Estadística Inferencial II

Estadística Inferencial II Raúl Jiménez González

Ventas 9,5

9,0

8,5

8,0

7,5

7,0

6,5

6,0 1975 1980 1985 A ños 1990 1995 2000

Instituto Tecnológico de Ensenada

Estadística Inferencial II Instituto Tecnológico de Ensenada

Raúl Jiménez González

Agosto de 2012

A mi esposa Leticia Flores Flores

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CAPÍTULO 1

Regresión lineal simple y múltiple

Contenido CAPÍTULO 1. Regresión lineal simple y múltiple………………………………. 4 1.1. Regresión Lineal simple………………………………………………………. 4 1.1.1. Prueba de hipótesis en la regresión lineal simple…………...……………. 12 1.1.2. Calidad del ajuste en regresión lineal simple……………...……………. .. 19 1.1.3. Estimación y predicción por intervalo en regresión lineal simple……….... 23 1.1.4. Uso de software estadístico………………………………………....……... 25 1.2. Regresión lineal múltiple……………………………………………………… 30 1.2.1. Pruebas de hipótesis en regresión lineal múltiple…………………………. 34 1.2.2. Intervalos de confianza y predicción en regresión múltiple……………...... 37 1.2.3. Uso de un software estadístico………………………………………....….. 40 1.3. Regresión no lineal……………………………………………………………. 43 CAPÍTULO 2. Diseño de experimentos de un factor……………………….…. 45 2.1. Familia de diseños para comparar tratamientos………………………………. 49 2.2. El modelo de efectos fijos……………………………….……………………. 50 2.3. Diseño completamente aleatorio y ANOVA…………………………………. 50 2.4. Comparaciones o pruebas de rangos múltiples……………………………….. 62 2.5. Verificación de los supuestos del Modelo……………………………………. 71 2.6. Uso de un software estadístico………………………………………….…….. 80 CAPÍTULO 3. Diseño de bloques………………………………………………. 84 3.1. Diseños en bloques completos al azar………………………………………… 85 3.2. Diseño en cuadrado latino…………………………………………………….. 95 3.3. Diseño en cuadrado grecolatino…………………………………..………..... 104 3.4. Uso de un software estadístico………………………………………………. 108 CAPÍTULO 4. Conceptos básicos en diseños factoriales………………….…. 112 4.1. Diseños factoriales con dos factores…………………………………………. 114 4.2. Diseños factoriales con tres factores…………………………………………. 123 4.3. Diseño factorial general……………………………………………………… 128 4.4. Modelos de efectos aleatorios………………………………………….…….. 130 4.5. Uso de un software estadístico ………………………………………….…… 134 CAPÍTULO 5. Series de tiempo………………………………………….…….. 138 5.1. Modelo clásico de series de tiempo……………………………………....…... 141 5.2. Análisis de fluctuaciones……………………………………………………... 143 5.3. Análisis de tendencia…………………………………………………………. 146 5.4. Análisis de variaciones cíclicas…………………………………… ……......147 5.5. Medición de variaciones estacionales e irregulares………………………….. 148 5.6. Aplicación de ajustes estacionales………………………………………......... 148 5.7. Pronósticos basados en factores de tendencia y estacionales……………........150 Apéndice. Tablas Estadísticas……………………………………………………..166 Bibliografía……………………………………………………………………....…174


Biol. Raúl Jiménez González

CAPÍTULO 1 Regresión lineal simple y múltiple 1.1. Regresión Lineal simple 1.1.1. Prueba de hipótesis en la regresión lineal simple 1.1.2. Calidad del ajuste en regresión lineal simple 1.1.3. Estimación y predicción por intervalo en regresión lineal simple 1.1.4. Uso de software estadístico

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CAPÍTULO 1


1.1. Regresión Lineal simple El análisis de regresión se usa con el propósito de predicción. La meta del análisis de regresión es desarrollar un modelo estadístico que se pueda usar para predecir los valores de una variable dependiente o de respuesta basados en los valores de al menos una variable independiente o explicativa. Este capítulo se centra en un modelo de regresión lineal simple, que usa una variable numérica independiente para predecir la variable numérica dependiente . Para establecer una relación cuantitativa entre y es necesario disponer de cierta información muestral. Esta información consiste de un conjunto de pares de observaciones de y , donde cada uno de estos pares pertenece a una unidad elemental particular de la muestra. Por ejemplo, suponga que el rendimiento de un proceso químico está relacionado con la temperatura de operación, o la experiencia profesional de los trabajadores y sus respectivos sueldos, las estaturas y pesos de personas, la producción agraria y la cantidad de fertilizantes utilizados, etc. Si mediante un modelo matemático es posible describir tal relación, entonces este modelo puede ser usado para propósitos de predicción, optimización o control Para ilustrar el concepto, considérense los datos de la tabla 1.1. En esta tabla, se relaciona la cantidad de fibra (madera) en la pulpa con la resistencia del producto (papel). Tabla 1.1 Datos de resistencia de pulpa Porcentaje de fibra Resistencia 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

134 145 142 149 144 160 156 157 168 166 167 171 174 183

Es claro que la variable de respuesta o variable dependiente es la resistencia, por eso se denota con . Para tener una idea de la relación que existe entre y , los 14 pares de datos son graficados en un diagrama de dispersión de la figura 1.1. De la inspección de este diagrama de dispersión se ve que los puntos cercanos siguen una línea recta, lo que indica que la suposición de linealidad entre las dos variables parece ser razonable El diagrama de dispersión es una grafica en la que cada punto trazado representa un par de valores observados por las variables independiente y dependiente. El valor de la variable independiente X, se traza en relación con el eje horizontal y el valor de la variable dependiente Y, en relación con el eje vertical. La naturaleza de la relación entre dos variables puede tomar muchas formas, que van desde algunas funciones Instituto Tecnológico de Ensenada


Regresión lineal simple

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matemáticas sencillas a otras en extremo complicadas. La relación más elemental consiste en una línea recta o relación lineal. Gráfica de dispersión de Resistencia vs. Porcentaje de fibra 190 180

Resistencia

170 160 150 140 130 5

10

15 20 Porcentaje de fibra

25

30

Figura 1.1 Diagrama de dispersión para los datos de resistencia de la pulpa

La relación del modelo matemático adecuado tiene influencia de la distribución de los valores y en el diagrama de dispersión. Es sencillo ver esto si se examinan las siguientes graficas (figura 1.2)

Plan A Relación lineal positiva

Plan D Relación curvilínea positiva

Plan B Relación lineal negativa

Plan E Relación curvilínea en forma de U

Plan C No hay relación entre X y Y

Plan F Relación curvilínea negativa

Figura 1.2 Relación entre dos variables

En la grafica A se observa que los valores de Y, en general, aumentan en forma lineal cuando se incrementa . En la grafica B es un ejemplo de una relación lineal negativa. Cuando crece, se observa que los valores de Y decrecen. Un ejemplo de este tipo de relación puede ser el precio de un producto específico y la cantidad de ventas.



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CAPÍTULO 1


En la grafica C se muestra un conjunto de datos en el que existe muy poca o ninguna relación entre y Y. Para cada valor de aparecen valores altos y bajos de Y. En la grafica D muestran una relación curvilínea entre y Y. Los valores de Y aumentan cuando crece, pero el incremento disminuye para valores altos de . un ejemplo de esta relación curvilínea puede ser la edad y el costo de mantenimiento de una maquina. Cuando la máquina tiene muchos años, el costo de mantenimiento se eleva con rapidez al principio, pero después de cierto número de años se nivela. En la grafica E muestra una relación parabólica o en forma de U entre y Y. Conforme aumenta, al principio Y disminuye; pero si aumenta más, Y no sólo deja de disminuir sino que aumenta después de su valor mínimo. Un ejemplo tipo de relación puede ser el número de errores por hora en una tarea y número de horas trabajadas. Por ultimo en la grafica F indica una relación exponencial o curvilínea negativa entre y Y. en este caso, Y disminuye con rapidez al principio del incremento de pero después, cuando aumenta más, la velocidad de disminución es mucho menor. Un ejemplo de esta relación exponencial puede ser el valor de reventa de un tipo dado de automóvil y los años que tiene. El primer año el valor baja en forma drástica respeto a su precio original; sin embargo, la disminución es mucho más lenta en los años subsecuentes.

El análisis de regresión lineal simple se refiere a encontrar la línea recta que mejor se ajuste a los datos. El mejor ajuste puede definirse de varias maneras. Quizá la más sencilla sea encontrar la línea recta para la cual las diferencias entre los valores reales y los valores pronosticados a partir de la recta ajustada de regresión sean tan pequeñas como sea posible. Sin embargo, como estas diferencias son positivas para algunas observaciones y negativas para otras, en términos matemáticos se minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias. Gráfica de línea ajustada

Resistencia = 130,7 + 1,624 Porcentaje de fibra 190

S R-cuad. R-cuad.(ajustado)

180

3,87648 93,0% 92,4%

Resistencia

170 160 150 140 130 5

10

15 20 Porcentaje de fibra

25

30

Figura 1.3 Línea recta que mejor se ajusta a los datos, donde la distancia a los puntos es la más pequeña posible

Suponga que las variables y Y están relacionadas linealmente y que para cada valor de , la variable dependiente, Y, es una variable aleatoria. Es decir, que cada observación de Y puede ser descrita por el modelo:

(1.1)




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donde es un error aleatorio con media cero y varianza . También suponga que los errores aleatorios no están correlacionados. La ecuación (1.1) es conocida como el modelo de regresión lineal simple. Bajo el supuesto de que este modelo es adecuado y como el valor esperado del error es cero, , se puede ver que el valor esperado de la variable Y, para cada valor de , está dado por línea recta

(1.2)

En donde son los parámetros del modelo y son constantes desconocidas. Por lo tanto, para tener bien especificada la ecuación que relaciona las dos variables será necesario estimar los dos parámetros, que tienen los siguientes significados: - Es el punto en el cual la línea recta intercepta o cruza el eje y. - Es la pendiente de la línea, es decir, es la cantidad en que se incrementa o disminuye la variable por cada unidad que se incrementa Un procedimiento para ajustar la mejor recta y, por lo tanto, para estimar es mediante el método de mínimos cuadrados, el cual consiste en lo siguiente: si de la ecuación (1.1) despejamos los errores, los elevamos al cuadrado y los sumamos, obtendremos lo siguiente:

(1.3)

De esta forma, se quieren encontrar los valores de que minimizan la suma de los errores cuadrados. Es decir, se busca ajustar la recta de manera que la suma de las distancias en forma vertical de los puntos a la recta se minimice, como se ilustra en la figura 1.3. El procedimiento matemático para minimizar los errores de la ecuación (1.3) y así encontrar los estimadores de mínimos cuadrados de , consiste en derivar a con respecto a , y derivar también a con respecto a , se obtiene:

Al igualar a cero las dos ecuaciones y resolverlas en forma simultánea con respecto a las dos incógnitas ( ), se obtiene la solución única: (1.4) (1.5)

donde Instituto Tecnológico de Ensenada


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CAPÍTULO 1


(1.6)

(1.7)

son las medias muéstrales de las dos variables, es decir,

De esta forma, para obtener la recta ajustada es necesario aplicar las fórmulas anteriores, lo cual es muy sencillo, como se muestra en la tabla 1.2 para los datos de la resistencia de la pulpa. Tabla 1.2 Procedimiento para realizar los cálculos para la regresión simple para los datos de la resistencia de la pulpa.

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Ʃ

134 145 142 149 144 160 156 157 168 166 167 171 174 183 Ʃ

16 36 64 100 144 196 256 324 400 484 576 676 784 900 Ʃ

=4 956

17 956 21 025 20 164 22 201 20 736 25 600 24 336 24 649 28 224 27 556 27 889 27 241 30 276 33 489 Ʃ

= 353 342


536 870 1 136 1 490 1 728 2 240 2 496 2 826 3 360 3 652 4 008 4 446 4 872 5 490 Ʃ

= 39 150

137,2 140,4 143,7 146,9 150,2 153,4 156,7 159,9 163,2 166,4 169,7 172,9 176,2 179,4

-3,2 4,6 -1,7 2,1 -6,2 6,6 -0,7 -2,9 4,8 -0,4 -2,7 -1,9 -2,2 3,6

10,24 21,16 2,89 4,41 38,44 43,56 0,49 8,41 23,04 0,16 7,29 3.61 4,84 12,96

Ʃ 2216.6



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Por lo tanto, la línea recta que mejor explica la relación entre porcentaje de fibra y resistencia del papel, está dada por

En la figura 1.3 se muestra el ajuste de esta línea. De esta manera, por cada punto porcentual de incremento en el porcentaje de fibra, se espera un incremento de resistencia de 1,6242 en promedio. La ecuación (1.8) sirve para estimar la resistencia promedio esperada para cualquier porcentaje de fibra utilizada.

Nota: La calculadora científica, trae la función de Regresión Lineal, una vez activada esta función, se procede a capturar por parejas (X, Y) correspondientes sin olvidar separarlas por una coma entre ambos datos, se manda cada par a memoria, al finalizar la captura se obtienen los coeficientes correspondientes presionando la inversa correspondiente de acuerdo al modelo de esta. Utilizando un paquete computacional el resultado arrojado sería el siguiente: Resumen de Excel Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0,964432318 Coeficiente de determinación R^2 0,930129695 R^2 ajustado 0,92430717 Error típico 3,876481166 Observaciones 14 ANÁLISIS DE VARIANZA Regresión Residuos Total

Intercepción Porcentaje de fibra

Grados de libertad 1 12 13

Suma de cuadrados 2400,531868 180,3252747 2580,857143

Promedio de los cuadrados 2400,531868 15,02710623

F 159,7467824

Valor crítico de F 2,70702E-08

Coeficientes 130,6747253 1,624175824

Error típico 2,417790201 0,128504099

Estadístico t 54,047173 12,63909737

Probabilidad 1,05975E-15 2,70702E-08

Inferior 95% 125,406813 1,344189444

Pronóstico Resistencia 137,1714286 140,4197802 143,6681319 146,9164835 150,1648352 153,4131868 156,6615385 159,9098901 163,1582418 166,4065934 169,6549451 172,9032967 176,1516484 179,4

Residuos -3,171428571 4,58021978 -1,668131868 2,083516484 -6,164835165 6,586813187 -0,661538462 -2,90989011 4,841758242 -0,406593407 -2,654945055 -1,903296703 -2,151648352 3,6

Análisis de los residuales Observación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Resumen de Minitab Análisis de regresión: Resistencia vs. Porcentaje de fibra La ecuación de regresión es Resistencia = 131 + 1,62 Porcentaje de fibra

Predictor Constante Porcentaje de fibra

Coef 130,675 1,6242


Coef. de EE 2,418 0,1285

T 54,05 12,64

P 0,000 0,000


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CAPÍTULO 1


Análisis de varianza Fuente Regresión Error residual Total Obs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

GL 1 12 13

SC 2400,5 180,3 2580,9

MC 2400,5 15,0

Porcentaje de fibra Resistencia 4,0 134,00 6,0 145,00 8,0 142,00 10,0 149,00 12,0 144,00 14,0 160,00 16,0 156,00 18,0 157,00 20,0 168,00 22,0 166,00 24,0 167,00 26,0 171,00 28,0 174,00 30,0 183,00

Ajuste 137,17 140,42 143,67 146,92 150,16 153,41 156,66 159,91 163,16 166,41 169,65 172,90 176,15 179,40

F 159,75

P 0,000

Ajuste SE Residuo 1,97 -3,17 1,75 4,58 1,55 -1,67 1,37 2,08 1,22 -6,16 1,11 6,59 1,04 -0,66 1,04 -2,91 1,11 4,84 1,22 -0,41 1,37 -2,65 1,55 -1,90 1,75 -2,15 1,97 3,60

Residuo estándar -0,95 1,32 -0,47 0,57 -1,68 1,77 -0,18 -0,78 1,30 -0,11 -0,73 -0,54 -0,62 1,08

Tabla 1.4. Formulas básicas para el Análisis de regresión para el modelo

Es el punto en el cual la línea recta intercepta o cruza el eje Y Es la pendiente de la línea, es decir, es la cantidad en que se incrementa o disminuye la variable por cada unidad que se incrementa Ecuación de la regresión lineal estimada Sumatoria de XY Sumatoria de XX Variabilidad total Media de X Media de Y Sumatoria de los cuadrados del error Suma de cuadrados de la regresión Estimador insesgado de la varianza Cuadrado medio del error Cuadrado medio total




11

Error estándar de estimación

=

Coeficiente de determinación en regresión lineal simple Estadístico

para prueba de hipótesis en regresión lineal simple

Estimación por intervalos para

, en

regresión lineal simple

Estimación por intervalos para la pendiente en regresión lineal simple Estimación para la ordenada al origen en regresión lineal simple

Ejemplo Suponga que el gerente de una cadena de servicios de entrega de paquetería desea desarrollar un modelo para predecir las ventas semanales (en miles de dólares) para las tiendas individuales basado en el número de clientes que realizan compras. Se seleccionó una muestra aleatoria entre todas las tiendas de la cadena con los siguientes resultados. Tienda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Clientes 907 926 506 741 789 889 874 510 529 420

Ventas ($000) 11,20 11,05 6,48 9,21 9,42 10,08 9,45 6,73 7,24 6,12

Tienda 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Clientes 679 872 924 607 452 729 794 844 1010 621

Ventas ($000) 7,63 9,43 9,46 7,64 6,92 8,95 9,33 10,23 11,77 7,41

(a) Grafique el diagrama de dispersión. (b) Suponga una relación lineal y utilice el método de mínimos cuadrados para encontrar los coeficientes de regresión y (c) Interprete el significado de la pendiente. (d) Pronostique las ventas semanales (en miles de dólares) para las tiendas que tienen 600 clientes. (e) ¿Qué otros factores además del número de clientes pueden afectar las ventas?



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CAPÍTULO 1


Respuestas a) Gráfica de dispersión de Ventas vs. Clientes 12 11

Ventas

10 9 8 7 6 400

500

600

700 Clientes

800

900

1000

b) Los coeficientes son

= 2,3086 y = 0,0088 c) Por cada cliente más, se espera un incremento en las ventas de 0,0088612 de miles de dólares en promedio. d) e) Factores tan variados como, atención al cliente, lejanía, falta de estacionamiento etc., etc. Resumen de Excel Coeficientes

Error típico

Estadístico t

Probabilidad

Intercepción

2,308620077

0,486903934

4,741428269

0,000162977

Clientes

0,008861219

0,000647589

13,68338889

5,93374E-11

1.1.1. Prueba de hipótesis en la regresión lineal simple. En cualquier análisis de regresión no basta hacer los cálculos que se explicaron antes, sino que es necesario evaluar qué tan bien el modelo (la línea recta) explica la relación entre y . Una primera forma de hacer esto es probar una serie hipótesis sobre el modelo. Para ello es necesario suponer una distribución de probabilidad para el término de error, Es usual suponer normalidad: se distribuye en forma normal, independiente, con media cero y varianza . Por lo general, la hipótesis de mayor interés plantea que la pendiente es significativamente diferente de cero. Esto se logra al aprobar la siguiente hipótesis

(1.9)



Prueba de hipótesis en regresión lineal simple

13

El estadístico de prueba es:

(1.10)

Si la hipótesis nula es verdadera él estadístico (1.10) tiene una distribución Student con grados de libertad. Se rechaza si el valor absoluto de este estadístico es mayor que el correspondiente valor crítico obtenido de tablas, es decir, se rechaza si: (1.11)

En caso contrario no se rechaza . No rechazar que , en el caso del modelo de regresión lineal simple, implica que no existe una relación lineal significativa entre y ; por tanto, no existe relación entre estas variables o ésta es de otro tipo. La suma de cuadrados de los residuos o suma de cuadrados del error ( y se utiliza para estimar la varianza del error de ajuste de un modelo, y está dada por:

A partir de la ecuación (1.12) se obtiene que el valor esperado de la suma de cuadrados , del error está dado por: (1.13)

Por lo tanto, un estimador insesgado de

está dado por:

En el caso de los datos de la tabla 1.1, datos de resistencia de la pulpa, el planteamiento de hipótesis sería el siguiente:

Aplicando el estadístico de prueba

El valor de -Student encontrado en tablas con 0,05 de nivel de significancia es Instituto Tecnológico de Ensenada

grados de libertad y un


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CAPÍTULO 1


Se rechaza la Hipótesis nula Dado que el valor absoluto de es significativamente mayor que el valor encontrado en tablas con un nivel de significancia de 0,05 concluimos que rechazamos la hipótesis nula por lo tanto si existe una relación entre ambas variables. 0 bien, dado que el valor-p es menor que el nivel de significancia, se rechaza la hipótesis nula valor-p . En ocasiones, en lugar de probar que , puede ser de interés probar que es igual a cierta constante ( , en este caso en el numerador del estadístico de la expresión (1,10) se resta , es decir, el estadístico queda de la siguiente manera , y el criterio de rechazo es el mismo. Si se utiliza como criterio de rechazo la comparación de la significancia observada (p-value o valor p) contra la significancia predefinida ( ), entonces se rechaza si el valor p . Por otro lado, con respecto del parámetro siguiente hipótesis:

suele ser de interés probar la

(1.15)

El estadístico de prueba es el siguiente:

El cual tiene una distribución -Student con se rechaza si:

grados de libertad, por lo que

o si se utiliza el criterio de la significancia observada se rechaza si el valor-p . No rechazar que simplemente significa que el punto de corte de la línea recta pasa por el origen, es decir pasa por (0, 0). En ocasiones, en lugar de probar que , puede ser de interés probar que es igual a cierta constante ; en ese caso, en el numerador del estadístico de la expresión (1.16) se resta , es decir, el estadístico queda de la siguiente manera:

(1.17)

y el criterio de rechazo es el mismo. En el caso de los datos de la tabla 1.1, datos de resistencia de la pulpa, el planteamiento de hipótesis sería el siguiente:



Prueba de hipótesis en regresión lineal simple

15

Aplicando el estadístico de prueba

El valor de -Student encontrado en tablas con de nivel de significancia es

grados de libertad y un 0,05

Se rechaza la Hipótesis nula Dado que el valor absoluto de es significativamente mayor que el valor encontrado en tablas con un nivel de significancia de 0,05 concluimos que rechazamos la hipótesis nula por lo tanto el punto de corte de la línea recta no pasa por el origen, es decir, no pasa por (0, 0). O bien, dado que el valor-p es menor que el nivel de significancia, se rechaza la hipótesis nula valor-p . La estimación de los parámetros del modelo y las pruebas de hipótesis sobre los mismos se sintetizan en la siguiente tabla: Parámetro

Estimación

Error estándar

Estadístico

Valor-p

Intercepción

Pendiente

Las pruebas de hipótesis para el ejemplo de las ventas contra clientes, el resumen que nos arroja Excel y Minitab incluye el cálculo del valor de t y el valor-p, optando por cualesquiera de ambos estadísticos las hipótesis quedarían de la siguiente manera:

El valor de -Student encontrado en tablas con de nivel de significancia es

grados de libertad y un 0,05

Se rechaza la Hipótesis nula



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CAPÍTULO 1


Dado que el valor absoluto de es significativamente mayor que el valor encontrado en tablas con un nivel de significancia de 0,05 concluimos que rechazamos la hipótesis nula por lo tanto si existe una relación entre ambas variables. 0 bien, dado que el valor-p es menor que el nivel de significancia, se rechaza la hipótesis nula valor-p . en el caso de las hipótesis para la intercepción tenemos:

Se rechaza la Hipótesis nula Dado que el valor absoluto de es significativamente mayor que el valor encontrado en tablas con un nivel de significancia de 0,05 concluimos que rechazamos la hipótesis nula por lo tanto el punto de corte de la línea recta no pasa por el origen, es decir, no pasa por (0, 0). O bien, dado que el valor-p es menor que el nivel de significancia, se rechaza la hipótesis nula valor-p .

Resumen de Excel Coeficientes

Error típico

Estadístico t

Probabilidad

Intercepción

2,308620077

0,486903934

4,741428269

0,000162977

Clientes

0,008861219

0,000647589

13,68338889

5,93374E-11

Ejercicios 1.- ¿Cuál es el propósito general del análisis de regresión? 2.- En el análisis de regresión intervienen dos tipos de variables: las independientes y las dependientes. Explique con sus palabras y a través de ejemplos, las características de estos dos tipos de variables. 3.- En el artículo de Concrete Research (Características del concreto cerca de la superficie: Permeabilidad intrínseca), se presentaron los datos sobre la resistencia a la compresión y la permeabilidad intrínseca de varias mezclas y curados de concreto. Las cantidades resumidas son ,Ʃ , Ʃ = 23 530, Ʃ , Ʃ = 157,42, y Ʃ = 1 697,80. Suponga que las dos variables se relacionan de acuerdo con el modelo de regresión lineal simple. a) Calcule las estimaciones de mínimos cuadrados de la pendiente y la ordenada al origen b) Use la ecuación de la recta ajustada para predecir la permeabilidad que se observaría cuando la resistencia a la compresión es = 4,3. c) Dé una estimación puntual de la permeabilidad media cuando la resistencia a la compresión es = 3,7. d) Suponga que el valor observado de la permeabilidad para = 3,7 es = 46,1



Ejercicios

17

4.- Se utilizaron métodos de regresión para analizar los datos de un estudio para investigar la relación entre la temperatura superficial de una carretera (x) y la deflexión del pavimento (y). Las cantidades resumidas fueron , Ʃ , Ʃ = 8,86, Ʃ , Ʃ = 143 215,8, Ʃ = 1 083,67. a) Calcule las estimaciones de mínimos cuadrados de la pendiente y la ordenada al origen. Grafique la recta de regresión b) Use la ecuación de la recta ajustada para predecir la deflexión del pavimento que se observaría cuando la temperatura superficial es de 85 . c) ¿Cuál es la deflexión media del pavimento cuando la temperatura superficial es 90 ? d) ¿Qué cambio en la deflexión media del pavimento se esperaría para un cambio de 1 en la temperatura superficial? 5.- Se piensa que el número de libras de vapor consumidas mensualmente por una planta química se relaciona con la temperatura ambiente promedio (en ) de ese mes. En la tabla siguiente se muestra la temperatura y el consumo anual: Mes Ene. Feb. Mar. Abr. May Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

Temperatura 21 24 32 47 50 59 68 74 62 50 41 30

Consumo/1 000 185,79 214,47 288,03 424,84 454,58 539,03 621,55 675,06 562,03 452,93 369,95 273,98

a) Suponiendo que un modelo de regresión lineal simple es apropiado, ajuste el modelo de regresión que relacione el consumo de vapor ( ) con la temperatura promedio ( ). b) ¿Cuál es la estimación del consumo esperado de vapor cuando la temperatura promedio es 55 ? c) ¿Qué cambio se espera en el consumo de vapor promedio cuando la temperatura mensual promedio cambia 1 ? d) Suponga que la temperatura mensual promedio es de 47 . Calcule el vapor ajustado y el residual correspondiente.



18

CAPÍTULO 1


6.- En un artículo de Journal of Environmental Energineering se reportan los resultados de un estudio sobre la presencia de sodio y cloruros en corrientes superficiales de la parte central de Rhode Island. Los datos que se presentan a continuación corresponden a la concentración de cloruros (en mg/l) y al área de carretera de la vertiente (en %). 4,4 6,6 9,7 10,6 10,8 10,9 11,8 12,1 14,3 14,7 15,0 17,3 19,2 23,1 27,4 27,7 31,8 39,5 0,19 0,15 0,57 0,70 0,67 0,63 0,47 0,70 0,60 0,78 0,81 0,78 0,69 1,30 1,05 1,06 1,74 1,62 a)

Trace un diagrama de dispersión de los datos. ¿Parecería apropiado un modelo

de regresión lineal simple en este caso? b) Ajuste el modelo de regresión lineal simple usando el método de mínimos cuadrados. c) Estime la concentración de cloruros media de una vertiente que tiene 1% del área de carretera. d) Encuentre el valor ajustado que corresponde a = 0,47 7.- Demuestre que en un modelo de regresión lineal simple el punto ( exactamente sobre la recta de regresión de mínimos cuadrados.

) se localiza

8.- En un artículo de Wear se presentan los datos del desgaste por rozamiento del acero dulce y la viscosidad del aceite. Los datos representativos, con = viscosidad del aceite y = volumen del desgaste ( ), son: 240 181 193 155 172 110 113 75 94 1,6 9,4 15,5 20,0 22,0 35,5 43,0 40,5 33,0

a) Construya un diagrama de dispersión de los datos. ¿Parecería plausible un modelo de regresión lineal simple? b) Ajuste el modelo de regresión lineal simple usando mínimos cuadrados. c) Estime el desgaste por rozamiento cuando la viscosidad es = 30. d) Obtenga el valor ajustado de cuando = 22,0 y calcule el residual correspondiente.

9.- Considérense los datos del ejercicio 4 para carretera y = deflexión del pavimento.

= temperatura superficial de una

a) Pruebe la significación de la regresión utilizando . Encuentre el valor P para esta prueba. ¿Qué conclusiones pueden sacarse? b) Estime c) Estime los errores estándar de la pendiente y la ordenada al origen. 10.- En un proceso de extracción se estudia la relación entre tiempo de extracción y rendimiento. Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla. Tiempo (minutos) Rendimiento (%)

10

15

20

8

12

13

15 12

14

20

19

18

64 81,7 76,2 68,5 77,9 82,2 74,2 70 76 83,2 85,3



Ejercicios

19

a) ¿En este problema cuál variable se considera independiente y cuál dependiente? b) Mediante un diagrama de dispersión analice la relación entre estas dos variables. c) Haga un análisis de regresión (ajuste una línea recta a estos datos, aplique pruebas de hipótesis y verifique residuos). d) ¿La calidad del ajuste es satisfactoria? Argumente e) Destaque el valor de la pendiente de la recta e interprételo en términos prácticos. f) Estime el rendimiento promedio que se espera a un tiempo de extracción de 25 minutos y obtenga un intervalo de confianza para esta estimación. 11.- Considere los datos del ejercicio 5 para = consumo de vapor y = temperatura promedio. a) Pruebe la significación de la regresión usando . ¿Cuál es el valor P para esta prueba? Enuncie las conclusiones que resultan de esta prueba. b) Estime c) Estime los errores estándar de la pendiente y la ordenada al origen. d) Pruebe la hipótesis contra usando . Encuentre el valor P para esta prueba. e) Pruebe la hipótesis contra usando . Encuentre el valor P para esta prueba y saque conclusiones. 12.- En el ejercicio 6 se presentan los datos para corrientes superficiales y = área de carretera. a) Pruebe la hipótesis contra indicado con un nivel de significancia del 0,01 (

= concentración de cloruros en usando el procedimiento .

1.1.2. Calidad del ajuste en regresión lineal simple En la sección anterior estudiamos pruebas de hipótesis para verificar que hay una relación significativa entre y ; sin embargo, no hemos visto si tal relación permite hacer estimaciones con una precisión aceptable. Por ejemplo, es de interés saber qué tanta de la variabilidad presente en fue explicada por el modelo, además si se cumplen los supuestos de los residuos.

Coeficiente de determinación

. Un primer criterio para evaluar la calidad del ajuste es observar la forma en que el modelo se ajustó a los datos. En el caso de la regresión lineal simple esto se distingue al observar si los puntos tienden a ajustarse razonablemente bien a la línea recta (véase la figura 1.3). Pero otro criterio más cuantitativo es el que proporciona el coeficiente de determinación, el cual está definido por:

(1.17)

Es claro que . En general se interpreta como la proporción de la variabilidad en los datos ( ) que es explicada por el modelo. En el caso de los datos de la resistencia de la pulpa (tabla 1.1) tenemos Instituto Tecnológico de Ensenada


20

CAPÍTULO 1


=

= 2580,86

= Por lo tanto, podemos decir que 93% de la variación observada en la resistencia es explicada por el modelo (línea recta), lo cual nos dice que la calidad del ajuste es satisfactorio, y que por ello, la relación entre es descrita adecuadamente por una línea recta. Nota. El resultado arrojado por Excel o Minitab, incluye el análisis de varianza para el modelo de regresión simple cuyo cuadro sintético es el siguiente: Fuente de variación

Suma de cuadrados

Regresión

Grados de libertad

Cuadrado medio

Valor-p

1

Error o residual Total

Resumen de Excel Resumen de Excel

Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple Estadísticas de la regresión 0,964432318 correlación múltiple 0,964432318 Coeficiente de determinación R^2 0,930129695 Coeficiente de determinación R^2 0,930129695 R^2 ajustado 0,92430717 R^2 ajustado 0,92430717 Error típico 3,876481166 Error típico 3,876481166 Observaciones 14 Observaciones 14 ANÁLISIS DE VARIANZA Regresión Regresión Residuos Residuos Total

Total Intercepción Porcentaje de fibra

Grados de de libertad libertad Grados 1 1 12 12 13 13

Suma de de cuadrados cuadrados Suma 2400,531868 2400,531868 180,3252747 180,3252747 2580,857143 2580,857143

Coeficientes 130,6747253 Coeficientes 1,624175824

Error típico 2,417790201 Error típico 0,128504099

Promedio de de los los cuadrados cuadrados Promedio 2400,531868 2400,531868 15,02710623 15,02710623

FF 159,7467824

Valor crítico crítico de de FF Valor 2,70702E-08 159,7467824 2,70702E-08

Estadístico t

Probabilidad

Inferior 95%

54,047173 Estadístico t 12,63909737 54,047173 12,63909737 P 0,000

1,05975E-15 Probabilidad 2,70702E-08 1,05975E-15 2,70702E-08

125,406813 Inferior 95% 1,344189444 125,406813 1,344189444

Intercepción de varianza en Minitab 130,6747253 2,417790201 Análisis Porcentaje de fibra 1,624175824 0,128504099 Análisis de los residuales Fuente GL SC MC F Regresión 1 2400,5 2400,5 Residuos 159,75 Pronóstico Resistencia Análisis de losObservación residuales Error residual 12 180,3 1 137,1714286 15,0 -3,171428571 Total 13 2580,9 2 140,4197802 4,58021978 Observación Pronóstico Resistencia Residuos 3 143,6681319 -1,668131868 14 -3,171428571 146,9164835 2,083516484 S = 3,87648 R-cuad. 137,1714286 = 93,0% R-cuad.(ajustado) = 92,4% 150,1648352 -6,164835165 25 140,4197802 4,58021978 153,4131868 6,586813187 36 143,6681319 -1,668131868 7 156,6615385 -0,661538462 146,9164835 2,083516484 Coeficiente48 de determinación . Este coeficiente se 159,9098901 ajustado -2,90989011 59 150,1648352 -6,164835165 163,1582418 4,841758242 siguiente manera: 6 153,4131868 6,586813187 10 166,4065934 -0,406593407 11 169,6549451 -2,654945055 7 156,6615385 -0,661538462 12 172,9032967 -1,903296703 8 159,9098901 -2,90989011 13 176,1516484 -2,151648352 9 163,1582418 4,841758242 14 179,4 3,6 10 166,4065934 -0,406593407 11 169,6549451 -2,654945055 12 172,9032967 -1,903296703 13 176,1516484 -2,151648352 14 179,4 3,6


calcula de la

(1.18)


Calidad de ajuste en regresión lineal simple 21

donde el cuadrado medio total, , se obtiene al dividir la suma de cuadrados total, , entre sus grados d libertad. Cuando hay muchos términos en un modelo, el estadístico se prefiere en lugar de , puesto que este último es engañoso al incrementarse en forma artificial con cada término que se agrega al modelo, aunque sea un término que no contribuya en nada a la explicación de la respuesta. En cambio, el incluso baja de valor cuando el término que se agrega no aporta nada. Se cumple que . En general, para fines de predicción se recomienda un coeficiente de determinación ajustado de al menos 0,7. En el caso de los datos de la resistencia de la pulpa (tabla 1.1), el coeficiente de determinación ajustado está dado por:

Observe que estos coeficientes son arrojados automáticamente en Excel y Minitab.

Coeficiente de correlación

. Es bien conocido que el coeficiente de correlación,

, mide la intensidad de la relación lineal entre dos variables Si se tiene pares de datos de la forma ( , entonces este coeficiente se obtiene de la siguiente manera:

(1.19)

Se puede ver que ; si es próximo a , entonces tendremos una relación lineal negativa fuerte, y si es próximo a cero, entonces diremos que no hay correlación lineal, y finalmente se es próximo a , entonces tendremos una relación lineal positiva fuerte. Por ejemplo, para los datos de la resistencia de la pulpa (tabla 1.1), el coeficiente de correlación es;

lo cual habla de una correlación lineal positiva fuerte.



