ESTRUCTURA II Libro Teoria de Factores Comjpleto

TEORIA DE FACTORES - F -

2008 ESTRUCTURA II TEORIA DE FACTORES La solución de pórticos de varios pisos, en mallas rectangulares cerradas con columnas verticales y vigas horizontales sometidas a acciones horizontales aplicadas a los niveles de los dinteles, puede ser abordada por varios métodos. Si se aplican métodos exactos se pueden contar entre otros con el planteamiento de las ecuaciones de Maney, con las ecuaciones de equilibrios de momentos en cada nudo y los de equilibrio de fuerzas horizontales en cada piso, para formar el sistema que permite determinar los corrimientos un giro por cada uno y un desplazamiento lateral por piso también se puede acudir a el método ficticio en la que se calcularán tantas etapas de desplazamiento como pisos existan, dentro de los métodos aproximados se pueden mencionar método del pórtico simple, método del cantiliver método del factor y el método da Newton, el uso de los métodos exactos llevan a sistemas de ecuaciones cuyo orden aumenta con el numero de vanos y de pisos, y en el caso da apoyos ficticios a la repetición de muchos procesos idénticos de cálculos lo que los hace en varios casos difíciles da aplicar. Los métodos aproximados basados en cierta hipótesis más o menos valida y en la experiencia de sus creadores arrojan muchas veces resultados un tanto mayorados. Abarcaremos el concepto de PÓRTICO EQUIVLENTE, formado por un solo eje de columna, en la cual los desplazamientos laterales relativos de cada piso, sean iguales a los del pórtico real.

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ


2008 ΔAbsoluto

P1 P2

Δ2

Δ2

Δ2

P3

Δ1

Δ1

Δ1

Δ3

Δ3

Δ3

PÓRTICO EQUIVALENTE

PÓRTICO REAL

ΔAbsoluto

P1

Δ1

P2

Δ2

P3

Δ3

PÓRTICO REAL


Para poder transformar un pórtico en su equivalente en condición fundamental que las columnas de cada entrepiso tenga la misma altura. La teoría de factores fue planteada inicialmente per el investigador checoslovaco Klouce y complementada por el Ingeniero Alejandro Segovia, se va a aplicar esta teoría en la solución constante y altura igual. Los pórticos que obedecen a los principios de factores que están sometidos a la acción de cargas horizontales aplicadas a los niveles de los dinteles, los giros en los nudos de cada nivel son iguales entre si. Esta propiedad que es característica fundamental de este tipo de pórtico permite considerar que en los puntos medios de las vigas se produce un punto de inflexión de la elástica o articulación que permite pensar en algunas simplificaciones para su cálculo. Esta propiedad se ve confirmada con el hecho de que los momentos finales en los extremos de cada una de las vigas son de igual magnitud y signo.


2008 Todo lo anterior equivale a suponer loa diversos pórticos aislados que se pueden formar obteniéndose un pórtico equivalente, en la cual la rigidez a flexión de las columnas da cada entrepiso La rigidez da cada viga as la suma de las rigideces de las vigas de cada nivel del pórtico real multiplicada por "3" Si se denomina "V" a la suma da las rigideces KV, de la viga en cada nivel es entonces en el pórtico equivalente, la rigidez de cada viga es:

La carga horizontal que actúa a nivel de cualquier viga en el pórtico equivalente es la carga total correspondiente a ese nivel en el pórtico real.

P1

P1

P2

P2

P3

P3

3V1 ΣKc

ΣKc

3V2

3V3

ΣKc

PÓRTICO QUE OBEDECE A EL PRINCIPIO DE FACTORES


Todas la a propiedades del pórtico equivalente de uno que cumple el principio de factores, se basan en el principio de superposición de tal manera que es evidente el porque al valor de las rigideces de sus columnas. En cuanto a las rigideces de las vigas, si en el pórtico real, estas son de acción constante, es claro que al considerar antimetria por la igualdad de sus giros en sus extremos y superponer sus rigideces simplificadas, contribuye para la viga correspondiente del pórtico equivalente con los valores.


