De várias maneiras, equações diferenciais são o coração da análise e do cálculo, dois dos mais importantes ramos da matemática nos últimos 300 anos. Equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de graduação de cálculo. Como uma ferramenta matemática importante par a ciências físicas, a equação diferencial não tem igual. Assim é amplamente aceito que equações diferenciais são importantes em ambas matemática pura e aplicada. A história sobre este assunto é rica no seu desenvolvimento e é isto que estaremos olhando aqui.
Os fundamentos deste assunto parecem estar dominados pelas contribuições de um homem, LeonhardEuler LeonhardEuler , que podemos dizer que a história deste assunto começa e termina com ele. Naturalmente, isto seria uma simplificação grosseira do seu desenvolvimento. Existem vário contribuintes importantes, e aqueles que vieram antes de Euler foram necessários para que el pudesse entender o cálculo e a análise necessários para desenvolver muitas das idéias fundamentais. Os contribuintes depois de Euler refinaram seu trabalho e produziram idéias inteiramente novas, inacessíveis à perspectiva do século 18 de Euler e sofisticadas além d entendimento de apenas uma pessoa. Esta é a história do desenvolvimento das equações diferenciais. Daremos uma pequena olhad nas pessoas, nas equações, nas técnicas, na teoria e nas aplicações. A história começa com os inventores do cálculo, Fermat Fermat,, Newton Newton,, e Leibniz Leibniz.. A partir do momento que estes matemáticos brilhantes tiveram entendimento suficiente e notação para derivada,, esta logo apareceu em equações e o assunto nasceu. Contudo, logo descobriram que derivada as soluções para estas equações não eram tão fáceis. As manipulações simbólicas simplificações algébricas ajudaram apenas um pouco. A integral (antiderivada) e seu papel teórico no Teorema Fundamental do Cálculoofereceu Cálculo ofereceu ajuda direta apenas quando as variáveis eram separadas, em circunstâncias muito especiais. O método de separação de variáveis foi desenvolvido por Jakob Bernoulli e generalizado por Leibniz Leibniz.. Assim estes pesquisadores iniciais do século 17 focalizaram estes casos especiais e deixaram um desenvolvimento mai geral das teorias e técnicas para aqueles que os seguiram. Ao redor do início do século 18, a próxima onda de pesquisadores de equações diferenciai começou a aplicar estes tipos de equações a problemas em astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli estudou cuidadosamente e escreveu equações diferenciais para o moviment
planetário, usando os princípios de gravidade e momento desenvolvidos por Newton. O trabalho de Bernoulli incluiu o desenvolvimento da catenária e o uso de coordenadas polares. Nesta época, as equações diferenciais estavam interagindo com outros tipos de matemática e ciências para resolver problemas aplicados significativos. Halley usou os mesmos princípio para analisar a trajetória de um cometa que hoje leva seu nome. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi provavelmente o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e o princípios de mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos usando equações diferenciais e a encontrar suas soluções. Ricatti (1676--1754) começou um estudo sério de uma equação em particular, mas foi limitado pelas teorias do seu tempo para casos especiai da equação que leva hoje seu nome. Os Bernoullis, Jakob, Johann, e Daniel, todos estudaram os casos da equação de Ricatti também. Na época, Taylor usou séries para "resolver" equações diferenciais, outros desenvolveram e usaram estas séries para vários propósitos Contudo, o desenvolvimento de Taylor de diferenças finitas começou um novo ramo da matemática intimamente relacionado ao desenvolvimento das equações diferenciais. No iníci do século 18, este e muitos outros matemáticos tinham acumulado uma crescente variedade d técnicas para analisar e resolver muitas variedades de equações diferenciais. Contudo, muita equações ainda eram desconhecidas em termos de propriedades ou métodos de resolução. Cinqüenta anos de equações diferenciais trouxeram progresso considerável, mas não um teoria geral. O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um mestre para consolidar generalizar os métodos existentes e criar novas e mais poderosas técnicas para atacar grandes famílias de equações.