22

CAPÍTULO 1


Error estándar de estimación

. Una medición sobre la calidad del ajuste de un

modelo lo da el error estándar de estimación, que es una estimación de la desviación estándar del error . En el caso de la regresión lineal simple, está dado por: = (1.20)

Es claro que a medida que el modelo ajuste mejor, la consecuencia el error estándar de estimación también será menor.

será menor y en

Análisis gráfico de residuos. Como complemento a lo que se ha discutido hasta aquí, un análisis adecuado de los residuos proporciona información adicional sobre la calidad del ajuste del modelo de regresión y de esa manera es posible verificar si el modelo es adecuado. Las gráficas que suelen hacerse para completar el diagnóstico del modelo consisten en: a) graficar los residuos en papel de probabilidad normal, b) graficar los residuos contra los predichos.

Por ejemplo, para los datos de la resistencia de la pulpa (tabla 1.2), se construye la gráfica de probabilidad normal que se muestra en la figura 1.4. En ésta se aprecia que el supuesto de normalidad sobre los errores se cumple razonablemente bien, ya que los puntos en esta gráfica tienden a ajustarse a la línea recta. Gráfica de probabilidad normal (la respuesta es Resistencia)

99

95 90

Porcentaje

80 70 60 50 40 30 20 10 5

1

-10

-5

0 Residuo

5

10

Figura 1.4 Gráfica de probabilidad normal para los residuos de la resistencia de la pulpa

A partir de la tabla 1.2 es fácil obtener la gráfica de residuos contra predichos que se muestra en la figura 1.5. Si el modelo es adecuado se espera que en esta gráfica los puntos no sigan ningún patrón y que, por lo tanto, estén distribuidos más o menos aleatoriamente a lo largo y ancho de la gráfica. Cuando esto ocurre significa que el modelo se ajusta de igual manera a lo largo de los valores de . Por el contrario, si se aprecia algún patrón habrá que ver cuál es el tipo de patrón que se observa en la gráfica y diagnosticar cuál es la falla que registra el modelo



Estimación y predicción por intervalos en regresión lineal simple

23

vs. ajustes

(la respuesta es Resistencia) 7,5 5,0

Residuo

2,5 0,0 -2,5 -5,0 140

150

160 Valor ajustado

Figura 1.5 Gráfica de residuos contra estimados o predichos

170

180

para la resistencia de la pulpa

En particular la figura 1.5 no muestra ninguna anomalía, lo cual es una evidencia más a favor del modelo de regresión simple para este ejemplo.

1.1.3. Estimación y predicción por intervalo en regresión lineal simple Una de las aplicaciones más importantes en un análisis de regresión es hacer estimaciones de la respuesta media para un valor dado de X. En el caso particular de la regresión lineal simple, sabemos que un estimador puntual de la respuesta media lo da la recta de regresión:

Además de esto, en ocasiones es de interés obtener una estimación por intervalos para a partir de cualquier valor de X, para lo cual aplicamos la siguiente ecuación:

(1.21)

A este intervalo se le conoce como intervalo para la recta de regresión. Note que su amplitud depende del y de la distancia entre y . La amplitud es mínima cuando = y se incrementa conforme se hace más grande. Para ilustrar lo anterior consideremos el modelo ajustado a los datos del ejemplo de la resistencia de la pulpa (tabla 1.1), y obtenemos el intervalo de confianza para la respuesta media en = 12 (porcentaje de fibra) Primeramente calculemos el estimador puntual para por

cuando

= 12, está dado

y un intervalo de confianza al 95% para Instituto Tecnológico de Ensenada


24

CAPÍTULO 1


De aquí que el intervalo de confianza para la respuesta media en por:

= 12 está dada

Además de la estimación puntual para la pendiente y la ordenada al origen, , es posible obtener estimaciones de los intervalos de confianza para estos parámetros. La anchura de estos intervalos de confianza es una medida de la calidad global de la recta de regresión. Si los términos del error, del modelo de regresión tienen una distribución normal e independiente, entonces tienen ambos una distribución igual a la de una variable aleatoria grados de libertad. Esto lleva a la siguiente definición de los intervalos de confianza del % para la pendiente y la ordenada al origen.

(1.22)

(1.23)

En el caso del intervalo de confianza para la pendiente de los datos del porcentaje de fibra (tabla 1.1) tenemos

Por lo que pendiente de forma puntual es 1,6242, y por intervalos con un 95% de nivel de confianza tenemos que esta se encuentra entre 1,3442 y 1,9042 Ejercicios 1.- En un artículo se presentaron los datos de la concentración del licor verde ( , y la producción de una máquina papelera ( . Los datos se muestran en la tabla siguiente



Estimación y predicción por intervalos en regresión lineal simple 25 Número de observación

Concentración Del licor verde

Producción (tons

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

40 42 49 46 44 48 46 43 53 52 54 57 58

825 830 890 895 890 910 915 960 990 1010 1012 1030 1050

a) Encuentre un intervalo de confianza de 99% para b) La concentración media de cuando la producción es

toneladas

c) Encuentre un intervalo de predicción de 99% para la concentración de cuando toneladas 2.-

Remítase

a los datos del ejercicio 3 (de la sección anterior) para intrínseca del concreto y a la compresión. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para: a) la pendiente b) la ordenada al origen c) la permeabilidad media cuando d) Encuentre un intervalo de predicción 95% para la permeabilidad cuando 3.- En el ejercicio 4 (de la sección anterior) se presentaron los datos de la temperatura superficial de una carretera y la deflexión del pavimento . Encuentre un intervalo de confianza de 99% para: a) la pendiente b) la ordenada al origen c) la deflexión media cuando la temperatura es d) Encuentre un intervalo de predicción de 99% para la deflexión del pavimento cuando la temperatura es de .

1.1.4. Uso de un software estadístico Excel En la hoja de cálculo de Excel se incluye la regresión lineal simple y múltiple; para ello, es necesario realizar la siguiente secuencia de opciones: Datos


Análisis de datos

Regresión


26

CAPÍTULO 1


Generalmente Excel no trae instalado la herramienta de análisis de datos esta debe instalarse con la siguiente secuencia: 1.- En la hoja de cálculo de Excel (pantalla principal) hacer clic con el puntero en el símbolo del sistema localizado en el extremo superior izquierdo

2.- De la ventana desplegada hacer clic en opciones de Excel (parte inferior)

3.-

De

la

ventana

desplegada


hacer

clic

en

complementos


Uso de un software estadístico

27

4.- De la ventana desplegada hacer clic en ir

5.- De esta ventana activar la casilla de herramientas para análisis (palomearla) y dar clic en aceptar. De esta manera hemos activado la opción de análisis de datos.

Para capturar la tabla de datos para el análisis de regresión lineal simple o múltiple, primeramente capturamos los datos en la hoja de cálculo, posteriormente activamos Datos seguido de Análisis de datos y seleccionamos Regresión Datos


Análisis de datos

Regresión


28

CAPÍTULO 1


En la ventana de captura se solicitará el rango de celdas donde se encuentran los datos para la variable dependiente Rango de entrada y para la(s) variable(s) regresora(s) Rango de entrada

Activamos la casilla de rótulos, por default está indicado en una hoja nueva, seleccionamos además cualquiera de las opciones de residuos, grafica de residuales, y curva de regresión ajustada y aceptar.

En Minitab En Minitab la secuencia de captura para la regresión lineal simple o múltiple en la hoja de cálculo una vez capturada las columnas de datos seleccionamos Estadísticas luego Regresión seguida de Regresión nuevamente



Uso de un software estadístico

29

de la ventana desplegada en respuesta indicamos la variable de respuesta, en este caso es resistencia y en predictor indicamos porcentaje de fibra activando también cualquiera de las opciones posibles, terminando en aceptar.

Nota: De la ventana de captura aparecen automáticamente en el cuadro de la izquierda la información de la tabla, en respuesta, se indica con un clic del ratón en resistencia y este automáticamente se manifiesta en el recuadro, en predictores de igual manera se da un clic en porcentaje de fibra y igualmente se manifiestan en el recuadro.



30

CAPÍTULO 1


1.2. Regresión lineal múltiple En muchas situaciones prácticas existen varias variables independientes que se cree que influyen o están relacionadas con una variable de respuesta , y por lo tanto será necesario tomar en cuenta si se quiere predecir o entender mejor el comportamiento de . Por ejemplo, para explicar o predecir el consumo de electricidad en una casa habitación tal vez sea necesario considerar el tipo de residencia, el número de personas que la habitan, la temperatura promedio de la zona, etcétera. Sea variables independientes o regresoras, y sea una variable de respuesta, entonces el modelo de regresión lineal múltiple con variables independientes es el polinomio de primer orden:}

(1.22)

Donde los son los parámetros del modelo que se conocen como coeficientes de regresión y es el error aleatorio, con media cero, . Si en la ecuación (1.22) , estamos en el caso de regresión lineal simple y el modelo es una línea recta; si , tal ecuación representa un plano. En general, la ecuación (1.22) representa un hiperplano en el espacio de dimensiones generado por las variables { }. El término lineal del modelo de regresión se emplea debido a que la ecuación (1.22) es función lineal de los parámetros desconocidos La interpretación de éstos es muy similar a lo ya explicado para el caso de regresión lineal simple: es la ordenada al origen, y mide el cambio esperado en por cambio unitario en cuando el resto de las variables regresoras se mantienen fijas o constantes. Para encontrar los coeficientes de regresión múltiple por el método de mínimos cuadrados aplicamos el siguiente sistema de ecuaciones normales:

(1.23)

Estas ecuaciones se pueden resolver para , y método apropiado para resolver sistemas de ecuaciones lineales

mediante cualquier

Por ejemplo La siguiente tabla muestra los pesos Y a la libra más cercana, las estaturas X1 a la pulgada más cercana y las edades X2 al año más cercano de 12 muchachos.



Regresión lineal múltiple

31

Tabla 1.5 Peso, estatura y edad

Peso Estatura Edad 64 71 53 67 55 58 77 57 56 51 76 68

57 59 49 62 51 50 55 48 52 42 61 57

8 10 6 11 8 7 10 9 10 6 12 9

Para encontrar los coeficientes de regresión ( , y método de mínimos cuadrados seria de la siguiente manera

) múltiple mediante el

Tabla 1.6 Procedimiento para realizar los cálculos para la regresión múltiple Y

X1

X2

Y2

X 12

X 22

X 1Y

X 2Y

X1 X 2

64 71 53 67 55 58 77 57 56 51 76 68

57 59 49 62 51 50 55 48 52 42 61 57

8 10 6 11 8 7 10 9 10 6 12 9

4096 5041 2809 4489 3025 3364 5929 3249 3136 2601 5776 4624

3249 3481 2401 3844 2601 2500 3025 2304 2704 1764 3721 3249

64 100 36 121 64 49 100 81 100 36 144 81

3648 4189 2597 4154 2805 2900 4235 2736 2912 2142 4636 3876

512 710 318 737 440 406 770 513 560 306 912 612

456 590 294 682 408 350 550 432 520 252 732 513

y 

x1 

x2 

y 2 

x12 

x22 

x1 y 

x2 y 

x1 x2 

976

40,830

6,796

5,779

753

643

106

48,139

34,843

Al sustituir las sumatorias calculadas en las ecuaciones normales, se obtiene



32

CAPÍTULO 1


Resolver este sistema de tres ecuaciones lineales para , y , es por lo menos tedioso. Es común emplear matrices para simplificar el proceso. Hoy en día, esta clase de cálculos son realizados por la computadora. El resultado seria el siguiente tanto la ecuación de regresión es

,

y

por lo

La solución manual aplicando el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas (3x3) pudiera ser aplicando el métodos de eliminación de Gauss o bien el método de Cramer. Para este tipo de planteamiento se recomienda el método de Cramer el cual consiste en la siguiente secuencia:

Siguiendo la misma secuencia de la multiplicación para el denominador, así como para y

Sustituyendo los valores tendremos



Regresión lineal múltiple

753 40,830 6,796

643 34,843 5,779

106 5,779 976

753 40,830 6,796

643 34,843 5,779

12 643 106

643 34,843 5,779

106 5,779 976

12 643 106

643 34,843 5,779

33

(2.56070963x1010+ 2.525323601x1010+ 2.501139642x1010) – (2.510006097x1010+ 2.514782127x1010+ 2.562360144x1010) ( 408081216 + 393885082 + 393885082 ) – ( 391495948 + 400762092 + 403526224 )

Siguiendo el mismo procedimiento correspondiente para coeficientes de regresión múltiple

y

tenemos los

Análisis de regresión: Peso vs. Estatura; Edad en Minitab La ecuación de regresión es Peso = 3,7 + 0,855 Estatura + 1,51 Edad

Predictor Constante Estatura Edad

Coef 3,65 0,8546 1,506

S = 5,36321

Coef. de EE 16,17 0,4517 1,414

T 0,23 1,89 1,07

R-cuad. = 70,9%

P 0,826 0,091 0,315

R-cuad.(ajustado) = 64,4%

Análisis de varianza Fuente Regresión Error residual Total

GL 2 9 11

SC 629,37 258,88 888,25


MC 314,69 28,76

F 10,94

P 0,004


34

CAPÍTULO 1


Resultados en Excel Resumen Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R^2 R^2 ajustado Error típico Observaciones

0,841756673 0,708554296 0,643788584 5,363214691 12

ANÁLISIS DE VARIANZA Regresión Residuos Total

Intercepción Estatura Edad




F 10,9402688

Valor crítico de F 0,003895018

Coeficientes 3,651215805 0,854609929 1,50633232

Error típico 16,16780562 0,451664156 1,414265835

Estadístico t 0,22583249 1,892135824 1,06509843

Probabilidad 0,82637676 0,0910251 0,31457045

Inferior 95% -32,9229014 -0,167125373 -1,692959262

Pronóstico Peso 64,41464032 69,13652482 54,56509625 73,20668693 59,28698075 56,9260385 65,71808511 58,22948328 63,15425532 48,58282675 73,85840932 65,92097264

Residuos -0,414640324 1,863475177 -1,565096251 -6,20668693 -4,28698075 1,073961499 11,28191489 -1,229483283 -7,154255319 2,417173252 2,141590679 2,079027356

Análisis de los residuales Observación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1.2.1. Pruebas de hipótesis en regresión lineal múltiple Las hipótesis sobre los parámetros del modelo son equivalentes a las realizadas para regresión lineal simple, pero ahora son más necesarias porque en regresión múltiple tenemos más parámetros en el modelo; sin embargo, por lo general es necesario evaluar su verdadera contribución a la explicación de la respuesta. También requerimos de la suposición de que los errores se distribuyen en forma normal, independientes, con media cero y varianza . Una consecuencia de esta suposición es que las observaciones son: . La hipótesis global más importante sobre un modelo de regresión múltiple consiste en ver si la regresión es significativa. Esto se logra probando la siguiente hipótesis:

Aceptar significa que ningún término o variable en el modelo tiene una contribución significativa al explicar la variable de respuesta . Mientras que rechazar implica que por lo menos un término en el modelo contribuye de manera significativa a explicar . El procedimiento para probar esta hipótesis es una generalización del procedimiento utilizado para probar la hipótesis equivalente en regresión lineal simple.



Pruebas de hipótesis en regresión lineal múltiple

35

El estadístico de prueba para la significancia del modelo de regresión lineal múltiple esta dado por:

(1.24)

que

bajo

tiene una distribución o también si

.

Ejemplo Se probará la significación de la regresión (con pesos , estaturas y edades de la tabla 1.5

Así,

se

rechaza

si

utilizando los datos de los

El valor de calculado por formula nos da un valor de comodidad observamos el resumen arrojado por Excel y/o Minitab

= 10,9402 ,por

10,94 En tanto que el valor de encontrado en tablas cuando tenemos un nivel de significancia de 0,05 y 2 grados de libertad en el numerador y 9 en el denominador el cual es igual a 4,26 =

= Se rechaza la Hipótesis nula

Dado que el valor encontrado en formula es mayor al punto crítico en base al nivel de significancia por lo que rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alterna lo cual implica que por lo menos un término en el modelo contribuye de manera significativa a explicar Tabla 1.7 ANOVA para la significancia del modelo de regresión lineal múltiple Fuente de variación Regresión

Suma de cuadrados

Grados de libertad K

Cuadrado medio

Error o residuo Total


n-1


Resumen Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R^2 R^2 ajustado Error típico Observaciones

36

CAPÍTULO 1

0,841756673 0,708554296 0,643788584 5,363214691 12






F 10,9402688


Coeficientes

Error típico 16,16780562 0,451664156 1,414265835 F

Estadístico t 0,22583249 1,892135824 1,06509843

Probabilidad 0,82637676 0,0910251 0,31457045

Inferior 95% -32,9229014 -0,167125373 -1,692959262

Análisis de varianza en 3,651215805 Minitab Intercepción Estatura

0,854609929

Edad Fuente Regresión Análisis de los residuales Error residual Total Observación

1,50633232 SC MC 629,37 314,69 10,94 258,88 28,76 888,25 Pronóstico Peso Residuos

GL 2 9 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

64,41464032 69,13652482 54,56509625 73,20668693 59,28698075 56,9260385 65,71808511 58,22948328 63,15425532 48,58282675 73,85840932 65,92097264

Coeficiente de determinación

P 0,004

-0,414640324 1,863475177 -1,565096251 -6,20668693 -4,28698075 1,073961499 11,28191489 -1,229483283 -7,154255319 2,417173252 2,141590679 2,079027356

El que un modelo sea significativo no necesariamente implica que sea bueno en términos de que explique la variación de los datos. Por ello es importante tener mediciones adicionales de la calidad del ajuste del modelo, como las gráficas de residuales y el coeficiente de determinación. Con la información del análisis de varianza de la tabla 1.7 es muy sencillo calcular el coeficiente de determinación , y el coeficiente de determinación ajustado :

(1.25)

(1.26)

Ambos coeficientes se interpretan de forma similar al caso de regresión lineal simple, es decir, como el porcentaje de variabilidad de los datos que son explicados por el modelo. Se cumple que ; en general, para hablar de un modelo que tiene un ajuste satisfactorio es necesario que ambos coeficientes tengan valores superiores a 0,7. Cuando en el modelo hay términos que no contribuyen de manera significativa a éste, el tiende a ser menor que el . Por lo tanto, es deseable depurar el modelo y para ello las siguientes pruebas de hipótesis son de mucha utilidad. Para los datos de la tabla 1.5 tenemos que



Pruebas de hipótesis en regresión lineal múltiple

37

Coeficiente de correlación múltiple Es la raíz cuadrada del coeficiente de determinación

(1.27)

y es una medida de la intensidad de la relación entre la variable dependiente, , y el conjunto de variables o términos en el modelo Error estándar de estimación Al igual que en regresión lineal simple, el error estándar de estimación proporciona la medida del error de ajuste de un modelo, éstas tienen una interpretación similar a la que se dio para el caso de regresión lineal simple. En cuanto al cálculo en el caso múltiple, el error estándar de estimación,

(1.28)

En el caso del ejemplo de los pesos, estatura y edades tenemos

1.2.2. Intervalos de confianza y predicción en regresión múltiple En los modelos de regresión múltiple con frecuencia es conveniente construir estimaciones de intervalos de confianza para los coeficientes de regresión . Por ejemplo, a partir de la tabla 1.6 es claro que un estimador por intervalos de cada coeficiente en lo individual está dado por:

(1.29) Tabla 1.8 Análisis de regresión múltiple Parámetro Estimación Error estándar Intercepción

. .

. .


. .

Estadístico

Valor-p

. .


Coeficiente de determinación R^2 R^2 ajustado Error típico Observaciones

38 CAPÍTULO 1 ANÁLISIS DE VARIANZA

0,708554296 0,643788584 5,363214691 12


Regresión Residuos Total





F 10,9402688


Coeficientes 3,651215805 0,854609929 1,50633232

Error típico 16,16780562 0,451664156 1,414265835

Estadístico t 0,22583249 1,892135824 1,06509843

Probabilidad 0,82637676 0,0910251 0,31457045

Inferior 95% -32,9229014 -0,167125373 -1,692959262

Pronóstico Peso

Residuos

73,20668693 59,28698075 56,9260385 65,71808511 58,22948328 63,15425532 48,58282675 73,85840932 65,92097264

-6,20668693 -4,28698075 1,073961499 11,28191489 -1,229483283 -7,154255319 2,417173252 2,141590679 2,079027356

Análisis de los residuales Observación

1 64,41464032 -0,414640324 de confianza con respecto a la respuesta También es posible obtener un intervalo 2 69,13652482 1,863475177 media en un punto particular, digamos -1,565096251 está dado por: 3 54,56509625 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ejercicios de regresión lineal múltiple

13.- ¿Por qué se requiere la regresión lineal múltiple? 14.- Se realizo un estudio para investigar la relación de la resistencia al corte del terreno ( ) con la profundidad en pies ( ) y el contenido de humedad . Se hicieron 10 observaciones, obteniéndose las siguientes cantidades resumidas ,

,

,

,

,

,

,

,

y

a) Establezca las ecuaciones normales de mínimos cuadrados para el modelo b) Estime los parámetros del modelo del inciso a) c) ¿Cuál es la resistencia predicha cuando pies y

?

15.- En una empresa dedicada a anodizar artículos de aluminio (baterías de cocina), el anodizado se logra con una solución hecha a base de ácidos (sulfúrico, cítrico, bórico) y dicromato de aluminio. En este proceso se controla el pH de la solución, la temperatura, la corriente y el tiempo de permanencia. Debido al poco grosor del anodizado, han aumentado las quejas por la escasa resistencia y durabilidad del producto. Para resolver este problema se decide estudiar, mediante un experimento, la relación del pH y la temperatura con el grosor del anodizado. Los datos se muestran en la siguiente tabla: pH 1,2 1,8 1,2 1,8 1,2 1,8 1,2 1,8 1,5 1,5

Temperatura -8 -8 8 8 -8 -8 8 8 0 0

Espesor 9 14 10 19 8 12 11 20 14 13

a) ¿Cuáles son las variables independientes y cuál la dependiente? Argumente



Intervalos de confianza y predicción en regresión múltiple

39

b) Ajuste un modelo del tipo y anote la ecuación del modelo ajustado c) A partir del modelo ajustado, ¿cuál es el espesor estimado cuando se utiliza un pH = 2 y una temperatura de 10 grados? d) ¿El modelo es adecuado? Argumente con base en graficas de residuos, pruebas de hipótesis y coeficientes de determinación. 16.- Se realizó un experimento para estudiar el sabor del queso panela en función de la cantidad del cuajo y la sal. La variable de respuesta observada es el sabor promedio reportado por un grupo de cinco panelistas que probaron todos los quesos y los calificaron en una escala hedónica. Los datos obtenidos se muestran a continuación: Sal 6 5,5 4,5 4 4,5 5,5 5 5

Cuajo 0,3 0,387 0,387 0,3 0,213 0,213 0,3 0,3

Sabor 5,67 7,44 7,33 6,33 7,11 7,22 6,33 6,66

a) Ajuste el modelo b) ¿El modelo explica la variación observada en el sabor? Argumente con base en la significancia del modelo, los residuales y el coeficiente de determinación.

c) Ajuste un modelo que incluya términos cuadráticos y analice con detalle la calidad del ajuste aplique las pruebas de hipótesis d) Compare el error estándar de estimación ( ( ) para ambos modelos e) ¿Cuál modelo prefiere para explicar el sabor?

y los coeficientes de determinación

17.- Se piensa que la energía eléctrica consumida mensualmente por una planta química se relaciona con la temperatura ambiente promedio ( , el número de días laborales del mes ( , la pureza promedio del producto y las toneladas del producto producidas . Se cuenta con los datos del último año, los cuales se presentan en la tabla siguiente:

240 236 290 274 301 316 300 296 267 276 288 261

25 31 45 60 65 72 80 84 75 60 50 38

24 21 24 25 25 26 25 25 24 25 25 23

91 90 88 87 91 94 87 86 88 91 90 89

100 95 110 88 94 99 97 96 110 105 100 98

a) Ajuste un modelo de regresión lineal múltiple a estos datos Instituto Tecnológico de Ensenada


40

CAPÍTULO 1


b) Prediga el consumo de electricidad para un mes en el que días y toneladas c) Calcule para este modelo. Interprete esta cantidad d) Grafique los residuales contra . Interprete la grafica

,

1.2.3. Uso de un software estadístico Para capturar la tabla de datos para el análisis de regresión lineal múltiple, primeramente capturamos los datos en la hoja de cálculo, posteriormente activamos Datos seguido de Análisis de datos y seleccionamos Regresión, y aceptar Datos

Análisis de datos

Regresión

En la ventana de captura se solicitará el rango de celdas donde se encuentran los datos para la variable dependiente Rango de entrada y para la(s) variable(s) regresora(s) Rango de entrada (para los datos de X1 y X2, se sombrean ambos simultáneamente con el ratón, en este caso a partir de la columna 2)



Uso de software estadístico

41

Activamos la casilla de rótulos, por default está indicado en una hoja nueva, seleccionamos además cualquiera de las opciones de residuos, grafica de residuales, y curva de regresión ajustada y aceptar y tendremos el resultado. Resumen Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R^2 R^2 ajustado Error típico Observaciones

0,841756673 0,708554296 0,643788584 5,363214691 12



Grados de libertad 2 9 11 Coeficientes 3,651215805 0,854609929 1,50633232

Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados F 629,3733536 314,6866768 10,9402688 258,8766464 28,76407182 888,25 Error típico 16,16780562 0,451664156 1,414265835

Estadístico t 0,22583249 1,892135824 1,06509843

Probabilidad 0,82637676 0,0910251 0,31457045


Inferior 95% -32,92290147 -0,167125376 -1,692959268

Superior 95% 40,22533308 1,876345234 4,705623908

Inferior 95,0% -32,92290147 -0,167125376 -1,692959268

Superior 95,0% 40,22533308 1,876345234 4,705623908

Utilizando Minitab En Minitab la secuencia de captura para la regresión lineal simple o múltiple en la hoja de cálculo una vez capturada las columnas de datos seleccionamos Estadísticas luego Regresión seguida de Regresión nuevamente Estadísticas

Regresión

Regresión

De la ventana desplegada en respuesta indicamos la variable de respuesta, en este caso es resistencia y en predictor indicamos porcentaje de fibra activando también cualquiera de las opciones posibles, terminando en aceptar.



42

CAPÍTULO 1


Nota: De la ventana de captura aparecen automáticamente en el cuadro de la izquierda la información de la tabla, en respuesta , se indica con un clic del ratón en peso y este automáticamente se manifiesta, en predictores de igual manera se da un clic a cada uno y estos se manifiestan en el recuadro. Análisis de regresión: Peso vs. Estatura; Edad La ecuación de regresión es Peso = 3,7 + 0,855 Estatura + 1,51 Edad

Predictor Constante Estatura Edad

Coef 3,65 0,8546 1,506

S = 5,36321

Coef. de EE 16,17 0,4517 1,414

T 0,23 1,89 1,07

R-cuad. = 70,9%

P 0,826 0,091 0,315 R-cuad.(ajustado) = 64,4%

Análisis de varianza Fuente Regresión Error residual Total Fuente Estatura Edad

GL 1 1

GL 2 9 11

SC 629,37 258,88 888,25

MC 314,69 28,76

F 10,94

P 0,004

SC sec. 596,74 32,63

Observaciones poco comunes Obs 7

Estatura 55,0

Peso 77,00

Ajuste 65,72

Ajuste SE 1,96

Residuo 11,28

Residuo estándar 2,26R

R denota una observación con un residuo estandarizado grande.



Regresión no lineal

43

1.3. Regresión no lineal Si las dos variables X y Y se relacionan según un modelo de línea recta, se habla de regresión lineal simple

Cuando las variables X y Y se relacionan según una línea curva, se habla de regresión no lineal o curvilínea. Aquí se puede distinguir entre regresión parabólica, exponencial, potencial etc. Supongamos que al hacer la representación gráfica correspondiente la distribución bidimensional, hemos obtenido la figura 6.1c. Se observa una clara relación entre las dos variables, pero desde luego, esa relación no es lineal. Por tanto, debemos buscar la función que ha de describir la dependencia entre las dos variables. Nos limitaremos al estudio de las más utilizadas: la función parabólica, la logarítmica, la exponencial y la potencial.

Parábola de Regresión En muchos casos, es una función de segundo grado la que se ajusta lo suficiente a la situación real dada. La expresión general de un polinomio de 2º grado es:

donde a, b y c son los parámetros. El problema consiste, por tanto, en determinar dichos parámetros para una distribución dada. Seguiremos para ello, un razonamiento similar al que hicimos en el caso del modelo de regresión lineal simple, utilizando el procedimiento de ajuste de los mínimos cuadrados, es decir, haciendo que la suma de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la curva de regresión sea mínima:

donde, siguiendo la notación habitual, yi son los valores observados de la variable dependiente, e los valores estimados según el modelo; por tanto, podemos escribir D de la forma:



44

CAPÍTULO 1


Para encontrar los valores de a, b y c que hacen mínima la expresión anterior, deberemos igualar las derivadas parciales de D con respecto a dichos parámetros a cero y resolver el sistema resultante. Las ecuaciones que forman dicho sistema se conocen como ecuaciones normales de Gauss (igual que en el caso de la regresión lineal simple).

Función Exponencial, Potencial y Logarítmica El problema de ajustar un modelo potencial, de la forma y uno exponencial se reduce al de la función lineal, con solo tomar logaritmos. Modelo potencial: Si tomamos logaritmos en la expresión de la función potencial, obtendremos:

Como vemos es la ecuación de una recta: , donde ahora . De modo que el problema es sencillo, basta con transformar Y en y X en y ajustar una recta a los valores transformados. El parámetro b del modelo potencial coincide con el coeficiente de regresión de la recta ajustada a los datos transformados, y A lo obtenemos mediante el antilog(a).

Modelo exponencial: Tomando logaritmos en la expresión de la función exponencial, obtendremos:

También se trata de la ecuación de una recta , pero ahora ajustándola a y a X; de modo que, para obtener el parámetro A del modelo exponencial, basta con hacer antilog(a), y el parámetro B se obtiene tomando antilog(b).

Modelo logarítmico: La curva logarítmica Y = a + b es también una recta, pero en lugar de estar referida a las variables originales X e Y, está referida a y a Y. Hemos visto, cómo, a pesar de ser inicialmente modelos mucho más complejos que el de una recta, estos tres últimos se reducen al modelo lineal sin más que transformar adecuadamente los datos de partida.



45

Capítulo 2 Diseño de experimentos de un factor

2.1. Familia de diseños para comparar tratamientos 2.2. El modelo de efectos fijos 2.3. Diseño completamente aleatorio y ANOVA 2.4. Comparaciones o pruebas de rangos múltiples 2.5. Verificación de los supuestos del Modelo 2.6. Uso de un software estadístico



46

CAPÍTULO 2

Diseño de experimentos de un factor

Competencias 1. Identificar dentro de la familia de los diseños experimentales, aquellos utilizados en la comparación de tratamientos. 2. Diferenciar los distintos modelos estadísticos y los análisis de varianzas en experimentos con un sólo factor. 3. Realizar las diversas pruebas de rangos múltiples y la comparación por contrastes. 4. Verificar los supuestos del modelo estadístico en diseños con un solo factor.

Experimentos con un solo factor En este tipo de diseño de experimento se considera un sólo factor de interés y el objetivo es comparar más de dos tratamientos, con el fin de elegir la mejor alternativa entre las varias que existen, o por lo menos para tener una mejor comprensión del comportamiento de la variable de interés en cada uno de los distintos tratamientos. En esta unidad se presentan los diseños experimentales que se utilizan cuando el objetivo es comparar más de dos tratamientos. Puede ser de interés comparar tres o más máquinas, varios proveedores, cuatro procesos, tres materiales, cinco dosis de un fármaco, etc. Es obvio que, al hacer tales comparaciones, existe un interés y un objetivo claro. Por ejemplo, una comparación de cuatro dietas de alimentación en la que se utilizan ratas de laboratorio, se hace con el fin de estudiar si alguna dieta que se propone es mejor o igual que las que ya existentes; en este caso, la variable de interés es el peso promedio alcanzado por cada grupo de animales después de ser alimentado con la dieta que le toco. Por lo general, el interés del experimentador está centrado en comparar los tratamientos en cuanto a sus medias poblacionales, sin olvidar que también es importante compararlos con respecto a sus varianzas. Así, desde el punto de vista estadístico, la hipótesis fundamental a probar cuando se comparan varios tratamientos es: (2.1) Con la cual se quiere decidir si los tratamientos son iguales estadísticamente en cuanto a sus medias, frente a la alternativa de que al menos dos de ellos son diferentes. La estrategia natural para resolver este problema es obtener una muestra representativa de mediciones en cada uno de los tratamientos, y construir un estadístico de prueba para decidir el resultado de dicha comparación

Se podría pensar que una forma de probar la hipótesis nula de la expresión (2.1) es mediante la prueba T de Student aplicadas a todos los posibles pares de medias; sin embargo, esta manera de proceder incrementaría de manera considerable el error tipo I (rechazar siendo verdadera).



Experimentos con un solo factor

47

Ejemplo En el caso de comparar varias máquinas, si cada máquina es manejada por un operador diferente y se sabe que éste tiene una influencia en el resultado, entonces, es claro que el factor operador debe tomarse en cuenta si se quiere comparar a las máquinas de manera justa. Un operador más hábil puede ver a su máquina (aunque ésta sea la peor) como la que tiene el mejor desempeño, lo que impide una comparación adecuada de los equipos. Para evitar este sesgo habría dos maneras de anular el posible efecto del factor operador: 

Utilizando el mismo operador en las cuatro máquinas. Esta estrategia no es aconsejable, ya que al utilizar el mismo operador, se elimina el efecto del factor operador, pero restringe la validez de la c omparación a dicho operador, y es posible que el resultado no se mantenga al utilizar otros operadores.



Cada operador trabaje durante el experimento con cada una de las máquinas, esta estrategia es más recomendable, ya que al utilizar todos los operadores con todas las máquinas permite tener resultados de la comparación que son válidos para todos los operadores. Esta última de manera nulificar el efecto de operadores, recibe el nombre de Bloqueo.

Factores de bloqueo. Son factores adicionales al factor de interés que se incorporan de manera explícita en un experimento comparativo, para estudiar de manera más adecuada y eficaz al factor de interés. Observación. Cuando se comparan varias máquinas, manejadas por op eradores diferentes, es pertinente incluir explícitamente al factor operadores (bloques) para lograr el propósito del estudio. También se podrían controlar el tipo de material, lotes, tipo de producto, día, turno, etc. Se controlan factores que por conocimiento del proceso o experiencia previa, se sabe que pueden afectar en forma sensible el resultado de la comparación En el campo de la industria es frecuente hacer experimentos o pruebas con la intención de resolver un problema o comprobar una idea (conjetura, hipótesis); por ejemplo, hacer algunos cambios en los materiales, métodos o condiciones de operación de un proceso, probar varias temperaturas en una máquina hasta encontrar la que de el mejor resultado o crear un nuevo material con la intención de lograr mejoras o eliminar algún problema. Sin embargo, es común que estas pruebas o experimentos se hagan sobre la marcha, con base en el ensayo y error, apelando a la experiencia y a la intuición, en lugar de seguir un plan experimental adecuado que garantice una buena respuesta a las interrogantes planteadas. Algo similar ocurre con el análisis de los datos experimentales, donde más que hacer un análisis riguroso de toda la información obtenida y tomar en cuenta la variación, se realiza un análisis informal, ¨intuitivo¨ Es tal el poder de la experimentación que, en ocasiones, se logra mejoras a pesar de que el experimento se hizo con base en el ensayo y error. Sin embargo, en situaciones de cierta Instituto Tecnológico de Ensenada


48

CAPÍTULO 2


complejidad no es suficiente aplicar este tipo de experimentación, por lo que es mejor proceder siempre en una forma eficaz que garantice la obtención de las respuestas a las interrogantes planteadas en un lapso corto de tiempo y utilizando pocos recursos. El diseño estadístico de experimentos es precisamente la forma más eficaz de hacer pruebas. El diseño de experimentos consiste en determinar cuáles pruebas se deben realizar y de qué manera, para obtener datos que, al ser analizados estadísticamente, proporcionen evidencias objetivas que permitan responder las interrogantes planteadas, y de esa manera clarificar los aspectos inciertos de un proceso, resolver un problema o lograr mejoras. Algunos problemas típicos que pueden resolverse con el diseño y el análisis de experimentos son los siguientes: 1. Comparar a dos o más materiales con el fin de elegir al que mejor cumple los requerimientos. 2. Comparar varios instrumentos de medición para verificar si trabajan con la misma precisión y exactitud. 3. Determinar los factores (las x vitales) de un proceso que tienen impacto sobre una o más características del producto final. 4. Encontrar las condiciones de operación (temperatura, velocidad, humedad, por ejemplo) donde se reduzcan los defectos o se logre un mejor desempeño del proceso. 5. Reducir el tiempo de ciclo del proceso. 6. Hacer el proceso insensible o robusto a oscilaciones de variables ambientales. 7. Apoyar el diseño o rediseño de nuevos productos o procesos 8. Ayudar a conocer y caracterizar nuevos materiales. En general, cuando se requiere mejorar un proceso existen dos maneras básicas de obtener la información necesaria para ello:  

Observar o monitorear vía herramientas estadísticas, hasta obtener señales útiles que permitan mejorarlo; se dice que ésta es una estrategia pasiva. La otra manera consiste en experimentar, es decir, hacer cambios estratégicos y deliberados al proceso para provocar dichas señales útiles.

