Equações Diferenciais - Vol.2 - CEDERJ





  

   

        



Equações Diferenciais Volume Volume 2 - Módulos 2 e 3 2ª edição

Apoio:

Pedro do Nascimento Nobrega

Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira – Rio de Janeiro, RJ – CEP 20943-001 Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725

Presidente Masako Oya Masuda

Vice-presidente Mirian Crapez

Coordenação do Curso de Matemática UFF - Regina Moreth UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca

Material Didático Material Didático Departamento de Produção

ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Pedro do Nascimento Nobrega COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL Cristine Costa Barreto DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISÃO Anna Maria Osborne Ana Tereza de Andrade Jane Castellani Leonardo Villela Nilce P. Rangel Del Rio

EDITORA Tereza Queiroz

CAPA Morvan de Araujo Neto

REVISÃO TIPOGRÁFICA Equipe Cederj

PRODUÇÃO GRÁFICA Oséias Ferraz Patricia Seabra

COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO Jorge Moura PROGRAMAÇÃO VISUAL Marcelo Freitas

COORDENAÇÃO DE AVALIAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO Débora Barreiros AVALIAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO Letícia Calhau

Copyright © 2005, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.

N754e Nobrega, Pedro do Nascimento. Equações Diferenciais. v. 2 - 2. ed. / Pedro do Nascimento Nobrega. – Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2010. 281p.; 21 x 29,7 cm. ISBN: 978-85-7648-670-1 1. Equações diferenciais lineares. 2. Sistemas de equações diferenciais. 3. Sistemas autônomos. I. Título.

2010/1

CDD: 515.35 Referências Bibliográficas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT e AACR2.

Governo do Estado do Rio de Janeiro Governador Sérgio Cabral Filho

Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia Alexandre Cardoso

Universidades Consorciadas UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO

UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Reitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho

Reitor: Aloísio Teixeira

UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO

Reitor: Ricardo Vieiralves

Reitor: Ricardo Motta Miranda

UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

Reitor: Roberto de Souza Salles

Reitora: Malvina Tania Tuttman

Equações Diferenciais SUMÁRIO

Volume 2 - Módulos 2 e 3

Aula 11 – Equações diferenciais lineares de ordem superior _______________125 Aula 12 – Soluções de equações diferenciais lineares de ordem superior ______ 143 Aula 13 – Equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem _____ 167 Aula 14 – Equações não-homogêneas de segunda ordem_________________ 181 Aula 15 – Aplicação de equações diferenciais lineares de segunda ordem _____ 195 Aula 16 – Sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Autovalores reias distintos_________________________________211 Aula 17 – Representação geométrica de sistemas autônomos. Sistemas com autovalores complexos ________________________235 Aula 18 – Sistemas com autovalores reias repetidos _____________________ 253 Aula 19 – Sistemas não-homogêneos ________________________________271

´ M ODULO 2 -

AULA 11

Equa¸c˜ oes diferenciais lineares de ordem superior

Aula 11 – Equa¸ c˜ oes diferenciais lineares de ordem superior

Objetivos Depois de estudar esta aula você ser´ a capaz de 1. Definir os espa¸cos vetorias de fun¸co˜es n -vezes continuamente diferenciáveis em intervalos I da reta. 2. Definir as equa¸ co˜es diferenciais lineares por meio de operadores lineares entre espa¸cos n (I )

C

S 1



sen[(5π/2)x]

−3S 1 + 2S 2



S 2



−2cos[(7π/2)(2x − 1)]

−3sen[(5π/2)x] − 4cos[(7π/2)(2x − 1)] 125

CEDERJ

EQUAC ¸ ˜ OES DIFERENCIAIS


Introdu¸ c˜ ao

Nota Hist´ orica

O século XVIII foi uma era de intenso desenvolvimento da teoria de equa¸co˜es diferenciais. Praticamente todos os matem´ aticos de destaque testaram suas habilidades em integrar (i.é resolver) equa¸cões diferenciais. Um grande n´ u mero dos m´ etodos elementares de integra¸cão de equa¸cões diferenciais, que constituem a parte inicial de todos os cursos universit´ a rios sobre o assunto (de que, ali´ as, nosso curso n˜ a o foi exce¸cã o) foi estabelecido pelos matem´ aticos do século XVIII. Classes inteiras de equa¸co˜ es e métodos de resolu¸caõ foram estudados pelos maiores matemáticos de então: Clairaut, D’Alembert, Laplace, Monge, Lagrange, e, naturalmente, Euler. Em particular, grandes sucessos foram alcan¸c ados no estudo de equa¸co˜ es lineares, que tem merecido aten¸cão especial desde aquele tempo devido à sua grande ocorrˆ encia nas aplica¸cões. O trabalho do matem´ atico francês Augustin Cauchy, no in´ıcio do século XIX, inaugurou uma nova etapa na teoria de equa¸cões diferenciais. O conceito central da L.A.Cauchy teoria, antes de Cauchy, era o de solu¸c˜ ao geral de uma dada equa¸cão.

Uma vez obtida uma solu¸ca˜ o geral, as diversas solu¸co˜es particulares eram obtidas pela atribui¸caõ de valores espec´ıficos às constantes. Nessa linha, o problema b´ a sico era o de achar a solu¸ca˜ o geral de uma dada equa¸cã o. Procurava-se, via de regra, uma solu¸caõ por quadraturas, isto é , uma solu¸ca˜ o dada por uma f´ ormula contendo somente fun¸co˜es elementares (polinômios, trigonométricas, exponencial, e suas inversas) numa combina¸caõ finita, constru´ıda por meio de opera¸co˜es algébricas e integra¸cões. Cauchy inverteu essa perspectiva completamente, determinando uma nova dire¸ cão principal de desenvolvimento da teoria de equa¸co˜es da forma dy/dx = f (x, y). Para ele, o conceito b´ asico era o de solu¸cão particular de uma tal equa¸cã o, a qual assumia um valor prescrito num ponto pré-fixado . O conhecimento de uma tal solu¸caõ particular nos possibilita obter a solu¸ca˜ o geral. A questã o mais importante passava a ser a da existência de uma solu¸caõ particular; o que ficou conhecido como problema de Cauchy.

Uma de nossas metas a partir de agora é entender claramente essa “inversão de dire¸caõ” do Cauchy, ou seja como construir uma no¸caõ de solu¸c˜ ao geral de uma equa¸ca õ diferencial partindo do conhecimento de solu¸co˜es particulares. S´ o que a partir de agora agora estaremos restritos a`s equa¸co˜es lineares. CEDERJ

126

´ M ODULO 2 -

AULA 11


Os fenômenos lineares s˜ ao tão importantes que merecem uma discuss˜ ao mais demorada. Eles v˜ a o ocupar todo o restante do nosso curso. Para adquirir adquirir um pouco mais de familiaridade com a no¸caõ de linearidade,comecemos examinando o princ´ıpio de superposi¸c˜ ao de fenˆ omenos f´ısicos. A no¸cão matem´ a tica de linearidade, de certa forma, emerge de um princ´ıpio de superposi¸caõ de causas e efeitos, que governa o relacionamento de diversos sinais e sistemas do mundo f´ısico.

Sinais e Sistemas Sinais fazem parte de nossa vida cotidiana de uma maneira indispens´ avel. Para dar um exemplo, a forma mais básica de comunica¸cão humana se desenvolve através do uso de sinais de fala. Seja por conversa¸caõ cara a cara, por telefone, ou via computador. Outra forma de intera¸cão entre pessoas, ou do homem com o mundo é por meio de sinais visuais, imagens de pessoas ou objetos. O correio eletrônico e a Internet são poderosos transportadores de sinais de um ponto a outro. Ao ouvir os batimentos card´ıacos de um paciente, ou examinar visualmente um eletrocardiograma, o médico interpreta sinais de som, sinais gráficos, que lhe transmitem informa¸co˜es sobre o estado de sa´ ude do paciente. E os exemplos se multiplicam. As ilustra¸ cões desta página mostram dois sistemas de comunica¸cões altamente sofisticados.

Um satélite artificial pode medir, por exemplo, temperatura e radia¸ca ˜ o - os sinais de entrada-,e codificar esta informa¸c˜ a o em um sinal de r´ a dio de alta freq¨ uˆ encia (a sa´ıda)

Um sinal , como o próprio nome indica, é um conjunto de informa¸cões ou dados. Do ponto de vista matemático, um sinal é uma fun¸cão que representa uma quantidade ou variável f´ısica e contém informa¸cões sobre o comportamento ou natureza de um fenˆ omeno. Os sinais sonoros, por exemplo, s˜ ao traduzidos em ondas que se propagam através de um meio, emitidas por uma fonte e recebidas por um sistema capaz de extrair informa¸co˜es dessas ondas. As ondas sonoras são fun¸co˜es matemáticas da posi¸cã o e do tempo. H´ a sempre um sistema associado à gera¸caõ de cada sinal, e outro associado à extra¸cão da informa¸cão transmitida pelo sinal. Na comunica¸cão por telefone, por exemplo, uma fonte sonora emite os sinais de fala, que se propagam na forma de ondas de pressão no ar. Essas ondas são convertidas por meio de um sistema razoavelmente complexo, em sinais elétricos, que são transmitidos por uma rede de telefonia até o sistema receptor, que os reconverte sinais de pressão no ar, identificáveis pelo ouvinte, que aliás os processa as recorrendo a um outro sistema, o auditivo, que traduz as vibra¸cões que as ondas recebidas provocam nos t´ımpanos em informa¸co˜es (sinais) elétricos, que são levados pela rede neurológica a uma região bem espec´ıfica do cérebro, que as reprocessa e permite ao receptor tomar atitudes, decisões. Um sistema pode ser formalmente definido como uma entidade que manipula um

127

CEDERJ



ou mais sinais para realizar uma fun¸caõ, produzindo assim novos sinais. Matematicamente um sistema é um modelo de um processo f´ısico que recebe um sinal de entrada (um excita¸cão), modifica-o, ou extrai dele alguma informa¸caõ, e produz um sinal de sa´ıda (uma resposta). Um sistema é ent˜ ao como que uma “máquina” que transforma um sinal de entrada (fun¸caõ) “X ” numa resposta (fun¸caõ)“Y ”.

Causa, excita¸cão ou sinal de entrada

−→

X

−→

SISTEMA

−→ Efeito,resposta ou sinal de sa´ıda

SISTEMA

Y

−→

Figura 11.1

Vamos nos limitar aos sistemas que satisfazem à seguinte condi¸caõ de regularidade: sempre que ele é alimentado por uma excita¸cão de tipo X , ele produz uma resposta Y , que pode ser do mesmo tipo de X ou n˜ ao.

Sistemas Lineares Suponha que temos uma entrada X 1 , para a qual um sistema produz uma sa´ıda Y 1

X 1

−→

SISTEMA

Y 1

−→

Figura 11.2

Suponha tamb´ em que o sistema produz a resposta Y 2 a uma outra entrada X 2

CEDERJ

128

´ M ODULO 2 -

AULA 11


Agora vamos continuar nossa explora¸cão e alimentar nossa máquina (o Sistema) simultˆ aneamente com as entradas X 1 e X 2 ; supondo que podemos representar essa entrada simultˆ anea pela soma das entradas individuais, ou seja, agora a entrada do sistema é X 1 + X 2 :

X 1

X 2

−→ + −→

SISTEMA

Figura 11.4

Se a resposta do sistema a esta entrada combinada (“superposta”) X 1 +, X 2 é exatamente a soma das resposta individuais a X 1 e a X 2 , i.é, Y 1 + Y 2 , diremos que o sistema é aditivo. A representa¸caõ simb´ olica da sa´ıda é

SISTEMA

Y 1

Y 2

−→ + −→

Figura 11.5 Admitamos finalmente que podemos alimentar nossa máquina com uma entrada α X , ( α sendo um n´ umero real qualquer),

·

α·X

−→

SISTEMA

Figura 11.6 e que a resposta a α X seja precisamente igual a α vezes a resposta individual a X , α Y

·

·

129

CEDERJ


Equa¸c˜ c˜ oes diferenciais lineares de ordem superior

` superposi¸ superposi¸c˜ cao aõ de “entradas” o sistema responde com a superposi¸c˜ cãaoo Em resumo: A das respectivas respe ctivas “sa´ıdas”. ıdas”. A seq¨ uˆ uencia eˆncia de diagramas, diagramas, das figuras 11.2 a 11.7, fornece fornece o esquema esquema básico asico do princ´ pri nc´ıpio ıpi o superp sup erposi osi¸¸c˜ cao. ão. Por mais que pare¸ca ca um modelo simplificado demais, literalmente in´ umeros umeros “sistemas” “sistem as” concretos con cretos do d o mundo f´ısico ısico têm em exatamente exata mente este comportamento compo rtamento.. Bem verdade que um grande número umero de modelos “concretos” “concretos” envolve envolve superposi¸c˜ coes o˜ es de um n´ umero umero infinito infinit o de d e entradas e ntradas e/ou sa´ sa´ıdas. Mas o princ´ıpio ıpio de lineari l inearidade dade se mant´ m antém. em.

co da aula mostra um sistema que processa os sinais Uma observa¸ c˜ ao: A figura da come¸co representados pelas fun¸c˜ coes o˜es sen[(5 sen[(5π/ π/2) 2)x x] e 2cos[(7 cos[(7π/ π/2)(2 2)(2x x 1)]. A terceira figura é o sinal representado pela fun¸c˜ cãaoo 3sen[(5 sen[(5π/ π/2) 2)x x] 4cos 4 cos[(7 [(7π/ π/2)(2 2)(2x x 1)], superposi¸c˜ cão a o de menos três es vezes o primeiro sinal com duas vezes o segundo sinal.

−

−

−

−

−

Nota: Repare que os sinais, em si, não ao s˜ ao ao lineares,são ao fun¸c˜ cões oes n˜ ao-lineares. ao-lineares. Quem tem

um procedimento linear é o sistema.

Se Y representa representa a resposta de um sistema sistema a uma entrada gen´ erica erica X , então ao podemos representar o sistema como sendo umatransforma¸c˜ c˜ ao de T, um operador que leva X em Y . . X Aten¸c˜ cao! a õ! N˜ ao afirmamos que ao todo sistema linear é representado por um operador diferencial. Existem sistemas para os quais vale o princ´ıpio ıpio de superposi¸c˜ cao a õ que utilizam outras representa¸c˜ coes o ˜es matemáticas, aticas, mas neste curso estaremos interessados somente nos sistemas representáveis aveis por equa¸c˜ coes o ˜es diferenciais

T

→ Y ,

ou Y . T X = Y.

·

fa to curioso cur ioso é que as “máquinas aquina s lineares”, linea res”, isto i sto é os agentes ag entes transforma tran sforma-Coment´ ario ario: Um fato dores de sinais, tantas vezes são ao representados (modelados) por operadores diferenciais (ou integrais) lineares,conforme defini¸c˜ cao aõ mais abaixo, cujas entradas e respostas são ao fun¸c˜ coes o˜es definidas em intervalos especificados que alguns autores chegam a caracterizar um sistema como sendo linear quando é poss´ıvel ıvel model m odel´á-lo a-lo por um (diferencia (diferencial/in l/integral tegral)) linear. linear. 1 Exageros à parte , isso ilustra uma certa tendˆ encia encia de identifica identificarr um objeto com uma representa¸c˜ cão ao dele. N˜ ao ao vamos mais al´ em em do que j´ a fomos nessas areias movedi¸cas cas filosófica o ficas. s. DaDaqui em diant diante, e, e at´ e o final final do curso, curso, estare estaremos mos lidando lidando com equa¸ equa¸c˜ coes ões diferenciais lineares, neares, que serão ao caracterizadas caracterizadas por meio de operadores operadores diferenciais diferenciais lineares, os quais podem ser pensados como sistemas que admitem como entradas fun¸c˜ coes o˜es de uma certa cole¸c˜ cão, ao, transformando-as segundo procedimentos lineares, e produzindo como resposta outras fun¸c˜ coes. o˜es. 1 todos

CEDERJ

130

conhecemos exemplos de sistemas representados por algébricas ebricas lineares

´ ULO M ODUL OD O 2 -

AULA ULA 11


Nossa agenda de trabalho é a seguinte: coes o˜es que contêm em as entradas entrada s • caracterizar e estudar os conjuntos de fun¸c˜ e respostas dos sistemas lineares (os quais serão ao sempre representados por operadores diferenciais lineares)

cao aõ diferencial linear • definir rigorosamente uma equa¸c˜ coes o˜es de equa¸c˜ coes o˜es lineares (serão ao as entradas entradas que s˜ ao ao trans• definir as solu¸c˜

formadas, pelo sistema, em uma fun¸c˜ cao aõ pré-determinada), e-determinada), estudar as idéias eia s de d e Cauchy C auchy sobre sob re a existˆ e xistência enc ia de solu¸ sol u¸c˜ coes o˜es gerais de equa¸c˜ coes o˜es diferenciais lineares e aprender os métodos etodos b´ asicos asicos de obten¸c˜ cao aõ de solu¸c˜ coes o˜es

princ´ıpio de superposi¸ superp osi¸c˜ cao aõ de causas e efeitos • finalmente,exemplificar o princ´

com alguns modelos dados por equa¸c˜ coes o˜es diferenciais, de fenômenos omenos do mundo“f´ısico”, ısico” , resgatand resga tandoo a identifica¸ identific a¸c˜ cao aõ entre os fenˆ omenos omenos lineares e as equa¸c˜ cões oes diferenciais diferenciais lineares. lineares.

Os espa¸ cos cos

C k (I )

Os espa¸cos cos k (I ) s˜ ao ao os conjuntos conju ntos que contêm em as entradas entrada s e as sa´ sa´ıdas dos sistemas que são ao associados a equa¸c˜ coes o˜es diferenciais lineares.

C

Considere um intervalo I R qualquer qualquer.. Este interv intervalo alo pode ser limitado, (a, b); limitado só por um lado, (a, + ); ou mesmo a reta toda, que sempre pode ser pensada como o intervalo ( , + ).

⊂ ⊂

∞ −∞ ∞

Obs: Como regra geral, vamos trabalhar só com intervalos abertos.

- Uma fun¸c˜ cao aõ f : I classe 1 no intervalo I se

continuame nte diferenciavel difer enciavel em I , ou de −→ R é continuamente −→

C

1) f é der de riv´ iv avel a´vel em todos os pontos de I 2) A fun¸c˜ cao aõ derivada f ′ é cont´ınua nu a em I Exemplo 11.1

Exemplos triviais são a o as fun¸c˜ coes o˜es constantes , a fun¸c˜ cao aõ identidade, as fun¸c˜ cões oes polinomiais (em quaisquer intervalos). Atividade 11.1

Assinale verdadeiro ou falso no espa¸co co indicado: i)

 

x2 sen

0,

 1

x

, se x = 0



se x = 0

é de classe cla sse

C

1

em

R

V() F()

131

CEDERJ



ii) sen x

| | x x

é de clas cl asse se

C

1

em

V() F()

R

- Uma fun¸c˜ cao aõ é duas dua s vezes continuamente continuame nte diferenci´ difere nci´ avel avel em I se s e é duas du as vezes derivável avel em todos os pontos de I e a fun¸c˜ cao aõ segunda derivada , f ′′ , é cont´ co nt´ınua ınu a em I - De maneira geral, uma fun¸c˜ caõ é m vezes continuamente deriv´ avel avel em I , ou de classe m em I se se é m vezes derivável avel em I e a fun¸c˜ cão ao derivada de ordem m é cont´ınua nu a em I .

C

- Uma fun¸c˜ cao aõ de classe

C

0

em I é uma um a fun¸ fu n¸c˜ cao aõ apenas ape nas cont´ cont´ınua em I .

- Representamos o conjunto das fun¸c˜ coes o˜es de classe p eloo s´ımbol ımb oloo k (I ), ), ou k (I , R) I pel

C

Intuitivamente, o Teorema Intuitivamente, 11.1 assegura que o conjunto de fun¸c˜ coes o ˜es que podem alimentar os sistemas lineares ,i.é,os e,os conjuntos k C (I ), ), n˜ a o s˜ ao ao vazios, e que ao se f e g s˜ ao fun¸c˜ ao coes o ˜es de um desses conjuntos, então ao f + + g e α · f t tamb´ ambém est est˜ a ao õ em C k (I ), ), e portanto podem alimentar o sistema. Matematicamente trata-se apenas de um caso particular de um fato bem conhecido do nosso curso de ´ Algebra Linear: qualquer subconjunto n˜ ao-vazio W de ao-vazio um espa¸co co vetorial ( no caso V - o espa¸co co vetorial de todas as fun¸c˜ coes o ˜es de I em R-) que é fechado com rela¸c˜ cao a õ a ` adi¸c˜ cao a õ de elementos de V , e com rela¸c˜ cao a õ a ` multiplica¸c˜ cao a õ de elementos de V por n´ umeros, é -ele umeros, - ele mesmo m esmo - um espa¸co co vetorial contido em V , o que significa que adicionando elementos de W , n˜ ao sa´ımos ao ımos de W .O mesmo ocorre com a multiplica¸c˜ cao a õ de um elemento de W por um n´ umero real. Podemos umero ignorar (se nos for conveniente) o espa¸co co maior V .

C

C

k

em um intervalo

Teorema 11.1

Para cada k

≥ 0,

cao aõ nula θ definida por θ(x) = 0 para todo x ∈ I pertence a • a fun¸c˜ C (I ).). são ao fun fu nc˜ çoes o˜es de C (I ) então ao f + g definida em cada ponto • se f e g s˜ k

k

de I por (f + + g )(x) = f (x) + g (x)

cao aõ αf definida em cada ponto de I por • para todo α ∈ R a fun¸c˜ (αf )(x) = α · f (x) também em é fun¸ fu n¸c˜ cao aõ de C (I ). ). k

Aplicando este resultado ao nosso contexto, conclu con clu´´ımos que: os conjuntos k (I , R) são ao subespa¸cos cos vetoriais dos espa¸cos cos vetorias (I , R) de todas as fun¸c˜ coes o˜es de I em R.

C

F

Em particular, para todo k , cada vetorial vetorial real.

C

elementos tos desses desses espa¸ espa¸cos cos Lembrete: Os elemen

k

(I ) é - ele mesmo - um espa¸ espa¸co co k

ao fun¸c˜ c˜ oes (n˜ ao a o mais C (I , R) são

obrigatoriamente n-uplas de n´ umeros reais, ou setas desenhadas num plano, umeros ou matrizes )

·· · · ·

Atividade 11.2

Toda fun¸c˜ cao aõ da classe

k

auto maticamente amente da classe C C (I ) é automatic

k−1

(I ). ).

Dizendo de maneira mais precisa,

C CEDERJ

132

“Para cada k k−1 (I )” )”

fun c˜ çao a˜ o de C ≥ 1, se f é uma fun¸

k

(I ) então ao f pertence a

´ M ODULO 2 -

AULA 11


Verifique esta afirma¸caõ para a fun¸caõ f (x) =

    x3 sen

1

se x = 0



x

0

no espa¸co

1

C (R).

,

se x = 0

Isto é:

i ) Mostre que f é deriv´ avel em todo ii ) Mostre que f ′ é cont´ınua em

R

R

As equa¸ co ˜es diferenciais lineares

As equa¸co˜es diferenciais lineares ser˜ ao definidas a partir de um operador (sistema) b´ asico, o operador D : Defini¸cão 11.1

Para cada k

≥ 1,

D :

k

C (I ) −→ C

k −1

(I )

é definido por D(f ) =

d (f ) = f ′ dx

Assim Exemplo 11.2

D(x) = 1,

D (eax ) = ae ax , etc

D (sen x) = cos x,

ao, ele produz uma fun¸caõ de classe Obs: Cada vez que o operador D atua sobre uma fun¸c˜ menor ou igual à da fun¸cão original.

A seguir, definimos as potências do operador D. Para cada n D n =: D o

≥ 0

 ·· ·  oD

n vezes

Por defini¸caõ

D0

≡ I d.

e a fun¸caõ identidade: Id(x) = x para todo x Id ´

∈ I 133

CEDERJ



Simbolicamente, para cada n

n

≥ 1, D ≡

dn dxn

o pode se aplicar a fun¸co˜es que sejam no m´ınimo n Anote: O operador D n s´ vezes deriváveis. Entretanto, para podermos explorar as equa¸ co˜es lineares de modo conveniente, vamos exigir que a fun¸caõ Dn (f ) seja cont´ınua. Ou seja, exigiremos que Dn seja um operador definido em n (I ) , e que seu contradom´ınio seja 0 (I ), o conjunto das fun¸cões cont´ınuas em I .

C

C

Exemplo 11.3

D2 (sen x) =

D n (xex ) = ne x + xex , etc

−sen x,

Opera¸ co ˜es com os operadores D

Definimos agora opera¸co˜es envolvendo os operadores Dn : a adi¸c˜ ao de operadores e a multiplica¸cao ˜ de operadores por fun¸c˜ oes de classe k , k 0:

C

≥

Defini¸cão 11.2

Dados dois operadores D n e D m , o operador soma D n + D m atua sobre m as fun¸co˜es de n (I ) (I ) da seguinte maneira

C

∩C

def

(Dn + D m )(f ) = Dn (f ) + D m (f ) ou, dizendo de outro modo,

∀x∈

dn f dm f I , (D + D )(f )(x) = D (f )(x)+ D (f )(x) = (x)+ m (x) dxn dx n

Para cada n

m

n

≥ 0, f · D

n

M

é definido por def

(f Dn )(g )(x) = f (x)

·

para todo x

dn g (x), dxn

∈ I

e comum escrever f (x)D n (g ) ou Anote tamb´ em: Em vez de (f D n )(g ) ´

·

então f (x)g (n) Exemplo 11.4

3

2

(x D )(y ) = x

CEDERJ

134

3d

2

y = x 3 y ′′ 2 dx

´ M ODULO 2 -

AULA 11


Defini¸cão 11.3

Um operador diferencial linear canˆ onico de ordem n sobre o intervalo I é um operador definido por L

≡ a

n

(x)Dn + an−1(x)D n−1 +

· · · + a (x)D + a (x)Id 1

0

Um operador canˆ onico de ordem n pode ser visto como o modelo de um sistema que admite com entradas fun¸ co˜es de n (I ) e as transforma, de acordo com as opera¸cões de adi¸cão de operadores Dk e multiplica¸caõ de operadores Dk por fun¸co ˜es em respostas que são fun¸co˜es de (I ).

C

C

Exemplo 11.5

Escreva as expressões abaixo na forma L y, sendo L um operador diferencial canônico. Indique a ordem de L:

·

(a) xy (iv) (b) 7xy

′′′

− sen(x)y − πx18 y

′′

+

√ xy − y 4

(c) y (5)

′

− sen(x) y

Solu¸c˜ ao:

(a) [xD4



− sen(x)D2 + √ xD − 1] .y;

ordem quatro

(b) [7xD3

4

 L



− πx18 D] .y;

    − 

ordem trˆ es

L

(c) [D5

sen(x)] .y;

ordem cinco

L

caõ identidade e a fun¸cão Obs: Nos itens (a) e (c) substitu´ımos respectivamente a fun¸ Id.sen(x) pelo n´ umero 1 e por sen(x) apenas. Esta é uma pr´ atica comum, mas devemos 2 exercê-la com cuidado. Por exemplo, o operador L xD 4D + 7 é a mesma coisa que xD2 4D + 7Id.

≡

−

−

Assim

L y = xy

·

′′

− 4y

′

+ 7y

e não L y = xy

·

′′

− 4y

′

+ 7.

Construindo novos operadores canˆ onicos a partir de operadores conhecidos:

Podemos estender as opera¸co˜ es de adi¸caõ de operadores D k , multiplica¸caõ de operadores Dk por fun¸cões; e composi¸caõ de operadores Dn aos elementos do espa¸co de todos os operadores lineares canˆ onicos sobre I . 135

CEDERJ



Por exemplo, Se L1 = a n (x)D n + an−1 (x)Dn−1 +

· · ·+ a (x)D +a (x)Id o 1

n

que escrevemos abreviadamente como L1 =



m

ak (x)D k e se L2 =

k=0

definimos L1 + L2 por

0



bk (x)D k

k=0

r

(L1 + L2 ) =



[ak (x) + bk (x)]Dk

k=0

umeros n e m. Se necessário, completamos os coeficientes Obs: r representa o maior dos n´ do operador de menor ordem com a fun¸caõ nula,como fazemos com a adi¸caõ de polinômios.

 n

- Definamos agora f (x) L = f (x)

·

·

  n

ak (x)Dk

k =0

def

[f (x).ak (x)]D k

=

k=0

- Por fim, se definimos, da maneira o´bvia, a composi¸caõ de operadores f (x)Dn e g (x)D p



dn d p y n p [f (x)D ] o [g (x)D ](y ) = f (x) n g (x) p dx dx def



esta opera¸caõ se estende a` composi¸caõ de operadores L 1 o L2 ( também denotada simplesmente por L1 L2 ). e o operador que atua sobre elementos y L1 o L2 ´ maneira

∈ C

n

(I ) da seguinte

def

(L1 o L2 )(y ) = L1 [L2 (y )] a percebeu a analogia que existe entre os operadores diferenAlerta!! Você com certeza j´ ciais canônicos e os polinômios. Por exemplo, no caso da opera¸caõ de adi¸cão:

Operador Diferencial Linear

Polinômio

n

  

L1 =

n

ak (x)Dk

p(x) =

k=0 m

L2 =

bk (x)Dk

[ak (x) + bk (x)]Dk

k=0

ak xk

k=0 m

q (x) =

k=0 r

(L1 + L2 ) =

  

bk xk

k=0 r

p(x) + q (x) =

[ak + bk ]xk

k=0

Mas é preciso tomar cuidado, pois os coeficientes de um operador linear canônico podem ser fun¸co˜es, enquanto os coeficientes de um polinômio são sempre constantes. Quando os coeficientes de um operador linear canônico não são fun¸co˜es constantes, a associa¸caõ da multiplica¸cão (composi¸caõ) de operadores com multiplica¸cão de polinômios pode conduzir a erros.

CEDERJ

136

´ M ODULO 2 -

AULA 11


Exemplo 11.6

Se L 1 = xD

− 1 e L2 = xD + 1 temos L1 L2 (y) = (xD − 1)[(xD + 1).y] = (xD − 1)(xy + y) = = xD(xy + y) − (xy + y) = x(y + xy + y ) − (xy + y) = x 2 y + xy − y = = [x2 D2 + xD − 1] · y ′

′

′

′

′′

′

′

′′

′

Portanto L1 L2 = x 2 D2 + xD

− 1.

Se tivéssemos efetuado a multiplica¸caõ (i.é, a composi¸caõ) de xD multiplica¸cão de polinômios ter´ıamos obtido como resposta L1 L2 = x 2 D2

− 1 por xD + 1 como a

− 1,

que é uma resposta errada.

Atividade 11.3

(i) - Calcule L1 + L2 e L2L1 sendo L1 = xD − 3x2 e L2 = 2sen xD3 + 1 Resposta: L1 + L2 =

L2 L1 =

(ii) - Mostre através de um exemplo, que, em geral, L 1 L2 = L 2 L1



Solu¸c˜ ao: Equa¸ co ˜es Diferenciais lineares de ordem n, finalmente

Defini¸cão 11.4

Uma equa¸c˜ ao diferencial linear de ordem n, num intervalo I é uma equa¸caõ da forma an (x)Dn y + an−1 (x)D n−1 y +

· · · + a (x)Dy + a (x)y = h(x), (11.1) 1

0

onde as fun¸co˜es ai , chamadas de fun¸c˜ oes coeficientes ,e a fun¸c˜ ao h, chamada de termo independente ou segundo membro da equa¸ caõ, são pelo menos cont´ınuas em I .

137

CEDERJ



Na linguagem de operadores lineares canˆ onicos ,a equa¸caõ diferencial (11.1) é escrita simplesmente como L(y ) = h, (ou L y = h, ou mesmo Ly = h ), sendo - é claro -

·

def

L(y ) = an (x)Dn y + an−1 (x)D n−1 y +

· · · + a (x)Dy + a (x)y 1

0

ao (11.1) é linear porque o operador L é linear. Isto é Obs: Dizemos que a equa¸c˜

∀y1, y2 ∈ C

n

(I ),

L(y1 + y2 ) = L(y1 ) + L(y2 )

e

∀y ∈ C

n

(I ), c

L(cy) = c L(y)

∀ ∈ R

Alguns conceitos e nomenclaturas usuais:

• A ordem da equa¸caõ diferencial linear L(y) = h(x) é por defini¸caõ igual ao maior expoente n dos operadores Dk que ocorrem na equa¸caõ.

• A equa¸caõ é homogênea se o segundo membro h é a fun¸caõ θ, identicamente nula sobre o intervalo I

• A equa¸cão é de coeficientes constantes se ∀ i, a é uma fun¸caõ constante, i

em cujo caso escrevemos

an D ny + an−1 Dn−1 y +

· · · + a Dy + a y = h(x) 1

0

Um operador diferencial linear de ordem n pode ser visto esquematicamente como um sistema L(y )

y

−→

L ≡ a n (x)D n + an−1 (x)Dn−1 + · · · + a 1 (x)D + a0 (x)Id

−→

Figura 11.8 Nessa representa¸caõ, uma solu¸c˜ ao da equa¸ca õ Ly = h é uma fun¸caõ do conjunto de entradas que é transformada por L na fun¸caõ h . 2 Mas o estudo das solu¸co˜es de uma equa¸caõ diferencial linear fica para a próxima aula . 2 L ´ e

CEDERJ

138

um operador constante sobre o conjunto das entradas que s˜ ao solu¸co˜es

´ M ODULO 2 -

AULA 11


Exerc´ıcios Exerc´ ıcio 11.1

Consdiere I = R. Mostre que a fun¸caõ f (x) = é de classe



x2 , 0,

se x > 0 se x 0

≤

C 1.

Solu¸c˜ ao: Devemos mostrar que f é derivável em todo o

em

R e

que sua derivada é cont´ınua

R.

Para mostrar q ue f (0) existe, precisamos calcular f + (0) e f (0) e mostrar que ambos s˜ ao iguais.Nos outros pontos n˜ ao há problemas. ′

′

′

−

Para mostrar que f é cont´ınua em 0, precisamos mostrar que ′

′

′

′

lim− f (x) = lim+ f (x) = f (0)

x→0

x→0

Exerc´ ıcio 11.2

Calcule as seguintes expressões: a) (D2 + D)ex c) [xD2 (sen x)D + 4](cos x)

b) (D 7)sen x d) (ex D x)(x3 sen x)

−

−

Obs: D − 7 é o operador D − 7Id ,

Respostas:

a) 2ex c) sen 2 x + (4

−

(ex D − x) é o operador (ex D − xId )

b) cos x 7sen x d) (3x2 ex x4 ) sen x + x3 ex cos x

−

− x) cos x

− −

Exerc´ ıcio 11.3

Escreva o operador D2 (xD 1) na forma canˆ onica an (x)Dn +an a0 (x)Id

−

1 (x)D

−

n−1

+

· · ·+a1(x)D+

Sugest˜ ao : Aplique o operador dado em uma fun¸ca õ y arbitr´ aria.

Resposta: D2 (xD

− 1) = xD3 + D2

Exerc´ ıcio 11.4

Calcule a soma L1 + L2 e o “produto” L1 o L2 de cada uma dos seguintes pares de operadores diferenciais lineares sobre R a) L1 = D 2 + D b) L 1 = e x D2 D + 4

L2 = D 7ex L2 = e x D2 + D

−

−

−

Respostas:

a) L1 + L2 = D 2 + 2D 7ex b) L 1 + L2 = (ex + e x )D2 + 4 −

−

L1 L2 = D 3 + (1 7ex ) L1 L2 = D 4 + (ex e x

− −

−

X

x

− 21e d − 14e − 2)D3 + (x + 4)e

−x

D2 + 4

139

CEDERJ



Exerc´ıcio 11.5

Mostre que (aDm )(bDn ) = abD m+n sempre que a e b são constantes Sugest˜ ao : Escreva o operador aD m )(bDn ) na forma canˆ onica (aplicando-o a uma fun¸cão

arbitrária y).

Exerc´ıcio 11.6

Calcule (xD)2 (sen x) e compare com x2 D2 (sen x). Respostas: (xD)2 (sen x) = x cos x

− x2 sen x;

x2 D2 (sen x) =

−x2 sen x

Conclus˜ ao Imp ortante: Se os coeficientes n˜ ao s˜ ao constantes n˜ ao podemos compor operadores lineares

em estrita analogia com a multiplica¸ca õ de polinˆ omios. Isto é (a(x)Dn ) o ( b(x)Dm )  = a (x)b(x) Dm+n

Exerc´ ıcio 11.7

Decomponha o operador D 2

− 3D + 2 em um produto de dois operadores de ordem um.

