Ejercicio 2
Ejercicios de Selectividad sobre Campo Eléctrico Ejercicio 1
Contenidos de Selectividad para Campo Eléctrico
Ejercicios de Selectividad Campo Eléctrico Selectividad UNED Y13
Ejercicios de Selectividad Campo Eléctrico Selectividad UNED Y13 Ejercicio 3
Ejercicio 4
Ejercicio 5
Ejercicio 16
Ejercicios de Selectividad Campo Eléctrico Selectividad UNED Y13
Ejercicio 9
Ejercicio 8
Ejercicio 7
Ejercicio 6
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Ejercicios de Selectividad Campo Eléctrico Selectividad UNED Y13 Ejercicio 10
Ejercicio 11
Ejercicio 12
Ejercicios de Selectividad Campo Eléctrico Selectividad UNED Y13
Ejercicio 13
Ejercicio 14
Ejercicio 15
Enunciados 1
Enero de 2016
p √ (1)2 + (12 ) = 2 = 1, 41m
1
1 = 1 ⇒ α = 450 1
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Por simetría los ángulos también son iguales.
tan α =
Utilizando trigonometría calculamos el ángulo α:
r2q = rq = r6q = r−3q = r = 1, 41m
Por la simetría de la configuración se cumple que:
r2q =
Figura 1: Configuración de las cargas
vectores campo eléctrico: Usando el teorema de pitágoras:
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(3)
(2)
(1)
de las cargas al punto O así como los ángulos necesarios para la descomposición en componentes de los
En primer lugar realizamos un esquema con la configuración de las cargas, y calculamos distancias
Ejercicio 3
Resuelto en clase
Ejercicio 2
Resuelto en clase
Ejercicio 1
1.
KCA, Fco. Javier López Abenza
Problemas de Campo Eléctrico
q ~ q = −k √q cos 45ˆi + k √q sin 45ˆjN/C Eq = k √ N/C ⇒ E 2 2 2 (5)
(4)
Procedemos a calcular los módulos de los campos eléctricos y sus componentes:
2q 2q 2q ~ 2q = k √ cos 45ˆi + k √ sin 45ˆjN/C E2q = k √ N/C ⇒ E 2 2 2 (6)
(17)
(16)
(15)
(14)
(13)
(12)
(11)
(10)
(9)
(8)
(7)
3q 3q 3q ~ −3q = k √ E−3q = k √ N/C ⇒ E cos 45ˆi − k √ sin 45ˆjN/C 2 2 2 6q 6q 6q ~ 6q = −k √ E6q = k √ N/C ⇒ E cos 45ˆi − k √ sin 45ˆjN/C 2 2 2 La resultante en el eje X es: q 2q 3q 6q Ex = −k √ cos 45ˆi + k √ cos 45ˆi + k √ cos 45ˆi − k √ cos 45ˆi 2 2 2 2 √ −2q −2q 2 ˆ Ex = k √ cos 45ˆi = k √ i = −kqˆi 2 2 2 La resultante en el eje Y es: q 2q 3q 6q Ey = k sin 45 √ ˆj + √ ˆj − √ ˆj − √ ˆj 2 2 2 2 √ −6q 2 −6q √ = −3kqˆj Ey = k sin 45 √ = k 2 2 2 Por tanto, el campo eléctrico resultante en O es: ~ = −kqˆi − 3kqˆj E
q Vq = k √ 2 2q V2q = k √ 2 −3q V−3q = k √ 2 6q V6q = k √ 2
Para calcular el potencial eléctrico resultante:
Aplicando el principio de superposición: 2q 3q 6q 6q q VO = k √ + k √ − k √ + k √ = k √ V 2 2 2 2 2
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2 12kq √ 2
m
=
12kq 2 √ m/s 2m
W = −4U = Ui − Uf = Q(Vi − Vf ) = 0J
Uint = k
q. − q q2 = −k L L
La energía potencial de un dipolo eléctrico viene dada por:
Ejercicio 5
Por tanto:
Vi = 0 ya que se trata de un punto infinitamente alejado.
Vf = VO = 0 ya que es el potencial en el origen que acabamos de calcular.