Al analizar los resultados del experimento se obtienen las pautas a seguir, que muchas veces se concretan en mejoras sustanciales del proceso. En este sentido, experimentar es mejor que sentarse a esperar a que el proceso nos indique por sí solo cómo mejorarlo. El diseño de experimentos es un conjunto de técnicas activas, en el sentido de que no esperan que el proceso mande las señales útiles, sino que éste se ¨manipulan¨ para que proporcione la información que se requiere para su mejoría.

El saber diseño de experimentos y otras técnicas estadísticas, en combinación con conocimientos del proceso, sitúan al responsable del mismo como un observador perceptivo y proactivo que es capaz de proponer mejoras y de observar algo interesante (oportunidades de mejora) en el proceso y en los datos donde otra persona no ve nada. Nota. Comentarles la anécdota de las naranjas



Experimentos con un solo factor

49

2.1. Familia de diseños para comparar tratamientos. Los diseños experimentales más utilizados para comparar tratamientos son: 1. 2. 3. 4.

Diseño completamente al azar (DCA) Diseño en bloque completamente al azar (DBCA) Diseño en cuadro latino (DCL) Diseño en cuadro grecolatino (DCGL)

La diferencia fundamental entre estos diseños es el número de factores de bloque que incorporan o controlan de forma explícita durante el experimento. La comparación de los tratamientos en cuanto a la respuesta media que logran, en cualquiera de estos diseños, se hace mediante la hipótesis

que se prueba con la técnica estadística llamada Análisis de Varianza (ANOVA) con uno, dos, tres o cuatro criterios de clasificación, dependiendo del número de factores de bloques incorporados al diseño. Diseño DCA DBCA

Factores de bloqueo 0 1

ANOVA

con

DCL

2

Tres criterios

DCGL

3

Cuatro criterios

Modelo estadístico

Un criterio Dos criterios

Y es la variable de salida, la media global, el efecto del i-ésimo tratamiento, , son los efectos de tres factores de bloqueo.

error aleatorio, y

El modelo estadístico que describe el comportamiento de la variable observada Y en cada diseño, incorpora un término adicional por cada factor de bloqueo controlado. De acuerdo con los modelos dados en la tabla, para cada diseño comparativo se tienen al menos dos fuentes de variabilidad: los tratamientos o niveles del factor de interés y el error aleatorio. Se agrega una nueva fuente de variabilidad por cada factor de bloque que se controla directamente. Se observa que los diseños suponen que no hay efectos de interacción entre los factores, lo cual sería lo deseable que ocurra; de no ocurrir así, tal efecto se recarga al error y el problema de comparación no se resuelve con éxito. Un efecto de interacción entre dos factores hace referencia a que el efecto de cada factor depende del nivel en que se encuentra el otro.



50

CAPÍTULO 2


2.2. El modelo de efectos fijos El modelo de efectos fijos (es cuando se estudian todos los posibles tratamientos) de análisis de la varianza se aplica a situaciones en las que el experimentador ha sometido al grupo o material analizado a varios factores, cada uno de los cuales le afecta sólo a la media, permaneciendo la "variable respuesta" con una distribución normal. Este modelo se supone cuando el investigador se interesa únicamente por los niveles del factor presentes en el experimento, por lo que cualquier variación observada en las puntuaciones se deberá al error experimental. En caso que los tratamientos tengan efecto, las observaciones describir con el modelo estadístico lineal dado por:

se podrán

(2.2)

donde es el parámetro de escala común a todos los tratamientos, llamado media global, ; es un parámetro que mide el efecto del tratamiento y es el error atribuible a la medición . Este modelo implica que en el diseño completamente al azar actuarían a lo más dos fuentes de variabilidad: Los tratamientos y el error aleatorio. La media global de la variable de respuesta no se considera una fuente de variabilidad por ser una constante común a todos los tratamientos, que hace las veces de punto de referencia con respecto al cual se comparan las respuestas medias de los tratamientos. Si la respuesta media de un tratamiento particular es ¨muy diferente¨ de la respuesta media global , es un síntoma de que existe un efecto de dicho tratamiento, ya que como se verá más adelante, . La diferencia que debe tener las medias entre sí para concluir que hay un efecto (que los tratamientos son diferentes), nos lo dice el análisis de varianza (ANOVA). En la práctica puede suceder que los tratamientos que se desea comparar sean demasiados como para experimentar con todos. Cuando esto sucede es conveniente comparar sólo una muestra de la población de tratamientos, de modo que pasa a ser una variable aleatoria con su propia varianza que deberá estimarse a partir de los datos. En este capítulo sólo se presenta el caso en que todos los tratamientos que se tienen se prueban, es decir, se supone una población pequeña de tratamientos, lo cual hace posible compararlos a todos. En este caso, el modelo dado por la ecuación (2.2) se llama modelo de efectos fijos.

2.3. Diseño completamente al azar y ANOVA Muchas comparaciones, como las antes mencionadas, se hacen con base en el diseño completamente al azar (DCA), que es el más simple de todos los diseños que se utilizan para comparar dos o más tratamientos, dado que sólo consideran dos fuentes de



Diseños completamente al azar y ANOVA

51

variabilidad: los tratamientos y el error aleatorio. En la siguiente unidad veremos diseños que consideran la influencia de otras fuentes de variabilidad (bloques). Este diseño se llama completamente al azar porque todas las corridas experimentales se realizan en orden aleatorio completo. De esta manera, si durante el estudio se hacen en total N pruebas, éstas se corren al azar, de manera que los posibles efectos ambientales y temporales se vayan repartiendo equitativamente entre los tratamientos. Ejemplo 1 Comparación de cuatro métodos de ensamble. Un equipo de mejora investiga el efecto de cuatro métodos de ensamble A, B, C y D, sobre el tiempo de ensamble en minutos con un nivel de significancia de 0.05. En primera instancia, la estrategia experimental es aplicar cuatro veces los cuatro métodos de ensamble en orden completamente aleatorio (las 16 pruebas en orden aleatorio). Los tiempos de ensamble obtenidos se muestran en la tabla 2.1. Si se usa el diseño completamente al azar (DCA), se supone que, además del método de ensamble, no existe ningún otro factor que influya de manera significativa sobre la variable de respuesta (tiempo de ensamble) Tabla 2,1 Diseño completamente al azar para el ejemplo 1

Método de ensamble A B C D 6 7 11 10 8 9 16 12 7 10 11 11 8 8 13 9

Ejemplo 2 Comparación de cuatro tipos de cuero. Un fabricante de calzado desea mejorar la calidad de las suelas, las cuales se pueden hacer con uno de los cuatro tipos de cuero A, B, C y D disponibles en el mercado. Para ello, prueba los cueros con una máquina que hace pasar los zapatos por una superficie abrasiva; la suela de éstos se desgasta al pasarla por dicha superficie. Como criterio de desgaste se usa la pérdida de peso después de un número fijo de ciclos. Se prueban en orden aleatorio 24 zapatos, seis de cada tipo de cuero. Al hacer las pruebas en orden completamente al azar se evitan sesgos y las mediciones en un tipo de cuero resultan independientes de las demás. Los datos (en miligramos) sobre el desgaste de cada tipo de cuero se muestran en la tabla 2.2 Tabla 2,2 Comparación de cuatro tipos de cuero (cuatro tratamientos)

Tipo de cuero A B C D

264 208 220 217


Observaciones 260 258 241 262 220 216 200 213 263 219 225 230 226 215 227 220

255 206 228 222

Promedio 256,7 209,8 230,8 220,7


52

CAPÍTULO 2


El análisis de la varianza de un criterio (ANOVA de un criterio) es una metodología para analizar la variación entre muestras y la variación al interior de las mismas con varianzas, en lugar de rangos. Como tal, es un método estadístico útil para comparar dos o más medias poblacionales. El objetivo del análisis de varianza en el DCA es probar las hipótesis de igualdad de los tratamientos con respecto a la media de la correspondiente variable de respuesta:

Nota: Primeramente explicare el cálculo manual tradicional para ANOVA, posteriormente el simplificado y más práctico, así como su solución utilizando un paquete computacional. El método de ANOVA con un criterio requiere del cálculo de dos estimaciones independientes para , la varianza poblacional común. Estas dos estimaciones se denotan por y . . Se denomina estimación de la varianza entre muestras (Método entre) . Se denomina estimación de la varianza al interior de las muestras (Método dentro) El estadístico entonces resulta

y tiene una distribución muestral que sigue

una distribución F. Estadístico F para el ANOVA con un criterio

(2,3)

El cual se contrastara con el valor de encontrado en tablas en relación a los grados de libertad del numerador entre grados de libertad del denominador y con un nivel de significancia ( ) prefijado. Se rechaza la

si

Se deduce que si es grande, se contradice la hipótesis de que no hay efectos de tratamientos; en cambio, si es pequeño se confirma la validez de

Método dentro El método dentro de estimación de la varianza produce una estimación válida sin importar si la hipótesis nula de las medias poblacionales iguales es cierta. Esto se debe a que la variabilidad de los valores de la muestra se determina comparando cada elemento




53

en los datos con la media muestral. Cada valor de la muestra obtenido de la población A se compara con la media muestral A; cada elemento obtenido de la población B se compara con la media muestral B, y así sucesivamente. La ecuación para calcular la estimación de la varianza con el método dentro es:

= donde:

(2,4)

    

= Estimación de la varianza muestral con el método entre. = i-ésimo elemento de los datos de grupo j. = media del grupo j C = número de grupos n = número de elementos de la muestra en cada grupo.

El número adecuado de grados de libertad para el método dentro se calcula como c(n-1) si el número de observaciones en cada grupo es igual. Como a cada elemento del grupo se le resta la media de ese grupo, sólo (n-1) elementos de cada grupo pueden variar. Además como se tienen c grupos, c se multiplica por (n-1) para obtener los grados de libertad para el método dentro. Grados de libertad para glw = C(n – 1) Método entre El segundo método para estimar la varianza común de la población produce una estimación válida sólo si la hipótesis nula es cierta. Para entender el método entre recuerde el teorema del límite central. Este importante teorema en estadística establece que la distribución de las medias muestrales tiende a una distribución normal conforme crece el tamaño de la muestra, con una media  y una desviación estándar n. Si el error estándar de la media es n, entonces la varianza de la distribución es igual al error estándar al cuadrado, 2n. Esta varianza es una medida de las diferencias entre todas las medias muestrales que puedan obtenerse de la distribución y la media de la población. La raíz cuadrada de esta varianza es el error estándar de la media, es decir, la diferencia estándar entre una media muestral y la media poblacional. En ANOVA, para estimar la varianza de la distribución muestral de medias, se debe estimar primero la media poblacional. La media de todos los valores muestrales proporciona esa estimación. Después, se determina la diferencia entre la media de cada grupo y esta media poblacional estimada, y estas diferencias se elevan al cuadrado y se suman. Este valor, con frecuencia se llama la suma de cuadrados entre (SCb). Esta suma se divide entonces entre el número adecuado de grados de libertad para obtener la estimación de la varianza de la distribución muestral. La ecuación siguiente da el cálculo de la estimación de la varianza de la distribución muestral de las medias:



54

CAPÍTULO 2


= donde:     

(2,5)

= Estimación del método entre de la varianza poblacional común. = media del grupo j. = media global (media de todos los valores), usada como estimación de . C = número de grupos n = número de elementos de la muestra en cada grupo si el número de observaciones en cada uno es el mismo. Grados de libertad para glb = (C – 1)

Tabla ANOVA Los resultados del análisis de varianza se presentan en una tabla ANOVA que resume los valores importantes de la prueba. Esta tabla tiene un formato estándar que usan los libros y los problemas de computadora que ejecutan ANOVA. La siguiente tabla muestra la forma general de la tabla ANOVA. En dicha tabla se resumen los cálculos necesarios para la prueba de igualdad de las medias poblacionales usando análisis de varianza. Primero se usa el método dentro para estimar 2. Cada valor de los datos se compara con su propia media, y la suma de las diferencias al cuadrado se divide entre los grados de libertad c(n-1). Fuf fFuente de variación Grupos Entre Grupos Dentro Total

SC

GL 2

c-1

2

c(n-1)

Estimación de Coeficiente F 2 / glb S S / / glb

  ( xij – x ) 2

donde:  = Número de la columna  i = Número de la fila  c = Número de columnas (grupos)  n = Número de elementos en cada grupo (tamaño de la muestra) La tabla ANOVA contiene columnas con las fuentes de variación, las sumas de cuadrados, los grados de libertad, las estimaciones de la varianza y el valor F para el procedimiento de análisis de varianza.

Retomando el problema del efecto de cuatro métodos de ensamble A, B, C y D, sobre el tiempo de ensamble en minutos tenemos:




55

Método de ensamble A B C D 6 7 11 10 8 9 16 12 7 10 11 11 8 8 13 9

Media ( i) 7,25 8,5 12,75 10,5 Media global : = 9,73 C = 4, n = 4 =4

=

+ + +

Completando la tabla ANOVA, quedando de la siguiente manera Fuente de 2 Variación SC gl Estimación de  Coeficiente F ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Grupos entre 69,49 3 69,75/3 = 23,25 23,25/2,45 = 9,42 Grupos dentro 29,48 12 29,48/12 = 2,45 ----------------------------------------------------------- ----------------------------------------------TOTA 98,97 15

Como la hipótesis a probar es H0: H1:

1 = 2 = 3 = 4 No todas las poblaciones tienen la misma media

El valor de F calculado por tabla cuando tenemos un nivel de significancia de 0,05 y 3 grados de libertad en el numerador y 12 grados de libertad en el denominador es F0,05 (3,12) = 3,49 Como nuestro estadístico de prueba F (9,42) excede el valor crítico tabulado (3,49), rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alterna, concluyendo que sí hay diferencia o efecto de los métodos de ensamble en cuanto a su tiempo promedio.



56

CAPÍTULO 2


Ahora veremos el procedimiento y notación más comúnmente utilizado para la solución de ANOVA Tabla 2.3 Diseño completamente al azar (DCA)

.

Tratamientos … … . . . . . .

…

Notación de puntos Sirve para presentar de manera abreviada cantidades numéricas que se pueden calcular a partir de los datos experimentales donde representa la observación en el tratamiento , con y . Las cantidades de interés son las siguientes:     Note que el punto indica la suma sobre el correspondiente subíndice. Así, algunas relaciones válidas son:

(2.6)

donde

es el total de observaciones.

ANOVA Como ya lo mencionamos el objetivo del análisis de varianza en el DCA es probar la hipótesis de igualdad de los tratamientos con respecto a la media de correspondiente variable de respuesta. Para probar la hipótesis dada por la relación:

mediante la técnica de ANOVA, lo primero es descomponer la variabilidad total de los datos en sus dos componentes: la variabilidad debida a tratamientos y la que corresponde al error aleatorio (equivalente al método entre y método dentro), como se hace a continuación. Una medida de la variabilidad total presente en las observaciones de la tabla 2.3 es la suma total de cuadrados ( ) dada por:




57

(2.7)

donde

es la suma de los

datos en el experimento.

La suma de cuadrados de tratamientos (

) ésta dado por:

(2.8)

donde apreciamos que la mide la variación o diferencias entre tratamientos, ya que si éstos son muy diferentes entre sí, entonces la diferencia tenderá a ser grande en valor absoluto, y con ello también será grande la La suma de cuadrados del error (

) ésta dado por:

(2.9)

donde la mide la variación dentro de tratamientos, ya que si hay mucha variación entre las observaciones de cada tratamiento entonces tenderá a ser grande en valor absoluto. En forma abreviada, esta descomposición de la suma total de cuadrados se puede describir como:

(2.10)

La suma de cuadrados divididos entre sus respectivos grados de libertad se llaman cuadrados medios. Los dos que más interesan son el cuadrado medio de tratamientos ( ) y el cuadrado medio del error ( , que se denotan por:

(2.11)

(2.12)

Con base en este hecho se construye el estadístico de prueba como sigue: se sabe que y son independientes, por lo que y son dos variables son dos variables aleatorias independientes con distribución ji-cuadrada con y grados de libertad, respectivamente. Entonces, bajo el supuesto de que la hipótesis es verdadera, el estadístico

(2.13)

sigue una distribución con ( grados de libertad en el numerador y ( ) grados de libertad en el denominador. De la ecuación (2.13) se deduce que si es grande, se contradice la hipótesis de que no hay efecto de tratamientos; en cambio, si Instituto Tecnológico de Ensenada


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CAPÍTULO 2


es pequeño se confirma la validez de . Así para un nivel de significancia prefijado, se rechaza si donde es el percentil ( ) x 100 de la distribución . También se rechaza si el valor-p , donde el valor-p es el área bajo la distribución a la derecha del estadístico , es decir, el ) Toda la información necesaria para calcular el estadístico hasta llegar al valor-p se escribe en la llamada tabla de análisis de varianza (ANOVA) que se muestra en la tabla 2.4. En esta tabla, las abreviaturas significan lo siguiente: fuente de variabilidad (efecto), suma de cuadrados, grados de libertad, cuadrado medio, estadístico de prueba, valor-p = significancia observada Tabla 2.4 Tabla de ANOVA para DCA SC

GL

CM

Valor-p

Tratamientos

)

Error Total

Análisis del ejemplo 1 (comparación de cuatro tipos de métodos de ensamble). La interrogante que se planteó en el problema de la comparación entre los cuatro tipos de métodos de ensamble fue: ¿existen diferencias entre el tiempo promedio de los diferentes métodos de ensamble? La respuesta a esta pregunta es el resultado de contrastar las hipótesis:

Cálculos manuales Detalles de los cálculos para el ANOVA en DCA para el tiempo de ensamble Métodos de ensamble Observaciones

A 6 8 7 8

B 7 9 10 8

C D 11 10 16 12 11 11 13 9

Total por Tratamiento ( 29 34 51 42 Numero de datos En cada tratamiento ( 4 4 4 4 Media muestral por Tratamiento ( 7.25 8.50 12.75 10.50 Desviaciones respecto -2.50 -1.25 3.0 0.75 A la media global (


Operaciones básicas = Suma de los cuadrados de todas las observaciones o datos = suma de los datos

total de mediciones media global



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1.- Suma total de cuadrados o variabilidad total de los datos: = 1620 2.- Suma de cuadrados de tratamientos o variabilidad debida a la diferencia entre métodos de ensamble:

3.- Suma de cuadrados del error o variabilidad dentro de métodos de ensamble:

4.- Cuadrados medios de tratamientos y del error (efecto ponderado de cada fuente de variación):

5.- Estadístico de prueba:

Con toda esta información se procede a llenar la tabla ANOVA. El valor de la significancia observada o valor-p es el área bajo la curva de la distribución a la derecha de , lo cual es difícil de calcular de forma manual. Sin embargo, cuando esto no sea posible, recordemos que otra forma de rechazar o no una hipótesis es comparar el estadístico de prueba contra un número crítico de tablas. En el caso de las tablas de la distribución , en donde se lee que el valor crítico para es . Como:

entonces se rechaza , con lo cual se concluye que sí hay diferencias o efecto de los métodos de ensamble en cuanto a su tiempo promedio Tabla ANOVA Fuente de SC variaciones

GL

Tratamientos 69,5 3 Error 29,5 12 Total 99,0 15

CM

Valor crítico para F 23,17 9,42 3,49 2,46

Resultados arrojados en un paquete computacional (Excel y Minitab), para el ejemplo 1 de los tiempos de ensamble para los cuatro métodos. Instituto Tecnológico de Ensenada


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CAPÍTULO 2


ANOVA unidireccional: A; B; C; D Minitab Fuente Factor Error Total

GL 3 12 15

S = 1,568

Nivel A B C D

N 4 4 4 4

SC 69,50 29,50 99,00

MC 23,17 2,46

F 9,42

R-cuad. = 70,20%

Media 7,250 8,500 12,750 10,500

Desv.Est. 0,957 1,291 2,363 1,291

P 0,002

R-cuad.(ajustado) = 62,75% ICs de 95% individuales para la media basados en Desv.Est. agrupada --------+---------+---------+---------+(------*------) (------*------) (------*------) (------*------) --------+---------+---------+---------+7,5 10,0 12,5 15,0

Desv.Est. agrupada = 1,568

Diagrama de cajas simultáneos Los diagramas de cajas es una herramienta para describir el comportamiento e unos datos, y es de suma utilidad para comparar procesos, tratamientos y, en general, para hacer análisis por estratos (lotes, proveedores, turnos). En el resultado arrojado por Minitab se observa en la figura (figura 2.1) que el método C parece diferente al los métodos A y B en cuanto a sus medias; la media del método D también se ve diferente a la media del método A. Por otra parte, se observa un poco más de variabilidad en el método C que en todos los demás. Lo que sigue es verificar que lo que se observa en el diagrama de cajas implica diferencias significativas entre los distintos tratamientos; por lo tanto, es necesario hacer pruebas estadísticas porque los datos que se analizan en los diagramas de cajas son muestras.




61

En general, cuando los diagramas no se traslapan es probable que los tratamientos correspondientes sean diferentes entre sí, y la probabilidad es mayor en la medida que los diagramas están basados en más datos. Cuando se traslapan un poco puede ser que haya o no diferencias significativas, y en cualquier caso es conveniente utilizar una prueba estadística para determinar cuáles diferencias son significativas. Estas pruebas se verán en la siguiente sección. Gráfica de caja de A; B; C; D 17,5

15,0

Datos

12,5

10,0

7,5

5,0 A

B

C

D

Figura 2.1 Diagrama de cajas para los métodos de ensamble

Análisis del ejemplo 2 (comparación de cuatro tipos de cuero). La interrogante que se planteó en el problema de la comparación entre los cuatro tipos de cuero fue: ¿existen diferencias entre el desgaste promedio de los diferentes tipos de cuero? La respuesta a esta pregunta es el resultado de contrastar las hipótesis:

En el resultado arrojado por Excel, se muestra el análisis de varianza para este ejemplo. Como el valor-p = 0,0000 es menor que la significancia prefijada , se rechaza y se acepta que al menos un par de tipos de cuero tiene un desgaste promedio diferente Análisis de varianza de un factor en Excel RESUMEN Grupos A B C D

ANÁLISIS DE VARIANZA Origen de las variaciones Entre grupos Dentro de los grupos Total

Cuenta 6 6 6 6



Suma 1540 1263 1385 1327

Grados de libertad 3 20

Promedio 256,6666667 210,5 230,8333333 221,1666667


Varianza 68,6666667 52,7 266,966667 22,9666667

F 22,7553556

Probabilidad Valor crítico para F 1,17615E-06 3,098391224

23


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CAPÍTULO 2


ANOVA unidireccional: A; B; C; D Minitab Fuente Factor Error Total

GL 3 20 23

S = 10,14

Nivel A B C D

N 6 6 6 6

SC 7019 2057 9076

MC 2340 103

F 22,76

R-cuad. = 77,34%

Media 256,67 210,50 230,83 221,17

P 0,000


ICs de 95% individuales para la media basados en Desv.Est. agrupada Desv.Est. ----+---------+---------+---------+----8,29 (----*-----) 7,26 (-----*----) 16,34 (----*-----) 4,79 (----*-----) ----+---------+---------+---------+----208 224 240 256

Desv.Est. agrupada = 10,14

2.4. Comparaciones o pruebas de rangos múltiples El análisis de varianza es un procedimiento poderoso para probar la homogeneidad de un conjunto de medias. Sin embargo, si rechazamos la hipótesis nula ( ) y aceptamos la alterna (que no todas las medias son iguales) aún no sabemos cuáles de las medias poblacionales son iguales y cuáles son diferentes.

Comparación de parejas de medias de tratamientos. Cuando no se rechaza la H0: 1 = 2 = 3, el objetivo del experimento está cubierto y la conclusión es que los tratamientos no son diferentes. Si por el contrario se rechaza H0, y por consiguiente se acepta la H1: No todas las poblaciones tienen la misma media, es necesario investigar cuáles tratamientos resultaron diferentes, o cuáles provocan la diferencia. Estas interrogantes se responden probando la igualdad de todos los posibles pares de medias, para lo cual se han propuesto varios métodos, conocidos como métodos de comparaciones múltiples o pruebas de rango múltiple. La diferencia primordial entre los métodos radica en la potencia que tienen para detectar las diferencias entre las medias. Se dice que una prueba es más potente si es capaz de detectar diferencias más pequeñas. Hay varios métodos estándar para realizar comparaciones pareadas que apoyen la credibilidad de la tasa de error tipo I.

Método de la diferencia mínima significativa de Fisher (método LSD). Una vez que se rechazo en el ANOVA, el problema es probar la igualdad de todos los posibles pares de medias con la hipótesis:



Comparación o pruebas de rangos múltiples

63

para toda . Para tratamientos se tienen en total pares de medias. Por ejemplo, si existen posibles pares de medias. El estadístico de prueba para cada una de las hipótesis dadas es la correspondiente diferencia en valor absoluto entre sus medias muestrales . Se rechaza la hipótesis si ocurre que

(2.14)

donde el valor de se lee en las tablas de la distribución T de student con grados de libertad que corresponde al error, el es el cuadrado medio del error y se obtiene de la tabla ANOVA, y son el número de observaciones para los tratamientos , respectivamente. La LSD se llama diferencia mínima significativa de Fisher, ya que es la diferencia mínima que debe existir entre dos medias muestrales para considerar que los tratamientos correspondientes son significativamente diferentes. Así, cada diferencia de medias muestrales que si el diseño es balanceado, es decir, si , la diferencia mínima significativa se reduce a:

(2.15)

En caso de rechazar se acepta la hipótesis alternativa la cual nos dice que las medias de los tratamientos son diferentes. El método LSD tiene una potencia importante, por lo que en ocasiones declara significativas aun pequeñas diferencias. Ilustremos esta prueba continuando con el ejemplo 1, en el cual, con el ANOVA se rechazó la hipótesis nula y se aceptó que al menos un par de medias de tratamientos (métodos de ensamble) son diferentes entre sí. Para investigar cuáles pares de medias son estadísticamente diferentes se prueban los seis posibles pares de hipótesis:

(2.16)

Utilizando el método de LSD. EN el ANOVA se observa que los grados de libertad del error son , y que el cuadrado medio del error es . Si usamos una significación predefinida de , de la tabla de la distribución T de



64

CAPÍTULO 2


Student con 12 grados de libertad, se obtiene que en cada tratamiento se hicieron pruebas, entonces

,

. Como

La decisión sobre cada una de las seis hipótesis listadas arriba se obtiene al comparar las correspondientes diferencias de medias muestrales en valor absoluto con el número LSD = 2,42. Se declaran significativas aquellas diferencias que son mayores a este número. Los resultados se muestran en la tabla 2,5, de donde se concluye que mientras que . Tabla 2,5 Aplicación de la prueba LSD a métodos de ensamble Diferencia Diferencia muestral Decisión poblacional en valor absoluto No significativo 7,25 - 8,50 = 1.25 2,42 7,25 – 12,75 = 5,50 2,42 Significativo 7,25 – 10,50 = 3,25 2,42 Significativo 8,50 – 12,75 = 4,25 2,42 Significativo No significativo 8,50 – 10,50 = 2 2,42 12,75 – 10,50 = 2,25 2,42 No significativo

En el resultado de comparación de parejas arrojado por minitab, por el método de LSD, observamos que este nos indica los intervalos de confianza para las comparaciones de cada par de muestras, por lo que debemos tomar el punto medio de cada comparación (centro) y contrastarlo con el valor del estadístico t de student obtenido en tablas (2,42) y tomar la decisión que corresponda Intervalos de confianza individuales de Fisher(LSD) del Todas las comparaciones en parejas en Minitab Se restó A a: Inferior Centro B -1,166 1,250 C 3,084 5,500 D 0,834 3,250

Superior 3,666 7,916 5,666

95%

-------+---------+---------+---------+-(-----*-----) (-----*-----) (-----*-----) -------+---------+---------+---------+--4,0 0,0 4,0 8,0

Se restó B a: Inferior Centro Superior -------+---------+---------+---------+-C 1,834 4,250 6,666 (-----*-----) D -0,416 2,000 4,416 (-----*-----) -------+---------+---------+---------+--4,0 0,0 4,0 8,0 Se restó C a: Inferior Centro Superior -------+---------+---------+---------+-D -4,666 -2,250 0,166 (-----*-----) -------+---------+---------+---------+--4,0 0,0 4,0 8,0




65

Método de Tukey. Es el método más conservador para comparar pares de medias de tratamientos, el cual consiste en comparar las diferencias entre medias muestrales con el valor crítico dado por:

(2,17)

donde Es el cuadrado medio del error ( / glb ) Es el número de observaciones por tratamiento Es el número de tratamientos Es igual a los grados de libertad para el error Es el nivel de significancia prefijado Son puntos porcentuales de la distribución del rango estudentizado, que se obtienen de la correspondiente tabla Se declaran significativamente diferentes los pares de medias cuya diferencia muestral en valor absoluto sea mayor que . A diferencia de los métodos LSD y Duncan, el método Tukey trabaja con un error muy cercano al declarado por el experimentador. Ejemplo. Al aplicar el método de Tukey al ejemplo 1 de los métodos de ensamble, a partir de la tabla ANOVA correspondiente, se toma la información pertinente y de las tablas del rango estudentizado (tabla 1) dada en el apéndice.

(

/ glb ) = 2,45 4 4 12 0,05 en tablas de rango estudentizado corresponde a 4,20



66

CAPÍTULO 2


sustituyendo en la ecuación tenemos

Que al compararlo con las diferencias de medias muestrales, los resultados sobre las hipótesis son: Diferencia poblacional

Diferencia muestral 1,25 5,50 3,25 4,25 2,00 2,25

3,27 3,27 3,27 3,27 3,27 3,27

Decisión No significativo Significativo No significativo Significativo No significativo No significativo

De esta tabla se concluye que , , y . Observe que esta prueba no encuentra diferencias entre los métodos d ensamble A y D, la cual si se detecta por otros métodos. Esto es congruente con el hecho de que la prueba de Tukey es menos potente que la prueba LSD (diferencia mínima significativa) En el resultado de comparación de parejas arrojado por minitab, por el método de Tukey, observamos que este nos indica los intervalos de confianza para las comparaciones de cada par de muestras, por lo que debemos tomar el punto medio de cada comparación (centro) y contrastarlo con el valor del estadístico de rango estudentizado obtenido en tablas (4,20) y sustituyendo en la formula obteniendo el valor de , el cual se contrasta con la diferencia de medias y se tomar la decisión que corresponda Intervalos de confianza simultáneos de Tukey del 95% Todas las comparaciones en parejas en Minitab Se restó A a: Inferior Centro B -2,043 1,250 C 2,207 5,500 D -0,043 3,250

Superior 4,543 8,793 6,543

-----+---------+---------+---------+---(------*-----) (------*------) (------*-----) -----+---------+---------+---------+----5,0 0,0 5,0 10,0

Se restó B a: Inferior Centro C 0,957 4,250 D -1,293 2,000

Superior 7,543 5,293

-----+---------+---------+---------+---(------*-----) (------*------) -----+---------+---------+---------+----5,0 0,0 5,0 10,0

Se restó C a: Inferior Centro D -5,543 -2,250

Superior 1,043

-----+---------+---------+---------+---(------*-----) -----+---------+---------+---------+----5,0 0,0 5,0 10,0




67

Método de Duncan. En este método para la comparación de medias, si las muestras son de igual tamaño, los promedios se acomodan en orden ascendente y el error estándar de los promedios se estima con

(2,18)

Este procedimiento de Duncan también se llama prueba de rango múltiple de Duncan. Este procedimiento también se basa en la notación general del rango studentizado. El rango de cualquier subconjunto de medias muestrales debe exceder cierto valor antes de que se encuentre que cualquiera de las medias es diferente. Este valor se llama rango de menor significancia para las medias y se denota como

(2,19)

( = muestras) Grados de libertad para el error que corresponden a (

=

= Cuadrado medio del error (

=

)

/ glb )

Numero de observaciones por tratamiento = Valores críticos para la prueba de Duncan (obtenidos en tabla)

Los valores de la cantidad , que se denominan rango studentizado de menor significancia, dependen del nivel de significancia que se desea y el número de grados de libertad del cuadrado medio del error. Estos valores se pueden obtener de la tabla valores críticos para la prueba de Duncan (tabla 2) Las diferencias observadas entre las medias muestrales se comparan con los rangos (rango de menor significancia) de la siguiente manera:  Primero se comparan la diferencia entre la media más grande y la más pequeña con el rango  Luego, la diferencia entre la media más grande y la segunda más pequeña se compara con el rango  Estas comparaciones continúan hasta que la media mayor se haya comparado con todas las demás.  Enseguida, se compara la diferencia entre la segunda media más grande y la media menor con el rango  Después la diferencia entre la segunda media más grande y la segunda más pequeña se compara con el valor de  Y así sucesivamente hasta que se comparan los pares de medias posibles con el rango que les corresponda En las comparaciones donde la diferencia observada es mayor que el rango respectivo, se concluye que esas medias son significativamente diferentes. Si dos Instituto Tecnológico de Ensenada


68

CAPÍTULO 2


medias caen entre otras dos que no son muy diferentes, entonces esas dos medias poblacionales también se consideran estadísticamente iguales. Ejemplo. Supongamos que nos interesa probar las seis hipótesis para los cuatro métodos de ensamble del problema anterior. = 0,05 = 12 = 2,46

=

= 0,78

=

Estos valores se obtienen de la tabla correspondiente

Substituyendo en la ecuación tenemos:

= (3,08)(0,78) = (3,23)(0,78) = (3,33)(0,78) Estos rangos se comparan con las diferencias de medias de acuerdo al método descrito anteriormente. Las cuatro medias muestrales acomodadas en orden ascendente son:

de aquí se obtienen las diferencias en el orden dado por el método de Duncan y se van comparando con el rango correspondiente. En la siguiente tabla se resumen los resultados Diferencia poblacional


Diferencia muestral Comparada con su rango

Decisión

12,75 – 7,25 = 5,5 2,60 = 12,75 – 8,50 = 3,27 2,52 = 12,75 – 10,50 = 2,25 2,40 = 10,50 – 7,25 = 3,25 2,60 = 10,50 – 8,50 = 2,0 2,40 = 8,50 – 7,25 = 1,25 2,40 =

Significativo Significativo No significativo Significativo No significativo No significativo



69

De esta tabla se concluye que , y , mientras que , y . Que son las mismas conclusiones que se obtuvieron con el método LSD. En general, las pruebas de Duncan y LSD tienen un desempeño similar.

Método de Dunnet (Comparación de tratamientos con un control). En muchos problemas científicos y de ingeniería no interesa extraer inferencias con respecto a todas las posibles comparaciones entre las medias de los tratamientos. En su lugar, el experimento a menudo dicta la necesidad de comparar de manera simultánea cada tratamiento con un control. Por ejemplo, al comparar varios medicamentos para el resfriado es conveniente que uno de los tratamientos sea que los pacientes no utilicen ningún medicamento, esto sirve como referencia para decidir la posible utilidad de los medicamentos. Un procedimiento de prueba desarrollado por C.W. Dunnett determina diferencias significativas entre cada media del tratamiento y el control, en un solo nivel de significancia. Por facilidad, denotemos como tratamiento control al Hacer comparaciones con respecto al control implica probar las por:

con si,

, donde

tratamiento. hipótesis dadas

es el tratamiento control. La hipótesis nula se rechaza

donde = Media del tratamiento = Media del tratamiento control Valor encontrado en tablas de Dunnett = Grados de libertad del cuadrado medio del error = Cuadrado medio del error Donde se encuentra en las tablas (tabla 3) valores críticos para la prueba de Dunnett; son los grados de libertad del cuadrado medio del error. Se recomienda que el tamaño de muestra del tratamiento control sea grande, a fin de estimar su media con mayor precisión. Ejemplo. Para ilustrar el procedimiento de Dunnett , consideremos los datos experimentales de la siguiente tabla para la clasificación unilateral donde se estudia el efecto de tres catalizadores sobre el rendimiento de una reacción. Un cuarto tratamiento, sin ningún catalizador, se utiliza como control.