2008

Δ

P

Δ

Δ

Δ

L1/2 K1

Δ

Δ

L2/2 K2

L3/2 K3

L1

Δ

K4

L2

L3

Entre las simplificaciones se pueden hacer las siguientes: a) SIMPLIFICACIÓN DE PÓRTICOS 'USLADOS Es posible considerar pórticos aislados formados por una sola de las columnas del pórtico total y las vigas correspondientes simplificadas por antrimetrias. La rigidez K de la columna del pórtico aislado es la propia de asta en el pórtico real y las de las vigas con sus rigideces de antimetría. Kant = K+a la carga actuante a nivel de dinteles cada uno de estos pórticos es la parte de la carga total proporcional de la rigidez de la columna, por lo cual se puede determinar con la fórmula

--------En la que: = Carga horizontal actuante a nivel del dintel (de los dinteles) del pórtico real, = Carga en el pórtico aislado Suma de las rigideces del pórtico real en lo referente a las columnas P1

Kv1 + av1

K1

P2 2

Kv1 + av1

Kv2 + av2

K2

P3 2

Kv2 + av2

Kv3 + av3

K3

P4 2

Kv3 + av3

K4


2008 PORTICOS AISLADOS DE UNO TOTALQUE CUMPLE EL PRINCIPIO DE FACTORES El cálculo de los pórticos aislados puede hacerse aplicando el método C existiendo tres alternativas para la determinación de los momentos finales en los extremos de barra del pórtico real. a) Se calculan todos los pórticos aislados, determinándose los momentos en los extremos de columna y vigas que los componen, estos momentos son los finales en el pórtico real. b) Se calcula un solo pórtico aislado siendo suficiente determinar los giros, en los nudos respectivos y los valores de. Como el giro obtenido en cada nivel del pórtico aislado es igual para todos los nudos de ese nivel en el pórtico real y

en un valor único por cada piso, se pueden

calcular los momentos finales a partir de estos valores, con la sola aplicación de las ecuaciones de Maney. Si las vigas y columnas son de sección constante, se tiene; Momento en cualquier extremo de viga (

)

Momento en cabeza de columna Momento en díie ds columna En éstas dos ultimas expresiones: columna)

= giro únicos de los nudos del nivel superior (cabeza de

= giro único de los nudos del nivel inferior (pie de columna).

c) Luego de determinar los corrientes en un solo pórtico aislado, con los valores de obtenidos en cada nivel, se puede entrar en el pórtico real considerando que los momentos iniciales en cabeza y pie de columna son

en cada entrepiso. Como estos momentos

desequilibran los nudos del pórtico real.

CALCULO DEL FACTOR “F” “METODO APROXIMADO”

(

) * para pórticos no arriostrados


2008 Kv

Kc + a

Kv

Kv

Kc + a

Kc + a

Kc + a

Kc + a

Kc + a

PISO SUPERIOR

Kc + a

Kc + a Kv

Kc + a

Kv

Kv

Kc + a

Kc + a

Kc + a

Kc + a

Kc + a

PISO INTERMEDIO

Kc + a

Kc + a Kv

Kc

Kv

Kv

Kc

Kc

Kc

PISO BAJO Con los mismos principios planteados anteriormente se plantea la matriz con las siguientes características:

(

)

(

)


2008 El elemento de unión a la viga con las columnas por facilidad de principios y procedimiento de (

cálculo viene a hacer el desequilibrante

)

produce un efecto de esfuerzo y deformación

(

) .en cada nudo. Esto

en cada nudo.

Esta especie de deformación es el nexo de unión entre nudo y nudo y está determinado de la siguiente forma:

por tanto la formula quedara planteada de la siguiente forma:

(

(

)

)

FACTORES “F” EN ESTRUCTURAS SOMETIDAS A CARGAS HORIZONTALES El origen de los factores “F”, tiene lugar en el problema esquematizado en la siguiente figura, dado un pórtico de barra de sección constante, con columnas de igual altura y bajo una carga horizontal a nivel de las vigas, se investiga la posibilidad de formar un pórtico equivalente que, sometida a idéntica carga presenta el mismo desplazamiento horizontal ( )

S

Δ1

θ1

Δ2

Δ3 θ3

θ2

K1

K2

Δ4 θ4

Δ5 θ5

K4

K3

PORTICO REAL

Δ

Δ

θ

K5

PORTICO EQUIVALENTE

EL PORTICO EQUIVALENTE La solución se inicia con el estudio de una estructura como la de la figura superior con rigideces elegidas, para una primera tentativa, en la siguiente forma RIGIDEZ DEL DINTEL = RIGIDEZ DE LA COLUMNA =

(

)


2008 F.V

S

M´

S

F.V

S θ

θ

H

K1

H

c=

T M DEFORMACIONES RIGIDECES

MOMENTOS Y ESF. CORTANTE


De acuerdo a lo que hemos estudiado, los momentos están dados por:

Termino de desplazamiento =

Es necesario calcularlos, para luego obtener los momentos finales en los extremos de las barras. La comprobación del cálculo para las tres alternativas, consiste en probar que se cumple la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales en cada nivel.