Solu¸c˜ ao: Quando os coeficientes de um operador são todos constantes, o exerc´ıcio 16.5

mostra que podemos tratar esse operador como se fosse um polinômio na “variável” D. Associamos a D 2

− 3D + 2 o polinômio x2 − 3x + 2 A fatora¸cão deste u ´ltimo é (x − 1)(x − 2) Por analogia, D 2 − 3D + 2 = (D − 1)(D − 2)

Você está convidado a verificar a igualdade de operadores, mostrando que a forma canônica de (D 1)(D 2) é D 2 3D + 2

−

−

−

Exerc´ ıcio 11.8

Decomponha os operadores D 4 1 e D 3 3D2 +4 como produtos de operadores de menor ordem, cada um dos quais não pode ser “fatorado” como produto de operadores de ordem ainda menor

−

−

ecnica do exerc´ıcio anterior (fatorando completamente os poRespostas: Aplicando a t´ linômios associados aos operadores): D4

− 1 = (D − 1)(D + 1)(D2 + 1);

D3

− 3D2 + 4 = (D + 1)(D − 2)2

Exerc´ ıcio 11.9

Determine os coeficientes e calcule a ordem da equa¸cão diferencial linear (D + 1) 3 y = 0 no intervalo I = (0, 1) ao Respostas: A ordem é 3, e os coeficientes(segundo as “potências decrescentes” de D s˜ a3 = 1, a2 = 3, a3 = 3, a4 = 1

CEDERJ

140

´ M ODULO 2 -

AULA 11


Exerc´ ıcio 11.10

Determine a ordem de cada uma das seguintes equa¸cões diferenciais lineares nos intervalos indicados a) (x + x )y y = cos x em ( 1, 1); em (0, + b) xy 2y + (sen x) y = ln x em (1, + )

√ | −|

′′′

′′

′

−

′

−

∞

∞)

Respostas:

a) A equa¸cão é de ordem três em ( 1, 0), e de ordem um em (0,1)

−

b) A equa¸cão é de ordem 2 em (1, + )

∞

Resumo

Nesta aula, com a ajuda do conceito de sistema entrada

→ sistema → sa´ıda,

introduzimos a idéia de linearidade, associando-a a um princ´ıpio de superposi¸caõ. Tornamos o estudo mais preciso introduzindo os espa¸ cos vetoriais de fun¸co˜es n vezes continuamente diferenci´ aveis em um intervalo e estudando os operadores diferenciais lineares como transforma¸ co˜es definidas naqueles espa¸cos vetoriais. Esses s˜ ao os elementos necess´ a rios para o tratamento dos sistemas lineares, ou melhor de sistemas cujas representa¸ co˜es matemáticas são equa¸co˜es diferenciais lineares. A aula terminou com a defini¸caõ de equa¸caõ diferencial linear de ordem n. Avalia¸ c˜ ao

Convidamos você a reler o que foi escrito logo ap´ os a nota histórica do come¸c o desta aula. Dissemos lá que o nosso ideal era o de determinar as solu¸co˜es gerais de equa¸cões diferenciais ordin´ arias. Infelizmente quase nunca dá para cumprir este programa de obten¸caõ de solu¸co˜es gerais. Nem mesmo para equa¸co˜es de ordem um. Há exemplos de equa¸co˜es para as quais não se consegue uma express˜ ao (envolvendo constantes arbitr´ arias) contendo todas as solu¸co˜es. Todavia na categoria das equa¸co˜es diferenciais lineares,e não só de primeira ordem, é poss´ıvel garantir a existência de solu¸co˜es gerais. Melhor ainda, essas equa¸co˜es diferenciais lineares ocorrem em muitos modelos matem´ aticos, ou como partes de modelos matemáticos, de diversos sistemas do mundo f´ısico. 141

CEDERJ



Nesta aula, procuramos apresentar alguns dos elementos necess´ arios para compreender intuitivamente e definir rigorosamente as equa¸co˜es diferenciais lineares. Nas próximas aulas vamos definir suas solu¸cões e aprender métodos efetivos para calcul´ a-las em muitas situa¸cões importantes.

CEDERJ

142

´ M ODULO 2 -

AULA 12

Solu¸coes ˜ de equa¸c˜ oes diferenciais lineares de ordem superior

Aula 12 – Solu¸c˜ oes de equa¸c˜ oes diferenciais lineares de ordem superior

Objetivos Ao terminar de estudar esta aula, você estará apto a 1) Conceituar solu¸caõ de uma equa¸caõ diferencial linear de ordem n qualquer 2) Definir fun¸co˜es linearmente dependentes e linearmente independentes sobre um intervalo 3) Definir e calcular o determinate wronskiano de n fun¸co˜es (n − 1)-vezes continuamente diferenci´ aveis em um intervalo I , utilizá-lo no estudo de solu¸co˜es de equa¸co˜es diferenciais lineares em I . 4) Caracterizar o conjunto de solu¸ co˜es de uma equa¸caõ diferencial linear de ordem n, homogênea, como subespa¸co vetorial de dimens˜ ao n,do espa¸co C n (I ) Solu¸ c˜ oes de equa¸c˜ oes lineares de ordem n

Defini¸cão 12.1

Dizemos que uma fun¸caõ ϕ é uma solu¸caõ de Ly = h(x) se ϕ ∈ C n (I ) e ∀ x ∈ I , L(ϕ(x)) = an (t)Dn ϕ(x) + an−1 (t)Dn−1 ϕ(x) + · · · + a1 (t)Dϕ(x) + a0 (t)ϕ(x) = h(x)

Exemplo 12.1

- A fun¸caõ ϕ(x) = e2x é solu¸caõ da equa¸caõ diferencial linear de primeira ordem y ′ − 2y = 0 em I = R, pois é de classe C ∞ (R) e ∀ x ∈ R, ′ (e2x ) − 2e2x = 0. 143

CEDERJ





2 sen x é solu¸cão da equa¸caõ linear de segunda ordem πx 4x2 y ′′ + 4xy ′ + (4x2 − 1) y = 0 no intervalo (0, +∞) - A fun¸caõ y =

Atividade 12.1 Verifique se fun¸caõ f (x) = sen 3 x é solu¸cão da equa¸caõ [D2 + (tg x)D − 6 cotg 2x] y = 0 π π no intervalo − , . 2 2

 

Resposta: Coment´ ario: Usando a visualiza¸caõ de equa¸cões diferenciais lineares como sistemas que produzem respostas a entradas que lhes s˜ ao fornecidas, y

−→

L ≡ a n (x)D n + an−1 (x)Dn−1 + · · · + a1 (x)D + a0 (x)Id

L(y )

−→

Figura 12.1

temos o seguinte: dada uma fun¸caõ h(x) em C 0 (I ), resolver a equa¸caõ linear L · y = h(x) é calcular as entradas y que são levadas, por L, exatamente sobre a fun¸caõ h. Então o conjunto das solu¸co˜es é um subconjunto do conjunto de entra´ o conjunto imagem inversa de h, por L: das. E L−1 {h} ⊂ C n (I ) Naturalmente o problema de determinar todas as solu¸ cõ es de uma equa¸caõ diferencial linear é o problema de descrever L−1 {h(x)}. O Teorema de Existˆ encia e Unicidade de Solu¸c˜ oes Para caracterizar o conjunto de todas as solu¸ co˜es de uma equa¸caõ diferencial linear, utilizaremos uma vers˜ ao de um resultado fundamental, demonstrado pela primeira vez por Cauchy,( não somente para equa¸ cões diferenciais lineares, mas para equa¸co˜es não lineares satisfazendo certas condi¸co˜es, as quais são sempre verificadas pelas equa¸co˜es lineares) CEDERJ

144

´ M ODULO 2 -

AULA 12


Trata-se do famoso Teorema de Existência e Unicidade de Solu¸ cões de problemas de valor inicial, o qual exige - por raz˜ oes técnicas - que as equa¸co˜es sejam normais no sentido da seguinte defini¸caõ. Defini¸cão 12.2

Uma equa¸caõ diferencial linear dn y dn−1y dy an (x) n + an−1(x) n−1 + · · · + a1 (x) + a0 (x)y = h(x) dx dx dx é normal no intervalo I se

=0 ∀ x ∈ I, an (x) 

Um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma equa¸cão diferencial linear de ordem n, normal, Ly = h(x), definida num intervalo I , consiste em calcular uma solu¸caõ ϕ(x) da equa¸caõ, definida em todo o intervalo e tal que ϕ(x0 ) = y 0 , · · · , ϕ(n−1) (x0 ) = y n−1, onde x0 ∈ I é um ponto qualquer (escolhido e fixado), e y0, · · · , yn−1 são n números reais escolhidos arbitrariamente. Para resolver um problema de valor inicial, devemos n˜ ao somente achar uma solu¸caõ de Ly = h(x), como também achar a solu¸caõ tal que seu valor e de suas derivadas sucessivas até a de ordem n − 1 em um ponto escolhido arbitrariamente no intervalo I sejam n´ umeros escolhidos (também de maneira completamente livre). ´ muito comum representar um problema de valor inicial da seNota¸ c˜ ao: E guinte maneira concisa

   

L·y y(x0) y ′ (x0 ) .. .

= h(x) = y 0 = y 1 ...

y (n−1)(x0 ) = y n−1

Onde L, como sempre, designa o operador linear dn dn−1 d L ≡ an (x) n + an−1 (x) n−1 + · · · + a1(x) + a0 (x) = dx dx dx = a n (x)Dn + an−1(x)D n−1 + · · · + a1 (x)D + a0 (x), 145

CEDERJ



só que agora suposto ser normal (n˜ ao esque¸ca) Um resultado que parece improv´ avel, mas que, ao contrário, pode ser rigorosamente provado, é que todo problema de valor inicial envolvendo equa¸co˜es lineares normais num intervalo possui uma solu¸caõ; e essa solu¸caõ é u ńica. Mais precisamente

Teorema 12.1

(Existˆ encia e Unicidade de Solu¸c˜ oes de Equa¸c˜ oes Lineares) Seja L · y = h(x) uma equa¸cão diferencial linear de ordem n, normal , definida num intervalo I , e seja x 0 um ponto qualquer de I . Então, para y 0, y1 , · · · , yn−1 números reais escolhidos arbitrariamente, existe uma, e somente uma, solu¸caõ ϕ(x) da equa¸caõ acima, com a propriedade de que ϕ(x0) = y 0, ϕ′ (x0 ) = y 1, · · · , ϕ(n−1) (x0 ) = y n−1 .

Coment´ ario: A demonstra¸caõ do Teorema de Existência e Unicidade (T.E.U) está além dos métodos que temos ao nosso dispor. Algumas atividades e exemplos nos ajudarão a compreender melhor o Teorema de Existência e Unicidade (T.E.U.) Atividade 12.2 As fun¸cões ϕ1(x) = −2 e ϕ2(x) = x − 2 ambas são solu¸co˜es da equa¸cão diferencial linear de primeira ordem xy ′ − y = 2, a qual é normal no intervalo (0, +∞). Mas seus gr´ aficos n˜ ao podem ter nenhum ponto em comum no intervalo (0, +∞). Caso existisse um ponto x0 de (0, +∞) com ϕ1 (x0 ) = ϕ 2 (x0 ) = y 0 , então ter´ıamos duas solu¸co˜s diferentes para o PVI

 CEDERJ

146

xy ′ − y = 2 y(x0 ) = y 0

o que é proibido pelo T.E.U..

´ M ODULO 2 -

AULA 12


Desenhe, no espa¸co ao lado, os gráficos das fun¸co˜es ϕ1 (x) e ϕ2 (x) do exemplo (12.2). Observe que esses gr´ aficos nã o se cortam em nenhum ponto do intervalo aberto onde a equa¸cão é normal. Coment´ ario: Uma constata¸caõ trivial, mas importante, que podemos fazer a partir do teorema de existência e unicidade é que o conjunto-solu¸ cão de uma equa¸caõ diferencial linear normal n˜ ao é vazio. Isso pode até parecer um detalhe de menor importˆ ancia, mas - ao contrário - nos dá uma enorme garantia de que, quando estivermos tentando resolver uma equa¸caõ linear, não estaremos trabalhando em v˜ ao. Exemplo 12.2

As fun¸co˜es f (x) = sen x e g(x) = cos x não podem ser solu¸co˜es de uma mesma equa¸caõ diferencial linear de primeira ordem no intervalo (0, π), pois seus gráficos se cortam num ponto deste intervalo, e isso é proibido pelo Teorema de existência e Unicidade. Atividade 12.3 Assinale V para as afirmativas que você considera corretas e F para as retas: - 1) As fun¸cões seno e cosseno podem ser solu¸ co˜es de equa¸co˜es de primeira ordem no intervalo (0, π) ( - 2) As fun¸cões seno e cosseno podem ser solu¸ co˜es de um mesmo PVI envolvendo uma equa¸caõ linear de segunda ordem no intervalo (0, π) ( - 3) As fun¸cões f (x) = x 2 e g(x) = −x2 não podem ser solu¸co˜es de um mesmo PVI envolvendo uma equa¸caõ linear de segunda ordem no intervalo (−π, π) (

incor-

)

)

)

Equa¸ co ˜es Diferenciais Lineares Homogˆ eneas ´ Come¸caremos agora a tirar partido da Algebra Linear que estudamos anteriormente. Sabemos por exemplo que o n´ ucleo de um operador linear é sempre um subespa¸co do espa¸co dom´ınio. Portanto · · · 147

CEDERJ



· · · quando h = 0, a fun¸caõ constante nula, e a equa¸cão é normal, o conjunto de solu¸co˜es, L−1{0}, é um subespa¸co vetorial de C n (I )3. ´ por a´ı que vamos iniciar o trabalho de obten¸ E cã o de solu¸co˜ es de equa¸co˜es lineares normais. Em determinado momento, o resultado fundamental, Teorema de Existência e Unicidade de solu¸co˜es, de Cauchy, intervirá de modo decisivo. As no¸ c˜ oes de dependˆ encia/ independˆ encia lineares de solu¸co ˜es de equa¸ co ˜es diferenciais lineares homogˆ eneas Nossa meta, até o final da aula 13, é mostrar que o conjunto de solu¸ co˜es de uma equa¸caõ diferencial linear homogênea normal de ordem n é subespa¸co vetorial de dimensão n de C n (I ). O que significa isso? Significa que o conjunto L−1 {0} possui bases com n elementos - digamos ϕ1 , ϕ2, · · · , ϕn - de tal modo que todo elemento de L−1 {0}, isto é toda solu¸caõ da equa¸caõ homogênea, se escreve como combina¸ cão linear y(x) = c 1ϕ1(x) + c2ϕ2 (x) + · · · + cn ϕn (x).

(12.1)

Ora, a equa¸caõ (12.1) nada mais é do que a solu¸ cão geral da equa¸caõ homogênea normal, no sentido pleno da express˜ ao; isto é, (12.1) é uma fórmula contendo todas as solu¸co˜es poss´ıveis da equa¸caõ diferencial linear homogênea normal. O interessante é que para provar isso, vamos apelar para o Teorema de Existência e Unicidade de Solu¸ co˜es, que é um teorema que garante a existência de solu¸co˜es particulares. ´ isso que chamamos antes de “virada de mesa” de Cauchy. E Para chegar l´ a , vamos por partes. Quando se fala em base, est´ a-se falando de vetores linearmente independentes. Convém formular a no¸ cão de ´ o que passamos a fazer. independência linear para fun¸co˜es. E Dig ress˜ ao geom´ etrica

Para fixar idéias, considere inicialmente o espa¸co vetorial V = R2 cujos elementos podem ser representados graficamente por setas (segmentos orientados) Se dois vetores v 1 e v 2 s˜ ao paralelos, ent˜ ao existe uma reta passando pela origem sobre a qual podemos considerar c´ opias dos vetores, obtidas por transla¸ ca õ paralela 3

Adotaremos a prática comum de denotar a fun¸cão constante nula simplesmente pelo s´ımbolo 0, e o subespa¸co trivial contendo somente a fun¸caõ nula por { 0}

CEDERJ

148

´ M ODULO 2 -

AULA 12


Obs: Continuamos a denotar os vetores transladados por v 1 e v 2 . Em seguida, fazemos novas transla¸co ˜es, de modo que os dois segmentos que representam os vetores, tenham suas origens no ponto (0, 0). Finalmente, multiplicando esses vetores ( que continuamos sempre chamando de v 1 e v 2 )por constantes convenientes c 1 e c 2 não nulas podemos tornar os seus comprimentos iguais e, se j´ a n˜ ao for o caso, trocar o sentido de um deles para que tenham sentidos opostos. Toda essa gin´ astica mostra que é poss´ıvel caracterizar por meio de uma equa¸ ca õ o fato de dois vetores serem paralelos, ou poderem ser deslocados paralelamente, de modo a pertencer a uma mesma reta, i.´ e, serem dependentes de uma mesma reta. Que reta pode ser essa? Certamente uma reta paralela aos vetores v 1 e v 2 .

O vetor nulo ´ e sempre um ponto de qualquer reta passando pela origem, seja qual for a dire¸ca õ da reta.

O problema é que existe um n´ umero infinito de retas paralelas a v 1 e v 2 .Para determinar de maneira u ´ nica uma reta paralela a v 1 e v 2 , escolhemos a que passa pela origem. Dado um vetor n˜ a o nulo qualquer, existe uma e uma ´ unica reta paralela a esse vetor passando pela origem. Usando a reta passando pela origem podemos traduzir algebricamente o fato de v 1 e v 2 serem paralelos. Tomando as suas c´ opias sobre aquela reta, multiplicamos cada vetor por um coeficiente de ajuste de modo que sua soma venha a ser exatamente o vetor nulo. c1  v1 + c 2  v2 = 0

(12.2)

Observa¸ co ˜es:

- Vocˆ e deve se convencer de que, para que a equa¸ca õ alg´ ebrica (12.2) traduza o fato de v 1 e v 2 serem paralelos, n˜ ao podemos ter c1 e c2 simultaneamente nulos. Se c1 e c2 pudessem ser ambos nulos então quaisquer vetores (paralelos ou n˜ ao) satisfariam uma equa¸ca õ da forma acima. - Portanto a equa¸ca õ (12.2) n˜ ao serviria para caracterizar paralelismo. - Dados dois vetores v 1 e v 2 de um espa¸co vetorial qualquer, uma express˜ ao da forma c1  v1 + c 2  v2 ao linear dos vetores v 1 e v 2 . Os n´ é chamada de combina¸c˜ umeros c 1 , c2 são os coeficientes da combina¸c˜ ao linear.

- Podemos considerar a condi¸ca õ expressa pela equa¸ca õ (12.2) como uma esp´ ecie de tradu¸ca õ, sem figuras, do fato de os vetores serem paralelos (dependerem de uma mesma reta). Assim, Os vetores v 1 e v 2 dependem de uma mesma reta se existir uma combina¸c˜ ao linear nula deles, onde nem todos os coeficientes s˜ ao nulos.

Você deve observar que é impor tante que os coeficientes c1 e c 2 n˜ ao sejam simultaneamente nulos. Se n˜ ao fizermos esta exigência, quaisquer dois vetores w 1 e w 2 , paralelos ou n˜ ao, podem ser multiplicados pela constante c = 0, i.é, fazemos c1 = c2 = 0 na combina¸ca õ linear da equa¸ca õ (12.2) e ent˜ ao c1 w 1 + c2 w  2 = 0 Tente imaginar como seria mostrar, por meio de um diagrama, fazendo transla¸co ˜es e multiplica¸co ˜es por constantes,que duas matrizes, ou duas fun¸co ˜es, s˜ ao dois vetores paralelos, ou linearmente dependentes. Inimagin´ avel, n˜ ao é? - Dois vetores são linearmente independentes se nã o s˜ ao paralelos, i.´ e, se n˜ ao podem ser transladados e ajustados convenientemente de modo a que somem o vetor nulo. Em termos puramente algébricos v 1 e v 2 v1 + c 2  v2 = 0 ´ s˜ ao linearmente independentes se a única maneira de termos c1  e quando c1 = c 2 = 0. Ou ainda; v 1 e v 2 s˜ ao linearmente independentes se a única combina¸ca õ linear nula de v 1 e v 2 é a que tem todos os coeficientes iguais a zero. - As caracteriza¸co ˜es algébricas de dependência e independência lineares se estendem de modo imediato a um n´ umero finito de vetores de qualquer natureza. Vamos nos apoiar nesta constru¸ c˜ a o que n˜ ao envolve n I apelo a figuras para determinar se um conjunto de fun¸co ˜es de C ( ) é formado por fun¸co ˜es linearmente dependentes ou não.

149

CEDERJ



Defini¸cão 12.3

- Um conjunto ϕ1 , ϕ2 , · · · , ϕk de fun¸co˜es pertencentes ao C ( I ) é linearmente dependente se existem constantes c1 , · · · , ck nã o simultˆ aneamente nulas, tais que c1ϕ1 (x) + c2 ϕ2(x) + · · · + ck ϕk (x) = 0

∀ x ∈ I

- ϕ 1 , ϕ2 , · · · , ϕk é um conjunto linearmente independente se c1 ϕ1 (x)+c2 ϕ2(x)+· · ·+ck ϕk (x) = 0 ∀ x ∈ I =⇒ c1 = c 2 = · · · = ck = 0 P Anote a´ı: Na combina¸caõ linear c1 ϕ1 (x) + c2 ϕ2 (x) + · · · + ck ϕk (x) usada para decidir a dependência ou independência linear de um conjunto de fun¸ cões, não podemos ficar trocando os valores das constantes de acordo com a vari´ avel x. Examine o exemplo a seguir: Exemplo 12.3

Consideremos as fun¸co˜es sen x e cos x do espa¸co C ∞ (R). Queremos saber se elas são linearmente dependentes ou linearmente independentes (ou nenhuma das duas coisas). Formamos a express˜ ao c1 cos x + c2 sen x = 0

(12.3)

e investigamos se as constantes têm de ser ambas nulas , ou se existem constantes n˜ ao simultaneamente nulas que tornam esta rela¸caõ verdadeira para todos os valores de x ∈ R. Vejamos Se escolhermos x = 0 na equa¸caõ (12.3) ficamos com a igualdade c1 cos 0 + c2 sen 0 = 0 de onde conclu´ımos que c1 = 0 Então devemos ter c1 = 0 sempre. Pois 0 é o uńico valor que torna a equa¸caõ (12.3) verdadeira para x = 0. E a rela¸caõ tem de ser verdadeira para todos os valores de x, em particular para x = 0 Escolhendo agora x = π/2 na equa¸caõ (12.3) obtemos c1 cos π/2 + c2 sen π/2 = 0 de onde conclu´ımos que c2 = 0 De acordo com o mesmo racioc´ınio, devemos ter c2 sempre. CEDERJ

150

´ M ODULO 2 -

AULA 12


Assim c1 cos x + c2 sen x = 0 ∀ x ∈ R =⇒ c1 = c 2 = 0 Portanto sen x e cos x sã o fun¸co˜es linearmente independentes em C ∞ (R). Vejamos mais um exemplo Exemplo 12.4

Sejam as fun¸cões e x , e−x e cosh x no mesmo espa¸co C ∞(R) Formemos a combina¸cão linear nula c1 ex + c2 e−x + c3 cosh x = 0 ex + e−x Como, por defini¸caõ cosh x = , ent˜ ao 2 ex + e−x c1 ex + c2 e−x + c3 cosh x = 0 ⇔ c1 ex + c2 e−x + c3 =0 2 c3 c3 ⇔ c1 ex + c2 e−x + e x + e −x = 0 2 2 c 3 x c3 −x c1 + e + c2 + e =0 ⇔ 2 2



 



Observe agora que não precisamos ter todos os coeficientes iguais a zero. c3 Acontece que c 1 = c 2 = − . Ent˜ ao podemos escolher qualquer valor para c 3 , por 2 1 exemplo c 3 = 1 e tomarmos c 1 = c 2 = − . Existe a combina¸cão linear nula 2 1 1 (− )ex + (− )e−x + 1 cosh x = 0 2 2 onde nem todos os coeficientes são nulos. Portanto o conjunto { ex , e−x , cosh x} é linearmente dependente em C ∞(R).

Fun¸ c˜ oes Linearmente Independentes - continua¸c˜ ao Teorema 12.2

Sejam y1 (x), y2 (x), · · · , yn (x) fun¸cões (n − 1)-vezes continuamente deriváveis no intervalo aberto I . Suponha que existe um ponto x 0 ∈ I tal que os vetores

  

y1 (x0 ) y1′ (x0 ) .. . (n−1) y1 (x0 )

  

,

  

y2 (x0 ) y2′ (x0 ) .. . (n−1) y2 (x0 )

  

, · · · · · · ,

  

yn (x0 ) yn′ (x0 ) .. . (n−1) yn (x0 )

  

sejam linearmente independentes em Rn . Então as fun¸cões y 1 (x), y2 (x), · · · , yn (x) s˜ ao linearmente independentes no espa¸co C n−1 (I )

151

CEDERJ



Demonstra¸ c˜ ao:

Formemos a combina¸c˜ ao linear nula c1 y1 (x) + c 2 y2 (x) + · · · + c n yn (x) = 0

(12.4)

Precisamos mostrar que c 1 = c 2 = c 3 = · · · = c n = 0. Derivando (n − 1)-vezes a equa¸ca õ (12.4), obtemos o sistema

8 > > > < > > > :

c1 y1 (x) + c 2 y2 (x) + · · · + c n yn (x) = 0 ′ c1 y1′ (x) + c 2 y2′ (x) + · · · + c n yn (x) = 0

.. . (n−1)

c1 y1

(n−1)

(x) + c2 y2

(n−1)

(x) + · · · + cn yn

(x) = 0

Agora substitu´ımos x por x0 e reescrevemos o sistema na forma de uma equa¸ca õ vetorial:

c1

0 BB BB B@

y1 (x0 ) y1′ (x0 )

.. . (n−1)

y1

(x0 )

1 0 CC BB CC + c2 BB CA B@

y2 (x0 ) y2′ (x0 )

.. . (n−1)

y2

(x0 )

1 CC CC + · · · · · · + c CA

n

0 BB BB B@

yn (x0 ) ′ yn (x0 )

.. . (n−1)

yn

(x0 )

1 0 CC BB CC = BB CA @

Como os vetores desta combina¸ca õ linear s˜ ao, por hip´ otese, linearmente independentes em

0 0 . .. 0

1 CC CC A

n R

ent˜ ao

c1 = c 2 = c 3 = · · · = c n = 0.

Ou seja, se temos uma combina¸ca õ linear nula em C n (I ) como na equa¸ca õ 15.7, ent˜ a o todos os coeficientes são nulos.

C

n−1

Isso significa que as fun¸co ˜es y1 (x), y2 (x), · · · , yn (x) s˜ ao linearmente independentes no espa¸co  (I )

O teorema (12.2) transforma o problema de verificar se um conjunto de fun¸co˜es é linearmente independente no problema de verificar se um conjunto de n vetores em Rn é linearmente independente. E para saber se um con junto de vetores em Rn é linearmente independente basta efetuar uma conta: calcular o determinante da matriz cujas colunas s˜ ao os vetores. Assim, nas condi¸co˜es do teorema (12.2), se o determinante

det

  

y1 (x0) y1′ (x0) .. . (n−1)

y1

y2(x0) y2′ (x0) ... (n−1)

(x0 ) y2

··· ···

yn (x0 ) yn′ (x0 ) ... (n−1)

(x0) · · · yn

(x0 )

  

for diferente de zero em algum ponto x0 ∈ I então as fun¸co˜es y1(x), · · · · · · , yn(x) são linearmente independentes em C n (I ). Para referência e uso futuro registramos a seguinte defini¸ caõ: CEDERJ

152

´ M ODULO 2 -

AULA 12


Defini¸cão 12.4

Sejam y1 (x), y2 (x), · · · , yn (x) fun¸co˜ es (n − 1)-vezes continuamente deriváveis no intervalo aberto I . O determinante

W [y1 (x0 ), · · · · · · , yn (x0 )] = det

  

y1 (x0 ) y2 (x0 ) ··· y1′ (x0 ) y2′ (x0 ) ··· .. .. . . (n−1) (n−1) y1 (x0 ) y2 (x0 ) · · ·

yn (x0 ) yn′ (x0 ) .. . (n−1) yn (x0 )

  

é chamado de determinante Wronskiano das fun¸co˜es yi (x), 1 ≤ i ≤ n, no ponto x0 Atividade 12.4 Diga se a frase abaixo é verdadeira ou falsa: “As fun¸co˜es y1 (x) = sen x, y2 (x) = ex , y3 (x) = tg x são linearmente independentes no intervalo (−1/2, 1/2), pois seu determinante wronskiano em x0 = 0 é diferente de zero.” Resposta:

Explorando o determinante wronskiano Abordaremos a quest˜ ao da obten¸caõ de solu¸ co˜es de equa¸co˜es lineares a partir da pr´ oxima aula. Agora vamos estudar um resultado relativo ao determinante wronskiano,que vai nos facilitar a tarefa de decidir se um conjunto de solu¸ cõ es de uma equa¸caõ é linearmente dependente ou independente.

Exemplo 12.5

Mostre que as fun¸co˜es f 1 (x) = xe x e f 2 (x) = |x|ex são linearmente independentes sobre (−∞, 0), mas W [f 1(x), f 2 (x)] = 0 153

CEDERJ



Solu¸c˜ ao: Por uma lado a combina¸caõ linear nula c1 xex + c2 (|x|ex) = 0 nos dá como u ńica possibilidade c1 = c 2 = 0 (Fazendo x = −1 obtemos a equa¸caõ −c1 /e + c2 /e = 0. Fazendo x = 1 obtemos c1 e + c2 e = 0. O u ´ nico jeito de termos a equa¸caõ verificada tanto para x = 1 quanto para x = −1 é c1 = = c 2 = 0. Então devemos ter c1 = c 2 = 0 para todos os valores de x Portanto f 1 e f 2 são linearmente independentes

|x|ex

xex

Por outro lado, um c´ alculo simples nos fornece W [xex , |x|ex ] = det

 

x

x

xe −xe ex + xex −ex − xex

= −x2 ex − xe2x + xe2x + x2ex = 0

 

=

Aten¸c˜ ao!!! Não há nada de errado com o exemplo anterior. Revendo com cuidado o in´ıcio desta aula, você vai perceber que o que n´ os fizemos foi mostrar que se o wronskiano era diferente de zero (bastava em um ponto) então as fun¸co˜es eram linearmente independentes. O exemplo acima mostra que a rec´ıproca n˜ ao vale, em geral. Atividade 12.5 Verifique que as fun¸co˜es x 3 e |x|3 são linearmente independentes em C +∞(R) e no entanto seu determinante wronskiano é identicamente nulo. Sugest˜ ao: Calcule separadamente W [x3 , |x|3 ] para valores de x ≥ 0 e valores de x < 0

Mas o resultado rec´ıproco n˜ ao est´ a totalmente perdido: se f 1 , f 2 , · · · , f n forem solu¸co˜es de uma mesma equa¸c˜ ao diferencial linear homogênea normal de ordem n, então 4 f 1 , · · · , f n são l.i. =⇒ W [f 1 (x), · · · , f n (x)]  =0 4

CEDERJ

154

E esta é a situa¸cão que nos interessa, afinal

´ M ODULO 2 -

AULA 12


Você est´ a convidado a demonstrar esta rec´ıproca junto conosco. Vamos lá? Vamos demonstrar apenas o caso n = 2. A situa¸caõ geral é análoga. Queremos mostrar que se y1 e y 2 são fun¸co˜es linearmente independentes em um intervalo I e ambas são solu¸co˜es de uma equa¸caõ diferencial linear de d2 y dy segunda ordem normal a 2 (x) 2 + a1(x) + a0 (x)y = 0 ent˜ ao dx dx W [y1(x), y2(x)]  = 0. Obs: Provar o resultado acima é a mesma coisa que provar que se y1 e y2 s˜ ao solu¸c˜ oes de uma equa¸c˜ ao diferencial linear de segunda ordem normal d2 y dy a2(x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y = 0 e W [y1(x), y2 (x)] = 0 dx dx ent˜ ao y1 e y2 s˜ ao linearmente dependentes. ´ este segundo enunciado que vamos provar E Atividade 12.6

Complete as hipóteses: a) Hip´ otese 1: y1 e y 2 são solu¸cões da equa¸cão b) Hip´ otese 2: o determinante

é nulo no intervalo I

Escolha um ponto x0 qualquer de I e forme o sistema de equa¸cões



c1 y1 (x0 ) + c2 y2 (x0 ) = 0 c1 y1′ (x0 ) + c2 y2′ (x0 ) = 0

As incógnitas do sistema (12.5) s˜ ao

(12.5)

e

O determinante principal do sistema(12.5) é precisamente Usando a hip´ o tese

podemos garantir que o sistema é indeterminado.

Logo c 1 = 0, c2 = 0 não é a u ´ nica solu¸cão. Seja (c1 , c2 ) uma solu¸cão diferente de (0, 0) Assinale a alternativa correta: A fun¸cão y(x) = c 1 y1(x) + c2 y2 (x) é (

) / n˜ ao é (

(12.6)

) uma solu¸caõ da equa¸caõ diferencial a2 (x)

d2 y dy + a1 (x) + a0 (x)y = 0 2 dx dx 155

CEDERJ



Além disso a fun¸caõ (12.6) satisfaz às condi¸cões y(x0 ) = 0

e

y ′ (x0 ) = 0.

Mas a fun¸caõ nula também é uma solu¸caõ da mesma equa¸cão e satisfaz às mesmas condi¸co˜es iniciais. Então o Teorema de mas de valor inicial obriga que as fun¸cões todos os pontos do intervalo I .

de solu¸cões de problesejam iguais em

e

Podemos então escrever a igualdade c1 y1 (x) + c2 y2 (x) = 0

para todo x ∈ I

Observando que pelo menos um dos coeficientes c1 , c2 é diferente de zero, temos uma combina¸caõ linear nula das fun¸cões y 1 , y2 onde nem todos os coeficientes são iguais a zero. Isso quer dizer que as fun¸cões conclui a demonstra¸cão.

são

em I , o que

Provamos que se valem as hipóteses (a) e (b) então y 1 e y2 são linearmente dependentes. 

Repetindo para n˜ ao esquecer:

• Se W [y1 (x0 ), y2 (x0 )] =  0 em algum ponto x0 ∈ I então y1 (x) e y2 (x) são linearmente independentes sempre • Podemos ter y1 (x) e y2 (x) linearmente independentes e W [y1 (x), y2 (x)] = 0 em todos os pontos de I . Mas neste caso y1 (x) e y2 (x) não podem ser solu¸co˜es de uma mesma equa¸caõ linear homogênea normal de segunda ordem • Se y1 (x) e y2 (x) são solu¸co˜es de uma equa¸caõ diferencial linear homogênea normal de segunda ordem então y1 e y2 são linearmente independentes ⇐⇒ W [y1 (x0 ), y2 (x0 )]  =0 em algum x 0 ∈ I .

Coment´ ario: Agora fica mais cômodo testar se um conjuntos de solu¸ cões de uma mesma equa¸caõ é linearmente independente ou n˜ ao. Basta calcular o seu determinante wronskiano e checar se ele é diferente de zero em algum ponto. Exemplo 12.6

a) ϕ 1 (x) = sen x, ϕ2 (x) = cos x e ϕ 3 (x) = e x são solu¸cões da equa¸cão (D3 − D2 + D − 1)y = 0, no intervalo I = (−π/2, π/2)

CEDERJ

156

´ M ODULO 2 -

AULA 12


b) Calcule W [ϕ1 (0), ϕ2 (0), ϕ3 (0)] c) Determine a solu¸cão geral de y ′′′ − y ′′ + y ′ − y = 0 Solu¸ c˜ ao:

a)Verifiquemos apenas para a fun¸cão seno. As demais verifica¸co˜es são semelhantes. Temos ϕ1 (x) = sen x, ϕ′1 (x) = cos x, ϕ′′1 (x) = −sen x, ϕ′′′ 1 (x) = −cos x Substituindo na equa¸ cão: (−cos x) − (−sen x) + (cos x) − (sen x) = 0

para todo x ∈ (−π/2, π/2)

Portanto ϕ 1 (x) = sen x é solu¸caõ da equa¸cão.// b)

W [ϕ1 (0), ϕ2 (0), ϕ3 (0)] = det

= det

 

0 1 1 0 0 −1

1 1 1

 

 

sen x cos x −sen x

cos x ex −sen x ex −cos x ex

 

= x=0

= −2

c)Como W [ϕ1 (0), ϕ2 (0), ϕ3 (0)] =  0, o conjunto {sen x, cos x, ex } constitui uma base para o espa¸co das solu¸cões de y ′′′ − y ′′ + y ′ − y = 0. A solu¸cão geral é y(x) = c1 sen x + c2 cos x + c3 sen x, onde c1 , c2 e c3 são constantes arbitrárias. Atividade 12.7

( A f´ ormula de Abel e Ostrogradskii para o Wronskiano ) Considere a equa¸cão diferencial linear de segunda ordem, homogênea, normal em um intervalo I : a2 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0

(12.7)

Podemos dividir todos os coeficientes por a 2 (x) obtendo uma equa¸cão da forma y ′′ + p(x)y ′ + q (x)y = 0

(12.8)

onde p(x) = a 1 (x)/a2 (x) e q (x) = a 0 (x)/a2 (x). Sejam y 1 (x) e y 2 (x) duas solu¸cões da equa¸cão (15.15). a) Mostre que d W [y1 (x), y2 (x)] = y 1 y2′′ − y2 y1′′ dx b) Como y 1 e y 2 são solu¸co˜es da equa¸cão (15.15), temos

(12.9)

y1′′ + p(x)y1′ + q (x)y1 = 0 e y2′′ + p(x)y2′ + q (x)y2 = 0

157

CEDERJ



Agora, tirando os valores de y1′′ e y2′′ respectivamente nestas duas u ´ ltimas equa¸co˜ es, e substituindo na f´ ormula (15.16), mostre que d W [y1(x), y2 (x)] = − p(x)y1 y2′ + p(x)y2 y1′ = − p(x)(y1 y2′ − y2 y1′ ) dx c) A u ´ ltima rela¸caõ nos mostra que W [y1 (x), y2 (x)] é solu¸cão da equa¸cão diferencial de primeira ordem, homogênea z ′ + p(x)z = 0. Escreva a expressão geral da solu¸cão desta linear homogênea de primeira ordem e obtenha a f´ ormula de Abel/Ostrogradskii para o wronskiano de duas solu¸cões da equa¸cão (15.15): W [y1 (x), y2 (x)] = C e−

R

p (x) dx

= C e−

R

[a1 (x)/a2 (x)] dx

Esta u ´ ltima expressão é conhecida como fórmula de Abel para o Wronskiano de duas solu¸co˜es da equa¸caõ (12.7) (ou equa¸cão (15.15), é claro). Exemplo 12.7

Calcule uma expressão para o wronskiano de um par de solu¸co˜es da equa¸caõ x 2 y ′′ + xy ′ + (x2 + 1)y = 0 no intervalo (0, +∞). ao solu¸cões da equa¸cão Solu¸ c˜ ao: De acordo com a fórmula de Abel, se y 1 e y 2 s˜ x2 y ′′ + xy ′ + (x2 + 1)y = 0 no intervalo (0, +∞), ent˜ ao [W [y1 (x), y2 (x)] = C e− onde, neste caso p(x) =

R

p (x) dx

,

x . Assim, x2 W [y1 (x), y2 (x)] = C e−

R

1 /x dx

=

C x

ao devemos concluir que o wronskiano é independente do par de solu¸co˜ es. A Obs: N˜ N.H.Abel

1802-1829

Apesar de sua curta vida, Abel deixou um legado matemático muito ´ dele a importante. E demonstra¸ c˜ ao de que ´ e imposs´ıvel resolver uma equa¸ ca õ do quinto grau por meio de radicais

constante C varia de acordo com as solu¸cões consideradas.Para cada par de solu¸co˜es temos uma constante particular. Por exemplo, calculemos o wronskiano das duas solu¸c˜ oes y 1 e y 2 da equa¸caõ x 2 y ′′ + xy ′ + (x2 + 1)y = 0 que satisfazem às condi¸cões y 1 (1) = 0, y1′ (1) = 1, y2 (1) = y 2′ (1) = 1: Já sabemos que a forma geral do wronskiano de qualquer par de solu¸cões da equa¸cão acima é C W [y1 (x), y2 (x)] = x No ponto x = 1, W [y1 (1), y2 (1)] = C/1 = C . Por outro lado W [y1 (1), y2 (1)] = det



y1 (1) y2 (1) y1′ (1) y2′ (1)

   = det

0 1

1 1

= −1

Portanto C = −1. Conclu´ımos então que o Wronskiano das solu¸cões y 1 e y 2 da equa¸caõ + xy ′ + (x2 + 1)y = 0 que satisfazem às condi¸cões y1 (1) = 0, y1′ (1) = 1, y2 (1) = y2′ (1) = 1 é 1 W [y1 (x), y2 (x)] = − x x2 y ′′

CEDERJ

158

´ M ODULO 2 -

AULA 12


A dimens˜ ao do espa¸ co das solu¸c˜ oes Tendo explorado um pouco uma das caracter´ısticas que os vetores de uma base do espa¸co vetorial das solu¸co˜es, L −1 (0), devem possuir: a de serem linearmente independentes, chegou a vez de falar sobre a outra caracter´ıstica dos vetores de uma base de um espa¸co vetorial: Eles devem gerar todos os vetores do espa¸co. Ser´ a o coroamento dos nossos esfor¸cos teóricos, e vai dar a dire¸cão segundo a qual prosseguiremos as atividades.