70

CAPÍTULO 2


Control

Rendimiento de la reacción Catalizador 1 Catalizador 2 Catalizador 3

50,7 51,5 49,2 53,1 52,7

54,1 53,8 53,1 52,5 54,0

52,7 53,9 57,0 54,1 52,5

51,2 50,8 49,7 48,0 47,2

Análisis de varianza de un factor (Resultado de Excel) RESUMEN Grupos Control Catalizador 1 Catalizador 2 Catalizador 3

Cuenta 5 5 5 5

Suma 257,2 267,5 270,2 246,9

Promedio 51,44 53,5 54,04 49,38

Varianza 2,478 0,465 3,238 3,022

ANÁLISIS DE VARIANZA Origen de las variaciones Entre grupos Dentro de los grupos

Suma de cuadrados 67,786 36,812

Grados de libertad 3 16


F 9,82085552

Total

104,598

19

= 53,5 54,04 49,38 = 51,44 = = = grados de libertad del erros medio , como es prueba bilateral = = 53,5 – 51,44 = 2,06 = 54,04 – 51,44 = 2,6 = 49,38 – 51,44 = 2,06 = 2,59

Probabilidad 0,000651134

Valor crítico para F 3,238871522

= 2,59

= 2,59(0,9593) = 2,48

2,06

2,48 Se acepta la hipótesis nula, no hay diferencia significativa de la muestra 1 con la patrón 2,60 2,48 Se rechaza la nula y se acepta la alterna 2,06 2,48 Se acepta la hipótesis nula




71

ANOVA unidireccional: Control; Catalizador 1; Catalizador 2; Catalizador 3 Fuente Factor Error Total

GL 3 16 19

SC 67,79 36,81 104,60

Nivel Control Catalizador 1 Catalizador 2 Catalizador 3

N 5 5 5 5

MC 22,60 2,30

F 9,82

P 0,001

Media Desv.Est. 51,440 1,574 53,500 0,682 54,040 1,799 49,380 1,738

Comparación de Dunnett con un control nivel de significancia de la familia = 0,05 nivel de significancia individual = 0,0196 Valor crítico = 2,59 Control = Control Intervalos para media de tratamientos menos media de control Nivel Catalizador 1 Catalizador 2 Catalizador 3

Inferior -0,427 0,113 -4,547

Centro 2,060 2,600 -2,060

Superior 4,547 5,087 0,427

Nivel Catalizador 1 Catalizador 2 Catalizador 3

--------+---------+---------+---------+(---------*---------) (---------*---------) (---------*---------) --------+---------+---------+---------+-2,5 0,0 2,5 5,0

2.5. Verificación de los supuestos del modelo La validez de los resultados obtenidos en cualquier análisis de varianza queda supeditada a que los supuestos del modelo se cumplan. Estos supuestos son: A) Normalidad B) Varianza constante (igual varianza de los tratamientos) C) Independencia Esto es, la respuesta (Y) se debe distribuir de manera normal, con la misma varianza en cada tratamiento y las mediciones deben ser independientes. Estos supuestos sobre Y se traducen en supuestos sobre el termino error ( ) en el modelo

Es una práctica común utilizar la muestra de residuos para comprobar los supuestos del modelo, ya que si los supuestos se cumplen, los residuos o residuales se pueden ver como una muestra aleatoria de una distribución normal con media cero y varianza constante.



72

CAPÍTULO 2


Los residuos, se definen como la diferencia entre la respuesta observada ( ) y la respuesta predicha por el modelo ( ), lo cual permite hacer un diagnóstico más directo de la calidad del modelo, ya que su magnitud señala qué tan bien describe a los datos del modelo. Veamos Recordemos que el modelo que se espera describa los datos en el DCA está dada por:

donde

( = 1,2, …,

= 1,2,…, ) Es el

ésimo dato en el tratamiento

Es la media global Es el efecto del tratamiento Representa al error asociado con la observación

Cuando se realiza el ANOVA, y sólo cuando éste resulta significativo, entonces se procede a estimar el modelo ajustado o modelo de trabajo dado por:

donde Es la respuesta predicha Es la media global estimada Es el efecto estimado del tratamiento

Los gorros indican que son estimadores, es decir, valores calculados a partir de los datos del experimento. El término del error desaparece del modelo estimado, por el hecho de que su valor esperado es igual a cero ( Como la media global se estima con .. y el efecto del tratamiento con .., el modelo ajustado del DCA se puede escribir como:

Para comprobar cada supuesto existen pruebas analíticas y gráficas que veremos a continuación. Por sencillez, muchas veces se prefieren las pruebas gráficas. Éstas tienen el inconveniente de que no son exactas, pero aun así , en la mayoría de las situaciones prácticas proporcionan la evidencia suficiente en contra o a favor de los supuestos.

Normalidad Un procedimiento gráfico para verificar el cumplimiento del supuesto de normalidad de los residuos consiste en graficar los residuos en papel o en la gráfica de probabilidad normal que se incluye casi en todos los paquetes estadísticos. Esta gráfica del tipo tiene



Verificación de los supuestos del modelo

73

las escalas de tal manera que si los residuos siguen una distribución normal, al graficarlos tienden a quedar alineados en una línea recta; por lo tanto, si claramente no se alinean se concluye que el supuesto de normalidad no es correcto. Cabe enfatizar el hecho de que el ajuste de los puntos a una recta no tiene que ser perfecto, dado que el análisis de varianza resiste pequeñas y moderadas desviaciones al supuesto de normalidad. Gráficas de residuos para A; B; C; D

Gráfica de probabilidad normal

vs. ajustes 30

90 Residuo

Porcentaje

99

50 10

20 10 0 -10

1

-20

0

20

40

210

Residuo

220

230 240 Valor ajustado

Histograma

Frecuencia

Figura 2.28 Grafica de normalidad para los cuatro tipos de cuero

Varianza constante

6 4

Una forma de verificar el supuesto de varianza constante (o que los tratamientos tienen la 2 misma varianza) es graficado los predichos contra residuos ( ), por lo general 0 -10 0en el 10 20 30 los puntos en esta gráfica va en el eje horizontal y los residuos eje vertical. Si Residuo se distribuyen de manera aleatoria en una banda horizontal (sin ningún patrón claro y contundente), entonces es señal d que se cumple el supuesto de que los tratamientos tienen igual varianza. Por el contrario, si se distribuyen con algún patrón claro y contundente, como por ejemplo una forma de corneta o embudo, entonces es señal de que no se está cumpliendo el supuesto de varianza constante.

Gráficas de residuos para A; B; C; D Gráfica de probabilidad normal

vs. ajustes

99

30 Residuo

90 50 10 1

20 10 0 -10

-20

0

20

40

210

Residuo

220

230 240 Valor ajustado

250

Histograma

Figura 2.3 Grafica de la varianza constante para los cuatro tipos de cuero

8 6

Independencia La suposición de independencia en los residuos puede verificarse si se grafica el orden en que se colectó un dato contra el residuo correspondiente. De esta manera, si al graficar en el eje horizontal el tiempo (orden de corrida) y en el eje vertical los residuos,

4 2 0

-10

0

Instituto Tecnológico 10 20 30 de Residuo

Ensenada


250

74

CAPÍTULO 2


se detecta una tendencia o patrón no aleatorio claramente definido, esto es evidencia de que existe una correlación entre los errores y, por lo tanto, el supuesto de independencia no se cumple. Si el comportamiento de los puntos es aleatorio dentro de una banda horizontal, el supuesto se está cumpliendo. La violación de este supuesto generalmente indica deficiencias en la planeación y ejecución del experimento; asimismo, puede ser un indicador de que no se aplico en forma correcta el principio de aleatorización, o de que conforme se fueron realizando las pruebas experimentales aparecieron factores que afectaron la respuesta observada. Por ello, en caso de tener problemas con este supuesto, las conclusiones que se obtienen del análisis son endebles y por ello es mejor revisar lo hecho y tratar de investigar por qué no se cumplió con ese supuesto de independencia, a fin de reconsiderar la situación. En el ejemplo para comparar los cuatro tipos de cuero, las gráficas resultantes figuras 2.2 y 2.3. Se observa el cumplimiento de los supuestos de normalidad y varianza constante, sin embargo, en las dos gráficas es notorio un punto que se aleja bastante del resto, el cual es un punto aberrante cuyo origen debe investigarse

Elección del tamaño de la muestra Una decisión importante en cualquier diseño de experimentos es decidir el número de replicas que se hará por cada tratamiento (tamaño de muestra). Por lo general, si se esperan diferencias pequeñas entre tratamientos será necesario un mayor tamaño de muestra. Aunque existen varios métodos para estimar el tamaño muestral, muchas veces tienen poca aplicabilidad porque requieren cierto conocimiento previo sobre la varianza del error experimental. Si recurrimos a la experiencia vemos que el número de réplicas en la mayoría de las situaciones experimentales en las que se involucra un factor varía entre cinco y diez; incluso, en algún caso puede llegar hasta 30. La tendencia podría inclinarse por un extremo de este rango e incluso salirse de éste, de acuerdo con las siguientes consideraciones:   

A menor diferencia que se espera en los tratamientos, mayor será la cantidad de réplicas si se quieren detectar diferencias significativas, y viceversa, es decir, si se esperan grandes diferencias quizá con pocas replicas sea suficiente Si se espera mucha variación dentro de cada tratamiento, debido a la variación de fuentes no controladas como métodos de medición, medio ambiente, materia prima, etc., entonces se necesitarán más réplicas Si son varios tratamientos (cuatro o más), entonces éste es un punto favorable para reducir el número de réplicas.

Además de lo anterior, es preciso considerar los costos y el tiempo global del experimento. De aquí que si toman en cuenta las consideraciones antes expuestas se podrá establecer el tamaño de muestra que permita responder en una primera fase las preguntas más importantes que se plantearon con el experimento



Elección del tamaño de la muestra

75

Supongamos que el experimentador ya tiene el número de tratamientos que desea probar, y que tomando en cuenta las consideraciones antes citadas tiene una propuesta inicial del número de réplicas por tratamiento que va a utilizar, . También tiene una idea aproximada del valor de (la desviación estándar del error aleatorio), así como una idea de la magnitud de las diferencias, , entre tratamientos que le interesa detectar. Por ejemplo, supongamos que en el caso de los tiempos promedio de los = 4 métodos de ensamble (del ejemplo 1), tiene idea realizar = 5 pruebas; en cuanto a las diferencias, le interesa detectar 2 minutos, entre un método y otro, y espera que cada método tenga una variabilidad intrínseca de = 1,5; esto debido a factores no controlados (habilidad del operador, cansancio, variabilidad de las partes a ensamblar, error de medición del tiempo de ensamble, etcétera). La formula que tentativamente debemos usar para la elección del tamaño de muestra es:

El valor de arrojado por esta fórmula dará una idea del número de réplicas por tratamiento, de acuerdo con las consideraciones iniciales que se reflejan a través de , y sobre todo por el número total de corridas experimentales, x , que es lo que muchas veces interesa más al experimentador debido a los costos y tiempos. Si está fuera del presupuesto se podrán revisar algunas consideraciones y quizá pensar en un número menor de tratamientos. Al aplicar esta expresión al caso de los cuatro métodos del ensamble obtenemos con un nivel se significancia del 0,05: =4 =5 = 1,5 =2 = 0,05 = Por lo tanto pruebas por tratamiento).

= 5,1

se debería utilizar como tamaño de muestra (número de

Ejercicios. 1 Explique en qué consiste y cuándo se debe aplicar el diseño completamente al azar con un solo criterio de clasificación. 2 Una analista de una cadena de supermercados, quiere saber si las tres tiendas tienen el mismo promedio en dólares por compra. Se elige una muestra aleatoria de seis compras en cada tienda. En la siguiente tabla se presenta los datos recolectados de esta muestra junto con las medias maestrales para cada tienda. Haga las pruebas necesarias con un nivel de significancia de 0,01. Y concluya con un reporte de todo lo analizado a lo largo Instituto Tecnológico de Ensenada


76

CAPÍTULO 2


de la unidad, en este reporte usted como analista deberá de incluir y describir todo lo que considere importante para el cliente, es decir la gerencia del supermercado. Tabla número 1  Datos maestrales para ANOVA (en dólares) para el ejercicio Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 --------------------------------------------------------------------------12,05 15,17 9,48 23,94 18,52 6,92 14,63 19,57 10,47 25,78 21,40 7,63 17,52 13,59 11,90 18,45 20,57 5,92

3. Se hace un estudio sobre la efectividad de tres marcas de spray para matar moscas. Para ello, cada producto se aplica a un grupo de 100 moscas, y se cuentan el número de moscas muertas expresando en porcentajes. Se hacen seis réplicas y los resultados obtenidos se muestran a continuación Número de replicas Marca de spray 1 2 3 4 5 1 72 65 67 75 62 2 55 59 68 70 53 3 64 74 61 58 51

6 73 50 69

a) b) c) d)

Formule la hipótesis adecuada y aplique el método estadístico. Existe diferencia entre la efectividad promedio de los productos en spray. Hay algún spray mejor, Argumente su respuesta. Dé un intervalo al 95% de confianza para la efectividad promedio (porcentaje) de cada una de las marcas e) De ser necesario, aplique los métodos de comparación o pruebas de rangos múltiples. 4. Para estudiar la confiabilidad de ciertos tableros electrónicos para carros, se someten a un envejecimiento acelerado durante 100 horas a determinada temperatura, y como variables de interés se mide la intensidad de corriente que circula entre dos puntos, cuyos valores aumentan con el deterioro. Se probaron 20 módulos repartidos de manera equitativamente en cinco temperaturas y los resultados obtenidos fueron los siguientes:

15 18 13 12

17 21 11 16

23 19 25 22

28 32 34 31

45 51 57 48

a) Formule la hipótesis y el modelo estadístico para el problema. b) Realice el análisis de varianza para estos datos, a fin de estudiar si la temperatura afecta la intensidad de corriente promedio.



Ejercicios

77

c) ¿La temperatura afecta la variabilidad de las intensidades? Es decir, verifique si hay igual varianza entre los diferentes tratamientos.

5. Una compañía farmacéutica desea evaluar el efecto que tiene la cantidad de almidón en la dureza de las tabletas. Se decidió producir lotes con una cantidad determinada de almidón, y que las cantidades de almidón a probar fueron 2%, 5% y 10%. La variable de respuesta sería el promedio de la dureza de 20 tabletas de cada lote. Se hicieron 4 réplicas por tratamiento y se obtuvieron los siguientes resultados: % de almidón Dureza 2 4,3 5,2 4,8 4,5 5 6,5 7,3 6,9 6,1 10 9,0 7,8 8,5 8,1 a) ¿Hay evidencia suficiente de que el almidón influye en la dureza de las tabletas? Halle el ANOVA. b) Realice los análisis complementarios necesarios. c) Si se desea maximizar la dureza de las tabletas, ¿qué recomendaría al fabricante? d) Verifique los supuestos del modelo 6.- Un químico del departamento de desarrollo de un laboratorio farmacéutico desea conocer cómo influye el tipo de aglutinante utilizado en tabletas de ampicilina de 500 mg en el porcentaje de friabilidad; para ello, se eligen los siguientes aglutinantes: polivinilpirrolidona (PVP), carboximetilcelulosa sódica (CMC) y grenetina (Gre). Los resultados del diseño experimental son los siguientes.

Aglutinante % de friabilidad PVP 0,485 0,250 0,073 0,205 0,0161 CMC 9,64 9,37 9,53 9,86 9,79 Gre 0,289 0,275 0,612 0,152 0,137 a) Especifique el nombre del diseño experimental b) ¿Sospecha que hay algún efecto significativo del tipo de aglutinante sobre la variable de respuesta? c) Escriba las hipótesis para probar la igualdad de medias y el modelo estadístico. d) Realice el análisis adecuado para probar las hipótesis e intérprete los resultados. e) Revise los supuestos, ¿hay algún problema? 7. En el siguiente experimento biológico se usan cuatro concentraciones de cierto químico para reforzar el crecimiento en centímetros de cierto tipo de planta con el tiempo. Se utilizan cinco plantas en cada concentración y se mide el crecimiento de cada planta. Se toman los siguientes datos de crecimiento. También se aplica un control (ningún químico)



78

CAPÍTULO 2


concentración Control 1 2 3 4 6,8 8,2 7,7 6,9 5,9 7,3 8,7 8,4 5,8 6,1 6,3 9,4 8,6 7,2 6,9 6,9 9,2 8,1 6,8 5,7 7,1 8,6 8,0 7,4 6,1 Utilice la prueba bilateral de Duncan en el nivel de significancia de 0,05 para comparar de manera simultánea las concentraciones con el control. 8. En un experimento en el que se investigó la cantidad de radón liberado en las duchas. Se usó agua enriquecida con radón, y se probaron seis diámetros diferentes de los orificios de las regaderas. Los datos del experimento se presentan en la siguiente tabla. Diámetro de Los orificios 0,37 0,51 0,71 1,02 1,40 1,99

Radón liberado (%) 80 75 74 67 62 60

83 75 73 72 62 61

83 79 76 74 67 64

85 79 77 74 69 66

a) ¿El tamaño de los orificios afecta el porcentaje promedio de radón liberado? Use b) Encuentre el valor P para el estadístico F del inciso a) c) Analice los residuales de este experimento. d) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para el porcentaje promedio de radón liberado cuando el diámetro de los orificios es 1,40 f) Use los diversos métodos de comparación o pruebas de rangos múltiples. 9.- Se describe un experimento para determinar el efecto de los vacíos de aire sobre la resistencia porcentual conservada del asfalto. Para los fines del experimento, los vacíos de aire se controlan en tres niveles: bajo (2-4%), medio (4-6%) y alto (6-8%). Los datos se presentan en la tabla siguiente: Nivel del vacío de aire Bajo 106 Medio 80 Alto 78

Resistencia conservada (%) 90 103 90 79 88 92 95 69 94 91 70 83 87 83 80 62 69 76 85 69 85

a) ¿Los diferentes niveles de los vacíos de aire afectan de manera significativa a la resistencia conservada promedio? Use . b) Encuentre el valor P para el estadístico F del inciso a) c) Analice los residuales de este experimento. d) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la resistencia conservada promedio cuando hay un nivel alto de vacíos de aire.



Ejercicios

e) Aplique el método de la LSD. Usando tratamientos son diferentes?

79

, ¿cuáles medias de los

10.Se investigaron cuatro métodos diferentes para preparar el compuesto superconductor . Los autores sostienen que la presencia de oxígeno durante el proceso de preparación afecta la temperatura de transición de superconducción del material. Los métodos de preparación 1 y 2 usan técnicas que están diseñadas para eliminar la presencia de oxígeno, mientras que los métodos 3 y 4 permiten la presencia de oxígeno. Se hicieron cinco observaciones de (en ) para cada método, y los resultados son los siguientes: Método de preparación 1 2 3 4

Temperatura de transición 14,8 14,6 12,7 14,2

14,8 15,0 11,6 14,4

14,7 14,9 12,4 14,4

14,8 14,8 12,7 12,2

(

)

14,9 14,7 12,1 11,7

a) ¿Hay evidencia que apoye la afirmación de que la presencia de oxígeno durante la preparación afecta la temperatura de transición media? Use . b) ¿Cuál es el valor P para la prueba F del inciso anterior c) Analice los residuales de este experimento. d) Aplique el método de la LSD en el experimento. ¿Qué métodos de preparación difieren se ? 11. Ejercicio. Se utilizan cuatro laboratorios para realizar análisis químicos. Muestras del mismo material se mandan a los laboratorios para su análisis como parte del estudio para determinar si, en promedio, dan los mismos resultados. Los resultados analíticos para los cuatro laboratorios son los siguientes:

A 58,7 61,4 60,9 59,1 58,2

Laboratorios B C 62,7 55,9 64,5 56.1 63,1 57,3 59,2 55,2 60,3 58,1

D 60,7 60,3 60,9 61,4 62,3

Realice una prueba de rango múltiple de LSD, Tukey y Duncan con un nivel de significancia de 0,05 y 0,01, para determinar cuáles laboratorios difieren, en promedio, en sus análisis



80

CAPÍTULO 2


2.6. Uso de un software estadístico Excel a) En una hoja de Excel capturar primeramente la tabla de datos b) En la misma hoja de cálculo seleccionar del cintillo superior Datos, luego Análisis de datos c) Seleccionar análisis de varianza de un factor en la ventana desplegada

d) En rango de entrada (en ventana de captura) seleccionar todos los grupos, incluyendo su rótulo (sombrearlos con el mouse), automáticamente se incluyen. e) En el siguiente recuadro seleccionar si nuestros datos están ordenados en filia o columnas, además indicar si tenemos rótulos en los encabezados, e indicar que los resultados los arroje en una hoja nueva




81

Nota: Si no aparece Análisis de datos en la parte superior derecha de la hoja de cálculo, se deberá de activar de la siguiente manera:  En el símbolo del sistema en la parte superior izquierda de los encabezados dar clic.  En la ventana desplegada seleccionar opciones de Excel en la parte inferior dando un clic.  De la ventana desplegada señalar en el menú del lado izquierdo complementos  De la ventana desplegada en el lado derecho, señalar en la parte inferior de la misma ir con un clic.  De la ventana desplegada palomear el recuadro de herramientas para análisis, y aceptar  Nota como no está instalada esta herramienta el sistema nos preguntara si queremos instalarla a lo que indicaremos que si, y la instalara en un par de minutos.

Minitab   

 



En la hoja de cálculo que despliega Minitab capturar nuestra tabla de datos indicando sus correspondientes rótulos en la primer fila que no está numerada En el cintillo superior indicar con el mouse Estadísticas Del menú desplegado seleccionar ANOVA, en el menú desplegado seleccionar Un solo factor (Desapilado) y dar clic con el mouse

En ventana de captura desplegada (Análisis de varianza- Un solo factor), en la parte izquierda aparecerán automáticamente los grupos de tabla de datos En el cuadro superior derecho (Respuestas (en columnas separadas)) indicar separando por un espacio (sin comas) los nombres de las columnas que generalmente son letras, esto también se logra dando doble clic en cada letra del cuadro de la izquierda, automáticamente son capturadas En nivel de confianza por default es 95%



82

CAPÍTULO 2




Señalar Aceptar y nos arrojara el resultado ANOVA en la parte superior de la hoja de calculo



Si queremos hacer comparaciones de rango múltiples, entonces señalamos de la ventana anterior comparaciones dando un clic. En la ventana desplegada señalaremos las comparaciones que queramos, y en control nivel del grupo indicamos la A, y damos clic en aceptar








83

Si queremos las graficas del supuesto del modelo entonces, damos clic a gráficas (antepenúltima ventana) y señalamos tres en uno y damos clic en aceptar



84

Capítulo 3 Diseño de bloques 3.1. Diseños en bloques completos al azar. 3.2. Diseño en cuadrado latino. 3.3. Diseño en cuadrado grecolatino. 3.4. Uso de un software estadístico.

Diseño en bloques completos al azar

85

Competencias a desarrollar   

Identificar las características generales y los usos que se le dan a los diseños en bloques. Explicar la definición del diseño en bloques completos al azar, así como su hipótesis, modelo estadístico y análisis de varianza. Describir la selección y la aleatorización del diseño en cuadro latino y su diferencia con el diseño en cuadro grecolatino

3. 1. Diseños en bloques completos al azar. Cuando se quieren comparar ciertos tratamientos o estudiar el efecto de un factor, es deseable que las posibles diferencias se deban principalmente al factor de interés y no a otros factores que no se consideran en el estudio. Cuando esto no ocurre y existen otros factores que no se controlan o nulifican para hacer la comparación, las conclusiones podrían ser afectadas sensiblemente. Por ejemplo, supongamos que se quieren comparar varias máquinas, si cada máquina es manejada por un operador diferente y se sabe que éste tiene una influencia en el resultado, entonces es claro que el factor operador debe tomarse en cuenta si se quiere comparar a las máquinas de manera justa. Un operador más hábil puede hacer ver a su máquina (aunque ésta sea la peor) como la que tiene el mejor desempeño, lo cual impide hacer una comparación adecuada de los equipos. Para evitar este sesgo hay dos maneras de anular el posible efecto del factor operador: la manera lógica es utilizar el mismo operador en las cuatro maquinas; sin embargo, tal estrategia no siempre es aconsejable, ya que utilizar el mismo sujeto elimina el efecto del factor operador pero restringe la validez de la comparación con dicho operador, y es posible que el resultado no se mantenga al utilizar a otros operadores. La otra forma de anular el efecto operador en la comparación consiste en que cada operador trabaje durante el experimento con cada una de las máquinas. Esta estrategia es la más recomendable, ya que utilizar a todos los operadores con todas las máquinas permite tener resultados de la comparación que son válidos para todos los operadores. Esta forma de nulificar el efecto de operadores, recibe el nombre de bloqueo.

Factores de bloque A los factores adicionales al factor de interés que se incorporan de manera explícita un experimento comparativo se les llama factores de bloque. Éstos tienen particularidad de que no se incluyen en el experimento porque interese analizar efecto, sino como un medio para estudiar de manera adecuada y eficaz al factor interés.

en la su de

Los factores de bloque entran al estudio en un nivel de importancia secundaria con respecto al factor de interés y, en este sentido, se puede afirmar que se estudia un solo factor, porque es uno el factor de interés. Instituto Tecnológico de Ensenada


86

CAPÍTULO 3

Diseño de bloques

En un diseño en bloques completos al azar (DBCA) se consideran tres fuentes de variabilidad:  El factor de tratamientos  El factor de bloque  El error aleatorio es decir, se tienen tres posibles ¨culpables¨ de la variabilidad presente en los datos. La palabra completo en el nombre del diseño se debe a que en cada bloque se prueban todos los tratamientos, o sea, los bloques están completos. La aleatorización se hace dentro de cada bloque; por lo tanto, no se realiza de manera total como en el diseño completamente al azar. Los factores de bloqueo que aparecen en la práctica son: Turno, lote, día, tipo de material, línea de producción, operador, maquina, método, etc. Supongamos una situación experimental con k tratamientos y b bloques. El aspecto de los datos para este caso se muestra en la tabla 3,1. Considerando una repetición en cada combinación de tratamiento y bloque. Tabla 3.1 Arreglo de los datos en un diseño en bloques completos al azar

Tratamiento 1 2 3 . k

Bloque

.

.

.

… … . . . .

…

Modelo estadístico Cuando se decide utilizar un DBCA, el experimentador piensa que cada medición será el resultado del efecto del tratamiento donde se encuentre, del efecto al que pertenece y de cierto error que se espera sea aleatorio. El modelo estadístico para este diseño está dado por:

donde Es la medición que corresponde al tratamiento y al bloque Es la media global poblacional Es el efecto debido al tratamiento Es el efecto debido al bloque Es el error aleatorio atribuible a la medición




87

Hipótesis a probar La hipótesis de interés es la misma para todos los diseños comparativos, y está pada por:

que también se puede expresar como

En cualquiera de estas hipótesis la afirmación a probar es que la respuesta media poblacional lograda con cada tratamiento es la misma para los tratamientos y que, por lo tanto, cada respuesta media es igual a la media global poblacional . De manera alternativa, es posible afirmar que todos los efectos de tratamiento sobre la variable de respuesta son nulos, porque cuando el efecto , entonces necesariamente la respuesta media del tratamiento es igual a la media global ( ). Análisis de varianza La hipótesis dada se prueba con un análisis de varianza con dos criterios de clasificación, porque se controlan dos fuentes de variación: el factor de tratamientos y el factor de bloque. En la tabla 3.2 se muestra el aspecto del ANOVA para diseño DBCA. Tabla 3.2 ANOVA para un diseño en bloques completos al azar Fuentes de variabilidad Tratamientos

Suma de cuadrados SCTRAT

Grado de libertad K–1

Cuadrado medio CMTRAT

Bloques

SCB

b–1

CMB

Error

SCE

(k – 1)(b – 1)

CME

Total

SCT

N-1

Valor-p

Los cálculos necesarios pueden ser manuales, pero siempre es más práctico hacerlos con un software estadístico, porque además proporciona muchas otras opciones gráficas y tabulares útiles (no sólo el ANOVA). Utilizando la notación de puntos, las fórmulas más prácticas para calcular las sumas de cuadrados son:



88

CAPÍTULO 3

Diseño de bloques

y la del error se obtiene por sustracción como:

Ejemplo En el ejemplo donde se planteo la comparación de los cuatro métodos de ensamble, ahora se va a controlar activamente en el experimento a los operadores que realizaran el ensamble, lo que da lugar al siguiente diseño en bloques completamente al azar. Método 1 6 7 10 10

A B C D

Operador 2 3 9 7 10 11 16 11 13 11

4 8 8 14 9

Recordemos que la variable de respuesta son los minutos en que se realiza el ensamble. Para comparar los cuatro métodos se plantea la hipótesis: =

la cual se prueba mediante el análisis de varianza dado en la siguiente tabla( Excel y Minitab) Nota: para capturar la tabla en Excel se sombrea totalmente, tal y como está indicada la tabla anterior, en la herramienta de Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo) Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo RESUMEN A B C D

Cuenta 4 4 4 4

Suma 30 36 51 43

Promedio 7,5 9 12,75 10,75

Varianza 1,66666667 3,33333333 7,58333333 2,91666667

Operador

4 4 4 4

33 48 40 39

8,25 12 10 9,75

4,25 10 4 8,25

ANÁLISIS DE VARIANZA Origen de las variaciones Filas Columnas Error

Suma de cuadrados 61,5 28,5 18


Promedio de los cuadrados 20,5 9,5 2

F 10,25 4,75

Total

108

15


Probabilidad 0,002919257 0,029845948

Valor crítico para F 3,862548358 3,862548358



89

De esta tabla se observa que para los métodos se obtuvo un valor-p = 0,003 , por lo que se rechaza la de que el tiempo medio poblacional de los métodos de ensamble son iguales, y se acepta que al menos dos de los métodos son diferentes en cuanto al tiempo medio que se requiere. De la misma manera para operadores, como su valor-p = 0,030 , el factor de bloque (operadores) también afecta, es decir, existen diferencias entre los operadores en cuanto al tiempo promedio.

Resultados arrojados en Minitab 15 ANOVA de dos factores: Dato vs. Método; Operador

Fuente Método Operador Error Total

GL 3 3 9 15

SC 61,5 28,5 18,0 108,0

MC F 20,5 10,25 9,5 4,75 2,0

P 0,003 0,030

S = 1,414 R-cuad. = 83,33% R-cuad.(ajustado) = 72,22%

Calculo manual para Diseño de bloque ANOVA para el diseño bloque Fuente de variaciones

SC

GL

CM

F

Valor crítico para F

Tratamientos

Bloque

Error Total



90

CAPÍTULO 3

Diseño de bloques

1.- Suma de cuadrados de tratamientos o variabilidad debida a la diferencia entre las marcas de llantas, bloque 1 y bloque 2

2.- Suma total de cuadrados o variabilidad total de los datos

3.- Suma de cuadrados del error o variabilidad dentro de métodos de ensamble

4.- Cuadrados medios de tratamientos, del bloque, y del error

5- Estadístico de prueba

Concentrado en tabla ANOVA Suma de Grados de cuadrados libertad 61,5 3 28,5 3 18 9 108

Promedio de los cuadrados 20,5 9,5 2

F 10,25 4,75


15




91

Comparación de parejas de medias de tratamiento en el DBCA. Cuando se rechaza la hipótesis de igualdad de los cuatro tratamientos, es natural preguntarse cuáles de ellos son diferentes entre sí. Para averiguarlo se utiliza alguna de las pruebas que se estudiaron en la sección ¨Comparaciones o pruebas de rangos múltiples¨ del capítulo anterior. Por ejemplo, recordemos que la Diferencia mínima significativa (LSD) para dos tratamientos, en un DCA está dada por

Entonces, en bloque esta expresión se transforma en

donde b es el número de bloques, que hace las veces de número de réplicas, y (k-1)(b-1) son los grados de libertad del De aquí que en el ejemplo de los cuatro métodos de ensamble tenemos que = = 2,26 (valor buscado en tablas de T de estudent)

Al comparar esta diferencia mínima significativa con los datos se obtiene la siguiente tabla: Diferencia poblacional Diferencia muestral -1,5 2,26 -5,25 2,26 -3,25 2,26 -3,75 2,26 -1,75 2,26 2,00 2,26

Decisión No significativo Significativo Significativo Significativo No significativo No significativo

Ejercicios 1.- ¿En qué situaciones se aplica un diseño en bloques completos al azar? ¿En qué diferentes los factores de tratamiento y de bloque? 2.- Se hace un estudio sobre la efectividad de tres marcas de atomizador para matar moscas. Para ello, cada producto se aplica a un grupo de 100 moscas, y se cuenta el número de moscas muertas expresando en porcentajes. Se hicieron seis replicas, pero en días diferentes; por ello, se sospecha que puede haber algún efecto importante debido a esta fuente de variación. Los datos obtenidos se muestran a continuación. Instituto Tecnológico de Ensenada


92

CAPÍTULO 3

Diseño de bloques

Marca del atomizador A B C

a) b) c) d)

Número de replicas (día) 72 65 67 75 62 73 55 59 68 70 53 50 64 74 61 58 51 69

Suponiendo un DBCA, formule las hipótesis adecuadas y el modelo estadístico. ¿Existe diferencia entre la efectividad promedio de los atomizadores? ¿Hay algún atomizador mejor? Argumente su respuesta ¿Hay diferencias significativas en los resultados de diferentes días en que se realizó el experimento? Argumente su respuesta

ANÁLISIS DE VARIANZA Origen de las variaciones Filas Columnas Error



Total

1092

17

Promedio de los cuadrados 148,1666667 56,26666667 51,43333333

F Probabilidad Valor crítico para F 2,88075178 0,102804418 4,102821015 1,09397278 0,420717751 3,325834529

ANOVA de dos factores: datos vs. Spray, replicas Minitab Fuente Spray replicas Error Total

GL 2 5 10 17

SC MC 296,33 148,167 281,33 56,267 514,33 51,433 1092,00

F 2,88 1,09

P 0,103 0,421

a) =

a) No existe diferencias entre la efectividad de los spray b) No existe evidencia estadísticas para suponer lo que existe algún spray mejor que el otro c) =

En el ANOVA para los diferentes días de los spray se acepta la hipótesis nula de que no importa el día, es decir son iguales 3.- A continuación se muestran los datos para un diseño en bloque al azar Tratamiento A B C


1 3 7 4

Bloque 2 3 4 4 2 6 9 3 10 6 3 7



93

a) Obtenga la tabla de análisis de varianza y anote los principales conclusiones b) Obtenga la diferencia mínima significativa (LSD) para comparar tratamientos en este diseño en bloque. Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo RESUMEN A B C

Cuenta 4 4 4

Suma 15 29 20

Promedio 3,75 7,25 5

Varianza 2,916666667 9,583333333 3,333333333

Tratamiento

3 3 3 3

14 19 8 23

4,666666667 6,333333333 2,666666667 7,666666667

4,333333333 6,333333333 0,333333333 4,333333333

Origen de las variaciones Filas Columnas Error

Suma de cuadrados 25,16666667 42 5,5


Promedio de los cuadrados 12,58333333 14 0,916666667

F 13,72727273 15,27272727

Total

72,66666667

11

ANÁLISIS DE VARIANZA

a) valor-p = 0,0057 , por lo que se rechaza la diferencia entre los tratamientos

Probabilidad 0,005768838 0,003244859


, es decir existe

valor-p = 0,0032 , el factor de bloque (tratamientos) también afecta, es decir, existen diferencias entre el bloque, por lo que se rechaza la b) c)

=

= =

Diferencia poblacional Diferencia muestral -3,5 1,65 -1,25 1,65 2,25 1,65

Decisión Significativo No Significativo Significativo

5.- En una empresa lechera se tienen varios silos para almacenar leche (cisternas de 60 000 L). Un aspecto crítico para que se conserve la leche es la temperatura de almacenamiento. Se sospecha que en algunos silos hay problemas, por ello, durante cinco días se decide registrar la temperatura a cierta hora crítica. Obviamente la temperatura de un día a otro es una fuente de variabilidad que podría impactar la variabilidad total.