Muitas equações
pareciam amigáveis, mas tornaram-se
decepcionantemente difíceis. Em muitos casos, técnicas de soluções iludiram perseguidore por cerca de 50 anos, quando Leonhard Euler chegou à cena das equações diferenciais. Euler teve o benefício dos trabalhos anteriores, mas a chave para seu entendimento era se conhecimento e percepção de funções. Euler entendeu o papel e a estrutura de funções, estudou suas propriedades e definições. Rapidamente achou que funções eram a chave par entender equações diferenciais e desenvolver métodos para suas resoluções. Usando seu conhecimento de funções, desenvolveu procedimentos para soluções de muitos tipos de equações. Foi o primeiro a entender as propriedades e os papéis das funções exponenciais logarítmicas, trigonométricas e muitas outras funções elementares. Euler também desenvolveu várias funções novas baseadas em soluções em séries de tipos especiais de equaçõe diferenciais. Suas técnicas de conjecturar e encontrar os coeficientes indeterminados fora
etapas fundamentais para desenvolver este assunto. Em 1739, desenvolveu o método de variação de parâmetros. Seu trabalho também incluiu o uso de aproximações numéricas e desenvolvimento de métodos numéricos, os quais proveram "soluções" aproximadas para quase todas as equações. Euler então continuou aplicando o trabalho em mecânica que levou a modelos de equações diferenciais e soluções. Ele era um mestre que este assunto necessitav para se desenvolver além de seu início primitivo, tornando-se um assunto coeso e central ao desenvolvimento da matemática aplicada moderna. Depois de Euler vieram muitos especialistas que refinaram ou estenderam muitas das idéia de Euler. Em 1728, Daniel Bernoulli usou os métodos de Euler para ajudá-lo a estudar oscilações e as equações diferenciais que produzem estes tipos de soluções. O trabalho d D'Alembert em física matemática envolveu equações diferenciais parciais e explorações por soluções das formas mais elementares destas equações. Lagrange seguiu de perto os passos de Euler, desenvolvendo mais teoria e estendendo resultados em mecânica, especialmente equações de movimento (problema dos três corpos) e energia potencial. As maiore contribuições de Lagrangeforam provavelmente na definição de função e propriedades, o qu manteve o interesse em generalizar métodos e analisar novas famílias de equaçõe diferenciais. Lagrange foi provavelmente o primeiro matemático com conhecimento teórico ferramentas suficientes para ser um verdadeiro analista de equações diferenciais. Em 1788 ele introduziu equações gerais de movimento para sistemas dinâmicos, hoje conhecidas como equações de Lagrange. O trabalho de Laplace sobre a estabilidade do sistema solar levou a mais avanços, incluindo técnicas numéricas melhores e um melhor entendimento d integração. Em 1799, introduziu as idéias de um laplaciano de uma função. Laplace claramente reconheceu as raízes de seu trabalho quando escreveu "Leia Euler, leia Euler, ele é nosso mestre". O trabalho de Legendre sobre equações diferenciais foi motivado pelo movimento de projéteis, pela primeira vez levando em conta novos fatores tais como resistência do ar e velocidades iniciais. Lacroixfoi o próximo a deixar sua marca. Trabalhou em avanços nas equações diferenciais parciais e incorporou muitos dos avanços desde o tempos de Euler ao seu livro. A contribuição principal de Lacroix foi resumir muitos do resultados de Euler, Lagrange, Laplace, e Legendre. O próximo na ordem foi Fourier . Sua pesquisa matemática fez contribuições ao estudo e cálculos da difusão de calor e à solução d equações diferenciais. Muito deste trabalho aparece em The AnalyticalTheoryofHeat (A Teoria Analítica do Calor,1822) de Fourier, no qual ele fez uso extensivo da série que leva seu nome. Este resultado foi uma ferramenta importante para o estudo de oscilações. Fourier, contudo,
