Ergonometria y antropometria Función de la Antropometría En el presente, la antropometría antropometría cumple una función importante en el diseño industrial. • Como en la industria de diseños de d e vestuario, en la ergonomía, la biomecánica y en la arquitectura, donde se emplean datos da tos estadísticos sobre la distribución de medidas corporales de la población para optimizar los productos. En la arquitectura el entendimiento de espacio requerido requerido para su confort. muy importante para el diseño del espacio y su función. .Estas dimensiones son de dos tipos importantes estructurales y funcionales. !as estructurales son las de la cabeza, troncos y e"tremidades en posiciones estándar. #ientras que las funcionales o dinámicas incluyen medidas tomadas durante el movimiento realizado realizado por el cuerpo en actividades específicas.
La Ergonomía
!a Ergonomía es un arte que busca que el $ombre y la tecnología traba%en en completa armonía, diseñando y manteniendo los productos, puestos de traba%o, tareas, equipos, etc., en consonancia con las características, necesidades y limitaciones $umanas. & 'l conocer estos datos se conocen los espacios mínimos que el $ombre necesita para desenvolverse diariamente, los cuales deben de ser considerados en el diseño de su entorno. 'unque los estudios antropom(tricos resultan un importante apoyo para saber la relación de las dimensiones del $ombre y el espacio que este necesita para realizar sus actividades, en la práctica se deberán tomar en cuenta las características específicas de cada situación, debido a la diversidad antes mencionada) logrando así la optimización en el proyecto a desarrollar.
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Publicadas por Arquitectura con el arq. Samuel Vargas a la/s 20:07 Enviar esto por correo electrónicolog!"is#$ompartir en !%itter $ompartir en &aceboo'$ompartir en Pinterest
http://arkitutoriales.blogspot.pe/2014/07/ergonometria-y-antropometria.html
Ergonometría ¿Qu es!
"a Ergonometría es un arte #ue bus$a #ue el hombre y la te$nología traba%en en $ompleta armonía& 'ise(an'o y mantenien'o los pro'u$tos& puestos 'e traba%o& tareas& e#uipos& et$.& en $onsonan$ia $on las $ara$terísti$as& ne$esi'a'es y limita$iones humanas.
)ropor$i*n numero aureo
Número áureo Este artí$ulo trata sobre un n+mero algebrai$o. )ara otros usos 'e este trmino& ,ase ureo 'esambigua$i*n.
El número áureo (tambi)n llamado número de oro* razón extrema y media*+ razón áurea* razón dorada* media áurea* proporción áurea , divina proporción2 - es un nmero irracional* representado por la letra griega (p"i- (en minscula- o 1 (P"i- (en ma,scula- en "onor al escultor griego &idias. a ecuación se e3presa de la siguiente manera:
El n+mero ureo surge 'e la 'i,isi*n en 'os 'e un segmento guar'an'o las siguientes propor$iones: "a longitu' total a+b es al segmento ms largo a& $omo a es al segmento ms $orto b.
!ambi)n se representa con la letra griega Tau (4 5-*6 por ser la primera letra de la ra8 griega *+-* que signi9ica acortar * aunque es ms comn encontrarlo representado con la letra fi ( phi) (1*-. !ambi)n se representa con la letra griega alp"a minscula.; Se trata de un nmero algebraico irracional (su representación decimal no tiene perodoque posee muc"as propiedades interesantes , que 9ue descubierto en la antig
na de sus propiedades aritm)ticas ms curiosas es que su cuadrado (12 ? 2*@+0B76B...- , su inverso (+/1 ? 0*@+0B76B...- tienen las mismas in9initas ci9ras decimales. Asimismo* se atribu,e un carcter est)tico a los ob=etos cu,as medidas guardan la proporción urea. Algunos incluso creen que posee una importancia mstica. A lo largo de la "istoria* se "a atribuido su inclusión en el diseCo de diversas obras de arquitectura , otras artes* aunque algunos de estos casos "an sido cuestionados por los estudiosos de las matemticas , el arte.