W = −4U = Ui − Uf = Q(Vi − Vf )
Al tratarse de un campo conservativo sabemos que:
q q q q VO = k √ − k √ + k √ − k √ = 0V L 2 L 2 L 2 L 2
Aplicamos el principio de superposición para obtener el potencial total en el origen:
q V1 = k √ L 2 −q V2 = k √ L 2 q V3 = k √ L 2 −q V4 = k √ L 2
Calculamos el potencial en el origen debido a cada carga:
Ejercicio 4
vf =
Ec0 + U0 = Ecf + Uf 1 0 + U0 = mvf2 + 0 2 1 qVO = mvf2 s 2 r 6q 2qk √ 2qVO 2 vf = = m m s s
el principio de conservación de la energía:
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(25)
(24)
(23)
(22)
(21)
(20)
(19)
(18)
Para calcular la velocidad que tendrá a una distancia infinita de las cargas, en primer lugar aplicamos
(27)
(26)
La expresión V (x, y) = x2 + y 2 nos dice el valor del potencial eléctrico debido a un campo eléctrico externo2 en función de las coordenadas del punto.
L L sin θ, cos θ 2 2
Por trigonometría obtenemos las coordenadas de +q y −q. Para +q:
Para −q: L L − sin θ, − cos θ 2 2
L2 L2 L2 sin2 θ + cos2 θ = V 4 4 4 (28)
(30)
(29)
L2 J 4
(31)
L2 L2 −q = 0J 4 4
(32)
L2 J 4
L2 L2 L2 sin2 θ + cos2 θ = V 4 4 4
Introduciendo dichas coordenadas en V (x, y) = x2 +y 2 , obtenemos los potenciales correspondientes: V+q =
V−q = La energía potencial de +q debida al campo externo es: U+q = +qV+q = q
UT = U+q + U−q = q
U−q − = qV−q = −q
La energía potencial de −q debida al campo externo es:
La suma de ambas:
Ejercicio 6 El campo eléctrico tiene sentido +ˆi. Al colocar una carga positiva, q, esta experimentará una fuerza
(33)
eléctrica con el mismo sentido que el campo. Por tanto se desplazará en el sentido positivo del eje X. El trabajo realizado por la fuerza eléctrica vendrá dado por: W = F~ d~r = qE(rf − r0 ) = qEd J
Para calcular la velocidad final podemos recurrir a las ecuaciones cinemática de un MRUA, ya que la
No se refiere al campo eléctrico generado por las cargas +q y −q del problema, sino al campo eléctrico en el que están
qE Fe = qE = ma ⇒ a = m vf = v0 + at = at 1 1 xf − x0 = v0 t + at2 = at2 2 2 r 2d 1 d = at2 ⇒ t = 2 a
trayectoría es rectílinea (eje X) y la aceleración es constante (campo uniforme):
2
inmersas dichas cargas
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Ejercicio 16
φ=
I
φ=
I
EdS = E = ES = E4πr2
E=k
4πkq1 = E4πr2 q1 r2
~ S ~= Ed
Qinterior = 4πkQinterior = 4πkq1 0
(46)
(45)
Suponemos una superficie esférica imaginaria cuyo radio es r. Al ser una superficie cerrada tenemos que: Además: Igualando:
Como F = q2 E:
q q1 q2 1 F = q2 k 2 = k 2 r r
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Figura 2: Configuración de las cargas
Uvertices =
l
4kq 2
2kq 2
+ √ l 2
q2 l q2 U23 = k l q2 U34 = k l q2 U14 = k l q2 U13 = k √ l 2 q2 U24 = k √ l 2
U12 = k
J
(43)
Utotal = Uvertices + Ucentro =
√
−8kq √ l 2
2 J
4kq 2 2kq 2 8kq 2 4 2kq 2 − 6kq 2 kq 2 √ + √ − √ = = l l l 2 l 2 l 2
2l 2
kq 2 Ucentro = −4 √ =
Sumando ambas obtenemos la total:
Por tanto:
de cargas la distancia de la carga negativa situada en el centro a las demás es: r r √ l2 l2 2l2 2l + = = m r= 4 4 4 2
6 4− √ 2
J (44)
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Ahora vamos a calcular la energía potencial debida a la presencia de la carga negativa. Por la configuración
Sumando:
de cada pareja y las sumamos:
Dado que la energía potencial cumple el principio de superposición, calculamos la energía potencial
Ejercicio 13
s
−2(−1, 6 × 10−19 ),300 = 1, 03 × 107 m/s 9, 1 × 10−31
(36)
(35)
(34)
eléctrico cuando r < R1 es:
q ~ ˆ E(r) = k 2n r
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En este caso no hay ninguna superficie, teniendo en cuenta que la carga q es puntual el valor del campo
Primer apartado
hacia fuera ya que q es positiva.