Teorema 12.3

Seja L ≡ an (x)Dn + an−1 (x)Dn−1 + · · · +a1 (x)D +a0 (x) um operador linear normal de ordem n em um intervalo I . O espa¸co das solu¸cões da equa¸cão homogênea L · y = 0 tem dimensão finita e essa dimens˜ ao é precisamente n (a ordem da equa¸caõ)

Demonstra¸c˜ ao. 5 Observe que nada do que fizemos até agora nos garantia que a dimens˜ ao do espa¸co das solu¸co ˜es era finita.

Esta demonstra¸ca õ evidencia a importˆ a ncia do Teorema de Existˆ encia e Unicidade de Solu¸ co ˜es no estudo de equa¸co ˜es diferenciais.

Demonstraremos o teorema, exibindo explicitamente um conjunto gerador do espa¸co das solu¸co ˜es, formado por n fun¸c˜ oes linearmente independentes. Escolha um ponto x0 ∈ I Consideremos os n problemas com valores iniciais abaixo. Os vetores de valores iniciais s˜ ao distintos, mas a equa¸ca õ diferencial linear de ordem n, homogênea e normal, é a mesma para todos.

8 > > > > > < > > > > > :

L · y = 0 y (x0 ) = 1 y ′ (x0 ) = 0 y ′ (x0 ) = 0

.. . y (n−1) (x0 ) = 0

8 > > > > > < > > > > > :

L · y = 0 y (x0 ) = 0 y ′ (x0 ) = 1 y ′ (x0 ) = 0

.. . y (n−1) (x0 ) = 0

8 > > > > > < ······ > > > > > :

L · y = 0 y (x0 ) = 0 y ′ (x0 ) = 0 y ′ (x0 ) = 0

.. . y(n−1) (x0 ) = 1

Sejam ϕ1 , · · · , ϕn as respectivas solu¸co ˜es desses PVI’s. Observando que W [ϕ1 (x0 ), ϕ2 (x0 ), · · · , ϕn (x0 )] = det I d(n×n) = 1, podemos usar o teorema 14.2 para concluir que ϕ1 , · · · , ϕn s˜ ao fun¸co ˜es linearmente independentes. Afirmamos agora que as fun¸co ˜es ϕ1 , · · · , ϕn geram o espa¸co das solu¸co ˜es Ker (L). Para mostrar isto , devemos mostrar que toda solu¸ca õ ψ de L · y = 0 se escreve como combina¸ca õ linear das fun¸co ˜es ϕ 1 , · · · , ϕn . Isto é, devemos mostrar que , para cada ψ ∈ K er(L), existem constantes c1 , c2 , · · · , cn

tais que ψ(x) = c 1 ϕ(x) + c 2 ϕ2 (x) + · · · + c n ϕn (x)

para todo x ∈ I . Podemos escolher ψ = a que ϕ1 , · · · , ϕn ∈ Ker (L). E ent˜ a o o vetor de  θ, pois K er(L) =  {0}, j´ condi¸ co ˜es iniciais (ψ (x0 ), ψ ′ (x0 ), · · · , ψ(n−1) (x0 ))  = (0 , 0, · · · , 0) 5

Vocˆ e pode pular esta demonstra¸caõ num primeiro estudo

159

CEDERJ



pois se (ψ(x0 ), ψ′ (x0 ), · · · , ψ(n−1) (x0 )) fosse o vetor nulo ent˜ ao o Teorema de Existência e Unicidade de solu¸co ˜es acarretaria que ψ = θ , j´ a que o vetor de condi¸co ˜es iniciais da solu¸ ca õ constante nula 0 também é 6 (0, 0, · · · , 0). Consideremos a fun¸ca õ η(x) = ψ (x) − c 1 ϕ1 (x) − c 2 ϕ2 (x) − c 3 ϕ3 (x) − ·· · − c n ϕn (x)

(12.10)

onde escolhemos c1 = ψ (x0 ), c2 = ψ ′ (x0 ), · · · , cn = ψ (n−1) (x0 ) Como L ´ e um operador linear, ent˜ ao L(η(x)) = L (ψ(x)) − c 1 L(ϕ1 (x)) − c 2 L(ϕ2 (x)) − ··· − c n L(ϕn (x))

Para cada termo individual vale L(ψ (x)) = 0,

L(ϕ1 (x)) = 0,

L(ϕ2 (x)) = 0, · · · , L(ϕn (x)) = 0

j´ a cada uma das fun¸co ˜es é uma solu¸ca õ da equa¸ca õ L · y = 0, ent˜ ao L(η(x)) = 0

Para cada j = 1, 2, · · · n − 1, calculando a derivada de ordem j das fun¸co ˜es na equa¸ca õ (12.10), temos (j)

(j)

(j)

η(j) (x0 ) = ψ (j) (x0 ) − c1 ϕ1 (x0 ) − c 2 ϕ2 (x0 ) − ·· · − c n ϕn (x0 )

Assim η(x0 ) = ψ (x0 ) − c 1 · 1 − c 2 · 0 − ··· − c n · 0 = 0

(lembre que ψ(x0 ) = c 1 , ϕ1 (x0 ) = 1, e todos os demais ϕk (x0 ) = 0 ,

k = 2, 3, · · · , n − 1)

Da mesma forma η′ (x0 ) = ψ ′ (x0 ) − c 1 · 0 − c 2 · 1 − ··· − c n · 0 = 0

(lembre que ψ′ (x0 ) = c 2 , ϕ′2 (x0 ) = 1, e todos os demais ϕ′k (x0 ) = 0,

k = 1, 3, · · · , n − 1)

Portanto

∀ j = 1, 2, · · · , n − 1

η(j) (x0 ) = 0

E isso diz que η(x) é solu¸ca õ do PVI L · y = 0, y (x0 ) = 0, y ′ (x0 ) = 0, · · · , y (n−1) (x0 ) = 0

Novamente apelando para o Teorema de existˆ encia e unicidade, conclui-se que η = θ , de onde ψ(x) = c 1 ϕ(x) + c 2 ϕ2 (x) + · · · + c n ϕn (x)

como quer´ıamos demonstrar



Encaminhamento O teorema ( 14.3) fornece a estrat´ egia para obter todas as solu¸ cões (i.é, a solu¸caõ geral , no melhor sentido do termo) de uma equa¸cão diferencial linear de ordem n, homogênea e normal em um intervalo I 6

E se ψ = 0, sempre poderemos escolher c 1 = c 2 = · · · = c n = 0, não restando nada a demonstrar

CEDERJ

160

´ M ODULO 2 -

AULA 12


• Encontre/calcule n solu¸co˜es y1, · · · , yn da equa¸caõ • prove que essas solu¸co˜es são linearmente independentes e · · · · · · e pronto! A solu¸cão geral da equa¸cão é y(x) = c 1 y1(x) + c2 y2(x) + · · · + cn yn(x) Exerc´ıcios Exerc´ıcio 12.1 Verifique se y(x) = e x sen x é solu¸caõ de y ′′ − 2y ′ + 2y = 0. Exerc´ıcio 12.2 Repita o exerc´ıcio precedente para a fun¸ caõ y(x) = x ln(−x) e a equa¸caõ x2 y ′′ − xy ′ + y = 0 no intervalo (−∞, 0) Exerc´ıcio 12.3 Mostre que y = 1/x é solu¸caõ da equa¸caõ y ′ + y 2 = 0. Mostre também que, se C =  0, 1 então y = C/x não é solu¸caõ. Existe alguma contradi¸caõ deste fato com o T.E.U. apresentado na aula? Exerc´ıcio 12.4 Determine quais dos pares de fun¸co˜es abaixo são linearmente independentes, e quais são linearmente dependentes na reta: a) f (x) = π b) f (x) = x 3 c) f (x) = 1 + x d) f (x) = xe x e) f (x) = sen 2 x

g(x) = cos 2 x + sen2 x g(x) = x2 |x| g(x) = 1 + |x| g(x) = |x|ex g(x) = 1 − cos 2x

Respostas: a) L.D., b) L.I., c) L.I., d) L.I., e) L.D. Exerc´ıcio 12.5 Diga se é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta Sempre que um conjunto de fun¸c˜ oes y1, y2, · · · , ym é linearmente dependente (em um intervalo I ), ent˜ ao é poss´ıvel escrever (pelo menos) uma delas como combina¸c˜ ao linear das demais. 161

CEDERJ



ao linear nula das fun¸co˜es yi . O coeficiente de pelo Sugest˜ ao: Escreva uma combina¸c˜ menos uma das fun¸cões é diferente de zero. Verifique se é poss´ıvel tirar o valor dessa fun¸caõ em termos das demais.

Exerc´ıcio 12.6 Mostre que uma equa¸caõ linear de 2a ordem, a2(x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a0(x)y = 0 pode ser substitu´ıda por um par de equa¸co˜es simultâneas de 1a odem. Adote o seguinte procedimento: Fa¸ca sucessivamente y1 = y y2 = y1′ Repare que y2′ = (y1′ )′ = y ′′ e tire o valor de y ′′ na equa¸caõ de segunda ordem, o que d´ a a1 (x) ′ a0 (x) y2′ = − y − y. a2 (x) a2 (x) Temos ent˜ ao um sistema de dus equa¸cões para as incógnitas y 1′ e y 2′ . - Mostre que o sistema acima pode ser escrito em forma mtricial como

   y1′ y2′

=

0

1

− aa02 ((xx)) − aa12 ((xx))

  y1 y2

Exerc´ıcio 12.7 Demonstre que toda equa¸caõ de Riccati dy = a 2 (x)y 2 + a1(x)y + a0 (x) dx num intervalo I pode ser convertida numa equa¸caõ linear de segunda ordem v por meio da mudan¸ca de variáveis y = . (a2 · v) Exerc´ıcio 12.8 Mostre que a mudan¸ca de vari´ aveis v = y ′ /y reduz a equa¸caõ diferencial linear normal de 2a ordem y ′′ + a1 (x)y ′ + a0(x)y = 0 à equa¸caõ de Riccati v ′ + v 2 + a1(x)v + a0 (x) = 0, CEDERJ

162

´ M ODULO 2 -

AULA 12


e conclua ent˜ ao que resolver a equa¸caõ de segunda ordem acima equivale a resolver o par de equa¸co˜es simultânea de primeira ordem



dy/dx = vy dv/dx = −v 2 − a1 (x)v − a0 (x)

(eq. de Riccati associada )

Solu¸cão: Exerc´ıcio 12.9 Desenhe numa mesma figura os gr´ aficos das fun¸co˜es f (x) = cos x e g(x) = 1 − x2 /2, para x ∈ (−π/2, π/2). Agora, utilizando o T.E.U., responda a`s seguintes quest˜ oes: a) f (x) e g(x) podem ser solu¸caõ de um problema de valor inicial, com uma equa¸caõ diferencial linear homogênea de primeira ordem no intervalo considerado? b)f (x) e g(x) podem ser solu¸caõ de um problema de valor inicial, com uma equa¸caõ diferencial linear homogênea de segunda ordem no intervalo considerado? c)f (x) e g(x) podem ser solu¸caõ de um problema de valor inicial, com uma equa¸caõ diferencial linear homogênea de terceira ordem no intervalo considerado? Exerc´ıcio 12.10 Calcule o determinante wronskiano dos seguintes conjuntos de fun¸co˜es: a) { cos 2x, sen 2x, 1} em R b) {cos 2x, sen 2x, sen2 x, 1} em R x−1 c) ln , 1 em (−∞, −1) x + 1

  

Respostas: a) 8, b) 0, c) −2/(x2 − 1) Exerc´ıcio 12.11 a) Mostre que as fun¸co˜es e −x , senh x − 12 ex , 2e2x , 1 são solu¸co˜es da equa¸caõ y ′′′ − y ′′ − 2y ′ = 0 b) Escolha três dentre as fun¸co˜es do item anterior que formem uma base para o espa¸co das solu¸co˜es da equa¸caõ (D3 − D2 − 2D)y = 0 Exerc´ıcio 12.12 Resolva o problema de valor inicial

163

CEDERJ


  


y ′′′ − y ′′ − 2y ′ = 0 y(0) = 0 y ′ (0) = 1 y ′′ (0) = 1

Sugest˜ ao : Utilize o resultado do exerc´ıcio precedente

Exerc´ıcio 12.13 1 1 Encontre, entre as fun¸co˜es x + , x + x ln(x), + x ln(1/x), x(1 − ln(x)), x x uma base para o espa¸co das solu¸co˜es da equa¸caõ x3 y ′′′ + 2x2 y ′′ − xy ′ + y = 0 Calcule o wronskiano Exerc´ıcio 12.14 Calcule o wronskiano das duas solu¸co˜es y 1 (x) e y 2(x) da equa¸caõ (1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ + n(n + 1)y = 0, n inteiro positivo, que satisfazem às condi¸co˜es iniciais y1(0) = y 1′ (0) = 2, y2 (0) = 1, y2′ (0) = −1 Resposta: −4/(1 − x2 ) Exerc´ıcio 12.15 Desafio: Seja f uma fun¸caõ ´ımpar em C 1 (−a, a) [isto é, f (−x) = −f (x) para todos os x em (−a, a)]. Suponha que

• f (0) = f ′ (0) = 0 • f não é a fun¸caõ identicamente nula Mostre que W [f (x), |f (x)|] = 0 para todo x ∈ (−a, a), mas f e |f | são linearmente independentes em C 1 (−a, a). Resumo Os tópicos que abordamos nesta aula foram

• A defini¸ca˜ o de solu¸ca˜ o de uma equa¸caõ diferencial linear de ordem qualquer • a caracteriza¸caõ do conjunto de solu¸co˜es de uma equa¸caõ linear homogênea normal como sendo um espa¸co vetorial CEDERJ

164

´ M ODULO 2 -

AULA 12


cões • uma apresenta¸cão do Teorema de Existência e Unicidade de solu¸ de equa¸cões diferenciais lineares normais

• a defini¸caõ de dependência e independência lineares em conjuntos de fun¸coes de C k (I ) • a defini¸caõ do determinante wronskiano, sua utiliza¸caõ na determina¸caõ da dimensão do espa¸co de solu¸co˜es de uma equa¸caõ diferencial linear homogênea normal Avalia¸ c˜ ao A aula foi de car´ ater mais conceitual. Tivemos de “encarar” algumas especula¸co˜es e examinar conceitos que não são triviais, mas que s˜ ao extremamente importantes para o prosseguimento da matéria. Procure refletir sobre o Teorema de Existência e Unicidade e n˜ ao deixe de fazer os exerc´ıcios correspondentes. Os exerc´ıcios relacionando as equa¸co˜es de Riccati com as lineares de segunda ordem homogêneas têm um grande apelo hist´ orico, mas não ser˜ ao utilizados no restante do curso.

165

CEDERJ

´ M ODULO 2 -

AULA 13

Equa¸c˜ oes diferenciais lineares homogˆ eneas de segunda ordem

Aula 13 – Equa¸ c˜ oes diferenciais lineares homogˆ eneas de segunda ordem

Objetivos

Ao terminar de estudar esta aula você ser´ a capaz de 1) - obter solu¸co˜es de equa¸cões diferenciais lineares de segunda ordem, homogêneas, normais, de coeficientes cont´ınuos, desde que se conhe¸ ca previamente uma solu¸caõ. 2) - obter solu¸co˜es gerais de quaisquer equa¸co˜es diferenciais lineares de segunda ordem, homogêneas, e de coeficientes constantes. Introdu¸ c˜ ao

Vimos na aula anterior que, para calcular a solu¸ ca˜ o geral de uma equa¸caõ diferencial linear de segunda ordem, homogênea, normal em um intervalo I a2 (x)y + a1 (x)y + a0(x)y = 0 (13.1) ′′

′

é preciso obter duas solu¸co˜es linearmente independentes da equa¸caõ. Para equa¸co˜es de coeficientes cont´ınuos existem basicamente duas situa¸ cões em que se consegue construir uma solu¸caõ geral da equa¸cão (13.1):

• quando conhecemos previamente uma solu¸caõ • quando a equa¸caõ tem coeficientes constantes M´ etodo da Redu¸ c˜ ao da Ordem

Suponhamos que, por inspe¸caõ/experimenta¸caõ, ou - usando técnicas mais avan¸cadas, como a utiliza¸caõ de séries de potências (quando os coeficientes são mais do que cont´ınuos, s˜ ao anal´ıticos em I , o que significa intuitivamente que eles podem ser substitu´ıdos localmente por séries de Taylor), . . . enfim, de alguma maneira, se conhece uma solu¸caõ de (15.7). O método da redu¸caõ de ordem permite - em tese - descobrir uma segunda solu¸caõ y2(x), linearmente independente de y1 (x). Passemos ao laborat´ orio. Vamos fazer algumas experiências 167

CEDERJ



Dividindo a equa¸caõ (13.1) por a2 (x), vamos trabalh´ a -la sob a forma normalizada ′′

′

y + p(x)y + q (x)y = 0,

(13.2)

onde p(x) = a 1 (x)/a2 (x) e q (x) = a 0 (x)/a2 (x) são fun¸cões cont´ınuas em I . Uma primeira observa¸caõ é que para cada constante c, a fun¸caõ c y1(x) também é uma solu¸cão da equa¸caõ (13.2). Acontece que c y1(x) é linearmente dependente de y 1 (x). Portanto n˜ ao nos serve. Mas repare s´ o o que acontece quando substitu´ımos a constante c pela fun¸caõ identidade: em lugar de c y1 (x) ponhamos x y1(x). Calculando o wronskiano de y 1 (x) e xy 1 (x), W [y1(x), xy1 (x)] = det



y1 (x) xy1(x) y1 (x) y1 (x) + xy1(x) ′

′



= [y1(x)]2 .

Vemos que se y1 (x) = 0 em todos os pontos de I então y2(x) = xy1 (x) é linearmente independente de y1 (x).



Agora, só a condicão y1(x) = 0 em todo I , (que implica em W [y1 (x), y2(x)] = 0), não é suficiente para garantir que y 2(x) = x y1(x) seja solu¸caõ da equa¸caõ (13.2).





Vejamos dois exemplos. No primeiro [y1 (x)]2 = 0 em todos os pontos de I e xy1(x) é solu¸caõ da equa¸caõ. No segundo, apesar de [y1(x)]2 = 0 em todos os pontos de I , xy1(x) não é solu¸caõ da equa¸caõ.





Exemplo 13.1 Considere a equa¸caõ y ′′ 2y ′ + y = 0. ´ bem fácil verificar que y 1 (x) = e x é uma solu¸caõ desta equa¸cão. E

−

Mais ainda, y 2 (x) = xex também é solu¸caõ da equa¸caõ. E como W [y1 (x), xy1 (x)] = y 1 (x)2 = e 2x as duas solu¸co˜es são linearmente independentes, e a solu¸caõ geral da equa¸cão é y(x) = c 1 ex + c2 xex Exemplo 13.2 Tomemos agora a equa¸cão y ′′ + 4y = 0 no intervalo y1 (x) = cos 2x é solu¸cão desta equa¸caõ.

π π , . 2 2

− 

Considerando y 2 (x) = x cos 2x, é claro que W [y1 (x), y2 (x)] = cos2 2x π π Assim cos 2x e x cos 2x são linearmente independentes em , 2 2 Todavia y 2 (x) = x cos 2x não é solu¸cão da equa¸cão y ′′ + 4y = 0

− 

CEDERJ

168

´ M ODULO 2 -

AULA 13


( De fato, se y = x cos 2x ent˜ ao y ′′ + y =

−2sen x)

caõ por x às vezes produz uma nova solu¸caõ Conclus˜ ao : Multiplicar uma solu¸ linearmente independente da primeira, a`s vezes n˜ ao. O método da redu¸cão de ordem consiste numa generaliza¸caõ do procedimento acima: queremos obter solu¸co˜es da forma y2(x) = u(x)y1 (x), onde u(x) não precisa mais ser a fun¸cão identidade. Isto é, dada uma equa¸ ca˜ o do tipo (13.2), da qual conhecemos uma solu¸ caõ y1(x),queremos determinar uma fun¸caõ u(x)de tal modo que y2 (x) = u(x)y1 (x) seja uma solu¸caõ de (13.2) e seja linearmente independente com y1(x). Para descobrir se uma tal fun¸caõ existe, vamos fazer um racioc´ınio de trás para a frente. Suponhamos que existe uma solu¸ cão da forma u(x)y1(x) e tratemos de descobrir como é a u(x). Temos (omitindo temporariamente o argumento x, para não sobrecarregar a nota¸caõ) y2 = uy 1 y2 = u y1 + uy1 y2 = u y1 + u y1 + u y1 + uy1 ′

′

′′

′′

Jean d’Alembert (1717-1783) Matem´ atico francês, contemporˆ a neo de Euler, a quem se atribui a descoberta do método de redu¸ca õ de ordem

′

′

′

′

′

′′

Substituindo y2 e suas derivadas na equa¸caõ (13.2), ′′

′

′

′

′

′′

′

′

u y1 + u y1 + u y1 + uy1 + p(u y1 + uy1) + q (uy1) = 0;





      

′′

qy 2

′

y2

py2

podemos reescrever a u´ltima equa¸caõ como ′′

′

′′

′

′

′

(uy1 + puy1 + quy 1) + (u y1 + 2u y1 + pu y1 ) = 0

(13.3)

Fatorando u na express˜ ao do primeiro parêntese obtemos u(y1 + py1 + ′′

′

qy 1 ). E como y1 é solu¸caõ de (13.2), então y1 + py1 + qy 1 = 0, de modo que (13.3) se reduz a u y1 + 2u y1 + pu y1 = 0 ′′

′′

′

′

′

′

e chamando u de v, obtemos a equa¸caõ ′

y (x) v + p(x) + 2 1 v = 0, y1 (x) ′



que é uma linear de primeira ordem.

′



(13.4)

Da´ı é que vem o nome redu¸ cao ˜ de ordem . Para resolver a equa¸ca õ (15.11), de segunda ordem, precisamos resolver a equa¸ca õ, que ´ e de primeira ordem. O problema passou a ser o de calcular uma solu¸ca õ de uma equa¸ca õ de ordem reduzida de uma unidade.

169

CEDERJ



Resolvendo a equa¸cão (13.4) pelos métodos da Aula 3, obtemos

  

c v(x) = e [y1(x)]2

·

−

p(x)dx

,

c = constante

Como v = u temos ′

u(x) = c



  

1 e [y1 (x)]2

·

p(x)dx

−

dx.

Estamos precisando descobrir uma fun¸caõ u(x) adequada a nossos prop´ ositos. Na verdade conseguimos toda uma fam´ılia de fun¸ co˜es. Para cada escolha de c temos uma fun¸caõ u(x). Então basta escolher um valor para c. ao podemos escolher c = 0, pois isso daria u(x) = 0 Mas aten¸ c˜ ao! N˜ e conseq¨ uentemente y2(x) = 0, o que n˜ a o nos serve porque a fun¸caõ nula é linearmente dependente com qualquer outra fun¸ caõ, e portanto n˜ a o pode fazer parte de uma base para o espa¸co das solu¸co˜es de (13.2). Podemos escolher qualquer c = 0 Escolhendo c = 1,



u(x) =



  

1 e [y1(x)]2

·

p(x)dx

−

dx

e temos para segunda solu¸caõ da equa¸caõ (13.2)

y2(x) = y 1 (x)

 ·

  

1 e [y1 (x)]2

·

−

p(x)dx

dx

Para completar a tarefa, precisamos mostrar que y1(x) e y2(x) s˜ ao linearmente independentes. Mas isso decorre imediatamente da f´ ormula de Abel:

   −

W [y1(x), y2 (x)] = e

p(x)dx

Portanto alcan¸camos nosso objetivo.

CEDERJ

170

= 0

para todo x.

´ M ODULO 2 -

AULA 13


Atividade 13.1 Repetindo para n˜ ao esquecer :

Conhecida uma solu¸caõ y1 (x), da equa¸caõ diferencial linear, homogˆ enea, normal ; para obter uma segunda solu¸ caõ y2 (x) da forma y2(x) = u(x)y1(x) linearmente independente da primeira, usando o método da redu¸caõ de ordem, basta:

  

Exemplo 13.3

− p(x)dx Comprove diretamente que W [y1 (x), y2 (x)] = e , quando y1 e y2 são duas solu¸cões da equa¸cão (13.4), sendo y 2 obtida a parti de y 1 por redu¸cão de ordem. Solu¸ cao: ˜

0 BB y (x) B W [y (x), y (x)] = det B B@ y (x)

−

1

1

1

= y 1 (x)y1′ (x)

 ·

2

1

′

y1 (x) ·

Z

1 [y1 (x)]2

·

−

−

·

1

·

[y1 (x)]2

·

      · · ·     · ·   

− 1 e [y1 (x)]2

−y1(x)y1′ (x) Assim,

·

1

2

′

1 Z 1 “ Z p(x)dx” CC y (x) e dx [y (x)] “ Z p(x)dx” “ Z p(x)dx” CCC = A 1 e dx + y (x) e

p(x)dx

dx + [y1 (x)]2

p(x)dx

− 1 e [y1 (x)]2

p(x)dx

dx

−

dx.

p(x)dx

−

W [y1 (x), y2 (x)] = e

− 1 e [y1 (x)]2

Exemplo 13.4

Calcule a solu¸cã o geral de 2x2y + 3xy y1(x) = 1/x é uma solu¸caõ da mesma. ′′

′

−y

= 0,

x > 0, sabendo que

Solu¸c˜ ao: Usaremos a f´ ormula desenvolvida na técnica de redu¸caõ de ordem. Escrevendo a equa¸caõ na forma normalizada ′′

y + 3/2xy

′

2

− 1/2x y = 0

vemos que a fun¸caõ coeficiente de y é p(x) = 3/2x Então ′

y2(x) = (1/x)

 ·

e

−

R 3/2x dx

(1/x)2

dx

171

CEDERJ



é uma segunda solu¸caõ, linearmente independente de y1(x) = 1/x Calculando as integrais temos y2 (x) = 1/x

·

Sendo assim, a solu¸caõ geral de 2x2 y + 3xy ′′

2 3/2 x 3 ′

= 32 x1/2 .

− y = 0 é

1 + c2 x1/2 x

y(x) = c 1

aria , c2. Observa¸ c˜ ao: o fator 32 foi englobado na segunda constante arbitr´ Atividade 13.2

Considere a equa¸c˜ ao de Legendre com parˆ ametro igual a um: (1

2

′′

′

− x )y − 2xy + 2y = 0,

−1 < x < 1.

Mostre que a fun¸caõ ϕ 1(x) = x é uma solu¸caõ. Determine a solu¸caõ geral da equa¸caõ de Legendre . Resposta: Equa¸ co ˜es de coeficientes constantes

A segunda situa¸caõ geral em que é poss´ıvel calcular uma solu¸caõ geral para a equa¸cão linear de segunda ordem homogênea (13.1),extremamente comum nas aplica¸co˜es, é quando as fun¸co˜es coeficientes s˜ ao constantes. Trabalhando com a equa¸caõ na forma normalizada , a equa¸caõ (13.2) toma a forma ′′

′

y + py + qy = 0

(13.5)

Teorema 13.1

- A equa¸caõ y + py + qy = 0 tem sempre uma solu¸caõ da forma ′′

′

ϕ(x) = e ax onde a é uma constante. - a é uma raiz (real ou complexa) da equa¸ caõ algébrica r 2 + pr + q = 0, chamada de equa¸c˜ ao caracter´ıstica da equa¸caõ y + py + qy = 0 ′′

CEDERJ

172

′

´ M ODULO 2 -

AULA 13


ao Demonstra¸ c˜ ao: Seja ϕ(x) = e ax , a = constante . Ent˜ ϕ (x) + pϕ (x) + qϕ(x) = a 2 eax + apeax + qe ax. Portanto ′′

′

′′

′

ϕ (x) + pϕ (x) + qϕ(x) = 0

⇐⇒ e

ax

[a2 + ap + q ] = 0.

Como eax nunca se anula ϕ(x) = eax é solu¸caõ de y + py + qy = 0 a2 + ap + q = 0 a é uma raiz da equa¸caõ caracter´ıstica. ′′

′

⇐⇒

⇐⇒

E já que toda equa¸caõ do segundo grau tem sempre uma raiz (real ou complexa) a, então a equa¸caõ y + py + qy = 0 tem sempre uma solu¸caõ da forma eax  ′′

′

Este teorema d´ a a pista para encontrar a solu¸cão geral de qualquer equa¸caõ homogênea de 2a ordem com coeficientes constantes. A primeira coisa a fazer é calcular as ra´ızes da equa¸ cão auxiliar r 2 + pr + q = 0, mais conhecida como equa¸c˜ ao caracter´ıstica . Temos alguns casos a considerar: 10 caso:

A equa¸caõ caracter´ıstica tem duas ra´ızes reais, distintas: r1 e r2 . Então podemos formar duas solu¸co˜es da equa¸caõ diferencial y + py + qy = 0, a saber: ′′

′

er

1

x

e er

2

x

Um exerc´ıcio simples mostra que

∀ x ∈ R

W [er x , er x ] = (r2 1

2

(r1 +r2 )x

− r )e 1

= 0.

Sendo assim, a solu¸caõ geral da equa¸caõ é y(x) = c 1er

1

x

+ c2 er

2

x

20 caso:

A equa¸caõ caracter´ıstica r2 + pr + q = 0 tem duas ra´ızes reais iguais: r1 = r 2 = r. Em princ´ıpio, temos apenas uma solu¸caõ ϕ1(x) = e rx 173

CEDERJ



Precisamos encontrar uma outra solu¸caõ ϕ2 (x), que seja linearmente independente de ϕ1. Podemos aplicar diretamente a f´ ormula desenvolvida na se¸caõ anterior e calcular diretamente ϕ2 (x) = xerx como uma segunda solu¸caõ. Mas, vamos repetir uma parte do racioc´ınio, para fixar: Procurando uma segunda solu¸caõ da forma ϕ2 (x) = u(x)erx , sabemos que v = u deve satisfazer ′

′

′

ϕ1 v + (2ϕ1 + pϕ1)v = 0 ou seja erx v + (2re rx + perx )v = 0 ′

Como r = p/2 ent˜ ao p =

−

−2r e a expressão entre parênteses se reduz a 2re + (−2r)e = 0 rx

rx

Portanto a equa¸ca˜ o de 1a ordem para v fica ′

v =0 De onde v = cte. Escolhendo a constante como sendo 1 Assim u = v = 1. De modo que ′

u(x) = x Então u(x) = x de modo que ϕ2(x) = xerx



A solu¸caõ geral da equa¸caõ (13.5) é y(x) = (c1 + xc2 )erx Resta ainda a examinar o 30 caso: CEDERJ

174

´ M ODULO 2 -

AULA 13


A equa¸caõ caracter´ıstica r 2 + pr + q = 0 tem duas ra´ızes complexas conjugadas r1 = a + bi, r2 = a bi, sendo b = 0.

−



Nestas condi¸co˜es é poss´ıvel mostrar 7 que a equa¸caõ caracter´ıstica pode ser reescrita como r 2 2ar + (a2 + b2 ) = 0.

−

Afirmamos que as fun¸co˜es ϕ1(x) = e axcos bx e ϕ2 (x) = e ax sen bx são solu¸co˜es linearmente independentes da equa¸caõ y

′′

2

′

− 2ay + (a

+ b2 )y = 0,

b=0



Provemos apenas que ϕ 1 é solu¸caõ. A verifica¸caõ de que ϕ 2 é solu¸caõ é completamente an´ aloga.Tem-se: ϕ1 (x) = a eax cos bx ′

ϕ1 (x) = a2 eax cos bx ′′

− ab e

ax

ax

− b e sen bx sen bx − ab e sen bx − b e ax

2 ax

cos bx

Substituindo na equa¸caõ, a2 eax cos bx

− ab e

ax

ax

sen bx

+2ab eax

2 ax

2 ax

− ab e sen bx − b e cos bx − 2a e sen bx − (a + b )e cos bx = 0 2

2

cos bx+

ax

o que mostra que ϕ 1 é solu¸caõ. Para mostrar que ϕ1 e ϕ2 são linearmente independentes observamos que W [ϕ1 (x), ϕ2 (x)] =

−be

ax

que é diferente de zero, j´ a que b = 0.



Portanto a solu¸caõ geral de y

′′

2

− 2ay + (a ′

+ b2)y = 0,

b = 0 é



y(x) = c 1eax cos bx + c2 eax sen bx. Resumo Geral Para resolver a equa¸cao ˜ diferencial linear homogênea de segunda ordem ′′

′

y + py + qy = 0,

p, q, constantes

7 Seja f (x)

∈ R[x] um polinômio de grau ≥ 1, e seja β ∈ C − R (i.é β = β ). Então p(β ) = 0 ⇐⇒ x 2 − (β + β )x + ββ ∈ R[x] divide f (x). Se gr[f (x)] = 2 então f (x) = x 2 − (β + β )x + ββ . 175

CEDERJ



primeiro encontramos as ra´ızes r 1 , r2 da equa¸c˜ ao auxiliar (ou caracter´ıstica) r 2 + pr + q = 0. A seguir, a solu¸c˜ ao geral da equa¸c˜ ao dada pode ser expressa em termos de r1 e r2 como se segue: r1, r2

Solu¸c˜ ao Geral

Reais , r1 = r 2

y(x) = c 1 er x + c2 er

Reais , r1 = r 2 = r

y(x) = (c1 + c2x) erx



1

Complexos , r1 = a + bi r2 = a bi

2

x

y(x) = e ax (c1 cos bx + c2 sen bx)

−

Exemplo 13.5 Encontre uma equa¸cão diferencial linear com coeficientes constantes cuja solu¸cão geral seja c1 sen 3x + c2 cos 3x õ procurada. Solu¸ cao: ˜ Seja y ′′ + py ′ + qy = 0 a equa¸ca sen 3x é solu¸caõ

⇐⇒ −9 sen 3x + p3 cos 3x + q sen 3x = 0 ⇐⇒ (q − 9) sen 3x + 3 p cos 3x = 0

A equa¸caõ (q 9) sen 3x + 3 p cos 3x = 0 é uma combina¸cão linear nula de duas solu¸co˜es linearmente independentes.

−

Devemos ter q

− 9 = 0 e 3 p = 0

Da´ı p = 0, q = 9 e a equa¸cão procurada é y ′′ + 9y = 0 Exemplo 13.6 Encontre uma equa¸cão diferencial linear com coeficientes constantes cuja solu¸cão geral seja c1 + c2 xex õ procurada. Solu¸ cao: ˜ Seja y ′′ + py ′ + qy = 0 a equa¸ca ex é solu¸cão

⇐⇒ ⇐⇒

ex + pex + qe x = 0 ( p + q + 1)ex = 0

Da´ı podemos concluir apenas que p + q + 1 = 0.

CEDERJ

176

´ M ODULO 2 -

AULA 13


Usando a outra solu¸caõ xe x temos: xex é solu¸cão

⇐⇒ ⇐⇒

2ex + xex + pex + pxex + qxe x = 0 = 0 (1 + p + q )xex + (2 + p)ex = 0

A equa¸caõ (1 + p + q )xex + (2 + p)ex = 0 é uma combina¸caõ linear nula de duas solu¸co˜es linearmente independentes. Devemos ter 1 + p + q = 0 e 2 + p = 0 Da´ı p =

−2 e q = 1 e a equa¸cão procurada é

y ′′

− 2y′ + y = 0

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 13.1 Encontre a solu¸caõ geral de cada uma das equa¸cões, sendo dada uma solu¸cão: 1) y ′′ + x1 y ′ = 0;

y1 (x) = 1

− (x + 2)y′ + 2y = 0;

2)xy ′′

− y′ = 0;

3) xy ′′

y1 (x) = e x

y1 (x) = 1

4)xy ′′ + (x + 2)y ′ + y = 0;

y1 (x) = 1/x

5) 4x2 y ′′

y1 (x) = x 3/2

− 8xy′ + 9y = 0;

6)xy ′′ + (x

− 1)y′ − y = 0;

y1 (x) = e −x

Respostas: 1) (y(x) = c 1 + c2 ln x; 2)y(x) = c 1 ex + c2 (x2 + 2x + 2) 3) c 1 + c2 x2 /2; 4) y (x) = c 1 /x + c2 e−x /x; 5) c 1 x3/2 + c2 ln(x)x3/2 ; 6) y (x) = c 1 e−x + c2 (x

− 1).