Índice •
1 eni$i*n o
•
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1.1 3l$ulo 'el ,alor 'el n+mero ureo
2 istoria 'el n+mero ureo o
2.1 5ntig6e'a'
o
2.2 E'a' o'erna
8 El n+mero ureo en las matemti$as o
8.1 )ropie'a'es y representa$iones
8.1.1 ngulo 'e oro
8.1.2 )ropie'a'es aritmti$as
8.1.8 9epresenta$i*n me'iante ra$$iones $ontinuas
8.1.4 9epresenta$i*n me'iante e$ua$iones algebrai$as
o
o
8.1.;
8.1.= 9epresenta$i*n trigonomtri$a
8.1.7 9epresenta$i*n me'iante raí$es ani'a'as
8.1.> 9ela$i*n $on la su$esi*n 'e ?ibona$$i
8.2 El n+mero ureo en la geometría
8.2.1 El re$tngulo ureo 'e Eu$li'es
8.2.2 En el pentagrama
8.2.8 El teorema 'e )tolomeo y el pentgono
8.2.4 )entgono estrella'o
8.2.; @rigonometría
8.2.= 9ela$i*n $on los s*li'os plat*ni$os
8.8 @eoría 'e n+meros
•
4 El n+mero ureo en la AaturaleBa
•
; El n+mero ureo en el arte y en la $ultura
•
= Case tambin
•
7 9eeren$ias
•
> Dibliograía
•
Enla$es eFternos
Defnición El nmero ureo es el valor num)rico de la proporción que guardan entre s dos segmentos de recta a , b (a ms largo que b-* que cumplen la siguiente relación: •
"a longitu' total& suma 'e los 'os segmentos a y b& es al segmento mayor a& lo #ue este segmento a es al menor b. Es$rito $omo e$ua$i*n algebrai$a:
Siendo el valor del nmero ureo el cociente: Surge al plantear el problema geom)trico siguiente: partir un segmento en otros dos* de 9orma que* al dividir la longitud total entre la
del segmento ma,or* obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento ma,or entre la del menor. 3l$ulo 'el ,alor 'el n+mero ureo
Dos nmeros a , b estn en proporción urea si se cumple: Si entonces la ecuación queda: a solución positiva de la ecuación de segundo grado es: que es el valor del nmero ureo* equivalente a la relación .
Historia del número áureo Algunos autores sugieren que el nmero ureo se encuentra como proporción en varias estelas de abilonia , Asiria de alrededor de 2000 a. $. Sin embargo* no e3iste documentación "istórica que indique que el nmero ureo 9uera utili8ado conscientemente por dic"os artistas en la elaboración de las estelas. $uando se mide una estructura comple=a* es 9cil obtener resultados curiosos si se tienen muc"as medidas disponibles. Adems* para que se pueda a9irmar que el nmero ureo est presente* las medidas deben tomarse desde puntos signi9icativos del ob=eto* pero este no es el caso de muc"as "ipótesis que de9ienden la presencia del nmero ureo. Por todas estas ra8ones ario ivio conclu,e que es mu, improbable que los babilonios "a,an descubierto el nmero ureo.@ 5ntig6e'a'
El primero en "acer un estudio 9ormal del nmero ureo 9ue Euclides (c. 00F2@; a. $.-* quien lo de9inió de la siguiente manera: /e dice que una recta $a sido cortada en e"trema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.
Eu$li'es Los Elementos eni$i*n 8 'el "ibro GeFto.
Euclides demostró tambi)n que este nmero no puede ser descrito como la ra8ón de dos nmeros enterosG es decir* es un nmero irracional. Platón (c. 62F67 a. $.- vivió antes de que Euclides estudiara el nmero ureo. Sin embargo* a veces se le atribu,e el desarrollo de teoremas relacionados con el nmero ureo debido a que el "istoriador griego Proclo escribió: Eudo"o... multiplicó el n0mero de teoremas relativos a la sección a los que 1latón dio origen.
)ro$lo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides .
Aqu a menudo se interpretó la palabra sección (!"#- como la sección urea. Sin embargo a partir del siglo HIH esta interpretación "a sido motivo de gran controversia , muc"os investigadores "an llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el nmero ureo. Jo obstante* Platón consideró que los nmeros irracionales* descubiertos por los pitagóricos* eran de particular importancia , la llave de la 9sica del cosmos. Esta opinión tuvo una gran in9luencia en muc"os 9ilóso9os , matemticos posteriores* en particular los neoplatónicos. A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el nmero ureo* Platón se ocupó de estudiar el origen , la estructura del cosmos* cosa que intentó usando los cinco sólidos platónicos* construidos , estudiados por !eeteto. En particular* combinó la idea de Emp)docles sobre la e3istencia de cuatro elementos bsicos de la materia* con la teora atómica de Demócrito. Para Platón* cada uno de los sólidos corresponda a una de las partculas que con9ormaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada al cubo* el 9uego al tetraedro* el aire al octaedro* el agua al icosaedro* , 9inalmente el >niverso como un todo* estaba asociado con el dodecaedro. E'a' o'erna
En +;0B el matemtico , teólogo italiano uca Pacioli publicó 2e 2ivina 1roportione (a Divina Proporción-* donde plantea cinco ra8ones por las que estima apropiado considerar divino al nmero ureo: 1. "a uni$i'a'H )a$ioli $ompara el ,alor +ni$o 'el n+mero ureo $on la uni$i'a' 'e ios. 2. El he$ho 'e #ue est 'eni'o por tres segmentos 'e re$ta& )a$ioli lo aso$ia $on la @rini'a'. 8. "a in$onmensurabili'a' H para )a$ioli la in$onmensurabili'a' 'el n+mero ureo y la in$onmensurabili'a' 'e ios son e#ui,alentes. 4. "a autosimilari'a' aso$ia'a al n+mero ureoH )a$ioli la $ompara $on la omnipresen$ia e in,ariabili'a' 'e ios. ;. Geg+n )a$ioli& 'e la misma manera en #ue ios 'io ser al Ini,erso a tra,s 'e la #uinta esen$ia& representa'a por el 'o'e$ae'ro& el n+mero ureo 'io ser al 'o'e$ae'ro.
