Prof. ssa Francesca Zabatta I.I.S. Caravaggio - Roma a.s.2014/15
La simmetria Non si può parlare di Escher senza parlare di simmetria. La presenza di simmetria ed equilibrio proporzionale nelle più alte espressioni creative dell’uomo, testimonia, fin dall’antichità, lo stretto rapporto che tali concetti realizzano tra scienza, estetica ed arte. L’esigenza di individuare nell’arte un linguaggio decifrabile di forme ha sempre indotto gli artisti ad utilizzare i canoni geometrici, a volte anche intuitivamente, anticipando in alcune conclusioni i matematici stessi.
Pavimento di un’antica casa romana
Alhambra, Granada
Nel mondo dell’arte figurativa, la ripetitività simmetrica di elementi costituisce un modello seguito fin dalle prime manifestazioni artistiche. Tivoli: Villa Adriana
Le tassellazioni Tramite il nostro approfondimento vogliamo analizzare le simmetrie del piano legate alle tassellazioni e individuarle nelle opere di Escher. Per tassellazione si intende la divisione regolare del piano, l’insieme di forme chiuse che lo ricoprono completamente, senza sovrapporsi e senza lasciare spazi vuoti. Esempi di tassellazioni sono le piastrellature di pavimenti o pareti, ma molto ricorrenti sono state anche le loro applicazioni nel mondo della decorazione. Le tassellazioni possono essere periodiche e non periodiche (vedremo solo il primo tipo), ma prima di parlarne, iniziamo il nostro percorso con delle semplici considerazioni.
Escher: disegno preparatorio per la litografia Rettili (1943)
Simmetrie: metafore letterali La geometria si interessa delle proprietà delle figure. Per semplicità consideriamo la “geometria dell’alfabeto”, relativa alle proprietà delle lettere.
1) Prendiamo ad esempio la lettera b: riflettendola verticalmente, in uno specchio disposto parallelamente ai lati lunghi del foglio, otteniamo la lettera d.
2) Riflettendola invece orizzontalmente, in uno specchio parallelamente ai lati corti del foglio, otteniamo la lettera p.
La riflessione rispetto ad una retta è anche detta simmetria assiale.
Simmetrie: metafore letterali 3) rotazione
3) Se invece ruotiamo il foglio di 180° oppure lo guardiamo dalla altra parte del tavolo, la b si trasforma in una q.
4) La traslazione è la trasformazione che si ottiene mediante due riflessioni verticali partendo dalla lettera b. 4) traslazione
Simmetrie: metafore letterali
Notiamo che la rotazione di 180° si può ridurre a due opportune riflessioni: riflettendo la lettera b verticalmente otteniamo la d e riflettendo quest’ultima orizzontalmente otteniamo la q, senza rotazioni.
Non sarebbe invece possibile evitare le riflessioni: non c’è modo di ruotare b o q in modo da ottenere d o p.
5) glissoriflessione
La glissoriflessione è la composizione di una riflessione e di una traslazione.
La riflessione ha un ruolo cruciale nel campo delle trasformazioni geometriche e viene definita SIMMETRIA GEOEMTRICA, di cui sono esempi le impronte dei piedi di un soldato sull’attenti (sono legate da una riflessione) se il soldato effettua un fianco-destro senza spostarsi, le impronte dello stesso piede sono legate da una rotazione Simmetria bilaterale della farfalla
se il sodato è in marcia, le impronte dello stesso piede sono legate da una traslazione
….e quelle di piedi diversi da una glissoriflessione più in generale possiamo dire che il nostro Le trasformazioni appena analizzate prendono corpo è caratterizzato da una simmetria bilaterale, come pure una farfalla il nome di isometrie ovvero movimenti rigidi che mantengono inalterate le distanze.
Le tassellazioni periodiche Sono realizzate con tasselli che si moltiplicano in modo ricorrente; l’osservazione di tali tassellazioni rende facilmente percettibile la regolarità con cui i tasselli si ripetono. I tasselli possono avere una struttura basata su un numero limitato di figure geometriche: triangoli ed esagoni regolari, quadrilateri (parallelogrammi, rombi, rettangoli e quadrati). Le possibili variazioni ottenute per trasformazione delle figure sono anch’esse di un numero finito di gruppi (17). REALIZZAZIONE DI TASSELLAZIONI PERIODICHE Per realizzare questo tipo di tassellazioni si seguono le seguenti operazioni: • scelta della forma del tassello; • tracciatura del motivo, possibilmente avvalendosi degli elementi strutturali della figura scelta (vertici, punti medi,centro, diagonali e mediane) oppure di griglie; • replica del motivo mediante trasformazione (traslazione, rotazione, simmetria); • colorazione dei diversi elementi della tassellazione; • eventuale replica di gruppi di tasselli. Vediamo qualche esempio.
Le tassellazioni periodiche
ESEMPIO 1 In un quadrato si disegna un motivo con una simmetria assiale rispetto ai due assi mediani del quadrato. Dopo aver colorato il motivo si replica il tassello per traslazione.
Le tassellazioni periodiche
ESEMPIO 2 Si divide un esagono regolare mediante le diagonali e gli assi di simmetria. Dopo aver colorato i triangoli, si replica il tassello per traslazione.
Le tassellazioni periodiche
ESEMPIO 3 In un quadrato si disegna un trapezio isoscele, che verrà sottratto al quadrato.
Si sottrae un secondo trapezio replicato per simmetria assiale dal primo. Si sommano due trapezi ottenuti per rotazione dei precedenti. Si ottiene il tassello, da replicare nel piano per traslazione e rotazione.