Exerc´ıcio 13.2 Encontre a solu¸caõ geral de cada uma das seguintes equa¸cões diferenciais: 1.) y ′′ + y ′ 4.) y ′′

− 2y = 0

− 2y′ = 0

7.) y ′′ + 4y ′ + 8y = 0

2.) 3y ′′

− 5y′ + 2y = 0

5.) y ′′ + 2y = 0

− 15y = 0

6.) 3y ′′ + 2y = 0

− 2y′ + 2y = 0 √ 11.) y ′′ + 2y ′ + 4y = 0 12.) 2y ′′ − 2 2y ′ + y = 0 8.) 4y ′′

− 4y′ + 3y = 0

3.) 8y ′′ + 14y ′

9.) y ′′

− 12y′ + 4y = 0 √ 13.) 2y ′′ − 5 3y ′ + 6y = 0 14.) 9y ′′ + 6y ′ + y = 0 15.) 64y ′′ − 48y ′ + 17y = 0. 10.) 9y ′′

Respostas: 1.) y(x) = c 1 e−2x + c2 ex ; 2.) y(x) = c 1 e(2/3)x + c2 ex ; 3.)y(x) = c1 e(−5/2)x + c2 e(3/4)x

177

CEDERJ



√

√

√ √

4.) y(x) = c 1 + c2e2x ; 5.) y(x) = c 1 sen( 2 x) + c2 cos( 2x); 6.) y(x) = c 1 sen( 6/3)x + c2 cos( 6/3)x; 7.) y(x) = c1 e−2x sen(2x) + c 2 cos(2x); 8.) y(x) = c1 ex/2sen( 2/2)x + (2x/3) ; 11.)y(x) = c2 ex/2 cos( 2/2x); 9.) y(x) = c 1 ex sen(x) + c2 ex cos(x); 10.)(c √ √ 1 + c2 x)e √ x /2x c1 e−√ sen( 3x)+c2 e−x cos( 3x); 12.)y(x) = c 1 e 2/2x +c2 xe 2/2x√ ; 13.) y(x) = c1 e 3√ + c2 e2 3x ; 14.)y(x) = c 1 e−1/3x +c2 xe−1/3x 15.)y(x) = c 1 e(3/8)x sen( 42 x)+c2 e(3/8)x cos( 42 x)

√

√ √

√

Exerc´ıcio 13.3 Encontre as solu¸co˜es dos problemas de valor inicial dados: 16.) 2y ′′

− y′ − 3y = 0; y(0) = 2, y′(0) = − 72

− 8y′ + 16y = 0; y(0) = 12 , y′(0) = − 13 .

17.) y ′′

− 12y′ + 9y = 0; y(0) = 1, y′(0) = 72 . √ 19.) y ′′ + 2y = 0; y(0) = 2, y ′ (0) = 2 2 18.) 4y ′′

20.) 4y ′′

− 4y′ + 5y = 0; y(0) = 12 , y′(0) = 1.

Respostas:

− 57 e(3/2)x+ 57 e−x; 17.)y(x) = 12 e4x− 73 xe4x; 18.)y(x) = e4x− 12 xe4x; 19.)y(x) = √ √ 2sen( 2x) + 2cos( 2x); 20.)y(x) = 3 ex/2 sen(x) + 1 ex/2 cos(x) 16.)y(x) =

4

2

Exerc´ıcio 13.4 Encontre uma equa¸caõ diferencial linear com coeficientes constantes cuja solu¸caõ geral seja: (a) (c1 + c2 x)e−3x (b) c 1 ex sen 2x + c2 ex cos 2x (c) (c1 + c2 x)e−2x (d) c 1 e−x + c2 e−3x

Respostas: (a)y ′′ + 6y ′ + 9y = 0; (b)y ′′

− 2y′ + 5y = 0; (c)y′′ + 4y′ = 4y = 0; (d)y′′ = 4y′ + 3y = 0

Resumo

Nesta aula

• aprendemos como construir a solu¸caõ geral de uma equa¸caõ diferencial CEDERJ

178

´ M ODULO 2 -

AULA 13


linear de segunda ordem, normal , com coeficientes cont´ınuos, pelo método de redu¸cão de ordem , desde que fosse conhecida previamente uma solu¸caõ

• aprendemos a construir a solu¸caõ geral de qualquer equa¸caõ diferencial de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes.

Avalia¸ c˜ ao

Nesta aula utilizamos todo o aparato te´ orico constru´ıdo nas duas u ´ ltimas aulas anteriores , e resolvemos efetivamente a quest˜ ao de obter solu¸co˜es de equa¸co˜es diferenciais lineares, normais, homogêneas, em dois casos muito freq¨ uentes tanto nas aplica¸co˜es quanto na teoria de equa¸co˜es de segunda ordem. Na pr´ oxima aula, vamos continuar na mesma linha de aplica¸caõ dos resultados te´ oricos vistos nas aulas 12 e 13, ampliando nosso “arsenal” de técnicas de obten¸caõ de solu¸cões de modo a poder resolver equa¸caõ diferenciais de segunda ordem normais n˜ ao-homogêneas. Até l´ a!

179

CEDERJ

´ M ODULO 2 -

AULA 14

Equa¸coes ˜ n˜ ao-homogêneas de segunda ordem

Aula 14 – Equa¸co ˜es n˜ ao-homogˆ eneas de segunda ordem

Objetivo Ao terminar de estudar esta aula, você estar´ a apto a obter solu¸co˜es de equa¸co˜es diferenciais lineares de segunda ordem, normais, não-homogêneas, em duas situa¸co˜es importantes: 1) - quando é conhecida a solu¸caõ geral de uma equa¸caõ homogênea deduzida da equa¸caõ não-homogênea, utilizando o método da varia¸ caõ dos parâmetros 2) - quando a equa¸caõ não-homogênea tem coeficientes constantes, utilizando o método dos coeficientes a determinar (` as vezes chamado de método da tentativa criteriosa)

Equa¸ c˜ oes n˜ ao-homogêneas Nesta aula estudaremos as equa¸co˜es diferenciais lineares de ordem dois não-homogêneas ′′

′

a2 (x)y + a1 (x)y + a0 (x)y = g(x),

(14.1)

Na linguagem de operadores, a equa¸caõ se escreve a2 (x)D2 y + a1(x)Dy + a0(x)y = g(x) Lembramos que os coeficientes a i (x), 0 ≤ i ≤ 2 e a fun¸caõ g(x) são fun¸co˜es cont´ınuas definidas em um intervalo I , e que a2 (x) =  0 em todos os pontos de I . Iniciamos esta aula com algumas observa¸co˜es/defini¸co˜es simples: • Uma solu¸caõ da equa¸caõ não-homogênea (14.1) é uma fun¸caõ ϕ pertencente ao espa¸co C 2 (I ) tal que para todo x ∈ I , a2 (x)ϕ (x) + a1 (x)ϕ (x) + a0 (x)ϕ(x) = g(x). ′′

′

ao é mais um subespa¸co • O conjunto das solu¸co˜es da equa¸caõ (14.1) n˜ vetorial de C 2 (I ) 181

CEDERJ



• A equa¸caõ (14.1) é equivalente a` equa¸caõ ′′

′

y + p(x)y + q (x)y = h(x),

(14.2)

chamada de forma normalizada da equa¸caõ (14.1). Aqui, evidentemente, ( p(x) = a 1 (x)/a2 (x), q (x) = a 0 (x)/a2 (x), h(x) = g(x)/a2(x)

ao homogˆ enea associada a` equa¸caõ (14.2) como sendo • A equa¸c˜ ′′

′

y + p(x)y + q (x)y = 0.

(14.3)

Teorema 14.1

Suponha que ϕ1(x) e ϕ2(x) são duas solu¸co˜es da equa¸caõ (14.2). Então ϕ1(x) − ϕ2 (x) é solu¸caõ da equa¸cão (14.3) Demonstra¸c˜ ao.

ϕ1 é solu¸caõ de(14.2)

⇐⇒ ϕ′′1 (x) + p(x)ϕ′1 (x) + q (x)ϕ1 (x) = h(x)

ϕ2 é solu¸caõ de (14.2) ⇐⇒ ϕ′′2 (x) + p(x)ϕ′2 (x) + q (x)ϕ2 (x) = h(x)

Subtraindo membro a membro, e usando da linearidade da derivada, podemos escrever (ϕ1 − ϕ2 )′′ (x) + p(x)(ϕ1 − ϕ2 )′ (x) + q (x)(ϕ1 − ϕ2 )(x) = h(x) − h(x) = 0, o que mostra que ϕ1 − ϕ2 é solu¸caõ da equa¸caõ (14.3).



Segue imediatamente do resultado acima que, se conhecermos uma solu¸caõ particular ϕ1 (x) da equa¸ca˜ o não homogênea, ent˜ ao para qualquer outra solu¸cão y(x) da não homogênea vale que y(x) − ϕ 1 (x) é solu¸ca˜ o da homogênea associada. Ora, se a solu¸c˜ ao geral da homogênea associada é yh(x) = c 1 y1 (x) + c2 y2 (x) podemos garantir que, existir˜ ao constantes α1 e α2 tais que y(x) − ϕ1(x) = α 1 y1 (x) + α2 y2 (x) ou ainda CEDERJ

182

´ M ODULO 2 -

AULA 14


y(x) = ϕ 1 (x) + α1 y1 (x) + α2 y2 (x) Agora veja, a solu¸caõ y(x) considerada acima, foi absolutamente genérica. A conclus˜ ao vale para qualquer solu¸caõ y(x), o que pode mudar são as constantes , que denotaremos por c1 e c2. Ora, quem d´ a conta de todas as expressões c1 y1 (x)+c2y2(x) quando c1 e c2 variam arbitrariamente é justamente a solu¸caõ geral da equa¸cão homogênea associada. Conclu´ımos da´ı que A solu¸c˜ ao geral da equa¸c˜ ao n˜ ao- homogênea ′′

′

y + p(x)y + q (x)y = h(x). é obtida adicionando-se uma solu¸c˜ ao particular, ϕ1(x), dela a` solu¸c˜ ao geral da sua equa¸c˜ ao homogênea associada P Registre: A fórmula y(x) = c 1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ϕ1 (x)

(14.4)

expressa a solu¸c˜ ao geral da equa¸c˜ ao n˜ ao- homogênea (14.2) Exemplo 14.1 O objetivo deste exemplo é mostrar que a afirma¸ cã o de que a solu¸cao ˜ geral da n˜ aohomogênea é igual à soma da solu¸c˜ ao geral da homogˆ enea associada com uma solu¸cao ˜ particular da n˜ ao-homogênea , j´ a era verdadeira para as equa¸co˜es lineares de primeira 8 ordem . i) A fun¸ cão y p (x) = e

−  p(x) dx   p(x) dx e

q (x) dx



(I )

é uma solu¸cao ˜ particular da equa¸cão não homogênea.de 1a ordem y ′ + p(x)y = q (x). Demonstra¸c˜ ao. : De fato,

y p′ (x)

= =

−  p(x) dx    p(x) dx  − p(x) · e · e q (x) dx + q (x) − p(x)y p + q (x).

ii) A fun¸ cão

−  p(x) dx

yh = C e

(II )

é a solu¸caõ geral da homogênea associada: y ′ + p(x)y = 0. 8 e,

como você já deve estar desconfiado(a), vale para equa¸co˜es de ordem n qualquer

183

CEDERJ



Atividade 14.1 Demonstre a afirma¸caõ do item (ii) iii) Mostremos agora que y h (x) + y p (x) é solu¸caõ geral da equa¸cão linear não -homogênea:

yh (x) + y p (x)

=

=

−  p(x) dx −  p(x) dx    p(x) dx  Ce + e · e q (x) dx −  p(x) dx    p(x) dx  e · e q (x) dx + C

Portanto y h (x) + y p (x) coincide com a solu¸cão geral que conhecemos, desde a Aula 3, para a equa¸caõ linear de primeira ordem não-homogênea. Dizendo de outro modo, a solu¸cão geral da equa¸cão linear de primeira ordem nãohomogênea é da forma yh (x) + y p (x), como quer´ıamos demonstrar



Encaminhamento: A fórmula (14.4) indica o caminho para determinar a solu¸caõ geral de uma equa¸caõ diferencial linear de segunda ordem, n˜ aohomogênea . Precisamos resolver dois problemas: 10 ) - calcular a solu¸caõ geral da equa¸caõ homogênea associada 20 ) - obter uma solu¸caõ particular da equa¸caõ não -homogênea A obten¸caõ de solu¸co˜es gerais de homogêneas foi abordada na aula anterior. Veremos a seguir dois métodos de construir solu¸ cões particulares de equa¸co˜es não-homogêneas. O primeiro método, e o mais geral, é o da varia¸ caõ dos parˆ ametros, que se aplica a equa¸co˜es de coeficientes cont´ınuos. O outro método é o dos coeficientes a determinar, que entretanto se aplica somente a equa¸ cões de coeficientes constantes e cujos segundos membros s˜ ao fun¸co˜es de formas bem especiais 9.

9 se

CEDERJ

184

bem que muito freqüentes nas aplica¸cões


AULA ULA 14

Equa¸c˜ coes ˜ n˜ ao-hom ao- homogˆ ogêneas enea s de segund seg unda a ordem orde m

O m´ eto et o do da Varia¸c˜ c˜ ao ao dos do s Parâmetro ame tross (Lagr (L agrang ange) e)

Nota Hist´ orica orica O m´ etodo, etodo, que descre descreve verem remos os log logoo abaixo, lembra o da redu¸c˜ cão ao de ordem, mas a motiva¸c˜ cao aõ de Lagrange foi totalmente outra (e acabou roubando o nome de método etod o da varia¸c˜ cao ão das constantes). A inspira¸ inspira¸c˜ cao aõ de Lag Lagrang rangee prove proveio io iniinicialme cialment ntee do estudo estudo das equa¸ equa¸c˜ cões oes das trajet´ orias de planetas em torno do Sol. orias Um problema que surgiu logo após os a demonstra¸c˜ cao a˜ o de que as órbitas orbitas dos planetas eram elipses, tendo o Sol em um dos focos, foi o da estabilidade secular do eixo maior das órbitas orbitas planet´ planetarias: a´rias: Ser´ a que , com com o passar dos s´ eculos, eculos, o eixo maior das ´ orbitas el´ıpticas ıpticas n˜ ao iria ficando progressivamente maior, de modo que ap´ os algum tempo (um longo tempo talvez) os planetas viessem a se desgarrar da atra¸c˜ cao ˜ solar? Ao solar? Ao abordar este problema, Lagrange levou em considera¸c˜ cão ao as influências enci as

que um planet planetaa sofre sofre não ao somente do Sol, mas tamb´ em em dos outros planetas. E a´ı ele introduziu introd uziu o método etod o da d a varia¸ varia c˜ çao ão das constantes (que determinavam a posi¸c˜ cão ao de um planeta em sua órbita) orbita) permitindo coeficientes variáveis aveis nas equa¸c˜ cões oes do movimento dos planetas. Lagrange não ao resolveu completamente a questão ao (ninguém em resolveu até hoje), ho je), mas inventou um bocado de matemática atica nova que veio a ser muito empregada em outros contextos. Mais tarde ele generalizou o método etodo de varia¸c˜ cao aõ das constante constantess as a`s equa¸c˜ coes o˜es diferenciais ordinárias arias lineares lineares quaisque quaisquer. r. Lagrange foi um dos maiores matemáticos aticos do século eculo XVIII, XVII I, tendo contribu´ıdo ıdo de maneira maneir a profun profunda da em v´ arios arios ramos ramos da matem´ matem´ atica: atica: ´ Teori eoriaa dos dos N´ umeros, umeros, Geometria, Geometria, Algebra, Mecânic a nicaa e An´ Anális a lise. e. Algu Alguns ns dize dizem m que que o u unico ´ nico que rivalizava com ele em capacidade matem´ atica, atica, naquela época, epoca, era Euler. Bem . . . Gauss já estava bem ativo muitos anos antes de Lagrange falecer.

O método etodo da varia¸c˜ cão ao dos parâmetros ametros (que, em textos mais antigos, era chamado de método etodo da varia¸c˜ cao aõ das constantes) em uma apresenta¸c˜ cão ao moderna e elementar,no contexto de equa¸c˜ coes o˜es diferenciais lineares, consiste em buscar uma solu¸c˜ cao aõ particular da equa¸c˜ cao aõ não-homogˆ ao-homogênea enea (14.2) a partir da solu¸c˜ cao aõ geral de sua equa¸c˜ cão ao homogˆ hom ogênea enea assoass ociada (14.3). Se a solu¸c˜ cao aõ geral ger al (14.3) (14 .3) é yh (x) = c1 y1 (x)+c )+ c2 y2 (x) busca-se uma solu¸c˜ cao ão particular de (14.2) da forma y p (x) = c 1 (x)y1 (x) + c + c2 (x)y2 (x)

J.L. Lagrange 1736-1813

Um grande matem´ atico atico do s´ eculo ecul o XVI II. Fez contribui¸ c˜ coes o ˜es importantes em v´ arios arios campos da Matem´ atica. atica.

sendo c sendo c 1 (x) e c2 (x) fun¸c˜ coes o˜es a determinar. Substituindo y Substituindo y p e suas derivadas na equa¸c˜ cao aõ (14.2), e agrupando

10 :

c1 (a2 y1′′ + a1 y1′ + a + a0 y1 ) + c + c2 (a2 y2′′ + a1 y2′ + a + a0 y2 ) + (c ( c′1 y1 + c + c′2 y2 )′ + +a1 (c′1 y1 + c + c′2 y2) + (c ( c′1 y1′ + c + c′2 y2′ ) = h. 10 omitindo

a variável x avel x,, para simplificar.

185

CEDERJ



Como y1 e y2 s˜ ao ao solu¸c˜ cões oes da equa¸c˜ cao aõ homogênea, enea, os dois primeiros primeir os parênteses enteses do lado esquerdo da igualdade acima são ao nulos, e ficamos com: (c′1 y1 + c + c′2 y2 )′ + a + a1 (c′1 y1 + c + c′2 y2 ) + (c ( c′1 y1′ + c + c′2 y2′ ) = h. Esta identidade será satisfeita se c se c 1 e c 2 puderem ser escolhidos de tal forma que c′1 (x)y1 (x) + c + c′2 (x)y2 (x) = c′1 (x)y1′ (x) + c + c′2 (x)y2′ (x)

0,

= h(x).

(14.5)

(14.6)

para todo x todo x.. Para cada x cada x,, (14.5 - 14.6) formam um sistema de equa¸c˜ cões oes (algébricas) ebricas ) lineares li neares nas ′ ′ inc´ ognitas c ognitas c 1 (x) e c2 (x). O determinante dos coeficientes desse sistema é o determinante da matriz y1 (x) y2 (x)

 

y1′ (x)

y2′ (x)

 

que reconhecemos como o Wronskiano, W [ W [y1 (x), y2 (x)], das solu¸c˜ coes ões linearmente independentes y1 (x) e y 2 (x), da equa¸c˜ cao aõ homogênea enea associada asso ciada (14.3). Esse determinante é diferente de zero, e utilizando a regra de Cramer : c′1 (x) = −

h(x)y2 (x) , W [ W [y1 (x), y2 (x)]

c′2 (x) =

h(x)y1 (x) . W [ W [y1 (x), y2 (x)]

c2 (x) =



Da´ı , por po r integ i ntegra¸ ra¸c˜ cão, ao, c1 (x) = −



h(x)y2 (x) dx, W [ W [y1 (x), y2 (x)]

h(x)y1 (x) dx W [ W [y1 (x), y2 (x)]

Agora substitui-se c1 (x) e c 2 (x) na expressão ao da solu¸c˜ cao aõ particular y p (x) = c 1 (x)y1 (x) + c + c2 (x)y2 (x).

Exemplo 14.2 Achar a a solu¸c˜ cão ao geral de y ′′ + y + y = = tg tg x Solu¸c˜ c˜ ao: A solu¸c˜ cao ão geral da equa¸c˜ cao aõ homo ho mogˆ gênea en ea asso as socia ciada da é yh (x) = c 1 sen x + x + c c2 cos x. Temos entãao W o W [[sen sen x, cos cos x] x ] = −1, − 1, e a solu¸c˜ cao aõ particu par ticular lar é y p (x) = c 1 (x) sen x + x + c c2 (x) cos x, onde c1 (x) = −

CEDERJ

186

 tg x cos x −1

dx = dx = − −cos cos x,


AULA ULA 14


c2 (x) =

 tg x sen x

dx = dx = sen sen x − ln( ln(sec x + x + tg tg x)

−1

Assim, y p (x) = −cos − cos x sen x + x + [sen [sen x − ln( ln(sec x + x + tg tg x)] cos )] cos x = x = − −cos cos x ln

 1 + sen  + sen x cos x

A solu¸c˜ cao aõ geral de y de y ′′ + y + y = = tg tg x é y (x) = c 1 sen x + x + c c2 cos x − cos x ln

 1 + sen  + sen x cos x

Exemplo 14.3 Achar a a solu¸c˜ cão ao geral de y ′′ − 5y ′ + 6y 6 y = e = e x Solu¸c˜ c˜ ao: A solu¸c˜ cao ão geral da equa¸c˜ cao aõ homo ho mogˆ gênea en ea asso as socia ciada da é yh (x) = c 1 e2x + c2 e3x . Temos então W ao W [( [(ee2x , e3x ] = e 5x , e a solu¸c˜ cão ao partic par ticula ularr é y p (x) = c 1 (x) e2x + c2 (x) e 3x , onde

x 3x

c1 (x) = −

 e e

e5x

x 2x

c2 (x) =

 e e

e5x

dx = dx = e e −x ,

1 dx = dx = − − e−2x ) 2

Assim,

1 1 y p (x) = e −x e2x − e−2x e3x = ex 2 2 ′′ ′ x E a solu¸c˜ cão ao geral de y de y − 5y + 6y 6 y = e = e é 1 y (x) = c 1 e2x + c2 e3x + ex 2

O m´ etodo etodo dos coeficientes a determinar Este método etodo permite determinar uma solu¸ c˜ cao aõ particular da equa¸c˜ cao aõ de coeficientes constantes ′′

′

y + py + q = h = h((x),

p, q constantes, constantes ,

(14.7)

para certos tipos particulares de fun¸c˜ cões oes h(x). Co ment Come nt´ ´ ario ar io:: Apesar Apesa r de restrito, restri to, o método etod o é aplicável avel em um grande n´ umero umero de problemas concretos, e por essa razão ao vamos apresentá-lo a-lo aqui. Observa¸c˜ ao: As demonstra¸c˜ coes ões das proposi¸c˜ coes o˜es que seguem são ao em termos das propriedades dos operadores operadores diferenciais diferenciais de coeficientes coeficientes constantes, constantes, e ser˜ ao ao omitidas.

Resumimos a seguir os principais casos em que o método etodo é utilizado: 187

CEDERJ



Teorema 14.2

Se, na equa¸caõ (14.7) h(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn, então existe uma solu¸caõ particular da forma y p(x) = b0 + b1 x + · · · + bn xn , de mesmo grau que h(x) sendo b0 , b1 , · · · , bn coeficientes a determinar.

Exemplo 14.4 Determine uma solu¸caõ particular de y ′′ − 3y ′ + 2y = 2x + 1 Solu¸c˜ ao: Usando o teorema (14.2) procuramos uma solu¸cão particular da forma y p (x) = ax + b, polinˆ omio do mesmo grau que 2x + 1. ′ Então y p (x) = a e y p′′ = 0. Substituindo na equa¸ cão obtemos 0 − 3a + 2(ax + b) = 2x + 1, isto é 2ax + 2b − 3a = 2x + 1. Igualando os coeficientes das potências de x, calcula-se a = 1 e b = 2 Portanto a solu¸cão particular é y p (x) = x + 2

onio que ocorre como termo independente no Obs: Mesmo quando o polinˆ lado direito de (15.15) n˜ ao contém todas as potências de x,devemos procurar uma solu¸caõ particular da forma y p (x) = b 0 + b1 x + · · · + bn xn . Os cálculos indicarão se algum(uns) coeficiente(s) bi s devem ser nulos. Quando o lado direito é uma constante, devemos procurar uma solu¸ caõ particular constante ′

Exemplo 14.5 Determine uma solu¸caõ particular para y ′′ + 7y = x 2 Solu¸c˜ ao: Procuramos uma solu¸cão particular da forma y p (x) = ax 2 + bx + c, um polinˆ omio do segundo grau com todos os coeficientes, em princ´ıpio. Tem-se y p′ (x) = 2ax + b e y p′′ (x) = 2a. Substituindo na equa¸ caõ chega-se a 2a + 7 (ax2 + bx + c) = x 2 Igualando os coeficientes das potências de x dos dois lados, vem que 7a = 1, 7b = 0 e 2a + 7c = 0. Da´ı a = 1/7, b = 0 e c = −2/49 A solu¸caõ particular é y p (x) = 1/7x2 − 2/49.

CEDERJ

188

´ M ODULO 2 -

AULA 14


Teorema 14.3

Se, na equa¸caõ (14.7) h(x) = e αx , então existe uma solu¸caõ particular da forma y p(x) = b eαx sendo

b um coeficiente a determinar.

Exemplo 14.6 Calcule uma solu¸caõ particular para y ′′ + y ′ + y = e −2x Solu¸c˜ ao: Aplicando diretamente o teorema (14.3), procuramos uma solu¸ cão particular da − x 2 forma y p (x) = ae . Calculando as derivadas de y p (x) até a segunda ordem e substituindo na equa¸cão, obtemos 4ae−2x − 2ae−2x + ae−2x = e −2x Da´ı 3a = 1 e a solu¸cão particular é y p (x) =

1 −2x e 3

Teorema 14.4

Se, na equa¸caõ (14.7) h(x) = cos β x ou h(x) = sen βx, então existe uma solu¸caõ particular da forma y p (x) = b 1 cos βx + b2 sen βx sendo

b1 e b2 um coeficientes a determinar.

189

CEDERJ



Atividade 14.2 Calcule uma solu¸caõ particular da equa¸caõ 3y − y = 2 cos x ′′

Resposta: y p (x) = cão (15.15) n˜ ao precisa conter obriObs.: Note que o lado direito da equa¸ gatoriamente as duas parcelas cos βx e sen βx. Basta a ocorrência de uma delas para que procuremos uma solu¸caõ particular da forma y p (x) = b1 cos βx + b2 sen βx Teorema 14.5

Se, na equa¸caõ (14.7) h(x) = (a0 + a 1 x + · · · + a n xn)eαx cos β x ou g(x) = (a0 + a 1 x + · · · + a n xn)eαx sen βx, então existe uma solu¸caõ particular da forma y p(x) = (b0 + b1 x + · · · + bn xn )eαx cos β x + + (c0 + c1 x + · · · + cn xn )eαx sen β x sendo

b0 , · · · , bn , c0 , · · · , cn coeficientes a determinar.

Exemplo 14.7 A forma de uma solu¸caõ particular de 2y ′′ − y ′ + 5y = x e2x sen x é y p (x) = (b0 + b1 x) e 2x cos x + (c0 + c1 x) e2x sen x onde b 0 , b1 , c0 , c1 são coeficientes a determinar.

Aten¸c˜ ao !!!: Se algum termo na express˜ ao de y p (x) for solu¸caõ da homogênea associada , propõe-se xy p (x) para solu¸caõ particular. Caso algum termo de xy p (x) seja solu¸caõ da homogênea associada ent˜ ao a solu¸caõ particular bus2 cada é x y p(x). Exemplo 14.8 Calcule a solu¸cão geral de (D2 − 4)y = −e2x Solu¸c˜ ao: Aplicando o teorema (14.3), procuramos uma solu¸cão particular da forma y p (x) = ae 2x Calculando as derivadas desta y p e substituindo na equa¸caõ diferencial, chega-se a 4ae2x − 4ae2x = −e2x , de onde se conclui que 0 = -1, o que é um absurdo. Isso aconteceu porque −e2x é solu¸caõ da homogênea associada à equa¸caõ (D2 −4)y = −e2x .

CEDERJ

190

´ M ODULO 2 -

AULA 14


Experimentamos então y p (x) = xae 2x . Neste caso y p′ (x) = ae2x + 2axe2x e y p′′ (x) = 4ae2x + 4axe2x . Substituindo na equa¸caõ: 4ae2x + 4axe2x − 4axe2x = −e2x , e portanto a = −1/4. A solu¸caõ particular é y p (x) = −1/4 x e2x

Atividade 14.3 Calcule uma solu¸caõ particular das equa¸co˜es abaixo pelo método dos coeficientes a determinar: a) y = 1

b)y + 3y = 1

′

′

Aten¸cão !!!: Outros tipos de fun¸cões h(x) aos quais o método se aplica podem ser obtidos como conseq¨ uência do seguinte fato: “ Se y p (x) e y˜ p (x) são solu¸co˜es respectivamente das equa¸co˜es ′′

′

y + py + qy = g 1 (x)

′′

′

e y + py + qy = g 2 (x)

então c1 y p (x) + c2 y˜ p(x) é solu¸caõ particular de ′′

′

y + py + qy = c 1g1(x) + c2g2(x). Exemplo 14.9 A equa¸caõ diferencial y ′′ + y ′ − 2y = e x − x cos x tem uma solu¸caõ particular da forma y p (x) = ke x + (b0 + b1 x) cos x + (c0 + c1 x) sen x, pois y ′′ + y ′ − 2y = e x

tem uma solu¸cão particular da forma

kex

e y ′′ + y ′ − 2y = −x cos x tem uma solu¸ cão particular da forma (b0 + b1 x) cos x + (c0 + c1 x) sen x Exemplo 14.10 Encontre uma equa¸cão diferencial linear com coeficientes constantes cuja solu¸cão geral seja (c1 + c2 x)e−3x + x Solu¸c˜ ao: Sabemos que a solu¸cão geral de uma equa¸caõ diferencial linear não-homogênea é a soma da solu¸caõ geral da equa¸cão diferencial linear homogênea associada com uma solu¸cão particular da própria equa¸cão não-homogênea. Examinando a forma da solu¸caõ geral proposta: (c1 + c2 x)e−3x + x, somos levados a dividir o problema em duas partes: 1 - Determinar uma equa¸caõ diferencial linear homogênea - digamos L(y) = 0 - cuja solu¸cão geral seja (c1 + c2 x)e−3x .

191

CEDERJ



2 - Calcular uma fun¸caõ h(x) de tal modo que a f (x) = x seja uma solu¸caõ particular de L(y) = h(x). Vejamos como funciona: Na aula anterior, aprendemos a calcular equa¸cões diferenciais lineares homogêneas normais, de coeficientes constantes, a partir de suas solu¸c˜ oes gerais: Seja y ′′ + py ′ + qy = 0 a equa¸cão procurada. A fun¸cão y2 (x) = xe−3x é solu¸caõ desta equa¸cão. Logo −6e−3x + 9 x e−3x + p (e−3x − 3x e−3x ) + q x e−3x = 0 ou seja (−9 + p)e−3x + (9 − 3 p + q )x e−3x = 0; e como e−3x e x e−3x são fun¸cões linearmente independentes, os coeficientes da combina¸cão linear nula acima devem ser todos iguais a zero. Então p − 9 = 0 e q − 3 p + 9 = 0. Isto é p = 9 e q = 18 e a equa¸cão homogênea cuja solu¸cão geral é (c1 + c2 x)e−3x é y ′′ + 9y ′ + 18y = 0 Agora a segunda etapa: determinar uma fun¸cão h(x) tal que y p (x) = x seja solu¸cão particular de y ′′ + 9y ′ + 18y = h(x). Substituindo x e suas derivadas na equa¸caõ acima, ficamos com 0 + 9 + 18 x = h(x) Assim h(x) = 18x + 9 e a solu¸caõ do problema é y ′′ + 9y ′ + 18y = 18x + 9.

Aten¸c˜ ao !!! Só aplique o método dos coeficientes a determinar nos casos em que ele é aplicável (Teoremas (14.2) a (14.7)), ou em casos que possam ser reduzidos a eles, como no Exemplo 15.10. O método não se aplica, por exemplo, a` equa¸cão L · y = ln(x), ou à equa¸caõ L · y = 1/x

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 14.1 Ache a solu¸caõ geral de cada uma das seguintes equa¸cões diferenciais: 2) y − y − 2y = e

3) 4y + 4y + y = xe2x

4) y + 3y − 4y = x 2 ex

′′

′′

′′

192

′′

′

5) y + 4y + 4y = xe CEDERJ

x

1) y + y = 1/cos x

′

x/2

−

′′

′

′

6) y + 4y = e 2x /2 ′′

−

sen x.

´ M ODULO 2 -

AULA 14


Respostas: 1) y(x) = c 1 cos(x) + c2 sen(x) + x sen(x)ln[cos(x)]cos(x) 3) y(x) = c 1 e−x/2 + c2 x e−x/2 + 5) y(x) = c 1 e−2x + c2 x e−2x +

1 (−4 + 5x)e2x 53

1 (−16 + 12x)e−x/2 27

2) y (x) = c 1 e2x + c2 e−x +

1 [3 cos(x) 10

4)y(x) = c1 ex + c2 e−4x +

1 [25x3 375

6) y (x) = c 1 cos(2x) + c2 sen(2x) +

− sen(x)]e−x

− 15x2 + 6x]ex 1 2x e 16

Exerc´ıcio 14.2 Para cada uma das equa¸co˜es abaixo, comprove que a express˜ ao dada é a solu¸caõ geral da equa¸caõ homogênea associada e, a seguir, encontre uma solu¸caõ particular da equa¸caõ: Obs: As equa¸co˜es são de coeficientes variáveis. Portanto o método dos coeficientes a determinar n˜ ao se aplica . 1) x 2 y ′′ − 2xy ′ + 2y = x 3 ln x,x > 0

yh = c 1 x + c2 x2

2) x 2 y ′′ − xy′ + y = x(x + 1)

yh = (c1 + c2 ln |x|)x

2

3) xy ′′ − (1 + 2x2 )y ′ = x 5 ex

yh = c 1 + c2 ex

4) (1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ = 2x

yh = c 1 + c2 ln

Respostas: 1) y p (x) = 14 x3 [2 ln(x) − 3] 3) y p (x) = e

x2



x4 8

−

x2 4

+

1 4



2

 1 + x  1−x

2) y p (x) = x 2 + 12 x ln2 (x)

  4) y (x) = −x = log x+1 x−1

p

Exerc´ıcio 14.3 Use o m´ etodo dos coeficientes a determinar, para encontrar uma solu¸ cão particular para cada uma das seguintes equa¸ co˜es. Em seguida determine a solu¸caõ geral da equa¸caõ: 1) y + y = 3ex 2) y + 2y = 2x + 3ex 3) y − y = sen x 4) y + y = 3 cos x 5) y + 4y + 2y = xe 2x 6) y + y − 6y = 6(x + 1) ′′

′

′′

′′

′

′

′′

′′

′′

′

−

′

Respostas: 1) y p (x) = 32 ex , y(x) = c 1 + c2 e−x + 32 ex 2) y p (x) = 12 x2 − 12 x , y(x) = c 1 + c2 e−2x + 12 (x2 − x) 3) y p (x) = − se n(x) 12 cos(x) , y (x) = c 1 + c2 ex − se n(x) 12 cos(x) 4) y p (x) = 32 cos(x) + 32 x sen(x) , y(x) = c1 cos(x) + c2 sen(x) + 32 cos(x) + 32 x sen(x)

√

5) y p (x) = − 12 e−2x , y (x) = c 1 e−(2+

2)x

√

+ c2 e(−2+

2)x

− 12 e−2x

193

CEDERJ


2) y p (x) = −x −


7 6

, y (x) = c 1 e2x + c2 e−3x − x −

7 6

Resumo Nesta aula aprendemos a calcular solu¸co˜es gerais de equa¸cões diferenciais lineares de segunda ordem normais segundo dois métodos • O método da varia¸caõ dos parˆ ametros • O método dos coeficientes a determinar - O primeiro método pressup˜ o e que a solu¸caõ geral da equa¸caõ homogênea associada seja conhecida - O segundo método s´ o se aplica a equa¸cões de coeficientes constantes, e quando as fun¸co˜es no segundo membro da equa¸caõ diferencial s˜ ao de alguns tipos especiais.

Avalia¸c˜ ao Esta foi mais uma aula em que exploramos os resultados apresentados nas aulas de n´ umeros 11 a 13. O método da varia¸cão dos parˆ ametros é mais geral do que o dos coeficientes a determinar. Uma desvantagem desse método é que não dispomos de um procedimento geral para calcular a solu¸caõ geral da equa¸caõ homogênea associada quando os coeficientes s˜ ao fun¸cões apenas cont´ınuas, ou mesmo de classe C k . Já com rela¸caõ às equa¸co˜es de segunda ordem com coeficientes constantes, sabemos como calcular a solu¸cão geral da homogênea associada em qualquer caso. Mas a fun¸caõ que ocorre no segundo membro tem de pertencer a um grupo bem seleto. Apesar disso, um grande de modelos matem´ aticos recai em equa¸co˜es com coeficientes constantes a`s quais o método de coeficientes a determinar se aplica.

CEDERJ

194

´ M ODULO 2 -

AULA 15

Aplica¸c˜ oes de equa¸coes ˜ diferenciais lineares de segunda ordem

Aula 15 – Aplica¸ c˜ oes de equa¸ c˜ oes diferenciais lineares de segunda ordem

Objetivo

Ao final desta aula, você ter´ a estudado alguns modelos matem´ aticos de fenômenos f´ısicos importantes, envolvendo equa¸co˜es diferenciais lineares de segunda ordem. Introdu¸ c˜ ao - As Leis do Movimento de Newton

Boa parte desta aula é relacionada com as leis de movimento de Newton. Você conhece estas leis desde a escola de segundo grau, e as reviu e estudou com mais profundidade nos cursos de F´ısica. Vamos record´ a-las: Primeira Lei de Newton Um corpo permanece em repouso ou com velocidade

constante (acelera¸caõ zero) quando n˜ ao est´ a submetido a` a¸caõ de for¸cas externas, isto é,

−→a = 0

quando

→ −F = 0

Segunda Lei de Newton A resultante das for¸cas que atuam sobre um corpo é

igual ao produto da massa do corpo pela sua acelera¸caõ, isto é,

−→F = M −→a

Sir Isaac Newton 1643-1727

Um dos maiores de todos os tempos. Um dos “pais” do C´ alculo. Suas obras em Matem´ atica e F´ısica se tornaram verdadeiras pedras angulares, influenciando profundamente os desenvolvimentos posteriores nesses campos.

−→ −→ o primeiro corpo exerce sobre o segundo é igual e oposta a` for¸ca F que o

Terceira Lei de Newton Sempre que dois corpos interagem, a for¸ca F 12 que 21

segundo corpo exerce sobre o primeiro, isto é, co˜es inerentes à validade das Leis de Newton. Coment´ ario : Existem limita¸

As duas primeiras leis valem somente quando observadas em sistemas de referência inerciais (não acelerados). A terceira lei, em certos fenômenos de escala atômica, nem sempre é uma boa aproxima¸ca˜ o. N˜ ao vamos trabalhar com essas situa¸cões cr´ıticas, e vamos supor que as três leis são válidas.

