ESTADÍSTICA UNPRG
PARA INGENIEROS
PÁGINA 33 – EJERCICIO 13
Las notas de un examen parcias de matemática dieron la siguiente distribución de frecuencias: a) Completar la distribución. b) Graficar la ojiva de porcentajes. c) Que porcentajes de las notas se encuentran aproximadamente en el intervalo [8,14]. Intervalo [
Marca de clase
Frecuencia Relativa 0.15
Frec. Relativa Acumulada
,
[
[6 ,
[
0.45
[
,
[
0.70
[
,
[
[
,
[
13.5 0.10
Solución: a)
Intervalo
6 + 2A + 6 + 3A = 27 A=3
Frecuencia Relativa 0.15
Frec. Relativa Acumulada 0.15
[ 6-A , 6 ]
[3 , 6 [
Marca de clase 4.5
[6 , 9 [
7.5
0.30
0.45
[ 6 , 6+A[
[ 9 , 12 [
10.5
0.25
0.70
[6+A , 6+2A[
[ 12 , 15 [
13.5
0.20
0.90
[6+2A , 6+3A[
[ 15 , 18 [
16.5
0.10
1
ING. CIVIL 1
ESTADÍSTICA UNPRG
PARA INGENIEROS
b)
c)
=x +0.25+ y =
( 9−8 ) ( 14−2 ) x 0.30+ 0.25+ x 0.20 3 3
=0.483
ING. CIVIL 2
ESTADÍSTICA UNPRG
PARA INGENIEROS
EJERCICIO: 18 Los ingresos mensuales de una muestra de pequeños comerciantes se tabularon en una distribución de frecuencias simétrica de 5 intervalos de igual amplitud resultando: Ingreso mínimo $ 125, marca de clase del cuarto intervalo m 4 = $ 300. Si el 8% de los ingresos son menores que $ 165 y el 70% de los ingresos son menores a $275. ¿Qué porcentajes de ingresos son superiores a $285? Solución: INTERVALOS
xi
300
hi
Hi
h1 h2
h1 h1 + h 2
h3
h1 + h 2 + h 3
h2
[125 125+A[ [125+A 125+2A[ [125+2A 125+3A[ [125+3A 125+4A]
h1
P8 <165
P70=275
(
P8=165=125+
0.08−H K −1 ❑ A H K −H K −1
)
❑ 0.08 x 50 h1
( )
40=
P870 =275=225+
(
0.7−h1−h 2 ❑ A h3
❑ 0.6−h2 50= x 50 h3
(
)
2 h1+ 2h 2+ h3=1 2 h2+ h3=0.8 −h2−h3 =−0.6
ING. CIVIL 3
h3=0.40
)
ESTADÍSTICA UNPRG
PARA INGENIEROS
INTERVALOS
xi
hi
Hi
[125 175[
150
0.10
0.10
[175 225[
200
0.20
0.30
[225 275[
250
0.40
0.70
[275 325[
300
0.20
0.90
[325 375]
350
0.10
1
¿285
=x+ 0.10
¿285
=0.10+
( 325−285 ) x 0.20 50 ¿285
=0.26 Rpta.
