mostraron un poco cansados. No ue posible que cada grupo de niños, a través de un representante, expusiera al resto la solución que encontró.

11.30

44

Los niños salieron a recreo.



Considerando las características de la PPM-EIB. al analizar la sesión se observa:

1. Programación, desarrollo y evaluación, articulados con el calendario comunal: Se constata que la programación y desarrollo curricular se enmarca en las actividades del calendario agroestivo de Patacancha, lo cual propicia la conexión de las matemáticas con otras áreas. Se toman en cuenta las costumbres de la comunidad en ese periodo de tiempo, y sus experiencias durante la festa de Todos los Santos. 2. Inclusión de la etnomatemática para el aprendizaje signifcativo: Se utilizan conceptos etnomatemáticos en la propia lengua (adición, números naturales). Los vocablos en proceso de estandarización propuestos en el diccionario de Matemática Yupa awa simi taqi 25 son utilizados: yapay (adición); iskay , kimsa , pichqa , chunka ; utaq (conectivo “o”); qullqi (moneda). En una de las preguntas el conectivo “o” está implícito. Se usa la expresión qayna punchaw (todo el día de ayer) de la etnomatemática propia, para ubicarse en el espacio tiempo.

3. Uso de la lengua originaria y el castellano como lenguas instrumentales: La lengua instrumental de enseñanza y aprendizaje es la lengua materna originaria de la mayoría de los niños: el quechua Cusco-Collao, lo que posibilita una comunicación uida entre docente y estudiantes. 4. Naturaleza lúdica: Se juega “a la tienda” y se realizan acciones de compra y venta de juguetes. Esto suscita interés en los niños. Así, se posibilita que los niños se amiliaricen con las monedas y su valor correspondiente. 5. Uso de material educativo diverso: Se utiliza material concreto no estructurado (la lámpara y el carrito), y estructurado (monedas de papel pegado en cartulina). 6. Desarrollo de capacidades para investigar: El juego de la tienda abre un espacio para que los niños puedan desarrollar su pensamiento numérico, al resolver problemas cuya solución implica el manejo de cantidades y la realización de operaciones. Tales problemas son creados por los mismos niños durante las relaciones de compra venta de artículos o productos di versos. En el caso observado se trata de la compra venta de dos juguetes. Por otro lado, la docente plantea una situación-problema abierta, es decir, que tiene varias soluciones posibles. No se dice a los niños que van a resolver un problema, aun cuando en la práctica eso es lo que hacen. A partir de la historia contextualizada sobre la compra de una wawa de pan, se ormula una pregunta que los niños deben responder: Antenorpa taytan chunka soliswan wawata rantin ¿Ima qullqiwantaq chunka solista pagakuman? (El papá de Antenor compró una wawa de 10 soles. ¿Con qué monedas puede pagar los diez soles?). 25 PROEDUCA-GTZ. Diccionario de Matemática: Yupa awa simi taqi. Lima: GTZ. 2004.

45


Los niños averiguan entre ellos cómo responder la pregunta ormulada y ensayan posibilidades de solución, manipulando las monedas de cartón que tienen disponibles. La docente observa y monitorea el trabajo de los niños. Les brinda apoyo cuando lo requieren. El problema planteado a los niños es de alto nivel de demanda cognitiva, en relación con las experiencias de aprendizaje que han tenido a la echa.

7. Orientación al logro de competencias: A través de las actividades desarrolladas los niños no solamente consolidan el aprendizaje de los primeros números y su signifcado; sino que aquellas también les permiten tener un soporte concreto para la construcción del concepto de adición de números naturales. Esto corresponde a la dimensión de construcción y manejo de conceptos etnomatemáticos y matemáticos. Asimismo desarrollan capacidades, principalmente de identifcación, ormulación y resolución de problemas numéricos en situaciones de la vida cotidiana. En el contexto de resolución de problemas, los niños también desarrollan capacidades de razonamiento y comunicación matemática, cuando contrastan y explican sus resultados, tanto oralmente como con el apoyo de representaciones gráfcas y simbólicas. Simultáneamente los niños desarrollan actitudes de respeto a las respuestas de sus pares, y de valoración de la etnomatemática propia al comunicarse en su lengua y utilizar conceptos que se manejan en su comunidad. Asimismo, se promueve el trabajo en equipo. Aprender a trabajar dialogando y respetando a los pares son objetivos muy importantes para la vida. En resumen, en la clase observada el trabajo se orienta tanto a la construcción y uso de conocimientos, como al desarrollo de capacidades y actitudes positivas de los niños.

3.4. Puntos

críticos en la aplicación de la PPM-EIB

Las reexiones y comentarios sobre cada una de las sesiones de clase presentadas ponen en evidencia que en las aulas de algunas instituciones educativas de EIB ya se han generado procesos innovadores, que diferen de la rutina no muy atractiva que generalmente se orecía en un gran porcentaje de aulas rurales. Asimismo, ello nos permiten tomar conciencia de que docentes y especialistas de EIB estamos aprendiendo, progresivamente, a reexionar sobre las prácticas que ejecutamos en nuestras clases de EIB con niños cuya lengua materna y cultura son originarias. El desaío es grande pues sabemos que alta mucho por investigar, para poder contribuir efcientemente a una transormación de la educación, en particular, para lograr una educación matemática de calidad de los niños de sociedades originarias. Estamos con vencidos de que el enoque intercultural y bilingüe ayuda a lograr un cambio de estructuras sociales que permita asegurar el desarrollo humano sostenible en nuestro país y en el mundo; pero solo haciendo sinergias podemos continuar avanzando, conjuntamente, para alcanzar tales propósitos en el menor plazo posible. 46