En +;2;* Alberto Durero publicó 3nstrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas* donde describe cómo tra8ar con regla , comps la espiral urea basada en la sección urea* que se conoce como Kespiral de DureroL.
El astrónomo Mo"annes Nepler (+;7+F+@0- desarrolló un modelo platónico del Sistema Solar utili8ando los sólidos platónicos* , se re9irió al nmero ureo en t)rminos grandiosos: K !a geometría tiene dos grandes tesoros uno es el teorema de 1itágoras) el otro, la división de una línea entre el e"tremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro) el segundo lo debemos denominar una %oya preciosaL.
Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum El misterio cósmico.
El primer uso conocido del ad=etivo ureo* dorado* o de oro* para re9erirse a este nmero lo "ace el matemtico alemn artin O"m* "ermano del c)lebre 9sico eorg Simon O"m* en la segunda edición de +; de su libro 2ie 4eine Elementar #atemati5 ( !as matemáticas puras elementales-. O"m escribe en una nota al pie: 6no tambi(n acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como (stas la sección dorada.
artin Lhm en Die Reine Elementar Matematik Las matemáticas puras elementales.
A pesar de que la 9orma de escribir sugiere que el t)rmino ,a era de uso comn para la 9ec"a* el "ec"o de que no lo inclu,era en su primera edición sugiere que el t)rmino pudo ganar popularidad alrededor de +0. En los te3tos de matemticas que trataban el tema* el smbolo "abitual para representar el nmero ureo 9ue * del griego *+-* que signi9ica Qcorte o secciónR. Sin embargo* la moderna denominación $ o % la e9ectuó en +B00 el matemtico ar' arr en "onor a &idias* ,a que )sta era la primera letra de su nombre escrito en griego ( 789:;<= -. Este "onor se le concedió a &idias por el m3imo valor est)tico atribuido a sus esculturas* propiedad que ,a por entonces se le atribua tambi)n al nmero ureo. ar' arr , Sc"ooling 9ueron responsables de los ap)ndices matemticos del libro >$e Curves of !ife* de sir !"eodore $oo'.
El número áureo en las matemáticas )ropie'a'es y representa$iones ngulo 'e oro raB*n n+mero ureo Propiedades aritméticas •
es el +ni$o n+mero real positi,o tal #ue:
•
M posee a'ems las siguientes propie'a'es:
•
"as poten$ias 'el n+mero ureo pue'en eFpresarse en un$i*n 'e una suma 'e poten$ias 'e gra'os ineriores 'el mismo n+mero& estable$i'a una ,er'a'era su$esi*n re$urrente 'e poten$ias. El $aso ms simple es: & $ual#uiera sea n un n+mero entero. Este $aso es una su$esi*n re$urrente 'e or'en k N 2& pues se re$urre a 'os poten$ias anteriores. Ina e$ua$i*n re$urrente 'e or'en k tiene la orma: & 'on'e es $ual#uier n+mero real o $omple%o y k es un n+mero natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el $aso anterior es & y . )ero po'emos OsaltarP la poten$ia inme'iatamente anterior y es$ribir: . 5#uí & & & y . Gi anulamos las 'os poten$ias inme'iatamente anteriores& tambin hay una *rmula re$urrente 'e or'en =: En general: . En resumen: $ual#uier poten$ia 'el n+mero ureo pue'e ser $onsi'era'a $omo el elemento 'e una su$esi*n re$urrente 'e *r'enes 2& 4& =& >&...& 2kH 'on'e k es un n+mero natural. En la *rmula re$urrente es posible #ue apareB$an poten$ias negati,as 'e & he$ho totalmente $orre$to. 5'ems& una poten$ia negati,a 'e $orrespon'e a una poten$ia positi,a 'e su in,erso& la se$$i*n urea. Este $urioso $on%unto 'e propie'a'es y el he$ho 'e #ue los $oe$ientes signi$ati,os sean los 'el binomio& pare$ieran in'i$ar #ue entre el n+mero ureo y el n+mero e hay un parentes$o.
•
El n+mero ureo es la uni'a' un'amental OP 'el $uerpo 'e n+meros algebrai$os y la se$$i*n urea es su in,ersa& OP. En esta eFtensi*n el Oemblemti$oP n+mero irra$ional $umple las siguientes igual'a'es: .