ING. CIVIL 4
ESTADÍSTICA UNPRG
PARA INGENIEROS
EJERCICIO: 22 El tiempo (en horas) de 120 familias que utilizan su computadora se tabularon en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de amplitud iguales a 4, siendo el tiempo mínimo de uso 2 horas, la primera y segunda frecuencias son iguales al 10% y 15% del total de casas respectivamente. Si el 73.75% de las familias lo usaron menos de 17 horas, y el 85% menos de 19 horas, determinar las frecuencias. Solución: INTERVALO
Xi
fi
hi
Hi
[2
6[
4
12
0.10
0.10
[6
10[
8
18
0.15
0.25
[10 14[
12
h3
0.25 +
h3
[14 18[
16
h4
0.25 +
h3
+ h4 [18 22[
h5
20 120
1
1
A=4
P85< 19 P73.75<17
0.85−0.25−h 3−h 4 ❑ P85=19=18+ 4 1−0.25−h3 −h4
(
0.25=
(
)
0.6−h3−h 4 x 50 0.75−h3−h 4
)
P73.75=17=14+
❑
(
0.7375−0.25−h3 ❑ 4 h4
)
h3 +0.75 h 4=0.4875 h3=0.30 h4 =0.25
INTERVAL O [2 6[ [6
ING. CIVIL 5
10[
Xi
fi
hi
Hi
4
12
0.10
0.10
8
18
0.15
0.25
ESTADÍSTICA UNPRG
PARA INGENIEROS
[10 14[
12
36
0.30
0.55
[14 18[
16
30
0.25
0.80
[18 22[
20
24
0.20
1
120
1
PÁGINA 56 – EJERCICIO: 10 En tres grupos distintos de 100 000; 90 000 y 20 000 personas, el porcentaje de personas con educación superior es 21%, 42% y 40% respectivamente. Calcular el porcentaje promedio de personas con educación superior. Solución: Grupo de Personas Porcentaje con educación superior
100 000
90 000
20 000
0.21
0.42
0.40
Total de personas = 210 000
Promedio Ponderado=
100 000 ( 0.21 )+ 90 000 ( 0.42 )+ 20 000(0.40) 210 000
PP=0.318 Respuesta: El porcentaje promedio de personas con educación superior es de 31.8%
EJERCICIO: 11 En un informe (que se supone es correcto) sobre sueldos en todo el país, una empresa de estudios de mercado publica la siguiente tabla:
% de Población Sueldos
CLASE “A”
CLASE “B”
CLASE “C”
CLASE “E”
10%
25%
35%
30%
$ 2500
$ 1500
$500
$200
Y concluye diciendo que “La media de los sueldos en todo el país es de $ 1175”
ING. CIVIL 6
ESTADÍSTICA UNPRG
PARA INGENIEROS
a) ¿Qué comentario le merece el informe? Si no está de acuerdo, ¿Cuál sería la corrección? b) ¿es la media en este caso el promedio representativo? Si no está de acuerdo ¿Cuánto es el promedio adecuado? Solución: = (0.1)2500+(0.25)1500+(0.35)500+(0.30)200 = 860 La media de los sueldos es $ 860 y no $ 1175. a)
b)
Clase
A
B
C
E
hi
0.10
0.25
0.35
0.30
Sueldo s
2500
1500
500
200
= $ 500
EJERCICIO: 12 De una central telefónica salieron 70 llamadas de menos de 3 minutos promediando 2.3 minutos, 40 llamadas de menos de 10 minutos pero no menos de 3 minutos, promediando 6.4minutos, y 10 llamadas de al menos 10 minutos promediando 15 minutos. Calcule la dirección promedio de todas las llamadas.
INTERVALOS
xi
fi
[1.6 3[ [3 9.8[ [10 20[
2.3 6.4 15
70 40 10 120
=
¿
( 2.3 ) 70+ ( 6.4 ) 40+15(10) 120
4.725
ING. CIVIL 7
=
ESTADÍSTICA UNPRG
PARA INGENIEROS
EJERCICIO: 15 En una empresa donde el sueldo medio es de $ 400 se incrementa un personal igual al 25% del ya existente con un sueldo medio anual al 60% de los antiguos. Si 3 meses más tarde se incrementan cada sueldo en 20%, más $30. ¿Cuánto es el nuevo salario medio? Solución: 1
¿ 400
2
¿ 240
Personal: 125M
y
y 1=1.20 x+ 302 =1.20 x+ 30 1 = 1.21 + 30
^
2 = 1.22 + 30
= [1.2 (400)+ 30] +0.25 [1.2 (240)+30] = 471.6
Rpta.
EJERCICIO: 18 Los sueldos en una empresa varían de $300 a $800 distribuidos en forma simétrica en 5 intervalos de igual amplitud, con el 15%, 20% y 30% de casos en el primer, segundo y tercer intervalo respectivamente. a) Calcule los diferentes indicadores de tendencia central. b) Si se aplica un impuesto a los sueldos localizados en el cuarto superior, ¿a partir de que sueldo se paga el impuesto? Solución:
ING. CIVIL 8
ESTADÍSTICA UNPRG
A=
PARA INGENIEROS
INTERVALOS
xi
hi
Hi
[300 400[ [400 500[ [500 600[ [600 700[ [700 800]
3.5 4.5 5.5 6.5 7.5
0.15 0.20 0.30 0.20 0.15
0.15 0.35 0.65 0.85 1
800−300 =100 5
a)
=
=
= 500
entonces si es simétrica.
