ESTABILIDAD Un sistema dinámico es estable si para cualquier entrada comprendida entre un límite superior y otro inferior la salida también resulta acotada sin importar las condiciones iniciales del sistema. La localización de los polos de una función de transferencia representa un primer criterio de estabilidad de un sistema. Todos los polos de la función de transferencia deben estar en el semiplano complejo con parte real negativa. Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz El criterio de estabilidad de Routh nos dice si existen o no raíces inestables en una ecuación polinomial, sin tener que obtenerlas en realidad. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos. Cuando se aplica el criterio a un sistema de control, la información acerca de la estabilidad absoluta se obtiene directamente de los coeficientes de la ecuación característica (denominador de la función de transferencia). El procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh es el siguiente: 1) Escriba el polinomio en s en la forma siguiente: + − + − + ∙∙∙ ∙∙∙ +− + = 0 + − + − + ∙∙∙ ∙∙∙ +− + = 0
en donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que a n≠0; es decir, se elimina cualquier raíz cero. 2) Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces raí ces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable. Si sólo nos interesa la estabilidad absoluta, absoluta , no es necesario continuar con el procedimiento. Observe que todos los coeficientes deben ser positivos. Ésta es una condición necesaria, como se aprecia a partir del argumento siguiente: un polinomio en s con coeficientes reales siempre puede factorizarse en factores lineales y cuadráticos tales como (s + a) y (s 2 + bs + c), en donde a, b y c son números reales. Los factores lineales producen las raíces reales y los factores cuadráticos producen las raíces complejas del polinomio. El factor (s 2 + bs + c) produce las raíces con partes reales negativas sólo si b y c son ambas positivas. Para todas las raíces que tienen partes reales SistemasdeControlAutomáticos
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negativas, las constantes a, b, c,.. deben ser positivas en todos los factores. El producto de cualquier cantidad de factores lineales y cuadráticos que contengan solo coeficientes positivos siempre produce un polinomio con coeficientes positivos. Es importante señalar que la condición de que todos los coeficientes sean positivos no es suficiente para asegurar la estabilidad. La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de la ecuación estén presentes y tengan un signo positivo. (Si todas las a son negativas, se hacen positivas multiplicando ambos miembros de la ecuación por -1.) 3) Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:
Los coeficientes b1, b2, b3, etc., se evalúan del modo siguiente:
La evaluación de las b continúa hasta que todas las restantes son cero. Se sigue el mismo patrón de multiplicación cruzada de los coeficientes de los dos renglones anteriores al evaluar las c, las d, las e, etc. Es decir,
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Este proceso continúa hasta que se completa el n-ésimo renglón. El arreglo completo de los coeficientes es triangular. Observe que, al desarrollar el arreglo, un renglón completo se divide entre, o se multiplica por, un número positivo para simplificar el cálculo numérico subsecuente sin alterar la conclusión de la estabilidad. El criterio de estabilidad de Routh plantea que el número de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo. Debe señalarse que no es necesario conocer los valores exactos de los términos de la primera columna; sólo se necesitan los signos. La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo. Casos especiales. Si el término de la primera columna de cualquier renglón es cero, pero los términos reptantes no son cero, o no hay términos restantes, el término cero se sustituye con un número positivo muy pequeño y se evalúa el resto del arreglo. Por ejemplo, considere la ecuación: + 2 + + 2 = 0
El arreglo de coeficientes es 1 2 0 ≈ 2
1 2
Si el signo del coeficiente que está encima del cero ( ) es igual al signo que está debajo de él, quiere decir que hay un par de raíces imaginarias. En realidad, la ecuación tiene dos raíces en s = ± j. Sin embargo, si el signo del coeficiente que está encima del cero ( ) es opuesto al del que está abajo, quiere decir que hay un cambio de signo. Por ejemplo, para la ecuación: 3 + 2 = ( 1) ( + 2) = 0
El arreglo de coeficientes es: SistemasdeControlAutomáticos
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Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Esto coincide con el resultado correcto indicado por la forma factorizada de la ecuación polinomial. Si todos los coeficientes de cualquier renglón son cero significa que existen raíces de igual magnitud que se encuentran radialmente opuestas en el plano s, es decir, dos raíces con magnitudes iguales y signos opuestos y/o dos raíces imaginarias conjugadas. En este caso, la evaluación del resto del arreglo continúa mediante la formación de un polinomio auxiliar con los coeficientes del último renglón y mediante el empleo de los coeficientes de la derivada de este polinomio en el renglón siguiente. Tales raíces con magnitudes iguales y radialmente opuestas en el plano s se encuentran despejando el polinomio auxiliar, que siempre es par. Para un polinomio auxiliar de grado 2n, existen n pares de raíces iguales y opuestas. Por ejemplo, considere la ecuación: + 2 + 24 + 48 25 50 = 0