2008 SEGUNDA SIMPLIFICACION DE CALCULO DE PORTICOS QUE CUMPLEN EL PRINCIPIO DE FACTORES EL PORTICO EQUIVALENTE La segunda posibilidad de cálculo basada en la propiedad de los pórticos que cumplen el principio de factores sometidos a acciones horizontales aplicadas a los niveles de los dinteles, es la mas importante y la que lleva a la formación del pórtico equivalente. Debido al punto de inflexión que se produce en la mitad de la viga del pórtico real se puede doblar a este a manera de biombo, hasta hacer coincidirá todas sus columnas en un solo eje y a las vigas en una simplificación por antimetría. Kv3 Articulación

Kv2 K3

Kv1

P 1

1.5Kv

K4

K1

K2

P 3 ΣKv

1.5Kv

K2

K3

K4

1

Viga

ΣKc

Simple. Apoyada

K1 PÓRTICO EQUIVALENTE

DOBLAJE

PÓRTICO

PORTICO DE UN PISO QUE CUMPLE EL PRINCIPIO DE FACTORES DOBLADO A MANERA DE BIOMBO

P1

3 ΣKvS

1

Kv3 Kv2 Kv1

P1

K1

P2

K2

θ1

θ2

Kv4

θ2

Kv5

K

θ1

K3

θ2

θ2

θ1 22 4

Kv6

θ2

1.5Kv

ΣKcS I

1.5Kv

1.5Kv

1.5Kv

P2

3 ΣKvI

K8

K7

ΣKcI I

K6

K5 PÓRTICO

DOBLAJE


PORTICO DE MAS DE UN PISO QUE CUMPLE EL PRINCIPIO DE FACTORES DOBLADO A LA MANERA DE BIOMBO


2008 Como se puede ver un pórtico equivalente tiene en general todas las características de una torre recta y simétrica, simplificada por antimetria y en consecuencia para calcularlo se puede aplicar el método “C”. PARA VIGAS:

PARA COLUMNAS:

Como en el pórtico equivalente no existen cargas en los claros,

los momentos de

empotramientos perfectos en vigas y columnas son cero, por lo que para este, las ecuaciones quedan: EN VIGAS:

EN COLUMNAS:

(

)

Adicionalmente el término por desplazamiento queda. Debido a la propiedad fundamental de un pórtico que cumple el principio de factores sometidos a carga horizontal aplicada a nivel de los dinteles y a las características y modos de formación de su equivalente, los corrimientos obtenidos en este, un giro “B” en cada nudo y un giro por desplazamiento ” “.


2008 Para cada entrepiso, son iguales a los correspondientes corrimientos del pórtico real. Esta característica puede observarse al resolver un ejemplo. Luego de calcular los momentos finales en los extremos de vigas y columnas del pórtico equivalente se pueden determinar los momentos en los extremos de barras del pórtico real por simple proporcionalidad

. METODO “C”

INTRODUCCION Desarrollado inicialmente para dar solución a torres rectas y simétricas de un tramo, el método “C” se ha constituido en una de las contribuciones más importantes para analizar diversos tipos de pórticos sometidos a la acción de cargas horizontales. El enunciado anterior es muy amplio, abarcando la solución de las mencionadas torres, vigas vierendell, pórticos articulados con columnas , pórticos con diafragma, estructura con torsión en planta, análisis de vibraciones en edificios, etc. ECUACION DE EQUILIBRIO DE FUERZAS HORIZONTALES HIPOTESIS Se va a deducir la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales para pórticos que se cumplen las siguientes condiciones: 1. Las barras son de ejes rectos y pueden ser sección variable. 2. Las columnas deben ser verticales. 3. Las vigas pueden ser horizontales o inclinadas. 4. El tipo de sustentación en las columnas en las bases de pórtico o entre piso pueda ser cualquiera. 5. No se consideran deformaciones axiales.


2008 Δ4

Δ3

Δ2

Δ1

DEDUCCION En un pórtico como en el de la figura, si se aplica la ecuación de los 5 giros con desplazamiento se obtiene un sistema incompleto de ecuaciones que no permiten resolver el problema, pues existen los desplazamientos laterales uno por piso. Para poder completar el sistema es necesario plantear una ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales por nivel.