94

CAPÍTULO 3

Diseño de bloques

Día Silo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes A 4,0 4,0 5,0 0,5 3,0 B 5,0 6,0 2,0 4,0 4,0 C 4,5 4,0 3,5 2,0 3,0 D 2,5 4,0 6,5 4,5 4,0 E 4,0 4,0 3,5 2,0 4,0 a) b) c) d) e)

En este problema, ¿cuál es el factor de tratamiento u cuál el factor de bloque? Suponga un DBCA, formule las hipótesis adecuadas y el modelo estadístico. ¿Hay diferencia entre los silos? ¿La temperatura de un día a otro es diferente? Revise residuos, ¿hay algún problema evidente?

6.- Se diseño un experimento para estudiar el rendimiento de cuatro detergentes. Las siguientes lecturas de ¨blancura¨ se obtuvieron con un equipo especial diseñado para 12 cargas de lavado, distribuidas en tres modelos de lavadoras: Detergente Lavadora 1 Lavadora 2 Lavadora 3 A 45 43 51 B 47 44 52 C 50 49 57 D 42 37 49

a) Señale el nombre del diseño experimental utilizado b) Formule la hipótesis que se quiere probar en este problema c) Realice el análisis estadístico más apropiado para estos datos y obtenga conclusiones. 7.- Se realizo un experimento para determinar el efecto de cuatro sustancias químicas diferentes sobre la resistencia de una tela. Estas sustancias químicas se usan como parte del proceso de acabado del planchado permanente. Se seleccionaron cinco muestras de tela, y se corrió un diseño de bloques completos aleatorizados para probar cada tipo de sustancia química sobre cada muestra de tela en orden aleatorio. Se probarán las diferencias de las medias utilizadas en el análisis de varianza con

Sustancia Química 1 2 3 4

1 1,3 2,2 1,8 3,9

Muestra de tela 2 3 4 1,6 2,4 1,7 4,4

0,5 0,4 0,6 2,0

1,2 2,0 1,5 4,1

5 1,1 1,8 1,3 3,4

a) Señale el nombre del diseño experimental utilizado b) Formule la hipótesis que se quiere probar en este problema c) Realice el análisis estadístico más apropiado para estos datos y obtenga conclusiones.




95

3.2. Diseño en cuadrado latino En el diseño en cuadro latino (DCL) se controlan dos factores de bloque y se estudia un factor de tratamientos, por lo que se tienen cuatro fuentes de variabilidad que pueden afectar la respuesta observada, estas son:    

Los tratamientos El factor de bloque I (renglones) El factor de bloque II (columnas) El error aleatorio

Se llama cuadro latino por dos razones: es un cuadro debido a que tiene la restricción adicional de que los tres factores involucrados se prueban en la misma cantidad de niveles, y es latino porque se utilizan letras latinas para denotar a los tratamientos o niveles del factor de interés. Sean A, B, C, …, K, los k tratamientos a comparar, por lo tanto ambos factores de bloques tienen también k niveles cada uno. El aspecto de los datos se muestra en la siguiente tabla.

1 1 2 Bloque I 3 (renglones) . . k

A = Y111 B = Y221 C = Y331 . . K = Ykk1

Bloque II (columnas) 2 3 … B = Y212 C = Y322 D = Y432 . . A = Y1k2

C = Y313 D = Y423 E = Y533 . . B = Y2k3

k

… K = YK1K … A = Y12K … B = Y23K . . … J = YJkK

Ahora se necesitan al menos tres subíndices, por ejemplo, la respuesta Y 313 se generó en el tratamiento tres (C), en el primer nivel del factor renglón y en el tercer nivel del factor columna. El modelo estadístico para describir el comportamiento de las observaciones está dado por

donde es la observación del tratamiento , en el nivel , del factor renglón y en el nivel del factor columna; es el error atribuible a dicha observación. De acuerdo con este modelo, la variabilidad total presente en los datos se puede descomponer como

y los grados de libertad correspondientes son

El ANOVA para el diseño en cuadro latino se muestra en la tabla 3.4. En él se prueba la hipótesis sobre los efectos de tratamiento del factor renglón y del factor Instituto Tecnológico de Ensenada


96

CAPÍTULO 3

Diseño de bloques

columna. Otra vez, la hipótesis fundamental es la de los tratamientos; las otras dos proporcionan un adicional al objetivo inicial y permiten comprobar la relevancia de controlar los factores de bloque. Tabla 3.4 ANOVA para el cuadro latino Fuentes de variabilidad

Suma de Grado de cuadrados libertad

Cuadrado medio

SCTRAT

k–1

CMTRAT

Renglones

SCB1

k–1

CMB1

Columnas

SCB2

k–1

CMB2

Error

SCE

(k – 2)(k – 1)

CME

Total

SCT

k2 - 1

Tratamientos

Valor-p

Selección y aleatorización de un cuadro latino. No cualquier arreglo de letras latinas en forma de cuadro es cuadro latino, la regla fundamental es que cada letra debe aparecer sólo una vez en cada renglón y en cada columna. Un cuadro latino estándar es aquel en el que en la primera columna y en el primer renglón aparecen las letras en orden alfabético. Por ejemplo, un cuadro latino estándar de tamaño cuatro está dado por: ABCD BCDA CDAB DABC Existen además los siguientes tres cuadros latinos de dimensión cuatro:

ABCD BADC CDBA DCAB

ABCD B yD A C CADB DCBA

ABCD BADC CDAB DCBA

Para cuatro tratamientos se pueden construir un total de 576 cuadros latinos de los cuales cuatro son estándar. La selección del diseño debería ser elegir uno al azar de los 576 posibles; no obstante, es prácticamente imposible construirlos a todos para seleccionar uno al azar. Sin embargo, ocurre que dado un cuadro latino, cualquier intercambio de columnas o de renglones es también cuadro latino, por eso la estrategia de selección y aleatorización recomendada en la práctica es la siguiente:



Diseño en cuadro latino

  

97

Se construye el cuadro latino estándar más sencillo. Se aleatoriza el orden de los renglones (o columnas) y posteriormente se aleatoriza el orden de las columnas (o renglones). Por último, los tratamientos a comparar se asignan en forma aleatoria a las letras latinas.

El cuadro latino tiene dos restricciones a la aleatorización debido a los dos factores de bloque, lo que implica que a la hora de correr el experimento no hay ningún margen de aleatorización. Es decir, se puede correr por columna o por renglón según convenga. Lo que no es correcto es hacer todas las pruebas de un tratamiento, y luego todas las de otro, y así sucesivamente, puesto que se puede introducir ruido adicional debido a factores no controlables que cambian con el tiempo.

Ejemplo. Comparación de cuatro marcas de llantas. Una compañía de mensajería está interesada en determinar cuál marca de llantas tiene mayor duración en términos del desgaste. Para ello se planea un experimento en cuadro latino, en el que se comparan las cuatro marcas de llantas sometiéndolas a una prueba de 32 000 kilómetros de recorrido, utilizando cuatro diferentes tipos de auto y las cuatro posiciones posibles de las llantas en el auto. Así, el factor de interés es el tipo de llantas o marca, y se controlan dos factores de bloque: el tipo de carro y la posición de la llanta en el auto. Estos factores de bloque se controlan ya que, por experiencia, se sabe que el tipo de carro y la posición de la llanta tienen efecto en el desgaste de la misma. La elección del cuadro latino a utilizar se hace antes de obtener los datos. Para ello, a partir de un cuadro latino inicial se aleatorizan las columnas y los renglones; después, las diferentes marcas de llantas se asignan de manera aleatoria a las letras latinas que denotan los niveles del factor de interés

Posición 1 2 3 4

1 C = 12 B = 14 A = 17 D = 13

Carro 2 3 D = 11 A = 13 C = 12 D = 11 B = 14 C = 10 A = 14 B = 13

4 B=8 A=3 D=9 C=9

Las pruebas se hacen al mismo tiempo con choferes, a quienes se les instruye para que manejen de manera similar sobre el mismo terreno para los cuatro automóviles. Al hacer las pruebas de los cuatro autos al mismo tiempo se evita el efecto del ambiente en el desgaste; asimismo, el conductor y el tipo de terreno podrían influir, pero se considera suficiente mantenerlos lo más homogéneo posible durante el experimento. El diseño y los datos observados se muestran en la tabla anterior. Se mide la diferencia máxima entre el grosor de la llanta nueva y el grosor de la llanta después de recorrido los 32 000 kilómetros. Obviamente, a mayor diferencia en grosor mayor desgaste. Las unidades de medición son milésimas de pulgada



98

CAPÍTULO 3

Diseño de bloques

ANOVA resultante Fuente de Suma de variabilidad cuadrados

Grados de libertad

Promedio de los cuadrados 10 2,0625 12,8958 0,895833

Marca Posición Carro Error

5,6875 16,1875 103,6875 30,375

3 3 3 6

Total

155,9375

15

F

Valor-p

0,37 1,07 6,83

0,775 0,431 0,023

Valor crítico para F 4,76 4,76 4,76

Se observa que nuestro punto critico tanto para la posición, el tipo de carro y las marcas es de 4,76. Concluimos que en las marcas y posición no existe evidencia de que esta influya por lo que se acepta la hipótesis nula de que son iguales a un nivel de significancia de = 0,05. En cuanto al tipo de carro observamos que este si influye en el desgaste de las llantas por lo que rechazamos la hipótesis nula Resultado arrojado en Minitab Modelo lineal general: Desgaste vs. Posición, Carro, Marcas Factor Posición Carro Marcas Fuente Posición Carro Marcas Error Total

Tipo fijo fijo fijo

Niveles Valores 4 1, 2, 3, 4 4 1, 2, 3, 4 4 A, B, C, D

GL SC sec. 3 16,188 3 103,688 3 5,687 6 30,375 15 155,938

SC ajust. MC ajust. 16,187 5,396 103,688 34,563 5,687 1,896 30,375 5,062

Calculo manual para ANOVA de cuadro latino SC GL Fuente de variaciones

F 1,07 6,83 0,37

CM

P 0,431 0,023 0,775

F

Valor crítico para F

Tratamientos

Bloque 1 (filas) Bloque 2 (columnas) Error Total




99

Sumas básicas para el cálculo manual Posición, carro y marca Operaciones básicas C = 12 B = 14 A = 17 D = 13

D = 11 C = 12 B = 14 A = 14

A = 13 D = 11 C = 10 B = 13

B=8 A=3 D=9 C=9

Suma de los cuadrados de los tratamientos

Suma total por Tratamiento (

Sumatoria de las letras A,B,C y D Suma de los cuadrados de filas (bloque 1) correspondientes 47 49 43 44 Suma total por fila Bloque 1 (

44 40 50 Suma total por

49

columna Bloque II

( 56 51 47

29

Suma de los cuadrados de las columnas (bloque 2) suma de los datos total de medición media global

1.- Suma de cuadrados de tratamientos o variabilidad debida a la diferencia entre las marcas de llantas, bloque 1 y bloque 2

2.- Suma total de cuadrados o variabilidad total de los datos

3.- Suma de cuadrados del error o variabilidad dentro de métodos de ensamble

4.- Cuadrados medios de tratamientos, del bloque 1, del bloque 2 y del error



100

CAPÍTULO 3

Diseño de bloques

5- Estadístico de prueba

ANOVA para el diseño del cuadro latino Fuente de SC GL CM F Valor crítico variaciones para F Tratamientos 5,68 3 1,89 0,37 4,76 Renglones (Bloque 1) Columnas (Bloque2) Error

16,19

3

5,39

1,06

4,76

103,69

3

34,56 6,83

4,76

30,37

6

5,06

Comprobación de supuestos. Como se comentó antes, la validez del análisis de varianza recae en tres supuestos que siempre deben verificarse:   

Normalidad Varianza constante Independencia de los residuos

Además de la ausencia de observaciones atípicas o aberrantes. Como se observa en la figura 3.6, el supuesto de normalidad se cumple al caer los residuos o puntos ¨más o menos en línea recta¨ (Grafica de probabilidad normal). También se cumple el supuesto de varianza constante de acuerdo a la grafica de residuos vs valor ajustado, y en la grafica de residuos vs orden de observación, en la que los residuos se ubican aleatoriamente dentro de una banda horizontal; su dispersión vertical es la misma a lo




101

largo de los gráficos. No se comprobó el supuesto de independencia porque no se conoce el orden en que se realizaron las mediciones del desgaste. Figura 3.6 Gráficas de residuos para la verificación de supuestos Gráficas de residuos para Desgaste Gráfica de probabilidad normal

vs. ajust es 1

90

Residuo

Porcentaje

99

50 10 1

0 -1 -2 -3

-4

-2

0 Residuo

2

4

5,0

7,5

10,0 12,5 Valor ajustado

Hist ograma

15,0

vs. orden

4

Residuo

Frecuencia

1 3 2

-2

1 0

0 -1

-3 -3

-2

-1 Residuo

0

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16

Orden de observación

Ejercicios 1.- Las letras A, B, C y D representan cuatro variedades de trigo; los renglones representan cuatro diferentes fertilizantes; y las columnas 4 anos diferentes. Los datos de la siguiente tabla son los rendimientos para las cuatro variedades de trigo, medidas en kilogramos por parcela. Se supone que las diversas fuentes de variación no interactúan. Utilice un nivel de significancia de 0.05 para probar la ; no hay diferencia en los rendimientos promedio de las cuatro variedades de trigo Rendimiento del trigo (kg por parcela) Fertilizantes 1981 Fertilizante 1 A 70 Fertilizante 2 D 66 Fertilizante 3 C 59 Fertilizante 4 B 41

1982 B 75 A 59 D 66 C 57

1983 1984 C D 68 81 B C 55 63 A B 39 42 D A 39 55

Modelo lineal general: Rendimiento vs. Fertilizante, Ano, Trigo Factor Tipo Fertilizante fijo Ano fijo Trigo fijo Fuente

Niveles 4 4 4

GL SC sec.

Valores 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 A, B, C, D SC ajust.


MC ajust.

F

P Biol. Raúl Jiménez González

102

CAPÍTULO 3

Fertilizante Ano Trigo Error Total

3 3 3 6 15

Diseño de bloques

1557,19 417,69 263,69 261,37 2499,94

1557,19 417,69 263,69 261,37

519,06 139,23 87,90 43,56

11,92 0,006 3,20 0,105 2,02 0,213

La variabilidad debida al fertilizante, años y tipos de tratamiento. La = 2,02 es sobre 3 y 6 grados de libertad El valor p de aproximadamente 0,2 es en realidad demasiado grande para concluir que las variedades de trigo afectan de manera significativa el rendimiento. 2.- El departamento de matemáticas de una universidad desea evaluar las capacidades de enseñanza de cuatro profesores. A fin de eliminar cualquier efecto debido a los diferentes cursos de matemáticas y los diferentes horarios, se decide realizar un experimento con el uso de un diseño de cuadros latinos en que las letras A, B, C y D representan a los cuatro diferentes profesores. Cada profesor ensena una sección de cada de cuatro diferentes cursos programados en cada uno de los cuatro diferentes horarios durante el día. Los datos muestran las calificaciones asignadas por estos profesores a 16 estudiantes de aproximadamente igual capacidad. Utilice un nivel de significancia de 0,05 para probar la hipótesis de que los diferentes profesores no tienen efecto en las calificaciones. Horario 1 2 3 4

Curso Álgebra Geometría Estadística Cálculo A 84 B 79 C 63 D 97 B 91 C 82 D 80 A 93 C 59 D 70 A 77 B 80 D 75 A 91 B 75 C 68

3.- Una empresa fabricante quiere investigar los efectos de cinco aditivos de color en el tiempo de fraguado de una mezcla de concreto nueva. Las variaciones en el tiempo de fraguado se pueden esperar de los cambios diarios en la temperatura y humedad y también de los diferentes trabajadores que preparan los moldes de prueba. Para eliminar estas fuentes externas de variación se utiliza un diseño de cuadro latino de 5 x 5 en el que las letras A, B, C, D y E representan los cinco aditivos. Los tiempos de fraguado, en horas, para los 25 moldes. El nivel de significancia de 0,05, ¿Podemos decir que los aditivos de color tienen algún efecto en el tiempo de fraguado de la mezcla de concreto? Día Trabajador 1 2 3 4 5

1 D E A B C

10,7 11,3 11,8 14,1 14,5

2 E C B A D

10,3 10,5 10,9 11,6 11,5

3 B D C E A

11,2 12,0 10,5 11.0 11,5

4 A B D C E

10,9 11,5 11,3 11,7 12,7

5 C 10,5 A 10,3 E 7,5 D 11,5 B 10,9

4.- Se quiere estudiar el efecto de cinco diferentes catalizadores (A, B, C, D y E) sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. Cada lote de material sólo permite cinco Instituto Tecnológico de Ensenada



103

corridas y cada corrida requiere aproximadamente 1,5 horas por lo que sólo se pueden realizar cinco corridas diarias. El experimentador decide correr los experimentos con un diseño en cuadro latino para controlar activamente a los lotes y días. Los datos obtenidos son:

Lote 1 1 A 8 2 C 11 3 B 4 4 D 6 5 E 4

2 B E A C D

7 2 9 8 2

Día 3 D 1 A 7 C 10 E 6 B 3

4 C D E B A

5 7 E 3 3 B 8 1 D 5 6 A 10 8 C 8

a) ¿Cómo se aleatoriza el experimento? b) Anote la ecuación del modelo y las hipótesis estadísticas correspondientes c) ¿Existen diferencias entre los tratamientos? ¿Cuáles tratamientos son diferentes entre si? d) Verifique los supuestos del modelo, considerando que los datos se obtuvieron columna por columna, día a día 5.- Se comprueba el peso en gramos de un material de tres proveedores: A, B y C, por tres diferentes inspectores: I, II y III, utilizando tres diferentes escalas: 1,2 y 3. El experimento se lleva a cabo como el siguiente cuadro latino: Escala Inspector 1 2 3 I A 16 B 10 C 11 II B 15 C 9 A 14 III C 13 A 11 B 13 a) b) c) d)

¿Hay diferencias entre los proveedores? ¿Hay diferencias entre los inspectores y entre las escalas? Si el peso debe ser 15 g, ¿cuál proveedor es mejor? Si algún factor de bloque es no significativo, elimínelo y haga el análisis adecuado

6.- Cuando se comparan varios fertilizantes o diferentes variedades de cierto cultivo, es típico que se deba considerar el gradiente de fertilidad del suelo (factor columna) o los efectos residuales de cultivos previos (factor renglón). Considerando estos factores de bloque, Gómez y Gómez (1984) plantean un experimento en cuadro latino para comparar, en cuanto a rendimiento en toneladas por hectárea, tres variedades de maíz hibrido (A, B, C) y una variedad control (D). Para ello, se utiliza un campo agrícola cuadrado de 16 hectáreas, dividido en parcelas de una hectárea. Los datos de rendimiento obtenidos en cada parcela se muestran a continuación:



104

CAPÍTULO 3

Diseño de bloques

Ren Col 1 2 3 4

B C A D

1 1,640 1,475 1,670 1,565

D A C B

2 1,210 1,185 0,710 1,290

C D B A

3 1,425 1,400 1,665 1,655

A B D C

4 1,345 1,290 1,180 0,660

a) ¿Existen diferencias en los rendimientos de las diferentes variedades de maíz? b) ¿Cuál de los factores de bloque tuvo efectos? c) ¿Se habrían detectado las mismas diferencias en los tratamientos con un diseño completamente al azar? d) ¿Y con un diseño en bloques completos al azar?

3.3. Diseño en cuadrado grecolatino Con el diseño en cuadro grecolatino (DCGL) se controlan tres factores de bloque, además del factor de tratamiento. Se llama cuadro grecolatino porque los cuatro factores involucrados se prueban en la misma cantidad de niveles, de aquí que se pueda escribir como un cuadro (ver tabla 3.5); además, se utilizan letras latinas para denotar a los tratamientos y letras griegas para nombrar a los niveles del tercer factor de bloque.

Renglones

Tabla 3.5 Diseño en cuadro grecolatino

1 2 3 4

1 A B C D

Columnas 2 3 B C A D D A C B

4 D C B A

Al igual que en el cuadro latino, cada letra (latinas y griegas) debe aparecer sólo una vez en cada renglón y en cada columna. Además, cada par de letras debe aparecer sólo una vez en todo el arreglo. El modelo estadístico que describe a las mediciones en un cuadro grecolatino está dado por

donde es la observación o respuesta que se encuentra en el tratamiento ( -ésima letra latina), en el renglón , en la columna y en la -ésima letra griega; es el efecto del tratamiento , es el efecto del renglón , representa el efecto de la columna y representa el efecto de la -ésima letra griega, que son los niveles del tercer factor de bloque; el término representa el error aleatorio atribuible a la medición . Es importante no confundir las letras griegas del modelo que representan efectos, con las letras griegas en el diseño que simbolizan a los niveles del tercer factor de bloque. La variabilidad total presente en los datos se puede partir de la manera usual como



Diseño en cuadro grecolatino

105

donde las sumas , miden la variabilidad debida a los factores de bloque renglón, columna y de letras griegas, respectivamente. Para tratamientos, los grados de libertad correspondientes a cada suma son

Un bosquejo del análisis de varianza se muestra en la tabla 3.6, en la cual se prueban las hipótesis de igualdad de letras latinas (tratamientos), de renglones, de columnas y de letras griegas Tabla 3.6 ANOVA para el diseño en cuadro grecolatino Fuente de variabilidad Tratamientos (letras latinas)

Suma de cuadrados

Grados de libertad

k-1

Factor de bloque I (renglones)

k-1

Factor de bloque II (columnas)

k-1

Factor d bloque III (letras griegas)

k-1

Error

(k-3)(k-1)

Total

Ejemplo En el caso del ejemplo donde se comparan los cuatro métodos de ensamble y se tiene el factor de bloque operador, se podrían tener dos factores de bloque adicionales:  

Orden en el que se hace el ensamble Lugar donde se hace

De acuerdo con esto, el diseño en cuadro grecolatino se observa en la siguiente tabla.



106

CAPÍTULO 3

Diseño de bloques

Orden del ensamble

Tabla 3.7 Diseño en cuadro grecolatino para métodos de ensamble Operador 1 2 3 4 1 C = 10 B D A 2 B C A D 3 A D B C 4 D A C B Tabla 3,8 ANOVA para el diseño en cuadro grecolatino Fuente Suma de Gl Cuadrado Razón F Valor-p F critica cuadrados medio Método 83,5 3 27,8333 23,86 0,0135 9,28 Operador 18,5 3 6,16667 5,29 0,1024 Orden 9,5 3 3,16667 2,71 0,2170 Lugar 2,0 3 0,666667 0,57 0,6714 Residual 3,5 3 1,16667 Total 117,0 15

Resultado arrojado en Minitab Modelo lineal general: promedio vs. Método; operador; orden; lugar Factor Método operador orden lugar

Tipo fijo fijo fijo fijo

Fuente Método operador orden lugar Error Total

GL 3 3 3 3 3 15

S = 1,08012

Niveles 4 4 4 4

SC sec. 9,500 18,500 83,500 2,000 3,500 117,000

Valores 1; 2; 3; 1; 2; 3; 1; 2; 3; 1; 2; 3;

SC ajust. 9,500 18,500 83,500 2,000 3,500

R-cuad. = 97,01%

4 4 4 4

MC ajust. F 3,167 2,71 6,167 5,29 27,833 23,86 0,667 0,57 1,167

P 0,217 0,102 0,014 0,671


El análisis de varianza para el ejemplo se aprecia que el único efecto significativo son los tratamientos (métodos), y ninguno de los factores de bloque tiene un efecto significativo sobre el tiempo de ensamble. El factor operador tiene un valor-p bajo, lo cual indica que podría tener un efecto significativo; sin embargo, en este experimento fue imposible detectarlo. Si contrastamos con respecto a F critica para los cuatro casos F en tablas es F = 9,28, por lo cual se rechaza la hipótesis nula para método, en cuanto para operador, orden y lugar se acepta.



Diseño en cuadro grecolatino

107

Ejercicios. 1.- Una compañía distribuidora ubicada en los suburbios está interesada en estudiar la diferencia en costos (tiempo y gasolina) entre las cuatro rutas (A, B, C, D) que llegan a la zona comercial, más importante para ellos, en el otro extremo de la ciudad. Deciden correr un experimento en cuadro grecolatino controlando los factores de bloque chofer, marca de vehículo ( ) y día de la semana. El experimento se repite en dos semanas diferentes, en las cuales no hay días festivos ni quincenas. Los costos observados en pesos se muestran en la siguiente tabla:

Chofer/día Carlos Enrique Genaro Luis

Lunes 825, 750 650, 725 700, 675 475, 480

Martes 585, 610 540, 560 650, 740 560, 615

Miércoles 550, 580 580, 635 635, 540 650, 725

Jueves 580, 650 850, 770 450, 550 670, 730

a) Haga el análisis de varianza de este experimento b) Realice las pruebas de comparaciones múltiples para los factores significativos c) Represente los tratamientos y factores de bloque usando gráficas de medias y diagrama de dispersión. d) ¿Cuál es la mejor ruta? ¿Cuál es la peor? e) ¿Hay diferencias significativas entre los choferes? ¿Y entre el tipo o marca de unidad?

2.- El rendimiento de un proceso químico se midió utilizando cinco lotes de materia prima, cinco concentraciones del ácido, cinco tiempos de procesamiento (A, B, C, D y E) y cinco concentraciones del catalizador ( , ). Se usó el cuadrado grecolatino siguiente. Analizar los datos de este experimento (utilizar = 0,05) y sacar conclusiones.

Lote 1 2 3 4 5

1 A B C, D E,

26 18 20 15 10


B, C D, E A,

Concentración de ácido 2 3 4 16 C, 19 D 21 D, 18 E, 12 E 16 A, 15 A 22 B 24 B, 17 C,

5 16 11 25 14 17

E, A, B C D,

13 21 13 17 14


108

CAPÍTULO 3

Diseño de bloques

3.4. Uso de un software estadístico Para capturar los datos en Minitab para el diseño de bloques se sigue la siguiente secuencia: Primeramente en la hoja de cálculo de Minitab, se capturan los datos en las columnas uno dos y tres de la siguiente manera: a) En la columna uno se captura el método u tratamiento indicando de que método se trata y cuantas repeticiones hay del mismo, repitiendo el mismo número 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 b) En la segunda columna se anota el operador, en la posición que le corresponde. 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4 c) En la tercera columna se anota el dato numérico de la tabla de datos, es decir el tiempo promedio para este caso. 6, 9, 7, 8, 7, 10, 11, 8, 10, 16, 11, 14, 10, 13, 11, 9 d) En el cuadro de captura será en ANOVA de dos factores, en la ventana de captura se anotara en Respuestas el nombre de la tercer columna, en este caso dato, en el cuadro del factor fila se anota el nombre de la primera columna que corresponde al método o tratamiento, en el factor columna se anota el nombre del factor bloque que en este caso es operador Nota, recordar que esto se hace en el cuadro principal de la izquierda dando dos clics con el ratón. e) Indicar aceptar y obtendremos el resultado.

Para capturar los datos en Minitab para el factores) se sigue la siguiente secuencia:

cuadro latino (ANOVA de dos

Primeramente en la hoja de cálculo de Minitab, se capturan los datos en las columnas uno dos tres y cuatro de la siguiente manera:




109

f) En la columna uno, se captura la posición (para el problema de comparación de llantas) indicando cuantas repeticiones hay de ese número repitiendo el mismo número 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4 g) En la segunda columna se anota el carro, tal y como se indica en el diseño del cuadro. 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4 h) En la tercera columna se anota la letra que corresponde a la marca de las llantas en la secuencia que le corresponda según los números de la columna anterior, C, D, A, B, B, C, D, A, A, B, C, D, D, A, B, C i) En la cuarta columna se anota los valores correspondientes a la respuesta, es decir, el desgaste. 12, 11, 13, 8, 14, 12, 11, 3, 17, 14, 10, 9, 13, 14, 13, 9 j) Ahora en Estadísticas de Minitab, seleccionar ANOVA, luego Modelo linear general. k) En respuesta seleccionar la columna cuatro (desgaste) dando dos clic con el ratón, luego en Modelo, indicar con dos clic del ratón, carro, marca y desgaste (recordar que esto se hace en el cuadro principal de la izquierda quedando de manera continua sin comas, pero con su espacio de separación) l) En factores aleatorios se deja en blanco, y se indica aceptar, y obtendremos el resultado

Para capturar los datos en Minitab para el cuadro grecolatino (ANOVA de tres factores de bloque) se sigue la siguiente secuencia: Primeramente en la hoja de cálculo de Minitab, se capturan los datos en las columnas uno dos tres, cuatro y cinco de la siguiente manera: a) En la columna uno se captura la tratamiento o método, indicando con un número cuantas repeticiones hay de ese tratamiento, repitiendo el mismo número 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 b) En la segunda columna se anota el operador (para el ejemplo de referencia), es decir si es repetición 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4 Instituto Tecnológico de Ensenada


110

CAPÍTULO 3

Diseño de bloques

c) En la tercera columna se anota el número que representa a la letra latina como se colocaron el diseño del cuadro (para este caso el orden de las cuatro letras iníciales fue C, B, D, y A (C = 1, B = 2, D = 3 y A = 4)). Anotando el número que represente a cada letra indicada en el cuadro. 1, 2, 3 ,4, 2, 1, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 3, 4, 1, 2 d) En la cuarta columna se anota el número que representa a la letra griega como se colocaron el diseño del cuadro (para este caso el orden de las cuatro letras iníciales fue , , , y ( = 1, = 2, , = 3 y = 4)). Anotando el número que represente a cada letra indicada en el cuadro. 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 3, 4, 1, 2, 2, 1, 4, 3 e) En la quinta columna se anota los valores correspondientes a la respuesta, es decir, el tiempo o promedio (para este ejemplo), siendo: 10, 10, 12, 7, 8, 15, 7, 14, 6, 14, 11, 13, 11, 8, 10, 8 f) Ahora en Estadísticas de Minitab, seleccionar ANOVA, luego Modelo linear general.

g) En respuesta seleccionar la columna quinta (tiempo o promedio) dando dos clic con el ratón, luego en Modelo, indicar con dos clic del ratón, método, operador, orden y lugar (recordar que esto se hace en el cuadro principal de la izquierda) h) En factores aleatorios se deja en blanco, y se indica aceptar, y obtendremos el resultado




111

———— 15/11/2011 11:26:49 ———————————————————— Modelo lineal general: promedio vs. Método; operador; orden; lugar Factor Metodo operador orden lugar

Tipo fijo fijo fijo fijo

Niveles 4 4 4 4

Valores 1; 2; 3; 1; 2; 3; 1; 2; 3; 1; 2; 3;

4 4 4 4

Análisis de varianza para promedio, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente Metodo operador orden lugar Error Total

GL SC sec. 3 9,500 3 18,500 3 83,500 3 2,000 3 3,500 15 117,000

S = 1,08012

SC ajust. 9,500 18,500 83,500 2,000 3,500

R-cuad. = 97,01%


MC ajust. 3,167 6,167 27,833 0,667 1,167

F 2,71 5,29 23,86 0,57

P 0,217 0,102 0,014 0,671



112

CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

CAPÍTULO 4 Conceptos básicos en diseños factoriales 4.1. Diseños factoriales con dos factores 4.2. Diseños factoriales con tres factores 4.3. Diseño factorial general 4.4. Modelos de efectos aleatorios 4.5. Uso de un software estadístico




113

Competencias Explicar cuando un diseño de experimentos es un diseño factorial, describiendo los conceptos básicos que estos involucran y mostrado cómo se hace tal experimentación. Desarrollar los diseños factoriales de dos y tres factores. Conocer el diseño factorial general y diferenciar los modelos de efectos fijos con los modelos de efectos aleatorios. Interpretar correctamente los análisis gráficos y el análisis de varianza en los diseños factoriales.

Conceptos básicos en diseños factoriales Es frecuente que en muchos procesos existan varios factores de los que es necesario investigar de manera simultánea su influencia sobre una o varias variables de respuesta, donde cada factor tiene la misma importancia a priori desde el momento que se decide estudiarlo, y es poco justificable suponer de antemano que los factores no interactúan entre sí. Los diseños experimentales que permiten estudiar de manera simultánea el efecto de varios factores son los llamados diseños factoriales. El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas o características de calidad y determinar una combinación de niveles de los factores en la cual el desempeño del proceso sea mejor que en las condiciones de operación actuales; es decir, encontrar nuevas condiciones de operación del proceso que eliminen o disminuyan ciertos problema de calidad en la variable de salida. Los factores pueden ser de tipo cualitativo (máquinas, tipos de material, operador, la presencia o ausencia de una operación previa, etc.), o de tipo cuantitativo (temperatura, humedad, velocidad, presión, etc.). Para poder estudiar la manera en que incluye cada factor sobre la variable respuesta, es necesario elegir al menos dos niveles de prueba para cada uno de ellos (tres máquinas, dos operadores, tres velocidades, dos temperaturas, etc.). Con el diseño factorial completa se corren aleatoriamente en el proceso todas las posibles combinaciones que pueden formarse con los niveles seleccionados. Un diseño de experimentos factorial o arreglo factorial es el conjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden formarse considerando todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores. Por ejemplo, con k = 2 factores, ambos con dos niveles de prueba, se forma el diseño factorial , que consiste de cuatro combinaciones o puntos experimentales. Considerando otra vez k = 2 factores, pero ahora uno con tres niveles y el otro con dos niveles, se pueden construir 3 x 2 combinaciones que dan lugar al diseño factorial 3 x 2. Observe que en el nombre del diseño factorial va implícita el número de tratamientos que lo componen. Para obtener el número de corridas experimentales se multiplica el número de tratamientos por el número de réplicas, donde una réplica se lleva a cabo cada vez que se repite el arreglo completo. Más en general, la familia de diseños factoriales consiste de k factores, todos con dos niveles de prueba; y la familia de diseños factoriales consiste de k factores Instituto Tecnológico de Ensenada


114

CAPÍTULO 4


cada uno con tres niveles de prueba. Es claro que si los k factores no tienen la misma cantidad de niveles, entonces no se puede factorizar de esta forma, y debe escribirse el producto de manera más explícita: por ejemplo con k = 3 factores, el primero con cuatro niveles y los dos restantes con dos niveles, se tiene el diseño factorial , que consiste de 16 combinaciones de niveles diferentes.

4.1. Diseños factoriales con dos factores El experimento factorial más sencillo es en el que intervienen solamente dos factores, por ejemplo, A y B. Hay niveles del factor A y niveles del factor B. El experimento tiene réplicas y cada réplica contiene todas las combinaciones de tratamientos . Considere los factores A y B con y ( ) niveles de prueba, respectivamente. Con ellos se puede construir el arreglo o diseño factorial , que consiste de tratamientos. Se llama réplica cada repetición completa del arreglo factorial. Los diseños factoriales que involucran menos de cuatro factores se corren replicados para poder tener la potencia necesaria en las pruebas estadísticas sobre los efecto de interés, de tal forma que si se hacen réplicas, el número total de corridas experimentales es ( ). Efecto principal y efecto de interacción El efecto de un factor se define como el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel de tal factor. En particular, los efectos principales son los cambios en la media de la variable de respuesta que se deben a la acción individual de cada factor. En términos matemáticos, el efecto principal de un factor con dos niveles es la diferencia entre la respuesta media observada cuando tal factor estuvo en su primer nivel, y la respuesta media observada cuando el factor estuvo en su segundo nivel. Ejemplo Diseño factorial . Suponga que en un proceso de fermentación tequilera, se tienen dos factores A: tipo de levadura y B: temperatura, cada uno con dos niveles denotados por respectivamente. La respuesta de interés es el rendimiento del proceso de fermentación. En la tabla 4.1 se muestran los cuatro tratamientos o puntos del diseño factorial , y entre paréntesis se ha indicado cada nivel con los códigos (1, -1). En el experimento original cada tratamiento se corrió tres veces (tres réplicas), lo cual da un total de 12 corridas del proceso pero, por simplicidad, en la última columna de la tabla 4.1 sólo se anotaron los resultados de la primera réplica. Tabla 4.1 Diseño factorial

A: Levadura

B: Temperatura Y: Rendimiento 28 41 63 45

Para los datos de la tabla 4.1, los efectos principales están dados por



Diseños factoriales con dos factores

115

Efecto A = Efecto B =

por lo que en términos absolutos el efecto principal de B es mayor. Por otra parte, se dice que dos factores interactúan entre sí o tienen un efecto de interacción sobre la variable de respuesta, cuando el efecto de un factor depende del nivel en que se encuentra el otro. Por ejemplo, los factores A y B interactúan si el efecto de A es muy diferente en cada nivel de B, o viceversa. Ahora veamos esto con los datos de la tabla 4.1: el efecto de A cuando B es baja está determinado por Efecto A (con B bajo) = 41 - 28 = 13 y cuando la temperatura es alta, el efecto de A es Efecto A (con B alta) = 45 - 63 = 13 Como estos dos efectos de A en función del nivel de B son muy diferentes, entonces es evidencia de que la elección más conveniente del nivel de A depende del nivel en que esté B, y viceversa. Es decir, eso es evidencia de que los factores de A y B interactúan sobre Y. En la práctica, el cálculo del efecto A en cada nivel de B no se hace, y más bien se calcula el efecto global de la interacción de los dos factores, que se denotan por AB y se calculan como la diferencia entre la respuesta media cuando ambos factores se encuentran en el m ismo nivel: (-1, -1); (1, 1), y la respuesta media cuando los factores se encuentran en niveles opuestos: (-1, 1) (1, -1). Para el ejemplo, el efecto de interacción levadura x temperatura está dado por

Los valores absolutos (sin importar el signo) de los efectos principales y del efecto de interacción son una medida de importancia de su efecto sobre la variable de respuesta. Sin embargo, como se tienen estimaciones muestrales, para saber si los efectos son estadísticamente significativos (diferentes de coro) se requiere el análisis de varianza (ANOVA).