pouco contribuiu para a teoria matemática desta série, a qual era bem conhecida anteriorment por Euler, Daniel Bernoulli, e Lagrange. As contribuições de Charles Babbage vieram por uma rota diferente. Ele desenvolveu uma máquina de calcular chamada de Máquina de Diferença que usava diferenças finitas para aproximar soluções de equações. O próximo avanço importante neste assunto ocorreu no início do século 19, quando as teoria e conceitos de funções de variáveis complexas se desenvolveram. Os dois contribuintes principais deste desenvolvimento foram Gauss e Cauchy. Gauss usou equações diferenciais para melhorar as teorias das órbitas planetárias e gravitação. Gauss estabeleceu a teoria d potencial como um ramo coerente da matemática. Também reconheceu que a teoria da funções de uma variável complexa era a chave para entender muitos dos resultados necessários em equações diferenciais aplicadas. Cauchy aplicou equações diferenciais par modelar a propagação de ondas sobre a superfície de um líquido. Os resultados são agor clássicos em hidrodinâmica. Inventou o método das características, o qual é importante na análise e solução de várias equações diferenciais parciais. Cauchy foi o primeiro a defini completamente as idéias de convergência e convergência absoluta de séries infinitas e iniciou uma análise rigorosa de cálculo e equações diferenciais. Também foi o primeiro a desenvolver uma teoria sistemática para números complexos e a desenvolver a transformada de Fourie para prover soluções algébricas para equações diferenciais. Depois destas grandes contribuições de Gauss e Cauchy, outros puderam refinar estas teorias poderosas e aplicá-las a vários ramos da ciência. Os trabalhos iniciais de Poisson em mecânica apareceram em Trait é de m écanique em 1811. Aplicou seu conhecimento de equações diferenciais a aplicações em física e mecânica, incluindo elasticidade e vibrações. Muito de seu trabalho original foi feito na solução e análise de equações diferenciais. Outro aplicador destas teorias foi George Green. O trabalho de Green em fundamentos matemáticos de gravitação, eletricidade e magnetismo foi publicado
em
1828
em
AnEssayonthe Appl icationofMathematica lAnal ysistoE le ctricityandMagnetism.
A
matemática de Green proveu a base na qual Thomson, Stokes, Rayleigh, Maxwell e outros construíram a teoria atual do magnetismo. Bessel era um a migo de Gauss e aplicou seu conhecimento sobre equações diferenciais à astronomia. Seu trabalho sobre funções de Bessel foi feito para analisar perturbações planetárias. Posteriormente
estas
construções
foram
usadas
para
resolver
equações
diferenciais. Ostrogradsky colaborou com Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy enquanto usava equações diferenciais para desenvolver teorias sobre a condução do calor. Joseph Liouville foi o primeiro a resolver problemas de contorno resolvendo equações integrais equivalentes, um método refinado por Fredholm e Hilbert no início da década de 1900. O trabalho de Liouville sobre a teoria de integrais de funções elementares foi uma contribuição substancial para soluções de equações diferenciais. As investigações teóricas e experimentais de Stokes cobriram hidrodinâmica, elasticidade, luz, gravitação, som, calor, meteorologia e física solar. Ele usou modelos de equações diferenciais em todos os campos de estudo.
Na metade do século 19, uma nova estrutura era necessária para atacar sistemas de mais d uma equação diferencial. Vários matemáticos vieram em socorro. Jacobi desenvolveu a teoria de determinantes e transformações em uma ferramenta poderosa para avaliar integrai múltiplas e resolver equações diferenciais. A estrutura do jacobiano foi desenvolvida em 1841. Como Euler, Jacobi era um calculador muito hábil e um perito numa variedade d campos aplicados. Cayley também trabalhou com determinantes e criou uma teoria para operações com matrizes em 1854. Cayley era um amigo de J. J. Sylvester e foi para o Estados Unidos para lecionar na Universidade Johns Hopkins entre 1881 e 1882. Cayle publicou mais de 900 artigos cobrindo muitas áreas da matemática, dinâmica teórica astronomia. Cayley criou a noção de matrizes em 1858 e desenvolveu boa parte da teoria d matrizes nas décadas posteriores. JosiahGibbs fez contribuições à termodinâmica, ao eletromagnetismo e à mecânica. Por seu trabalho nos fundamentos de sistemas de equações Gibbs é conhecido como o pai da análise vetorial. À medida que o final do século 19 se aproximava, os principais esforços em equações diferenciais se moveram para um plano teórico. Em 1876, Lipschitz (1832--1903) desenvolveu teoremas de existência para soluções de equações diferenciais de primeira ordem. O trabalho de Hermite foi desenvolver a teoria de funções e soluções de equações. À medida que a teoria se desenvolveu, as seis funções trigonométricas básicas foram provada transcendentais, assim como as inversas das funções trigonométricas e as funçõe exponenciais e logarítmicas. Hermite mostrou que a equação de quinta ordem poderia ser resolvida por funções elípticas. Enquanto seu trabalho era teórico, os polinômios de Hermite e as funções de Hermite se mostraram posteriormente muito úteis para resolver a equação d onda de Schrödinger e outras equações diferenciais. O próximo a construir fundamento
teórico foi Bernhard Riemann. Seu doutorado foi obtido, sob a orientação de Gauss, na teoria de variáveis complexas. Riemann também teve o benefício de trabalhar com o físico Wilhelm Weber . O trabalho de Riemann em equações diferenciais contribuiu para resultados em dinâmica e física. No final da década de 1890, Gibbs escreveu um artigo que descreveu convergência e o "fenômeno de Gibbs" da série de Fourier. O próximo contribuinte teórico importante foi Kovalevsky, a maior matemática antes do século 20. Depois de vencer dificuldades consideráveis por causa da discriminação de seu gênero, ela teve oportunidade d estudar com Weierstrass. No início de sua pesquisa, completou três artigos sobre equações diferenciais parciais. No seu estudo da forma dos anéis de Saturno, ela se apoiou no trabalho de Laplace, cujo trabalho ela generalizou. Basicamente, o trabalho de Kovalevsky era sobre teoria de equações diferenciais parciais e um resultado central sobre a existência de soluções ainda leva seu nome. Ela publicou vários artigos sobre equações diferenciais parciais. Posteriormente, no século 20, trabalhos teóricos de Fredholm e Hilbert refinaram os resultados iniciais e desenvolveram novas classificações para o entendimento posterior d algumas das mais complicadas famílias de equações diferenciais. O próximo impulso foi no desenvolvimento de métodos numéricos mais robustos e eficientes. Carl Runge desenvolveu métodos numéricos para resolver as equações diferenciais que surgiram no seu estudo do espectro atômico. Estes métodos numéricos ainda são usados hoje. Ele usou tanta matemática em sua pesquisa que físicos pensaram que fosse matemático, e fe tanta física que os matemáticos pensaram que fosse físico. Hoje seu nome está associado co os métodos de Runge-Kutta para resolver equações diferenciais. Kutta, outro matemátic aplicado alemão, também é lembrado por sua contribuição à teoria de Kutta-Joukowski de sustentação de aerofólios em aerodinâmica, baseada em equações diferenciais. Na últim metade do século 20, muitos matemáticos e cientistas da computação implementara métodos numéricos para equações diferenciais em computadores para dar soluções rápidas eficientes para sistemas complicados, sobre geometrias complexas, de grande escala. Richard Courant e Garrett Birkhoff foram pioneiros bem sucedidos neste esforço. Equações não lineares foram o próximo grande obstáculo. Poincaré, o maior matemático de sua geração, produziu mais de 30 livros técnicos sobre física matemáticas e mecânica celeste A maioria destes trabalhos envolveu o uso e análise de equações diferenciais. Em mecânic celeste, trabalhando com os resultados do astrônomo americano George Hill, conquistou a estabilidade das órbitas e iniciou a teoria qualitativa de equações diferenciais não lineares
Muitos resultados de seu trabalho foram as sementes de novas maneiras de pensar, as quai floresceram, tais como análise de séries divergentes e equações diferenciais não lineares. Poincaré entendeu e contribuiu em quatro áreas principais da matemática - análise, álgebra, geometria e teoria de números. Ele tinha um domínio criativo de toda a matemática de se tempo e foi, provavelmente, a última pessoa a estar nesta posição. No século 20, George Birkhoff usou as idéias de Poincaré para analisar sistemas dinâmicos grandes e estabelece uma teoria para a análise das propriedades das soluções destas equações. Na década de 1980, a teoria emergente do caos usou os princípios desenvolvidos por Poincaré e seus seguidores.