Representación mediante fracciones continuas
a e3presión mediante 9racciones continuas es: Esta iteración es la nica donde sumar es multiplicar , restar es dividir. Es tambi)n la ms simple de todas las 9racciones continuas , la que tiene la convergencia ms lenta. Esa propiedad "ace que adems el nmero ureo sea un nmero mal apro3imable mediante
racionales que de "ec"o alcan8a el peor grado posible de apro3imabilidad mediante racionales.7 Por ello se dice que es el nmero ms ale=ado de lo racional o el nmero ms irracional. Este es el motivo por el cual aparece en el teorema de NolmogórovFArnoldFoser . Representación mediante ecuaciones algebraicas
& #ue surge 'e la e$ua$i*n 'enitoria 'e un trmino $ual#uiera en la su$esi*n 'e ?ibona$$i& a partir 'el ter$ero >
El nmero ureo , la sección urea son soluciones de las siguientes ecuaciones: #ue 'a el ,alor 'e sen 1>R e ímplí$itamente al n+mero a+reo Inecuación algebraica
M/2 S4 -M 21/2/M10 Representación trigonométrica
stas corresponden al "ec"o de que el dimetro de un pentgono regular (distancia entre dos v)rtices no consecutivos- es veces la longitud de su lado* , de otras relaciones similares en el pentagrama. Representación mediante raíces anidadas
Esta 9órmula como caso particular de una identidad general publicada por Jat"an Alts"illerF$ourt* de la >niversidad de O'la"oma* en la revista 'merican #at$ematical #ont$ly* +B+7. El teorema general dice: a e3presión (donde -* es igual a la ma,or de las races de la ecuación: o sea* . Relación con la sucesión de Fibonacci
Si se denota el en)simo nmero de &ibonacci como &n* , al siguiente nmero de &ibonacci como &n T +* descubrimos que* a medida que n aumenta* esta ra8ón oscila , es alternativamente menor , ma,or que la ra8ón urea. Podemos tambi)n notar que la 9racción continua que describe al nmero ureo produce siempre nmeros de &ibonacci a medida que aumenta el nmero de unos en la 9racción. Por e=emplo: G G , * lo que se acerca considerablemente al nmero ureo. Entonces se tiene que: Esta propiedad 9ue descubierta por el astrónomo alemn Mo"annes Nepler * pero pasaron ms de cien aCos antes de que 9uera demostrada por el matemtico ingl)s Uobert Simson.
$on posterioridad se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo lmite. Por e=emplo* si tomamos dos nmeros naturales arbitrarios* por e=emplo , 7* la sucesión recurrente resulta: F 7 F +0 F +7 F 27 F 66 F 7+ F ++; F +@ F 0+... os cocientes de t)rminos sucesivos producen apro3imaciones racionales que se acercan asintóticamente por e3ceso , por de9ecto al mismo lmite: 66/27 ? +*@2B@[email protected] 7+/66 ? +*@+@@...G 0+/+@ ? +*@+27B;.++ A mediados del siglo HIH* el matemtico 9ranc)s Macques P"ilippe arie inet redescubrió una 9órmula que aparentemente ,a era conocida por eon"ard Euler * , por otro matemtico 9ranc)s* Abra"am de oivre. a 9órmula permite encontrar el en)simo nmero de &ibonacci sin la necesidad de producir todos los nmeros anteriores. a 9órmula de inet depende e3clusivamente del nmero ureo: El n+mero ureo en la geometría
El tringulo 'e Kepler:
El nmero ureo , la sección urea estn presentes en todos los ob=etos geom)tricos regulares o semiregulares en los que "a,a simetra pentagonal* que sean pentgonos o que apare8ca de alguna manera la ra8 cuadrada de cinco. •
•
9ela$iones entre las partes 'el pentgono. 9ela$iones entre las partes 'el pentgono estrella'o& pent$ulo o pentagrama.
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9ela$iones entre las partes 'el 'e$gono.
•
9ela$iones entre las partes 'el 'o'e$ae'ro y 'el i$osae'ro.
El rectángulo áureo de Euclides
Eu$li'es obtiene el re$tngulo ureo 5E? a partir 'el $ua'ra'o 5D3. El re$tngulo DE?3 es asimismo ureo.
El rectngulo 'E?2 es ureo porque sus lados AE , AD estn en la proporción del nmero ureo. Euclides* en su proposición 2.++ de !os elementos* obtiene su construcción: $on centro en se obtiene el punto E* , por lo tanto: con lo que resulta evidente que de donde* 9inalmente* Por otra parte* los rectngulos AE&D , E&$ son seme=antes* de modo que este ltimo es asimismo un rectngulo ureo.
Tenera$i*n 'e un re$tngulo ureo a partir 'e otro.
En el pentagrama
"os segmentos $olorea'os 'el pentagrama poseen propor$iones ureas.