Modelo estadístico Con un diseño factorial se pueden estudiar los dos efectos individuales y el efecto de interacción de ambos factores. En términos estadísticos, lo que se afirma es que el comportamiento de la respuesta Y en el experimento con k réplicas se podría describir mediante el modelo de efectos:

donde es la media general, es el efecto debido al i-ésimo nivel del factor es el efecto del j-ésimo nivel del factor B, representa al efecto de interacción en la Instituto Tecnológico de Ensenada


116

CAPÍTULO 4


combinación es el error aleatorio que supone sigue una distribución con media cero y varianza constante y son independientes entre sí. Para que la estimación de los parámetros en este modelo sea única, se introducen las restricciones:

Es decir, los efectos dados en el modelo son desviaciones respecto de la media global. Puede usarse el análisis de varianza para probar hipótesis relativas a los efectos principales de los factores A y B y la interacción AB. En este modelo, las hipótesis de interés para los tres efectos son:

Estas hipótesis se prueban mediante la técnica de análisis de varianza que para un diseño factorial con réplicas resulta de descomponer la variación total como,

donde los respectivos grados de libertad de cada una de ellas son:

El factor en los grados de libertad de la suma de cuadrados del error ( ) señala que se necesitan al menos dos réplicas del experimento para calcular ese componente y, por ende, para construir una tabla de ANOVA. Recordemos que las sumas de cuadrados divididas entre sus correspondientes grados de libertad se llama cuadrados medios . Al dividir éstos entre el cuadrado medio del error se obtienen estadísticos de prueba con distribución F. Toda esta información se sintetiza en la siguiente tabla: ANOVA para el diseño factorial FV SC GL Efecto A Efecto B Efecto AB Error Total

CM

Valor-p

Si el valor-p es menor al nivel de significancia prefijado, se rechaza la hipótesis nula y se concluye que el correspondiente efecto está activo o influye en la variable de respuesta.




117

Recordemos la notación de puntos para representar sumas y medias:

Con esta notación la suma de cuadrados totales es:

donde N = es el total de observaciones en el experimento. Las sumas de cuadrados de efectos son:

y al final, al restar éstas del total, se obtiene la suma de cuadrados del error como:

Ejemplo Consideremos un experimento en el que se quiere estudiar el efecto de los factores A: profundidad de corte sobre el acabado de un metal y B: velocidad de alimentación. Aunque los factores son de naturaleza continua, en este proceso sólo se puede trabajar en 4 y 3 niveles, respectivamente. Por ello, se decide correr un factorial completo 4 x 3 con tres réplicas, que permitirá obtener toda la información relevante en relación al efecto de esos factores sobre el acabado. Al aleatorizar las 36 pruebas se obtienen los datos de la siguiente tabla: Instituto Tecnológico de Ensenada


118

CAPÍTULO 4


Datos del experimento factorial 4 x 3

A: Profundidad

0,15

0,18

0,21

0,24

Total

0,20 74 64 198 60 79 68 220 73 82 88 262 92 99 104 299 96 979

B: velocidad 0,25 0,30 92 99 86 266 98 299 88 102 98 104 104 290 99 298 88 95 99 108 108 302 110 317 95 99 104 114 110 313 111 332 99 107 1 171 1 246

Total 763

808

881

944

El acabado ( ) está en unidades de gramos e interesa minimizar su valor De acuerdo a esto para obtener el ANOVA para el ejemplo, calculemos los totales necesarios. De donde:

La suma de cuadrados totales y la suma de cuadrados del error están dadas por

Con esta información se construye el análisis de varianza de la tabla 4.2. Del ANOVA se concluye que los tres efectos A: velocidad, B: profundidad y AB están activos o influyen en el acabado. Dado que el efecto de integración AB resulta significativo, prácticamente toda la información relevante del experimento se aprecia en su representación gráfica (figura 4.1). Nótese que aparecen tantas líneas como niveles tenga el factor que se dibuja en la parte de arriba, que en este caso es la profundidad con sus cuatro niveles que se denotan con la escala de -1 a 1. La significancia de la interacción detectada por el ANOVA se observa en el hecho de que las líneas en la figura 5.1 tienen pendientes relativamente diferentes. Como lo que interesa es minimizar la variable de respuesta, se observa que a mayor velocidad y profundidad hay una tendencia a obtener peores acabados. Además se ve que cuando se tiene velocidad




119

alta ( ) el efecto de profundidad es menor (véase la dispersión de las líneas en la figura cuando la velocidad es alta). Por lo tanto, las condiciones de operación o tratamiento que convienen es profundidad y velocidad bajas ( ). El ANOVA de la tabla 5.2 se dice que no está desglosado, ya que cuando en un experimento hay factores cuantitativos con más de dos niveles, el ANOVA se puede desglosar para estudiar con mayor detalle en el efecto de tal factor.

Tabla 5.2 ANOVA para el ejemplo FV SC GL CM Valor-p B: velocidad 3 160.5 2 1 580,25 55,02 0,0000 A: profundidad 2 125,10 3 708,37 24,66 0,0000 AB 557,07 6 92,84 3,23 0,0180 Error 689,33 24 28,72 Total 6 532,0 35 El planteamiento de hipótesis quedaría de la siguiente manera: Con su nivel de significancia como con sus grados de libertad respectivamente tenemos que el valor de F crítica es: y Se concluye que Se rechaza

Se rechaza

Se acepta Resultado arrojado en Minitab para el ejemplo anterior Factores: Corridas base: Bloques base:

2 12 1

Réplicas: Total de corridas: Total de bloques:

3 36 1

Número de niveles: 4; 3

Modelo lineal general: RESPUESTA vs. PRFUNDIDAD; VELOCIDAD Factor PRFUNDIDAD A VELOCIDAD B

Tipo fijo fijo

Niveles 4 3

Valores 0.15; 0.18; 0.21; 0.24 0.20; 0.25; 0.30

Análisis de varianza para RESPUESTA, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente PRFUNDIDAD A VELOCIDAD B PRF.*VEL. AB Error Total

GL 3 2 6 24 35

SC sec. 2125,11 3160,50 557,06 689,33 6532,00


SC ajust. 2125,11 3160,50 557,06 689,33

MC ajust. 708,37 1580,25 92,84 28,72

F 24,66 55,02 3,23

P 0,000 0,000 0,018


120

CAPÍTULO 4


Comparación de medias Las comparaciones de medias se introdujeron en la sección ´´Diseño completamente al azar y ANOVA´´ del capítulo 2, para después de un ANOVA en el que se rechaza , investigar cuáles medias causa las diferencias detectadas. El ANOVA sólo indica que al menos un par de niveles del factor significativo son diferentes entre sí, pero no dice cuáles son. Por facilidad, denotemos los cuatro niveles de la profundidad (A) del ejemplo anterior como así como los tres niveles de la velocidad (B) como Entonces es, los seis pares de hipótesis para comparar las medias del factor A son:

mientras que para el factor B se tienen los tres pares de hipótesis,

Para probar estas hipótesis con el método LSD habría que calcular las diferencias muestrales en el valor absoluto y compararlas con la diferencia mínima significativa. Cabe aclarar que este análisis es engañoso cuando el efecto de interacción es significativo. Por ello, y sólo por ilustrar el método, se prueban las hipótesis del factor A ignorando por el momento la interacción. La diferencia mínima significativa para comparar los niveles del factor A, está dada por:

Donde es el punto porcentual 100( de la distribución T de Student, los grados de libertad del cuadrado medio del error, y son el total de observaciones en los niveles del factor A, que están comparando. De esta manera, en el ejemplo, como es un diseño balanceado = = 9; entonces,



Comparación de medias

121

De los totales marginales dados en el renglón inferior de la tabla donde se representan los datos del experimento factorial 4 x 3, se obtienen las medias del factor A, al dividir entre 9, que son el número de mediciones involucradas en cada total. Así, las seis posibles diferencias muestrales en valor absoluto resultan ser:

donde sólo la primer diferencia resulta no significativa, es decir, se acepta ; en cambio, en las cinco comparaciones restantes se rechaza . Ejercicios 1.- La pintura tapaporo de aviones se aplica en superficies de aluminio utilizando dos métodos: por inmersión y por aspersión. El objeto de la pintura tapaporo es mejorar la adherencia de la pintura, y en algunas partes puede aplicarse utilizando cualquiera de los dos métodos. Al grupo de ingenieros responsable del proceso de esta operación le interesa saber si tres pinturas tapaporo diferentes difieren en sus propiedades de adherencia. Se realizó un experimento factorial para investigar el efecto que tiene el tipo de pintura tapaporo y el método de aplicación sobre la adherencia de la pintura. Se pintaron tres ejemplares de prueba con cada pintura utilizando cada uno de los métodos de aplicación, se aplico la pintura final, y se midió la fuerza de adherencia. Probemos la hipótesis apropiada y saquemos conclusiones Tipo de Inmersión Aspersión tapaporo 1 4.0, 4,5 4.3 12.8 5.4, 4.9, 5.6 15.9 2 5.6, 4.9, 5.4 15.9 5.8, 6.1, 6.3 18.2 3 3.8, 3.7, 4.0 11.5 5.5, 5.0, 5.0 15.5 40.2 49.6

28.7 34.1 27.0 89.8 =

Resultado en Minitab Diseño factorial de múltiples niveles Factores: Corridas base: Bloques base:

2 6 1


3 18 1

Número de niveles: 3; 2

Modelo lineal general: Respuesta vs. Tapaporo; Adherencia Factor Tapaporo

Tipo fijo

Niveles 3

Valores 1; 2; 3



122

CAPÍTULO 4

Adherencia


fijo

2

Inmersión; Aspersión

Análisis de varianza para Respuesta, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente Tapaporo Adherencia Tapaporo*Adherencia Error Total S = 0,286744

GL 2 1 2 12 17

SC sec. 4,5811 4,9089 0,2411 0,9867 10,7178

R-cuad. = 90,79%

SC ajust. 4,5811 4,9089 0,2411 0,9867

MC ajust. 2,2906 4,9089 0,1206 0,0822

F 27,86 59,70 1,47

P 0,000 0,000 0,269


Dado que utilizamos un = 0.05 y puesto que el valor de tanto para el factor A (tipo de pintura) como para el factor B(tipo de aplicación), con su nivel de significancia como con sus grados de libertad respectivamente tenemos y . Se concluye que los efectos principales del tipo de pintura tapaporo y del método de aplicación afectan la fuerza de adherencia. Además, puesto que 1,5 , no hay indicios de interacción entre estos factores. En la última columna del ANOVA se muestra el valor P para cada cociente F. Obsérvese que los valores P de los dos estadísticos de prueba para los efectos principales son considerablemente menores que 0,05 mientras que el valor P para el estadístico de prueba de la interacción es mayor que 0,05. Se rechaza

Se rechaza

Se acepta

2.- Se presentan los resultados de un experimento en el que interviene una batería de almacenamiento usada en el mecanismo de lanzamiento de un misil tierra-aire para cargar al hombro. Pueden usarse tres tipos de materiales para hacer las placas de la batería. El objetivo es diseñar una batería que se mantenga relativamente sin alteraciones por la temperatura ambiente. La respuesta de salida de la batería es la vida efectiva en horas. Se seleccionan tres niveles de temperatura y se corre un experimento factorial con cuatro replicas. Los datos son los siguientes: Material 1 2 3

Temperatura ( Baja Media 130 155 34 40 74 180 80 75 150 188 136 122 159 126 106 115 138 110 174 120 168 160 150 139

Alta 20 70 82 58 25 70 58 45 96 104 82 60

a) Pruebe las hipótesis apropiadas y saque conclusiones utilizando el análisis de



Ejercicios

123

b) varianza con = 0.05 c) Analice gráficamente la interacción d) Analice los residuales de este experimento 3.- En un artículo se describe un experimento para investigar el efecto de dos factores (tipo de cristal y tipo de fósforo) sobre la brillantez de un cinescopio. La variable de respuesta media es la corriente (en microamperes) necesaria para obtener un nivel especifico de brillantez. Los datos se presentan en la siguiente tabla: Tipo de Tipo de fósforo cristal 1 2 3 1 280 300 290 290 310 285 285 295 290 2 230 260 220 235 240 225 240 235 230 a) Enuncie las hipótesis de interés en este experimento b) Pruebe las hipótesis anteriores y saque conclusiones utilizando análisis de varianza con = 0.05 c) Analice los residuales de este experimento 4.- Se condujo un experimento para determinar si la temperatura del fuego o la posición en el horno afectan la densidad de endurecimiento de un ánodo de carbono. Los datos son los siguientes: Posición Temperatura ( ) 800 825 850 1 570 1 063 565 565 1 080 510 583 1 043 590 2 528 988 526 547 1 026 538 521 1 004 532 a) Enuncie las hipótesis de interés b) Pruebe las hipótesis anteriores utilizando el análisis de varianza con = 0.05. ¿A qué conclusiones se llega? c) Utilizando el método de la LSD de Fisher, investigar las diferencias entre la media de la densidad del endurecimiento de los ánodos en los tres diferentes niveles de temperatura 4.2. Diseños factoriales con tres factores Cuando se quiere investigar la influencia de tres factores (A, B y C) sobre una o más variables de respuesta, y el número de niveles de prueba en cada uno de los factores es a, b y c, respectivamente, se puede construir el arreglo factorial , que consiste de tratamientos o puntos experimentales. Entre los arreglos de este tipo que se utilizan con frecuencia en aplicaciones diversas se encuentran: el factorial , el Instituto Tecnológico de Ensenada


124

CAPÍTULO 4


factorial y los factoriales mixtos con no más de cuatro niveles en dos de los factores, por ejemplo, el factorial 4 x 3 x 2 y el factorial 4 x 4 x 2, por mencionar dos de ellos. Hipótesis de interés El estudio factorial de tres factores (A, B y C) permite investigar los efectos: A, B, C, AB, AC, BC y ABC, donde el nivel de desglose o detalle con el que pueden estudiarse depende del número de niveles utilizando en cada factor. Por ejemplo, si un factor se prueba en dos niveles, todo su efecto marginal (individual) es lineal, o sea que su efecto individual no se puede descomponer; pero, si tuviera tres niveles su efecto marginal se puede descomponer en una parte lineal y otra cuadrática pura. En resumen, se tienen siete efectos de interés sin considerar desglose, y con ellos se pueden plantar las siete hipótesis nulas

cada una aparejada con su correspondiente hipótesis alternativa. El ANOVA para probar estas hipótesis se muestran en la siguiente tabla. ANOVA para el diseño a x b x c FV SC GL Efecto A Efecto B Efecto C Efecto AB Efecto AC Efecto BC Efecto ABC Error Total

CM

Valor-p

Al efecto cuyo valor-p sea menor al valor especificado para alfa, se declara estadísticamente significativo o se dice que está activo. Las sumas de cuadrados son muy similares a las obtenidas para dos factores; habrá que considerar un subíndice adicional para el tercer factor, y comenzando otra vea, por la suma total de cuadrados, éstas resultan ser:

donde N =

es el total de observaciones en el experimento. Las sumas de cuadrados



Diseños factoriales con tres factores

125

de efectos son:

Al restar éstas del total, la suma de cuadrados del error resulta ser

cuyos respectivos grados de libertad se dan en la tabla anterior. Una vez hecho el ANOVA, se procede a interpretar los efectos activos, y luego (aunque no necesariamente después) a diagnosticar la calidad del modelo. Ejemplo El experimento. Se desea investigar el efecto del tipo de suspensión (A), abertura de malla (B) y temperatura de ciclaje (C) en el volumen de sedimentación Y(%) de una suspensión. Para ello se decide correr un experimento factorial 3 x 2 x 2 con seis réplicas, y las observaciones obtenidas en las 72 corridas experimentales se muestran en la siguiente tabla:

60, 75, 75 86, 70, 70 55, 53, 53 55, 55, 55

67, 73, 73 67, 68, 68 52, 52, 57 52, 54, 54

62, 68, 65 76, 65, 65 44, 44, 45 48, 48, 45

71, 80, 80 72, 80, 80 60, 60, 60 67, 67, 65

76, 71, 75 70, 68, 73 52, 51, 50 52, 48, 54

75, 75, 75 75, 75, 77 56, 55, 57 59, 50, 55

Los niveles de prueba para cada factor, tanto en unidades originales como en unidades codificadas, se muestran en la siguiente tabla



126

CAPÍTULO 4


Factor

U. originales U. codificadas Bajo Medio Alto Bajo Medio Alto A: Tipo de suspensión -1 0 1 B: Abertura de malla -1 1 40 60 C: Temperatura -1 1 0 30 El análisis de varianza para este ejemplo se muestra en la siguiente tabla. De aquí se concluye que no influyen los efectos ABC, AC ni A, dado que su valor-p es mayor que . Por otra parte, se encuentran activos los efectos B, C, AB y en menor medida BC. Éstos son los cuatro efectos que se deben interpretar. Los efectos que no influyeron se pueden eliminar mandándolos al término error. El ANOVA simplificado, pero con el efecto A note que el en ambos ANOVAS es prácticamente igual. En general se recomienda interpretar sólo los efectos significativos. Diseño factorial de múltiples niveles Factores: Corridas base: Bloques base:

3 12 1


6 72 1

Número de niveles: 3; 2; 2

Modelo lineal general: Respuesta vs. Suspensión; Abertura de malla; ... Factor Suspensión Abertura de malla temperatura

Tipo fijo fijo fijo

Niveles 3 2 2

Valores A1; A2; A3 B1; B2 C1; C2

Análisis de varianza para Respuesta, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente Suspensión Abertura de malla temperatura Suspensión*Abertura de malla Suspensión*temperatura Abertura de malla*temperatura Suspensión*Abertura de malla* temperatura Error Total

S = 3,74537

GL 2 1 1 2 2 1 2

SC sec. 13,86 480,50 6086,72 788,25 40,86 56,89 31,03

SC ajust. 13,86 480,50 6086,72 788,25 40,86 56,89 31,03

MC ajust. 6,93 480,50 6086,72 394,13 20,43 56,89 15,51

60 71

841,67 8339,78

841,67

14,03

R-cuad. = 89,91%

F 0,49 34,25 433,90 28,10 1,46 4,06 1,11

P 0,613 0,000 0,000 0,000 0,241 0,049 0,338


Observaciones inusuales de Respuesta Obs 23 36 52

Respuesta 60,0000 76,0000 86,0000

Ajuste 72,6667 66,8333 72,6667

Ajuste SE 1,5290 1,5290 1,5290

Residuo -12,6667 9,1667 13,3333

Residuo estándar -3,70 R 2,68 R 3,90 R

R denota una observación con un residuo estandarizado grande.



Diseños factoriales con tres factores

127

Dado que utilizamos un = 0.05 y puesto que el valor de , con su nivel de significancia como con sus grados de libertad en tablas respectivamente tenemos y . ; Se acepta ; Se rechaza ; Se rechaza , Se rechaza ; Se acepta , Se rechaza

Ejercicios 1.- Se investigan el porcentaje de la concentración de madera dura en la pulpa cruda, la libertad de orientación de la fibra o lof, y el tiempo de cocción de la pulpa en cuanto a sus efectos sobre la resistencia del papel. En la siguiente tabla se muestran los datos de un experimento factorial con tres factores. Porcentaje de la Concentración de Madera dura 10 15 20

1.5 horas de tiempo de cocción lof 350 500 650 96.6 97.9 99.4 96.0 96.0 99.8 98.5 96.0 98.4 97.2 96.9 97.6 97.5 95.6 97.4 96.6 96.2 98.1

2.0 horas de tiempo de cocción lof 350 500 650 98.4 99.6 1000.6 98.6 100.4 100.9 97.5 98.7 99.0 98.1 96.0 99.0 97.6 97.0 98.5 98.4 97.8 99.8

a) Analice los datos usando el análisis de varianza bajo el supuesto de que todos los factores son fijos. Use b) Encuentre los valores de P de los cocientes F del inciso a 2.- El departamento de control de calidad de una planta de acabados textiles estudia los efectos de varios factores sobre el teñido de una tela combinada de algodón y fibra sintética que se usa para hacer camisas. Se seleccionan tres operadores, tres duraciones del ciclo y dos temperaturas, y tres ejemplares de prueba pequeños de tela se tiñeron bajo cada conjunto de condiciones. La tela terminada se comparó con un patrón y se asigno una puntuación numérica. Los resultados se presentan en la tabla siguiente

Duración del ciclo 40

50

60


Temperatura 300 350 Operador Operador 1 2 3 1 2 23 27 31 24 38 34 24 28 32 23 36 36 25 26 28 28 35 39 36 34 33 37 34 34 35 38 34 39 38 36 36 39 35 35 36 31 28 35 26 26 36 28 24 35 27 29 37 26 27 34 25 25 34 34

3


128

CAPÍTULO 4


a) Enuncie y pruebe las hipótesis apropiadas usando el análisis de varianza con

3.- Un ingeniero mecánico estudia la rugosidad superficial de una pieza producida en una operación de corte de metal. Son de interés tres factores: la rapidez de alimentación (A), la profundidad del corte (B) y el ángulo de la herramienta (C). A los tres factores se les ha asignado dos niveles, y se corren dos réplicas de un diseño factorial

Rapidez de alimentación 30 pulg/min 30 pulg/min

Profundidad del corte 0.025 pulgada 0.04 pulgada Ángulo de la herramienta 15 25 15 25 9 11 9 10 7 10 11 8 10 10 12 16 12 13 15 14

a) Analice los datos usando el análisis de varianza bajo el supuesto de que todos los factores son fijos. Use b) Encuentre los valores de P de los cocientes F del inciso a

4.3. Diseño factorial general Lo que se ha dicho para los dos diseños factoriales con 2 y 3 factores puede extenderse fácilmente para cuando se tienen más factores. Considerarse factores A, B, C,…, K con niveles respectivamente, donde la letra K denota al -ésimo o último factor del conjunto a estudiar, no necesariamente el undécimo, que es el lugar de esta letra en el alfabeto. Con estos niveles y factores se puede construir el diseño factorial general que consiste de tratamientos o puntos de prueba. Con este diseño se pueden estudiar efectos principales, interacciones dobles, interacciones triples, y así sucesivamente hasta la única interacción de los factores (ABC…K). El cálculo del número de interacciones de cierta cantidad de factores se hace mediante la operación ¨combinaciones de en ¨ factores de los , donde

que cuenta el número de diferentes maneras de seleccionar =

Por ejemplo, el diseño factorial tiene cinco efectos principales, 10 interacciones dobles, 10 interacciones triples, cinco interacciones cuádruples y una interacción quíntuple, lo cual da un total de 31 efectos. Por su parte, el factorial también tiene este mismo número de efectos, pero al contar con tres niveles en cada factor, cada efecto principal se puede descomponer en su parte lineal y cuadrática. Cabe destacar que mientras el diseño factorial tiene 32 tratamientos, el factorial tiene 243, una cantidad de tratamientos difícil de manejar. Aun si pudiera correrse, representa una opción muy ineficaz; además, existen arreglos experimentales más pequeños y eficientes.



Diseño factorial general

129

De acuerdo con lo antes dicho, en el factorial general se pueden plantear hipótesis que se prueban mediante el análisis de varianza. Si se tienen réplicas. Las primeras tres columnas de este ANOVA se muestran en la siguiente tabla ANOVA para el diseño factorial general FV

SC

GL

Error Total

La suma de cuadrados totales está dada por:

donde N = es el total de observaciones en el experimento. Las sumas de cuadrados de efectos son:



130

CAPÍTULO 4


Al final, la suma de cuadrados del error se calcula por sustracción,

En el ANOVA para el factorial general se observa la necesidad de contar con al menos dos réplicas del experimento para calcular la suma de cuadrados del error ( ), y completar toda la tabla ANOVA. Sin embargo, esta necesidad de réplicas ( , que se ha mencionado,. Es para el caso irreal de que interesan los efectos. Pero resulta que, con excepción del factorial , en un factorial completo prácticamente nunca interesan todos sus posibles efectos, puesto que en términos generales sólo algunos de ellos están activos. El principio de Pareto, que en este contexto también se llama principio de esparcidad de efectos, dice que la mayoría de la variabilidad observada se debe a unos pocos de los efectos posibles; por lo común se debe a algunos efectos principales e interacciones dobles.

4.4. Modelos de efectos aleatorios Hasta aquí los modelos de efectos que se han utilizado son modelos de efectos o factores fijos, lo cual significa que todos los niveles de prueba en cada factor son todos los disponibles para ese factor, o bien, se estudian todos los niveles de interés en ese factor; es en este sentido que los niveles están fijos. Éste es el caso, por ejemplo, cuando en el factor operador se toman los tres únicos operadores como los niveles de prueba, o cuando los niveles del factor máquinas son las cuatro máquinas existentes. O bien, cuando se comparan tres tipos de material porque son los que interesa comprar aunque existan otros materiales de ese tipo. Con factores fijos, las conclusiones obtenidas sólo son validas para los niveles de prueba que se estudian en el experimento. En ocasiones, los niveles de prueba son una muestra aleatoria de la población de niveles posibles. En este caso es más apropiado utilizar un modelo de efectos o factores aleatorios. Un ejemplo de esta situación es cuando se prueban cinco instrumentos de medición, pero la población de los mismos es de 100 instrumentos; obviamente, no es posible experimentar con todos los equipos. Entonces se experimenta sólo con cinco de ellos elegidos al azar, y las conclusiones obtenidas se infieren como válidas para la población entera de instrumentos. La aplicación de un modelo de efectos aleatorios conlleva la necesidad de considerar la incertidumbre asociada con la elección aleatoria de los niveles de prueba. Es decir, ya no tiene sentido, para un factor A, preocuparse por el efecto del nivel



Modelo de efectos aleatorios

131

como en efectos fijos. Lo que ahora (con efectos aleatorios) tiene sentido es hablar de la varianza con la que el factor aleatorio contribuye a la variación total; es decir, es preciso estimar dicha varianza y probar si su contribución a la variabilidad total es significativa.

El caso de dos factores aleatorios. Si se consideran dos factores aleatorios A y B, de los cuales se prueban niveles elegidos de una población grande de niveles, entonces si los tratamientos se replican veces, el modelo de efectos aleatorios es

donde es la media general, es el efecto debido al nivel del factor A, es el efecto del nivel del factor B, representa al efecto de interacción en la combinación y es el error aleatorio que se supone sigue una distribución normal con media cero y varianza constante, y son independientes entre sí. El aspecto de este modelo es igual al de efectos fijos, pero el hecho de que los efectos sean aleatorios implica que no tiene sentido probar hipótesis directamente sobre tales efectos (medidas), sino que ahora el interés se enfoca en estudiar la varianza de dichos efectos. Para ello, se supone que los términos son variables aleatorias independientes normales, con media cero y varianzas , , , y , respectivamente. De esta manera, si se calcula la varianza en ambos lados del modelo anterior, se obtiene el modelo de componentes de varianza dado por: +

+

+

donde , , son las contribuciones de cada efecto a la variación total y se llaman componentes de varianza; es el componente de varianza debido al error aleatorio. Las hipótesis de interés son

Los cálculos necesarios para probar estas hipótesis involucran las mismas sumas de cuadrados del modelo de efectos fijos (diseños factoriales con dos factores), de las cuales se obtienen los correspondientes cuadrados medios. Para obtener los estadísticos de prueba apropiados debe tomarse en cuenta que los valores esperados de los cuadrados medios son



132

CAPÍTULO 4


de tal forma que para probar la hipótesis mencionadas, los estadísticos de prueba apropiados en el ANOVA son

respectivamente. Observe que en el modelo de efectos aleatorios los cuadrados medios de los efectos principales se comparan con el cuadrado medio de la interacción, y no con el cuadrado medio del error, como se hace en el modelo de efectos fijos. En caso de rechazar alguna de las hipótesis sobre las varianzas, se concluye que el efecto correspondiente contribuye de manera significativa a la variación de la respuesta. La conclusión práctica no consiste en determinar el mejor tratamiento, sino que generalmente se traduce en tomar medidas para que la contribución del componente de varianza se reduzca. Al resolver las ecuaciones dadas por los valores esperados de cuadrados medios para los componentes de varianza, se obtienen estimadores de éstos en función de los cuadrados medios del error, esto es,

Ejemplo En una compañía dedicada a la fabricación de bombas y válvulas, algunos componentes críticos tienen tolerancias muy estrechas que son difíciles de cumplir. De aquí que sea necesario estimar el error de medición con el fin de ver la posibilidad de reducirlo para cumplir con las especificaciones. El ancho de una pieza particular es una característica de calidad crítica, cuyas especificaciones son 69 0,4mm. Se eligen dos inspectores al azar y siete piezas para correr un experimento, a fin de estimar la contribución de los inspectores, de las piezas y del error aleatorio (repetibilidad) en la variabilidad total observada. El experimento utilizado se muestra en la siguiente tabla:



Modelo de efectos aleatorios

Número de piezas 1 2 3 4 5 6 7

Inspector Z 1 2 69,38 69,60 39,72 69,80 69,58 69,70 69,50 69,50 69,48 69,40 69,56 69,40 69,90 70,02

133

Inspector W 1 2 69,62 69,52 69,78 69,90 69,70 69,92 69,46 69,50 69,50 69,42 69,68 69,64 69,94 69,88

Nótese que cada inspector mide dos veces cada pieza. Sean los inspectores el factor A y las piezas el factor B, el primero con dos niveles y el segundo con siete niveles, en ambos casos seleccionados al azar. El modelo de componentes de varianza propuesto para describir estos datos es donde es el componente de varianza de los inspectores, es el componente debido a las piezas, es el componente de interacción de ambos factores y es el componente aleatorio. Interesa probar las hipótesis:

y estimar los componentes de varianza. El ANOVA para probar estas hipótesis se muestran en la siguiente tabla. FV A: Insp. B: Pieza AB Error Total

SC 0,00036 0,7516 0,0313 0,097 0,8803

GL 1 6 6 14 27

CM Valor-p 0,00036 0,069 0,8043 0,1252 24,07 0,0000 0,0052 0,75 0,6169 0,0069

Las tres primeras columnas se obtienen igual que el modelo de efectos fijos, pero las dos últimas deben corregirse de acuerdo con el estadístico de prueba apropiado para un modelo de efectos aleatorios ( y ). Los valor-p indican que la variabilidad de las piezas es estadísticamente diferente a cero, mientras que la variabilidad de los inspectores y de la interacción inspector x pieza no es significativa (es igual a cero). Desde el punto de vista del objetivo del experimento, los resultados del ANOVA son los deseados: la reproducibilidad ( + ) es estadísticamente igual a cero, es decir, los inspectores no afectan el proceso de medición. La estimación de los componentes de varianza, a partir de los cuadros medios, queda como:



134

CAPÍTULO 4


De aquí se concluye que la reproducibilidad ( + ) no tiene contribución y la repetibilidad expresada como 5.15 es igual a 0,428. Si este valor se compara con la tolerancia de 0.8, se encuentra que ocupa 53% de ésta, cuando lo deseable es que este porcentaje sea menor al 10%, por lo que el instrumento es inadecuado para discriminar entre piezas buenas y malas.

4.5. Uso de un software estadístico Utilizando Minitab 1. El primer paso consisten en seleccionar la opción Estadísticas del Menú Principal de Minitab y, dentro de esa opción, seleccionar la opción DOE luego Factorial y Crear diseño factorial como se presenta en la siguiente Figura.

2. Como consecuencia de la acción anterior le debe aparecer la siguiente pantalla <>. El paso en esta pantalla será seleccionar en Tipo de diseño la casilla de Diseño factorial completo general luego escoger el número de factores considerados en el experimento (en nuestro ejemplo son dos factores: A y B), por tanto en la casilla <> usted deberá tener el número 2. Luego



Uso de software

135

debe oprimir el botón de la opción <> para poder escoger su diseño, número de repeticiones y otras opciones. 3. En la siguiente ventana escribir el nombre de nuestros factores A y B, además de indicar el numero de niveles para ambos (4 y 3 respectivamente), también indicará que realizamos tres repeticiones por tratamiento, para esto en la casilla <>, usted deberá tener el valor de 3. Finalice esta pantalla oprimiendo <>. Esto lo devolverá a la pantalla anterior <>.

4. De vuelta en la pantalla <>. Seleccionar factores y aparecerá una siguiente ventana.

En la casilla <> seleccionar texto para ambos factores, <> , indicar los valores correspondientes tanto para el factor A así como para el factor B, luego indicar aceptar, lo que lo llevara nuevamente a la pantalla <>. 5. De vuelta a la pantalla <> oprima <>. MINITAB le creará la siguiente pantalla. Minitab crea las columnas de los tratamientos, lo único que usted tiene que ingresar a MINITAB es una columna con la respuesta del experimento. Proceda entonces a ingresar los datos en la columna C7



136

CAPÍTULO 4


6. Una vez capturados los datos (estos datos deberán corresponder al factor A con respecto a factor B de acuerdo a la tabla original) en su correspondiente renglón. El siguiente paso es regresar al paso 1.

sólo que esta vez seleccionaría la secuencia: <> seguida de <>, <> y <>.



Uso de software

137

Esta acción resultará en la pantalla donde sólo es necesario indicar la columna de la variable de respuesta <> seguido de aceptar y MINITAB le ofrecerá el resultado correspondiente.

Para capturar los datos en Minitab, de tres factores, es idéntico al de dos factores, solo que en la ventana correspondiente indicar que se trata de tres factores, y se aplica la misma secuencia.



138

CAPÍTULO 5 Series de tiempo


5.1. Modelo clásico de series de tiempo 5.2. Análisis de fluctuaciones 5.3. Análisis de tendencia 5.4. Análisis de variaciones cíclicas 5.5. Medición de variaciones estacionales e irregulares 5.6. Aplicación de ajustes estacionales 5.7. Pronósticos basados en factores de tendencia y estacionales.



