Enseñanza Constructivista de las Ciencias

CENTRO INTERDISCIPLINARIO DE INVESTIGACIÓN Y DOCENCIA EN EDUCACIÓN TÉCNICA

LA EFECTIVIDAD DE LA ENSEÑANZA CONSTRUCTIVISTA DE LA ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA EN EL BACHILLERATO

TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS EN

ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS PRESENTA

NEFTALÍ ANTÚNEZ HERNÁNDEZ

CHILPANCINGO, GRO.

OCTUBRE DE 2003

La Efectividad de la Enseñanza Constructivista de la Aritmética y Álgebra en el Bachillerato

Contenido Resumen Abstract Capítulo I. Introducción

13

1.1

Antecedentes

17

1.2

Planteamiento del problema

19

1.3

Justificación

23

15

Capítulo II. Fundamentos 2.1

Desarrollo Histórico del Constructivismo

27

2.2

¿Qué es Constructivismo?

30

2.2.1 Constructivismo Psicológico Piagetiano

32

2.2.2 Constructivismo Social de Vygotsky

35

2.3

Salones de Clases Constructivistas

37

2.4

Características del Estudiante Constructivista

46

2.5

Características del Maestro Constructivista

53

2.6

Evaluación Constructivista

65

2.7

Aprendizaje Significativo

74

2.7.1 Historia del origen de la Perspectiva Significativa

74

2.7.2 ¿Qué es el Aprendizaje Significativo?

75

2.7.3 Aprendizaje Tradicional

77

2.7.4 Teoría del Aprendizaje Significativo

77

Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

9


2.7.5 Aprendizaje Significativo y Aprendizaje Mecánico 78 2.7.6 Características del Aprendizaje Significativo

81

2.7.7 Requisitos para el Aprendizaje Significativo

82

2.7.8 Constructivismo y Aprendizaje Significativo

83

2.7.9 Ventajas del Aprendizaje Significativo

85

2.7.10 Requisitos para lograr el Aprendizaje Significativo

86

2.7.11 Mitos del Aprendizaje Significativo

89

Educación Tradicional

91

2.8.1 Panorama Actual de la Educación Tradicional

100

2.9

El Constructivismo en Matemáticas

103

2.10

Enseñanza Constructivista de las Matemáticas

106

2.11

Barreras existentes al Implementar el Constructivismo

110

2.12

Modelo Constructivista de la Enseñanza de las

2.8

Matemáticas

115

2.12.1 Explicación del Modelo

118

2.12.2 Pautas a seguir en la Resolución de Problemas

119

2.12.3 Las Cuatro Fases de Solución de Problemas Problemas de George Polya

120

2.12.4 Rasgos que caracterizan a los Buenos Problemas

125

2.12.5 Ejemplo del uso del Método de Polya

126

2.12.6 Ejemplos de Aplicación del Modelo Propuesto

132

2.12.7 Ejemplo Completo del Modelo de Enseñanza 10



Constructivista de las Matemáticas

135

Capítulo III. Metodología 3.1

Introducción

141

3.2

Técnicas de Recolección de Datos

143

3.3

Población

143

3.4

Muestra

143

3.5

Instrumentos

145

3.6

Modelo General de Enseñanza Constructivista

146

3.7

Obtención de Resultados

148

3.8

Pruebas Estadísticas

149

3.9

Hipótesis

150

3.10

Objetivos

156

3.11

Tipo de Proyecto

157

Capítulo IV. Resultados 4.1 Resultados del Proyecto de Investigación 4.2 4.3

159

Presentación, Análisis e Interpretación de los Datos Obtenidos en la Investigación

159

Comparación De Resultados

168

4.3.1

Situación Inicial

168

4.3.2

Situación Final

170

4.3.3

Aprendizaje Significativo

172


11


4.4

Prueba de Hipótesis

174

4.5

Resultados Cualitativos

179

4.5.1 Resultados Matemáticos

179

Capítulo V. Conclusiones y Recomendaciones 5.1

Conclusiones

194

5.2

Recomendaciones

195

Bibliografía Anexos

196

Examen de Diagnóstico

202

Evaluación del Aprendizaje Significativo

209

Resultados Estadísticos

219

12



Resumen Este estudio estableció como hipótesis que los estudiantes en un salón de clases constructivista deben obtener mejores resultados en aritmética y álgebra que los estudiantes en un salón de clases tradicionalista. Cuatro diferentes salones de clase de estudiantes de primer semestre de bachillerato cursando Matemáticas I fueron seleccionados como grupos experimentales y de control. Dos grupos fueron enseñados usando métodos tradicionales de enseñanza en un entorno de aprendizaje tradicional, funcionando como grupos de control y enseñados por otro maestro —ajeno a los propósitos de esta investigación--. A los otros dos grupos se les enseñaron los mismos contenidos básicos utilizando métodos constructivistas en un entorno de aprendizaje constructivista. El más significativo hallazgo del estudio fue que los estudiantes en aritmética y álgebra en los salones de clase constructivistas obtuvieron aprendizajes significativos más altos que los estudiantes en salones de clases tradicionales --a pesar de que la teoría constructivista tiende a enfocarse en diferentes herramientas de evaluación--. Aunque el estudio tiende a apoyar la hipótesis principal, para confirmarla de una forma más general será necesario realizar investigaciones adicionales en esta área. El uso de una muestra conveniente, tal como la que se usó en este estudio, tiende a limitar la implicación de los resultados, debido a que los


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hallazgos pueden ser estrictamente hablando verdaderos para los cursos en esta escuela particular. Sin embargo, dado que el área de estudios es Matemáticas –contenidos y lenguaje común en todos los bachilleratos--, los resultados cuidadosamente podrían ser generalizados a otras instituciones de nivel medio superior o bachillerato. El propósito de este trabajo es respecto a la efectividad de una enseñanza constructivista de la aritmética y álgebra en el nivel medio superior. Su objetivo es responder las preguntas ¿Cómo obtener aprendizajes significativos en matemáticas? ¿Es el enfoque constructivista una alternativa adecuada en educación matemática? ¿Cuáles son las ventajas de la enseñanza constructivista respecto a la educación tradicional? ¿Cómo implementar la enseñanza constructivista en un modelo educativo tradicional?

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Abstract THE EFECTIVENESS OF THE CONSTRUCTIVIST TEACHING OF ARITHMETIC AND ALGEBRA IN THE CLASSROOMS OF THE HIGH SCHOOL LEVEL This study hypothesized that students in a constructivist classroom would perform better in arithmetic and algebra than students in a traditionalist classroom. Four different classrooms of students in a 10th grade Math I course were selected to serve as the experimental and control groups. Two groups were taught the material using traditional teaching methods in a traditional learning environment, functioning as the control groups and were instructed by another teacher –outside to this research--. The others two groups were taught the same basic content using constructivist methods in a constructivist learning environment. The most significant finding of the study was that students in arithmetic and algebra in the constructivist classrooms got higher meaningful learning than students in the more traditional classroom --even though constructivist approaches tends to focus on different assessment tools--. Although the study lends support to the major hypothesis, it should be noted that further research must be conducted in this area. The use of a convenience sample, such as was done in this study, tends to limit the


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implication of the results, because the findings can only be strictly said to be true for classes in this particular school. However, as the area in study is mathematics –contents and language common in High School--, the results carefully could be generalized to others institutions of High School level. The purpose of this work is about the effectiveness of the constructivist teaching of arithmetic and algebra in the classrooms of the High School level. Its objective is answering several arising questions: How to get meaningful learning in math? Is the constructivist approach an adequate alternative in math education? Which are the advantages of the constructivist teaching about to the traditionalist teaching? How to implement the constructivist teaching into a traditionalist educative model?