P

ΣQ

⤻ H1

L

⤻ H2

⤻

⤻

H3

H4

⤻ H5

CUERPO LIBRE DE TRES PISOS AISLADOS

Aislando los tres pisos superiores cortando en dos píes las columnas correspondientes, definiendo:


2008 P= Suma de todas las componentes horizontales de las fuerzas que actúan en y sobre el nivel del entrepiso considerado de izquierda a derecha. EQ= Resultante de las componentes horizontales de las fuerzas que actúan en las columnas del entrepiso considerado, positiva de izquierda a derecha y planteando la condición estática de equilibrio de fuerzas horizontales se tiene: En el cual H’ son los cortes de los pies de las columnas u “n” el numero total de las columnas, H’ es positivo de izquierda a derecha. Aislando las columnas bajo el entrepiso considerado, y analizando una representativa, se tiene que H’ es:

∑

M

↶

Δ

H

θ

Q L

⤻

M’

Componente y isostática de

θ´

H´

y M y M’ los momentos en cabeza de pie de columna aislada,

aplicando Maney para los momentos mM y M’ en función de los corrimientos existentes se tiene:

En la que

es el desplazamiento relativo entre cabeza y pie y los cuales reemplazada en la

ecuación, luego se agrupan términos semejantes indican que:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)


2008 Luego, con las ecuaciones de las rigideces b y b’ y t se tiene:

Formula en la cual:

Corte de empotramiento perfecto en el pie de la columna, positivo de derecha a izquierda, reemplazando en la ecuación general de corte en los pies de las columnas y separando los términos de la sumatoria se tiene:

∑

)

∑(

∑

Definiendo:

Suma de las rigideces a corte de las columnas o corte total de piso bajo el entrepiso considerado. Suprimiendo por facilidad los subíndices y colocando todos los términos calculables en el miembro izquierdo se tiene que:

(

)

(

)

(

)


2008 En cualquier columna se cumple que: M

↶

H

Q

Luego:

H´

⤻

M’

(

Positivo de derecha a izquierda

) (

definiendo )

Puede quedar así: Que es la ecuación general de equilibrio de fuerzas horizontales, de la cual despejando se obtiene que: (

)

Que será la expresión de la mencionada ecuación que siempre se utilizará consideraciones sobre la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales se va a analizar la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales en forma rápida, ya que se vio en el año anterior.

En la determinación del corte se deberá tener muy en cuenta la significación y signos de sus componentes. a.-

F= resultante de las fuerzas horizontales actuantes en Y sobre el dintel del entrepiso

considerado, positivo de izquierda a derecha. HF= sumatoria de los cortes de empotramientos perfectos en las cabezas de las columnas, es positiva de derecha a izquierda. Para cada columna, considerando que los momentos de empotramientos perfectos son anti horarios HF se calculará con la conocida formula:


2008

En la que H0 es el corte isostático en la cabeza de las columna y L su longitud. Los términos (

)

se aplican por si mismos.

El análisis de las condiciones de sustentación de las columnas indica que todos los casos son particulares.

SOLUCION DE PORTICOS DE VARIOS PISOS CON CARGAS HORIZONTALES APLICADAS A LOS NIVELES DE LOS DINTELES.- AJUSTES POR ESFUERZOS CORTANTES.METODOLOGÍA DE LA SOLUCION INTRODUCCION EN EL PORTICO REAL luego de asumir o determinar por cualquiera de los métodos “F”, es decir, para pórticos que no obedecen al principio de factores, este factor “F” de cada nivel de un pórtico de varios pisos, se procede a la formación de un pórtico equivalente, recordando que a nivel de cualquier viga de éste, actúa la carga horizontal exterior aplicada en el dintel correspondiente del pórtico real y que las rigideces a flexión de sus elementos están dadas por las formulas: PARA LAS COLUMNAS PARA LAS VIGAS Para luego calcularlo, determinando los giros θ en sus nudos, aplicando el método “C” y los giros por desplazamiento δ, en base de la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales para estructuras con columnas de sección que en este caso toma la forma de:


2008 (

)

Estos corrimientos en el pórtico equivalente no son los exactos del pórtico real, así los giros de cada nivel son una especie de promedio los que se produce en el pórtico real en ese nivel y lo son muy cercanos a los del respectivo entrepiso.

P1

P1

P2

P2

P3

P3

F1V1 Kc 1

Kc

F2V2

F3V3

F1V1 c1

c2

2

Kc 3

F2V2

θ

δ

θ1

δ1

θ2

δ2

θ3

δ3

F3V3

c3

En todos los δ (términos de desplazamientos obteniendo para cada entrepiso se pasa al pórtico real introduciendo los momentos) iniciales por desplazamiento k δ en cabeza y pie de columna para luego determinar los giros en los nudos la influencia de k δ produce un momento y a la vez es el desequilibrante del pórtico real y finalmente establecer los valores de los momentos por segunda etapa que es exacta. AJUSTE POR CORTANTE Como para los pórticos que se analizan, los factores "F" que se analizan con buen criterio, o calculados con la fórmula analítica, no son los exactos para cumplir totalmente con los objetivos básicos del pórtico equivalente δ = δ, aunque si tienen una buena aproximación, se hace necesario un ajuste por esfuerzos cortante para que se cumpla con la aprobación final del equilibrio de fuerzas horizontales en cada entrepiso. Esta corrección se basa en las siguientes premisas: 1. A pesar de la aceptable aproximación que se puede conseguir para "F" los giros por desplazamientos del pórtico equivalente, no son iguales aunque si cercanos a los correspondientes del pórtico real, y en consecuencia los momentos calculados en los extremos