r. Y establecemos el vector unitario n ˆ , perpendicular a la superficie de la esfera considerada y apuntando
En base a la simetría del problema vamos a considerar superficies esféricas concéntricas a q con radio
Ejercicio 10
vf =
Con los datos del problema:
1 4EC = −4U ⇒ mvf2 = −q4V 2 r −2q4V vf = m
En el campo eléctrico se cumple el principio de la conservación de la energía:
ˆ m/s ~vf = −1, 76 × 1011 (5000ˆi − 2000ˆj + 1000k)t
Sustiyendo los datos proporcionados en el enunciado:
~vf =
~ qE t m q ˆ ~vf = (5000ˆi − 2000ˆj + 1000k)t m
~vf = ~v0 + ~at
~ ~ = m~a ⇒ ~a = q E F~ = q E m Así, la velocidad en fución del tiempo vendrá dada por:
Según la segunda Ley de Newton:
Ejercicio 8
Hecho en clase
Ejercicio 7
Sustituyendo en la ecuación de velocidad: r r r 2d a2 2d √ qE vf = a = = 2ad = 2 m/s a a m
Segundo apartado En este caso la superficie cerrada viene dada por una esfera imaginaria de radio R1 < r < R2 .
I
φ=
φ=
Q q + 4πR12 σ1 = ~ S ~ = ES = E4πr2 Ed
q + 4πR12 σ1 = E4πr2 q + 4πR12 σ1 = E4πr2 1 q + 4πR12 σ1 = E4πr2 4πk q + 4πR12 σ1 E=k r2 2 ~ = k q + 4πR1 σ1 n E ˆ r2
(38)
(37)
Por tanto, la carga dentro de dicha esfera viene dada por q y por la esfera hueca cargada de radio R1 . Así que: Q = q + 4πR12 σ1 . Al tratarse de una superficie cerrada:
Al tratarse de una esfera: Igualando:
Vectorialmente:
Tercer apartado En este caso la carga interior será: Q = q + 4πR12 σ1 + 4πR22 σ2
2 2 ~ = k q + 4πR1 σ1 + 4πR2 σ2 n E ˆ r2
Y siguiendo el mismo razonamiento que en el segundo apartado:
Ejercicio 11 El valor del campo eléctrico en el punto (x, y, z) = (0, 0, 1) es: ˆ E~1 = (sin 0)ˆi − (0)ˆj + (12 + 02 )kˆ = kN/C
1 ˆ F~1 = km/s2 m1 m1
ˆ F~1 = q E~1 = kN
Al situar una carga q = 1C en dicho punto, experimenta una fuerza:
Y una aceleración: a~1 =
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Para la carga colocada en el punto (x, y, z) = (1, 0, 2):
ˆ E~2 = (sin 0)ˆi − (1)ˆj + (22 + 12 )kˆ = −ˆj + 5kN/C
1 ˆ 5 ˆ F~2 =− km/s2 j+ m2 m2 m2
ˆ F~2 = q E~2 = −ˆj + 5kN a~2 =
p
√ F1 = 12 = 1N √ 26 = 5, 1N
(−1)2 + (52 ) =
F1 = 1N < 5, 1N = F2 ⇒ F2 > F1
F2 =
Suponiendo m1 = m2 = m la carga colocada en el punto (x, y, z) = (1, 0, 2) experimentará una aceleración inicial mayor, puesto que el módulo de F~2 es mayor que el de F~1 :
Ejercicio 12
En este caso tenemos que el campo eléctrico depende de la posición en el eje X. El valor del campo
~ = (ax + b)ˆi. eléctrico en función de la posición viene dada por la expresión E
(40)
(39)
Por otro lado, la fuerza eléctrica total ejercida sobre el dipolo viene dada por la suma de las fuerzas
ejercidas sobre cada una de las cargas que lo forman. Para −q:
~ −q F~−q = −q E
F~−q = (−q(ax0 + b)) ˆi = (−qax0 − qb)ˆi
(41)
(42)
~ +q F~+q = +q E
Suponiendo que −q se situa en el valor x0 del eje X:
Para +q:
Al suponer que −q se situa x0 , +q se situa en x0 + l:
= (−qax0 − qb + qax0 + qal + qb)ˆi = (qal)ˆiN
+ F~+q = (−qax0 − qb)ˆi + (qax0 + qal + qb)ˆi =
F~+q = (+q(a(x0 + l) + b)) = ˆi = (+q(ax0 + al + b))ˆi = (qax0 + qal + qb)ˆi Sumando (40) y (42): ~
F−q
Podemos concluir que el valor de la fuerza total ejercida sobre el dipolo no va a depender de las posiciones x0 y x0 + l que elijamos para el mismo.
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