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Capítulo I Introducción «La matemática ha constituido, tradicionalmente, la tortura de los escolares del mundo entero, y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus hijos como un sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento necesario; pero la enseñanza no debe ser una tortura, y no seríamos buenos profesores si no procuráramos, por todos los medios, transformar este sufrimiento en goce, lo cual no significa ausencia de esfuerzo, sino, por el contrario, alumbramiento de estímulos y de esfuerzos deseados y eficaces». (Puig Adam, Pedro 1958)

1.1 Antecedentes El presente tema surge durante el desarrollo de la Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias y en especial en el IV Seminario Nacional de Investigación en Didáctica de la Matemática, celebrada en la Ciudad y Puerto de Acapulco, Gro., en diciembre del 2000, compartimos una mesa de trabajo con la Doctora en Matemáticas Rosa María Farfán autora entre otros del libro Ingeniería Didáctica, publicado por Grupo Editorial Iberoamérica. Cuando el conferencista en turno preguntó ¿Cuál es el problema más fuerte que enfrentan como docentes de matemáticas? En la mesa de trabajo comentamos que era la reprobación, la cual provoca deserción y a la vez causa el fracaso escolar. Sin embargo, la Dra. Farfán nos dijo que a su modo de ver, ese no era el problema más grave, ya que ¿Cómo garantizamos que los que habían aprobado verdaderamente


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habían aprendido matemáticas y en realidad sólo habían demostrado conocimientos memoristas en el instante de la evaluación? Ella comentó que el problema real, era que los estudiantes con la enseñanza tradicional no obtenían aprendizajes significativos sino memoristas, y también, a la mala publicidad y fama que le han dado a las matemáticas los malos maestros, quienes las han presentado como difíciles y aburridas, como una serie de símbolos y operaciones que solo sirven para reprobar a los estudiantes, quienes piensan ¡Qué difíciles han de ser las matemáticas, que ni el mismo maestro las domina! Por esto, aunque se enseñe tradicionalmente bien en los cursos previos, al llegar al curso siguiente

los alumnos prácticamente han olvidado los conocimientos anteriores, ya que los aprendizajes memorísticos se olvidan fácil y rápidamente. Por que lo mejor es lograr aprendizajes permanentes, lo que implica buscar un enfoque alterno al tradicional –pues éste visiblemente ha fracasado–, por uno nuevo que promueva aprendizajes significativos en los estudiantes, que haga que los estudiantes se apropien de los conocimientos y paulatinamente se vuelvan autónomos en su aprendizaje, es decir, que aprendan a aprender. Pero ¿Cuál es la teoría de aprendizaje o enseñanza que se debe utilizar? Durante la Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias nuestro objetivo principal además de la actualización de conocimientos, fue el buscar una teoría que cumpliera con proporcionar aprendizajes 18



significativos, encontrando que para las matemáticas y la mayoría de las ciencias básicas, la teoría más aceptada y utilizada es el Constructivismo. La literatura educativa moderna así lo dice –aunque también tiene algunas críticas en contra–, la mayoría de los educadores está de acuerdo en sus ventajas educativas. En la actualidad, muchos educadores la utilizan en su práctica educativa o en sus investigaciones. Por esta razón, se eligió el Constructivismo para realizar el presente estudio y se usó en los grupos experimentales, mientras que en los grupos testigos se usó el enfoque tradicional. Desafortunadamente, no se encontró ningún ejemplo de enseñanza constructivista de la aritmética y álgebra en el bachillerato o nivel medio superior. Razón por la cual, se tuvo que profundizar en el constructivismo para poder formar un modelo de enseñanza constructivista de matemáticas básicas. La presente tesis, esperamos sirva para una nueva forma de enseñar matemáticas y como referencia para futuras investigaciones.

1.2

Planteamiento del problema

El planteamiento del problema es una interrogante a la cual se intenta responder mediante una investigación. Los problemas surgen, principalmente, por una laguna en el conocimiento, por contradicciones aparentes en investigaciones anteriores o por la observación de un


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fenómeno nuevo. La investigación consiste en profundizar en el tema y en observar a mayor detalle el problema, para conocer sus causas y efectos y estar en condiciones de darle solución. De esta manera, se crea nuevo conocimiento o se perfecciona el existente. Para que un problema pueda ser objeto de estudio científico debe satisfacer una serie de condiciones. Kerlinger (1981: 12) las resume en tres: 1) Ha de expresar una relación entre dos o más variables; 2) el planteamiento debe ser claro, sin ambigüedades, y de ser posible en forma de pregunta; 3) Debe permitir verificación empírica. El presente proyecto surge de la necesidad de abordar y atacar el problema de la ausencia de aprendizajes significativos en matemáticas, producido por los aprendizajes memoristas de la enseñanza tradicional, lo que ha producido reprobación y deserción escolar. Se cree que usando un nuevo

enfoque,

el

constructivista,

se

obtendrán

aprendizajes

significativos en los estudiantes, lo que a su vez, disminuirá directamente la reprobación y sus efectos: deserción y fracaso escolar; ya que el que aprende bien jamás reprueba. La reprobación es un problema grave que urgentemente necesita una solución. Pero debido a la gran cantidad de factores que influyen, es difícil erradicarla e incluso disminuirla, sin embargo, algo debe hacerse para reducir sus efectos tan negativos. Los motivos para desarrollar este tema obedecen a que como docentes 20



vivimos el problema de la reprobación en matemáticas y en ciencias básicas en general, lo que a su vez provoca la deserción escolar, la cual alarmantemente está aumentando. Debido a la gravedad del problema, se considera urgente la necesidad de abordarlo y al menos disminuir sus efectos. Se cree que con este nuevo enfoque constructivista se puede disminuir la reprobación, ya que mediante dicho enfoque los estudiantes podrán construir sus propios conocimientos y por lo tanto aprender significativamente. La reprobación y la deserción provocan el fracaso escolar. Sin embargo, la enseñanza tradicional no ha resuelto satisfactoriamente este problema, ya que este tipo de enseñanza cada vez es menos atractiva para los alumnos, debido a que viven en un mundo moderno invadido por la tecnología, principalmente: las computadoras con Internet, la televisión, los teléfonos celulares, el fax, los videojuegos, etc. Por esto, los alumnos ya no quieren educarse a la “antigua” y pasivamente, por eso una educación anticuada no les llama la atención, más bien les aburre y desertan. El interés principal es que el presente proyecto contribuya al mejoramiento de la educación matemática, como un nuevo enfoque de enseñanza alternativa distinto al de la enseñanza tradicional que notoriamente ha fracasado ¿A qué debe su fracaso? A que este método de Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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enseñanza erróneamente parte de la hipótesis que el maestro es un experto sabelotodo y el único que posee el conocimiento y el alumno es un receptor pasivo que almacena dicho conocimiento. El problema de la reprobación por ausencia de aprendizajes significativos es el “cáncer” de la educación. Es la enfermedad más grave que ataca al sistema educativo. La causa del problema es el aprendizaje memorístico y su efecto directo es la reprobación y el desinterés de los estudiantes. Se considera que la reprobación no se soluciona regalando calificaciones – aprobando a los alumnos aunque no sepan--, ni disminuyendo el nivel académico ni haciéndoles más fácil la aprobación de las asignaturas, de manera tal que no les implique esfuerzo y participación; mas bien se solucionará cuando se involucre activamente a los estudiantes en tareas y actividades atractivas que les hagan obtener aprendizajes significativos. La realidad es que los estudiantes siempre quieren aprender, pero sólo lo que les sirva en su entorno o para sus estudios superiores y no aquello que sienten les es impuesto por el maestro y no saben siquiera para qué les sirve; por esto, muchas veces el maestro va solo a una meta que únicamente él sabe, lo que equivocadamente le lleva a pensar que a los alumnos no les gusta aprender ni estudiar. El sistema educativo actual promueve los aprendizajes memorísticos y por lo tanto la reprobación, ya que está basado en la acreditación, es 22



decir, en la acumulación de boletas, certificados, diplomas, títulos, etc., y no en la acumulación de conocimientos. El estudiante se prepara para aprobar y no para aprender, esto lo obliga a memorizar, lo cual él le llama “estudiar”, lo que se le hace muy aburrido; por esa razón, cuando el maestro le dice que estudie él no lo hace, ya que a nadie le gusta solo memorizar, por esto, se le hace más fácil copiar que apropiarse de sus propios conocimientos, pues no sabe cómo lograrlos, e incluso llega a comprar calificaciones, porque lo que desea es acreditar las asignaturas y el aprendizaje se relega a segundo término. Por lo anterior, en la educación tradicional, los documentos que deberían de ser reflejo y garantía de los conocimientos adquiridos, por si solos ya no garantizan que alguien está bien preparado académicamente y en la actualidad, al terminar su carrera profesional debe certificarse aprobando un examen ante el CENEVAL u otros organismos.