195

CEDERJ



Observe que a equa¸caõ que exprime a segunda lei de Newton é uma equa¸cão diferencial de segunda ordem. Na forma geral, como enunciada acima, é uma equa¸caõ vetorial. Introduzindo eixos coordenados, poderemos substitu´ı-la por um sistema de três equa¸cões diferenciais ordinárias de segunda ordem, não necessariamente lineares.

 

F x = M ax F y = M ay F z = M az

(15.1)

−→

onde F x , F y , F z representam as componentes, segundo os eixos x,y,z, da resultante F das for¸cas que atuam sobre a massa . Semelhantemente, a x , ay , ax são as componentes da acelera¸cão a , segundo os eixos coordenados.

−→

−→

−→

Como sabemos, a é a derivada de segunda ordem do vetor posi¸cão r com rela¸cão ao tempo, isto é, d2 r . a = dt2

−→

Em termos de suas componentes o vetor

−→

d2 r = dt2



−→

−→

d2 r se escreve dt2

d2 rx d 2 ry d 2 rz , , dt2 dt2 dt2



,

−→

sendo, é claro, rx , ry e rz as componentes do vetor posi¸cão r , com rela¸cão aos eixos coordenados. Assim, o sistema (15.1) se reescreve como

  

d2 rx 2 dt 2 d rx F y = M dt2 d2 rx F z = M dt2

F x = M

(15.2)

Na próxima aula come¸caremos a estudar os sistemas de equa¸cões diferenciais. Mas só os lineares . Nesta aula, veremos alguns exemplos de movimentos unidimensionais envolvendo a segunda lei de Newton onde a expressão matem´ atica da segunda lei se reduz a F = M d2 r/dt2

(15.3)

onde estamos designando pela letra r a medida da posi¸caõ (relativamente a uma origem) do corpo de massa M , a for¸ca F é uma fun¸caõ de r. ao de movimento (15.3) precisamos conheUma observa¸ c˜ ao final : para resolver a equa¸c˜ cer (ou deduzir) a expressão da for¸ca F e “integrar” a equa¸cão (15.3), que é uma equa¸cão diferencial ordinária de segunda ordem. oes que ATENC ¸ ˜ AO!!! Neste curso, todos os modelos que vamos estudar envolvem equa¸c˜ são lineares.

Oscilador Harmˆ onico Simples

Vamos estudar alguns exemplos de objetos em movimento, que permanecem numa regi˜ ao restrita do espa¸co, oscilando (ou vibrando, sob a a¸caõ CEDERJ

196

´ M ODULO 2 -

AULA 15


de uma for¸ca restauradora , em torno de uma posi¸cão média (ou de equil´ıbrio). O modelo matemático para o movimento unidimensional de part´ıculas su jeitas a for¸cas restauradoras lineares é o oscilador harmˆ onico. Suponha que a posi¸caõ da part´ıcula no instante t é dada pela fun¸caõ x : R

→ R;

t

→ x(t)

e que a part´ıcula (de massa m) está sujeita a uma for¸ca que a atrai para uma posi¸caõ de equil´ıbrio (que vamos admitir que é a origem) com uma magnitude proporcional a` distância até essa posi¸caõ de equil´ıbrio,com constante de proporcionalidade k > 0, temos o seguinte esquema:

−→ F = −kx1

−→ F = −kx0

0

x1

x0

A segunda lei de Newton nos diz ent˜ ao que m¨ x = que é a equa¸caõ

11

−kx

do movimento do oscilador harmˆ onico simples (ou livre ).

Existem alguns tipos de movimento oscilat´ orio cujos modelos matemáticos são obtidos fazendo pequenas modifica¸co˜es no modelo do oscilador simples: Exemplo 15.1

Se o oscilador estiver submetido a uma for¸ca resistiva proporcional a` sua velocidade (p. ex. uma for¸ca de atrito) a resultante das for¸cas na equa¸caõ do movimento deve incluir a parcela referente a` for¸ca resistiva: m¨ x =

−kx − µx˙

que é a equa¸caõ do oscilador harmˆ onico amortecido. µ é a constante de atrito do meio em que a massa est´ a oscilando 11 Quando

se está derivando uma fun¸cão em rela¸caõ ao tempo muitas vezes a nota¸cão de derivada utiliza pontos sobre a fun¸cão.O n´ umero de pontos deve ser igual à ordem de deriva¸cão. De fato esta nota¸cão é empregada para derivadas de ordem baixa

197

CEDERJ



Exemplo 15.2

Quando,além da for¸ca restauradora, a part´ıcula est´ a submetida a uma for¸ca externa, (que vamos supor para simplificar s´ o depende do tempo), F = F (t), a equa¸caõ do movimento se escreve m¨ x =

−kx + F (t)

chamada de equa¸caõ do oscilador harmˆ onico for¸cado

Solu¸ c˜ ao da equa¸ c˜ ao diferencial do oscilador harmˆ onico simples

Escrevemos a equa¸caõ do oscilador sob a forma x ¨ + ω 2 x = 0 onde ω 2 = k/m. A solu¸caõ geral desta equa¸caõ é x(t) = c1 cos ωt+c2 sen ωt, onde c1 e c2 são constantes que podem ser determinadas sabendo-se a posi¸caõ inicial x(0) = x 0 e a velocidade inicial x(0) ˙ = v 0 . A solu¸caõ do PVI

 

é

x¨ + ω 2 x = 0 x(0) = x 0 x(0) ˙ = v 0

x(t) = x0 cos ωt +

v0 sen ωt ω

Atividade 15.1

1. Fa¸ca os cálculos e obtenha a solu¸caõ (15.4) 2. Escreva a solu¸ caõ x(t) sob a forma x(t) = A cos (ωt

− φ)

sendo A e φ constantes apropriadas. Sugest˜ ao : Multiplique e divida a expressão de x(t) por Solu¸c˜ ao:

CEDERJ

198

   x20 +

v0 ω

2

.

(15.4)

´ M ODULO 2 -

AULA 15


õ oscilador é bastante cômoda e u ´ til. Nota: Esta maneira de representar a solu¸ca A é chamado de amplitude do movimento. O per´ıodo da fun¸cão cosseno na expressão acima, T = 2π/ω é o per´ıodo do movimento , que representa o tempo necessário para uˆ encia do movimento , uma oscila¸caõ completa. O inverso do per´ıodo é chamado de freq¨ f = 1/T = ω/2π. A freq¨ uência mede o número de oscila¸cões por unidade de tempo. Finalmente, o ângulo φ é chamado de ˆ angulo de fase . Exemplo 15.3

Um modelo de oscilador harmônico simples: O Pêndulo Simples Um pêndulo simples consiste de uma part´ıcula de massa m (constante) fixada a` extremidade de uma haste sem peso (ou de um fio inextes´ıvel), sendo a outra extremidade presa a um ponto fixo. Consideremos apenas os movimentos do pêndulo nos quais o sistema se move num plano vertical definido. B

θ

T P

mg

O

Na figura acima B é o ponto fixo e P é a part´ıcula, afastada de sua posi¸caõ de equil´ıbrio O. P se move sob a influência de duas for¸cas: (1) o peso mg, e (2) a tensão T no fio. Sejam P B = l,

 OBP = θ;

então , o deslocamento da part´ıcula, medido ao longo do per´ımetro do arco circular de sua trajet´ oria, é s = lθ (lei “zero” da Trigonometria). A velocidade tangencial instantˆ anea correspondente é ldθ/dt . E a acelera¸ caõ tangencial correspondente é ld2 θ/dt2 .A for¸ca de retorno( que puxa a part´ıcula para a posi¸caõ de equil´ıbrio) é a componente tangencial da resultante das for¸cas que atuam na massa. A proje¸ cão da tensão na tangente é nula. A proje¸caõ do peso na dire¸caõ da tangente é mgsen θ.

−

199

CEDERJ



De acordo com a 2a lei de Newton temos mld2 θ = dt2

−mgsen θ(t)

Usamos agora o desenvolvimento em série de McLaurin sen θ = θ

−

θ 3 θ5 + 3 5

− · · ·

e observamos que , se nos restringimos a valores de θ suficientemente pequenos, senθ θ, de maneira que podemos desprezar os temos correspondenes às potências de θ maiores do que 1.

∼

Se consideramos s´ o o primeiro termo do desenvolvimento de sen θ, então a equa¸caõ de movimento toma a forma ml ou ainda

d2 θ = dt2

d2 θ = dt2 2

−ω θ,

−mg θ(t) g ω2 = . l

Exemplo 15.4

O aˆngulo que mede o afastamento da posi¸caõ de equil´ıbrio de uma massa m 2 ¨ kg presa a um fio de comprimento l metros satisfaz a` equa¸caõ θ + ω θ = 0. Calcule l, sabendo que ω 2 = 4. Calcule tamb´ em o per´ıodo do movimento. Considere g = 10m/s2 Solu¸c˜ ao: Como vimos ao estudar o modelo do pˆ endulo simples, ω = g/l, de modo que 4 = 10/l, de onde imediatamente l = 2, 5 metros.



E como o per´ıodo T é igual a 2π/ω, obtemos T = 2π/2 = π segundos. Estudo do Oscilador Harmˆ onico For¸ cado

Consideremos o problema das oscila¸cões de uma massa m presa a uma mola de constante k. Abandonado a si mesmo, o sistema massa-mola ficaria em equil´ıbrio numa posi¸caõ y0 unidades abaixo do comprimento da mola relaxada , conforme figura abaixo. Essa posi¸caõ de equil´ıbrio será adotada como a posi¸caõ inicial y = 0. Nessa posi¸caõ ocorre o equil´ıbrio de for¸ cas mg = ky 0 .

−

Em seguida, desloca-se a massa verticalmente para uma posi¸cão diferente de y = 0 (sem velocidade inicial) e aplica-se uma for¸ca externa h(t) vertical, de cima para baixo. Queremos estudar a evolu¸caõ do sistema com o tempo. CEDERJ

200

´ M ODULO 2 -

AULA 15


k(y + y0) y0 mg

m h(t)

y = 0

Acompanhando pela figura, podemos montar o problema de valor inicial que traduz a situa¸caõ. Temos: d2 m 2 (y + y0 ) = dt

−k(y + y ) + mg + h(t) 0

Além disso, y(0) = y 0,

y0′ = 0

Como na posi¸caõ de equil´ıbrio temos mg ky 0 = 0 ent˜ a o a equa¸cão do movimento se simplifica e podemos escrever que o problema de Cauchy correspondente a` situa¸cão f´ısica proposta é

−

 

m y ′′ + ky = h(t) y(0) = y 0 y ′ (0) = 0

Calculemos a solu¸caõ deste problema para uma “for¸ca externa” h(t) peri´ odica. Tomamos o modelo acima e aplica-se, no instante inicial uma for¸ca h(t) = A sen (ωt). O problema de Cauchy se torna

 

m y ′′ + ky = A sen (ωt) y(0) = y 0 y ′ (0) = 0

Fazendo k/m = ω 02, a equa¸caõ diferencial homogênea associada m y ′′ + ky = 0, se reescreve como y ′′ + ω02y = 0, a qual tem para solu¸cão geral yH (t) = C 1 cos (ω0 t) + C 2 sen (ω0t). 201

CEDERJ



Usando agora o m´ etodo dos coeficientes a determinar, procuramos uma solu¸caõ particular da forma B cos(ωt)+C sen(ωt). Substituindo na equa¸caõ, calculamos A sen(ωt) yP (t) = , ω02 ω 2

−

supondo naturalmente que ω0 = ω. Assim, a solu¸caõ geral da equa¸ca˜ o do movimento é



y(t) = y H (t) + yP (t) = C 1 cos (ω0 t) + C 2 sen (ω0 t) +

A sen(ωt) ω02 ω 2

−

Impondo as condi¸co˜es iniciais, calculamos C 1 = y 0

e C 2 =

− ω (ωAω− ω ) . 0

2 0

2

Portanto a solu¸caõ do problema é y(t) = y 0 cos (ω0 t)

− ω (ωAω− ω ) sen (ω t) + Aωsen(ωt) −ω , 0

2 0

2

0

2 0

2

(15.5)

desde que ω0 = ω.



Se escolhermos, por exemplo, y 0 = solu¸caõ é

−1, A = 2, ω = 2, ω = 1.5, o gráfico da 0

Observe que, apesar de bem complicado, o gráfico mostra que a solu¸caõ é peri´ odica, como era de se esperar, com uma amplitude bem definida. Para completar a an´ alise do modelo resta estudar como s˜ ao as solu¸co˜es no caso ω0 = ω, caso existam. ´ razo´ E avel adotar como solu¸ca˜ o, no caso ω0 = ω, o limite quando ω

→ ω das solu¸co˜es y (t) definidas por (15.5).Usaremos a regrade L’Hôpital.

CEDERJ

202

0

´ M ODULO 2 -

AULA 15


Temos: y(t) = y 0 cos (ω0 t) +

A ω0(ω02

− ω ) [−ωsen (ω t) + ω 0

2

0

sen(ωt)]

Da´ı

d [ ωsen (ω0 t) + ω0 sen(ωt)] dω lim y(t) = y 0 cos(ω0 t) + A lim . d ω →ω ω →ω 2 2 [ω0(ω0 ω )] dω

−

0

0

−

Isto é, lim y(t) = y 0 cos(ω0 t) + A lim ω →ω ω →ω 0

0

−sen ω t + ω t cos ωt , −2ω ω 0

0

0

o que nos d´ a, finalmente, y(t) = y 0 cos(ω0 t) + A

−sen ω t + ω t cos ω t −2ω 0

0 2 0

0

(15.6)

Obs: Intuitivamente, a solu¸cão (15.6), pode ser interpretada como a solu¸caõ obtida quando sintonizamos a freq¨ uência ω da for¸ca aplicada com a freqüência ω 0 interna de vibra¸cão do sistema (i.é, aquela freq¨ uência com que o sistema massa-mola vibraria, depois de deslocado da posi¸cão de equil´ıbrio, se não tivesse sido aplicada nenhuma for¸ca externa).

Vejamos como seria o gr´ afico da solu¸cão corrrespondente a` escolha de parâmetros y0 = 1, A = 2, ω0 = ω = 2:

−

A amplitude da solu¸caõ vai aumentando a` medida que o tempo passa. Eventualmente a amplitude alcan¸ca um valor tão grande que a mola n˜ ao tem mais como fazer o sistema retornar, ocorrendo uma ruptura. 203

CEDERJ



Este é um exemplo do fenˆ omeno da ressonˆ a ncia, que faz com que os engenheiros, ao projetar um sistema que possua vibra¸co˜es internas, (uma ponte por exemplo), o fa¸cam de tal modo que as eventuais freq¨ uências de for¸cas externas (imagine uma coluna de soldados marchando sobre a ponte) nunca entrem em sintonia de ressonˆ ancia. Seria um desastre! E por falar em desastre . . . Atividade 15.2

O caso da ponte do estreito de Tacoma: Em julho de 1940, a Ponte de Tacoma, no Estado de Washington, rompeu-se ao entrar em ressonˆ ancia com rajadas do vento que soprava periodicamente na regi˜ ao. Aqui, a for¸ca externa foi a for¸ca do vento. Atuando periodicamente sobre a ponte, com uma determinada freq¨ uência. Essa freqüência entrou em sintonia cm a freq¨ uência interna da ponte. Que freq¨ uência interna é essa? Fa¸ca uma pesquisa na Internet e procure mais informa¸cões sobre a ponte de Tacoma. Sugest˜ ao : Procure links em portuguˆ es. Existem às dezenas.

Circuitos el´ etricos

O fluxo de corrente em uma rede el´ etrica constitu´ıda de um n´ umero finito de circuitos fechados é governado pelas seguintes leis, conhecidas como leis de Kirchhoff 1a Lei de Kirchhoff A soma algébrica das correntes que entram e saem de

um nó qualquer da rede é zero. 2 a Lei de Kirchhoff A soma alg´ ebrica daos aumentos(ganhos) e das dimi-

nui¸co˜es (quedas) de tens˜ ao nos vários componentes elétricos de qualquer circuito fechado da rede é zero. Vamos nos limitar às redes constitu´ıdas de um uńico circuito formado por uma fonte de tens˜ ao V , uma resistência R, um capacitor de capacitˆ ancia C e uma indutˆ ancia L. As fórmulas que relacionam o fluxo de corrente i com a varia¸ca˜ o da tensão através de cada um destes componentes s˜ ao: V R = iR CEDERJ

204

para resistência,

´ M ODULO 2 -

AULA 15


di dt dV C i = C dt

V L = L

para indutˆ ancia, para a capacitˆ ancia.

Consideremos um circuito RLC simples ao qual se aplica uma tens˜ ao senoidal. Queremos determinar a intensidade da corrente elétrica que percorre o circuito em cada instante t. ao V (t) é senoidal,, se tem a seguinte forma Tens˜ oes senoidais Dizemos que a tens˜ V (t) = E cos(ωt + φ), sendo E , ω e φ n´ umeros reais. ametros E , ω e φ: Observa¸ c˜ ao Significados dos parˆ Conforme aprendemos no curso de Cálculo I, E é um fator que mede o valor máximo de V (t) .

|

|

Significado f´ısico de E

E é a amplitude m´ axima da tens˜ ao V (t)

Chamemos de T o per´ıodo da tens˜ ao, isto é o tempo m´ınimo necessário para a forma V (t) se repetir. Tem-se: V (t + T ) = V (t)

(15.7)

uˆ encia f da voltagem é o n´ A freq¨ umero de vezes que a forma V (t) se repete em cada unidade de tempo. A rela¸cão entre o per´ıodo e a freqüência é dada por

No de repeti¸cões 1 f Da´ı

1/f = T /1,

−→ −→

tempo T 1

e portanto f = 1/T.

Usando a equa¸caõ (15.7), podemos entender o significado f´ısico de ω . Tem-se V (t + T ) = V (t)

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

E cos [ω(t + T ) + φ] = E cos (ωt + φ) E cos (ωt + ωT + φ) = E cos (ωt + φ) ωT = 2kπ

k

∈ Z.

Como o per´ıodo T é o menor número positivo, tal que a forma de onda se repete após um tempo T , devemos escolher k = 1. Dessa forma T =

2π ω

e

2πf = ω.

E vemos que ω é uma medida da freq¨ ueˆncia com que a voltagem oscila (se repete)

Significado

φ é um parâmetro que dá a medida do quanto a tensão no instante t = 0 é diferente da tens˜ ao m´ axima E .

parˆ ametros ω e φ

f´ısico

Passemos ent˜ ao ao problema de determinar a corrente que percorre o circuito RLC quando aplicamos a tens˜ ao senoidal V (t) = E cos (ω + φ). 205

CEDERJ

dos



R

V (t)

i(t)

L

C

Usando a segunda lei de Kirchhoff, temos que a soma das quedas de di tensão na resistência (E R = iR), na indutância (E L = L ) e no capacitor dt (E C = i dt) é igual ao aumento de voltagem fornecido pela bateria (V = E cos(ωt + φ). Assim, a equa¸caõ integro-diferencial (i.é, equa¸cão envolvendo derivadas e primitivas de uma fun¸caõ desconhecida) é



1 di L + Ri + dt C



i dt = E cos(ωt + φ)

Derivando uma vez com respeito ao tempo obtemos a equa¸ cão (puramente) diferencial do modelo matem´ atico para o circuito: d2 i di i dV L 2 + R + = dt dt C dt Ou seja,

d2 i di i L 2 + R + = dt dt C

−Eω sen (ω

+ φ)

(15.8)

Sabemos que a solu¸caõ geral da equa¸caõ acima é formada pela soma da solu¸caõ geral da equa¸caõ homogênea associada d2 i di i =0 L 2 + R + dt dt C

(15.9)

Atividade 15.3 O Objetivo desta atividade é fazer parte da demonstra¸ca˜ o de que a solu¸cã o geral da equa¸caõ (15.9) sempre tende a zero quando t + , independente das condi¸co˜es iniciais.

→ ∞

(a) Calcule a equa¸caõ caracter´ıstica de (15.9) e suas ra´ızes: Solu¸c˜ ao:

(b) Sabemos que a solu¸caõ geral i h (t) de ( 15.9) assume diferentes formas de acordo com o sinal do n´ umero α = CEDERJ

206

R 2L

2

 −

1 . LC

´ M ODULO 2 -

AULA 15


Suponha α > 0. Observando que a solu¸caõ geral correspondente a este caso é R (− 2L −

ih (t) = c 1 e

√ α)

√ α)

R (− 2L +

+ c2 e

,

(15.10)

explique porque a primeira parcela de (15.10) sempre tende a zero quando t +

→ ∞

Solu¸c˜ ao:

−1

R2

< 0. Adicionando Prosseguindo, j´ a que L > 0, C > 0 então aos LC 4L2 dois lados, conclu´ımos que α < 2RL . Portanto 2RL + α < 0.

−

t

√

Você conclui ent˜ ao que a segunda parcela de (15.10) + .

quando

→ ∞

Conclus˜ ao geral

Se α > 0 então lim ih (t) = t→+∞

.

Nota: As demonstra¸cões de que ih (t) ficam como exerc´ıcio para você fazer.

→ 0 quando t → + ∞ para os casos α = 0 e α < 0

ao geral da equa¸caõ homogênea associada (15.9) é chamada de Coment´ ario : A solu¸c˜ solu¸ c˜ ao transit´ oria , e a corrente que persiste ao longo do tempo, é uma solu¸ca õ particular

da equa¸cão não-homogênea (15.8): L

d2 i di i +R + = 2 dt dt C

−Eω sen (ω

+ φ),

que é chamada às vezes de solu¸c˜ ao de estado permanente .

Passemos a calcular a solu¸caõ em estado permanente. Segundo o método de coeficientes a determinar, como o termo independente é Eω sen (ω + φ), procuramos uma solu¸cão particular da forma

−

i(t) = A cos (ωt + φ) + B sen (ωt + φ) onde A e B são constantes a determinar.

207

CEDERJ



Substituindo na equa¸caõ, obtemos L[ ω 2 A cos (ωt + φ1 )

−

ω 2 B sen (ωt + φ1)]

−

+ R [ ωA sen (ωt + φ1) + ωB cos (ωt + φ1 )] 1 + [A cos (ωt + φ1) + B sen (ωt + φ1)] C = Eω sen (ω + φ1 ).

−

−

Igualando os coeficientes correspondentes, obtemos

−ω LA + ωRB + C 1 A = 0 2

−ω LB − ωRA + C 1 B = −ωE 2

Resolvendo estas equa¸cões, obtemos A =

RE ; R2 + (ωL 1/ωC )2

(ωL 1/ωC )E R2 + (ωL 1/ωC )2

−

B=

−

−

de maneira que i(t) =

E [R cos (ωt + φ1 ) + (ωL R2 + (ωL 1/ωC )2

−

− 1/ωC )sen (ωt + φ )] 1

Observa¸ c˜ ao: A corrente i(t), em estado permanente, é dada por uma expressão da forma

A cos α + B sen α Multiplicando e dividindo (15.11) por



A2 + B 2

E como

A cos α + A2 + B 2

A A2 + B 2

(15.11)

√ A2 + B2 ,obtemos :

 √

 √

2

B sen α A2 + B 2

√

B A2 + B 2

  √ +





(15.12)

2

=1

podemos garantir que existe um ângulo θ tal que

√ A2A+ B 2 = cos θ

e

√ A2B+ B2 = sen θ

(15.13)

Das rela¸cões (15.13) deduz-se imediatamente que θ = arctg

B A



(15.14)

Substituindo as rela¸cões (15.13) em (15.12) chegamos a:





A2 + B 2 (cos θcos α + sen θsen α) = ( A2 + B 2 ) cos (α

CEDERJ

208

− θ)

(15.15)

´ M ODULO 2 -

AULA 15


sendo, obviamente θ = arctg

B . A



Podemos ent˜ ao reescrever i(t) sob a forma

i(t) =

E

 

R2 + ωL

1 − ωC



2



cos ωt + φ

− arctg



ωL

− 1/ωC R



(15.16)

que é da forma i(t) = Icos(ωt + ψ). Conclus˜ ao : A corrente (em estado permanente) correspondente a uma vol-

tagem senoidal é uma fun¸caõ senoidal, ou um sinal de Corrente Alternada (CA), de mesma freq¨ uência que a da tensão alimentadora, embora a amplitude e a fase inicial sejam diferentes. A corrente elétrica é uma fun¸ cão periódica. Ela se repete. Ela oscila. Exerc´ıcios Exerc´ ıcio 15.1

Uma massa presa a uma mola, é deslocada de 1 cm abaixo da posi¸caõ de equil´ıbrio, num meio com coeficiente de atrito µ = 5, de onde é abandonada com velocidade inicial 1 cm/seg. Determine o problema de valor inicial que governa o movimento harmônico amortecido da massa. A seguir, resolva o PVI. Respostas: y ′′ +5y ′ +4y = 0

y(0) = 1,

y ′ (0) = 1;

y(t) = (5/3)e−t (2/3)e−4t

−

Exerc´ ıcio 15.2

Complete a demonstra¸cão da atividade (11.3), mostrando que se α = então lim ih (t) = 0

2

 − R 2L

1 LC

≤ 0

t→+∞

Obs: Analise separadamente os casos α = 0 e α < 0 (pois as solu¸c˜ oes são de formas

diferentes nos dois casos) Sugest˜ ao : No caso α = 0 use a Regra de L’Hô pital. No outro caso, lembre que se

f (t) 0, quando t + e g(t) é limitada numa vizinhan¸ca de + , i.é, g(t) < M para todo t N , onde M > 0 e N > 0 s˜ ao constantes, ent˜ ao f (t)g(t) 0 quando t + .

→ ≥

→ ∞

∞ →

| |

→ ∞

Exerc´ ıcio 15.3

Um circuito RL é um circuito formado por uma fonte de tensão V (t), uma resistência R e uma indutˆ ancia L. Suponha R e L constantes.

209

CEDERJ



ao diferencial que a corrente i(t) que percorre a) Usando as leis de Kirchhoff, deduza a equa¸c˜ o circuito satisfaz ao senoidal amortecida b) Calcule a corrente quando o circuito é submetido a uma tens˜

V (t) = E 0 e−at sen(bt), E 0 , a , b constantes, a > 0. [Suponha que, no instante t = 0, i(0) = i 0 ] Respostas:

di + Ri = V (t) dt bE 0 L −(R/L)t E 0 −at (b) i(t) = i 0 + e + e sen(bt β ), Y 2 Y onde Y = (R aL)2 + b2 L2 , R aL = Y cosβ, (a) L

−

 −

−

bL = Y senβ,

0 <β <π

Resumo

Nesta aula estudamos dois tipos de aplica¸co˜es importantes do material referente a equa¸co˜es lineares de coeficientes constantes, ambos relacionados com oscila¸cões: - modelos mecˆ anicos envolvendo o oscilador harmˆ onico (simples ou com amortecimento) - modelos de oscila¸co˜es elétricas. Avalia¸ c˜ ao

O processo de construir(projetar) modelos e analisar suas respostas é, em geral, longo e, a`s vezes, cansativo. Mas é um trabalho compensador e essencial a` nossa forma¸caõ profissional. Procuramos nos restringir a um m´ınimo de aplica¸co˜es; e de tipos semelhantes. Ainda assim, sugiro que numa primeira leitura, você se detenha em um modelo procurando entendê-lo, interpretá-lo, refazê-lo e complet´ a-lo. Posteriormente,volte e estude os outros modelos, e procure modelos de outros tipos de problemas na literatura e na Internet.

CEDERJ

210

´ M ODULO 3 -

AULA 16

Sistemas de equa¸c˜ oes diferenciais lineares de primeira ordem. Autovalores reais distintos

Aula 16 – Sistemas de equa¸c˜ oes diferenciais lineares de primeira ordem. Autovalores reais distintos

Objetivos 1) - Construir um sistema de duas equa¸co˜es diferenciais de primeira ordem em duas inc´ ognitas (sendo que cada equa¸caõ contém a derivada de primeira ordem de apenas uma das inc´ ognitas) equivalente a uma equa¸caõ diferencial linear de segunda ordem, normal num intervalo. 2) - Generalizar os sistemas de equa¸ co˜es diferenciais de primeira ordem do item (1), incluindo os que não são provenientes de equa¸co˜es diferenciais lineares de segunda ordem normais. 3) - Escrever um sistema de duas equa¸co˜es lineares de primeira ordem em forma vetorial, definindo uma matriz de fun¸cões, um vetor de fun¸co˜es incógnitas, e um vetor de termos independentes. 4) - Calcular a solu¸caõ geral de sistemas cujas matrizes são formadas por fun¸cões constantes, possuindo autovalores reais distintos e sem vetores de termos independentes.

Sistemas de equa¸c˜ oes diferenciais lineares de primeira ordem Consideremos uma equa¸caõ diferencial linear de segunda ordem, normal num intervalo I ′′

′

y + p(x)y + q (x)y = h (x)

(16.1)

Vamos construir um sistema de duas equa¸co˜es de primeira ordem equivalente a` equa¸caõ (16.1), cujas inc´ ognitas são duas fun¸co˜es y1(x) e y2 (x), da seguinte maneira: - Em primeiro lugar, introduzimos as duas novas inc´ oginitas: def

y1 (x) = y (x) def

′

y2 (x) = y1 (x)

(16.2) (16.3) 211

CEDERJ


Sistemas de equa¸ c˜ oes diferenciais lineares de primeira ordem. Autovalores reais distintos

P Anote: As fun¸co˜es y1 e y2 são sempre definidas pelas rela¸co˜es (16.2) e (16.3), independentemente dos coeficientes da equa¸ cão de segunda ordem (16.1) . A fun¸cao ˜ y1 é sempre igual ` a fun¸cao ˜ inc´ ognita y da equa¸ cao ˜ de segunda ordem, e y2 é sempre igual ` a derivada de y . Agora vamos construir um sistema de duas equa¸co˜es de primeira ordem com as fun¸co˜es y1 e y2 : Repare que a equa¸caõ (16.3) j´ a é uma das equa¸co˜es diferenciais que queremos: y1 = y 2 ′

Queremos agora uma equa¸caõ para y2 : ′

′

y2 = ?

Isolando y no lado esquerdo da equa¸caõ (16.1): ′′

′′

′

y = − q (x) y − p(x)y + h(x)

(16.4)

Acontece que y = y 1 (conforme a equa¸caõ (16.2)), conseq¨ uentemente y = y 1. Mas (ver equa¸caõ(16.3)) y1 = y 2 ′

′

′

Substituindo y e y no lado direito de (16.4) respectivamente por y1 e ′

y2 : ′′

y = −q (x) y1 − p(x)y2 + h(x).

(16.5)

Por outro lado, derivando os dois lados da equa¸caõ (16.3): ′

′′

y2 = y 1 ,

que por sua vez é igual a

y

′′

Assim, substituindo y por y2 no lado esquerdo de (16.5) temos finalmente ′′

′

′

y2 = − q (x) y1 − p(x)y2 + h(x).

(16.6)

As equa¸co˜es (16.3) e (16.6) formam um sistema de duas equa¸co˜es provenientes da equa¸caõ de segunda ordem (16.1). Em resumo:

′′

′

y + p(x)y +q (x)y = h (x)

CEDERJ

212

e

y1 = y y2 = y 1 ′





y1 = y 2 ′

y2 = − q (x) y1 − p(x)y2 + h(x) ′

´ M ODULO 3 -

AULA 16


Vejamos alguns exemplos: Exemplo 16.1 Determine um sistema de equa¸cões diferenciais de primeira ordem equivalente à equa¸cão xy − 2x2 y + 7y = ln (x). ′′

′

Indique o(s) intervalo(s) onde vale a equivalência. Solu¸c˜ ao:

Devido à presen¸ca da fun¸cão log (x) no segundo membro, a equa¸cão só é bem definida no intervalo (0, +∞). E ela é normal nesse intervalo. Escrevendo a equa¸caõ em forma normalizada temos ′′

′

y − 2xy +

7 x

y =

log (x) x

(16.7)

Fazendo y1 = y e y 2 = y 1 , j´ a temos a primeira equa¸caõ do sistema, a saber: ′

′

y1 = y 2 .

Precisamos calcular uma equa¸cão para y 2 . ′

Agora, ′

′

′

y2 = (y1 ) = y

′′

E da equa¸caõ (16.7) tiramos o valor de y = 2xy − ′′

′

′

′

y2 = 2xy −

7 x

y +

7 x

y +

log (x) x

Assim

log (x) x ′

Finalmente, substitu´ımos no lado direito desta u ´ ltima equa¸cão y por y 1 e y por y 2 , ficando com 7 log (x) y2 = 2xy2 − y1 + , ′

x

x

que é a equa¸caõ para y 2 . ′

O sistema equivalente a xy − 2x2 y + 7y = ln (x), em (0, +∞) é ′′



′

y1 = y 2 ′

y2 = − x7 y1 + 2 xy2 + ′

log (x) x

Exemplo 16.2 Foi dito que o sistema constru´ıdo a partir de uma equa¸cão diferencial linear de segunda ordem normal é equivalente à equa¸cão. Mostremos que os conjuntos de solu¸cões da equa¸cão de segunda ordem e do sistema constru´ıdo a partir dela s˜ ao iguais, e portanto a equa¸cão e o sistema realmente equivalem (têm os mesmos conjuntos de solu¸co˜es). Solu¸c˜ ao:

Seja ent˜ ao ′′

′

y + p(x)y + q (x)y = h (x)

uma equa¸cão linear de segunda ordem normal num intervalo I e seja



y1 = y 2 ′

y2 = − q (x) y1 − p(x)y2 + h(x) ′

213

CEDERJ



o sistema correspondente. Ao resolver a equa¸cão de segunda ordem, calcula-se sua solu¸cão y (x). Mas y (x) = a temos a primeira solu¸caõ do sistema. Derivando a solu¸cão y (x), calcuy1 (x). Portanto j´ lamos y (x), que é igual a y1 (x), a qual por sua vez é igual a y2 (x). ′

′

Ou seja, partindo da solu¸caõ y (x) da equa¸cão de segunda ordem, obtemos as solu¸co˜es y1 (x) e y 2 (s) do sistema a ela associado. Toda solu¸cao ˜ da equa¸cao ˜ de segunda ordem normal d´ a origem a um par de solu¸c˜ oes do sistema a ela associado.

Reciprocamente, suponha que conhecemos solu¸cões y 1 e y2 do sistema de equa¸co˜es



y1 = y 2 ′

y2 = − q (x) y1 − p(x)y2 + h(x) ′

´ claro que (derivando a primeira equa¸cão) obtemos y = y , e substituindo y2 por y e E 2 1 1 ao ficamos com y2 por y1 na segunda equa¸c˜ ′

′

′′

′

′′

′′

′

y1 = − q (x) y 1 − p(x) y1 + h(x),

o que diz que y1 é solu¸cão da equa¸cão de segunda ordem y + p(x)y + q (x)y = h (x). ′′

′

Como estamos partindo da hip´ otese de que conhecemos y1 , ent˜ ao podemos dizer que conhecemos uma solu¸cão da equa¸cão de segunda ordem. Todo par de solu¸coes ˜ do sistema é relacionado a uma solu¸c˜ ao da equa¸cao ˜ de segunda ordem normal associada a ele

E era exatamente isso que quer´ıamos provar: Existe uma correspondência bijetiva entre as solu¸coes ˜ de equa¸cao ˜ linear normal de segunda ordem e os pares de solu¸c˜ oes do sistema de equa¸coes ˜ de primeira ordem associado a ela.

Desafio:Como você faria para generalizar o procedimento dos exemplos anteriores e construir um sistema de n equa¸co˜es de primeira ordem equivalente a uma equa¸cão diferenial linear normal de ordem n ? Observa¸c˜ ao: Até o final do curso, s´ o vamos estudar sistemas de duas equa¸co˜es lineares de primeira ordem. Os sistemas equivalentes a equa¸co˜es lineares normais de segunda ordem são casos particulares de sistema mais gerais, da forma



y1 = a 11 (x)y1 + a12(x)y2 + h1 (x) ′

y2 = a 21 (x)y1 + a22(x)y2 + h2 (x) ′

Registre: Sistemas de equa¸cões diferenciais lineares de primeira ordem da forma geral acima são muito comuns, ocorrendo em diversos modelos matemáticos de problemas de outras ciências e também em problemas teóricos da própria Matemática. Como exemplo, vejamos um modelo matemático de um sistema “concreto”, que não é constru´ıdo a partir de uma equa¸cão diferencial normal de segunda ordem.

CEDERJ

214

´ M ODULO 3 -

AULA 16


Você não precisa se preocupar com os detalhes técnicos. Numa primeira leitura, procure apenas acompanhar um processo modelagem matemática.

Solu¸ co ˜es salinas em tanques interligados

1,5 ℓ/min

1 ℓ/min

1 kg/ℓ

3 kg/ℓ

3 ℓ/min 1,5 ℓ/min

2,5 ℓ/min

Tanque 1 (30 ℓ )

Figura 16.1

Consideremos os dois tanques interligados como na figura 16.1. O tanque 1 cont´ em inicialmente 30 litros de a ´gua e 25 kg de sal, enquanto o tanque 2 cont´ em inicialmente 20 litros de ´ agua e 15 kg de sal. Uma solu¸ ca ˜ o de 1 kg/ℓ de sal entra no tanque 1 com uma vaz˜ a o de 1,5 ℓ/min. A mistura formada passa do tanque 1 para o tanque 2 com uma vaz˜ a o de 3 ℓ /min. Simultaneamente, entra no tanque 2 uma solu¸ ca ˜ o de 3 kg/ℓ de a ´gua salgada (vinda de fora) com uma vaz˜ a o de 1 ℓ/min. Parte da solu¸ c˜ ao formada no tanque 2 ´ e expelida com uma vaz˜ a o de 4 ℓ/min; uma parte indo para o tanque 1 com uma vaz˜ ao de 1,5 ℓ/min, enquanto o resto deixa o sistema. Determinar as quantidades de sal Q 1 (t) e Q 2 (t) em cada um dos tanques, num instante t qualquer . Solu¸ c˜ ao: Consideremos o primeiro tanque: a quantidade de sal num instante t ´ e igual a ` quantidade de sal original, mais a que entrou no tempo t menos a que saiu no tempo t. A mesma coisa vale para o segundo tanque (uma equa¸ ca õ de balan¸ co). Logo, a taxa de varia¸ ca õ da quantidade sal em um tanque ´ e i gual ` a taxa de varia¸ ca õ da quantidade de sal que entra, menos a taxa de varia¸ ca õ da quantidade de sal que sai. Uma outra observa¸ c˜ ao importante ´ e que os volumes das solu¸ co ˜es nos dois tanques sempre s˜ ao constantes. Assim,p or exemplo, seja qual for a quantidade de sal Q1 (t) no tanque 1 no instante t, podemos garantir que a quantidade de sal por litro na solu¸ ca õ do tanque 1 é

Q1 (t)/30 kg/ℓ. E a quantidade de sal por litro na solu¸ ca õ do tanque 2 ´ e Q2 (t)/20 kg/ℓ Portanto, a taxa de varia¸ ca õ da quantidade de sal no tanque 1 ser´ a:(taxa que entra de fora) + (taxa que entra do tanque 2)-(taxa do que sai do pr´ oprio tanque 1), ou seja dQ1

= 1, 5 +

dt

1, 5 20

Q2 (t) −

3 20

Q1 (t)

(i).