En esta línea debemos señalar que, además de los aspectos positivos, se han identifcado también los siguientes puntos críticos:

1) La creencia de que siempre hay que enseñar todo al estudiante, en particular, las estrategias de resolución de un problema. En las clases observadas hemos notado que hay una práctica docente arraigada: darle al estudiante una muestra de lo que quiere que aprenda. Ello pone en evidencia la creencia antes mencionada. Así por ejemplo, si se trata de la resolución de un problema, primero el docente trata de “enseñar” al niño la estrategia que debe utilizar para responder a la(s) pregunta(s) que se ormula(n), y luego pide que este la aplique para resolver un problema similar. Esta manera de proceder del docente limita el esuerzo que cada estudiante puede desplegar para responder a una pregunta, y genera el hábito de la espera y recepción pasiva de lo que el docente le puede orecer, difcultando así el desarrollo de su capacidad de iniciativa y potencialidad creativa. Es necesario superar tal creencia. El papel del docente en el área Matemáticas de EIB es, principalmente, provocar la necesidad de pensar, planteando una situación acorde con las posibilidades de respuesta del estudiante, es decir, considerando los conocimientos de este y dándole un tiempo prudencial para que busque y halle la solución cuando esta existe. Luego debe orientársele, sobre todo, si requiere apoyo. El desarrollo de la capacidad de resolución de problemas solamente se puede lograr si se da a los estudiantes la oportunidad de hallar la solución de problemas mediante la búsqueda, selección y/o elaboración de sus propias estrategias, así como la posibilidad de identifcar o ormular problemas.

2) Hay una tendencia en el docente a no cuidar lo sufciente la secuencia de las situaciones problemas que plantea a los estudiantes y, por tanto, a no considerar una graduación adecuada del nivel de difcultad de las mismas. En eecto, en una de las sesiones observadas y analizadas era notorio que no se había planteado anteriormente a los niños un número de problemas más sencillos, cuyos procesos de solución les hubiesen podido servir de base para resolver el problema planteado, sin necesidad de requerir de tanta ayuda de parte de la docente. La mayoría de preguntas planteadas a los niños en las sesiones anteriores, según la programación curricular correspondiente, eran del tipo “¿cuántos objetos hay?”; pero luego, sin haber logrado aún la preparación sufciente, se pidió a los niños que resol vieran un problema abierto que, por lo tanto, tenía más de una solución. Para que los estudiantes puedan lograr esto es necesario graduar la difcultad de las situaciones problemas que se les propone, en la lengua que ellos entienden.

3) Los niños de primer grado de EIB, casi al fnalizar el año escolar, aún no manejan automatismos básicos de la adición de números naturales cuya suma es menor o igual a 10.

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Automatismos tales como 2+3 = 5; 5+3 = 8 ó 6+4=10 deben ser adquiridos y consolidados mediante actividades atractivas para los niños, que hayan sido cuidadosamente seleccionadas con tal propósito. Por ejemplo, mediante juegos como los de las yupakartas26, previa construcción del concepto de adición en el contexto de resolución de situaciones problema.

4) Los niños de primer grado EIB, casi al fnalizar el año escolar, no han construido el signifcado del número diez y de las ciras que lo representan en el sistema de numeración decimal. 5) No hay la sufciente confanza sobre la potencialidad pedagógica de la etnomatemática en la propia lengua materna originaria de los niños. El análisis de los cuadernos de los estudiantes de primer grado nos permite confrmar que aún se pretende que los niños construyan conceptos matemáticos en una lengua que no dominan, a pesar de los bajos niveles de logro obtenidos a la echa. Esto evidencia que no hay claridad sufciente en el tratamiento de lenguas en lo que respecta al área Matemáticas. Es indudable que los niños deberán conocer también el sistema de numeración en castellano; pero es recomendable que este aprendizaje sea comprensivo, signifcativo y realizado de modo progresivo, en contextos de aprendizaje y desarrollo de competencias en castellano como segunda lengua.

6) Los docentes no tienen todavía la competencia proesional que requieren para brindar un servicio de calidad en la docencia del área Matemáticas, con estudiantes cuyas lenguas y culturas son originarias. Los docentes no han recibido ormación inicial en EIB. Necesitan de un sistema de ormación continua en EIB, que sea sostenido y descentralizado. Además, hacemos notar que una de las razones del relativo atraso que hemos constatado en Matemáticas en el primer grado EIB podría ser el escaso tiempo que en las secciones de primer grado de EIB observadas se asigna al desarrollo de competencias en el área Matemáticas. Esto se comprueba, en la práctica, en el análisis de las programaciones curriculares y de los cuadernos de los niños. Señalamos pues la necesidad de trabajar más tiempo con los niños de EIB, en particular, en el área Matemáticas. Esperamos continuar publicando documentos como el presente, que nos ayuden a analizar críticamente nuestra práctica pedagógica en Matemáticas, a fn de contribuir al mejoramiento de la calidad de la educación que los estudiantes de instituciones de EIB esperan obtener. Ello será posible si continuamos identifcando los puntos críticos que difcultan los procesos de aprendizaje de nuestros estudiantes y trabajamos conjuntamente para superarlos.

26 MINISTERIO DE EDUCACIÓN. DEIB. Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB. Lima: MINEDU. 2011, p. 121,

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Etnomatematicas y Sesiones BAJA[1]

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