1.3 Justificación “Hemos permitido que nuestras escuelas permanezcan en el pasado mientras nuestros estudiantes han nacido en el futuro. El resultado es una discrepancia entre educador y aprendiente. Pero no son los estudiantes quienes no corresponden a las escuelas, sino que las escuelas no corresponden a los estudiantes.” Nantúnez

En la era de la información no se necesitan cambios en las escuelas sino un cambio de escuela, al menos en el enfoque o modelo de enseñanza, que haga que los estudiantes puedan buscar, discriminar y utilizar la


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información que los diferentes trabajos demandan en la sociedad actual. El mundo cambia diariamente, por esto, en las escuelas también tiene que darse un cambio total, pues el maestro sólo con pizarrón y gis es obsoleto y no puede competir mucho menos funcionar en un mundo moderno invadido por la tecnología. En esta época, ya no sólo se vuelven obsoletas las máquinas, también ocurre lo mismo con los recursos humanos. Lo cierto es que en el mundo real la sociedad se transforma. El volumen de la información se potencia cada día; las nuevas profesiones demandan amplios conocimientos de las nuevas tecnologías; las telecomunicaciones pueden penetrar prácticamente cualquier rincón habitado; hoy en día el trabajo colaborativo es más que el individual; la fuerza laboral tiene que ser capacitada constantemente; la demanda educativa se incrementa exponencialmente. Existe tanta información que en esta época se dice que en ella nos ganaremos el pan con el sudor de la mente en lugar del de la frente. Debido a la gran cantidad de información, a los alumnos se

les tiene que enseñar a investigar y a buscar la información y que cuando la encuentren sepan discriminar la información que les es útil y cual no. Si a esto añadimos el surgimiento continuo de nuevos conocimientos, innumerables aplicaciones y diferentes formas de ver y estudiar la realidad, necesitamos también una nueva manera de ver la educación. Una en la que del salón de clases se pase a la experiencia concreta, de la 24



reproducción a la generación del conocimiento, de un profesor que enseña a un alumno que aprende, de verdades inmutables a contenidos vertiginosamente cambiantes. Se considera que es necesaria una revisión completa de la práctica educativa, de manera tal, que se enfoque o se centre en las necesidades de los estudiantes y de la sociedad a la cual ellos se integrarán. En el presente proyecto se propone el uso de la teoría constructivista, debido a que el aprendizaje constructivista está basado en la participación activa del estudiante, en la solución de problemas y la adopción de un pensamiento crítico respecto a las actividades de aprendizaje. De esta manera, ellos estarán construyendo su propio conocimiento por probar ideas y aproximaciones basadas en su experiencia y sus conocimientos

previos. Dichos conocimientos los aplicarán a nuevas situaciones e integrarán el nuevo conocimiento obtenido a sus construcciones intelectuales preexistentes. Con este proyecto se pretende demostrar los efectos benéficos que produce la combinación de la enseñanza constructivista con un entorno constructivista.

Dichos

resultados

vendrán

a

enriquecer

los

conocimientos acerca de la teoría constructivista, principalmente en la enseñanza-aprendizaje de la aritmética y álgebra. El presente proyecto se espera sirva para lograr aprendizajes significativos en matemáticas, lo Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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que directamente disminuirá los índices de reprobación y deserción escolar, primero en los fundamentos matemáticos y con esto en las demás ciencias auxiliadas por las matemáticas. Si se obtienen aprendizajes significativos, el aprendizaje de las demás asignaturas se facilitará enormemente, haciendo que la ciencia sea atractiva para los estudiantes. El beneficio será primero para la educación tecnológica, pero puede beneficiarse cualquier institución de nivel medio superior y posteriormente cualquier institución superior. Esto traerá un efecto multiplicador en la sociedad. Se beneficiarán los alumnos y maestros de matemáticas del nivel medio superior e indirectamente los padres de familia, ya que verán cumplidas sus expectativas: que sus hijos continúen y concluyan satisfactoriamente una carrera profesional.

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Capítulo II Fundamentos 2.1

Desarrollo Histórico Del Constructivismo

Como una filosofía de aprendizaje, algunos creen que el constructivismo tiene sus inicios en la antigua Grecia con Sócrates, quien utilizó el llamado “Método de los casos”, el cual tiene principios de constructivismo, ya que los discípulos mediante cuestionamientos – diálogos-- eran enseñados directamente en la realidad y con ejemplos – casos reales-- , los discípulos a su vez, mostraban sus avances y logros no con exámenes, sino por la demostración y aplicación directa de sus conocimientos en la vida real. Sócrates promovía el amor por el aprendizaje más que por la enseñanza. Otro ejemplo del origen antiguo del constructivismo lo da el Dr. Santiago Antúnez de Mayolo, Director del Programa de Educación de la Sociedad Geográfica

de

Lima,

Perú,

en

su

página

de

Internet:

http://www.ascinsa.com/EDUCACION/, dice que la ley Inca disponía que todas las personas debían aprender lo que desconocían . Esta norma

exigió a las personas que construyeran su conocimiento. El resultado fue que en 1532 al llegar Pizarro, los Incas eran una de las sociedades más adelantadas en América. Sensiblemente, con Pizarro se introdujo en el Imperio Inca una metodología semejante a la conductista o de Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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instrucción, en la que el alumno pasivamente recibía información y la memorizaba. Esto trajo como resultado un descenso de la capacidad intelectual de sus pobladores. En la actualidad se ha visto necesario un cambio en la educación tratando de retomar el enfoque constructivista empleado por los Incas. La época moderna del constructivismo tiene sus raíces en el siglo XVIII en los trabajos del filósofo napolitano Giambattista Vico (Richardson [1997]), quien afirmaba que “los seres humanos pueden entender claramente sólo lo que ellos mismos construyen”. Muchos más trabajaron con estas ideas, pero los primeros contemporáneos en desarrollar una clara idea del constructivismo como es aplicado en los salones de clases y en el desarrollo de la niñez fueron Jean Piaget y John Dewey. Para Dewey (1916) la educación dependía de la acción. El conocimiento y las ideas emergían solo de una situación en la cual los aprendientes tenían que hacer conclusiones de las experiencias que tienen significado e importancia para ellos. Estas situaciones tenían que ocurrir en un contexto social, tal como el salón de clases, donde los estudiantes se unían para manipular materiales y realizar actividades, creando una comunidad de aprendientes quienes construían sus conocimientos juntos. Dewey habló acerca de la interacción entre el aprendiente y el entorno. Su teoría era que lo que uno había aprendido en una situación ayudaba a 28



dirigir el entendimiento y la acción en futuras situaciones. Esta interacción persona-entorno llevaba a una continua reconstrucción de impulsos y pensamientos. Dewey describió la mente como acción, como algo que hacer en vez de algo para llenar como una esponja. El creía que los estudiantes necesitan interactuar con su entorno para poder pensar, por esto, todos los estudiantes deben ser involucrados activamente alrededor de un proyecto. Para que los proyectos sean educativos, Dewey argumentaba, que necesitaban estar adecuados a los intereses de los estudiantes, debían involucrarlos activamente, tener un valor intrínseco, presentar problemas que los conduzcan a nuevas preguntas y búsquedas que les implique una considerable cantidad de tiempo. Piaget (1973) sentó las bases del constructivismo actual. Invirtió cuarenta años de su vida estudiando los conceptos "naturales" que aprenden los niños, entre los cuales están "el tiempo", "el número", "conservación de las cantidades". Como biólogo de formación, se impresionó por buscar una ley evolutiva en la adquisición de los conceptos, y hasta los últimos días de su vida trabajó para encontrar esa ley. Piaget es referencia indispensable y obligada en el estudio de la Psicología Cognitiva, y en muchos casos, en la Psicología de la Pedagogía. Cuando se aborda el análisis del paradigma constructivista es necesario remitirse a la obra de Jean Piaget. Su tesis constructivista ha impactado notablemente el discurso pedagógico actual, concretándose en la propuesta más acabada Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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hasta el momento, en el principio explicativo denominado "ajuste de la ayuda pedagógica", que afirma que la intervención del maestro se debe ajustar a las características de la interacción entre el alumno y el contenido de aprendizaje, pudiendo adoptar la ayuda pedagógica diferentes modalidades. Este principio es la tesis central a nivel metodológico de la pedagogía constructivista.