b)
❑ l + H k−1 4 Q3=Li+ A H k + H k−1
(
)
❑ 0.75−0.65 Q3=600+ x 100 0.85−0.65 Q3=650
(
)
EJERCICIO: 20 En un estudio comparativo del porcentaje de rendimiento de ciertos bonos se elaboró una distribución de frecuencias de 5 intervalos de amplitud iguales, siendo las marcas de clase primera y quinta 15 y 55 respectivamente. Si el 65% de los bonos rinden menos del 40%, el 25%menos del 30%, el 90% menos del 50% y el 95%al menos 20%. a) Calcule los promedios de rendimiento. b) Si el 50% de los bonos de mayor rendimiento deben pagar un impuesto, ¿a partir de que rendimiento corresponde pagar el impuesto? c) ¿Es la mediana, el punto medio entre los cuartiles 1 y 3?
ING. CIVIL 9
ESTADÍSTICA UNPRG
PARA INGENIEROS
Solución: INTERVAL O [10 20[
Xi
hi
15
h1
[20
30[
25
H2
[30
40[
35
H3
[40
50[
45
H4
[50
60]
55
H5
[x x+A[ [X+A X+2A[ [X+2A X+3A[ [X+3A X+4A[ [X+4A X+5A[
1
I EN II
A=10
30+8 A=110 X= 10
P65 ≤ 0.40 O.65−
h1−¿h h3
P90 ≤ 0.50
2
P90=0.50=0.40+
¿ ¿ 0.10 P25 ≤ 0.30 ¿ P65=0.40=0.30+¿
h4 =0.25
(
P25=0.30=0.20+
❑ O .25−h 1 0.10 h2
)
P05 ≤ 0.20 ❑ O .05−0 P05=0.20=0.10+ 0.10 h1−0
(
h1=0.05 ING. CIVIL 10
h2=0.20
)
(
❑ O .90−0.65 0.10 h4
)
ESTADÍSTICA UNPRG
PARA INGENIEROS
a)
x=15 ( 0.05 ) +25 ( 0.20 ) +35 ( 0.40 ) + 45 ( 0.25 )+ 55(0.50)
x=36.5
O.50−H k−1 ❑ x=Li+ A H k −H k−1
(
x=0.30+
∆ 1+¿∆ ∆1 ¿ ¿ X =Li+¿
)
(
2
❑ O .50−0.25 0.10 0.65−0.25
)
0.20 0.10 ( 0.20+ 0.15 )
X =0.30+ b) Por lo tanto a partir de 36.25%
Q3=0.30
c)
Pmedio =
Q3=0.44
0.30−0.44 =0.37 2
Por lo tanto no es
Q 2 en punto medio.
PAGINA 82- EJERCICIO: 23 En una empresa donde trabajan hombres y mujeres la media general de los sueldos es $250. Si la media y la desviación estándar de los sueldos en el grupo de varones es $270 y $15 y el grupo de mujeres es $220 y $10. a) Calcule el porcentaje de hombres y mujeres. b) Calcule la desviación estándar de los sueldos de todos los trabajadores de la empresa. ING. CIVIL 11
ESTADÍSTICA UNPRG
PARA INGENIEROS
Solución: n: hombres a) x 1 + x 2+.... + x n+ y 1+ y 2+ …+ y m =250 n+m
m: mujeres
xH
∑ x =270 =
∑ s^ x =
x 2 +n x 2 =15 n
xM
∑ y =220 =
∑ s^ y=
y 2+ m y 2 =10 m
n
m
∑ x+ ∑ y=250( m+n) 270 n+220 m=250 m+250 n
∑ x=270 n
20 m=30 m ∑ y=220 m
∑ x −n 2
2
(15) =
n 3 60 = = m 2 40
∑x
2
( ) n
∑ y 2=( 220 )2 ( 0.4 ) +100(0.4)
n
2
∑ y =19 400
( 15 )2 ( 0.6 )=∑ x 2−( 270 )2 (0.6) S T =√ ∑x +∑ y −( 250 ) 2
2
∑ x =43 875
2
2
S T =27.83882181 Rpta . EJERCICIO: 26 Los precios de un producto en las 50 tiendas del centro de una ciudad A varían entre 8 y 18 soles. Estos precios se han organizado en una distribución de frecuencias con 5 intervalos de amplitud iguales, resultando que en el 16, 56, 76 y 90 por ciento de estas tiendas los precios fueron inferiores a 10, 12, 14 y 16 soles, respectivamente. Un estudio similar mostro que en las tiendas del centro de otra cuidad B, la media de los precios del mismo producto resulto ser 13.5 soles con una desviación estándar con una desviación estándar de 3 soles. Una tienda, que tiene sucursales en los centros de las ciudades A y B, vende un producto en la cuidad B a 12 soles. Si esta tienda, tiende a fijar los precios de acuerdo al medio, estime el precio al que se vende este producto en la cuidad A.