De modo an´ alogo,a taxa de varia¸ ca õ da quantidade de sal no tanque 2 ser´ a: (taxa que entra de fora) + (taxa que entra do tanque 1) -( taxa do que sai do próprio tanque 2) Ent˜ ao, dQ2 dt

= 3, 0 +

3 30

Q1 (t) −

4 20

Q2 (t)

(ii)

E asim as equa¸ co ˜es que governam as quantidades Q1 (t) e Q 2 (t) s˜ ao

Atividade 16.1 Escreva na linha abaixo as fun¸co˜es aij (x), hk (x), 1 ≤ k ≤ 2, para as quais o sistema



Tanque 2 (20 ℓ )

8 > > < > > :

dQ1 dt dQ2 dt

= 1, 5 +

= 3, 0 +

1, 5 20 3 30

Q2 (t) −

Q1 (t) −

3 20 4

20

Q1 (t)

Q2 (t)

1 ≤ i, j ≤ 2, e as fun¸co˜es

y1 = a 11 (x)y1 + a12 (x)y2 + h1 (x) ′

y2 = a 21 (x)y1 + a22 (x)y2 + h2 (x) ′

é equivalente a` equa¸cão y + p(x)y + q (x)y = g (x). ′′

′

215

CEDERJ



Resposta:

Nota: Nossa meta é, até o final do curso, efetuar um estudo sistemas gerais de equa¸cões diferenciais de primeira ordem (n˜ a o só dos equivalentes a equa¸co˜es lineares normais de segunda ordem). Come¸caremos com uma s´ erie de conceitos e resultados que, tal como no caso de equa¸co˜es diferenciais lineares de ordem superior a um, servir˜ ao de guia para o estudo a ser efetuado.

Defini¸co ˜es e propriedades gerais dos sistemas de equa¸c˜ oes diferenciais lineares Na se¸caõ anterior, vimos dois exemplos interessantes de sistemas de equa¸co˜es lineares de primeira ordem normais. Um de natureza te´ orica, o sistema equivalente a uma equa¸cão diferencial linear de segunda ordem normal, e um modelo concreto, o sistema que d´ a as concentra¸co˜es de sal em cada um de dois tanques interligados entre si.

Defini¸cão 16.1

Seja I ⊂ R um intervalo aberto. Um sistema normal de duas equa¸co˜es diferenciais de primeira ordem, em I , para as fun¸co˜es incógnitas y1 e y2 é um sistema da forma



y1 = a 11 (x)y1 + a12(x)y2 + h1 (x) ′

y2 = a 21 (x)y1 + a22(x)y2 + h2 (x) ′

(16.8)

onde aij : I −→ R

e hk : I −→ R

são fun¸co˜es cont´ınuas, para 1 ≦ i,j,k ≤ 2. As fun¸co˜es aij (x) são chamadas de coeficientes do sistema (16.8). As fun¸co˜es hk sã o os termos independentes do sistema (16.8)

Recorda¸ c˜ ao: Uma fun¸cão vetorial

→ −

F : x

CEDERJ

216

−→ → 

R

2

→ − F (x) =

  f 1 (x)

f 2 (x)

´ M ODULO 3 -

AULA 16


é cont´ınua (respectivamente derivável) em x0 ∈ I , ou continuamente derivável em I ) se e oes componentes f 1 e f 2 s˜ só se as fun¸c˜ ao cont´ınuas (respectivamente deriváveis) em x0 , ou continuamente deriváveis em I . Observe que as fun¸cões componentes são fun¸co˜es de I com valores em R. − → → − No caso de F ser derivável em x0 , o vetor derivada de F em x0 é o vetor

→ −

def

′

F (x0 ) =



f 1 (x0 ) ′

f 2 (x0 ) ′



.

Voltando ao sistema da defini¸caõ (16.1), introduzamos os seguintes elementos:

• o vetor das inc´ ognitas → def − Y =

  y1

y2

.

(que supomos ser uma fun¸caõ continuamente deriv´ avel em I );

• o o vetor de termos independentes → −

def

H (x) =

  h1 (x)

h2 (x)

.

(que é uma fun¸caõ vetorial cont´ınua em I );

• e finalmente introduzamos a matriz dos coeficientes do sistema (16.8): def

A(x) =



a11 (x) a12 (x) a21 (x) a22 (x)



.

A forma vetorial (ou matricial ) do sistema (16.8) é

  ′

y1 ′

y2

=

a11 (x) a12 (x) a21 (x) a22 (x)

   ·

y1

y2

+

h1 (x) h2 (x)



(16.9)

onde o ponto representa multiplica¸caõ de matrizes . Usando uma nota¸caõ mais simples ainda, costuma-se denotar o sistema (16.8), ou (16.9), por → − → − → a11 (x) a12 (x) − (16.10) Y = Y + H (x) a21 (x) a22 (x) ′

ou mesmo





→ −

′

→ −

→ −

Y = A (x) Y + H (x)

(16.11)

Diremos que (16.8) é a forma expandida (ou expl´ıcita) de (16.11). 217

CEDERJ



Exemplo 16.3 Escreva na forma vetorial o sistema de equa¸cões de primeira ordem equivalente à equa¸cão diferencial linear de segunda ordem normal ′′

′

y + p(x)y + q (x)y = g (x) Solu¸c˜ ao:

Como já vimos anteriormente, a forma expandida do sistema de equa¸co˜es de primeira ordem equivalente a y + p(x)y + q (x)y = g (x) é ′′



′

′

y1 = y 2 y2 = − q (x) y 1 − p(x)y2 + g (x) ′

A forma vetorial deste último sistema é

→ −

′

Y =



0 1 −q (x) − p(x)

   → −

0 h(x)

Y +

Exemplo 16.4 Escreva o sistema linear abaixo na forma matricial



dx dt dy dt

= 3x − 5y = 4x + 8 y

Solu¸c˜ ao: Neste exemplo, estamos considerando fun¸co ˜es x(t) e y (t) em vez de y 1 (x) e y 2 (x),

o que obviamente não modifica nada.

→ − Definindo X (t) =

  x(t) y (t)

→ −

′

vem que a forma matricial do sistema linear acima é

X (t) =



3 −5 4 8



→ − X (t)

Atividade 16.2 Escreva o sistema abaixo em forma expandida → −

′

X =

Resposta:

 



4 −5 7 −1

   → −

X +

dx dt

=

+

dy dt

=

+

−1 1

et

Prosseguimos com os fatos gerais sobre sistemas normais de equa¸co˜es de primeira ordem em duas variáveis apresentando a defini¸caõ de solu¸caõ de um tal sistema CEDERJ

218

´ M ODULO 3 -

AULA 16


Defini¸cão 16.2

Uma solu¸cao cão vetorial continuamente ˜ do sistema (16.11) é uma fun¸ derivável → − Φ : I −→ R tal que

→ − → − → − ∀ x ∈ I , Φ (x) = A (x) Φ (x) + H (x). ′

Equivalentemente, uma solu¸caõ do sistema (16.8) é um par de fun¸ co˜es (ϕ1 (x), ϕ2 (x)), definidas no intervalo I tais que ∀ x ∈ I ,



ϕ1 (x) = a 11 (x)ϕ1 (x) + a12 (x)ϕ2 (x) + h1 (x) ′

ϕ2 (x) = a 21 (x)ϕ1 (x) + a22 (x)ϕ2 (x) + h2 (x) ′

→ − Obs: Naturalmente para todo x ∈ I , Φ (x) = (ϕ1(x), ϕ2 (x))

Um problema de valor inicial (PVI) para um sistema (16.11) consiste em, dado um par → − (x0 , Y 0 ),

− →



→ − 2 ´ e um vetor qualquer de R , obter uma solu¸ c a ˜ o Φ, b → − − → de (16.11), tal que Φ (x0 ) = Y 0 . onde x0 ∈ I e Y 0 =

a

O Teorema de Existência e Unicidade. Sistemas homogˆ eneos

Sugest˜ ao : Procure ler e en-

tender bem os enunciados e resultados desta se¸ ca ˜ o, sem se preocupar com demonstra¸co ˜es. Utilize-os como referência e . . . vá em frente.

Nesta se¸caõ, apresentaremos os resultados te´ oricos que fundamentam o estudo dos sistemas de equa¸co˜es. O primeiro resultado, e o mais básico de todos, é o Teorema de Existência e Unicidade de solu¸co˜es de problemas de valores iniciais para sistemas.

Teorema 16.1

Teorema de Existˆ encia e Unicidade de solu¸c˜ oes de PVI’s → − → − Para cada par (x0 , Y 0 ) ∈ I × R2 existe uma u ´ nica solu¸caõ Φ do sistema → − − → (16.11), definida em todo o I , e tal que Φ (x0 ) = Y 0

219

CEDERJ



Um sistema (16.11) para o qual o vetor de termos independentes é nulo, isto é, um sistema da forma → − − → (16.12) Y = A (x) Y ′

é chamado de sistema linear homogêneo. Exemplo 16.5

A forma expl´ıcita do sistema homogêneo (16.12) é



y1 = a 11 (x)y1 + a12 (x)y2 ′

y2 = a 21 (x)y1 + a22 (x)y2 ′

e a forma matricial é

→ −

′

Y =



a11 (x) a12 (x) a21 (x) a22 (x)



→ − Y

Considere o conjunto C (I, R2 ) das fun¸co˜es vetoriais continuamente deriváveis definidas no intervalo aberto I , com valores em R2 . C (I, R2 ) é um espa¸co vetorial com as opera¸co˜es de somas de fun¸cões e produto de fun¸co˜es por constantes reais. Vale o seguinte resultado:

Proposi¸cão 16.1

Sejam Ψ1 e Ψ2 solu¸cões do sistema linear homogêneo (16.12). Se a e b são constantes reais arbitr´ arias, então a Ψ1 + b Ψ2 também é solu¸caõ de (16.12)

ao Demonstra¸cao. ˜ Seja Γ(x) = a Ψ 1 (x) + b Ψ2 (x). Ent˜ dΓ(x) d Ψ1 (x) dΨ2 (x) = a + b dx dx dx = a A(x) Ψ1 (x) + b A(x) Ψ2 (x)

= A(x)[a Ψ1 (x) + b Ψ2(x)] = A(x) Γ(x) o que mostra que Γ(x) é solu¸caõ de (16.12)



Obs: A proposi¸caõ que acabamos de provar mostra que o conjunto das solu¸co˜es do sistema homogêneo (16.12) é um subespa¸ co vetorial real de C (I, R2 ). CEDERJ

220

´ M ODULO 3 -

AULA 16


No espa¸co C (I, R2), duas fun¸co˜es Φ1 e Φ2 são linearmente independentes se as u ´ nicas constantes c1 e c2 tais que c1 Φ1 (x) + c2 Φ2 (x) = 0

para todo x ∈ I , são c1 = c 2 = 0. Equivalentemente, duas fun¸co˜es Φ1 =

  ϕ11

ϕ21

e Φ2 =

  ϕ12

ϕ22

de C (I, R2 ) são linearmente independentes se ∀ x ∈ I , os vetores



ϕ11 (x) ϕ21 (x)

  e

ϕ12 (x) ϕ22 (x)



são linearmente independentes em R2 − → − → ´ Sabemos lá do curso de Algebra Linear, que dois vetores K 1 e K 2 em − → 2 R s˜ ao linearmente independentes se e s´ o se a matriz cujas colunas são K 1 e − → K 2 possui determinante diferente de zero. − → −→ Representaremos a matriz cujas colunas s˜ ao K 1 e K 2 por

− → − → col[K 1 , K 2 ] Atividade 16.3 → − → − Vamos tomar um sistema homogêneo Y = A (x) Y associado a (ou proveniente de) uma equa¸caõ diferencial linear de segunda ordem homogênea normal y + p(x)y + q (x)y = 0. ′

′′

′

• A matriz do sistema homogêneo é A(x) =

→ −

• Se Y 1 =

  y1

y12

→ −

e Y 2 =

 

 

  y2

y22

→ − → − são duas solu¸co˜es do sistema Y = A (x) Y então podemos dizer que ′

y12 =

[ A´ı vai uma cola:

e y22 =

y12 = y 1′ . Por que? Veja a equa¸ca õ (16.3) ]

• Portanto → − − → col[Y 1 , Y 2 ] =

 

  221

CEDERJ



• Complete com o s´ımbolo = ou com o s´ımbolo =  → − − →

det col [Y 1 , Y 2 ]

W [y1 (x), y2 (x)]

• Complete com a palavra verdadeira ou a palavra falsa : → − → − (1) - Para um sistema linear homogêneo Y = A(x) Y associado a uma equa¸caõ diferencial linear de segunda ordem normal y + p(x)y + → − → − y1 y2 e são duas solu¸co˜es do q (x)y = 0, se Y 1 = Y 2 = y12 y22 sistema , então y1 e y2 são duas solu¸co˜es da equa¸caõ y + p(x)y +q (x)y = 0. ′

′′

 

 

′′

′

′

A frase (1) ´ e → −

→ − y y (2) - Testar se duas solu¸co˜es Y 1 = y 1 e Y 2 = y 2 de um sistema 12 22 → − → − linear homogêneo Y = A(x) Y , proveniente uma equa¸caõ diferencial linear de segunda ordem normal y + p(x)y + q (x)y = 0 são linearmente independentes , isto é, verificar se ′

   

′′

′

→ − − →

det col [Y 1 , Y 2 ]

é diferente de zero, é equivalente a verificar se o determinante wronskiano W [y1(x), y2 (x)] é diferente de zero.

A frase (2) ´ e Coment´ ario: A atividade que você acaba de realizar mostra que a teoria de sistemas de equa¸co˜es de primeira ordem (16.8) não é contraditória com o estudo anterior de equa¸co˜es diferenciais de segunda ordem normais

Para finalizar,apresentamos um teorema que nos d´ a, como conseq¨ uência, a estratégia de obten¸caõ de solu¸co˜es de sistemas homogêneos (16.12)

Teorema 16.2

O conjunto das solu¸co˜es da equa¸cão linear homogênea (16.12) é um subespa¸co vetorial de dimens˜ ao dois de C (I, R2 )

Obs: A demonstra¸caõ (que vamos omitir) é an´ aloga a` que fizemos na Aula 13 para provar que a dimens˜ ao do espa¸co das solu¸co˜es de uma equa¸caõ diferencial linear homogênea de ordem n era exatamente igual a n. Aqui tamb´ em, um ingrediente essencial para a demonstra¸ caõ é o Teorema de Existência e Unicidade de solu¸ co˜es de problemas de valores iniciais. CEDERJ

222

´ M ODULO 3 -

AULA 16


Anote ent˜ ao o que devemos fazer para obter todas as solu¸ co˜es de um sistema linear homogêneo (16.12). Devemos

→ − → − 1. calcular duas solu¸co˜es Y 1 (x) e Y 2 (x) 2. mostrar que essas solu¸co˜es são linearmente independentes ( e que por→ − − → tanto {Y 1 , Y 2 } é uma base para o espa¸co das solu¸co˜es 3. escrever a solu¸caõ geral

−−→ − → − → Y (x) = c 1 Y 1 (x) + c2 Y 2 (x) Os itens n´ umeros dois e três s˜ a o fáceis de executar. Como antes, a dificuldade maior fica por conta do c´ alculo de duas solu¸co˜es do sistema linear. Iniciaremos agora o estudo de sistemas de coeficients constantes, para os quais sempre podemos calcular duas solu¸co˜es linearmente independentes. Este estudo ser´ a completado nas duas pr´ oximas aulas.

Sistemas Homogˆ eneos de coeficientes constantes ( o m´ etodo dos autovalores e autovetores) Um sistema (16.11) para o qual a matriz A dos coeficientes é formada por (fun¸co˜es ) constantes, isto é um sistema da forma

→ −

′

Y =



a11 a12 a21 a22

   → −

h1 (x)

Y +

h2 (x)

(16.13)

é chamado de sistema linear de coeficientes constantes . Um sistema homogêneo de coeficientes constantes é um sistema (16.13) cujo vetor de termos independentes é nulo:

→ −

′

Y =



a11 a12 a21 a22



→ − Y

(16.14)

Sistemas homogêneos de coeficientes constantes s˜ ao chamados também de sistemas homogêneos autˆ avel x não aparece explicitamente onomos (a vari´ nas equa¸co˜es do sistema) 223

CEDERJ



Observa¸c˜ ao: A equa¸caõ (16.14) é uma generaliza¸caõ das equa¸co˜es diferenciais lineares homogêneas de primeira ordem (de coeficientes constantes): ′

y + py = 0,

′

ou

y = a 11 y

(a11 = − p),

que pode ser chamado de caso unidimensional de sistema linear homogêneo de coeficientes constantes. Obten¸ cao ˜ de Solu¸ c˜ oes de Equa¸ coes ˜ Autˆ onomas.

Come¸camos por um exemplo: Exemplo 16.6

Consideremos o sistema



y1 = y 1 + 2 y2 ′

y2 = 8y1 + y2 ′

isto é,

→ −

′

Y =

  1 2 8 1

→ −

Y .

oes linearmente independentes do Solu¸cao: ˜ Precisamos encontrar duas solu¸c˜ sistema. A solu¸caõ da equa¸caõ homogênea unidimensional ′

y = a 11 y

é y (x) = C ea11 x

Para calcular uma solu¸caõ do sistema de duas equa¸caões, uma idéia é - motivados pelo caso unidimensional - procurarmos uma solu¸caõ que seja uma generaliza¸caõ da solu¸caõ do caso unidimensional. Experimentaremos uma solu¸caõ da forma → − v1 Y (x) = eλt

  v2

sendo λ um escalar (i.é, um número real ou complexo) e

→ −

K =

  v1

v2

um vetor, ambos a serem determinados.

CEDERJ

224

´ M ODULO 3 -

AULA 16


caõ unidimensional, substiObserva¸c˜ ao: Estamos generalizando a solu¸ → − tuindo a constante C por um vetor constante K . Substituindo no sistema:



λt

(v1 e ) (v2 eλt ) ′

′

′

    =

1 2 8 1

v1 eλx

·

v2 eλx

ou seja v1 λeλx = v1 eλx + 2 v2 eλx v2 λeλx = 8v1 eλx + v2 eλx

Simplificando o fator exponencial: λv1 = v1 + 2 v2 λv2 = 8v1 + v2

ou ainda A

    v1

v2

= λ

v1

v2

;

o que nos mostra que λ tem de ser um autovalor da matriz A, e autovetor de A associado, ou pertencente , ao autovalor λ.

  v1

v2

um

´ Neste ponto, recordamos as seguintes defini¸co˜es do curso de Algebra Linear Defini¸cão 16.3

A equa¸caõ polinomial det (A − λI d) = 0 é chamada de equa¸cao ˜ de autovalores ou de equa¸cao ˜ caracter´ıstica da matriz A. O polinômio det ( A − λId) é chamado de polinˆ omio caracter´ıstico de A

Retornando ao exemplo que est´ avamos estudando, temos: det



1−λ 2 8 1−λ



=0

ou seja (λ − 1)2 − 16 = 0 225

CEDERJ



λ2 = − 3.

de onde tiramos λ1 = 5,

Precisamos calcular autovetores para cada um dos autovalores. Para λ1 = 5, resolvemos a equa¸caõ vetorial

→ −

→ −

A K = 5 K

isto é, ou ainda

→ − − → (A − 5Id) K = 0



−4 2 8 −4

    v1

.

0 0

=

v2

Da´ı tiramos a rela¸caõ 4v1 − 2v2 = 0

− → de modo que K pode ser qualquer vetor n˜ ao-nulo (v1 , v2 ) cujas componentes verificam a rela¸caõ v2 = 2v1 . Por exemplo, escolhendo v1 = 1 tiramos v2 = 2. → −

K =

Assim

→ −

  1 2

1 2

Y 1 (x) = e 5x

é uma solu¸cão do sistema dado. Procedemos de modo an´ alogo com λ2 = − 3:

→ −

→ −

A K = −3 K

→ − − → (A + 3 Id) K = 0

     4 2 8 4

v1

v2

=

0 0

De onde v2 = −v1

→ − Agora podemos tomar para K qualquer vetor (v1 , v2 ) tal que v2 = −2v1 . Podemos escolher, por exemplo, CEDERJ

226

´ M ODULO 3 -

AULA 16


→ −

1 −2

K =

então

→ −

   

Y 2 (x) = e

1 −2

3x

−

é uma segunda solu¸caõ do sistema. ´ evidente que E 1 e 2



são vetores l.i. em

2 R .

  1 −2

Portanto

e5x

 1 2

também o são, para todo x ∈ independentes.

e

R,

3x

−

e

  1 −2

pois sã o m´ ultiplos de vetores linearmente

´ Esse é um fato geral da Algebra Linear, que recordamos na proposi¸cão abaixo: Proposi¸cão 16.2

Autovetores associados a autovalores distintos (de uma mesma matriz) são linearmente independentes. Assim o conjunto

→ − → − {Y 1 (x), Y 2 (x)}

é uma base do espa¸co das solu¸co˜es de



y1 = y 1 + 2 y2 ′

y2 = 8y1 + y2 ′

E ent˜ ao a solu¸caõ geral do sistema acima é

→ −

Y (x) = c 1 e5x

 1 2

3t

−

+ c2 e

  1 −2

ou ainda y1 (x) = c 1 e5x + c2 e

3x

−

y2 (x) = 2c1 e5x − 2c2 e

3x

−

.

227

CEDERJ



Resumindo onomo em Dado um sistema autˆ

2 R

→ −

→ −

′

Y = A Y

cuja equa¸caõ caracter´ıstica det(A − λI ) = 0

tem duas ra´ızes reais distintas e λ2,

λ1

a sua solu¸caõ geral é

→ −

− →

− →

Y (x) = c 1 K 1 eλ1 x + c2 K 2 eλ2 x

− → − → sendo K 1 e K 2 autovetores associados respectivamente a λ1 e λ2

Exemplo 16.7 Calcule a equa¸caõ caracter´ıstica do sistema

→ −

′

Y =

  1 1 0 2

→ − Y

õ caracter´ıstica do sistema é Solu¸c˜ ao: A equa¸ca det(A − λI ) = 0

ou seja det



1−λ 1 0 2−λ



=0

o que nos dá λ2 − 3λ + 2 = 0

Exemplo 16.8 Calcule a soluão geral do sistem

→ −

′

Y =



3 −2 0 2



→ − Y

- Descreva o comportamento das solu¸cões quando x −→ ∞

CEDERJ

228

´ M ODULO 3 -

AULA 16


Solu¸c˜ ao: A primeira coisa a fazer é calcular os autovalores da matriz do sistema, resolvendo

a equa¸caõ det (A − λI ) = 0, sendo A a matriz do sistema. Temos det(A − λI ) = 0 ⇐⇒ det



3 − λ −2 0 2−λ



= 0 ⇐⇒ (3 − λ)(2 − λ) = 0

Os autovalores são λ1 = 2

e λ2 = 3

O próximo passo é calcular um autovetor associado (ou pertencente ) a cada autov1 − → valor. Para isso devemos calcular um vetor V = tal que

  v2

→ −

→ −

A · V = λ V

O que equivale a resolver a equa¸caõ vetorial

→ − − → (A − λI ) V = 0 Para calcular um autovetor de λ1 = 2 precisamos resolver

 Isto é

3 − λ1 0



−2 2 − λ1

1 −2 0 0

    v1

v2

=

0 0

    v1

v2

0 0

=

A u ´ nica rela¸cão que conseguimos obter da equa¸cão matricial acima é v1 − 2 v2 = 0. A − → outra rela¸caõ se reduz a 0 = 0, o que não informa nada sobre o vetor V Mas a rela¸caõ v1 − 2v2 = 0 mostra que todos os autovetores associados ao autovalor em a segunda coordenada igual ao dobro da primeira. λ1 = 2 tˆ − → Podemos escolher qualquer vetor diferente de 0 com esta caracter´ıstica. Por exemplo, podemos escolher 1 −→ K 1 = 2

   

Da´ı então

− → −→ Y 1 (x) = K 1 e2x =

1 2

e2x

é uma solu¸cão do sistema. Procedemos de maneira análoga com rela¸caõ a λ 2 = 3. Para calcular um autovetor de λ 2 = 3 precisamos resolver

 Isto é

3 − λ2 0



−2 2 − λ2

0 −2 0 −1

    v1

v2

=

0 0

    v1

v2

=

0 0

229

CEDERJ



Agora as rela¸cões que obtemos ao resolver a equa¸cão matricial são − 2v2 = 0 e − v2 = 0, o que nos indica que podemos escolher qualquer autovetor da forma

      v1

0

Por exmplo

1 0

−→ K 2 = Portanto

− → −→ Y 2 (x) = K 2e3x =

1 0

e3x

é uma segunda solu¸caõ do sistema. −→ −→ Como K 1 e K 2 pertencem a autovalores distintos, eles são linearmente independen − → − → tes. Conseq¨ uentemente Y 1 (t) e Y 2 (t) s˜ ao solu¸cões linearmente independentes. A solu¸caõ geral do sistema proposto é

− → − → − → Y ( t) = c 1 Y 1 (t) + c2 Y 2 (t) i.é,

− → Y ( t) = c 1

  1 2

e2x + c2

  1 0

e3x

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 16.1 a) Escreva um sistema de duas equa¸co˜es diferenciais de primeira ordem equivalente a` equa¸caõ y − 3y + 2y = 0. ′′

′

b) Resolva o sistema pelo método de autovalores e autovetores. c) Comprove que a primeira componente do vetor solu¸caõ geral é exatamente a solu¸caõ geral da equa¸cão y − y = 0 ′′

d) Isso foi uma coincidência, ou trata-se de um fato que sempre vai acontecer? cão e) E o que você pode afirmar sobre a segunda componente do vetor solu¸ geral? Respostas: 0 1 − ex e2x − → → − → a) Y = b) Y t = c 1 + c) A primeira comY c 2 2e2x ex −2 3 − → ponente do vetor Y ( t) é c 1 ex + c2 e2x d) Quando o sistema provém de uma equa¸cão normal de segunda ordem isso sempre vai acontecer e) A segunda componente é sempre a derivada da solu¸cão geral da equa¸caõ linear de segunda ordem normal.



′



   

Exerc´ıcio 16.2 Escreva os sistemas abaixo em forma matricial (1)

CEDERJ

230



x = 4x − 7y ′

y = 5x ′

(2)



x = − 3x + 4 y + sen(t) ′

y = 6x − y + t ′

´ M ODULO 3 -

AULA 16


Respostas: 4 −7 − → (1) X = 5 0 ′





→ −

− →

X (2) X = ′



−3 4 6 −1

  → −

X +

sen(t) t



Exerc´ıcio 16.3 a) Determine, no modelo dos tanques interligados, os valores de Q1 e Q2 para os quais o sistema está em equil´ıbrio, isto é, não varia com o tempo. b) Sejam Qε1 e Qε2 os valores de equil´ıbrio. Qual dos tanques chega mais rapidamente ao estado de equil´ıbrio? c) Fa¸ca x1(t) = Q 1 (t) − Qε1 e x2 (t) = Q 2 (t) − Qε2. Determine o problema de valor inicial para x1 e x2 . Exerc´ıcio 16.4  1 e K  2 os autovetores associados respectivamente aos autovalores λ 1 Sejam K e λ2 no exemplo (16.6).  1 K  2 ] a) Construa a matriz P = col [K

b) Mostre que P 1 A P = diag (λ1 λ2), onde P 1 designa a matriz inversa de P e diag (λ1 λ2 ) é a matriz ´diagonal formada pelos elementso λ1 e λ2 −

−

 1 (t) e Z  2 (t) do sistema Z  = diag (λ1 λ2 ) Z  c) Calcule solu¸co˜es Z ′

 1 (t) = P   2 (t) = P  d) Mostre que Y ao solu¸co˜es do sistema Z 1(t) e Y Z 2 (t) s˜  = A ·  Y Y . ′

Exerc´ıcio 16.5 → − → − Escreva a forma expl´ıcita de Y = A (x) Y sendo ′

A(x) =

Resposta:





x

2x e sen(x) −1



y1 = 2x y1 + ex y2 ′ ′

y2 = sen (x) y 1 − y2

Exerc´ıcio 16.6 Mostre que a equa¸caõ dos autovalores (equa¸caõ caracter´ıstica) do sistema → −

′

    

Y =

a11 a12

a21 a22

→ − Y

A

231

CEDERJ



é λ2 − tr(A) λ + det(A) = 0, def

onde

tr(A) = a11 + a22

def

det(A) = a11 a22 − a12 a21

e

Exerc´ıcio 16.7 Calcule a solu¸caõ geral de → −

Y = ′



10 −5 8 −12



→ − Resposta: Y ( t) = c 1

→ − Y

  5 2

e8x + c2

  1 4

e

10x

−

Exerc´ıcio 16.8 Resolva o problema de valor inicial → −

Y = ′



1 2

0 1 − 12



− → Resposta: Y ( t) = 3

→ − Y ;

  1 1

→ − Y (0) =

ex/2 + 2

 3 5

  0 1

e

x/2

−

Resumo Nesta aula você vez o primeiro contato com os sistemas de duas equa¸ cões diferenciais de primeira ordem normais; e aprendeu a classificá-los como homogêneos e não-homogêneos. Você viu que toda equa¸caõ diferencial linear normal de segunda ordem está associada a um sistema de equa¸cões diferenciais lineares normais de primeira ordem, mas que existem sistemas que n˜ ao são associados a equa¸co˜es diferenciais lineares normais de segunda ordem. Depois de reformular vetorialmente qualquer sistema de equa¸co˜es diferenciais normais de primeira ordem,vocˆ e viu como - no caso dos sistemas homogêneos de coeficientes constantes, cujo conjunto de solu¸ cões é um espa¸co vetorial real de duas dimens˜ oes - aplicar o método dos autovalores e autovetores para produzir um par de solu¸co˜es (quando a equa¸caõ caracter´ıstica do sistema tem duas ra´ızes reais distintas).

Avalia¸c˜ ao Foi uma aula comprida. Mas, num certo sentido, boa parte das defini¸co˜es e resultados fundamentais estudados j´ a tinha tido uma formula¸caõ CEDERJ

232

´ M ODULO 3 -

AULA 16


análoga no contexto de equa¸co˜es lineares de ordem superior a um, estudadas em aulas anteriores. Não se impressione com o modelo dos tanques. Inclusive, numa primeira leitura, você não precisa se preocupar em entender os detalhes. Trata-se de um modelo importante, como todo engenheiro qu´ımico sabe muito bem, e que (com as simplifica¸co˜es feitas) se apóia numa matemática simples. (Os modelos “reais” s˜ ao muito mais complexos). De vez em quando é conveniente fazer contato com modelos interessantes. Procure compreender bem a técnica de autovalores e autovetores, sem esquecer de que ela só se aplica a sistemas homogêneos de co eficientes constantes. Mas é uma classe muito importante de sistemas, e merece o estudo que dedicamos a ela. Ah sim, procure lembrar que, ao utilizar a técnica de autovalores e autovetores, sempre se chega num ponto onde devemos escolher um autovetor associado a um dado autovalor. Portanto podem existir v´ arias solu¸co˜es igualmente válidas. Quer dizer: nem sempre a resposta de um quest˜ ao, oferecida pelo professor, coincide com a que a gente obteve. Isso n˜ ao quer dizer que sua solu¸caõ, ou a do professor, est´ a errada.

233

CEDERJ

´ M ODULO 3 -

AULA 17

Representa¸ c˜ ao geométrica de sistemas autˆ onomos . Sistemas com autovalores complexos

Aula 17 – Representa¸ c˜ ao geom´ etrica de sistemas autˆ onomos . Sistemas com autovalores complexos

Objetivos Ao terminar de estudar esta aula você estar´ a capacitado a 1. representar geometricamente sistemas autˆ onomos de equa¸co˜es diferenciais 2. obter solu¸co˜es de sistemas de equa¸co˜es autˆ onomos cuja equa¸caõ caracter´ıstica possui autovalores complexos

Introdu¸c˜ ao Interpreta¸co ˜es geom´ etricas dos sistemas de equa¸c˜ oes diferenciais autˆ onomos Considere um sistema autˆ onomo de equa¸co˜es diferenciais de primeira ordem



x′ = f (x, y )

(17.1)

y ′ = g (x, y )

onde f e g são duas fun¸co˜es diferenci´ aveis definidas num conjunto aberto de 2 R , com valores em R. Observa¸co ˜es: 1) - Recorde que o sistema (17.1) é autˆ avel independente,t, n˜ ao apaonomo quando a vari´ rece explicitamente nas equa¸co˜es.

− → 2) - Estamos escrevendo Y =

 ! x y

−Y = em vez de →

 ! y1

y2

.

A interpreta¸caõ geométrica do sistema (17.1) é o seguinte. Em cada 2 ponto (x, y ) da região Ω R o par ordenado (f (x, y ), g (x, y )) define um vetor que é tangente a` curva imagem da solu¸caõ Φ (t) = (x(t), y (t)) que passa por aquele ponto.

⊂

→ −

As curvas imagens de solu¸co˜es do sistema são chamadas de curvas integrais ou de linhas de fluxo do sistema de equa¸co ˜es. 235

CEDERJ


Representa¸c˜ ao geométrica de sistemas autˆ onomos . Sistemas com autovalores complexos

Observa¸c˜ ao : As equa¸co ˜es autˆ onomas são muito interessantes. Sabe por quê?

Porque podemos obter informa¸co˜es a respeito de suas solu¸co˜es, sem precisar resolvˆ e-las previamente . Exemplo 17.1 Consideremos duas espécies, A (predadores) e B (presas), que convivem numa regi˜ ao fechada. Os predadores se alimentam exclusivamente das presas, enquanto estas se alimentam de uma outra fonte, presente no ambiente. Sejam respectivamente x(t) e y(t) as popula¸cões das espécies B e A num instante t. Fazemos as seguintes hipóteses: A. Lotka 1880-1949

Qu´ımico,demógrafo, ecologista e matem´ atico. Nasceu em Lviv, agora parte da Ucrˆ ania. Foi para os ´ Estados Unidos em 1902. E bem conhecido pelo modelo predador-presa, proposto por ele em 1925 e pouco depois por Volterra. O modelo de Lotka-Volterra est´ a na base de muitos modelos usados na an´ alise da dinˆ amica de popula¸co ˜es

I) Se n˜ ao houvesse predadores, a popula¸caõ de presas cresceria de acordo com a lei malthusiana: dy/dt = cy, c > 0 (Sup˜ oe-se também que a fonte de alimentos da espécie B é inesgotável) II) Se n˜ ao houvesse presas, a popula¸cão de predadores decresceria de acordo com a lei dx/dt = ax, a > 0

−

III) Levando-se em conta a presen¸ ca simultˆ anea das duas espécies, supõe-se que a taxa de mortalidade da popula¸cão de presas e a taxa de prolifera¸caõ da popula¸caõ de predadores são ambas proporcionais ao número de encontros entre ind´ıviduos das duas espécies. Substitu´ımos então as equa¸cões das taxas de varia¸cã o do n´ umeros de indiv´ıduos de cada espécie por

  

dy = cy dt

− dxy,

c, d > 0

dx = ax + bxy, dt

a, b > 0

(17.2)

Podemos justificar a introdu¸c˜ ao dos termos − dxy e +bxy nas equa¸co ˜es de crescimento das popula¸co ˜es B e A do seguinte modo. O n´ umero de encontros entre indiv´ıduos das duas esp´ ecies num intervalo unit´ ario de tempo é proporcional a xy . Introduzindo um fator de proporcionalidade α , podemos dizer que o n´ umero de encontros é igual a αxy . Esses encontros resultam negativos para as presas; digamos que a popula¸ca õ y diminui de β 1 membros para cada n encontros. Logo, a popula¸ ca õ y diminui de β 1 n Vito Volterra 1860-1940

O trabalho matem´ atico mais famoso de Volterra é o relacionado a equa¸ c˜ oes integrais.Em 1896 ele publicou artigos sobre o tema agora conhecido como Equa¸ co ˜es Integrais de Volterra. Seus trabalhos sobre a equa¸ca õ predador-presa s˜ ao independentes dos de Lotka

CEDERJ

236

αxy

≡ dxy

membros por unidade de tempo. De modo an´ alogo, esses encontros r esultam benéficos para os predadores; digamos que a popula¸ca õ x aumenta de β 2 membros para cada n encontros. Logo, a popula¸c˜ ao x aumenta de β 2 n

αxy

≡ bxy

membros por unidade de tempo. O coeficiente d mede a susceptibilidade da esp´ ecie B às a¸co ˜es predat´ orias, e o coeficiente b mede a habilidade predatória da espécie A.

As equa¸cões (17.2) s˜ ao conhecidas como equa¸ co ˜es de Lotka -Volterra . Foram propostas por Lotka, em 1925, e por Volterra, um ano depois. Elas se aplicam a uma grande variedade de problemas.