El arreglo de coeficientes es:
Todos los términos del renglón s 3 son cero. Después se forma el polinomio auxiliar a partir de los coeficientes del renglón s 4. El polinomio auxiliar P(s) es: () = 2 + 48 50
lo cual indica que hay dos pares de raíces de igual magnitud y signo opuesto. Estos pares se obtienen resolviendo la ecuación del polinomio auxiliar P(s)=0. La derivada de P(s) con respecto a s es
() = 8 + 96
Los coeficientes de la última ecuación, es decir, 8 y 96, sustituyen los términos del renglón s 3. Por consiguiente, el arreglo de coeficientes se convierte en
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Vemos que hay un cambio de signo en la primera columna del arreglo nuevo. Por tanto, la ecuación original tiene una raíz con una parte real positiva. Despejando las raíces de la ecuación del polinomio auxiliar 2 + 48 50 = 0
Obtenemos = 1
= 25
=±
= ± 5
O bien
Estos dos pares de raíces son una parte de las rafces de la ecuación original. De hecho, la ecuación original se escribe en forma factorizada del modo siguiente: ( + 1)( 1)( + 5)( 5)( + 2) = 0
Es evidente que la ecuación original tiene una raíz con una parte real positiva. Ejemplo: Aplicación del arreglo de Routh para la determinación del parámetro de ajuste de un controlador proporcional
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Se desea conocer el valor de K C que causa inestabilidad, es decir si existe al menos una raíz de (A) que sea positiva. Usando el arreglo de Routh,
Se analizan las condiciones para la estabilidad
La restricción importante es KC<8. Si algún KC≥8 causará inestabilidad. Específicamente KC=8 Corresponde al caso crítico de estabilidad.
CONTROLADORES Acciones de control Las acciones de los controladores las podemos clasificar como: Control ON – OFF Controles PID (proporcional, integral y derivativo) Los segundos se pueden ajustar en forma independiente formando controladores P, PI, PD y PID. Un controlador PID ideal, matemáticamente queda expresado como: t 1 d m(t ) K C e(t ) e(t ) dt Td e(t ) Ti 0 dt
Corresponde a la respuesta del controlador en el tiempo, donde: m(t) : salida de control e(t) : error dinámico del sistema KC : ganancia proporcional del controlador Ti : constante de integración Td : constante derivativa SistemasdeControlAutomáticos
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Además se acostumbra definir: =
1
= ó
La ganancia proporcional K C suele ser reemplazada por la banda proporcional PB. Este parámetro es adimensional, porcentual y se define como:
y 100 R max
PB En donde:
R max = Valor máximo posible de la referencia = Rango de variación de salida y La banda proporcional y la ganancia K C están relacionadas a través de la expresión:
100 K C
PB
Aplicando la Transformada de Laplace a m(t), se obtiene:
FdT CONTROLADO R
1 K C 1 Td s Ti s
Propiedades de los controladores continuos Una correcta selección de un controlador para un proceso determinado depende fundamentalmente del efecto que éste producirá sobre el proceso. En un controlador PID ello pasa por conocer el efecto que producen los distintos modos de control. Modo de control proporcional
Aplica una señal de control proporcional al error generado. Es relativamente rápida, pues entrega una señal de control instantánea. Frente a una perturbación esta acción no asegura que el sistema retorne a su punto de trabajo original (e ss).
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m(t ) K C e(t )
Gc( s)
M ( s) E ( s)
K C
Modo de control integral
Es más lenta que la acción proporcional. Puesto que introduce un polo en el origen, tiende a inestabilizar un tanto el sistema. Teóricamente asegura e ss=0
m(t )
1
t
e(t ) dt Ti
Gc( s)
0
M ( s) E ( s)
1 Ti s
Modo de control derivativo
Sólo tiene efecto en la parte transiente de la respuesta (en estado estacionario m=0). Es fuertemente sensible a ruidos. Se utiliza para estabilizar lazos demasiado oscilatorios.
m(t ) Td
d dt
e(t )
Gc( s )
M ( s ) E ( s )
Td s
SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID El ajuste de parámetros o sintonía de controladores, es uno de los aspectos más importantes en el contexto de un sistema de control. A pesar de su importancia, existen tan solo algunos procedimientos generales que permiten la estimación de los parámetros en base a mediciones directas del proceso o por relaciones empíricas. Se hace hincapié que son solamente métodos aproximados y por lo tanto deben realizarse un ajuste fino de los parámetros, en un entorno, hasta lograr la respuesta adecuada. Todos los procedimientos aproximados siguen las siguientes etapas básicas: Determinación de un modelo que describa el comportamiento dinámico del proceso en torno al punto de trabajo (modelo en lazo abierto). Definición de un criterio de comportamiento para el proceso controlado. Determinación de los parámetros del controlador.