Series de tiempo

139

Series de tiempo Toda institución, ya sea la familia, la empresa o el gobierno, tienen que hacer planes para el futuro si ha de sobrevivir y progresar. Hoy en día diversas instituciones requieren conocer el comportamiento futuro de ciertos fenómenos con el fin de planificar, prever o prevenir. Debido a que las condiciones económicas y comerciales varían en el tiempo, los líderes de los negocios deben encontrar formas de mantenerse al día respecto a los efectos que esos cambios tendrán en sus operaciones. Una técnica que pueden usar los líderes de negocios como ayuda en la planeación de las necesidades operativas en lo futuro es el pronóstico. Aunque se han desarrollado numerosos métodos para pronosticar, todos tienen un objetivo común, predecir los eventos futuros de manera que las proyecciones se puedan incorporar en el proceso de toma de decisiones. Suponga que necesitamos hacer pronósticos trimestrales para el volumen de ventas de determinado producto durante el próximo año. Los programas de producción, las compras de materias primas, las políticas de inventarios y las cuotas de venta serán afectados, todos, por esos pronósticos. Entonces, los malos pronósticos darán como resultado una mala planeación y, en consecuencia, aumentarán los costos de la empresa. ¿Cómo se hace para elaborar los pronósticos trimestrales del volumen de ventas? Desde luego que se deben considerar los datos reales de ventas del producto en periodos pasados. Con tales datos históricos podemos identificar el nivel general de ventas y cualquier tendencia, como aumento o disminución en el volumen a través del tiempo. Por ejemplo, un examen más detallado de los datos puede revelar un comportamiento estacional, como el de los picos que se presentan en el tercer trimestre de cada año y los mínimos durante el primer trimestre. Al repasar los datos históricos se puede, con frecuencia, adquirir una mejor comprensión de la tendencia de las ventas en el pasado para poder pronosticar las ventas del producto en el futuro de una mejor manera. Las ventas históricas forman una serie de tiempo que es un conjunto de observaciones de una variable medida en puntos o periodos sucesivos en el tiempo. En esencia, existen dos enfoques de pronósticos: cualitativo y cuantitativo. Los métodos de pronóstico cualitativos son importantes en especial cuando no se dispone de datos históricos, como sería el caso de un departamento de finanzas que desea pronosticar los ingresos de una compañía nueva. Los métodos de pronóstico cualitativos se consideran altamente subjetivos o basados en la opinión. Incluyen el método de elaboración de escenarios, la opinión de expertos y la técnica Delphi. Método Delphi. El método délfico, desarrollado en principio por un grupo de investigación de la Rand Corporation. Trata de determinar pronósticos mediante ¨consenso de grupo¨. En forma normal, a los miembros de un equipo de expertos, todos ellos separados físicamente y desconocidos entre sí, se les pide contestar una serie de cuestionarios. Se tabulan las respuestas del primer cuestionario y éstas se usan para preparar un segundo cuestionario que contiene la información y las opiniones de todo el grupo. A continuación se pide a cada encuestado reconsiderar y, posiblemente, corregir sus respuestas anteriores a la vista de la información obtenida con el grupo. Instituto Tecnológico de Ensenada


140


Este proceso continua hasta que el coordinador siente que ha alcanzado cierto nivel de consenso. El objetivo del método délfico no es llegar al resultado de una sola respuesta, sino producir un conjunto compacto de opiniones dentro del cual esté la mayoría de los expertos. Opinión de expertos. Con frecuencia, los pronósticos se basan en el juicio de un solo experto, o representan el consenso de un grupo de expertos. Por ejemplo, cada año se reúne un grupo de expertos en Merrill Lynch con el fin de pronosticar el nivel del promedio industrial Dow Jones y la tasa prima para el siguiente año. Al hacerlo, los expertos se basan, de manera individual en información que cree que influye en el mercado accionario y las tasas de interés, a continuación combinan sus conclusiones en forma de un pronóstico. No se usa modelo formal alguno, y es improbable que dos expertos cualesquiera visualicen de la misma forma la misma observación. La opinión de expertos es un método de pronóstico que se recomienda normalmente cuando es probable que las condiciones en el pasado no rijan en el futuro. Aunque no se usa modelo cuantitativo formal, el juicio experto ha producido buenos pronósticos en muchos casos. Elaboración de escenarios. Este método consiste en desarrollar un escenario conceptual del futuro, basado en un conjunto bien definido de supuestos. Los distintos conjuntos de supuestos producen diferentes escenarios. La tarea de quien toma decisiones es decidir lo probable que es cada escenario y, a continuación, tomar las decisiones pertinentes. Por otro lado, los métodos de pronóstico cuantitativo utilizan los datos históricos. La meta es estudiar lo que ocurrió en el pasado para entender mejor la estructura fundamental de los datos y proporcionar los medios necesarios para predecir los sucesos futuros. Los métodos de pronóstico cuantitativos se dividen en dos tipos: series de tiempo y causales. Los métodos de pronóstico de series de tiempo implican la proyección de los valores futuros de una variable basada por completo en las observaciones pasadas y presentes de esa variable. Series de tiempo. Una serie de tiempo es un conjunto de valores numéricos obtenidos en periodos iguales en el tiempo

Los métodos de pronóstico causales comprenden la determinación de factores relacionados con la variable que se predice, e incluyen análisis con variables retrasadas, modelado econométrico, análisis de indicador líder, índice de difusión y otros medidores económicos más allá del alcance de este libro. La figura 5.1 representa una perspectiva de los métodos de pronóstico.



Series de tiempo

141

Figura 5.1 Clasificación de los métodos de pronósticos

Método de pronostico

Cuantitativos

Causales

Cualitativos

Serie temporal

Suavizamiento

Proyección de tendencia Proyección de tendencia ajustada por influencia estacional

5.1. Modelo clásico de series de tiempo La suposición fundamental del análisis de series de tiempo es que los factores que han influido en los patrones de actividad en el pasado y el presente tendrán más o menos la misma influencia en lo futuro. Entonces la meta principal del análisis de series de tiempo es: identificar y aislar estos factores de influencia con el fin de realizar predicciones (pronosticar), así como fines administrativos de planeación y control. Para conseguir estas metas, se han desarrollado muchos modelos matemáticos que exploran las fluctuaciones entre los factores que componen una serie de tiempo. Tal vez el más esencial sea el modelo multiplicativo clásico para datos registrados cada año, trimestre o mes. En principio, el modelo multiplicativo clásico se usará para pronosticar. Otras aplicaciones incluyen un análisis detallado de los componentes particulares mediante la descomposición de las series de tiempo. Por ejemplo, con frecuencia los economistas estudian una serie de tiempo anual, trimestral o mensual para filtrar el componente cíclico y evaluar su movimiento respecto a la actividad económica general. No obstante, las aplicaciones de la descomposición de una serie de tiempo están fuera de los objetivos de este libro. Para exponer el modelo multiplicativo clásico de series de tiempo, en la figura 5.2 se presentan los ingresos brutos reales de Eastman Kodak Company de 1975 a 1998. Si se intenta observar las características de esta serie de tiempo, es evidente que los ingresos reales muestran una propensión a aumentar en este periodo de 24 años. Esta inclinación global a largo plazo o impresión de un movimiento hacia arriba o hacia abajo se conoce como tendencia



142


Figura 5.2 Gráfica de ingresos netos reales (en miles de millones de dólares) de Eastman Kodak Company (1975-1998)

Sin embargo, la tendencia no es el único factor componente que influye en estos datos en particular o en otra serie de tiempo anual. Otros dos factores, el componente cíclico y el componente irregular, están presentes en los datos. El componente cíclico describe la oscilación o movimiento hacia arriba o hacia abajo en una serie de tiempo. Los movimientos cíclicos varían en longitud, en general, duran de 2 a 10 años; difieren en intensidad o amplitud, y a menudo se relacionan con los ciclos de los negocios. En algunos años los valores serán más altos que los pronosticados por una sencilla recta de tendencia lineal (es decir, se encuentran en o cerca de un pico) de un ciclo); en otros años los valores serán menores que el pronóstico de una recta de tendencia (esto es, están en o cerca del fondo o depresión de un ciclo). Cualquier dato observado que no siga la tendencia curva modificada por el componente cíclico es un indicio del componente aleatorio o irregular. Cuando los datos se registran por mes o trimestre, se considera un componente adicional llamado factor estacional junto con los componentes de tendencia, cíclico e irregular. Los tres o cuatro componentes que influyen en una serie de tiempo económica o de negocios se resumen en la tabla 5.1. El modelo multiplicativo clásico de series de tiempo establece que todo valor observado en una serie de tiempo es el producto de estos factores de influencia; es decir, cuando los datos se obtienen cada año, una observación registrada en el año se puede expresar por la ecuación (5.1) Modelo multiplicativo clásico de series de tiempo para datos anuales (5.1) donde, en el año i = valor del componente de tendencia = valor del componente cíclico = valor del componente irregular



Modelo clásico

143

Cuando los datos se obtienen por trimestre o por mes, una observación registrada en el periodo puede estar dada por la ecuación (5.2) Modelo multiplicativo clásico de series de tiempo para datos con Componente estacional (5.2) donde = valores respectivos del componente de tendencia, cíclico e irregular en el periodo = valor del componente estacional en el periodo

Tabla 5.1 Factores que influyen en datos de series de tiempo. Componentes

Tendencias

Clasificación del componente Sistemático

Estacional

Sistemático

Cíclico

Sistemático

Irregular

No sistemático

Definición

Razón de la influencia

Duración

Patrón de movimiento global o persistente, a largo plazo hacia arriba o hacia abajo. Fluctuación más o menos regular que ocurre en cada periodo de 12 meses cada año. Oscilación o movimiento repetitivo arriba o abajo en cuatro 4 etapas; pico(prosperidad), contracción (recesión), fondo (depresión) y expansión (recuperación) Fluctuación errática o residual en una serie que está presente después de tomar en cuenta los efectos sistemáticos (de tendencia, estacional y cíclica)

Cambios en tecnología, población, riqueza, Valores.

Varios años

Condiciones de clima, costumbres sociales y religiosas.

Dentro de 12 meses (o datos menstruales o trimestrales). De 2 a 10 años con diferente intensidad en el ciclo completo

Interacción de numerosas combinaciones de factores que influyen en la economía

Variaciones aleatorias en los datos o debidas a eventos no previstos como huelgas, huracanes, inundaciones, asesinatos políticos, tec.

Corta duración y sin repetición.

5.2. Análisis de fluctuaciones El primer paso en un análisis de series de tiempo, consiste en graficar los datos y observar sus tendencias en el tiempo. Primero debe determinarse si parece haber un movimiento hacia arriba o hacia abajo a largo plazo en la serie (una tendencia) o si la serie parece oscilar alrededor de una recta horizontal en el tiempo. En este caso (es decir, no hay tendencia positiva o negativa a largo plazo), puede emplearse el método de promedios móviles o el de suavización exponencial para “emparejar” la serie y Instituto Tecnológico de Ensenada


144


proporcionar un panorama global a largo plazo. Por otro lado, si de hecho existe una tendencia, se pueden aplicar varios métodos de pronóstico de series de tiempo al manejar datos anuales, y otro método para los datos de series de tiempo mensual o trimestral. El patrón o comportamiento de los datos en una serie de tiempo tiene diversos componentes. El supuesto usual es que se combinan cuatro componentes separados: la tendencia, el cíclico, el estacional y el irregular para definir valores específicos de la serie de tiempo. Examinaremos cada uno de estos componentes. El gráfico de la serie permitirá: a) Detectar Outlier: se refiere a puntos de la serie que se escapan de lo normal. Un outliers es una observación de la serie que corresponde a un comportamiento anormal del fenómeno (sin incidencias futuras) o a un error de medición. Se debe determinar desde fuera si un punto dado es outlier o no. Si se concluye que lo es, se debe omitir o reemplazar por otro valor antes de analizar la serie. Por ejemplo, en un estudio de la producción diaria en una fábrica se presentó la siguiente situación ver figura 5.3: Figura 5.3 Producción diaria

Los dos puntos enmarcados en una flecha parecen corresponder a un comportamiento anormal de la serie. Al investigar estos dos puntos se vio que correspondían a dos días de paro, lo que naturalmente afectó la producción en esos días. El problema fue solucionado eliminando las observaciones e interpolando. b) Permite detectar tendencia: la tendencia representa el comportamiento predominante de la serie. Esta puede ser definida vagamente como el cambio de la media a lo largo de un periodo.

c) Variación estacional: la variación estacional representa un movimiento periódico de la serie de tiempo. La duración de la unidad del periodo es generalmente menor que un



Análisis de fluctuaciones

145

año. Puede ser un trimestre, un mes o un día, etc. Matemáticamente, podemos decir que la serie representa variación estacional si existe un número s tal que x(t) = x(t + ks). Las principales fuerzas que causan una variación estacional son las condiciones del tiempo, como por ejemplo: 1) en invierno las ventas de helado 2) en verano la venta de lana 3) exportación de fruta en marzo. Todos estos fenómenos presentan un comportamiento estacional (anual, semanal, etc.) d) Variaciones irregulares (componente aleatoria): los movimientos irregulares (al azar) representan todos los tipos de movimientos de una serie de tiempo que no sea tendencia, variaciones estacionales y fluctuaciones cíclicas. Un modelo clásico para una serie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia, estacionalidad y un término de error aleatorio. Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados. Estos son: 1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t) + A(t) 2. Multiplicativo: X(t) = T(t) · E(t) · A(t) 3. Mixto: X(t) = T(t) · E(t) + A(t) donde: X(t) serie observada en instante t T(t) componente de tendencia E(t) componente estacional A(t) componente aleatoria (accidental)

Una suposición usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante. Un modelo aditivo (1), es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de otras componentes, como T(t), sí por el contrario la estacionalidad varía con la tendencia, el modelo más adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos. El problema que se presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie. Instituto Tecnológico de Ensenada


146


5.3. Análisis de tendencia En el análisis de serie de tiempo, las mediciones pueden efectuarse cada hora, día, semana, mes o año o en cualquier otro intervalo regular periódico. Aunque los datos de serie de tiempo presentan, por lo general, fluctuaciones aleatorias, esta serie puede mostrar también desplazamientos o movimientos graduales hacia valores relativamente mayores o menores a lo largo de un lapso importante de tiempo. El desplazamiento gradual de la serie de tiempo se llama tendencia de esa serie; este desplazamiento o tendencia es, por lo común, el resultado de factores a largo plazo, como cambios en la población, características demográficas de la misma, la tecnología y/o las preferencias del consumidor. Por ejemplo, un fabricante de bicicletas podría detectar cierta variabilidad, de año a año, en la cantidad de bicicletas vendidas. Sin embargo, al revisar las ventas durante los últimos 10 años, puede encontrar que hay un aumento gradual en el volumen anual de ventas. Suponga que sus ventas fueron: Año Ventas (miles)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21,6 22,9 25,5 21,9 23,9 27,5 31,5 29,7 28,6 31,4

Este crecimiento anual de las ventas a través del tiempo muestra una tendencia creciente de la serie de tiempo. La figura 5.4 presenta una recta que puede ser una buena aproximación a la tendencia de las ventas de bicicletas. Aunque esa tendencia parece ser lineal y aumentar con el tiempo a veces, en una serie de tiempo, la tendencia se puede describir mejor mediante otros patrones. Figura 5.4 Tendencia lineal de las ventas de bicicletas 35

Venta (miles)

30 25 20 15 10 5

0 0

2

4

6

8

10

12

Año

Si al graficar nuestros datos observamos de manera clara la tendencia lineal a largo plazo (no importando si es positiva o negativa), entonces estaremos en la posición de pronosticar con un buen nivel de confianza, con alguno de los métodos que se indicaran más adelante. La figura 5.5 muestra otros patrones posibles de tendencia. La sección A representa una tendencia no lineal; en este caso, la serie de tiempo crece poco al principio; luego tiene un crecimiento rápido y, finalmente, se nivela.



Análisis de tendencia

147

Esa tendencia podría ser una buena aproximación de las ventas de un producto, desde su introducción, pasando por un periodo de crecimiento y llegando a una etapa de saturación del mercado. La tendencia lineal decreciente en la sección B se aplica a una serie de tiempo que tenga una disminución continua a través del tiempo. La recta horizontal de la sección C representa una serie de tiempo que no tiene aumento o disminución consistentes a través del tiempo y que, en consecuencia, no tiene tendencia. Figura 5.5 Ejemplos de algunos posibles patrones de tendencia en series de tiempo

A

B

C

5.4. Análisis de variaciones cíclicas Aunque una serie de tiempo puede presentar una tendencia a través de periodos grandes, sus valores no caerán con exactitud sobre la línea de tendencia. De hecho, con frecuencia estas series temporales presentan secuencias alternas de puntos abajo y arriba de la línea de tendencia. Toda secuencia recurrente de puntos arriba y debajo de la línea de tendencia, que dura más de un año, se puede atribuir a un componente cíclico de la serie. La figura 5.6 es la gráfica de una serie de tiempo con un componente cíclico obvio. Las observaciones se hicieron con intervalos de un año. Figura 5.6 Componente de tendencia y cíclico de una serie de tiempo con datos anuales

V

Los ciclos aparecen como series de Observaciones sobre y debajo de la línea de tendencia

o l u m e n Línea de tendencia Tiempo

Muchas series se tiempo presentan comportamiento cíclico con tramos regulares de observaciones abajo y arriba de la línea de tendencia. En general, este comportamiento de la serie se debe a movimientos cíclicos de la economía a través de varios años. Por ejemplo, los periodos de inflación moderada seguidos de periodos de Instituto Tecnológico de Ensenada


148


inflación rápida pueden determinar series de tiempo que se alternan abajo y arriba de una línea de tendencia ascendente en general (como la serie de tiempo de los costos de vivienda). Diversas series de tiempo de principios de la década de los ochenta presentaron este comportamiento

5.5. Medición de variaciones estacionales e irregulares Mientras que la tendencia y los componentes cíclicos de una serie de tiempo se identifican analizando los movimientos de datos históricos a través de varios años, hay muchas series de tiempo que muestran un patrón regular dentro de un periodo de un año. Por ejemplo, un fabricante de albercas inflables espera poca actividad de ventas durante los meses de otoño e invierno, y ventas máximas en los de primavera y verano. Los fabricantes de equipo para la nieve y de ropa de abrigo esperan un comportamiento anual opuesto al del fabricante de albercas. No es de sorprender que el componente de la serie de tiempo que representa la variabilidad en los datos, debida a influencias de las estaciones, se llama componente estacional. Aunque uno suele imaginarse que un movimiento estacional de una serie de tiempo sucede dentro de un año, también se puede usar para representar cualquier patrón regularmente repetitivo cuya duración sea menor de un año. Por ejemplo, los datos diarios de intensidad de tráfico muestran un comportamiento “estacional” dentro del mismo día, así se tiene que el flujo máximo se presenta durante las horas de aglomeración, el moderado durante el resto del día y al caer la noche, y el mínimo a partir de la medianoche hasta temprano por la mañana. El componente irregular de la serie de tiempo es el factor residual, “mil usos”, que explica las desviaciones de la serie de tiempo real respecto a los factores determinados por los efectos de la tendencia y los componentes cíclicos y estacionales. Se debe a factores a corto plazo, imprevisibles y no recurrentes que afecta a la serie de tiempo. Como este componente explica la variabilidad aleatoria de la serie, es impredecible; de esta manera, no se puede esperar predecir su impacto sobre la serie de tiempo

5.6. Aplicación de ajustes estacionales Una aplicación frecuente de índices estacionales es la de ajustar datos de serie de tiempo observados para eliminar la influencia del componente estacional en ellos; se llaman datos con ajuste estacional. Los ajustes estacionales son particularmente pertinentes cuando se desea comparar datos de diferentes meses para determinar si ha tenido lugar un incremento (o decremento) en relación con las expectativas estacionales. Los valores de serie de tiempo mensuales (o trimestrales) observados se ajustan respecto de la influencia estacional dividiendo cada valor entre el índice mensual (o trimestral) de ese mes. El resultado se multiplica luego por 100 para mantener la posición decimal de los datos originales. La serie que resultante se llama ventas desestacionalizadas o ventas ajustadas estacionalmente.



Suavización

149

La razón para desestacionalizar las series de ventas es similar las fluctuaciones estaciónales a fin de estudiar la tendencia y el ciclo. Para ilustrar el procedimiento, los totales trimestrales de ventas de la empresa Tabla 5.2 Ajuste para datos trimestrales Año

Trimestre

Ventas

1996

Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño

6,7 4,6 10,0 12,7 6,5 4,6 9,8 13,6 6,9 5,0 10,4 14.1 7,0 5,5 10,8 15,0 7,1 5,7 11,1 14,5 8,0 6,2 11,4 14,9

1997

1998

1999

2000

2001

Índice estacional 0,765 0,575 1,141 1,519 0,765 0,575 1,141 1,519 0,765 0,575 1,141 1,519 0,765 0,575 1,141 1,519 0,765 0,575 1,141 1,519 0,765 0,575 1,141 1,519

Ventas desestacionalizadas 8,76 8,00 8,76 8,36 8,50 8,00 8,59 8,95 9,02 8,70 9,11 9,28 9,15 9,57 9,46 9,88 9,28 9,92 9,72 9,55 10,46 10,79 9,99 9,81

A fin de eliminar el efecto de la variación estacional, la cantidad estacional, la cantidad de ventas para cada trimestre (que contiene efectos de tendencia, cíclicos, irregulares y estaciónales) se divide entre el índice estacional de ese trimestre; esto es, TSCI/S. Por ejemplo, las ventas reales para el primer trimestre de 1996 fueron 6.7 millones de dólares, el índice estacional par el trimestre de invierno es 76.5 el índice 76.5 indica que las ventas en el primer trimestre normalmente se encuentran 23.5% abajo del promedio de un trimestre normal. Dividiendo las ventas reales $6.7 millones entre 76.5 y multiplicando el resultado por 100 se encuentra el valor de las ventas desestacionalizadas del primer trimestre de 1996. El valor es $8758170 que se obtuvo de ($6700000/76.5)100. Este proceso se repite con los demás trimestres en la columna 3 de la tabla 5.2 y los resultados se dan en millones de dólares. Puesto que la componente estacionalizadas contiene solo las componentes de tendencia (T), ciclo © e irregular (I). Al revisar las ventas desestacionalizadas. Es claro que la eliminación del factor estacional permite considerar la tendencia general a largo plazo de las ventas. También se podrá determinar la ecuación de regresión de los datos de tendencia y usarla para pronosticar ventas futuras.



150


5.7. Pronósticos basados en factores de tendencia y estacionales. Como lo indicamos anteriormente el primer pasó en un análisis de series de tiempo, consiste en graficar los datos y observar sus tendencias en el tiempo. Primero debe determinarse si parece haber un movimiento hacia arriba o hacia abajo a largo plazo en la serie (una tendencia) o si la serie parece oscilar alrededor de una recta horizontal en el tiempo. En este caso (es decir, no hay tendencia positiva o negativa a largo plazo), se recomienda antes de aplicar alguno de los métodos de pronostico ¨suavizar¨ nuestros datos a fin de que la tendencia se observe de manera clara. Los métodos que pueden emplearse para suavizar nuestros datos usualmente son: a) El método de promedios móviles b) El método de suavización exponencial El objetivo de ambos métodos es el de “emparejar” la serie y proporcionar un panorama global a largo plazo. Por otro lado, si de hecho existe una tendencia, se pueden aplicar varios métodos de pronóstico de series de tiempo al manejar datos anuales, y otro método para los datos de series de tiempo mensual o trimestral, los cuales se verán posteriormente. Suavización de una serie de tiempo anual

La tabla 5.3 presenta las ventas mundiales de una fábrica (en millones de unidades) de automóviles, camiones y autobuses hechos por General Motors Corporation (GM). Para un periodo de 24 años, de 1975 a 1998, y la figura 5.7 es una gráfica de serie de tiempo de estos datos. Al examinar este tipo de datos anuales, la impresión visual de las tendencias globales a largo plazo o movimientos de tendencia en la serie quedan veladas por la cantidad de variación de un año a otro. Entonces se vuelve difícil juzgar si en esta serie en realidad existe un efecto de tendencia positivo o negativo a largo plazo. Tabla 5.3 Ventas de fábrica (en millones de unidades) Para la General Motors Corporation (1975-1998)

Año Ventas de fábrica Año 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982

6.6 8.6 9.1 9.5 9.0 7.1 6.8 6.2

1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

Ventas de fábrica Año 7.8 8.3 9.3 8.6 7.8 8.1 7.9 7.5

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Ventas de fábrica 7.4 7.7 7.8 8.4 8.3 8.4 8.8 8.1

En situaciones como éstas, se pueden usar el método de promedios móviles o la suavización exponencial para suavizar o emparejar la serie de tiempo y proporcionar un panorama global del patrón de movimiento de los datos en el tiempo.



Suavización

151

Figura 5.7 Gráfica de las ventas de fábrica (en millones de unidades) Para la General Motors Corporation (1975-1998)

Unidades (millones)

Ventas de fabrica para General Motors 10 8 6 4 2 0 1970

1980

1990

2000

Año

Promedios móviles El método de promedios móviles para suavizar una serie de tiempo es muy subjetivo y dependiente de L, la longitud del periodo seleccionado para calcular los promedios. Para eliminar las fluctuaciones cíclicas, el periodo elegido debe ser un valor entero que corresponda a (o sea múltiplo de) la longitud promedio estimada de un ciclo en una serie. Los promedios móviles para un promedio determinado de longitud L consiste en una serie de promedios aritméticos en el tiempo tales que cada uno se calcula a partir de una secuencia de L valores observados. Estos promedios móviles se representan por el símbolo PM (L) A manera de ejemplo, suponga que se desea calcular promedios móviles de 5 años de una serie que contiene n = 11 años. Como L = 5, los promedios móviles de 5 años consisten en una serie de medidas obtenidas en el tiempo al promediar secuencias consecutivas de cinco valores observados. El primer promedio móvil de 5 años se calcula con la suma de los valores para los primeros 5 años en la serie, dividida entre 5. PM (5) =

Y1  Y2  Y3  Y4  Y5 5

El segundo promedio móvil de 5 años se calcula con la suma de los valores de los años 2 a 6 en la serie, dividida entre 5 Y Y Y Y Y PM (5) = 2 3 4 5 6 5 Este proceso continúa hasta calcular el último promedio móvil de 5 años con la suma de los valores de los últimos 5 años en la serie (años del 7 al 11), dividida entre 5.

PM (5) =

Y7  Y8  Y9  Y10  Y11 5

Cuando se trata de una serie de tiempo anual, L, la longitud del periodo elegido para construir los promedios móviles, debe ser un número de años impar. Al seguir esta regla se observa que no se pueden obtener promedios móviles para los primeros (L – Instituto Tecnológico de Ensenada


152


1)/2 años o los últimos (L -1)/2 años en la serie. Entonces, para un promedio móvil de 5 años, no es posible hacer cálculos para los primeros 2 años o los últimos 2 años de la serie. Al graficar los promedios móviles, cada valor calculado se coloca en el año a la mitad de la secuencia de años usada para calcularlos. Si n = 11 y L = 5, el primer promedio móvil se centra en el tercer año, el segundo promedio móvil se centra en el cuarto año y el último en el noveno año. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo: Suponga que los siguientes datos representan los ingresos totales (en millones de dólares constantes de 1995) de una agencia donde se rentan automóviles, en un intervalo de 11 años de 1987 a 1997: 4.0

5.0

7.0

6.0

8.0

9.0

5.0

2.0

3.5

5.5

6.5

Calcule los promedios móviles de 5 años para esta serie de tiempo anual. Solución El primer promedio móvil de 5 años es PM (5) =

4.0  5.0  7.0  6.0  8.0 30.0   6.0 5 5

Es decir, para calcular un promedio móvil de 5 años, primero se obtiene la suma de los cinco años y se divide entre 5. Después el promedio se centra en el valor medio, el tercer año de esta serie de tiempo. Los siguientes valores quedan de la siguiente manera: PM (5) =

5.0  7.0  6.0  8.0  9.0 35.0   7.0 5 5

PM (5) =

7.0  6.0  8.0  9.0  5.0 35.0   7.0 5 5

PM (5) =

6.0  8.0  9.0  5.0  2.0 30.0   6.0 5 5

PM (5) =

8.0  9.0  5.0  2.0  3.5 27.5   5.5 5 5

PM (5) =

9.0  5.0  2.0  3.5  5.5 25.0   5.0 5 5

PM (5) =

5.0  2.0  3.5  5.5  6.5 22.5   4.5 5 5

Estos promedios móviles se centran en sus respectivos valores medios, el quinto, sexto y séptimo años de la serie de tiempo. Se observa que al obtener promedios móviles de 5 años, no se pueden calcular los valores para los primeros dos y los últimos dos valores de la serie de tiempo.



Suavización

153

En la práctica, al obtener promedios móviles se debe usar un programa de computadora como Microsoft Excel o Minitab para evitar los cálculos tediosos. La tabla 5.4 y 5.5 presenta las ventas anuales de la fábrica (General Motors) que ampara el periodo de 24 años de 1975 a 1998 junto con los cálculos para los promedios móviles de 3 y 7 años. La gráfica de las dos series construidas se presenta en la figura 5.8 y 5.9 con los datos originales. Se observa en la tabla 5.4 que al obtener los promedios móviles de 3 años, no se pueden calcular valores para el primero o el último valor en la serie de tiempo. Tabla 5.4 promedios móviles de 3 y 7 años obtenida con Microsoft Excel Año 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Ventas PM 3 años PM 7 años 6,6 #N/A #N/A 8,6 8,1 #N/A 9,1 9,06666667 #N/A 9,5 9,2 8,1 9 8,53333333 8,04285714 7,1 7,63333333 7,92857143 6,8 6,7 7,81428571 6,2 6,93333333 7,78571429 7,8 7,43333333 7,72857143 8,3 8,46666667 7,82857143 9,3 8,73333333 8,01428571 8,6 8,56666667 8,25714286 7,8 8,16666667 8,21428571 8,1 7,93333333 8,08571429 7,9 7,83333333 7,85714286 7,5 7,6 7,74285714 7,4 7,53333333 7,82857143 7,7 7,63333333 7,85714286 7,8 7,96666667 7,92857143 8,4 8,16666667 8,11428571 8,3 8,36666667 8,21428571 8,4 8,5 #N/A 8,8 8,43333333 #N/A 8,1 #N/A #N/A

10 8 6 4 2

VENTAS PM 3 años PM 7 años

19 75 19 78 19 81 19 84 19 87 19 90 19 93 19 96

0

Figura 5.8 Gráfica de promedios móviles de 3 y 7 año



154

CAPÍTULO 5 Series de tiempo Tabla 5.5 promedios móviles de 3 y 7 años obtenida con Minitab Tiempo 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Ventas MA 3 años MA 7 años 6,6 * * 8,6 8,10000 * 9,1 9,06667 * 9,5 9,20000 8,10000 9,0 8,53333 8,04286 7,1 7,63333 7,92857 6,8 6,70000 7,81429 6,2 6,93333 7,78571 7,8 7,43333 7,72857 8,3 8,46667 7,82857 9,3 8,73333 8,01429 8,6 8,56667 8,25714 7,8 8,16667 8,21429 8,1 7,93333 8,08571 7,9 7,83333 7,85714 7,5 7,60000 7,74286 7,4 7,53333 7,82857 7,7 7,63333 7,85714 7,8 7,96667 7,92857 8,4 8,16667 8,11429 8,3 8,36667 8,21429 8,4 8,50000 * 8,8 8,43333 * 8,1 * *

Figura 5.9 Gráfica de promedios móviles de 3 y 7 años en Minitab Gráfica de dispersión de Ventas; PM 3 Años; PM 7 Años vs. Año Variable Ventas PM 3 A ños PM 7 A ños

9,5 9,0

Datos Y

8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 1975

1980

1985

1990

1995

2000

A ño

Suavización exponencial La suavización exponencial es otra técnica que se usa para alisar una serie de tiempo y proporcionar una visualización global de los movimientos a largo plazo de los datos. Además, se puede usar el método de suavización exponencial para obtener pronósticos a corto plazo (un periodo futuro) para series de tiempo. El método de suavización exponencial obtiene su nombre del hecho de que proporciona un promedio móvil con ponderación exponencial a través de la serie de tiempo. En toda la serie, cada cálculo de suavización o pronóstico depende de todos los valores observados anteriores. Ésta es otra ventaja respecto al método de pronósticos móviles, que no toma en cuenta todos los valores observados de esta manera. Con la Instituto Tecnológico de Ensenada


Suavización

155

suavización exponencial, los pesos asignados a los valores observados decrecen en el tiempo, de manera que al hacer un cálculo, el valor observado más reciente recibe el peso más alto, el valor observado anterior tiene el siguiente peso más alto, y así sucesivamente, por lo que el valor observado inicial tiene la menor ponderación. Aunque la magnitud de los cálculos involucrados puede parecer enorme, la suavización exponencial al igual que los métodos de promedios móviles está disponible entre los procedimientos de Microsoft Excel y Minitab. Si se centra la atención en los aspectos de suavización de la técnica (más que en el aspecto del pronóstico), las fórmulas desarrolladas para suavizar exponencialmente una serie en un periodo dado i se basa en sólo tres términos: el valor observado actual en la serie de tiempo , valor con suavización exponencial calculado anterior Ei 1 y un peso subjetivo asignado o coeficiente de suavización W. Así, para alisar una serie en cualquier periodo , se tiene la siguiente expresión. Obtención de un valor que tiene suavización exponencial en el periodo

donde EI = valor de la serie suavizada exponencialmente que se calcula en el periodo EI – 1 = valor de la serie suavizada exponencialmente que se calcula en el periodo – 1 Yi = valor observado de la serie de tiempo en el periodo W = peso subjetivo asignado o coeficiente de suavización (donde 0 < W < 1) E1 = Y1 La elección del coeficiente de suavización o peso que se asigna a la serie de tiempo es crítica porque afectará en forma directa los resultados. Es desafortunado que esta selección sea subjetiva. Si se desea sólo suavizar una serie con la eliminación de la variación cíclica y la irregular, debe elegirse un valor pequeño para W (cercano a 0). Por otro lado, si la meta es pronosticar, debe elegirse un valor grande para W (más cercano a 1). En el primer caso, se podrán observar las tendencias globales a largo plazo de la serie; en el último caso, es posible predecir direcciones futuras a corto plazo de manera más adecuada. Los cálculos de la suavización exponencial se ilustra para un coeficiente de suavización de W = 0.25. Como punto de partida, se utiliza el valor observado inicial (tabla 5.3), Y1975 = 6.6 como el primer valor de suavización (E 1975 = 6.6) Después, con el valor observado de la serie de tiempo para el año 1976 (Y 1976 = 8.6), se suaviza la serie para el año de 1976 con el cálculo

E i  W Yi  (1W ) Ei  1 E1976 = WY1976 + (1 – W)E1975 = (0.25)(8.6) + (0.75)(6.6) = 7.10 millones E1977 = WY1977 + (1 – W)E1976 = (0.25)(9.1) + (0.75)(7.1) = 7.6 E1978 = WY1978 + (1 – W)E1977 = (0.25)(9.5) + (0.75)(7.6) = 8.08 Instituto Tecnológico de Ensenada


156


Este proceso continúa hasta obtener los valores de la suavización exponencial para los 24 años en la serie de las ventas anuales de la fábrica (General Motors), como se muestra en la tabla 5.6 y 5.7, y las figuras 5.10 y 5.11 Tabla 5.6 Serie suavizada exponencialmente de las ventas de GM obtenida con Microsoft Excel

Año 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Ventas 6,6 8,6 9,1 9,5 9 7,1 6,8 6,2 7,8 8,3 9,3 8,6 7,8 8,1 7,9 7,5 7,4 7,7 7,8 8,4 8,3 8,4 8,8 8,1

SE (W=0.25) 6,6 7,1 7,6 8,075 8,30625 8,0046875 7,70351563 7,32763672 7,44572754 7,65929565 8,06947174 8,20210381 8,10157785 8,10118339 8,05088754 7,91316566 7,78487424 7,76365568 7,77274176 7,92955632 8,02216724 8,11662543 8,28746907

SE (W=0.50) 6,6 7,6 8,35 8,925 8,9625 8,03125 7,415625 6,8078125 7,30390625 7,80195313 8,55097656 8,57548828 8,18774414 8,14387207 8,02193604 7,76096802 7,58048401 7,640242 7,720121 8,0600605 8,18003025 8,29001513 8,54500756

Figura 5.10 Gráfica de una serie suavizada exponencialmente (W = 0.50 y W = 0.25) para las ventas de GM



Suavización

157

Tabla 5.7 Serie suavizada exponencialmente de las ventas de GM obtenida con Minitab Año 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Ventas 6,6 8,6 9,1 9,5 9,0 7,1 6,8 6,2 7,8 8,3 9,3 8,6 7,8 8,1 7,9 7,5 7,4 7,7 7,8 8,4 8,3 8,4 8,8 8,1

Suavizar 0,25 6,60000 7,10000 7,60000 8,07500 8,30625 8,00469 7,70352 7,32764 7,44573 7,65930 8,06947 8,20210 8,10158 8,10118 8,05089 7,91317 7,78487 7,76366 7,77274 7,92956 8,02217 8,11663 8,28747 8,24060

Suavizar 0,50 6,60000 7,60000 8,35000 8,92500 8,96250 8,03125 7,41563 6,80781 7,30391 7,80195 8,55098 8,57549 8,18774 8,14387 8,02194 7,76097 7,58048 7,64024 7,72012 8,06006 8,18003 8,29002 8,54501 8,32250

Figura 5.11 Gráfica de una serie suavizada exponencialmente (W = 0.50 y W = 0.25) para las ventas de GM en Minitab Gráfica de dispersión de Ventas; Suavizar 0,25; Suavizar 0,50 vs. Año Variable Ventas Suav izar 0,25 Suav izar 0,50

9,5 9,0

Datos Y

8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 1975

1980

1985

1990

1995

2000

A ño

Proyección de tendencias Para pronosticar una serie de tiempo que tiene una tendencia lineal a largo plazo. El tipo de serie de tiempo para el cual se aplica el método de proyección de tendencias presenta un aumento o disminución consistentes a través del tiempo; y no es estable como para aplicar los métodos de suavizamiento analizados en la sección anterior. Instituto Tecnológico de Ensenada


158


Veamos la serie de tiempo de ventas de bicicletas de determinado fabricante durante los últimos 10 años, que se muestran en la tabla 5.8 y en la figura 5.12. Observe que en el primer año se vendieron 21 600 bicicletas, en el segundo, 22 900, y así sucesivamente. En el décimo año, el más reciente, se vendieron 31 400 bicicletas. Aunque la figura 5.12 muestra algo de movimiento hacia arriba y hacia abajo durante los 10 años, parece que la serie de tiempo tiene una tendencia general de aumento o crecimiento Tabla 5.8 Serie de tiempo de venta de bicicletas Año Ventas (t) (miles) 1 21,6 2 22,9 3 25,5 4 21,9 5 23,9 6 27,5 7 31,5 8 29,7 9 28,6 10 31,4

Figura 5.12 Serie de tiempo de venta de bicicletas Gráfica de series de tiempo de ventas 32

30

ventas

28

26

24

22 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Año

En este caso no se trata de que el componente de tendencia de una serie de tiempo siga cada aumento y disminución; más bien ese componente debe reflejar el desplazamiento gradual, que para este caso es el crecimiento, de los valores de la serie de tiempo.