AULA ULA 17

Representa¸c˜ c˜ ao ao geom´ geo métrica etr ica de sistem sis temas as autˆ aut ˆ onomos . Sistemas Sistemas com autovalore autovaloress complexos

Um exemplo exempl o espec esp ec´ ´ıfico: Imaginemos que x(t) representa o número umero de raposas (em centenas) e y e y (t) o n´ umero de coelhos (em milhares), isolados numa ilha, em determinado umero instante de tempo t tempo t.Uma .Uma equipe de biólogos, ologos, após os um paciente estudo, obteve os seguintes dados para o modelo predador - presa: a =

0 .8, − 0.

b = 0.7,

c = 0.9 e d =

0 .6, − 0.

de modo que as equa¸c˜ coes o˜es de Lotka-Volterra sãaoo



x = .8 x + x + . .77 xy y = .9 . 9 y .6 xy ′

′

−

−

(17.3)

Posteriormente, Posterio rmente, três es expedi¸ expedi ¸c˜ cões oes à ilha, em ocasiões oes distintas, distintas, estudaram estudaram as popula¸ c˜ coes o˜es de raposas e coelhos para as diferentes “configura¸c˜ cões” oes” especificadas abaixo, no instante em que chegaram: (t0 , x0 , y0 ) = (0, (0, 2, 5), 5), (t0 , x0 , y0 ) = (0, (0, 2, 1), 1), (t0 , x0 , y0 ) = (0, (0, 2, 3). 3). A figura (17.1) representa o campo de vetores e (no destaque) um peda¸co de uma das curvas curvas integrais integrais associados ao sistema sistema autˆ onomo onomo (17.3) y (t) 6

5

4 y

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

x(t)

x

Figura 17.1

Atividade 17.1 - Identifique a órbita orbita correspondente a cada um dos dados iniciais. - Interprete o comportamemto do n´ umero ume ro de indiv ind iv´´ıduos ıduo s em cada cad a espécie, eci e, em cada um dos casos acima. Qual é, e, aproximadamente, o maior valor de x (t), e qual o correspondente correspondente valor de y (t)?em que intervalos a on´ umero umero de raposass está crescend crescendo? o? O que está acontece acontecendo ndo com o n´ umero de coelhos nesses mesmos intervalos? Resposta:

237

CEDERJ



- Para quais valores de x(t) e y (t) temos uma situa¸c˜ cao aõ de equil equ il´´ıbrio ıbr io ecol´ eco l´ ogico ogico (onde as duas espécies ecies têm, em, cada uma, um n´ umero aproximadamente consumero tante tant e de indiv indi v´ıduos) ıdu os)??

Resposta:

Defini¸c˜ cão 17.1 7. 1

O plano xy no qual desenhamos os vetores v = (f (x, y ), g (x, y )), cada plano o de fase fase, da com origem no respectivo ponto (x, y ) Ω é o plan equa¸c˜ cao aõ (17.1). Quando especificamos condi¸c˜ cões oes iniciais x(t0 ) = a e y (t0 ) = b , a solu¸c˜ cao aõ o ´rbita da equa¸c˜ particular que passa por (a, b) quando t = t0 é a orbita cao aõ (17.1por (17.1por (a, b). O conjunto das orbitas o´rbitas de um sistema autônomo ono mo é chamado chama do de retrato de fase do sistema.

∈

Note: Como vocˆ e deve ter notado, os conceitos de plano de fase, retrato de fase, órbita, orbita, etc. etc. podem ser definidos definidos para sistemas sistemas de equa¸ equa¸c˜ coes ões de primeira primeira ordem quaisquer. quaisquer. Mas, neste curso, vamos nos restringir aos ao s sistemas homogêneos eneos de equa¸c˜ coes ˜ lineares Vejamos outro exemplo exemplo (agora um exemplo exemplo linear): linear): Exemplo 17.2 Espécies eci es em competi comp eti¸ c ¸˜ ao Suponhamos que duas espécies ecies diferentes de animais, A e B , ocupam o mesmo ecossistema, e competem uma com a outra pelos mesmos recursos vitais (espa¸co, alimentos) do sistema. sistema. Design Designemo emoss por x(t) e y (t) as quantidades respectivas de animais de cada espécie ecie no tempo t. Na ausência encia de uma das espécies, ecies, vamos supor que o crescimento populaciona popu lacionall da outra espécie ecie é malthusiano: malthusi ano: dx = ax dt

dy = cy. cy . dt

As duas espécies ecies convivendo simultâneamente aneamente no mesmo espa¸co, co, interferem uma sobre o crescimento da outra, simplesmente por “roubar” uma parte dos recursos vitais.

CEDERJ

238


AULA ULA 17


Se a taxa de consumo de cada indiv´ indiv´ıduo da espécie ecie B é supos s uposta ta constante, consta nte, digamos b, ent˜ ao ao a popula¸c˜ cãaoo y consome recursos a uma taxa yb.Constr yb .Constru u´ımos um modelo model o para o crescimento da popula¸c˜ cao aõ da espécie ecie A, considerando a presen¸ca ca da espécie ecie B , simplesmente subtraindo da taxa de crescimento de A a taxa de consumo de B , i.é, yb. yb. Obtemos: dx = ax by dt Analog Ana logament amente, e, se s e cada ca da indi i ndiv v´ıduo ıdu o da espécie eci e A consome A consome recursos a uma taxa de d unidades d unidades por unidade de tempo, a taxa de crescimento da espécie ecie B levando em conta a presen¸ca ca de x de x ind i ndiv´ iv´ıduo ıd uoss da esp´ esp écie ec ie A A é tomada como sendo

−

dy = cy dt

− dx

Assim, o crescimento cres cimento das duas espécies ecies conjuntam c onjuntamente, ente, é governado govern ado pela p ela equa¸c˜ cão ao diferencial vetorial: dx = ax by dt

  

−

dy = cy dt Obs: a, b, c, d são ao constantes positivas.

− dx

Exemplo 17.3 Considere o seguinte modelo para duas espécies ecies em competi¸c˜ cão: ao:



x = 5x 3y y = x 4y ′

− −

′

a) A a) A equa¸c˜ cao aõ dos autovalores do sistema sistem a é λ2 cujas solu¸c˜ cões oes são ao λ1 =

O vetor

 

1+

√

69

2 1

 

1+

− λ − 17 = 0

√

69

2

,

λ2 =

1

−

√

69

2

é um autovetor associado asso ciado ao autovalor a utovalor λ vetor λ 1 , e o vetor

 

1−

√

69

2 1

 

é um autovetor associado asso ciado ao autovalor λ autovalor λ2 , de modo que uma solu¸c˜ cao ão geral do sistema acim ac imaa é

0 x(t) 1 BB CC @ y(t) A

= c 1

0 B@

1+

√

69

2 1

1 24 CA e

1+

√ 3 69

2

t

5

+ c 2

0 B@

1−

√

69

2 1

1 24 − √ 35 CA 1

e

69

2

t

(17.4)

A solu¸c˜ cão ao acima não ao nos dá diretamente muitas informa¸c˜ coes o˜es a respeito do comportamento de x de x((t) e y (t). A representa¸c˜ cao aõ geométrica etrica do sistema si stema é bem mais vanta josa do d o ponto p onto de d e vista vist a qualitat qu alitativo ivo (i.é. e. ela não ao contém em inform inf orma¸ a¸c˜ coes o˜es num´ ericas ericas precisas, mas somente informa¸c˜ coes o˜es qualitatiqualitativas).

239

CEDERJ



Vejamos: b) O plano de fase deste modelo é

Figura 17.2

c) As o´rbitas correspondentes aos valores iniciais



x(0) = 1 y(0) = 3

!

e



x(0) = 2 y(0) = 3

!

s˜ ao

Figura 17.3

A atividade seguinte explora como podemos extrair informa¸co˜es geométricas do desenho de algumas o´rbitas, completando assim as informa¸cões numéricas obtidas a partir da fórmula (17.4)

Atividade 17.2 - Identifique qual órbita corresponde a qual conjunto de valores iniciais. - Para as órbitas acima especificadas, quando x (t) = 1, qual é a tendência de varia¸caõ de y (t) a` medida que t aumenta? E de x(t)? CEDERJ

240

´ M ODULO 3 -

AULA 17


Resposta:

- Para as o´rbitas especificadas pelas condi¸co˜es iniciais acima, existe alguma situa¸cão de equil´ıbrio (ou seja, existe alguma valor de x(t) e de y (t) para os quais as duas popula¸co˜es podem conviver, sem que uma delas tenha de se sacrificar para que a outra consiga alimenta¸caõ? Resposta:

Encaminhamento : Prosseguimos com os métodos de obten¸caõ de solu¸cões de sistemas autˆ onomos, abordando o caso em que a equa¸caõ dos autovalores possui ra´ızes complexas 1 Sistemas autˆ onomos com autovalores complexos onoma Problema: Calcular a solu¸caõ geral da equa¸cão vetorial autˆ

−→ −→ Y ′ = A Y sendo que a matriz A, com coeficientes reais constantes, tem autovalores complexos. Sejam λ1 = a + bi e λ2 = a det(λI A) = 0.

−

− bi as ra´ızes da equa¸caõ caracter´ıstica

Escolhamos uma das ra´ızes, por exemplo λ1. Exatamente como no caso em que os autovalores eram reais, calculamos um autovetor  C = K

  z 1 z 2

1 lembre

que se um n´ umero complexo é uma raiz de uma equa¸caõ cujos coeficientes são constantes reais, então o seu conjugado também é raiz da mesma equa¸cão

241

CEDERJ



associado ao autovalor a + bi, por meio da equa¸caõ [(a + bi)I

− A]

  z 1

=

z 2

0 0

.

−→

Neste caso, em geral, K C é um vetor cujas coordenadas s˜ a o n´ umeros complexos u1 + v1 i K C = u2 + v2 i



−→



Continuando a analogia com o caso real, formamos a solu¸ cão complexa

−Y → = e( +

L. Euler 1707-1783

Um gênio da Matem´ atica. Euler fez contribui¸co ˜es pioneiras e decisivas em todos os ramos da Matem´ atica da épo ca. Formulou e resolveu quest˜ oes de Teoria dos N´ umeros, ´ Algebra, Geometria, Equa¸ co ˜es Diferenciais,. . .. A seu respeito, Laplace, um outro grande matem´ atico contemporˆ aneo de Euler disse: “Estudem os trabalhos de Euler. Leiam Euler. Ele é o mestre de todos n´ os”

a bi)t

C



u1 + v1 i u2 + v2 i



.

−→

E para calcular as partes real e imaginária de Y C , utilizamos a f´ ormula de Euler:

e(a+bi)t = e at (cos bt + i sen bt)

Assim,

−Y → = e C

= Portanto,

−Y → = C

 

at

 

(cos bt + i sen bt)

 

u1 + v1 i u2 + v2 i

eat (cos bt + i sen bt)(u1 + v1 i) eat (cos bt + i sen bt)(u2 + v2 i)

(u1 eat cos bt

− v1 e

(u2 eat cos bt

− v2 e

   

=

at

sen bt) + i(u1 eat sen bt + v1 eat cos bt)

at

sen bt) + i(u2 eat sen bt + v2 eat cos bt)

 

Ou ainda,

  

−Y →(t) = C

CEDERJ

242

at

(u1 e cos bt

at

− v1 e

sen bt)

(u2 eat cos bt v2 eat sen bt) − → X (t)

−

 1

     

at

at

(u1 e sen bt + v1 e cos bt)

+i

(u2 eat sen bt + v2 eat cos bt)



 2 (t) X

  

´ M ODULO 3 -

AULA 17


Então

−Y → = −X →(t) + i −X →(t). 1

C

2

Proposi¸cão 17.1

− → −→ −→ −→ −→ −→ → y (t) = X 1 (t) + i X 2 (t), ent˜ uma solu¸caõ complexa − ao X 1 (t) e X 2 (t), → y (t) respectivamente as partes real e imagin´ aria da solu¸caõ complexa −

Se a matriz do sistema Y ′ = A Y tem coeficientes reais e o sistema tem C

C

são duas solu¸cões reais , linearmente independentes, da equa¸caõ original  . Y ′ = A Y

−→

Demonstra¸cao. ˜

−−−−−−−→ −−−−−−−−−→ −→ −→ Y ′ = A Y ⇐⇒ [X 1 + i X 2 ]′ (t) = A · [X 1 (t) + i X 2 ] −X →′(t) + i −X →′ (t) ⇐⇒ A · −X →(t) + i A · −X →(t) 1 2 1 2 Igualando as partes real e imagin´ aria dos dois lados

−→ −→ −→ −→ Y ′ = A Y ⇐⇒ X ′ (t) = A · X (t) 1

−→

e

−X →′(t) = A · −X →(t). 2

−→

1

2

Portanto X 1 (t) e X 2 (t) s˜ ao duas solu¸co˜es reais e linearmente indepen ′ = A Y  . dentes da equa¸caõ Y Assim, a solu¸cão geral (real) dessa equa¸cão é

−→ −→ −→ Y (t) = c X (t) + c X (t). 1



1

2

2

OBSERVAC ¸ ˜ AO : Se tivéssemos escolhido o outro autovalor, λ2 = a bi, ir´ıamos obter a mesma solu¸caõ geral.

−

243

CEDERJ



Resumindo: Dada uma equa¸c˜ ao vetorial autˆ onoma em

2 R

−→ −→ Y ′ = A Y cuja equa¸caõ caracter´ıstica det(λI

− A) = 0

tem ra´ızes complexas λ1 = a + bi,

λ2 = a

− bi,

escolhemos um autovalor (p.ex. a + bi) e calculamos um autovetor (complexo) K C associado a ele. A solu¸caõ complexa correspondente é Y C(t) = e (a+bi)t K C . A partir da´ı, usando a f´ ormula de Euler, calculamos a solu¸cão geral real Y (t) = c 1 X 1 (t) + c2 X 2 (t),

−→

−→

−→

−→

−→

−→

−→

−→

−→

sendo X 1 (t) e X 2(t) as partes real e imaginária de Y C (t). Exemplo 17.4 Calcule a solu¸cão geral de

−→ Y

′

=

−

1/2 1

−

−

1 1/2

 −→ Y

Solu¸ cao: ˜

Você está convidado a refazer todas as contas e conferir os resultados. Pra calcular os autovalores da matriz do sistema devemos resolver a equa¸cão det(A

− λId) = 0

isto é, λ2 + λ +

5 = 0, 4

que tem como ra´ızes λ1 =

−1/2 + i,

e

− 1/2 − i.

Escolhendo o autovalor λ1 = 1/2 + i, calculamos os autovetores complexos associados (ou pertencentes ) a λ 1 resolvendo a equa¸cão vetorial (A λ1 Id) V = 0 , isto é

−

− CEDERJ

244

1/2

· −→ −→

−

   

− (−1/2 + i) 1 −1 −1/2 − (−1/2 + i) ·

v1 v2

=

0 0

´ M ODULO 3 -

AULA 17


Da´ı extra´ımos a rela¸cão v2 = i v1 . Escolhendo, por exemplo v1 = Então

−  i 1

−1 teremos v 2 = 1.

é um autovetor complexo pertencente ao autovalor complexo

−1/2 + i.

Temos então a solu¸cão complexa

 

−Y →(t) = −i C

isto é

  −

−Y →(t) = −i C

1

1

[e(

(1/2)t

−

−

cos(t) + i e(

,

1/2)t

−

i e (1/2)t cos(t) + e (1/2)t sen(t) e (1/2)t cos(t) + i e (1/2)t sen(t) −

=

1/2+i)t

e(

−

−

−

  −      e( e

1/2)t

sen(t) (1/2)t cos(t)

−

−

−

− →

− →

X1 (t)

X2 (t)

Então a solu¸cão geral é

−→ Y (t) = c

1



e( e

1/2)t

−

sen(t) (1/2)t cos(t)

−



e( 1/2)t cos(t) e (1/2)t sen(t) −

+i

sen(t)] =

 − + c2

=

 

e( 1/2)t cos(t) e (1/2)t sen(t) −

−



Coment´ ario: Certamente obtivemos uma solu¸caõ para o sistema autônomo dado. Entretanto n˜ ao podemos negar uma certa frustra¸caõ quando queremos entender um pouco mais como se comportam as trajetórias (solu¸cões assumindo valores iniciais pré-estabelecidos). Neste momento os planos de fase e desenhos de órbitas são auxiliares poderosos. Primeiramente, vamos desenhar o plano de fase do sistema acima:

Figura 17.4 245

CEDERJ



Vejamos os desenhos das órbitas que passam pelos pontos (x(0) = 0, y(0) = 2) e (x(0) = 1, y(0) = 4)

−

Figura 17.5

Percebemos então que as órbitas descrevem espirais tendendo à origem.

O pˆ endulo simples outra vez Você lembra do estudo que fizemos do movimento harmônico simples de uma massa oscilando presa a um fio? Foi na aula 15. Repetimos ao lado a figura em que nos baseamos para deduzir uma equa¸cão diferencial, modelando o sistema Ap´ os algumas manipula¸co˜es com as s´series de Maclaurin obtivemos a equa¸cão do modelo: d2 θ g = ω 2 θ, ω 2 = . (17.5) 2 dt l

−

Vamos analisar o caso particular correspondente a (ω 2 = 4) A solu¸caõ geral da equa¸cão (17.5) é θ(t) = c 1 cos(2t) + c2 sen(2t) Se especificamos as condi¸cões iniciais θ(0) = 1

′

θ (0) =

−1

a solu¸caõ correspondente é θ(t) =

1 sen(2t) 2

O gráfico desta solu¸caõ tem o seguinte aspecto

CEDERJ

246

− cos(2t).

´ M ODULO 3 -

AULA 17


Figura 17.8

Podemos pesquisar informa¸cões adicionais sobre a solu¸cão, construindo o sistema autˆ onomo equivalente à equa¸cão θ(t) = 12 sen(2t) cos(2t). e desenhando o seu plano de fase junto com a o´rbita que cont´ em o ponto correspondente às condi¸cões iniciais θ(0) = 1 θ (0) = 1.

−

′

−

O sistema autônomo equivalente à equa¸cão (17.5) é



′

y1 = y 2 y2 = 4y1 ′

(17.6)

−

′

onde y1 (t) = θ(t) e, naturalmente, y 2 (t) = θ (t). Nos exerc´ıcios, você está convidado a calcular a solu¸cão geral do sistema (17.6) e também a o´rbita que passa por (1, 1)

−

O desenho do plano de fase contendo a órbita que passa por (1, 1) é

−

y2 (t) = θ ′ (t)

y1 (t) = θ (t)

Figura 17.9 247

CEDERJ



Observa¸c˜ ao A o´rbita é uma curva fechada, que indica que, se n˜ ao houvesse atrito no ponto de v´ınculo e não houvesse resistência do ar, o movimento do pêndulo se repetiria para sempre, com a massa passando pela mesma posi¸cão, com a mesma velocidade, um n´ umero infinito de vezes.

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 17.1 Calcule a equa¸caõ dos autovalores do sistema autˆ onomo (17.6). Determine em seguida sua solu¸cão geral e obtenha a solu¸caõ particular correspondente ao vetor de condi¸co˜es iniciais

  1 −1

Exerc´ıcio 17.2 Analise a órbita desenhada na figura (17.9) e determine os pontos de m´ aximo e m´ınimo de θ, os intervalos onde θ é crescente e os em que ela é decrescente. Fa¸ca o mesmo para dθ/dt Exerc´ıcio 17.3 Fa¸ca um esbo¸co do plano de fases do sistema



x = y y = x ′

−

′

Sugest˜ ao:Desenhe vários vetores do campo (x, y) ( y, x) correspondentes a pontos do eixo OX , pontos do eixo OY , pontos sobre a as retas y = x, com suas origens nos respectivos pontos (x, y). Construa uma tabela.

→ −

Exerc´ıcio 17.4 Calcule a solu¸cão geral de  = Y ′



a b

−b a



±

 Y

Sugest˜ oes: a) Mostre que os autovalores da matriz A do sistema são a + bi b)Mostre que

e a

− bi

  i 1

é um autovetor pertencente ao autovalor a + bi c) Conclua (usando o autovalor a + bi) que



−→ − eat senbt Y (t) = 2

eat cos bt



e

−→ Y (t) = 1



eat cos bt eat senbt

são duas solu¸cões linearmente independentes do sistema proposto.

CEDERJ

248



´ M ODULO 3 -

AULA 17


Exerc´ıcio 17.5 (a) - Determine a solu¸caõ do PVI

 

y ′′ + 4y ′ + 8 = 0 y (0) = 1 y ′ (0) = 1

onomo equivalente ao PVI dado, e resolva(b) Agora, obtenha um sistema autˆ o pelo método dos autovalores. Compare sua solu¸ca˜ o com a solu¸caõ da linear de segunda ordem do item (a)

Exerc´ıcio 17.6 Dois modelos populacionais predador-presa (x1 , x2 = presas, y1, y2 = predadores),

  

dx = 2x dt dy = dt

− 3xy

−y + 21 xy

tem planos de fases respectivamente y1 (t)

  

dx = x dt dy = dt

− 4xy

−2y + 3xy

y2 (t)

6

Sistema I

x1 (t)

6

x2 (t)

Sistema II

Em cada plano de fase est´ a desenhada a o´rbita correspondente ao dado inicial (x(0), y (0)) = (2, 2) (Um casal de predadores e um casal de presas). Assuma que as escalas são iguais nos dois sistemas.

a) Em qual sistema o predador se reproduz mais rapidamente? b) Em qual deles o predador é mais bem-sucedido em pegar a presa?

249

CEDERJ



Respostas: a) No sistema I, pois y 1 (t) come¸ca a crescer mais rapidamente no sistema I. b)No sistema II, pois o n´ umero máximo de predadores é maior no sistema II, significando que os predadores conseguiram se alimentar de mais presas.

Exerc´ıcio 17.7 Determine as solu¸cões gerais de

−→ a) Y

′

=



Respostas:

−→ a) Y (t) = c

1

−→

b) Y (t) = c1

−→ c) Y (t) = c

1

6 5



−1 −→ Y 2

  

−→ b) Y

′



=



e4t + c2

5 cos(3t) 4 cos(3t) + 3 sen(3t) cos(t) cos(t) sen(t)

−→ Y ′ =

1 1

 − → − 5 3

−

Resposta: cos(t) 3 sen(t) Y (t) = cos(t) sen(t)

−→



→ −Y (0) =

Y,

− −



e

sen(t) 2 sen(t) cos(t)



+ c2

e4t + c2

−

Exerc´ıcio 17.8 Resolva o problema de valor inicial



=



−5 −→ −4 Y

    

cos(t) 2 cos(t) + sen(t)

−



4 5

−→ c) Y

′

−

5 1 2 3

−

−

sen(t) sen(t) + cos(t)



Y

e4t

5 sen(3t) 4 sen(3t) 3 cos(3t)

−

 −→



e4t

 1 1

t

−

Resumo Nesta aula aprendemos a representar graficamente sistemas autônomos de equa¸co˜es de primeira ordem. Em continua¸cão ao estudo iniciado na aula 16, aprendemos a obter solu¸c˜ oes de sistemas autˆ onomos Y A Y quando a matriz A tem coeficientes reais e autovalores complexos.

−→ −→ ′

Avalia¸c˜ ao Os métodos gráficos constituem auxiliares importantes na obten¸cão de informa¸cões a respeito das solu¸cões de sistemas autônomos de equa¸cões lineares. Na verdade, eles se aplicam também a`s equa¸cões não-lineares. Muitas informa¸co˜es relevantes podem ser obtidas pela análise de representa¸co˜es gráficas, sem que precisemos explicitamente as equa¸co˜es. Alguns exemplos envolvendo o modelo de Lotka -Volterra ilustram essa afirma¸ca˜ o. Os exemmplos e exerc´ıcios “não-lineares” podem ser considerados como informa¸cões extras. O nosso objeto de estudo, neste curso, são as equa¸cões e sistemas de equa¸cões lineares, o

CEDERJ

250


AULA ULA 17


qual voltar´ voltar´ a a dominar a cena na próxima oxima aula, quando veremos como obter solu¸c˜ coes o˜es de sistemas autˆ onomos onomos Y A Y Y quando a matriz A matriz A tem autovalores reais repetidos.

−→ −→ ′

251

CEDERJ


AULA ULA 18

Sistemas Sistemas com autovalore autovaloress reais repetidos

Aula 18 – Sistemas com autovalores reais repetidos

Objetivo Ao termina t erminarr esta est a aula au la vocˆ vo cê estar´ est ar´ a apto a calcular as solu¸c˜ coes o˜es de sistemas autônomos onomos cujas matrizes matrizes possuem autovalores autovalores reais repetidos. repetidos. Como conseq¨ uˆ uênci en ciaa dis d isso so,, vocˆ vo cê est e star ar´ a´ equipado para resolver qualquer resolver qualquer sistema sistema autônomo onomo de duas equa¸c˜ coes o˜es lineares de primeira ordem. coes o˜es de sisComent me nt´ ´ ari ar io: o trabalho anterior mostrou que, para obter as solu¸c˜ temas autˆ onomos, devemos come¸car onomos, car pelo c´ alculo dos autovalores das equa¸c˜ alculo coes o˜es caracter´ cara cter´ısticas ıstica s associada asso ciadas. s. Já vimos como obter solu¸c˜ cões oes de sistemas cujos autovalores s˜ ao ao distint tintos os,, reais reais ou compl complex exos os.. Aborda Abordarem remos os agora agora o caso caso das equa¸ equac˜ ¸oes o es com autovalores repetidos. Seja ent˜ ao ao a equa¸c˜ cao aõ

− → − → Y = A Y ′

tal que det (λI − ıze s λ1 = λ 2 (= λ (= λ). ). − A) = 0 tem ra´ızes Diz-se que λ é um autovalor de multiplicidade dois da dois da matriz A. Exemplo 18.1 Determine a solu¸c˜ cao ão geral do sistema

− →′ Y =



−1 0 0 −1



− → Y

Solu¸c˜ c˜ ao: Procedendo como de h´ abito, calculamos primeiramente os autovalores da matriz abito, do sistema sistema det (λI (λI − λ = − 1 − A) = 0 ⇐⇒ (λ + 1)2 = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ λ = λ = − 1 é um u m autovalor aut ovalor de A de A de multiplicidade dois. Para determinar determinar autoveto autovetores res de A associados associados a λ = −1 precis precisamo amoss resolv resolver er a equa¸c˜ cao aõ matricial matricial λ + 1 0 − → − → V = 0 0 λ + 1



Isto Is to é, e,

   0 0 0 0

(λ=−1)

− → − → V = 0

(18.1)

253

CEDERJ


Sistemas com autovalores reais repetidos

→ − Ora qualquer vetor V de

2 R

torna a equa¸caõ (18.1) verdadeira. − → Dizendo de outro modo, todo vetor (diferente de 0 ) é autovetor da matriz A associado ao autovalor λ = − 1. → −

E como, para calcular uma solu¸cão geral do sistema Y = ′



1 0

−

0 −1

!

→ −

Y , precisamos

de dois autovetores de A linearmente independentes, podemos escolher quaisquer dois vetores linearmente independentes em R2 . Por exemplo

−→ K 1 =

 

−→ e K 2 =

1 0

  1 1

Da´ı constru´ımos as solu¸cões

− → Y 1 (t) =

  1 0

→ −

Portanto uma solu¸cão geral de Y = ′

− → Y (t) = c 1



− → e Y 2 (t) =

e−t 1 0

0 −1

−

  1 0

!

  1 1

e−t

→ −

e Y , ´

e−t + c2

  1 1

e−t .

Observa¸c˜ ao: Apesar de A possuir apenas um autovalor λ, foi poss´ıvel determinar dois autovetores linearmente independentes associados a ele. Neste exemplo, procedemos normalmente como no caso dos autovalores reais distintos.

− → Mas também pode ocorrer de termos apenas um autovetor K associado a λ e conseq¨ uentemente, apenas uma solu¸caõ − → − → Y 1 (t) = Keλt . Veja o seguinte exemplo Exemplo 18.2

−′ → → − Y = A Y onde A =



3 1

−1 1



Deixamos a seu cargo verificar que a equa¸cão dos autovalores deste sistema é (λ − 2)2 = 0, e portanto A possui somente um autovalor de multiplicidade 2. Quando calculamos os autovetores associados a λ = 2, isto é quando resolvemos a equa¸caõ matricial λ−3 1 v1 0 = v2 0 −1 λ − 1



CEDERJ

254

     (λ=2)

´ M ODULO 3 -

AULA 18


obtemos o seguinte sistema



−v1 + v2 = 0 −v1 + v2 = 0

.

Vemos que os autovetores de A devem ser da forma

 ! v1 v1

. Por

exemplo

 ! 1 1

.

Então temos uma solu¸caõ

− → Y 1 (t) =

  1 1

e2t .

O problema é que qualquer outro autovetor de A é linearmente dependente de

 ! 1 1

e conseqüentemente n˜ ao temos como calcular dois autovetores linearmente independentes associados ao autovalor λ = 2. N˜ ao podemos proceder como no exemplo anterior. Entretanto você sabe que o conjunto das solu¸cões de qualquer sistema homogêneo é um espa¸co vetorial de duas dimensões. Portanto sempre existem duas solu¸co˜es linearmente independentes. − → Precisamos conseguir uma segunda solu¸cão linearmente independente de Y 1 (t). Como fazê-lo?

Inspirados no método de redu¸caõ de ordem usado no caso de equa¸co˜es de segunda ordem normais quando apenas uma solu¸cão era conhecida, vamos procurar uma segunda solu¸caõ da forma

− → Y 2 (t) =

  k1(t) k2(t)

eλt

(18.2)

onde estamos supondo que k1 (t) e k2 (t) s˜ ao deriváveis em todos os pontos 1, em particular são deriváveis em t = 0. Mas dizer que k1(t) e k2(t) são deriváveis em t = 0 significa dizer que, numa vizinhan¸ca do ponto t = 0, podemos aproxim´ a-las pelas retas tangentes aos seus gráficos. (Quer dizer, podemos substituir k1 (t) e k2(t) pelas suas − → n˜ ao é pedir muito. Afinal de contas a primeira solu¸caõ Y 1 (t) é derivável em todos os pontos 1 Isto

255

CEDERJ



retas tangentes em t = 0, numa vizinhan¸c a de 0)

k(t)

′

r(t) = k(0) + t k (0)

Figura 18.1

As equa¸co˜es dessas retas tangentes s˜ ao r1 (t) = k 1(0) + k1 (0)t r2 (t) = k 2(0) + k2 (0)t ′

′

Assim, em vez de procurar uma segunda solu¸ cão da forma (18.2), procuramos uma da forma

− → Y 2 (t) =



k1(0) + t k1 (0) k2(0) + t k2 (0) ′

′



eλt

ou ainda

        k1(0) k2(0)

− → Y 2 (t) = Fa¸camos

k1(0) k2(0)

− → = V 1 e

k1(0) k2(0) ′

+ t

′

k1(0) k2(0) ′

′

eλt

− → = V 2

→ − de modo que a segunda solu¸cão Y 2 (t) que procuramos tem a forma − → → − → − Y 2 (t) = [ V 1 + t V 2 ] eλt

(18.3)

A questão pode ser reformulada da seguinte maneira:

→ − → − Encontre vetores V 1 e V 2 tais que (18.3) seja uma segunda solu¸cã o de − → − → → − − → Y = A Y , linearmente independente de Y 1 (t) = K eλt ′

CEDERJ

256

´ M ODULO 3 -

AULA 18


→ − → − Substituindo (18.3) na equa¸caõ Y = A Y : ′

− λt → → − → − → − → − V 2 e + [ V 1 + tV 2 ]λeλt = A ([ V 1 + t V 2 ]eλt ) o que pode ser reescrito como ∗∗

  

∗∗

     

− → → − → − → − → − t eλt λ V 2 + eλt (V 2 + λ V 1 ) = t eλt AV 2 + eλt AV 1

   ∗

∗

Se igualarmos as parcelas assinaladas com (*) dos dois lados, e também as parcelas marcadas com (**) em ambos os lados, ent˜ ao (18.3) ser´ a solu¸caõ → − → − de Y = A Y . → − → − Ou seja, se V 1 e V 2 satisfizerem a`s equa¸co˜es ′

Isto é,

 

→ − → − − → AV 1 = λ V 1 + V 2 → − → − λV 2 = A V 2

→ − − → (A − λ I ) V 2 = 0 → − − → (A − λI ) V 1 = V 2

(18.4)

(18.5)

→ − → − então (18.3) ser´ a solu¸caõ de Y = A Y . ′

→ − A equa¸cão (18.4) nos diz que o vetor V 2 tem de ser um autovetor de A associado ao autovalor λ. → − A equa¸caõ (18.4) nos diz que, uma vez determinado V 2 , para calcular → − V 1 devemos resolver a equa¸caõ vetorial → − − → (A − λI ) V 1 = V 2 257

CEDERJ



Resumindo: → − → − Considere um sistema autˆ onomo Y = A Y cuja equa¸cão caracter´ıstica ′

det(λI − A) = 0 possui uma raiz de multiplicidade dois λ1 = λ 2 = λ. Entã o, se A tiver dois autovetores linearmente independentes, − → − → K 1 e K 2 associados a λ, a solu¸cão geral é

− → − → − → Y (t) = c 1 K 1 eλt + c2K 2 eλt . → − No caso de A possuir apenas um autovetor V 2 ,(a menos de múltiplos), associado a λ, a solu¸caõ geral é − → → − → − − → Y (t) = c 1 V 2 eλt + c2 [t V 2 + V 1 ]eλt , → − onde V 1 é um autovetor generalizado de peso 2, de A, determi→ − nado a partir de V 2 por meio da equa¸caõ matricial − → − → (A − λI ) V 1 = V 2 − → Comentário: As justificativas para existência da segunda solu¸cão Y 2 (t) serão apresentadas na próxima se¸cão. Antes de estudá-las, vamos completar a solu¸caõ do exemplo 18.2, assumindo os resultados do resumo. Exemplo 18.3 Quer´ıamos calcular uma solu¸caõ geral de

−′ → Y =



3 −1 1 1



− → Y

e obtivemos a equa¸caõ caracter´ıstica (λ − 2)2 = 0, sendo portanto λ = 2 o u ´ nico autovalor → −

de A, com multiplicidade dois. Associado a λ = 2 obtivemos o autovetor K = − →

nos deu uma primeira solu¸caõ Y 1 (t) =

 ! 1 1

e2t .

− → Uma segunda solu¸caõ, linearmente independente de Y 1 (t) é − → → − − → Y 2 (t) = (t K + V 1 )e2t ,

CEDERJ

258

 ! 1 1

, que

´ M ODULO 3 -

AULA 18


− →

onde V 1 =

 ! w1 w2

− → − → é solu¸cão da equa¸cão matricial (2I − A)V 1 = K , isto é



   

−1 1 −1 1

w1 w2

=

1 1

.

Desta u ´ ltima equa¸ caõ obtemos a rela¸cão

−w1 + w2 = 1.

 ! w1 w2

Podemos escolher para V 1 qualquer vetor

−w1 + w2 = 1. Por exemplo V 1 =

 ! 0 1

.

    

− → Portanto Y 2 (t) = t

1 1

→ −

E uma solu¸cão geral de Y = ′

− → Y (t) = c1

0 1

+



  1 1

3 1

cujas coordenadas satisfa¸cam à rela¸cão

1 1

−

e2t + c2

e2t .

!

→ −

Y

é

     t

1 1

+

0 1

e2t ,

ou ainda

− → Y (t) = c 1

  1 1

e2t + c2

  t 1 + t

e2t .

Resultados te´ oricos - (para saber um pouco mais) Esta se¸caõ apresenta defini¸co˜es e resultados que garantem que as equa¸co˜es (18.4) e (18.5) sempre têm solu¸cões. Você pode fazer uma primeira leitura sem se preocupar demasiadamente com as demonstra¸cões. Procure entender os porquˆ es das defini¸co˜ es e resultados. Posteriormente, j´ a os tendo utilizado v´ arias vezes, você pode voltar para “degust´ a-los” com toda a clama.

Defini¸cão 18.1

• Um autovetor generalizado de peso 2, da matriz A, associado ao autovalor λ é − → um vetor V tal que − →  (A − λI ) V =  0 − → − → (A − λI )2 V = 0 • Um autovetor generalizado de peso 1, de A, associado ao autovalor λ é um autovetor usual de A

259

CEDERJ



Observa¸c˜ ao: − → − → - Se V 1 e V 2 satisfazem às equa¸cões (18.4) e (18.5),

− → − → (A − λI )2 V 1 = (A − λI )[(A − λI )V 1 ] − → = (A − λI )V 2 → − = 0 − → − → Ou seja, V 1 e V 2 são autovetores generalizados de A

Proposi¸cão 18.1

− → − → − → − → Suponha que V 1 e V 2 ∈ R2 são tais V 2  = 0 e − → − → (A − λ I ) V 2 = 0 − → − → (A − λI ) V 1 = V 2 .

− → − → Então { V 1 , V 2 } ´ e um conjunto linearmente independente em

R

2

Demonstra¸c˜ ao.

Sejam α e β ∈

R tais

que

− → − → − → α V 1 + β V 2 = 0 Então

(18.6)

− → − → → − − → (A − λId)[α V 1 + β V 2 ] = (A − λId) 0 = 0

isto é,

− → − → − → α (A − λId)V 1 + β (A − λId)V 2 = 0 . − → − → − → − → Mas (A − λId)V 1 = V 2 e (A − λId)V 2 = 0 , de maneira que a equa¸cão (18.6) se reduz a − → − → αV 2 = 0 − → − − → → E como V 2  = 0 ,( na verdade V 2 é um autovetor de A), ent˜ ao α = 0. − → − → Da´ı então (18.6) se reduz a β V 2 = 0 . Novamente, isto implica que β = 0. C.Jordan 1838-1922 A forma canˆ onica de Jordan foi publicada em 1870 no Tratado sobre substitui¸ c˜ oes e equa¸ c˜ oes alg´ ebricas Este

tratado foi de grande influência na divulga¸c˜ ao das id´ eias de Galois, e no desenvolvimento e aplica¸c˜ oes da Teoria dos Grupos.

CEDERJ

260

Assim

− → − → − → α V 1 + β V 2 = 0 =⇒ α = β = 0,

− → − → o que prova que V 1 e V 2 são linearmente independentes.  E isso conclui a demonstra¸cão. − → − → − → − → Conclusão Se V 1 e V 2 satisfazem às equa¸cões (18.4) e (18.5) então { V 1 ,V 2 } é uma base de R2 .

Para terminar, temos de responder à pergunta fundamental: As equa¸c˜ oes (18.4) e (18.5) sempre têm solu¸coes? ˜ ´ Um dos teoremas importantes de Algebra Linear, o Teorema de Forma Canˆ onica de Jordan , assegura que , dada uma matriz de ordem dois, A, tal que A possui apenas um

´ M ODULO 3 -

AULA 18


autovalor λ, de multiplicidade dois, ent˜ ao existe uma base de R2 formada por autovetores generalizados de A,associados a λ. Mais ainda, − → − → - Se A possui dois autovetores, V 1 e V 2 , linearmente independentes, associados a λ, ent˜ ao − → − → a matriz de A na base β = { V 1 , V 2 } é [A]β =

  λ 0 0 λ

− → - Se A possui apenas um autovetor V 2 associado a λ, ent˜ ao existe um autovetor generalizado − → − → − → V 1 , de peso dois, associado a λ, tal que β = { V 2 , V 1 } é uma base de R2 e [A]β =

  λ 1 0 λ

− → Conseq¨ uências: Suponha que A tem apenas um autovetor V 2 associado a λ.Isto é − → − → AV 2 = λ V 2 , mostrando que a equa¸cão (18.4) tem sempre pelo menos uma solu¸cão. Segue do teorema de Jordan que

− → − → − → AV 1 = A[0 · V 2 + 1 · V 1 ] = Isto é,

     λ 0

1 λ

0 1

1 λ

=

− → − → − → − → = 1 · V 2 + λV 1 = λ V 1 + V 2

− → − → (A − λI )V 1 = V 2 − → Assim fica assegurado que a equa¸caõ (18.5) tem sempre uma solu¸caõ V 1 . Aten¸ c˜ ao!: N˜ ao foi dito que em qualquer base de autovetores generalizados associ-

ados a λ a matriz A assume uma das formas



λ 0

0 λ

!  ou

λ 0

1 λ

!