2008 de las barras debido a la introducción de los Kδ lleva un pequeño error al tratar de comprobar la condición de equilibrio de fuerzas horizontales, en cada piso ya no se cumple que el valor de "S" de cada entrepiso sea igual a suma de los cortes a los pies de cada columna. 2. Para que se cumpla la igualdad requerida se debe introducir en el miembro de derecha, un factor de multiplicación "f”, de tal manera que:

Como para pórticos en mallas rectangulares con cargas horizontales aplicadas a los niveles de los dinteles, en cualquier columna de un entrepiso dado, en el piso de la columna responde a la ecuación.

En la que para este caso Mc y Mc' son los momentos en su cabeza y pie respectivamente producido por los momentos iniciales kδ, y L su altura, la ecuación queda:

(

)

Debido a que L es constante para las columnas de cada entrepiso y dejando “f” se tiene:

(

)

Con este factor de corrección "f” se debe hacer el ajuste de los momentos Mc y Mc' de cada columna del entrepiso para el cual se lo determina que los momentos finales en sus cabezas y pie se calcularan con las ecuaciones:


2008 TORRES RECTAS Y SIMETRICAS CON VARRAS DE SECCION VARIABLE

CL

L/2

L/2

HIPOTESIS Se van a estudiar torres rectas, con barras de sección variables como la del ejemplo en la que se cumplen las siguientes condiciones: 1. Son de un solo vano 2. Debe existir simétrica de estructura 3. Los pies de las columnas inferiores están empotrados 4. El estado de carga puede ser cualquiera Para resolver este tipo de pórticos, aplicamos el principio de superposición y además se divide el cálculo en dos etapas. a. Estado de carga simétrica b. Estado de carga Antimétrica Se debe tener en cuenta que la aplicación del factor de ajuste por cortante " ”, es aceptable desde el punto de vista del diseño cuando el error que se produce en la comprobación inicial del equilibrio de fuerzas horizontales varía en un ± 10%, vale decir, cuando " ” toma valores


2008 comprendido entre 9 y 1.10, siendo evidente que cuando " ” toma el valor de "1" arroja valores menores que 0.9 o mayores que 1.10 se debe acudir a métodos iterativos. Para tener una idea adicional de la exactitud del procedimiento utilizando es a veces conveniente calcular el valor del giro por desplazamiento que se produce en cada entrepiso del pórtico real por efecto de los momentos iniciales, y luego compararlos con los correspondientes del pórtico equivalente, por esto se aplicará la ecuación: (

)

En general para pórticos comunes la aplicación del método descrito basada en la formación del pórtico equivalente lleva a soluciones muy satisfactorias y no es necesario recurrir a los métodos iterativos. AJUSTE DE LOS MOMENTOS EN VIGAS Es evidente que al hacer el ajuste de los momentos de las columnas se producen pequeños desequilibrios en los nudos del pórtico real, para conseguir el equilibrio final de cualquier nudo debe corregir los momentos en los extremos de vigas que llegan a él. Mediante una distribución proporcional a los momentos obtenidos en dichos extremos por la introducción del pequeño desequilibrio inducido.

(

)

(

)


2008 P1/2

P1/2

P1/2

P1/2 CL

CL P3/2

P2/2

P3/2

P2/2

P3/2

P2/2

P3/2

P2/2

P/2

P/2

P/2

ESTADO SIMÉTRICO La solución de este estado puede abordar considerando únicamente la mitad del pórtico, asumiendo para los elementos horizontales de la vida virtual de simetría Kv = K - a. Dada la simetría de carga y de estructura no existen desplazamientos transversales desconocidos y los giros de los nudos de izquierda son iguales en magnitud pero de signo contrario a los correspondientes nudos de la derecha resolviendo la cadena abierta se determina los giros en el pórtico simplificado y aplicando las ecuaciones de Maney los momentos en los extremos de las barras. ESTADO ANTIMETRICO - MÉTODO C Se analizará a este estado utilizando también el correspondiente pórtico simplificando, en el cual la rigideces de las vigas son las rigideces virtuales, de antimétrica dada por la ecuación Ka = K+a.