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De acuerdo al tipo de modelo dinámico que se ajuste a la respuesta del proceso y al criterio de comportamiento, se obtiene diversas reglas para fijar los parámetros de los controladores.
CRITERIOS DE COMPORTAMIENTO Una vez que se tiene una representación dinámica del proceso sin el control (en lazo abierto), es necesario definir un criterio de calidad para la respuesta del proceso controlado. En otras palabras se debe decidir la forma en que se desea que se comporte el proceso con el controlador instalado. La forma usual de definir un criterio de comportamiento es en base a la respuesta al escalón; comparando la respuesta del proceso con la que idealmente se podría obtener y que es lógicamente un escalón. La diferencia entre este escalón ideal de respuesta y la respuesta actual se define como el error e(t).
Yc Respuesta real
Respuesta ideal
e
Tiempo
Un criterio de comportamiento muy usado por la simplicidad de su verificación es el llamado “razón de amortiguamiento de ¼“, el cual está indicado en la siguiente figura.
VARIABLE CONTROLADA
a
a/4
a/16
P S
Perturbacion
Tiempo
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Al especificar la razón de amortiguamiento se pretende garantizar un adecuado margen de estabilidad y al mismo tiempo asegurar que las variaciones de la variable controlada serán despreciables prácticamente después del cuarto ciclo de oscilación. El diagrama de un control en lazo cerrado tiene la siguiente forma:
Si el modelo matemático de la planta es tan complicado que no es fácil de obtener, se debe recurrir a los enfoques experimentales para la sintonización de los controladores PID. La FdT del controlador es
M ( s ) E ( s )
y de la planta es
C ( s ) M ( s )
Este método hace uso del modelo matemático del proceso. Se supone un sistema de primer orden con retardo en la respuesta.
ZIEGLER - NICHOLS Establecen valores de K C, Ti y Td con base en las respuestas escalón experimentales. Existen dos métodos de sintonización de Ziegler-Nichols. En ambos se pretende obtener un 25% de sobre impulso en la respuesta escalón.
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PRIMER METODO En el primer método la respuesta de la planta a una entrada unitaria se obtiene de manera experimental.
Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escalón unitario puede tener la siguiente forma:
Esta curva se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo y la constante de tiempo . El tiempo de retardo y constante de tiempo se determina dibujando una recta tangente en el punto de inflexión de la curva con forma de S y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje de tiempo y línea c(t)=K. La función de transferencia del controlador
C ( s) M ( s)
se aproxima mediante un sistema de primer
orden con un retardo del modo siguiente:
C ( s ) M ( s)
K e s
s 1
Se establecen los valores de K C, Ti y Td de acuerdo a la siguiente tabla: Tipo de KC Ti Td controlador P 0 / PI 0 0,9 / / 0,3 PID 1,2 / 2 0,5 SistemasdeControlAutomáticos
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Remplazando las constantes del controlador PID:
1 s GC ( s ) 0,6
2
s
Por lo tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en:
s
1
SEGUNDO METODO En el segundo método, primero se establece Ti= y Td=0, usando sólo la acción de control proporcional.
Se incrementa KC de 0 a un valor crítico Kcr en donde la salida tenga una una primera oscilación sostenida (si no lo tiene con cualquier valor de K C, no se aplica éste método). Por lo tanto, la ganancia crítica Kcr y el periodo Tcr correspondiente se determinan experimentalmente de:
Tipo de controlador P PI PID
KC
Ti
Td
0,5 Kcr 0,45 Kcr 0,6 Kcr
0 0 0,125 Tcr
Tcr / 1,2 0,5 Tcr
Remplazando las constantes del controlador PID:
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4 s Tcr GC ( s) 0,075 Kcr Tcr
2
s
Por lo tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en:
s
4 Tcr
Si la planta tiene la presencia de un integrador, no se aplica el primer método, ya que la respuesta no tendrá una forma de S, más bien se incrementa con el tiempo, por lo tanto, se aplica el segundo método. El término de Kcr se determina a través del método de estabilidad de Routh Hurwitz donde se obtiene el valor de KC en que el sistema se hace inestable. El término de Tcr, se obtiene del análisis de la ecuación característica en el dominio de la frecuencia al sustituir el operador “s” por “ j”, y posteriormente obtener:
Tcr
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