El nmero ureo tiene un papel mu, importante en los pentgonos regulares , en los pentagramas. $ada intersección de partes de un segmento se interseca con otro segmento en una ra8ón urea. El pentagrama inclu,e die8 tringulos isóceles: cinco acutngulos , cinco obtusngulos. En ambos* la ra8ón de lado ma,or , el menor es . Estos tringulos se conocen como los tringulos ureos. !eniendo en cuenta la gran simetra de este smbolo* se observa que dentro del pentgono interior es posible dibu=ar una nueva estrella* con una recursividad "asta el in9inito. Del mismo modo* es posible dibu=ar un pentgono por el e3terior* que sera a su ve8 el pentgono interior de una estrella ms grande. Al medir la longitud total de una de las cinco lneas del pentculo interior* resulta igual a la longitud de cualquiera de los bra8os de la estrella ma,or* o sea 1. Por lo tanto* el nmero de veces en que aparece el nmero ureo en el pentagrama es in9inito al aCadir in9initos pentagramas. El teorema de Ptolomeo y el pentágono
Ge pue'e $al$ular el n+mero ureo usan'o el teorema 'e )tolomeo en un pentgono regular.
$laudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo* el cual permite tra8ar un pentgono regular mediante regla , comps. Aplicando este teorema* se 9orma un cuadriltero al quitar uno de los v)rtices del pentgono* Si las diagonales , la base ma,or miden &* , los lados , la base menor miden a* resulta que b2 ? a2 T ab lo que implica: Pentágono estrellado
Aparece el nmero de la =usta ra8ón entre los segmentos parciales de los lados de un pentgono estrellado.+2 Trigonometría
El seno de + es la mitad del inverso del nmero de la =usta ra8ón.+ •
$os 8=R es la mita' 'el n+mero a+reo. 14
•
e igual mo'o 2$os 8=R - 2 sen 1>R N phi - 1/phi.
Relación con los sólidos platónicos
El nmero ureo est relacionado con los sólidos platónicos* en particular con el icosaedro , el dodecaedro* cu,as dimensiones estn dadas en t)rminos del nmero ureo. os +2 v)rtices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden e3presarse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos: (0* W+* W-* (W+* W* 0-* (W* 0* W+os 20 v)rtices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/?X;Y+ tambi)n se pueden dar en t)rminos similares: (W+* W+* W+-* (0* W+/* W-* (W+/* W* 0-* (W* 0* W+/-
"os 12 ,rti$es 'e los tres re$tngulos ureos $oin$i'en $on los $entros 'e las $aras 'e un 'o'e$ae'ro.
Para un dodecaedro con aristas de longitud a* su volumen , su rea total se pueden e3presar tambi)n en t)rminos del nmero ureo: Si tres rectngulos ureos se solapan paralelamente en sus centros* los +2 v)rtices de los tres rectngulos ureos coinciden e3actamente con los v)rtices de un icosaedro* , con los centros de las caras de un dodecaedro. El punto que los rectngulos tienen en comn es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro. @eoría 'e n+meros
El número áureo en la Naturaleza
3on$ha 'e nautilus en espiral logarítmi$a.1;
En la naturale8a* "a, muc"os elementos relacionados con la sección urea ,/o los nmeros de &ibonacci: •
"eonar'o 'e )isa ?ibona$$i& en su Libro de los ábacos "iber aba$$i& 1202& 122>& usa la su$esi*n #ue lle,a su nombre para $al$ular el n+mero 'e pares 'e $one%os n meses 'espus 'e #ue una primera pare%a $omienBa a repro'u$irse suponien'o #ue los $one%os estn aisla'os por muros& se empieBan a repro'u$ir $uan'o tienen 'os meses 'e e'a'& tar'an un mes 'es'e la e$un'a$i*n hasta la pari$i*n y $a'a $ama'a es 'e 'os $one%os. Este es un problema matemti$o puramente in'epen'iente 'e #ue sean $one%os los in,olu$ra'os. En reali'a'& el $one%o $om+n europeo tiene $ama'as 'e 4 a 12 in'i,i'uos y ,arias ,e$es al a(o& aun#ue no $a'a mes& pese a #ue la pre(eB 'ura 82 'ías. El problema se halla en las pginas 128 y 124 'el manus$rito 'e 122>& #ue ue el #ue lleg* hasta nosotros& y pare$e #ue el planteamiento re$urri* a $one%os $omo pu'iera haber si'o a otros seresH es un soporte para ha$er $omprensible una in$*gnita& un a$erti%o matemti$o. El $o$iente 'e 'os trminos $onse$uti,os 'e la su$esi*n 'e ?ibona$$i tien'e a la se$$i*n urea o al n+mero ureo si la ra$$i*n resultante es propia o impropia& respe$ti,amente. "o mismo su$e'e $on to'a su$esi*n re$urrente 'e