2008 Debido a la antimetría de carga, son incógnitas del problema un giro por nudo, y un desplazamiento lateral por piso, y en consecuencia las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para solucionar el problema. Con lo métodos comunes de cálculo será necesario plantear adicionalmente una ecuación dt equilibrio de fuerzas horizontales por cada piso, para obtener un sistema de ecuaciones completo, o en efecto aplicar el método de apoyos ficticios, con los cuales los estados c analizarse se aumentan. El objeto del presente estudio es obtener las ecuaciones de los momentos finales en los extremos de barras del pórtico simplificado, calculándolo una sola vez para lo cual es necesario considerar simultáneamente en cada entrepiso, las correspondientes ecuaciones de equilibrio y de fuerzas horizontales; lo que da origen al método "C". Aislando una columna cualquiera del pórtico simplificado, se tiene que las expresiones finales de los momentos en los extremos de barra, aplicando, las ecuaciones de Maney.

La expresión final de desplazamiento

, está dado por la ecuación genial de equilibrio de

fuerzas horizontales particularizadas para este caso, pues en el pórtico simplificado cada entrepiso está constituido por una sola columna, y en consecuencia.


2008 Reemplazando y agrupan términos semejantes, las expresiones finales de los momentos en los extremos de las columnas se transforman en:

(

(

)

(

)

(

)

)

Dimensionalmente se tiene que los factores

[ ]

(

)

(

)

tienen unidades de longitud:

* +

[

]

Y en consecuencia los términos bS’/t y b’S/t tienen unidades de momentos

[

]

*

+

Los otros factores que intervienen tienen unidades de momentos, y son iguales entre si, pues recordando expresiones:

(

)

[(

)

(

)]


2008 (

(

)

)

[(

[(

)

(

)]

(

)]

Que son las expresiones finales de los momentos en cabeza y pie de una columna, del pórtico simplificado correspondiente a una torre simétrica con carga antimétrica, para la correcta aplicación de estas ecuaciones conviene tener muy presente la definición de “S”

P = Es la suma de todas las fuerzas horizontales que actúan en y sobre el dintel del entrepiso considerado positivo de izquierda a derecha. HF = Es el corte de empotramiento perfecto en la cabeza de la columna positiva de derecha a izquierda. Debe notarse que con las ecuaciones del método "C" se vana reducir a la mitad, el número de incógnitas a determinarse en la solución de torres rectas y simétricas con cargas antimétrica, pues el desplazamiento " " de cada entrepiso, ha sido sustituido por su expresión correspondiente en función de las cargas horizontales que actúan sobre la estructura, que son datos del problema, y los giros finales θ y θ' en cabeza y pie de columna. Si se compara las ecuaciones del método "C" con las ecuaciones completa de Maney se puede notar que su forma es similar, con las circunstancias de que en las del método "C" no aparecen


2008 los términos de desplazamientos existen analogías evidentes entre los dos tipos de ecuaciones, las que se encuentran resumidas en el siguiente cuadro.

ANALOGÍA ENTRE LAS ECUACIONES DE MANEY Y LAS ECUACIONES DEL METODO “C” Solución de torres rectas y simétricas con cargas antimetricas, aplicando las ecuaciones del método “C” Aislando un nudo cualquiera de un pórtico simplificado, tenemos la siguiente nomenclatura: M’S = momento en el pie de la columna superior, que concurre al nudo aislado MI = momento en la cabeza de la columna inferior Mv = momento de viga Y estableciendo la ecuación de equilibrio de momento en el nudo se tiene que:


2008 En función de los efectos de las cargas exteriores, de los giros superior (OS) inferior (OI)y del giro propio, los momentos en los extremos de barras que intervienen en esta ecuación de equilibrio del nudo aislado tienen la forma:

Que se obtienen aplicando para los extremos de columnas las ecuaciones del método “C” para las vigas las ecuaciones de Maney correspondiente a este caso. Reemplazando estas ecuaciones, y agrupando términos semejantes, y denominando

Características del nudo inicial (

)

Desequilibrio inicial del nudo se tiene:

Que es la ecuación de los tres giros, del método 2c2 que sugiere la posibilidad la aplicación de la cadena abierta, que conducirá a un sistema tridiagonal de ecuaciones simétricas, en que las constantes de transmisión son (-). METODOLOGÍA DÉLA SOLUCIÓN Debemos aplicar la cadena abierta para la solución de torres rectas y simétricas con antimétrica aplicando el método "C", el análisis se reduce a la confección de las planillas de rigideces y de


2008 cálculo, para lo cual es necesario conocer previamente las rigideces y los momentos iníciales en los extremos de cada barra del pórtico simplificado: De acuerdo a esto se sugiere la siguiente metodología ordenada:

CALCULO DE RIGIDECES Para cada viga de la torre, se calcularán las rigideces a flexión K y a, y para el pórtico simplificado de rigidez virtual de antimetria. Kant = K + a para cada columna del pórtico simplificado se calcularán las rigideces a flexión y empuje b y b', y la rigidez a corte t, vale recordar que:

Con estos valores se determinarán las rigieses del método "C".

