OFICINA DE INVESTIGACIÓN CULTURA ESTADÍSTICA PARA LA INVESTIGACIÓN
INTRODUCCION
El objetivo de este tema es exponer los métodos estadístico básicos que se aplican para tomar decisiones sobre la conjetura que se hace acerca del valor numérico del parámetro de una y dos poblaciones en estudio y que es sometida a comprobación experimental con el propósito de determinar si los resultados de las muestras aleatorias extraídas de esas poblaciones contradicen o no en forma significativa tal afirmación.
INTRODUCCION
El objetivo de este tema es exponer los métodos estadístico básicos que se aplican para tomar decisiones sobre la conjetura que se hace acerca del valor numérico del parámetro de una y dos poblaciones en estudio y que es sometida a comprobación experimental con el propósito de determinar si los resultados de las muestras aleatorias extraídas de esas poblaciones contradicen o no en forma significativa tal afirmación.
HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Se denomina hipótesis estadística a cualquier afirmación o conjetura que se hace acerca de la distribución de una o mas poblaciones. La afirmación o conjetura se puede p uede referirse bien a la forma fo rma o tipo de distribución de probabilidad de la población o bien referirse al valor o valores de uno o mas parámetro de la distribución conocida su forma. La hipótesis estadística consiste en suponer que los parámetros, que define a la población, toma determinado valores numéricos.
HIPÓTESIS NULA Se denomina hipótesis nula y se representa por Ho a la hipótesis que es aceptada provisionalmente como verdadera y cuya validez será sometida a comprobación experimental. Toda hipótesis nula va acompañada de una hipótesis alterna que es lo contrario de la hipótesis nula
PRUEBA DE UNA HIPÓTESIS ESTADISTICA La prueba de una u na hipótesis estadística es un proceso que nos conduce a tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula, en contraposición a la alterna y en base a los resultados de una muestra aleatoria seleccionada de la población en estudio.
Se plantean las hipótesis nula y alternativa
Se selecciona el nivel de significancia
Se identifica el estadístico de prueba
Se formula la regla de decisión
: Se toma una muestra y se decide: No se rechaza H0 o se rechaza H0
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TIPOS DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS El tipo de prueba depende básicamente de la hipótesis alterna, se denomina prueba de una cola a toda prueba de hipótesis donde la alterna es unilateral. Si la alterna es bilateral, la prueba se denomina prueba de dos colas.
REGION RECHAZO Es la región, del rango de la estimación que de acuerdo con una prueba prescrita, conduce al rechazo de la hipótesis nula. La región de rechazo se construye valiéndose de la hipótesis alterna
DECISIÓN Si el valor del estadígrafo cae dentro de la región de rechazo entonces se rechaza la hipótesis nula
H 0 : u u 0
vs H 1 : u u0
Z
x u0 /
n
x 0 Z 1 C z n
Z z 1
de aceptacion Re gion no se rechaza
H
0
0
Se rechaza H 0
z 1
Z
H 0
:u
u0
vs
H 1
:u
u0
(0 1)
Z
x 0 Z 1 C z / n
x u0 /
n
Z z 1
Re gion de aceptacion
no se rechaza H 0
Se rechaza H 0
z 1
0
Ejemplo: Una cadena de restaurantes afirma que el tiempo medio de espera de sus clientes esta distribuido normalmente, con una media de 3 minutos y una desviación estándar de 1 minuto. El departamento de aseguramiento de calidad halló en una muestra de 50 clientes, tomada de uno de sus restaurantes, que el tiempo medio de espera era 2.75 minutos. Al nivel de significancia 0.05, ¿se puede concluir que el tiempo medio de espera es menor que 3 minutos? u: Tiempo medio de espera de clientes
H 0
:u
3
vs
H 1
:u
3
0.05
Z
2.75 3 1/
Hallamos Z , P ( Z Z 1 )
Z 1 1.645
C z Z 1 1.645
50
1.77
1.77 1.645
1.77
1.645
0
H 0
:u
u0
vs
H 1
:u
u0
(0 1)
Z
x u0 C Z Z 1 / 2 / n
x u 0 /
n
Z Z 1
/2
no se rechaza H 0 Se rechaza H 0
Re gion de aceptacion
z 1
/2
0
Se rechaza H 0
z 1
/2
Ejemplo: De acuerdo con el presidente del sindicato local, el ingreso bruto medio anual de empleados en el área de construcción tiene una distribución normal, con una media de $30000 (soles) y una desviación estándar de $3000. Recientemente, un reportero de investigación para un canal de televisión encontró, en una muestra de 120 empleados, que el ingreso bruto medio era $30500. Al nivel de significancia de 0.10, ¿se puede concluir que el ingreso medio no es igual a $30000? u: el ingreso medio anual de empleados en el área de construcción
H 0
:u
30000
vs
H 1
0.10
Z
:u
/2)
Z 1 / 2 1.645
C Z Z1 / 2 1.645
30000
30500 30000 1.83 3000 / 120
Hallamos Z , P ( Z Z 1
0.05
Se rechaza Ho; entonces se puede concluir que el salario medio de los empleados de construcción no es $30000.