or'en 'os& seg+n 'emostraron Darr y G$hooling en la re,ista The ield 'el 14 'e 'i$iembre 'e 112. 1= •
"a 'isposi$i*n 'e los ptalos 'e las Uores el papel 'el n+mero ureo en la botni$a re$ibe el nombre 'e "ey 'e "u'Vig.17 1>
•
"a 'istribu$i*n 'e las ho%as en un tallo. Cer: Gu$esi*n 'e ?ibona$$i.17
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"a rela$i*n entre las ner,a'uras 'e las ho%as 'e los rboles. 1
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"a rela$i*n entre el grosor 'e las ramas prin$ipales y el tron$o& o entre las ramas prin$ipales y las se$un'arias el grosor 'e una e#ui,ale a W toman'o $omo uni'a' la rama superior. 1 "a $anti'a' 'e espirales 'e una pi(a o$ho y tre$e espirales& Uores o inUores$en$ias. Estos n+meros son elementos 'e la su$esi*n 'e ?ibona$$i y el $o$iente 'e 'os elementos $onse$uti,os tien'e al n+mero ureo.20 21 "a 'istan$ia entre el ombligo y la planta 'e los pies 'e una persona& respe$to a su altura total. 22 "a $anti'a' 'e ptalos en las Uores. EFisten Uores $on 8& ; y > ptalos y tambin $on 18& 21& 84& ;;& > y 144. 20 "a 'istribu$i*n 'e las ho%as 'e la yu$a y la 'isposi$i*n 'e las ho%as 'e las al$a$hoas. 20 "a rela$i*n entre la 'istan$ia entre las espiras 'el interior espirala'o 'e $ual#uier $ara$ol o 'e $eal*po'os $omo el nautilus. ay por lo menos tres espirales logarítmi$as ms o menos asimilables a propor$iones a+reas. "a primera 'e ellas se $ara$teriBa por la rela$i*n $onstante igual al n+mero ureo entre los ra'io,e$tores 'e puntos situa'os en 'os e,olutas $onse$uti,as en una misma 'ire$$i*n y senti'o. "as $on$has 'el usus anti!uus& 'el ureF& 'e "calaria pretiosa & 'e acelaria y 'e "olarium trochleare & entre otras& siguen este tipo 'e espiral 'e $re$imiento. 28 24 Ge 'ebe enten'er #ue en to'a $onsi'era$i*n natural& aun#ue in,olu$re a las $ien$ias $onsi'era'as ms matemti$amente 'esarrolla'as& $omo la ?ísi$a& ninguna rela$i*n o $onstante #ue tenga un n+mero innito 'e 'e$imales pue'e llegar hasta el límite matemti$o& por#ue en esa es$ala no eFistiría ning+n ob%eto ísi$o. "a partí$ula elemental ms 'iminuta #ue se pue'a imaginar es innitamente ms gran'e #ue un punto en una re$ta. "as leyes obser,a'as y 'es$riptas matemti$amente en los organismos las $umplen transgre'in'olas orgni$amente. 2; )ara #ue las ho%as espar$i'as 'e una planta Cer ?ilotaFis o las ramas alre'e'or 'el tron$o tengan el mFimo 'e insola$i*n $on la mínima intereren$ia entre ellas& stas 'eben $re$er separa'as en hli$e
as$en'ente seg+n un ngulo $onstante y te*ri$amente igual a 8=0R 2 M X 187R 80Y 27&;0 ;>0 18= 27= 72= >;; 4=2 ==2 182 ...Z En la naturaleBa se me'ir un ngulo pr$ti$o 'e 187R 80Y o 'e 187R 80Y 2>Z en el me%or 'e los $asos. 17 )ara el $l$ulo se $onsi'era ilumina$i*n ,erti$al y el $riterio matemti$o es #ue las proye$$iones horiBontales 'e unas sobre otras no se re$ubran eFa$tamente. 5un#ue la ilumina$i*n 'el Gol no es& en general& ,erti$al y ,aría $on la latitu' y las esta$iones& esto garantiBa el mFimo apro,e$hamiento 'e la luB solar. Este he$ho ue 'es$ubierto empíri$amente por 3hur$h 17 y $onrma'o matemti$amente por [eisner en 1>7;. En la pr$ti$a no pue'e me'irse $on tanta pre$isi*n el ngulo y las plantas lo repro'u$en Zorgni$amenteZH o sea& $on una pe#ue(a 'es,ia$i*n respe$to al ,alor te*ri$o. Ao to'as las plantas se bene$ian $on un mFimo 'e eFposi$i*n solar o a la llu,ia& por lo #ue se obser,an otros ngulos $onstantes 'ierentes 'el i'eal 'e 187.\ 80Y. )ue'e en$ontrar una tabla en la pgina 2= 'el 'o$umento $ompleto a$$esible en el enla$e 'e la reeren$ia. 21 •