PLANILLA DE RIGIDECES Con los datos del paso anterior se calculará la planilla de rigideces, de la cadena abierta en vertical del pórtico simplificado se tendrá presente que la característica inicial en cualquier nudo responde a la ecuación.

Y que en todos los casos la constante de transmisión es (-C)

cS K+a

A=

cI


2008 CALCULO DE MOMENTOS INICIALES EN EXTREMO DE BARRA Para las vigas del pórtico simplificado se determinaran los momentos de empotramiento perfecto Mfv se debe tener en cuenta que este momento inicial debe ser calculadopara la viga total de la torre. Para las columnas deberán determinarse previamente los cortes “S” de cada entrepiso

Con estos valores se calcularan iniciales en cabeza y pie de columna:

PLANILLA DE CALCULO Es similar a la cadena abierta de un piso, pero calculada en sentido vertical. En esta planiolla se anotaran los momentos iniciales, los desequilibrantes de cada nudo.

Para luego calcular los giros y por último determinar los momentos en los extremos de barra. Durante el cálculo se tendrá mucho cuidado en los signos de la constante de barra. Durante el cálculo se tendrá mucho cuidado en los signos de la constante de transmisión (-C), en algunas ocasiones es conveniente calcular el valor del desplazamiento relativo de cada entrepiso. Una vez determinado los momentos finales en los extremos de las barras del pórtico simplificado, se conocen ya de toda la torre pues por las simetría de estructura y la antimetria de carga en la parte no analizada, se producen momentos iguales en magnitud y signos a los de la parte analizada.


2008 COMPROBACIÓN Se debe cumplir la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales en cada entrepiso, para esto basta calcular los cortes en los pies de las columnas, el cual debe ser igual en magnitud pero de signo contrario a la suma de fuerzas horizontales actuantes sobre el nivel considerado y sobre sus respectivas columnas. TORRES RECTAS Y SIMÉTRICAS CON CARGAS ANTIMETRICAS CON COLUMNAS INFERIORES ARTICULADAS EN LA BASE En este caso se modifica la forma de calcular los momentos finales en la cabeza de la columna inferior, manteniéndose para el resto del pórtico características similares a las analizadas anteriormente y en consecuencia la forma de aplicar el método "C". La expresión del momento final en la cabeza de la columna inferior está dada por la ecuación:

La que en este caso "θ" es el giro en el nudo inferior del pórtico simplificado y el desplazamiento transversal relativo entre los extremos de la columna. La ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales, toma en este caso:

Reemplazando esta expresión en la ecuación del momento en la cabeza de la columna considerada, y agrupando términos semejantes se tiene:

( El factor que multiplica al giro es cero pues:

)


2008 Lo que se obtiene partiendo de las identidades y para barra apoyada empotrada:

Con lo que queda: m = mf + SLEn consecuencia si los pies de la columna inferior de una torre recta y simétrica, con carga antimétrica están simplemente apoyadas el momento en la cabeza de la columna inferior en el pórtico simplificado en un momento isostático, es evidente que en este caso, para la aplicación del método "C" no interviene la rigidez de la columna inferior, con esta característica, el cálculo del resto del pórtico simplificado se hace en la forma conocida. TORRES RECTAS Y SIMÉTRICAS CON COLUMNAS DE SECCIÓN CONSTANTES, SOMETIDO A UN ESTADO ANTIMETR1CO DE CARGA GENERALIDADES. El análisis de este tipo de torres está incluido dentro del caso general de torres rectas y simétricas. Dada su enorme aplicación en la solución de problemas más complejos, como en el caso de pórticos de varios vanos sometidos a la acción de cargas horizontales se va a profundizar su estudio. ECUACION DE EQUILIBRIO DE FUERZAS HORIZONTALES PARA PORTICOS CON COLUMNAS DE ACCION CONSTANTE Para barras de sección constante se sabe que:

⁄


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Con las cuales las ecuaciones de Maney, para los momentos en los extremos de barra quedan:

En la ecuación general de equilibrio de fuerzas horizontales

∑ (

)

Relacionadas con lo anterior y levando a barras de sección constante la ecuación queda:

(

∑

)

∑

Si todas las columnas de entrepiso tienen la misma altura, se tiene:

∑

(

)

∑

∑

Sumatoria de las rigideces a flexión de las columnas de entrepiso.