2.2 En

¿Qué es Constructivismo? la

actualidad,

Constructivismo

es

una

palabra

utilizada

frecuentemente por los educadores. Se utiliza crecientemente como teoría para la investigación y para la enseñanza. Muchas reformas educativas en el mundo giran alrededor de la noción de constructivismo. El constructivismo es una epistemología, es decir, una teoría del conocimiento utilizada para explicar como sabemos lo que sabemos. sabemos . La epistemología constructivista afirma que las únicas herramientas disponibles al conocedor son sus órganos de los sentidos . Sólo a través

de ellos el individuo interactúa con el entorno. Con los mensajes obtenidos de los órganos de los sentidos el individuo construye una imagen del mundo exterior. El constructivismo afirma que el conocimiento reside en el individuo, que el conocimiento no puede ser transferido intacto de la cabeza de un maestro a las cabezas de los estudiantes. Los estudiantes tratan de entender lo que les es enseñado y lo

ajustan de acuerdo a sus experiencias o conocimientos previos. Desde una perspectiva constructivista, la ciencia no es la búsqueda de la verdad, 30



sino un proceso que nos ayuda a entender nuestro mundo. Es decir, la ciencia no es un conjunto de conocimientos acabados y verdades absolutas; por esto, los estudiantes al recibir dichos conocimientos deben analizarlos y reflexionarlos, deben investigar en diversas fuentes y formar sus propios conceptos y no conformarse con los conocimientos que recibe del maestro como si éste poseyera la verdad absoluta. Los estudiantes tienen que comprender que ellos son capaces de crear o innovar conocimientos científicos y por lo tanto de crear tecnología. Los estudiantes tienen que dejar de imaginar la ciencia como apta solo para genios y a un nivel inalcanzable, deben considerarla como una valiosa herramienta útil para el conocimiento de nuestro entorno y para el desarrollo de la sociedad. Pero, como toda herramienta, será susceptible de usarla y modificarla de acuerdo a las necesidades del aprendiente o de la sociedad en general. Richardson [1997 p. 3] establece que el constructivismo es una Teoría de aprendizaje o de creación de significados . Sugiere que los individuos

crean sus propios aprendizajes, basados en la interacción de los que ellos

ya conocen o saben, y los fenómenos o ideas con las cuales entran en contacto. El constructivismo es una teoría descriptiva del aprendizaje (esto es, la manera como la gente aprende o se desarrolla); no es una teoría prescriptiva del aprendizaje (esto es, la manera como la gente debería aprender). También, según Marlowe y Page (1998: P. 9) “El Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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Constructivismo es una teoría acerca de cómo aprendemos. La proposición principal del constructivismo es que el aprendizaje significa

construcción, creación, invención, y desarrollo de nuestro propio conocimiento. Otros pueden darnos información pero no conocimiento, podemos hallar información en los libros y en otras fuentes, pero tan importante como es recibir la información, lo es obtenerla y comprenderla”. Según Richardson [1997 p. 5], la mayoría de los constructivistas están de acuerdo que la enseñanza tradicional –modelo transmisionista—no promueve la interacción entre el conocimiento previo y el nuevo conocimiento ni las condiciones necesarias para el conocimiento

profundo. La información adquirida en la enseñanza tradicional, si es adquirida del todo, generalmente, no está bien integrada con los conocimientos que ya poseen los estudiantes. Este nuevo conocimiento frecuentemente es recordado en actividades escolares tales como tareas y exámenes e ignorado todas las demás veces. De acuerdo a Brooks & Brooks (1993), aun los estudiantes que son capaces de demostrar éxito en la escuela tradicional, pasando exámenes y obteniendo altas calificaciones, frecuentemente no conectan la información que recibieron en la escuela con lo que sucede en el mundo que les rodea.

2.2.1 Constructivismo Psicológico Piagetiano Jean Piaget colocó las bases científicas para el constructivismo. La clave 32



para el constructivismo es la distinción de Piaget entre asimilación y acomodación como mecanismos de aprendizaje y desarrollo. La

asimilación es una incorporación de experiencia relativamente pasiva en una representación ya disponible en el estudiante. Sin embargo, cuando las discrepancias son demasiado grandes con la nueva información, el estudiante reorganizará sus pensamientos. Esto es llamado acomodación. Piaget enfatizó que la asimilación de conocimientos juega un papel crítico en establecer la etapa de acomodación –la acomodación no puede realizarse sin asimilación. Piaget los considera como los dos poderosos motores que hacen que el ser humano mantenga ese desarrollo continuo de sus estructuras cognitivas: la adaptación y el acomodamiento. Los nuevos conocimientos son asimilados de acuerdo a lo que ya existe en el individuo y se acomodan en las estructuras de éste, no sólo modificándose los conocimientos, sino también las estructuras. Los proponentes del Constructivismo Psicológico Piagetiano ven el proceso de construcción de significados como individualista, cuyo propósito es avanzar hacia niveles más altos de entendimiento y mayores capacidades analíticas. Para alcanzar estos niveles superiores, los estudiantes activamente deben involucrarse en reconstruir sus entendimientos existentes mediante la reestructuración de sus mapas cognitivos. El maestro motiva y logra esto de dos maneras: creando un Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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entorno o medio ambiente (atmósfera) en el cual los estudiantes experimenten una cierta cantidad de disonancia cognitiva (conflicto cognitivo) y realizan tareas que esperanzadoramente les llevan a la reorganización de sus mapas cognitivos existentes . Generalmente, esto

ha sido trasladado dentro de las prácticas instruccionales como actividades manuales, manuales, el involucramiento de los estudiantes en tareas que son significativas para probar sus conceptos y los procesos de pensamiento, y ciertos cuestionamientos que profundamente exploren las creencias de los estudiantes, transformen sus creencias en hipótesis, y provean una atmósfera agradable en la cual estas creencias puedan ser examinadas. La importancia del interaccionismo para la práctica educativa se ha reflejado en el principio explicativo denominado de "desajuste óptimo" que plantea la necesidad de diseñar situaciones de aprendizaje que posibiliten un grado óptimo de desequilibrio que superen el nivel de comprensión del alumno, pero al mismo tiempo, que el desequilibrio no sea extremo al grado que imposibilite restablecer nuevamente el equilibrio; este principio se encuentra de manera recurrente en la implicaciones educativas que ofrecen el sinnúmero de investigadores en psicopedagogía que se desarrollan bajo el abrigo teórico de Jean Piaget. Esta aproximación al constructivismo, entonces, se enfoca en la creación individual de significados. Se asume que los estudiantes traen 34



entendimientos al salón de clases que necesitan ser ajustados, añadidos o completamente alterados. El papel del maestro es facilitar su alteración cognitiva –edición cognitiva—a través del diseño de tareas y preguntas que creen dilemas a los estudiantes. El Constructivismo desde el punto de vista escolar ve al conocimiento como una unidad construida hecha por cada uno de los aprendientes a través de un proceso de aprendizaje. El conocimiento no puede ser transmitido directamente de una persona a otra, ya que tendrá que ser reconstruido por cada persona. Esto significa que este punto de vista del conocimiento difiere del conductista y cognitivista en los cuales el conocimiento es algo dado y absoluto. En el constructivismo el conocimiento es visto como relativo y falible (nada es absoluto, sino que varia de acuerdo al tiempo y el espacio).

2.2.2 Constructivismo Social de Vygotsky De acuerdo a Richardson [1997], si uno rechaza el punto de vista individualístico y psicológico del aprendizaje, que separa al individuo de lo social, al pensamiento de la acción, al conocedor de lo conocido, pero todavía cree en el punto de vista constructivista del aprendizaje ¿Cuáles son las alternativas? Sólo hay una alternativa, una aproximación teórica general llamada constructivismo social. Esta alternativa constructivista es diferente de la Psicológica Piagetiana. Ellos no se enfocan en el


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individuo principalmente, si no en lo social como el instrumento primordial para la construcción y apropiación del conocimiento. Hay dos puntos de vista de esta concepción: cognición situada y la sociocultural. La cognición situada sugiere que el conocimiento es creado por una persona influenciada por el entorno; esto es, tanto el individuo y el entorno cambian como resultado del proceso de aprendizaje. El entorno es considerado como el medio social que afecta las acciones tomadas por los estudiantes y el aprendizaje que ocurre, el cual afecta a su vez al medio social. El conocimiento es socialmente construido, porque el significado puede ser construido únicamente a través del uso del

lenguaje y en un contexto social. En este punto de vista constructivista, el aprendizaje no puede ser separado de la acción: percepción y acción trabajan juntos de una manera dialógica. No hay ninguna representación de la realidad que sea privilegiada o “correcta”. Hay en su lugar, una variedad de interpretaciones que son útiles para diferentes propósitos en diferentes contextos. No se piensa del conocimiento como algo que se recibe en forma estática o separada del individuo. No es separable de las actividades ni del entorno dentro del cual el conocimiento fue construido. La forma sociocultural de esta concepción se deriva principalmente de las ideas de Lev S. Vygotsky (1978). Dentro de este marco, el desarrollo del individuo recae en las interacciones sociales . Es dentro de esta

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interacción social que los significados culturales son compartidos dentro del grupo, y entonces interiorizados por el individuo. Además, el alumno es visto como una unidad, como un todo indivisible. De hecho, en muchas publicaciones en educación matemática, se reflejan dos movimientos “aprendizaje situado” y “constructivismo social”, los cuales han ganado influencia en el pensamiento respecto a la educación y a las investigaciones educativas. El constructivismo no es aceptado por todos como la “panacea” que resolverá el problema de la educación matemática. De hecho, tiene algunos opositores que establecen que existen otros enfoques que dan mejores resultados. Los elementos más importantes de las variables utilizadas en esta propuesta, que promueven el uso del constructivismo en la enseñanza de la aritmética y álgebra, son los siguientes: entorno constructivista, docente y estudiantes constructivistas, evaluación constructivista, aprendizaje significativo y para contrastarlo se incluye la educación tradicional.