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En la $anti'a' 'e elementos $onstituyentes 'e las espirales o 'obles espirales 'e las inUores$en$ias& $omo en el $aso 'el girasol& y en otros ob%etos orgni$os $omo las pi(as 'e los pinos se en$uentran n+meros pertene$ientes a la su$esi*n 'e ?ibona$$i. El $o$iente 'e 'os n+meros su$esi,os 'e esta su$esi*n tien'e al n+mero ureo. EFisten $ristales 'e pirita 'o'e$a'ri$os pentagonales piritoe'ros $uyas $aras son pentgonos irregulares. Gin embargo& las propor$iones 'e 'i$ho polie'ro irregular no in,olu$ran el n+mero ureo. En el mun'o inorgni$o no eFiste el pentgono regular. ]ste apare$e ha$ien'o la sal,e'a' 'e #ue $on un error orgni$oH no po'emos preten'er eFa$titu' matemti$a al límite 2= eF$lusi,amente en los organismos ,i,os. 27
El número áureo en el arte y en la cultura
En la representa$i*n 'el ombre 'e Citru,io "eonar'o 'a Cin$i no utiliBa el n+mero ureo& sino el sistema ra$$ionario propuesto por Citru,io •
9ela$iones en la orma 'e la Tran )irmi'e 'e TiBeh. "a arma$i*n 'e er*'oto 'e #ue el $ua'ra'o 'e la altura es igual a la super$ie 'e una $ara es posible +ni$amente si la semi-se$$i*n meri'iana 'e la pirmi'e es propor$ional al tringulo re$tngulo & 'on'e 1 representa propor$ionalmente a la mita' 'e la base& la raíB $ua'ra'a 'el n+mero ureo a la altura hasta el ,rti$e ineFistente en la a$tuali'a' y el n+mero ureo o hipotenusa 'el tringulo a la apotema 'e la Tran )irmi'e. Esta tesis ha si'o 'een'i'a por los matemti$os Jarolimek& K. Kleppis$h y [. 5. )ri$e ,er reeren$ias& se apoya en la interpreta$i*n 'e un pasa%e 'e er*'oto #istoriae& libro <<& $ap. 124 y resulta te*ri$amente $on senti'o& aun#ue una $onstru$$i*n 'e seme%ante tama(o 'eba $ontener errores ine,itables a to'a obra ar#uite$t*ni$a y a la misma naturaleBa 'e la te$nología humana& #ue en la pr$ti$a pue'e mane%ar +ni$amente n+meros ra$ionales.
Otros investigadores 9amosos se inclinan por la "ipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del crculo* pues la ra8 cuadrada del nmero ureo se apro3ima muc"o al cociente de 6 sobre Z. Pero una construcción tal* aunque se conociera Z con una apro3imación grande* carecera completamente de inter)s geom)trico.2 Jo obstante* con base en mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la di9erencia sobre el monumento real no es ma,or a +6*2 cm , esta pequeCa variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas* los errores constructivos ,*
principalmente* porque la pirmide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El $airo. Para que esto quede ms claro* una precisión del + por mil en una base de 20 metros equivale a 2 centmetros , en la altura est en el orden de la di9erencia real que debera e3istir entre ambas posibilidades. •
"a rela$i*n entre las partes& el te$ho y las $olumnas 'el )arten*n& en 5tenas s. C a. 3..urante el primer $uarto 'el siglo ^^& Jay ambi'ge& 'e la Ini,ersi'a' 'e _ale& se inspir* en un pasa%e 'el @eeteto 'e )lat*n para estu'iar las propor$iones relati,as 'e las super$ies& algo muy natural $uan'o se trata 'e obras ar#uite$t*ni$as. os re$tngulos no seme%antes se 'istinguen entre sí por el $o$iente 'e su la'o mayor por el menor& n+mero #ue basta para $ara$teriBar a estas guras y #ue 'enomin* m*'ulo 'el re$tngulo. In $ua'ra'o tiene m*'ulo 1 y el 'oble $ua'ra'o m*'ulo 2. 5#uellos re$tngulos $uyos m*'ulos son n+meros enteros o ra$ionales ueron 'enomina'os Zestti$osZ y los #ue poseen m*'ulos irra$ionales eu$li'ianos& o sea& eFpresables algebrai$amente $omo raí$es 'e e$ua$iones $ua'rti$as o re'u$ibles a ellas& Z'inmi$osZ. El 'oble $ua'ra'o es a la ,eB estti$o y 'inmi$o& pues 2 es la raíB $ua'ra'a 'e 4. In e%emplo 'e re$tngulo 'inmi$o elemental es a#uel #ue tiene por la'o mayor a la raíB $ua'ra'a 'e ; y por la'o menor a la uni'a'& sien'o su m*'ulo la raíB $ua'ra'a 'e ;. 2 )osteriormente ambi'ge estu'i* a los monumentos y templos griegos y lleg* a en$ua'rar el ront*n 'el )arten*n en un re$tngulo 'e m*'ulo . )or me'io 'e $uatro 'iagonales suministra las prin$ipales propor$iones ,erti$ales y horiBontales. Este re$tngulo es 'es$ompuesto en seis 'e m*'ulo y $uatro $ua'ra'os. 80