∑

(

)

De la cual despeando (

)

Que es una expresión de enorme utilidad en el análisis de pórticos de vanos y pisos, con columnas de sección constantes sometidos a las cargas horizontales, únicamente cuando la


2008 altura de todas las columnas del entrepiso considerado sea la misma; caso contrario se aplicara la formula:

∑

(

)

∑

SOLUCION DE TORRES RECTAS Y SIMETRICAS CON COLUMNAS DE SECCION CONSTANTE SOMETIDA A UN ESTADO ANTIMETRICO DE CARGAS, FORMA PARTICULAR DEL METODO “C” Para el análisis de una torre de este tipo, se calculo también el pórtico simplificado Las ecuaciones del método “C” para este caso se pueden deducir, siguiendo los pasos similares anteriores, tenemos el término de desplazamiento

(

)

En esta parte se van a deducir las mencionadas ecuaciones anteriores, a partir del caso general:

En lo que:

(

Sección constante

)

(

)


2008 ⁄

Con lo que:

(

)

(

)

Aunque la aplicación practica seguirá conservándose la forma general, se recordara siempre que para las columnas de secciones constantes.

si también las vigas de las torres son de sección constantes, vale recordar que:

La metodología de la solución es idéntica a la explicada anteriormente, aunque en el calculo de las rigideces no se necesita determinar b y b’ y t y en el de los momentos iniciales basta recordar que en la cabeza y pie de columnas, y alos momentos de empotramiento perfecto se le sumara el termino

⁄ . para él, calculamos de términos de desplazamientos se aplicara:

(

)

Si los pies de klas columnas inferiores, están simplemente apoyadas, el momento en la cabeza de la columna correspondiente, es un momento isostático dado por la ecuación


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MÉTODO DE APOYO FICTICIO Junto con el método de análisis Matricial, el de apoyo ficticio es el más general y exacto en la resolución de pórticos que sufren desplazamientos verticales y horizontales, estos pórticos pueden ser regulares e irregulares con cualquier tipo de carga. Debido a las cargas aplicadas, los elementos como vigas y columnas se deforman, debido a que las deformaciones son relativamente pequeñas se pueden aplicar la superposición de efectos, así la resolución de pórticos se hace en N+1 etapas siendo N el número de desplazamiento o grados de libertad, y la "1" es la etapa debido a la carga estática ó la carga sísmica. En cada etapa de cálculo se obtiene giros, momentos y cortes, en general efectos de influencia los cuales serán superpuestos para obtener el efecto total y si se mantienen las mismas hipótesis el cálculo de pórticos planos son en general muy exacto. Para realizar el cálculo lo hacemos en etapas, liberando un apoyo ficticio a la vez y calculamos los efectos de influencia, giros y momentos debido a un desplazamiento unitario, luego determinamos las reacciones de apoyos ficticios, en estas etapas el desequilibrante es la rigidez a corte de los elementos que se desplazan.


2008 ETAPA I.- Doy un desplazamiento unitario en el primer nivel " " = 1 mientras que en los demás niveles no se desplazan, el desplazamiento es positivo si es horario y es negativa si es antihorario. Se considera un desplazamiento en cada nivel de viga o ejes de columnas, despreciando las deformaciones axiales de dichos elementos por ser muy pequeñas. PROCESO DE CALCULO ETAPA CERO.- Calculamos el pórtico sometido a la carga "p" sin desplazamiento, para esto se somete al pórtico a una inmovilización total, y así no se desplaza, en caso de carga sísmica. Las fuerzas aplicadas a nivel de Dintel, los efectos de influencia son cero debido a que estas fuerzas aplicadas en los nudos no producen momento de empotramiento, por lo tanto las reacciones de apoyo ficticio de la etapa cero son iguales a las fuerzas sísmicas aplicadas a nivel de dintel. ETAPA 2.- Doy un desplazamiento unitario en el segundo nivel, mientras que los demás niveles no se desplazan = 1 se calculan giros momentos y cortes y reacciones de influencia, este proceso de repite, hasta llegar a el último piso, una vez terminado el proceso volvemos a el pórtico original, para el cual calculamos los efectos totales realizando la superposición. Una vez encontrados todas las reacciones, deben de cumplirse los teoremas de Betty - Maxwell o los teoremas de reciprocidad, encontrando los verdaderos desplazamientos para afectarlos por la etapa correspondiente y serán los momentos finales aunque también puede ser los giros finales.


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ESTRUCTURA II Libro Teoria de Factores Comjpleto

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