2.3 Salones de Clases Constructivistas o Entornos Constructivistas El “Salón de Clases Constructivista” presenta cuatro elementos característicos:


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1. Distribución equitativa del conocimiento entre el mediador y sus participantes. 2. Autoridad compartida entre el mediador y los participantes. 3. El Maestro como Mediador y 4. Agrupación heterogénea de los participantes. El profesor actúa como facilitador y coordinador, no como un experto. Los aprendientes trabajan colaborativamente para resolver problemas reales

en

contextos

relevantes.

Las

tareas

son

complejas,

multidisciplinarias y auténticas. Se fomenta la conciencia propia y la reflexión de los estudiantes. Los alumnos están involucrados –participan- y el aprendizaje es divertido. La evaluación involucra mostrar lo que puede ser hecho o creado con el conocimiento adquirido; no implica repetir o memorizar conocimientos sino demostrar aprendizajes significativos. De acuerdo a Brooks & Brooks (1993), En un salón de clases constructivista, el maestro busca que los estudiantes comprendan los conceptos y después estructura oportunidades para que los estudiantes revisen o refinen estos entendimientos por someterlos a contradicciones, presentándoles nueva información, haciéndoles preguntas, motivándolos para que investiguen y/o se involucren en búsquedas que desafíen sus conceptos actuales. 38



Brooks & Brooks (1993) establece que los 5 principios básicos en los salones de clases constructivistas son los siguientes:

• Los maestros buscan y valoran los puntos de vista de los estudiantes • Las actividades del salón de clases desafían las suposiciones de los estudiantes. • Los maestros presentan problemas que son relevantes a los estudiantes.

• Los maestros construyen sus lecciones alrededor de conceptos primarios e ideas principales. Enseñan el núcleo y detalle de los conceptos.

• Los maestros evalúan el aprendizaje de los estudiantes en el contexto de la enseñanza diaria, con el objeto de corregir oportunamente el proceso de aprendizaje si fuera necesario. Evalúan todos los días y no solo al término de las unidades o del semestre, cuando sería muy difícil remediar los resultados no satisfactorios del aprendizaje.

En matemáticas, un salón de clases constructivista se enfoca en la resolución de problemas y está centrado en el aprendizaje de los estudiantes


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El salón de clases constructivista tiene estudiantes heterogéneos, es decir, ni todos son buenos ni todos son malos; esto nos ayudará a formar equipos de trabajo también heterogéneos, que son los más adecuados en el constructivismo, donde los que más saben ayudan a los de menores conocimientos. Por supuesto, al final el grupo debe quedar homogéneo en los conocimientos generales. Existe armonía y confianza en todo el grupo, fomentada por el maestro y por los mismos estudiantes. Esto ayuda a que los estudiantes participen, cooperen y colaboren, primero en equipo y luego en grupo, para que todos logren los objetivos de aprendizaje planteados. Resumiendo, se pretende que los grupos constructivistas funcionen como un sistema, es decir, que sean un conjunto de estudiantes relacionados entre si para lograr un mismo objetivo. Desafortunadamente, la educación tradicional no promueve esta integración, ya que al interior de los grupos se forman subgrupos, los cuales o aprueban o reprueban todos. En raras ocasiones, sin embargo, llegamos a encontrar en la educación tradicional grupos casi integrados –por afinidad o por azar—en los cuales la mayoría de los estudiantes responden muy bien; estos son los grupos favoritos de los maestros, a los que todos quieren darles clases; pero nadie quiere enseñar a los grupos “malos”, que son grupos homogéneos, donde no existen alumnos sobresalientes que ayuden a sus demás compañeros. 40



Los salones constructivistas deben tener una buena iluminación y ventilación y también el mobiliario adecuado. Muchas veces por esto, no se logran los resultados de aprendizaje esperados, ya que si no hay un buen flujo de aire ni una buena ventilación, los alumnos no respiran ni ven adecuadamente, empiezan a aburrirse y a bostezar –esto último siempre ocurre, para suplir la demanda que hace el cerebro de una mayor cantidad de oxigeno y puede ser provocado por las condiciones del salón de clases o por que la estrategia de enseñanza es muy pasiva y sólo receptiva. La pizarra o pizarrón debe sustituirse por un pintarrón blanco y el gis tradicional por plumogises de colores. Las butacas deben ser ergonómicas, para que confortablemente los estudiantes puedan soportar las largas horas que pasan en los salones de clase; si el tema o la asignatura lo permiten, se puede salir del entorno del salón de clases. Por muchos años, el maestro tradicional ha tratado de controlar el comportamiento de los estudiantes de manera que la clase esté quieta y callada. En el constructivismo, en vez de lograr que los estudiantes estén callados y atentos al maestro, el salón de clases puede ser manejado de manera tal que los estudiantes conversen unos con otros y utilicen estrategias de aprendizaje colaborativo. En un salón de clases constructivista se recomienda sentarse formando equipos alrededor de mesas circulares o rectangulares o en el piso. Pero esto no significa que los estudiantes que están sentados en filas --como en el salón de clases Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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tradicional—no puedan estar mentalmente activos o resolviendo un problema. En vez de tener sentados y quietos a los estudiantes, se les debe permitir colocarse en círculo en el salón de clases o en equipos, puede llevárseles a visitar la biblioteca, laboratorios o talleres, o alguna industria u obra que esté en la población .

Los salones de clase constructivista son más ruidosos que los tradicionales. Ello está dado por las discusiones que se generan; algo normal con esta clase de estrategias instruccionales. Para los directivos educativos tradicionales, un salón de clase ruidoso es indicativo de falta de disciplina y control por parte del maestro: “Allí los alumnos hacen lo que les da la gana, no hay disciplina, ese maestro no tiene control de sus estudiantes, le falta autoridad”, serían las expresiones de un directivo chapado a la antigua. Les llevaría a expresarse, también, que en ese tipo de atmósfera, los alumnos no aprenden. Se debe comprender que en un salón de clase constructivista, los estudiantes están totalmente activos, deben hablar, intercambiar expresiones, ir de un equipo a otro, presentar un vídeo, lámina u otro material que estimen conveniente para la demostración de algún punto.

Naturalmente, al inicio de la sesión de trabajo se deben establecer las normas de trabajo , donde se incluyan todas aquellas necesarias para el

éxito de la gestión, para hacer las cosas con libertad pero con orden y respeto hacia los demás, de manera que cuando alguien exponga sus 42



ideas los demás escuchen atentamente. Controlar un salón de clases es crucial para desarrollar y sostener cualquier sistema de salón de clases, incluyendo un salón de clases constructivista. Si no se crea un entorno seguro y confortable para todos, el salón de clases no será productivo, a pesar del enfoque de enseñanzaaprendizaje que se utilice. Para exitosamente manejar un salón de clases se requiere: involucrar a los estudiantes en actividades académicas significativas y relevantes, donde activamente participen en el apropiamiento de su aprendizaje. Entre más involucrados estén los estudiantes menos posibilidades tendrán de distraerse. Sin embargo, debemos considerar que si se trata de cambiar demasiado rápido el enfoque de enseñanza-aprendizaje, del tradicional a uno constructivista, probablemente finalizará con un salón de clases en caos. El cambio tiene que ser gradual. Tiene que evolucionar lentamente, con explicación constante de los cambios que se hacen y lo que se espera lograr. En los salones constructivistas, los maestros tienen que ayudar a los estudiantes para que aprendan a autoevaluarse y a monitorear sus avances de aprendizaje. Los estudiantes tienen que aprender a establecer criterios de aprendizaje y a valorar la calidad de su trabajo. La evaluación no está separada de la enseñanza, más bien es un proceso continuo que regula el aprendizaje y jamás se separa de él.