$omo dato adicional para indicar la comple=idad del tratamiento del edi9icio se tiene que en +7 9ueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales , si sus columnas estuvieran e9ectivamente a plomo* todas sus lneas 9uesen paralelas , per9ectamente rectas , los ngulos rectos 9ueran e3actos* por las propiedades de la visión "umana el con=unto se vera ms anc"o arriba que en la base* sus columnas se percibiran inclinadas "acia a9uera , la lnea que 9undamenta el tec"o sobre las columnas se vera como una especie de catenaria* con los e3tremos del edi9icio aparentemente ms altos que el centro. os constructores "icieron la construcción compensando estos e9ectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. As las columnas e3teriores* en ambos lados del 9rente* estn inclinadas "acia adentro en un ngulo de 2*@; segundos de arco* mientras que las que estn en el medio tienen una inclinación de 2*@+ segundos de arco. a lnea que 9ormaran los dinteles entre columnas , que constitu,e la base del tringulo que corona el edi9icio* en realidad es un ngulo de 2*@6 segundos de arco con el v)rtice ms elevado que los e3tremos. De esta 9orma* , con otras correcciones que no se mencionan aqu* se logra que cualquier observador que se site en los tres puntos principales de vista vea todo el con=unto paralelo* uni9orme , recto.+
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Estu'ios $omo los 'el 'r. ?e$hner han 'emostra'o #ue la per$ep$i*n 'e la belleBa ra'i$a en la propor$i*n urea. )or en'e& a#uello #ue matemti$amente ms se aproFime a & se per$ibir $omo ms bello y pere$to. Esta no$i*n 'e belleBa y pere$$i*n es apli$able a estru$turas ar#uite$t*ni$as& pinturas& partituras musi$ales& ra$tales y personas. 82 En el $ua'ro Leda atómica& 'e Gal,a'or alí & he$ho en $olabora$i*n $on el matemti$o rumano atila Thyka.88 84 8; En las estru$turas y tiempos 'e las pelí$ulas ZEl a$oraBa'o )otemkinZ e Z<,n el @erribleZ 'e Gergui Eisenstein.8= 8; En los ,iolines& la ubi$a$i*n 'e las ees o eses los `oí'os u ori$ios en la tapa se rela$iona $on el n+mero ureo. cita re!ueridac El n+mero ureo apare$e en las rela$iones entre altura y an$ho 'e los ob%etos y personas #ue apare$en en las obras 'e iguel ngel& urero y "eonar'o a Cin$i& entre otros. Es ne$esario 'esmentir la eFpan'i'a ase,era$i*n 'e #ue el n+mero ureo apare$e en la $ono$i'a representa$i*n 'el hombre 'e Citru,io 'e "eonar'o 'a Cin$i. En este 'ibu%o "eonar'o 'a Cin$i sigue estri$tamente las propor$iones ra$$ionarias 'el $uerpo humano #ue Citru,io 'es$ribe en su libro e ar$hite$turaH $on$retamente en el 3apítulo < 'el "ibro @er$ero& `El origen 'e las me'i'as 'el @emplo. En las estru$turas ormales 'e las sonatas 'e [olgang 5ma'eus oBart& en la $uinta "in%on&a 'e "u'Vig ,an Deetho,encita re!ueridac& en obras 'e ?ranB G$hubertcita re!ueridac y 3lau'e ebussy cita re!ueridacestos $ompositores probablemente $ompusieron estas rela$iones 'e manera in$ons$iente& basn'ose en e#uilibrios 'e masas sonoras.87 En la pg. ;= 'e la no,ela 'e an DroVn El código Da 'inci apare$e una ,ersi*n 'esor'ena'a 'e los primeros o$ho n+meros 'e ?ibona$$i 18& 8& 2& 21& 1& 1& >& ;& #ue un$ionan $omo una pista 'e%a'a por el $ura'or 'el museo 'el "ou,re& Ja$#ues Gaunidre. En las pp. 121 a 128 eFpli$a algunas 'e las apari$iones 'el n+mero phi 1&=1> en la naturaleBa y el ser humano. en$iona #ue las 'istan$ias entre nuestro $uerpo son propor$ionales entre si& $omo las 'e la pierna al muslo& el braBo al antebraBo& et$. En el episo'io `Gabota%e 'e la serie 'e tele,isi*n (UM)*R" primera tempora'a& 200;& el genio 'e la matemti$a 3harlie Eppes men$iona #ue el n+mero + se en$uentra en la estru$tura 'e los $ristales& en la espiral 'e las galaFias y en la $on$ha 'el Aautilus. En el episo'io 'e entes 3riminales ZLbra maestraZ 3uarta tempora'a& episo'io >& los $rímenes 'el proesor 9oths$hil' siguen una su$esi*n 'e ?ibona$$iH en la primera Bona& mat* a una ,í$timaH en la segun'a& a otraH