Le tassellazioni periodiche ESEMPIO 4 Da un esagono regolare si sottrae un triangolo ottenuto dalle diagonali. Lo stesso triangolo viene aggiunto dopo traslazione. Si ottiene il modulo elementare. Con due copie del modulo ruotato di 120° si definisce il tassello, che viene poi replicato per traslazione.
Alcune definizioni
Nelle opere di Escher la simmetria ricopre un ruolo fondamentale. Ci proponiamo ora di trovare, oltre alle simmetrie, la CELLA UNITARIA dell’immagine (detta anche dominio fondamentale) e la REGIONE GENERATRICE. Si definisce CELLA UNITARIA dell’immagine il parallelogramma costituito da due vettori che generano tutte le traslazioni possibili della figura. La cella unitaria può variare dimensioni a seconda che si considerino o meno i diversi colori del disegno. Si definisce REGIONE GENERATRICE la più piccola regione poligonale del piano in cui l’immagine, attraverso l’applicazione delle diverse trasformazioni (isometrie), non solo delle traslazioni, ricopre tutto il piano.
ESCHER – LE OCHE Il disegno è caratterizzato da due figure diverse: oche bianche ed oche celesti, diverse non solo per il colore ma anche per la forma (becco e coda). Ai fini del nostro studio possiamo anche non considerare il colore, dato che le oche presentano delle leggere differenze. Gli animali sono disposti in “riga e colonna”, le simmetrie della figura sono dunque date dai due vettori che generano la cella unitaria, che in tal caso coincide con la regione generatrice.
ESCHER – I CAVALIERI
In questa seconda immagine il cavaliere chiaro e il cavaliere scuro sono perfettamente sovrapponibili (con la dovuta trasformazione). Lo studio dell’ immagine è analogo al caso delle oche, ma ora è più interessante è guardare il disegno prendendo re in considerazione la differenza di colore fra i due cavalieri.
Si nota che applicando una glissoriflessione si trasforma un cavaliere bianco in uno nero e viceversa. L’asse di questa trasformazione è obbligatoriamente verticale, o fra le schiene o fra i polsi, con un vettore diretto verso l’alto o verso il basso di modulo pari a metà del vettore relativo alla traslazione verticale. Nell’immagine a destra si vede come la cella unitaria (verde) sia più grande della regione generatrice (azzurra).
ESCHER – CONCHIGLIE E STELLE MARINE L’immagine ha tre figure principali: un gruppo di conchiglie rosse, una stella marina gialla e altre conchiglie diverse per colore e forma dalle prime. Si può quindi analizzare il disegno indipendentemente dai colori. Si nota che la cella unitaria è il quadrato che unisce il centro delle conchiglie rosse (o delle altre conchiglie o delle stelle marine, indifferentemente), grazie ai due vettori generatori, uno verticale e l’altro orizzontale. La regione generatrice è però un quarto della cella unitaria, infatti si possono applicare nei centri dei gruppi di conchiglie (quadratini gialli) delle rotazioni di 90°. Nei due vertici rimanenti della regione generatrice (punti verdi) si possono applicare solo due rotazioni di 180° (considerando le conchiglie rosse aventi un centro di simmetria).
ESCHER – I PESCI I pesci differiscono solo per il colore (rosso e grigio) e si presentano in gruppi di sei. Ogni pesce può essere considerato in tre differenti cerchi, a seconda che ponga nel centro del cerchio la bocca, la pinna caudale o la pinna dorsale. Considerando i colori possiamo trovare solo delle traslazioni o delle rotazioni di 120° con centro nei triangoli rossi. Per quanto riguarda la cella unitaria è sempre il rombo delimitato dai due vettori rossi, mentre la regione generatrice è il rombo più acceso. Senza distinguere i due colori la cella rimane uguale, ma la regione generatrice è la metà di quella predente: infatti si hanno delle rotazioni di 60° con centro nei triangoli rossi. In ultimo si hanno delle simmetrie centrali (con centro nei punti verdi) che trasformano pesci rossi in pesci grigi e viceversa.
ESCHER – I GRANCHI Analizziamo il disegno prima considerando la diversità di colore per poi passare ad enunciare le differenze che si trovano senza considerala. I vettori generatori (a, b) sono lunghi “due granchi” sia in verticale che in orizzontale, individuando un rettangolo contenete quattro granchi come cella unitaria, la regione generatrice è rappresentata invece dalla metà di questa (metà granchio rosa e metà blu). Fra gli esempi riportati è l’unico che gode di una simmetria assiale, tutti gli assi sono verticali e dividono in due i granchi. I punti verdi rappresentano simmetrie centrali (o anche rotazioni di 180 gradi), mentre le righe viola tratteggiate sono gli assi delle possibili glissoriflessioni. Nell’ ultima immagine si può notare che se non si considerano le diversità di colori la cella unitaria si dimezza (la componente verticale infatti è lunga un solo granchio) e di conseguenza anche la regione generatrice è la metà (si nota di un colore più acceso). Le glissoriflessioni (tratteggi fucsia) e simmetrie centrali (pallini verdi) sono raddoppiati in quanto ne abbiamo anche che trasformano granchi rosa in granchi blu.
Bibliografia - Sitografia Francesca Zabatta Tassellazioni del piano – Tesi di Laurea in Matematica Università Studi “Roma Tre” – Relatore Prof. Andrea Bruno Piergiorgio Odifreddi Simmetrie: metafore letterali http://www.polito.it/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Settembre_02/APPUNTI.HTM
Sergio Sammarone Scheda di approfondimento online http://www.online.scuola.zanichelli.it/sammaronedisegno/ Chiara Gandolfi Tassellatura periodica fra matematica e arte: Escher - classe IV C Liceo Scientifico Statale N. Copernico, Bologna - A.S. 2005/2006