43


El uso de la tecnología en la educación, ya no es más un lujo sino una urgente necesidad. Es evidente, que el mundo moderno está invadido por la tecnología y esto hace que los empleos actuales requieren gente preparada en su uso y dominio. Por esto, el docente tiene que aprender a utilizarla, para posteriormente usarla como una herramienta sumamente valiosa para la enseñanza. Con esto, haremos nuestras clases más atractivas y seguramente obtendremos mejores resultados de aprendizaje. En la enseñanza tradicional, generalmente, el maestro utiliza solo gis y pizarrón, da ejemplos y propone ejercicios, no utiliza material didáctico mucho menos la tecnología. Para la enseñanza de las matemáticas en general, se recomienda el uso del Software Derive® Versión 5 de Texas Instruments o el uso de su calculadora grafica TI-2000; particularmente, para la enseñanza de la Geometría Plana o Analítica se recomienda el uso del Software The Geometer’s Sketchpad® (El Geómetra) Versión 4 de KCP Technologies. La instrucción basada en lo visual y auditivo, da mejores resultados, ya que se ha comprobado que alrededor del 70% de la información que llega a nuestra mente es mediante la vista y el oído, razón por la cual es más efectiva la enseñanza que utilice lo visual o auditivo o mejor aún la combinación de ambos. En matemáticas, las estrategias instruccionales basadas en solución de problemas es una de las mejores estrategias para

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lograr aprendizajes significativos. Crear una clase constructivista no trata con la disminución de los niveles de exigencia o calidad, ni con disminuir los contenidos de la asignatura, ni tampoco con disminuir el trabajo y esfuerzo de los estudiantes; mas bien, de una nueva forma de abordar los contenidos y con una mayor participación activa de los estudiantes, de manera que logren aprendizajes significativos. ¿El constructivismo implica una reducción de contenidos y una bajada de niveles? Se trata de una pregunta que muchos docentes suelen hacerse y a la que Pozo (2000) responde con un rotundo "no". En efecto, en los aprendizajes desde enfoques constructivistas es "no". posible contemplar tanto los contenidos como las capacidades cognitivas. Siempre resultará más enriquecedora una situación de aprendizaje que, además de los contenidos, potencie los procesos de aprendizaje (comprender un texto, interpretar gráficas, buscar y analizar datos, criticar una información ,...). Es preciso combatir la creencia errónea de

que los aprendizajes constructivistas sólo se centran en las capacidades, despreciando los contenidos: ambos aspectos pueden y deben conjugarse . Al respecto Marlowe y Page (1998) Establecen “sabemos que el

contenido es crucial. Es un elemento clave en una clase constructivista. Cuando es totalmente entendido y aplicado, nos lleva a un mayor dominio de más contenido y a un mayor nivel de rendimiento comparado con una clase tradicional”. Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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Figura 1. Características del Salón de Clases Constructivista

2.4

Características del Estudiante Constructivista

Los estudiantes constructivistas participan activamente y no se limitan a recibir pasivamente la información. Se involucran y se responsabilizan de su aprendizaje, investigan, buscan, preguntan, discuten y dialogan con 46



sus compañeros y con el maestro. Leen, piensan y analizan la información y no la aceptan sin reflexionar, exponen sus ideas a los demás y trabajan en equipo. Realizan sus tareas y trabajos extraescolares y en el caso de matemáticas, resuelven ejercicios y problemas. Al respecto, Marlowe y Page (1998), comentan: “Aunque la información es importante, acumular pasivamente información desconectada no es aprendizaje. Pasivamente recibir conocimiento prefabricado de alguien o algo más no es aprendizaje. Para aprender, un estudiante tiene que estar mentalmente y a menudo físicamente activo. Un estudiante aprende (esto es, construye estructuras de conocimiento) cuando descubre sus propias respuestas, soluciones, conceptos y relaciones y crea sus propias interpretaciones. El constructivismo propone que cuando los estudiantes conducen su propio aprendizaje, descubren sus propias respuestas y crean sus propias interpretaciones, su aprendizaje es más profundo, más comprensivo y más duradero, y el aprendizaje que ocurre activamente lo lleva a pensar críticamente. En un salón de clases constructivista, los estudiantes demuestran su aprendizaje y entendimiento a través de varios medios. Ellos pueden desarrollar nuevas cuestiones críticas, escribir un guión para un video, resumir las ideas principales con sus propias palabras, pueden producir o crear algo, pueden resolver problemas. Es

acerca de ser activo, no pasivo”.


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El juego y la experimentación son fuerzas poderosas en el desarrollo de la mente del individuo, pero el constructivismo ha dirigido a descubrimientos adicionales de que poderosos logros se obtienen cuando los estudiantes trabajan juntos. Un creciente cuerpo de investigación en aprendizaje colaborativo o cooperativo han demostrado los beneficios de que los estudiantes trabajen con otros estudiantes en esfuerzos de aprendizaje colectivo (Johnson, Maruyama, Johnson, Nelson, & Skon, 1981; Rysavy & Sales, 1991). Cuando los estudiantes colaboran, ellos comparten el proceso de construcción de ideas, en lugar de simplemente trabajar individualmente. Las ventajas de este esfuerzo colectivo es que son capaces de elaborar no solo sus propias ideas, sino de reflejar también las de sus demás compañeros. De esta manera, ven a sus compañeros no como sus competidores sino como recursos de aprendizaje. Enseñanza mutua, un sentido de progreso y metas

compartidas, y un sentimiento de trabajo en equipo son los productos naturales de la solución de problemas en forma cooperativa, y estos procesos han mostrado que producen avances sustanciales en el aprendizaje. Debemos considerar también como parte fundamental el trabajo en equipo, la interacción social del sujeto que aprehende el mundo junto con otros sujetos que le permita avanzar más en grupo que individualmente. De hecho esta parte lo consideran muy importante algunos otros teóricos, como por ejemplo Vygotsky, que le proporciona mucho peso al lenguaje como medio no solo para comunicar los 48



hallazgos propios, sino también para estructurar el pensamiento y el conocimiento

generado

por

el

sujeto.

Pero

también

Piaget,

contrariamente a lo que se comenta por ahí, enfatiza este hecho varias veces, y una de ellas es una cita de él que toma Hermine Sinclair (y que Vergnaud retoma): "El conocimiento objetivo sólo es alcanzado cuando ha sido discutido y confirmado por otros." Esto es un punto a favor de

la educación grupal, es decir, de la educación pública en general. Para cambiar la educación tradicional, se requiere cambiar de una educación centrada en el profesor a una centrada en los alumnos, una educación donde los aprendientes tengan un rol activo, es decir, donde los estudiantes participen y se involucren responsablemente en su aprendizaje. Algunos afirman que todo el aprendizaje es inherentemente activo y que los estudiantes también están activamente involucrados mientras escuchan las presentaciones formales en el salón de clases. Sin embargo, la mayoría está de acuerdo que no basta que los estudiantes escuchen, además, ellos deben leer, discutir y sobre todo resolver

problemas. Lo más importante, deben estar activamente involucrados, deben realizar los estudiantes tareas de pensamiento de orden superior tales como análisis, síntesis y evaluación. Dentro de este contexto, se propone que las estrategias que promueven el aprendizaje activo son las definidas como actividades instruccionales que involucran a los estudiantes en hacer cosas y en pensar respecto a lo que están haciendo. Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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Marlowe y Page (1998), establecen: “Nuestras experiencias previas, conocimiento

y

aprendizaje

afectan

como

interpretamos

y

experimentamos nuevos eventos; nuestras interpretaciones actuales afectan la construcción de nuestras estructuras de conocimiento y definen nuestro nuevo aprendizaje. Es debido a esto, que el énfasis en un salón de clases constructivista no está en la transmisión de información sino en la promoción del aprendizaje a través de actividades intelectuales de los estudiantes tales como cuestionamiento, investigación, generación y solución de problemas. Es acerca de construir conocimiento, no de recibirlo. Es acerca de pensar y analizar, no de acumular y