ING. CIVIL 12
ESTADÍSTICA UNPRG
PARA INGENIEROS
Solución: Tienda A Interval o [8 10[
Xi
hi
HI
fi
9
0.16
0.16
8
[10 12[ [12 14[ [14 16[ [16 18[
11
0.40
0.56
20
13
0.20
0.76
10
15
0.14
0.90
7
17
0.10
1
5
1
A=
60
18−8 =2 x B=13.5 Y S B =3 5
x A=9 ( 0.16 ) +11 ( 0.40 ) +13 ( 0.20 ) +15 ( 0.14 ) +17 (0.10) x A=12.24
S A2=
∑ f i x 2−n x 2 = 7778−50 ( 12.24 )2 =5.7424 n
50
S A =√ 5.7424=2.39633
Valores estandarizados:
Z B=
X B −x B 12−13.5 = =−0.5 SB 3
ING. CIVIL 13
Z A=
X A −x A =−0.5 SA
ESTADÍSTICA UNPRG
PARA INGENIEROS
X A −12.24 =−0.5 2.42 X A =11.03
EJERCICIO: 32 La tabla que se presenta a continuación corresponde a un número de personas que se encontró en una muestra tomada en 4 distritos y que son consumidores de un producto. La tabla muestra la clasificación por distrito, edad y sexo.
Distrito
a) b) c) d)
Edad Hombres 20 - 30 30 - 40 40 - 50
Edad Mujeres 20 – 30 30 - 40 40 - 50
Lince
15
45
32
22
18
60
Lima
50
32
28
35
44
22
Pueblo Libre Surco
15
36
45
32
60
18
40
24
14
46
45
24
Compare la variabilidad de las edades de los hombres y mujeres de Lince. Compare la variabilidad de las edades en Lince y Pueblo Libre. Compare la variabilidad de las edades de hombres y mujeres de la muestra. Halle la varianza de las edades de toda la muestra.
Solución: a)
Intervalo [20
ING. CIVIL 14
30[
Xi
fh
fM
25
15
22
ESTADÍSTICA UNPRG
xH=
PARA INGENIEROS
[30
40[
35
45
18
[40
50]
45
32
60
92
100
25 ( 15 ) +35 ( 45 ) + 45 (32 ) 92
x H =36.8478609
x M =38.8
s H =6.94236
s M =8.2608973
cv H =0.188
cv M =0.2129
b)
Intervalo
Xi
FLince
FP.Libre
[20
30[
25
37
47
[30
40[
35
63
96
[40
50]
45
92
63
192
206
x Lince =37.47395833
x P . Libre =35.776699
s Lince =6.94236
s P . Libre =7.2837
cv Lince =0.20358
cv P . Libre =0.20358
c)
Intervalo
ING. CIVIL 15
Xi
fh
fM
[20
30[
25
120
135
[30
40[
35
137
167
[40
50[
45
119
124
376
426
ESTADÍSTICA UNPRG
PARA INGENIEROS
x H =34.9734
x M =34.74178404
s H =7.98329
s M =7.8822
cv H =8.22826
cv M =8.2215768
d) Varianza de todas las muestras:
Intervalo
Xi
fM
[20
30[
25
255
[30
40[
35
304
[40
50[
45
243
2
S 2=
f i . xi −x 2 n
802
x=
25 (225 )+ 35 ( 304 ) +45 ( 243 ) 802
2
2
x =( 34.85037406 ) =1214.548572
x=34.85037406
f i . x 2i 225 ( 25 )2 +304 ( 35 )2+243 ( 45 )2 = n 802 f i . x 2i =1276.620648 n
ING. CIVIL 16
2
S =62.072376 S=7.878602414