1.645 1.83
1.645
0
1.645
1.83
H 0
:u
u0
vs
:u
u0
Z
H 1
x u0 Z 1 / 2 C Z S / n
Z Z 1 / 2
x u 0 S /
n
H 0
:u
u0
vs
H 1
u0
:u
T
x u0 C T t 1 S / n
T t 1 / 2, ( n1)
x u 0 S /
/ 2, ( n 1)
n
T t 1 / 2, ( n1)
Re gion de aceptacion
no se rechaza H 0
Se rechaza H 0
t 1 / 2, ( n 1)
0
Se rechaza H 0
t 1 / 2, ( n 1)
T
Ejemplo:
Un estudiante universitario toma en promedio 27 galones de café por año, o 2.25 galones por mes. En una muestra de 12 estudiantes de una determinada universidad se encontraron que la media es 2.09 y desviación estándar 0.4048. En el nivel de significancia de 0.05 ¿hay una diferencia significativa entre el consumo promedio general y el consumo promedio de los estudiantes de esta universidad?
H 0
:u
2.25
vs
H 1
:u
2.25
0.05
T
2.09 2.25 0.4048 / 12
Hallamos , P(t t1 / 2; (n1) ) 2.201
C T 2.201
1.37
1.37 2.201
Re gion de aceptacion
no se rechaza H 0
0.025
2.201 1.37
0 0
0.025
2.201
H 0 : u u 0
vs H 1 : u u 0
Z
(0 1) x u0 S / n
x 0 C z Z 1 S / n Z Z 1
H 0 : u u 0
vs H 1 : u u 0
T
x u0 S / n
x 0 C T t 1 , ( n 1) S / n T t 1
, ( n 1)
T t 1
, ( n 1)
de se aceptacion Re gionno rechaza
H
0
0
Se rechaza H 0
t 1 , ( n 1)
Ejemplo: Una encuesta nacional reciente halló que estudiantes de bachillerato veían un promedio de 6.8 películas en video por mes. Una muestra aleatoria de 36 alumnos universitarios revelo que el número medio de videos vistos el mes pasado fue 6.2, con una desviación estándar de 0.5, en el nivel de significancia de 0.05, ¿puede concluirse que los estudiantes de universidad ven menos películas en video al mes que los de bachillerato? u: Promedio de estudiantes que ven menos películas en video. : Promedio de estudiantes de bachillerato que ven menos películas en video.
H 0
: u 6.8
vs
H 1
:u
6.8
0.05 Z
Hallamos Z 1 1.645
C z 7.2 1.645
6.2 6.8 0.5 /
36
7.2
SE RECHAZA HO; EL NUMERO MEDIO DE VIDEOS OBSERVADOS ES MENOR QUE 6.8 POR MES
Re gion de Aceptacion
z 7.2
z 1 1.645
0
Ejemplo: Las pesquerías de una determinada región se quejan de que el numero medio de truchas muertas capturadas en un día es 4. Para su actualización anual el personal de pescadería selecciona una muestra de 9 pescadores del cual obtuvo una media de truchas muertas es 4.5 y una desviación estándar 2.68. En el nivel de 0.05, ¿puede concluirse que la cantidad media obtenida es mayor que 4?
H 0 : u 4 vs H 1 : u 4
0.05 T
4.5 4 2.68 / 12
Hallamost 1 ( n1) t 1 (11) , t 1 (11) 1.796
C T 1.796
0.65
No se rechaza Ho; no se ha demostrado que el numero medio de peces capturados sea mayor que 0.65 1.796
Re gion de aceptacion
no se rechaza H 0 0
0
0.10
0.65
1.796
____
p p
Z
pq n
Z
H 0 : p p0
vs H 1 : p p0
(0 1)
Z
p p 0 p 0 (1 p 0 ) n
C Z
p p 0 Z / 2 p 0 (1 p 0 ) n
Hipótesis: H 0 : p p0 vs H 1 : p p0 Nivel de Significancia: (0 1)
Estadígrafo de Contraste: Z
p p0 p0 (1 p0 ) n
Región critica: p p0 Z C Z p0 (1 p0 ) n
Ejemplo:
En el pasado, el 15% de las solicitudes de pedidos por correo para cierta obra de caridad dio lugar a una contribución financiera. Un nuevo formato de solicitud se ha diseñado y se envía a una muestra de 200 personas y 45 respondieron con una contribución. ¿En el nivel de significación del 0.05 se puede concluir que la nueva solicitud es más eficaz?