memorizar. Los estudiantes ganan y son motivados para desarrollar a través de estos procesos la habilidad de pensar por ellos mismos y pensar críticamente; esto es, discriminar entre lo relevante y lo irrelevante, mirar los temas desde diferentes perspectivas, interpretar y analizar datos. Es

acerca de entendimiento profundo y aplicación, no de repetición”. El uso de lo anterior en el salón de clases es vital debido a su poderoso impacto en el aprendizaje de los estudiantes. De hecho, los estudiantes prefieren estrategias que promueven el aprendizaje activo a las clases tradicionales. Algunos estudios, han demostrado que las estrategias que

promueven el aprendizaje activo son comparables a las tradicionales — dar clases— en el logro del dominio de los contenidos de una asignatura, pero son superiores en promover el desarrollo de las habilidades de 50



pensamiento y escritura, además con la ventaja de ser más agradables a los estudiantes. Algunas investigaciones han mostrado que un número significativo de individuos tienen estilos de aprendizaje que son más adecuados a otras técnicas pedagógicas que a la de solo recibir clases. El estudiante que aprende matemáticas, desde un punto de vista constructivista, debe precisamente construir los conceptos a través de la interacción que tiene con los objetos y con los otros sujetos. Tal parece que para que el alumno pueda construir su conocimiento y llevar a cabo la obligatoria interacción activa con los objetos matemáticos, incluyendo la reflexión que le permite abstraer estos objetos, es necesario que estos objetos se presenten inmersos en un problema y no en un ejercicio. De hecho, son estas situaciones problemáticas las que introducen un desequilibrio en las estructuras mentales del alumno, que en su afán de equilibrarlas (un acomodamiento) se produce la construcción del conocimiento. El término problema, es una situación compleja (real o hipotética) que involucra conceptos, objetos u operaciones matemáticas. Un problema requiere tiempo para resolverse debido a su complejidad, requiere del alumno toda su atención, energía, tiempo y dedicación para resolverlo. El término ejercicio, se refiere a operaciones con símbolos matemáticos únicamente (sumas, multiplicaciones, resolución de ecuaciones, etcétera), implica que el alumno repita un algoritmo o un método enseñado para directa y rápidamente llegar a la solución. Sin Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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embargo, no hay que confundir el resolver problemas con resolver ejercicios que tienen apariencia de "problemas".

Figura 2. Características del Estudiante Constructivista El maestro en el salón de clases o en un examen no puede proponerles problemas a los estudiantes para que los resuelvan, ya que debido al tiempo, sólo puede plantearles ejercicios. Los problemas sólo se les dejan

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a los estudiantes de tarea, pues mínimo debe llevarles uno o más días para resolverlos; pero dichos problemas no deben rebasar el nivel de conocimientos de los estudiantes, sino que con los conocimientos que poseen deben ser capaces de resolverlos, aunque inicialmente no sepan como empezar su solución. Es muy conveniente que el docente de matemáticas, les de a conocer a los estudiantes la diferencia entre problema y ejercicio; también, es importante decirles cuando se les está dando un problema, porque muchos de ellos al no saberlo y no poder resolverlo, se bloquean a partir de esta situación y puede ocasionar que fracasen durante el curso semestral.

2.5

Características del Maestro Constructivista

El maestro es un facilitador un facilitador o coordinador en el enfoque de aprendizaje constructivista. El maestro guía al estudiante, estimulando y provocando el pensamiento crítico de los estudiantes, el análisis y síntesis a través del proceso de aprendizaje. El maestro también es un co-aprendiente. El aprendizaje debe ser un proceso activo. El aprendizaje requiere un cambio en el aprendiente, el cual solo puede ser logrado por el aprendiente que hace, se ocupa, y se involucra en las actividades de aprendizaje. El papel del maestro es importante para lograr que los estudiantes realicen las actividades que de otro modo no harían. El maestro tiene que involucrar a los estudiantes en tareas, algunas de las


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cuales pueden incluir adquisición de habilidades por ejemplos de trabajo. Otras tareas incluyen prácticas de habilidades para llevarlos a niveles efectivos, interactuando con sus compañeros y con el maestro. En un salón de clases tradicional, el papel del maestro es el de un transmisor de conocimientos y el rol del estudiante es el de ser un receptor pasivo de dichos conocimientos. En el entorno propuesto se da una estructura cooperativa igualitaria donde las ideas e intereses de los estudiantes son las que conducen el proceso de aprendizaje. El maestro sirve de guía, más que de fuente de conocimientos. La ejecución de este nuevo rol es más complicado que el papel de la enseñanza tradicional en el salón de clases (Ringstaff, Sandholtz, & Dwyer, 1991). El maestro involucra a los estudiantes ayudándoles a organizar y asistirlos conforme toman la iniciativa en sus exploraciones autodirigidas, en vez de dirigir sus aprendizajes autocráticamente. La flexibilidad es la característica más importante del nuevo rol que el maestro deberá jugar en tal entorno. Algunas veces el maestro encontrará que su papel tiende hacia el antiguo modelo del maestro como dador de conocimientos, debido a que a veces los estudiantes requieren guía y capacitación en una tarea particular o en el contenido de una asignatura. Frecuentemente, el maestro se andará moviendo alrededor del salón de clases, entre grupos de estudiantes, asistiéndolos individualmente o a todo el grupo. La ventaja del trabajo en equipo no sólo se debe al trabajo cooperativo o colaborativo, sino 54



también que el maestro les puede dar una atención más individualizada a los estudiantes. De hecho, en el constructivismo, la interacción entre los estudiantes es muy importante para lograr aprendizajes significativos y sobre todo para el desarrollo social del individuo. En el constructivismo el rol del maestro es más complejo, ya que en primer lugar exige que el maestro esté más preparado académicamente, dado que surgirán dudas diversas que tendrá que aclarar o simplemente para orientar adecuadamente a los estudiantes y logren resolver sus dudas o problemas. Además, el maestro es miembro del grupo y no el foco del salón de clases, de hecho se convierte en un aprendiente más, pero con la diferencia de ser el responsable y conductor –coordinador o facilitador-del aprendizaje del grupo. Tiene que proporcionar asistencia técnica y asesoría creativa, más que dirigir a los estudiantes a la creación de tareas estrechamente definidas. Los estudiantes acuden al maestro cuando necesitan ayuda, pero el rol del maestro es más de colega que de un superior. El maestro es amigo de los estudiantes, les da motivación y confianza, se pone al nivel de los estudiantes y utiliza su mismo lenguaje. El maestro aprende junto con sus alumnos, no tanto en conocimientos,

pero si en nuevas formas de realizar las tareas o de hacer las cosas, así como la manera de resolver problemas. Los estudiantes necesitan construir sus propios entendimientos de cada concepto, de manera tal que el papel primario del maestro no es dar clases, explicar, o cualquier otro Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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intento de “transferir” el conocimiento, sino el de crear situaciones para motivar a los estudiantes para que realicen sus propias construcciones mentales. El reto del docente es forjar habilidades en los estudiantes, de manera tal, que estos puedan continuar aprendiendo y construyendo sus propios entendimientos basados en el mundo cambiante que les rodea.