. Foi

dito apenas que

existem bases de autovetores generalizados com essa propriedade. O que fizemos foi nos valer de que tais bases existem para garantir que as equa¸c˜ oes − → − → (18.4) e (18.5) sempre possuem solu¸co˜es V 2 e V 1 . Observa¸c˜ ao Você pode perguntar, com toda razão:

− → − → Se eu n˜ ao souber calcular exatamente a (ou uma) base {V 2 , V 1 } especificada no teorema de Jordan, como é que eu vou construir a solu¸cao ˜ geral da equa¸c˜ ao? ´ uma pergunta interessante, e merece que nos alonguemos ainda um pouco, para E respondê-la. Vejamos o caso em que a matriz A possui apenas um (a menos de m´ ultiplos) autovetor V 2 associado ao autovalor λ de multiplicidade dois. − → − → − → Na pr´ atica, podemos sempre substituir o autovetor V 2 que ocorre na base {V 2 , V 1 } → − do teorema de Jordan por um autovetor qualquer K de A, e substituir o autovetor gene − → − → ralizado V 1 determinado a partir de V 2 por um autovetor generalizado determinado a partir → − de K .

261

CEDERJ



− → − → Isto se deve ao fato de K e V 2 serem linearmente dependentes. Ent˜ ao existe r ∈ R − → − → (necessariamente r  = 0) tal que K = r V 2 → − − → Claramente { K , V 1 } é base de R2 formada por autovetores generalizados de A. − → → − − → Note que qualquer vetor W = α K + rV 1 , com α  = 0 é autovetor generalizado de A, − → de peso 2, associado a λ, determinado por K . − → Com efeito, para cada tal W , − → (A − λI )W = = = =

→ − − → (A − λI )(α K + rV 1 ) → − − → α(A − λI ) K + r(A − λI )V 1 − → → − α · 0 + r · V 2 → − K

− → → A conta que acabamos de efetuar mostra que a equa¸cão (A − λI )− u = K tem um n´ umero infinito de solu¸cões. − → → (Dizendo de outro modo, o sistema (A − λI )− u = K é poss´ıvel e indeterminado) −→ Escolhamos uma solu¸caõ W 0 . −→ −→ − → −→ − → Temos A W 0 = λ W 0 + K pois (A − λI )W 0 = K − → → −→ − → − → − Afirmamos agora que Y 2 (t) = [t K + W 0 ]eλt é uma segunda solu¸caõ de Y ′ = A Y , − → − → linearmente independente da primeira solu¸cão Y 1 (t) = K eλt − → − → → −→ − Temos, por um lado, Y 2 ′ = K eλt + (t K + W 0 )λeλt = − λt → → − −→ K e + tλeλt K + λeλt W 0

(18.7)

− → → − −→ Por outro lado A Y 2 = A[t K eλt + W 0 eλt ] = → − → − −→ teλt λK + eλt [ K + λW 0 ]

A igualdade das expressões (18.7) e (18.8) conclui a prova da afirma¸caõ.

(18.8)



Conclusão N˜ ao precisamos ficar amarrados estritamente aos autovetores generalizados cuja existência é garantida pelo Teorema de Jordan.

→ − − → Mas tem uma coisa: A matriz de A na base { K , W } já n˜ ao é mais necessariamente



λ 0

1 λ

!

.

Essa a´ı corresponde à base do Teorema de Jordan.

CEDERJ

262

´ M ODULO 3 -

AULA 18


Tome nota, para n˜ ao esquecer:

→ − Se A possuir apenas um autovetor K ,(a menos de múltiplos), associado a λ, a → − → − solu¸cão geral de Y ′ = A Y é

− λt − → − →  (t) = c1 → Y K e + c2 [W + t K ]eλt − → → − onde W é um autovetor generalizado de peso 2, de A, determinado a partir de K por meio da equa¸cão matricial − → − → (A − λI ) W = K

Atividades e Exemplos Atividade 18.1 Consideremos a equa¸caõ diferencial linear homogênea normal de segunda ordem e de coeficientes constantes ′′

′

y + py + qy = 0 Suponha que a equa¸caõ caracter´ıstica associada tem uma raiz real dupla r1 = r 2 = r. Naturalmente r = − p/2. (a) Escreva no espa¸co abaixo, a matriz A do sistema autônomo equivalente à equa¸caõ acima. Resposta:

A =

 

 

(b) Determine a equa¸caõ dos autovalores de do A, e compare com a equa¸caõ caracter´ıstica associada a y + py + q = 0 ′′

′

Resposta:

(c)Fa¸ca um c´ırculo em redor da op¸caõ que torna a frase abaixo verdadeira: Os autovalores de A s˜ ao (=)/ (  =) a`s ra´ızes da equa¸c˜ ao caracter´ıstica da equa¸c˜ ao y + py + q = 0 . ′′

′

(d) Sabemos que, para obter a solu¸ caõ geral do sistema autˆ onomo pelo método dos autovalores e autovetores, a primeira coisa a fazer é calcular → − um autovetor K associado ao autovalor λ = r = − p/2. Lembrando das rela¸co˜es de Girard: r1 + r 2 = − p/2, r1.r2 = q ; e também que r1 = r 2 = r, mostre que a equa¸caõ matricial para o cálculo dos 263

CEDERJ



autovetores de A é



r −1 r2 −r

    v1 v2

0 0

=

(e) Diga se é verdadeiro ou falso: → −

O vetor K = Resposta:

 ! 1 r

é um autovetor de A associado ao autovalor r.

(f) Complete: (f 1 ):Utilizando o autovetor do item anterior, uma primeira solu¸caõ do → − → − − → sistema Y = A Y é Y 1 (t) = ′

    

→ − (f 2 ): Uma segunda solu¸caõ é Y 2 (t) = t onde

w1 w2

+

ert

 ! w1 w2

é uma solu¸caõ da equa¸cão matricial



r −1 r 2 −r

    w1 w2

=

(g) Resolvendo a equa¸caõ matricial do item (f 2 ), descobrimos que w1 e w2 estão relacionados pela expressão rw 1 − w2 = 1. Da´ı ent˜ ao podemos afirmar que a escolha para w1 correspondente w1 = 0 é

 ! w2

0 B@

1 CA

→ − → − (h) Escreva no espa¸co abaixo a solu¸caõ geral de Y = A Y correspondente aos dados obtidos nos itens anteriores ′

A solu¸caõ geral é

− → Y (t) = c 1

   

ert + c2

   

ert

(18.9)

(i) Compare a primeira linha do vetor solu¸caõ geral (18.9 )com a solu¸caõ geral da equa¸caõ y + py + qy = 0 obtida na Aula 14. O que você descobriu? ′′

Resposta:

CEDERJ

264

′

´ M ODULO 3 -

AULA 18


Exemplo 18.4 a) Resolva o problema de valor inicial



x′ = 3x − 4y y ′ = x − y

,

x(0) = 1, y(0) = − 1

b) Fa¸ca um esbo¸co plano de fase do sistema do item (a), juntamente com a órbita que contém o vetor de dados iniciais. Solu¸c˜ ao: a) A forma matricial do sistema é

−′ → Y =



3 −4 1 −1



− → Y,

→ − com Y (t) =

  x(t) y(t)

A equa¸caõ dos autovalores deste sistema é det(λI − A) = 0, i.é λ2 − 2λ + 1 = 0, cuja solu¸cão é o autovalor λ = 1, de multiplicidade dois. Ao calcularmos autovetores da matriz do sistema associados a λ = 1, i.é, ao resolvermos a equa¸cão matricial



    

λ−3 4 −1 λ + 1

v1 v2

(λ=1)

0 0

=

obtemos que v1 e v2 devem satisfazer à rela¸cão −v1 + 2v2 = 0. Podemos escolher, por exemplo, o autovetor

 ! 2 1

, o que nos d´ a a primeira solu¸cão

 

− → Y 1 (t) =

2 1

et .

Uma segunda solu¸cão é da forma

    

− → Y 2 (t) = t

onde

 ! w1 w2

w1 w2

+

et ,

é solu¸caõ da equa¸caõ matricial

 isto é,

2 1

λ−3 −1



4 λ + 1

−2 4 −1 2

    w1 w2

(λ=1)

2 1

=

,

    w1 w2

(λ=1)

=

2 1

Ao resolver esta última equa¸ caõ encontramos que w1 e w2 devem satisfazer à rela¸cão −w1 + 2w2 = 1. Escolhemos, por exemplo, o vetor

− → Y 2 (t) =

 ! 1 0

−



e temos,como segunda solu¸cão

2t − 1 t



et .

265

CEDERJ



Então a solu¸caõ geral é

− → Y (t) = c 1

  2 1

et + c2

1 1

Impondo agora as condi¸cões iniciais Y (0) =

−

    = c 1

2 1



et .

2.0 − 1 0



2t − 1 t

 !

→ −

1 −1



e0 + c2

obtemos



e0 .

de onde calculamos c1 = −1 e c2 = −3. Sendo assim, a solu¸caõ do problema de valor inicial proposto é

− → Y (t) =



1 − 6t −1 − 3t



et ,

ou ainda



x(t) = (1 − 6t)et y(t) = (−1 − 3t)et

b) Um desenho do plano de fases dos sistema do item anterior, contendo a órbita que passa por (1,-1) no instante t = 0 (feito com a ajuda de um sistema de computa¸cão algébrica) é

(1, − 1)

Figura 18.2

Coment´ ario: Observemos o comportamento da órbita que passa por (1, −1) quando t = 0 para valores muito grandes, ou muito pequenos de t. Analisando a figura (18.2) as órbitas parecem “sair” do ponto (0, 0), seguindo uma dire¸cão próxima da dire¸caõ da reta y = x, no sentido dos valores decrescentes de x (e y ). Ap´ os um certo tempo ela dá meia volta e os valores de x e y come¸cam a crescer sem parar, passando por (1, −1) quando t = 0, com x(t) e y(t) disparando para +∞ a` medida que t tende a +∞.

CEDERJ

266

´ M ODULO 3 -

AULA 18


De fato, um cálculo com a regra de l’Hôpital nos mostra que lim x(t)

t→−∞

=

lim (1 − 6t)et

t→−∞

=

1 − 6t t→−∞ 1/et −6 lim t→−∞ −1/et lim 6et

=

0

= =

lim

t→−∞

O c´ alculo acima nos mostra que quanto menor t mais próximo de 0 se encontra x(t). C´ alculos an´ alogos nos mostram que lim y(t) = lim −(1 + 3t)et = 0

t→−∞

t→−∞

e também que lim (1 − 6t)et = +∞ = lim −(1 + 3t)et

t→+∞

t→+∞

Os limites em −∞ são interpretados dizendo-se que as solu¸cões x(t) e y (t) estavam na origem, de onde sa´ıram para percorrer a órbita desenhada na figura (18.2), seguindo rumo “ao infinito e além”. Atividade 18.2 (a) Calcule a solu¸cão do sistema do do exemplo (18.4) que passa por (−1, 2) quando t = 0. Estude o comportamento de x(t) e y(t) quando t → −∞ e quando t → + ∞ Resposta:

(b): Qual das o´rbitas abaixo corresponde à solu¸caõ do item (a)?

(1, − 1)

Figura 18.3 267

CEDERJ



Resposta:

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 18.1 Determine a solu¸cão geral de

−′ → Y =

  1 0 0 1

− → Y

Desenhe o plano de fases deste sistema e as trajetórias que poassam respectivamente pelos pontos (1, 1), (−1, 2), (−4, −3), e (2, −4), quando t = 0. Resposta :

 

c1 et , e as órbitas pelos pontos indicados são as semi-retas c2 partindo da orgime, que contˆ em aqueles pontos.

− → A solu¸cão geral é Y (t) =

Exerc´ıcio 18.2 Determine as solu¸cões gerais de

→ − (a) Y ′ =



−3 5/2 −5/2 2

→ − (b) Y ′ =



4 −2 8 −4





− → Y.

− → Y

Em cada caso, descreva como as trajetórias que passam por (−1, 1) quando t = 0 se comportam quando t → ±∞.

Respostas: → − (a) Y (t) = c 1

− → (b) Y (t) = c 1

   

         

1 1

e−t/2 + c2 t

2 1

e−t + c2 t

1 1

2 1

0 2/5

+

+

0 2

e−t/2

e−t

Exerc´ıcio 18.3 Resolva o problema de valor inicial e desenhe o gráfico da componente y1 (t) do vetor → −

solu¸cão Y (t) = → −

′

(a) Y =

→ −

′

(b) Y =

CEDERJ

268



y1 (t) y2 (t)

4 −7

!



1 4



2 −3/2

−

!

→ −

→ −

Y,

3/2 −1

!

Y (0) =

→ −

Y,

→ −

 ! 3 2

Y (0) =

 ! 3 −2

´ M ODULO 3 -

AULA 18


(c)

8> < >:

dx = 2x + 4y dt dy = dt

x(0) = −1,

y(0) = 6

x + 6y

−

Respostas: → − (a) Y (t) =

− → (b) Y (t) =

    3 + 4t 2 + 4t 3 −2

e−t

et/2 + 3/2t

(c)x(t) = (26t − 1)e4t ,

  1 −1

et/2

y(t) = (13t + 6)e4t

Resumo Nesta aula você aprendeu a calcular as solu¸cões de sistemas homogêneos de coeficientes constantes, cujas matrizes possuem autovalores de multiplicidade dois, que podem ser de dois tipos distintos:

− → −→ −→ −→ −→ - Y (t) = c 1 K 1 eλt + c2 K 2 eλt , no caso de existirem dois autovetores K 1 e K 2 , linearmente independentes, associados ao autovalor λ.





− → − → → − − → − → - Y (t) = c 1 K eλt + c2 t K + W eλt , a matriz do sistema possui apenas um autovetor K − → (a menos de m´ ultiplos) associado ao autovalor λ. Neste caso W é um autovetor generalizado, de A, de peso dois, que pode ser calculado resolvendo-se a equa¸c˜ ao matricial − → − → (A − λI )W = K

Avalia¸c˜ ao Apesar de um certo grau de sofistica¸caõ introduzido na se¸cão de justificativas, esta aula foi de natureza complemetar; introduzindo uma técnica para calcular solu¸co˜es de sistemas homogêneos de equa¸cõs lineares de primeira ordem, cm coeficientes constantes, no caso que faltava ser analisado, a saber: quando a matriz A possui apenas um autovalor real, com multiplicidade dois. Revendo os exemplos e exerc´ıcios, observe mais uma vez como não é suficiente ´ importante analisá-las, obter apenas as expressões algébrico/anal´ıticas das solu¸cões. E seja com a ajuda de sistemas gráficos, seja estudando, com os recursos do Cálculo, o comportamento das solu¸co˜es, ou usando os dois recursos combinados. Em se tratando de ´ assim mesmo. sistemas, o processo é sempre um tanto trabalhoso. N˜ ao se deixe abater. E Na próxima aula vamos estudar o método de varia¸caõ de parâmetros para sistemas n˜ ao-homogêneos de duas equa¸cões lineares de coeficientes constantes, encerrando o ciclo de cálculos expl´ıcitos de solu¸co˜es de sistemas de duas equa¸co˜es lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. A partir deste ponto, vários caminhos se abrem para nós. Podemos explorar as generaliza¸cões dos resultados vistos aos sistemas de três ou mais equa¸co˜es, ou investigar

269

CEDERJ



como as solu¸cões se modificam quando modificamos os coeficientes das matrizes, ou ainda os sistemas de coeficientes variáveis,ateoria qualitativa das equa¸cões, e muitos outros temas interessantes e atuais. Lamentavelmente, estes assuntos não fazem parte deste nosso primeiro contato com as equa¸cões diferenciais. Pelo menos já come¸camos a aplainar o terreno.

CEDERJ

270

´ M ODULO 3 -

AULA 19

Sistemas não-homogêneos

Aula 19 – Sistemas n˜ ao-homogˆ eneos

Objetivos

Ao final desta aula você estar´ a apto a calcular solu¸co˜es de sistemas não-homogêneos → − → − → − Y = A(t) Y + H (t), ′

− →

onde H (t) é o vetor de termos independentes. Varia¸ c˜ ao dos Parˆ ametros

Desejamos calcular a solu¸caõ geral de →′ −

→ −

→ −

Y = A(t) Y + H (t)

(19.1)

 

− →

h1 (t)

onde H (t) é um vetor de termos independentes h (t) , hi : I −→ R e as fun¸co˜es componentes da matriz A(t) s˜ ao cont´ınuas em um intervalo I . 2

Consideremos o sistema homogêneo associado → −

→ −

Y = A(t) Y

Atividade 19.1 → −

→ −

→ −

(19.2) → −

Mostre que se Y (t) e Z (t) são solu¸co˜es de (19.1) ent˜ ao Y (t) − Z (t) é solu¸caõ de (19.2) Solu¸cão:

Repetindo o argumento usado no estudo de equa¸ co˜es lineares, normais, não-homogêneas, de ordem n (veja a Aula 15), você pode concluir que se calcularmos uma solu¸caõ particular de (19.1) e também a solu¸ cão geral de (19.2) ent˜ ao a solu¸caõ geral de (19.1) ser´ a a soma das duas. Tamb´ em no contexto dos sistemas de equa¸co˜es lineares gerais, o método de varia¸ca˜ o dos parˆ ametros é um método que permite calcular uma solu¸ cão particular de (19.1) a partir da solu¸caõ geral de ( 19.2). 271

CEDERJ



Comecemos determinando uma solu¸cão geral de (19.2): − →

− →

Seja t0 um ponto arbitr´ ario de I , e sejam Y 1 (t) e Y 2 (t) duas solu¸co˜es linearmente independentes de (19.2) − →

→ −

Uma solu¸caõ geral de Y = A(t) Y é ′

− → H

→ −

→ −

Y (t) = c 1 Y 1 (t) + c2 Y 2 (t)

(19.3)

Procuramos uma solu¸caõ particular da forma − → P

− →

− →

Y (t) = u(t) Y 1 (t) + v(t) Y 2 (t)

(19.4)

onde fazemos a exigência de que − → P

− →

Y (t0 ) = Y H (t0 ).

− → P

− →

− →

Y (t0) = u(t0 ) Y 1 (t0) + v(t0 ) Y 2 (t0 ) e

− → H

→ −

→ −

Y (t0 ) = c 1 Y 1 (t0 ) + c2 Y 2 (t0) De onde − →

→ −

− →

− →

− →

0 = Y P (t0 ) − Y H (t0) = [u(t0 ) − c1 ] Y 1 (t0 ) + [v(t0) − c2] Y 2 (t0 )

Da´ı, por independência linear u(t0) = c1

v(t0 ) = c 2

e

(19.5)

− →

Agora, como Y H (t) é solu¸caõ de (19.2) ent˜ ao, no ponto t = t 0, →′ −

→′ −

→ −

→ −

c1 Y 1 (t0 ) + c2 Y 2 (t0 ) = c 1 A(t)Y 1 (t0 ) + c2 A(t)Y 2 (t0 ) − →

− →

(19.6)

− →

Como queremos que Y P (t) = u(t) Y 1 (t) + v(t) Y 2 (t) seja solu¸ca˜ o de (19.1) devemos ter

′

→ −

→′ −

′

→ −

→′ −

→ −

→ −

→ −

u (t) Y 1 (t)+u(t) Y 1 (t)+v (t) Y 2 (t)+v(t) Y 2 (t) = u(t) A(t)Y 1 (t)+v(t) A(t)Y 2 (t)+ H (t) Calculando em t = t 0

′

− →

− →′

′

− →

− →′

u (t0) Y 1 (t0 ) + u(t0) Y 1 (t0 ) + v (t0 ) Y 2 (t0 ) + v(t0 ) Y 2 (t0 ) = CEDERJ

272

´ M ODULO 3 -

AULA 19


→ −

→ −

→ −

= u(t0) A(t0 )Y 1 (t0 ) + v(t0) A(t0 )Y 2 (t0 ) + H (t0) Usando (19.5) podemos substituir u(t0 ) por c 1 e v(t0 ) por c 2 , o que nos dá

→ −

′

→′ −

→ −

′

→′ −

→ −

→ −

→ −

→ −

→ −

→ −

→ −

u (t0 ) Y 1 (t0)+c1 Y 1 (t0 )+v (t0) Y 2 (t0 )+c2 Y 2 (t0 ) = c 1 A(t0)Y 1 (t0 )+c2 ) A(t0 )Y 2 (t0)+ H (t0 ) ou ainda

→′ −

→′ −

→ −

′

′

c1 Y 1 (t0 )+c2 Y 2 (t0 )+u (t0 ) Y 1 (t0)+v (t0 ) Y 2 (t0 ) = c 1 A(t0)Y 1 (t0 )+c2 ) A(t0 )Y 2 (t0)+ H (t0 ) Usando (19.6) esta u ´ ltima igualdade se simplifica, restando apenas − →

′

− →

′

→ −

u (t0 ) Y 1 (t0 ) + v (t0) Y 2 (t0 ) = H (t0 )

(19.7)

Para concluir, observe que (19.7) é um sistema de duas equa¸ cões nas incógnitas u (t0 ) e v (t0 ). ′

′

− →

− →

Com efeito, se escrevemos as componentes de Y 1 (t0 ) e Y 2 (t0) obtemos → −

Y 1 (t0 ) =



y11 (t0 ) y21 (t0 )



e

− →

Y 2 (t0) =



y12(t0 ) y22(t0 )



Então (19.7) se reescreve como



y11 (t0 ) u (t0 ) + y12 (t0) v (t0) = h 1(t0 ) y21 (t0 ) u (t0) + y22 (t0) v (t0) = h 2(t0 ) ′

′

′

′

(19.8)

umeros y 11 (t0 ), y12 (t0 ), y21(t0 ), y22(t0 ), h1(t0 )h2 (t0 ) são Aten¸ c˜ ao!!! Os n´ conhecidos. As incógnitas são u (t0 ) e v (t0 ). ′

′

Além disso, o determinante principal do sistema (19.8 ) é → −

→ −

det col[Y 1 (t0)Y 2 (t0 )], − →

− →

que é diferente de zero, j´ a que Y 1 (t) e Y 2 (t) s˜ ao solu¸co˜es linearmente independentes de (19.2) Resolvendo o sistema (19.8) pela regra de Cramer, obtemos 273

CEDERJ



 

det ′

u (t0 ) = det

h1(t0 ) y12(t0 ) h2(t0 ) y22(t0 ) y11(t0 ) y12 (t0 ) y21(t0 ) y22 (t0 )

 

e det ′

v (t0 ) = det

 

y11(t0 ) h1 (t0 ) y21(t0 ) h2 (t0 ) y11(t0 ) y12(t0 ) y21(t0 ) y22(t0 )

 

O ponto t 0 foi escolhido de modo completamente arbitr´ ario no intervalo I . Então podemos dizer que para todo t

 

det ′

u (t) = det

∈

I ,

h1 (t) y12 (t) h2 (t) y22 (t)

 

y11 (t0) y12 (t0) y21 (t0) y22 (t0)

(19.9)

e det ′

v (t) = det

 

y11(t) h1 (t) y21(t) h2 (t) y11(t) y12 (t) y21(t) y22 (t)

 

(19.10)

Integrando as equa¸co˜es diferenciais (19.9) e (19.10) calcula-se as fun¸co˜es u e v. Coment´ ario :

Analisando com cuidado a dedu¸c˜ a o da f´ ormula de varia¸cão dos parˆ ametros,você percebe que existem alguns pontos que merecem ser esclarecidos. Por exemplo - e isso foi importante na dedu¸ca õ − → − → da f´ ormula - por que raz˜ ao exigimos que Y P (t0 ) fosse igual a Y H (t0 )? Ser´ a que foi apenas uma escolha feliz, feita de modo que “tudo funcionasse direitinho”? Ou ser´ a que existe uma explica¸ca õ mais concreta para isso? Ali´ as, porque raz˜ ao procurar uma solu¸ca õ particular substituindo as constantes c1 e c 2 da solu¸c˜ ao geral de (19.2) por fun¸ c˜ oes u(t) e v(t)? As respostas a essas quest˜ oes est˜ ao nos trabalhos originais de Lagrange. Existem boas raz˜ oes para essas escolhas. Infelizmente reproduzi-las aqui seria um desvio muito longo, e vamos omiti-las. A nota hist´ orica a seguir, nos d´ a uma indica¸c˜ ao do contexto em que o m´ etodo da varia¸ ca õ dos parˆ ametros foi desenvolvido

CEDERJ

274

´ M ODULO 3 -

AULA 19


Nota Hist´ orica

Na segunda metade do s´ eculo XVIII, Laplace tinha apresentado uma demonstra¸ca˜ o de que um planeta ao se movimentar ao redor do Sol, numa trajetória el´ıptica, não corria o risco de ter os eixos da sua o´rbita irem ficando cada vez maiores, de modo que pudesse eventualmente desgarrar do sistema solar, ou então que os eixos fossem ficando cada vez menores e o planeta fosse espiralando em dire¸caõ ao Sol. Em ambos os casos as conseqüências seriam desastrosas. Laplace pretendeu mostrar que o semi-eixo maior da órbita de um planeta atra´ıdo pelo sol, de acordo com a lei da gravita¸cão universal de Newton permanecia estável (poderia até sofrer varia¸cões, mas permanecerias sempre dentro de uma faixa de seguran¸ca que o impediria de desgarrar-se do sistema ou vir a colidir com o centro de atra¸cão. A demonstra¸cão de Laplace não foi considerada satisfat´ oria por muitos matem´ aticos e f´ısicos. Uma das razões é que a trajet´ oria real de um planeta sofre a influência de outros planetas e corpos celestes, os quais não podem ser ignorados. Este famoso problema tem o nome de “Problema da Estabilidade Secular do Semi-eixo maior das Trajetó rias”. Na verdade ele não foi resolvido satisfatoriamente até hoje. Mas um dos primeiros a tentar corrigir a demonstra¸caõ de Laplace foi Lagrange. Apesar de sua demonstra¸caõ também vir a ser considerada incompleta, no decurso de suas investiga¸cões a respeito do tema, Lagrange introduziu os primeiros elementos do que viria a ser, no século XX, uma nova geometria, a Geometria Simplética.

Daqueles trabalhos surgiram tamb´ em o método da varia¸cão dos parâmetros. No dia 22 de agosto de 1808, Lagrange submeteu ao Institut de France (uma espécie de Academia de Ciências Francesa) uma trabalho intitulado Mémoire sur la th´ eorie des variations des ´ el´ ements des planètes . Era um trabalho sobre as-

tronomia, e nele Lagrange se propunha a calcular a trajetó ria de um planeta atra´ıdo nã o só pelo Sol, mas perturbado pela atra¸cão de vários outros corpos celestes (planetas, satélites dos planetas, etc.). Se um planeta sofresse apenas a atra¸cão de um centro fixado, sua trajetória seria uma curva cˆ onica determinada por seis constantes. Ao estudar o movimento real do planeta, submetido às atra¸cões de outros corpos Lagrange se ocupou em determinar a equa¸caõ da trajet´ oria, e eventualmente extrair informa¸cões sobre a mesma. O trabalho supracitado foi seguido de um outro Sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires , apresentado em 13 de mar¸co de 1809, onde ele generalizou o método de varia¸cão das constantes usado no trabalho anterior a todas os problemas de mecânica (i.é, a todos os movimentos de part´ıculas,os quais, como sabemos,são governados por equa¸cões diferenciais de segunda ordem, quer sejam de planetas no sistema solar, ou objetos na superf´ıcie da Terra, ou em outras galáxias). Posteriormente, em 19 de fevereiro de 1810, ele apresentou ainda uma nova vers˜ ao, bastante simplificada e definitiva de seu método de varia¸caõ das constantes (ou parˆ ametros).

Retomemos nossos c´ a lculos. O pr´ oximo quadro resume o método de varia¸caõ dos parˆ ametros para sistemas:

275

CEDERJ



O M´ etodo de Varia¸ c˜ ao dos Parˆ ametros:

Para calcular uma solu¸caõ particular de →′ −

→ −

→ −

− →

Y = A(t) Y + H (t),

H (t) =

  h1 (t) h2 (t)

pelo método de varia¸ ca˜ o dos parˆ ametros, precisamos conhecer/ calcular a solu¸caõ geral da equa¸caõ homogênea associada, →′ −

→ −

Y = A(t) Y

que é da forma

− → H

→ −

→ −

Y (t) = c 1 Y 1 (t) + c2 Y 2 (t), sendo

→ −

Y 1 (t) =

  y11 (t)

e

y21 (t)

− →

Y 2

(t) =

  y12 (t) y22 (t)

.

Então uma solu¸caõ particular é obtida através da f´ ormula

    det

− → P

Y (t) =

det

h1 (t)

y12 (t)

h2 (t)

y22 (t)

y11 (t)

y12 (t)

y21 (t)

y22 (t)

   → −

det

→ −

dt

− →

   

Y 1 (t) +

det

y11 (t)

h1 (t)

y21 (t)

h2 (t)

y11 (t)

y12 (t)

y21 (t)

y22 (t)

  

→ −

dt

Y 2 (t)

→ −

e a solu¸caõ geral de Y = A(t) Y + H (t) é ′

→ −

− →

− →

Y (t) = Y H (t) + Y P (t)

Exemplo 19.1

Determine a solu¸cão geral do sistema não-homogêneo →′ −

Y =



2 1

−

1 −2

   → −

Y +

2e t 3t −

Solu¸c˜ ao: O sistema é de coeficientes constantes. Portanto sabemos calcular a solu¸cão geral do sistema homogêneo associado. Deixamos a seu cargo verificar que os autovalores da matriz do sistema são λ1 = λ2 =

a λ 1 =

CEDERJ

276

1 e que, por exemplo,

−

3 e λ 2 =

−

1.

−

   1 1

−

e

1 1

3e

−

são autovetores associados respectivamente

´ M ODULO 3 -

AULA 19


Portanto a solu¸cão geral do sistema homogêneo associado é

            e 3t 3t −e

e e

−

− →

Y H (t) = c 1

+c2

−

− →

t

−

t

−

− →

Y 1 (t)

Y 2 (t)

− →

− →

O determinante da matriz cujas colunas são Y 1 (t) e Y 2 (t) é − →

e 3t 3t −e −

− →

det ( col[Y 1 (t)Y 2 (t)] ) = det

−

t

−

e e

= 2e

t

−

4t

−

As fórmulas (19.9) e (19.10) nos dão diretamente det ′

u (t) = Isto é



2e 3t

t

e e

−

t

−

t

−



det ′

e v (t) =

4t

2e

−

3 u (t) = e 2t − te3t 2 ′

e −e

3t

−

2e 3t

t

−

3t

−



4t

2e

−

′

e



v (t) = 1 =

3 t te 2

Portanto 1 1 1 u(t) = e2t − te3t + e3t 2 2 6

3 3 e v(t) = t + tet − et , 2 2

e uma solu¸cão particular do sistema dado é − →

Y P (t)

1 1 1 3 3 − − → → = ( e2t − te3t + e3t )Y 1 (t) + (t + tet − et )Y 2 (t) 2 2 6 2 2 =



(t + 12 )e t + t − 43 (t − 2)e t + 2t − 53 −

−



Finalmente, a solu¸cão geral do sistema não-homogêneo é → −

Y (t) = c 1

  1 −1

e

3t

−

+ c2

   1 1

e

t

−

+

(t + 12 )e t + t − 43 (t − 2)e t + 2t − 53 −

−



Atividade 19.2

Sistemas não homogêneos provenientes de equa¸co˜es normais de segunda ordem, não-homogêneas. Considere uma equa¸caõ diferencial linear de segunda ordem, normal, não-homogênea y + p(t)y + q (t)y = h(t), (19.11) ′′

′

com coeficientes e termo independente h(t) cont´ınuos em um intervalo. Complete as lacunas, formando o sistema de duas equa¸co˜es de primeira ordem equivalente a (19.11)

 

y1 = ′

+ (19.12)

y2 = ′

+ 277

CEDERJ



A forma matricial do sistema (19.12) é

 

→′ −

Y =

 

− →

y1

Sejam Y 1 (t) = y associado a (19.13). ′

1

       0 h(t)

→ −

Y +

(19.13)

→ −

H (t)

− →

e Y 2 (t) =

  y2 y2′

as solu¸co˜es do sistema homogêneo

Complete: Para calcular uma solu¸caõ particular de (19.13) pelo método da varia¸caõ dos parˆ ametros precisamos determinar u(t) e v(t) pelas fórmulas det ′

u (t) =

 

det

 

y2 y2

det

′

y1 y2 y1 y2 ′

′

′

e v (t) =

 

y1 y1

det

′

y1 y2 y1 y2 ′

′

 

  y1

y2

Observe que det y y = W [y1 (t), y2 (t)], o wronskiano das solu¸co˜es y 1(t) e y2(t) da equa¸cão homogênea associada a (19.11). ′

1

′

2

Para terminar, escreva abaixo as express˜ oes de u(t) e v(t)

u(t) = −



W [y1 (t), y2(t)]

dt e v(t) =



W [y1 (t), y2 (t)]

dt

Escreva agora a solu¸caõ particular do sistema (19.13) − → P (t) =

 ! y1

Y

′

y1

+

 ! y2 y2′

(19.14)

Observe que a primeira linha da solu¸caõ vetorial (19.14) (do sistema não-homogêneo (19.13)) coincide com a solu¸ cão particular da equa¸ca˜ o de segunda ordem (19.11) como foi calculada na Aula 15. Exemplo 19.2

Exemplo 19.3

O M´ etodo dos Coeficientes a Determinar

Algumas vezes, quando a matriz do sistema não-homogêneo →′ −

→ −

→ −

Y = A Y + H (t),

CEDERJ

278

´ M ODULO 3 -

AULA 19


− →

é constante e os elementos do vetor de termos independentes H (t) são constantes, ou polinˆ omios, fun¸co˜es exponenciais, cossenos ou senos, ou combina¸cões lineares dessas fun¸cões, é poss´ıvel encontrar uma solu¸caõ particular pelo m´ etodo dos coeficientes a determinar . Trata-se da generaliza¸caõ do método que aplicamos a`s equa¸co˜es de segunda ordem, na aula 14. Vejamos um par de exemplos: Exemplo 19.4

→′ −

Y =



2 −1

  

3 −2

7 5

→ −

−

Y +

Solu¸c˜ ao: − →

− →

Os coeficientes de H (t) s˜ ao constantes. Procuremos um solu¸cão particular Y p =

  a1 a2

, a 1 e a 2 constantes. Substituindo na equa¸cão, temos

− →′

Y p =

   0 0

=

2 −1

3 −2

    a1 a2

7 5

−

+

,

o que nos dá o sistema de duas equa¸cões



2a1 + 3a2 = −7 −a1 − 2a2 = 5

As solu¸co˜es deste sistema são a 1 = 1 e a2 = − →

Y p =

3. Portanto

−

  1 −3

.

Exemplo 19.5

→′ −

Y =

   6 1 4 3

→ −

Y +

6t −10t + 4



Solu¸c˜ ao: − →

Os coeficientes de H (t) s˜ ao polinômios de primeiro grau . Procuremos um solu¸cão − → a1 t + b1 particular Y p = . Substituindo na equa¸cão, a2 t + b2



− →′

Y p = Da´ı deduzimos

     a1 a2



=

6 1 4 3

a1 t + b1 a2 t + b2

 +

6t −10t + 4



.

6(a1 t + b1 ) + a2 t + b2 + 6t = a 1 4(a1 t + b1 ) + 3(a2 t + b2 ) − 10t + 4 = a 2

279

CEDERJ



Efetuando os c´ alculos do lado esquerdo do sinal “=” em cada linha, e igualando os coeficientes das potências de t nas expressões obtidas aos respectivos coeficientes das potências a1 de t nas linhas do vetor , obtemos o sistema a2

 

     

Ou ainda

6a1 + a2 + 6 = 0 6b1 + b2 = a 1 4a1 + 3a2 + 10 = 0 4b1 + 3b2 + 4 = a 2

6a1 + a2 = −6 −a1 + 6b1 + b2 = 0 4a1 + 3a2 = −10 −a2 + 4b1 + 3b2 = −4

As solu¸cões deste sistema s˜ ao a1 = −130/49. Assim, − → p

Y =



4/7 , a2 =

18/7 ,b1 = 17/49 e b2 =

−

−

(−4/7)t + 17/49 (−18/7)t − 130/49



.

Exerc´ıcios Exerc´ ıcio 19.1

Use o método de varia¸cão de parâmetros para obter as solu¸co˜es gerais dos sistemas − →

1. Y = ′

− →

2. Y = ′

− →

3. Y = ′

− →

5. Y = ′

− →

7. Y = ′

    

3 3/4 2 4

−

1 2

0 −1

2 3

0 −1

2 3

1 1

              

5 −1 −

8 −1

et/2 t/2 −e

→ −

Y +

→ −

Y +

→ −

Y +

e2t sen(2t) 2e2t cos(2t) et t −e

4. Y =

2

6. Y =

→ −

Y +

→ −

Y +

e

− →

′

− →

′

3t

−

12t 12t

− →

8. Y = ′

  

3 −2

        

2 −1

1 1

−

1 1

0 1

−

1 0

→ −

Y +

→ −

Y +

→ −

Y +

1 1

et cos(t) et sen(t) sec(t) 0

Exerc´ ıcio 19.2

Resolva os sistemas, obtendo uma solu¸cão particular pelo método dos coeficientes a determinar − →

′

1. Y =

CEDERJ

280



4 1/3 9 6

   → −

Y +

3et 10et

−

´ M ODULO 3 -

AULA 19


− →

′

2. Y =



1 5 1 −1

−

  → −

Y +

sen(t) −2cos(t)



Resumo Avalia¸ c˜ ao

281

CEDERJ

Equações Diferenciais - Vol.2 - CEDERJ

Recommend Documents