Proyección de tendencias

159

Después de examinar los datos de la serie de tiempo en la tabla 5.8 y en la gráfica de la figura 5.12 concordamos que con una tendencia líneas, como la que muestra la figura 5.13, se obtiene una descripción razonable del movimiento en la serie a largo plazo. Vamos a emplear los datos de ventas de bicicletas para ilustrar los cálculos del análisis de regresión, a fin de identificar una tendencia lineal. Recuerde que en la descripción de la regresión lineal simple, describimos cómo se aplica el método de mínimos cuadrados para determinar la mejor relación lineal entre dos variables; tal metodología es la que usaremos para definir la línea de tendencia para la serie de tiempo de ventas de bicicletas. En forma específica, aplicaremos el análisis de regresión para estimar la relación entre el tiempo y el volumen de ventas. Figura 5.13 Tendencias de las ventas de bicicletas, representada por una función lineal Gráfica de análisis de tendencia de ventas Modelo de tendencia lineal Yt = 20,40 + 1,10*t

32

Variable A ctual A justes

30

Medidas de exactitud MA PE 5,06814 MA D 1,32000 MSD 3,07000

ventas

28 26 24 22 20 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A ño

La ecuación de regresión que describe una relación lineal entre una variable independiente, , y una variable dependiente, , es

Para enfatizar que el tiempo es la variable independiente en los pronósticos, usaremos en la ecuación en lugar de ; además, usaremos en lugar de . Así para una tendencia lineal, el volumen estimado de ventas, expresado en función del tiempo, se puede escribir como sigue:

donde = valor de la tendencia de la serie de tiempo en el periodo = ordenada al origen e la línea de tendencia = pendiente de la línea de tendencia = tiempo En esta ecuación igualaremos = 1 para el tiempo en que se obtiene el primer dato de la serie de tiempo, = 2 para el tiempo del segundo dato y así sucesivamente.



160


Observe que, para la serie de tiempo de ventas de bicicletas, = 1 correspondiente al valor más antiguo de esa serie y = 10 al más reciente. Las fórmulas para calcular los coeficientes estimados de regresión, la ecuación que se muestra a continuación.

y

, en

donde = valor de la serie de tiempo en el periodo = número de periodos = valor promedio de la serie de tiempo, = valor promedio de Con las ecuaciones anteriores y los datos de las ventas de bicicletas de la tabla 5.8 podemos calcular como sigue: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55

21,6 22,9 25,5 21,9 23,9 27,5 31,5 29,7 28,6 31,4 264,5

21,6 45,8 76,5 87,6 119,5 165,0 220,5 237,6 257,4 314,0 1545,5

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385

= =

Por consiguiente,



Proyección de tendencias

161

Resumen de Excel donde observamos los coeficientes Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R^2 R^2 ajustado Error típico Observaciones

0,874526167 0,764796016 0,735395518 1,958953802 10

ANÁLISIS DE VARIANZA Grados de libertad Suma de cuadrados 1 99,825 8 30,7 9 130,525

Regresión Residuos Total

Coeficientes 20,4 1,1

Intercepción Año

Error típico 1,338220211 0,215673715

Promedio de los cuadrados F 99,825 26,0130293 3,8375

Estadístico t 15,24412786 5,100296983

Probabilidad 3,3999E-07 0,00092951


Inferior 95% 17,31405866 0,602655521

Es la ecuación del componente de tendencia lineal para la serie de tiempo de ventas de bicicletas. La pendiente 1,1 indica que, durante los últimos 10 años, la empresa ha tenido un crecimiento promedio de ventas igual a 1100 unidades anuales, aproximadamente. Si suponemos que la tendencia en los 10 años pasados es un buen indicador del futuro, aplicamos la ecuación para proyectar el componente de tendencia de la serie de tiempo. Por ejemplo, al sustituir = 11 en esa ecuación, se obtiene la proyección de tenencia para el año próximo,

Así sólo con el componente de tendencia pronosticaríamos ventas de 32 500 bicicletas para el próximo año. Utilice Microsoft Excel o Minitab para resolver los siguientes problemas Ejercicios 1.- En la compañía Pérez, los porcentajes mensuales de los embarques recibidos durante los últimos 12 meses fueron 80, 82, 84, 83, 83, 84, 85, 84, 82, 83, 84 y 83 a) Compare el pronóstico con promedios móviles de tres meses con uno de suavizamiento exponencial con ¿Con cuál se obtienen mejores pronósticos? 2.- La siguiente serie de tiempo representa las ventas de un producto durante los últimos 12 meses. Mes Ventas

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10535 120 105 90 120 145 140 100 80 100 110

a) Use con para calcular los valores de suavizamiento exponencial de la serie de tiempo b) Use una constante de suavizamiento igual a 0,5 para calcular los valores de suavizamiento exponencial. ¿Cuál de las constantes 0,3 o 0,5, parece producir los mejores pronósticos



162


3.- Los datos que siguen representan el número anual de empleados (en miles) de una compañía petrolera para los años 1978 a 1997. Número de empleados (en miles) Año 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984

Número 1.45 1.55 1.61 1.60 1.74 1.92 1.95

Año 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991

Número 2.04 2.06 1.80 1.73 1.77 1.90 1.82

Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Número 1.65 1.73 1.88 2.00 2.08 1.88

a) Grafique los datos en un diagrama b) Ajuste un promedio móvil de 3 años a los datos y grafique los resultados en el diagrama c) Utilice un coeficiente de suavización W = 0.50, aplique la suavización exponencial a la serie y grafique los resultados en el diagrama 4.- Los siguientes datos representan las ventas anuales (en millones de dólares) de una compañía que procesa alimentos para los años 1972 a 1997 Ventas anuales (millones de dólares) Año 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980

Ventas 41.6 48.0 51.7 55.9 51.8 57.0 64.4 60.8 56.3

Año 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989

Ventas 53.2 53.3 51.6 49.0 38.6 37.3 43.8 41.7 38.3

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Ventas 36.4 38.4 42.6 34.8 28.4 23.9 27.8 42.1

a) Grafique los datos en un diagrama b) Ajuste un promedio móvil de 7 años a los datos y grafique los resultados en el diagrama c) Utilice un coeficiente de suavización W = 0.25, aplique la suavización exponencial a la serie y grafique los resultados en el diagrama



Ejercicios

163

5.- Los datos de inscripciones, en miles, en una universidad estatal durante los últimos seis años son los siguientes: Año 1 2 3 4 5 6 Inscripción 20,5 20,2 19,5 19,0 19,1 18,8 Deduzca una ecuación del componente de tendencia lineal en esta serie de tiempo. Haga comentarios acerca de lo que sucede con la inscripción en esta institución. 6.- Al final de la década de los noventa, muchas empresas trataron de reducir su tamaño para disminuir sus costos. Uno de los resultados de esas medidas de recorte de costos fue una disminución en el porcentaje de empleos gerenciales en la industria privada. Los siguientes datos corresponden al porcentaje de mujeres gerentes, de 1990 1 1995 Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Porcentaje 7,45 7,53 7,52 7,65 7,62 7,73 a) Deduzca una ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo. b) Use la ecuación de la tendencia para estimar el porcentaje de mujeres gerentes para 1996 y 1997 7.- ACT Networks. Inc., desarrolla, fabrica y vende productos para acceso a redes de banda ancha. Los siguientes datos son las ventas anuales de 1992 a 1997 Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Ventas 5,4 6,2 12,7 20,6 28,4 44,9 (millones) a) Deduzca una ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo b) ¿Cuál es el aumento promedio de ventas anuales en esta empresa c) Use la ecuación de tendencia para pronosticar las ventas en 1998

Caso a resolver 1 Pronóstico de ventas de alimentos y bebidas El restaurante Vintage está en la isla Captiva, lugar de descanso cerca de Fort Myers, Florida. El restaurante, cuya dueña y operadora es Karen Payne, acaba de completar su tercer año de funcionamiento. Karen, durante ese lapso, ha tratado de ganarse una reputación como establecimiento de alta calidad que se especializa en mariscos. Sus esfuerzos han tenido éxito y su restaurante ha llegado a ser uno de los mejores y de mayor crecimiento en la isla. Karen ve que, para planear el crecimiento futuro del restaurante, necesita desarrollar un sistema que le permita pronosticar las ventas de alimentos y bebidas cada mes, hasta con un año de anticipación. Cuenta con los siguientes datos sobre las ventas totales de alimentos y bebidas (en miles de dólares) durante los tres años de funcionamiento.



164


Mes Primer año Segundo año Tercer año Enero 242 263 282 Febrero 235 238 255 Marzo 232 247 265 Abril 178 193 205 Mayo 184 193 210 Junio 140 149 160 Julio 145 157 166 Agosto 152 161 174 Septiembre 110 122 126 Octubre 130 130 148 Noviembre 152 167 173 Diciembre 206 230 235 Analice los datos de ventas del restaurant. Prepare un informe a Karen que contenga lo que encontró, sus pronósticos y recomendaciones. Dicho informe debe incluir: a) Una gráfica de la serie de tiempo b) Un análisis de influencias estacionales sobre los datos. Indique los índices estacionales para cada mes y haga comentarios acerca de los meses con ventas altas y bajas. ¿Tiene sentido intuitivo esos índices estacionales? Describa por qué. c) Un pronóstico de ventas desde enero hasta diciembre del cuarto año. d) Recomendaciones sobre cuándo se debe actualizar el sistema que ha preparado, para tomar en cuenta nuevos datos de ventas e) Todos los cálculos detallados de su análisis aparecen en el apéndice de su informe. Suponga que las ventas en enero del cuarto año fueron de 295 000 dólares. ¿Cuál fue su error de pronóstico? Si es grande, Karen se quedará confundida por la diferencia entre su pronóstico y el valor real de las ventas. ¿Qué puede hacer para resolver la incertidumbre en el procedimiento de pronóstico?

Caso a resolver 2 Pronóstico de ventas perdidas La tienda de departamentos Carlson sufrió graves daños cuando pasó un huracán el 31 de agosto de 2000. Estuvo cerrada durante cuatro meses (de septiembre a diciembre de 2000), y ahora tiene una dificultad con su aseguradora acerca de la cantidad de ventas perdidas, mientras estuvo cerrada. Se deben resolver dos asuntos clave: 1) la cantidad de ventas de Carlson si no la hubiera dañado el huracán, y 2) si Carlson tiene derecho a una compensación por ventas adicionales a causa de mayor actividad después de la tormenta. A su condado llegaron más de 8000 millones de dólares en fondos federales para desastres y seguros, lo cual ocasionó un aumento en las ventas de las tiendas de departamento y de muchos otros negocios. La siguiente tabla muestra los datos del departamento de comercio de Estados Unidos sobre las ventas totales durante los 48 meses anteriores a la tormenta, en todas las tiendas de departamentos en el condado, y también las ventas totales durante los cuatro meses en que Carlson estuvo cerrada. Los administradores de Carlson le pidieron



Ejercicios

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analizar estos datos y preparar estimados de las ventas perdidas en sus almacenes durante los meses de septiembre a diciembre de 2000. También le pidieron determinar si es posible alegar exceso de ventas relacionado con el huracán, durante el mismo periodo. Si se puede presentar ese argumento. Carlson tiene derecho a compensaciones por exceso sobre las ventas ordinarias. Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

1996 1997 1,45 1,80 2,03 1,99 2,32 2,20 1,13 2,43 1,71 1,90 1,90 2,13 2,74 2,56 4,20 4,16

1998 2,31 1,89 2,02 2,23 2,39 2,14 2,27 2,21 1,89 2,29 2,83 4,04

1999 2,31 1,99 2,42 2,45 2,57 2,42 2,40 2,50 2,09 2,54 2,97 4,35

2000 2,56 2,28 2,69 2,48 2,73 2,37 2,31 2,23

Prepare un informe a los gerentes de Carlson que resuma lo que encontró, sus pronósticos y recomendaciones. Éste debe incluir: a) Un estimado de ventas si no hubiera habido huracán. b) Un estimado de ventas en tiendas de departamentos de todo el condado, si no hubiera habido huracán c) Un estimado de ventas perdidas de Carlson, de septiembre a diciembre de 200



166

Apéndice Tablas



167

Distribución T de Student Grados de libertad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

0,005

1,000 0,816 0,765 0,741 0,727 0,718 0,711 0,706 0,703 0,700 0,697 0,695 0,694 0,692 0,691 0,690 0,689 0,688 0,688 0,687 0,686 0,686 0,685 0,685 0,684 0,684 0,684 0,683 0,683 0,683

1,376 1,061 0,978 0,941 0,920 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 0,865 0,863 0,862 0,861 0,860 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854

1,963 1,386 1,250 1,190 1,156 1,134 1,119 1,108 1,100 1,093 1,088 1,083 1,079 1,076 1,074 1,071 1,069 1,067 1,066 1,064 1,063 1,061 1,060 1,059 1,058 1,058 1,057 1,056 1,055 1,055

3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310

6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697

12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042

31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457

63,656 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750



168 Distribución normal estándar

0

Z

Z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.00 0.0000 0.0398 0.0793 0.1179 0.1915 0.1915 0.2257 0.2580 0.2881 0.3159

0.01 0.0040 0.0438 0.0832 0.1217 0.1850 0.1950 0.2291 0.2612 0.2910 0.3186

0.02 0.0080 0.0478 0.0871 0.1255 0.1985 0.1985 0.2324 0.2642 0.2939 0.3212

0.03 0.0120 0.0517 0.0910 0.1293 0.2019 0.2019 0.2357 0.2673 0.2967 0.3238

0.04 0.0160 0.0557 0.0948 0.1331 0.2054 0.2054 0.2389 0.2704 0.2995 0.3264

0.05 0.0199 0.0596 0.0987 0.1368 0.2088 0.2088 0.2422 0.2734 0.3023 0.3289

0.06 0.0239 0.0636 0.1026 0.1406 0.2123 0.2123 0.2454 0.2764 0.3051 0.3315

0.07 0.0279 0.0675 0.1064 0.1443 0.2157 0.2157 0.2486 0.2794 0.3078 0.3340

0.08 0.0319 0.0714 0.1103 0.1480 0.2190 0.2190 0.2518 0.2823 0.3106 0.3365

0.09 0.0359 0.0753 0.1141 0.1517 0.2224 0.2224 0.2549 0.2852 0.3133 0.3389

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.3413 0.3643 0.3849 0.4032 0.4192 0.4332 0.4452 0.4554 0.4641 0.4713

0.3438 0.3665 0.3869 0.4049 0.4207 0.4345 0.4463 0.4564 0.4649 0.4719

0.3461 0.3686 0.3888 0.4066 0.4222 0.4357 0.4474 0.4573 0.4656 0.4726

0.3485 0.3708 0.3907 0.4082 0.4236 0.4370 0.4484 0.4582 0.4664 0.4732

0.3508 0.3729 0.3925 0.4099 0.4251 0.4382 0.4495 0.4591 0.4671 0.4738

0.3531 0.3749 0.3944 0.4115 0.4265 0.4394 0.4505 0.4599 0.4678 0.4744

0.3554 0.3770 0.3962 0.4131 0.4279 0.4406 0.4515 0.4608 0.4686 0.4750

0.3577 0.3790 3.3980 0.4147 0.4292 0.4418 0.4525 0.4616 0.4693 0.4756

0.3599 0.3810 0.3997 0.4162 0.4306 0.4429 0.4535 0.4625 0.4699 0.4761

0.3621 0.3830 0.4015 0.4177 0.4319 0.4441 0.4545 0.4633 0.4706 0.4767

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

0.4772 0.4821 0.4861 0.4893 0.4918 0.4938 0.4953 0.4956 0.4974 0.4981

0.4778 0.4826 0.4864 0.4896 0.4920 0.4940 0.4955 0.4966 0.4975 0.4982

0.4783 0.4830 0.4868 0.4898 0.4922 0.4941 0.4956 0.4967 0.4976 0.4982

0.4788 0.4834 0.4871 0.4901 0.4925 0.4943 0.4957 0.4968 0.4977 0.4983

0.4793 0.4838 0.4875 0.4904 0.4927 0.4945 0.4959 0.4969 0.4977 0.4984

0.4798 0.4842 0.4878 0.4906 0.4929 0.4946 0.4960 0.4970 0.4978 0.4984

0.4803 0.4846 0.4881 0.4909 0.4931 0.4948 0.4961 0.4971 0.4979 0.4985

0.4808 0.4850 0.4884 0.4911 0.4932 0.4949 0.4962 0.4972 0.4979 0.4985

0.4812 0.4854 0.4887 0.4913 0.4934 0.4951 0.4963 0.4973 0.4980 0.4986

0.4817 0.4857 0.4890 0.4916 0.4936 0.4952 0.4964 0.4974 0.4981 0.4986

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

0.4986 0.4990 0.4993 0.4995 0.4996 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999

0.4986 0.4990 0.4993 0.4995 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4987 0.4991 0.4993 0.4995 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4987 0.4991 0.4993 0.4995 0.4997 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4988 0.4991 0.4994 0.4995 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4988 0.4991 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4988 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4989 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4989 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4990 0.4992 0.4995 0.4996 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999



169

Distribución normal para una cola

Z

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

0.00 0.5000 0.5398 0.5792 0.6179 0.6554 0.6914 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9331 0.9452 0.9554 0.9640 0.9712 0.9772 0.9821 0.9860 0.9892 0.9918 0.9937 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9986

0.01 0.5039 0.5437 0.5831 0.6217 0.6590 0.6949 0.7290 0.7611 0.7910 0.8185 0.8437 0.8665 0.8868 0.9049 0.9207 0.9344 0.9463 0.9563 0.9648 0.9719 0.9777 0.9825 0.9864 0.9895 0.9920 0.9939 0.9954 0.9966 0.9975 0.9981 0.9986

0.02 0.5079 0.5477 0.5870 0.6255 0.6627 0.6984 0.7323 0.7642 0.7938 0.8212 0.8461 0.8686 0.8887 0.9065 0.9221 0.9357 0.9473 0.9572 0.9656 0.9725 0.9783 0.9829 0.9867 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9975 0.9982 0.9987

0.03 0.5119 0.5517 0.5909 0.6293 0.6664 0.7019 0.7356 0.7673 0.7967 0.8238 0.8484 0.8707 0.8906 0.9082 0.9236 0.9369 0.9484 0.9581 0.9663 0.9731 0.9788 0.9834 0.9871 0.9900 0.9924 0.9942 0.9957 0.9968 0.9976 0.9983 0.9987


0.04 0.5159 0.5556 0.5948 0.6330 0.6700 0.7054 0.7389 0.7703 0.7995 0.8263 0.8508 0.8728 0.8925 0.9098 0.9250 0.9382 0.9494 0.9590 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9874 0.9903 0.9926 0.9944 0.9958 0.9969 0.9977 0.9983 0.9988

0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7421 0.7733 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8943 0.9114 0.9264 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9877 0.9906 0.9928 0.9946 0.9959 0.9970 0.9978 0.9984 0.9988

0.06 0.5239 0.5635 0.6025 0.6405 0.6772 0.7122 0.7453 0.7763 0.8051 0.8314 0.8554 0.8769 0.8961 0.9130 0.9278 0.9406 0.9515 0.9607 0.9685 0.9750 0.9803 0.9846 0.9880 0.9908 0.9930 0.9947 0.9960 0.9971 0.9978 0.9984 0.9988

0.07 0.5279 0.5674 0.6064 0.6443 0.6808 0.7156 0.7485 0.7793 0.8078 0.8339 0.8576 0.8790 0.8979 0.9146 0.9292 0.9417 0.9525 0.9616 0.9692 0.9755 0.9807 0.9849 0.9883 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989

0.08 0.5318 0.5714 0.6102 0.6480 0.6843 0.7190 0.7517 0.7823 0.8105 0.8364 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9305 0.9429 0.9535 0.9624 0.9699 0.9761 0.9812 0.9853 0.9886 0.9913 0.9934 0.9950 0.9963 0.9972 0.9980 0.9985 0.9989

0.09 0.5358 0.5753 0.6140 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8132 0.8389 0.8621 0.8829 0.9014 0.9177 0.9318 0.9440 0.9544 0.9632 0.9706 0.9767 0.9816 0.9857 0.9889 0.9915 0.9936 0.9952 0.9964 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990


170

Valores Críticos de la Distribución Chi-Cuadrado. FUNCION DE DISTRIBUCION

GRADOS DE LIBERTAD

0.005

0.010

0.025

0.050 0.10 0.35 0.71 1.15

0.100 0.900 0.950 2.71 3.84 0.21 4.61 5.99 0.58 6.25 7.81 1.06 7.78 9.49 1.61 9.24 11.07

0.975 5.02 7.38 9.35 11.14 12.83

0.990 6.63 9.21 11.34 13.28 15.09

0.995 7.88 10.60 12.84 14.86 16.75

1.24 1.69 2.18 2.70 3.25

1.64 2.17 2.73 3.33 3.94

2.20 2.83 3.49 4.17 4.87

10.64 12.02 13.36 14.68 15.99

12.59 14.07 15.51 16.92 18.31

14.45 16.01 17.53 19.02 20.48

16.81 18.48 20.09 21.67 23.21

18.55 20.28 21.95 23.59 25.19

3.05 3.57 4.11 4.66 5.23

3.82 4.40 5.01 5.63 6.26

4.57 5.23 5.89 6.57 7.26

5.58 6.30 7.04 7.79 8.55

17.28 18.55 19.81 21.06 22.31

19.68 21.03 22.36 23.68 25.00

21.92 23.34 24.74 26.12 27.49

24.72 26.22 27.69 29.14 30.58

26.76 28.30 29.82 31.32 32.80

5.81 6.41 7.01 7.63 8.26

6.91 7.56 8.23 8.91 9.59

7.96 8.67 9.39 10.12 10.85

9.31 10.09 10.86 11.65 12.44

23.54 24.77 25.99 27.20 28.41

26.30 27.59 28.87 30.14 31.41

28.85 30.19 31.53 32.85 34.17

32.00 33.41 34.81 36.19 37.57

34.27 35.72 37.16 38.58 40.00

21 22 23 24 25

8.03 8.90 8.64 9.54 9.26 10.20 9.89 10.86 10.52 11.52

10.28 10.98 11.69 12.40 13.12

11.59 12.34 13.09 13.85 14.61

13.24 14.04 14.85 15.66 16.47

29.62 30.81 32.01 33.20 34.38

32.67 33.92 35.17 36.42 37.65

35.48 36.78 38.08 39.36 40.65

38.93 40.29 41.64 42.98 44.31

41.40 42.80 44.18 45.56 46.93

26 27 28 29 30

11.16 11.81 12.46 13.12 13.79

13.84 14.57 15.31 16.05 16.79

15.38 16.15 16.93 17.71 18.49

17.29 18.11 18.94 19.77 20.60

35.56 36.74 37.92 39.09 40.26

38.89 40.11 41.34 42.56 43.77

41.92 43.19 44.46 45.72 46.98

45.64 46.96 48.28 49.59 50.89

48.29 49.64 50.99 52.34 53.67

1 2 3 4 5

0.000039 0.000157 0.000982 0.003932 0.0158

0.0717 0.11 0.21 0.30 0.41 0.55

0.22 0.48 0.83

6 7 8 9 10

0.68 0.99 1.34 1.73 2.16

0.87 1.24 1.65 2.09 2.56

11 12 13 14 15

2.60 3.07 3.57 4.07 4.60

16 17 18 19 20

5.14 5.70 6.26 6.84 7.43

0.0100

0.0201

12.20 12.88 13.56 14.26 14.95

0.0506



171

Valores Críticos de la Distribución F - Función de Distribución = 0.90.

1 39.86 8.53 5.54 4.54 4.06

GRADOS DE LIBERTAD DEL NUMERADOR 2 3 4 5 6 7 8 9 49.50 53.59 55.83 57.24 58.20 58.91 59.44 59.86 9.00 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 4.32 4.19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.78 3.62 3.52 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32

10 60.19 9.39 5.23 3.92 3.30

6 7 D 8 E 9 10 L I 11 B 12 E 13 R 14 T 15 A D 16 17 D 18 E 19 L 20

3.78 3.59 3.46 3.36 3.29

3.46 3.26 3.11 3.01 2.92

3.29 3.07 2.92 2.81 2.73

3.18 2.96 2.81 2.69 2.61

3.11 2.88 2.73 2.61 2.52

3.05 2.83 2.67 2.55 2.46

3.01 2.78 2.62 2.51 2.41

2.98 2.75 2.59 2.47 2.38

2.96 2.72 2.56 2.44 2.35

2.94 2.70 2.54 2.42 2.32

3.23 3.18 3.14 3.10 3.07

2.86 2.81 2.76 2.73 2.70

2.66 2.61 2.56 2.52 2.49

2.54 2.48 2.43 2.39 2.36

2.45 2.39 2.35 2.31 2.27

2.39 2.33 2.28 2.24 2.21

2.34 2.28 2.23 2.19 2.16

2.30 2.24 2.20 2.15 2.12

2.27 2.21 2.16 2.12 2.09

2.25 2.19 2.14 2.10 2.06

3.05 3.03 3.01 2.99 2.97

2.67 2.64 2.62 2.61 2.59

2.46 2.44 2.42 2.40 2.38

2.33 2.31 2.29 2.27 2.25

2.24 2.22 2.20 2.18 2.16

2.18 2.15 2.13 2.11 2.09

2.13 2.10 2.08 2.06 2.04

2.09 2.06 2.04 2.02 2.00

2.06 2.03 2.00 1.98 1.96

2.03 2.00 1.98 1.96 1.94

D E N O M I A D O R

21 22 23 24 25

2.96 2.95 2.94 2.93 2.92

2.57 2.56 2.55 2.54 2.53

2.36 2.35 2.34 2.33 2.32

2.23 2.14 2.22 2.13 2.21 2.11 2.19 2.10 2.18 2.09

2.08 2.06 2.05 2.04 2.02

2.02 2.01 1.99 1.98 1.97

1.98 1.97 1.95 1.94 1.93

1.95 1.93 1.92 1.91 1.89

1.92 1.90 1.89 1.88 1.87

26 27 28 29 30

2.91 2.90 2.89 2.89 2.88

2.52 2.51 2.50 2.50 2.49

2.31 2.30 2.29 2.28 2.28

2.17 2.17 2.16 2.15 2.14

2.08 2.07 2.06 2.06 2.05

2.01 2.00 2.00 1.99 1.98

1.96 1.95 1.94 1.93 1.93

1.92 1.91 1.90 1.89 1.88

1.88 1.87 1.87 1.86 1.85

1.86 1.85 1.84 1.83 1.82

40 60 90 120

2.84 2.79 2.76 2.75

2.44 2.39 2.36 2.35

2.23 2.18 2.15 2.13

2.09 2.04 2.01 1.99

2.00 1.95 1.91 1.90

1.93 1.87 1.84 1.82

1.87 1.82 1.78 1.77

1.83 1.77 1.74 1.72

1.79 1.74 1.70 1.68

1.76 1.71 1.67 1.65

G R A D O S

1 2 3 4 5



172


1 G R A D O S

1 2 3 4 5

2

GRADOS DE LIBERTAD DEL NUMERADOR 3 4 5 6 7 8 9

10

161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40

10.13 9.55 7.71 6.94 6.61 5.79

9.28 6.59 5.41

9.12 6.39 5.19

9.01 6.26 5.05

8.94 6.16 4.95

8.89 6.09 4.88

8.85 6.04 4.82

8.81 6.00 4.77

8.79 5.96 4.74

6 7 D 8 E 9 10 L I 11 B 12 E 13 R 14 T 15 A D 16 17 D 18 E 19 L 20

5.99 5.59 5.32 5.12 4.96

5.14 4.74 4.46 4.26 4.10

4.76 4.35 4.07 3.86 3.71

4.53 4.12 3.84 3.63 3.48

4.39 3.97 3.69 3.48 3.33

4.28 3.87 3.58 3.37 3.22

4.21 3.79 3.50 3.29 3.14

4.15 3.73 3.44 3.23 3.07

4.10 3.68 3.39 3.18 3.02

4.06 3.64 3.35 3.14 2.98

4.84 4.75 4.67 4.60 4.54

3.98 3.89 3.81 3.74 3.68

3.59 3.49 3.41 3.34 3.29

3.36 3.26 3.18 3.11 3.06

3.20 3.11 3.03 2.96 2.90

3.09 3.00 2.92 2.85 2.79

3.01 2.91 2.83 2.76 2.71

2.95 2.85 2.77 2.70 2.64

2.90 2.80 2.71 2.65 2.59

2.85 2.75 2.67 2.60 2.54

4.49 4.45 4.41 4.38 4.35

3.63 3.59 3.55 3.52 3.49

3.24 3.20 3.16 3.13 3.10

3.01 2.96 2.93 2.90 2.87

2.85 2.81 2.77 2.74 2.71

2.74 2.70 2.66 2.63 2.60

2.66 2.61 2.58 2.54 2.51

2.59 2.55 2.51 2.48 2.45

2.54 2.49 2.46 2.42 2.39

2.49 2.45 2.41 2.38 2.35

D E N O M I A D O R

21 22 23 24 25

4.32 4.30 4.28 4.26 4.24

3.47 3.44 3.42 3.40 3.39

3.07 3.05 3.03 3.01 2.99

2.84 2.82 2.80 2.78 2.76

2.68 2.66 2.64 2.62 2.60

2.57 2.55 2.53 2.51 2.49

2.49 2.46 2.44 2.42 2.40

2.42 2.40 2.37 2.36 2.34

2.37 2.34 2.32 2.30 2.28

2.32 2.30 2.27 2.25 2.24

26 27 28 29 30

4.23 4.21 4.20 4.18 4.17

3.37 3.35 3.34 3.33 3.32

2.98 2.96 2.95 2.93 2.92

2.74 2.73 2.71 2.70 2.69

2.59 2.57 2.56 2.55 2.53

2.47 2.46 2.45 2.43 2.42

2.39 2.37 2.36 2.35 2.33

2.32 2.31 2.29 2.28 2.27

2.27 2.25 2.24 2.22 2.21

2.22 2.20 2.19 2.18 2.16

40 60 90 120

4.08 4.00 3.95 3.92

3.23 3.15 3.10 3.07

2.84 2.76 2.71 2.68

2.61 2.53 2.47 2.45

2.45 2.37 2.32 2.29

2.34 2.25 2.20 2.18

2.25 2.17 2.11 2.09

2.18 2.10 2.04 2.02

2.12 2.04 1.99 1.96

2.08 1.99 1.94 1.91



173


G R A D O S D E L I B E R T A D D E L D E N O M I A D O R

1 2 3 4 5

1 4052 98.50 34.12 21.20 16.26

GRADOS DE LIBERTAD DEL NUMERADOR 2 3 4 5 6 7 8 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5981 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29

6 7 8 9 10

13.75 12.25 11.26 10.56 10.04

10.92 9.55 8.65 8.02 7.56

11 12 13 14 15

9.65 9.33 9.07 8.86 8.68

7.21 6.93 6.70 6.51 6.36

6.22 5.95 5.74 5.56 5.42

5.67 5.41 5.21 5.04 4.89

5.32 5.06 4.86 4.69 4.56

5.07 4.82 4.62 4.46 4.32

4.89 4.64 4.44 4.28 4.14

4.74 4.50 4.30 4.14 4.00

4.63 4.39 4.19 4.03 3.89

4.54 4.30 4.10 3.94 3.80

16 17 18 19 20

8.53 8.40 8.29 8.18 8.10

6.23 6.11 6.01 5.93 5.85

5.29 5.18 5.09 5.01 4.94

4.77 4.67 4.58 4.50 4.43

4.44 4.34 4.25 4.17 4.10

4.20 4.10 4.01 3.94 3.87

4.03 3.93 3.84 3.77 3.70

3.89 3.79 3.71 3.63 3.56

3.78 3.68 3.60 3.52 3.46

3.69 3.59 3.51 3.43 3.37

21 22 23 24 25

8.02 7.95 7.88 7.82 7.77

5.78 5.72 5.66 5.61 5.57

4.87 4.82 4.76 4.72 4.68

4.37 4.31 4.26 4.22 4.18

4.04 3.99 3.94 3.90 3.85

3.81 3.76 3.71 3.67 3.63

3.64 3.59 3.54 3.50 3.46

3.51 3.45 3.41 3.36 3.32

3.40 3.35 3.30 3.26 3.22

3.31 3.26 3.21 3.17 3.13

26 27 28 29 30

7.72 7.68 7.64 7.60 7.56

5.53 5.49 5.45 5.42 5.39

4.64 4.60 4.57 4.54 4.51

4.14 4.11 4.07 4.04 4.02

3.82 3.78 3.75 3.73 3.70

3.59 3.56 3.53 3.50 3.47

3.42 3.39 3.36 3.33 3.30

3.29 3.26 3.23 3.20 3.17

3.18 3.15 3.12 3.09 3.07

3.09 3.06 3.03 3.00 2.98

40 60 90 120

7.31 7.08 6.93 6.85

5.18 4.98 4.85 4.79

4.31 4.13 4.01 3.95

3.83 3.65 3.53 3.48

3.51 3.34 3.23 3.17

3.29 3.12 3.01 2.96

3.12 2.95 2.84 2.79

2.99 2.82 2.72 2.66

2.89 2.72 2.61 2.56

2.80 2.63 2.52 2.47

9.78 8.45 7.59 6.99 6.55


9.15 7.85 7.01 6.42 5.99

8.75 7.46 6.63 6.06 5.64

8.47 7.19 6.37 5.80 5.39

8.26 6.99 6.18 5.61 5.20

8.10 6.84 6.03 5.47 5.06

9 6022 99.39 27.35 14.66 10.16

10 6056 99.40 27.23 14.55 10.05

7.98 6.72 5.91 5.35 4.94

7.87 6.62 5.81 5.26 4.85


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Bibliografía GUTIERREZ, P. H y DE LA VARA, S. R. 2008. Segunda edición. Análisis y Diseño de Experimentos. Mc Graw Hill. MONTGOMERY, C.D.; G.C, RUNGER. 2010. Segunda edición. Probabilidad y Estadística. LIMUSA WILEY MONTGOMERY, C.D. Diseño y Análisis de Experimentos. Segunda edición. LIMUSA WILEY WALPOLE, R.; MAYERS, R.H.; MAYERS, S.L. 1998. Sexta edición. Probabilidad y Estadística Para Ingenieros. Pearson Education ANDERSON, D.R.; SWEENEY, D.J.; WILLIAMS, T.A.2005. Octava edición. Estadística para Administración y Economía. MATH LEARNING BERENSON, M.L.; LEVINE, D.M.; KREHBIEL, T.C. 2001. Segunda edición. Estadística para Administración. Prentice Hall.

Ensenada Baja California agosto de 2012



Estadística Inferencial II

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