Diagramas de venn y otras formas de representar conjuntos.
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ESQUEMA QUE MUESTRA LAS CARACTERISTICAS PRINCIPALES, FÍSICAS Y PSICOLOGICAS DE UNA ADOLESCENTE.
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Descripción: Herramienta de Calidad para analizar procesos
Descripción: Esquema Ministerio Fiscal
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Descripción: Constitución Española
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ESQUEMA QUE MUESTRA LAS CARACTERISTICAS PRINCIPALES, FÍSICAS Y PSICOLOGICAS DE UNA ADOLESCENTE.
como ter cadsus de graca (NAO ME RESPONSABILIZO POR MAUS USOS, NAO RECOMENDO USAR ESSE METODO. CONHECIMENTO NAO É CRIME.)
UNION EUROPEADescripción completa
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REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES CARACTERIZACIÓN
OBSERVACIONES
Valores de x para los que hay función,
∃
Dom f ( x) = { x ∈ ℜ / ∃ f ( x)}
f ( x) g ( x )
Dominio
∃
par
si g ( x ) ≠ 0
f ( x) si f ( x) ≥ 0
∃ log b f ( x ) si f ( x) > 0
f ( x ) = f ( − x) ⇒ función PAR PAR (simetría - Si es una función PAR o IMPAR, basta hacer el estudio para x ≥ para x ≤ 0 .
respecto eje OY)
Simetría
Período
f ( x ) = − f ( − x) ⇒
función
0 y
por simetría obtener la gráfica
IMPAR
(simetría respecto al punto (0,0))
f ( x ) = f ( x + T ) ⇒ T período (mínimo - Tenerlo en cuenta en las funciones con razones trigonométricas.
que lo cumple)
ESTUDIO DE f ( x) Puntos de corte con los ejes
Signo
y = f ( x) P.Corte eje OY * x = 0 y = f ( x) P.Corte eje OX ** y 0 = f ( x ) > 0 ⇒ gráfica por encima encima de de OX f ( x ) < 0 ⇒ gráfica por debajo debajo de de OX
- Los puntos de corte con el eje OY son de la forma (0,a) y se obtienen resolviendo el sistema * - Los puntos de corte con el eje OX son de la forma (b,0) y se obtienen resolviendo el sistema ** - Estudiar el signo de f ( x ) en las regiones que resultan de introducir
f ( x) = 0 ∃ /
- Tachar las zonas no válidas, donde no habrá gráfica.
ESTUDIO DE f ′( x) f ′( x ) = 0 ⇒ ”posibles”
máximos
o
mínimos.
decrecer. - Será mínimo si f ′( x ) = 0 y cambia de decrecer a
Extremos relativos
Monotonía
- Será máximo si f ′( x ) = 0 y cambia de crecer a
crecer. - La segunda coordenada del punto se obtiene sustituyendo el valor de x en f ( x )
f ′( x ) > 0 ⇒ función creciente
- Estudiar el signo de f ′( x ) en las regiones que se
f ′( x ) < 0 ⇒ función decreciente
obtiene de introducir
f ′( x ) = 0 ∃ /
ESTUDIO DE f ′′( x) f ′′( x) = 0 ⇒ ”posibles”
Puntos de inflexión
Curvatura
puntos
de
inflexión.
f ′′( x) > 0 ⇒ función cóncava hacia arriba f ′′( x) < 0 ⇒ función cóncava hacia abajo
- Será punto de inflexión si f ′′( x) = 0 y cambia de curvatura. - La segunda coordenada del punto se obtiene sustituyendo el valor de x en f ( x ) - Estudiar el signo de f ′′( x ) en las regiones que se obtiene de introducir
f ′′( x ) = 0 ∃ /
CARACTERIZACIÓN ASÍNTOTAS Se estudia el límite de la función en aquellos valores que dan problemas de existencia.
OBSERVACIONES
- Si Dom f ( x) = ℜ , no hay A. Verticales. - Representar los límites:
Si el Dom f ( x) = ℜ − {v} ,
lim f ( x) = +∞ x→v +
lim f ( x) = ±∞
x = v f x = ±∞ ( ) lim x→v x→v +
−
Vertical
es la ecuación de la asíntota vertical.
lim f ( x) = − ∞ x→v −
- En funciones polinómicas, f ( x) = P( x ) : No hay
P( x )
- En funciones racionales, f ( x ) =
:
Q( x ) Si Q( x) = 0 ⇒ x = raíces de Q( x)
Hacer el límite de la función en +∞ y − ∞ .
x→+ ∞ y = h − f ( x) = h lim x→ − ∞
lim f ( x) = h
+
es la ecuación de la asíntota horizontal.
- Tiene A. Horizontal si
h ≠ ± ∞ . Puede que sólo tenga por un lado o que no coincidan ambos límites y por tanto tenga dos A.H. - Representar los límites: +
lim f (x) = h
x→+ ∞
lim f ( x) = h
−
x → − ∞
Horizontal - En funciones polinómicas, f ( x) = P( x ) : No hay - En funciones racionales, f ( x ) =
P( x )
:
Q( x ) Si grado P ( x) < grado Q (x ) ⇒ y = 0
Si grado P( x ) = grado Q ( x ) ⇒ y =
m = lim x→ ± ∞
Oblicua
x
≠ 0, ±∞
coef director Q( x )
- Sólo se estudian donde no haya A.H.
La ecuación es y = mx + n ,
f ( x )
coef director P( x )
- Representar la recta y hallar los puntos de corte de (Si m=0, sería A.H.) dicha recta con la curva, para saber desde qué lado de la recta hay que dibujar la gráfica.
n = lim ( f ( x) − mx) ≠ ±∞
- En funciones polinómicas, f ( x) = P( x ) :
x→ ± ∞
No hay - En funciones racionales, f ( x ) =
P( x ) Q( x )
:
P( x) Q ( x)
Si grado P ( x) = grado Q ( x ) + 1 ⇒ y = cociente