Solución: Contraste Unilateral p: Proporción de solicitudes de pedidos por correo
p
45 200
0.225
40
Hipótesis: H 0 : p 0.15 vs H 1 : p 0.15
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste: 45
Z
p p0 p 0 (1 p 0 ) n
0.05
0.15
200 0.15(1 0.15)
2.97
200
Región critica:
0.05 en la tabla se encuentra Z 1.645
C Z 1.645
Se rechaza Ho si: Z Z 2.97 1.645
no se rechaza H 0 0
Se rechaza H
0
0.05
Z 1.645
Z 2.97
Se rechaza la hipótesis nula. Más de 15% de solicitudes responde con un compromiso. El nuevo formato es más eficáz.
Ejemplo: En una investigación hecha en una
determinada universidad se encontró que 50% de los estudiantes, después de un año de estudio, cambiaban de área principal de estudio. En una muestra de 100 estudiantes de la facultad de contabilidad se encontró que 48 habían cambiado de área de estudio. ¿Ha habido una disminución significativa en la proporción de estudiantes que cambian de área de estudio?. El nivel de significancia es 0.05
T
x1 x 2 U 1 U 2
n
2 n 1 s2 1 s 2 1 1 1 1 2 n1 n2 n1n2 2
Z
x1
x 2
s12 n1
U 1
s12 n2
U 2
Ejemplo El agente de compras de una empresa quiere decidir la adquisición de una de dos marcas de maquina para procesar cierto producto. Por cuestiones de precio el esta pensando de comprar la marca A, a no ser que haya evidencia de que la maquina B es mas veloz. Se le permitió operar los dos tipo de maquina durante un periodo de prueba observando los tiempos por unidad producida, luego escogió al azar una muestra de 40 tiempo por maquina y se obtuvo como media de la maquina A 55 y desviación estándar 2,1 y de la maquina B se obtuvo como media 52 y desviación estándar 3,2. ¿Cree usted que el agente debería elegir la maquina B?
Ejemplo Con el fin de conocer el nivel de aceptación de un producto un analista cuantitativo realizo un estudio de opinión en dos ciudades del interior del país. En Chiclayo 120 consumidores de una muestra al azar de 300 opinaron aceptando el producto, mientras que en arequipa 120 consumidores de una muestra al azar de 400 opinaron estar de acuerdo con el producto. ¿puede considerarse significativamente la diferencia de las dos proporciones muéstrales con un nivel de significancia del 5%?
PRUEBA DE HIPOTESIS ACERCA DE UNA VARIANZA
2
2
2
2
H 0 : o vs H 1 : o
(0 1) 2
2
2
2
C ( n 1)
(n 1) S 2
o
2
2
2
2
H 0 : o vs H 1 : o
(0 1) 2
2
2
2
C ( n 1)
(n 1) S 2
o
2
2
(n1)
2
( n1)
H 0 :
2
2
o
vs
H 1 :
2
2
o
(0 1) 2
2
(n 1) S 2
o
2 (n 1) 2 2 2 2 S C o 2 (1 )( n 1) ( )( n1) 2 2 o
Se rechaza Ho si; 2
2
(1
2
2
)( n 1)
2
o ( )( n 1) 2
Ejemplo: Los pesos de los objetos siguen una distribución normal. Una muestra de 10 objetos elegidos al azar entre los producidos en cierta planta industrial han mostrado los siguientes pesos en gramos: 71, 66, 64, 72, 69, 67, 70, 68, 65, 69 ¿Hay razones para creer que la varianza de los pesos de los objetos es igual a 4 gr?. Use el nivel de significancia 0.05. Solución:
n
s
2
i 1
( xi x) 2
n 1
n
6.77, X
x i 1
n
i
68.1
2
4 vs H 1 : 4 2
Hipótesis: H 0 :
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
0.05
2
(1
2
)( n 1)
2
0.05 2
(9 1)6.77 4
15.23
0.025 en la tabla hallamos :
2
( 0.97 5, 9 )
2.70 2
(
2 2 2 (n 1) S C 2 (1 )( n 1) 2 o C 2 2.70 o 2 19.02
2
)( n 1)
2
19.02 ( 0.02 5, 9 )
o ( )( n 1) 2 2
2