Figura 3. Características del Maestro Constructivista 56



En un salón de clases tradicional, puede verse a un maestro quien permanece en frente del grupo, expone principalmente y trata de llenar con información las cabezas de sus estudiantes, como si estuvieran vacías. Pero esto es lo que no verán si visitan un salón de clases constructivista; verán al maestro moverse de un lado a otro dentro del grupo, pasando de un equipo de trabajo a otro; mezclado con los alumnos a veces no será fácil de encontrar. Siempre hay un murmullo de actividad; los estudiantes trabajando juntos en equipo haciendo un círculo o alrededor de una mesa redonda, resolviendo problemas, leyendo unos a otros y compartiendo ideas. Muchas actividades diferentes parecen estarse llevando a cabo al mismo tiempo. En los salones de clase constructivistas, los maestros se ven ellos mismos, se describen ellos mismos como colaboradores, líderes de equipo y guías, no como jefes o directivos autoritarios. Los maestros constructivistas preguntan más que explican, modelan más que enseñan, trabajan igual o más duro que en un salón de clases tradicional. Esto significa que no siempre el maestro dirige el diálogo en el salón de clases, en ocasiones los estudiantes lo inician, mientras el los escucha y responde posteriormente; no es el único que juzga los trabajos de los estudiantes; los estudiantes aprenden a evaluar el trabajo de sus compañeros y se autoevalúan también. Se considera que educación es igual a comunicación. Pero en una comunicación total el receptor en determinados momentos se convierte Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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en emisor, esto es imposible en una educación tradicional, ya que en ella la comunicación es unidireccional, donde los receptores son pasivos, no responden los mensajes sino que permanecen en silencio aceptando lo que se les dice. El enfoque constructivista acepta la comunicación completa entre el maestro y los estudiantes; se acepta un diálogo completo, ya que el maestro es un integrante más del grupo, aunque con uno de los papeles más importantes, ya que es el responsable del aprendizaje. Para crear una buena comunicación, el maestro tiene que crear un ambiente de confianza y armonía en el salón de clases, una atmósfera adecuada para promover el aprendizaje y participación de los estudiantes. Sin embargo, en todo proceso de comunicación aparece el ruido o interferencias. Pero si el ruido es lo que interfiere con un mensaje, entonces hay más ruido en un salón de clases tradicional que en uno constructivista. El ruido en un salón de clases tradicional incluye inatención, fantasear, distracción visual, malos entendidos, aburrimiento, pláticas entre alumnos, falta de motivación, enajenación y rebelión. En el salón de clases constructivista, en el cual el maestro y los estudiantes son tanto emisores como receptores, hay una constante clarificación, interpretación y recreación de mensajes. Este sistema de comunicación, el cual conduce al involucramiento de los estudiantes, elimina la mayoría del ruido de un salón de clases tradicional, a pesar de que las voces de los 58



estudiantes puedan inundar el salón de clases constructivista. Un sistema de comunicación constructivista no significa que el maestro abandona su responsabilidad. A pesar de que a los estudiantes se les asigna un mayor rol para que dirijan su propio aprendizaje, ellos no tienen permiso para hacer lo que quieran. El rol del maestro es guiar, orientar, enfocar, sugerir, organizar, seleccionar y continuamente evaluar el progreso de los estudiantes. Si, aun el rol del maestro es dar instrucción directa como en el enfoque tradicional, principalmente, cuando los estudiantes no poseen los conocimientos previos, requisito indispensable para aprender los nuevos conocimientos. El maestro también tiene la responsabilidad de corregir el proceso cuando no está dando los resultados académicamente relevantes, ya que el tiene que tomar las acciones necesarias para asegurarse de que esto ocurra. El constructivismo no es dejar que los estudiantes hagan lo que ellos quieran y como quieran, ni es darles una libertad total en el salón de clases, ya que esto paulatinamente conduce al caos. Los maestros no pueden ser espectadores inactivos de las actividades y aprendizaje de los estudiantes; los maestros tienen que intervenir y decidir qué es lo que los estudiantes pueden y deben hacer, permitiendo y motivando la iniciativa responsable de los estudiantes para un óptimo aprendizaje.


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Para ser un maestro constructivista, el primer requisito es dominar ampliamente los contenidos de sus asignaturas, sin esto, es imposible ser un buen maestro tradicional o constructivista. Sin embargo, el enfoque tradicional ayuda a ocultar la incapacidad del docente, ya que le asigna un papel central de sabelotodo, el que controla y el único que enseña; los más ineptos se dedican a llenar pizarrones, adoptan una pose altanera y prepotente, lo que provoca que los alumnos sean más pasivos y jamás preguntan y se limitan a decir “el maestro si sabe, nada más que no sabe enseñar”. Este tipo de maestros incapaces no pueden ser buenos maestros ni en forma tradicional ni constructivista, ya que cuando si saben, aun en el enfoque tradicional tienen varias maneras de lograr aprendizajes en sus alumnos. La tarea del maestro es diseñar una serie de experiencias para los estudiantes que los capacite para aprender efectivamente y motivarlos para involucrarse en las actividades correspondientes. El maestro constructivista establece problemas y monitorea la búsqueda de solución de los problemas que realizan los estudiantes, guía la búsqueda y promueve nuevos patrones de pensamiento. Las sesiones de clase pueden tomar giros inesperados conforme los alumnos adquieren autonomía para realizar sus propias exploraciones o investigaciones, es decir, a medida que aprenden a aprender, mayor autonomía mostrarán al realizar las actividades establecidas por el profesor, las cuales en matemáticas 60



mayormente consisten en resolución de problemas. El aprendizaje constructivista está basado en la participación activa de los estudiantes en la solución de problemas y en el uso de pensamiento crítico respecto a las actividades de aprendizaje que encuentran relevantes e interesantes. Ellos están construyendo su propio conocimiento por probar ideas y enfoques basados en su conocimiento y experiencia previa, aplicando estos a una nueva situación, e integrando el nuevo conocimiento obtenido con sus construcciones intelectuales pre-existentes. Antes de llegar a ser un buen profesor constructivista se requiere un cambio en la actitud y manera de pensar del profesor acerca de cómo los estudiantes aprenden y de las condiciones que motivan el aprendizaje. El lenguaje tradicional en un entorno constructivista simplemente no funciona. Es necesario cambiar a un lenguaje constructivista, el cual está centrado en el estudiante y su aprendizaje más que en el profesor y la enseñanza. El constructivismo está centrado en los estudiantes y no en el maestro. Usar un nuevo lenguaje no soluciona todos los problemas de cambiar de un enfoque tradicional a uno constructivista, pero si no cambiamos nuestro lenguaje, tendremos dificultades para cambiar nuestra forma de pensar y actuar. Ningún maestro puede esperar que hablando en forma tradicional pueda tener un salón de clases constructivista. Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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Los cambios que se deben hacer en el lenguaje y forma de pensar son los siguientes: 1) Cambie “Enseñanza” por “Aprendizaje”. Deje de usar las palabras enseñanza, enseñar o maestro por aprendizaje, aprender o estudiante. En lugar de preguntarse ¿Cómo puedo enseñar a mis alumnos a dividir?, cambie la pregunta por: ¿Cuál es la mejor manera en que mis estudiantes pueden aprender a dividir? Esto cambia el enfoque hacia los estudiantes y sus habilidades. Recordemos que podemos enseñarles algo a los estudiantes, pero no significa que lo hayan aprendido, sobre todo si se ignora como aprenden mejor. 2) Cambie “Plan o Programa de Clases” por “Plan de Aprendizaje del Estudiante”. La idea es cambiar el enfoque del maestro hacia los estudiantes, de la enseñanza al aprendizaje. Debido a las condiciones administrativas pudiera ser necesario elaborar dos planes, uno tradicional para entregarlo a las autoridades educativas y otro constructivista para ejecutarlo en el salón de clases. 3) Cambie “Cubrir” por “Descubrir”. Cubrir el programa de estudios o plan clase no le permitirá un entorno de aprendizaje constructivista. No es que el contenido no sea importante; es extremadamente importante, pero en un salón de clases constructivista el maestro no transmitirá la mayor parte del contenido. En vez de esto, los estudiantes buscan, descubren y reflejan el contenido a través de investigaciones, consultas y análisis en el contexto de un problema, procedimiento o tema. 4) Cambie “Unidad” por “Investigación” o “Exploración”. Centre el aprendizaje de los estudiantes en un aprendizaje activo. De la idea 62



que los estudiantes participarán activamente en su apropiación de conocimientos. 5) Cambie “Presentaciones o Exposiciones” por “Experiencias de Aprendizaje Interactivo”. De esta manera asumimos que queremos que los estudiantes lleguen a ser aprendientes activos quienes desarrollan sus propios conocimientos. Asumamos que los estudiantes son capaces de exitosamente investigar, sintetizar y analizar el nuevo material, sacar conclusiones y emitir nuevas preguntas y búsquedas. Posteriormente, por equipo, los estudiantes pueden hacer la presentación, que tanto estudiantes como el maestro todos deben evaluar. La prueba de la efectividad de un maestro constructivista no tiene que ver con su habilidad verbal, su habilidad para narrar una historia o su habilidad para preparar una clase clara y convincente, ni su habilidad para entretener a los estudiantes con descubrimientos científicos o batallas históricas ni sus habilidades matemáticas. A pesar de que estas habilidades son necesarias, un buen maestro constructivista es alguien que da oportunidades a sus alumnos para que lleguen a ser grandes oradores, matemáticos, historiadores, científicos. Los estudiantes no llegan a ser grandes científicos por escuchar al maestro decirles lo grandioso que es la ciencia, ellos llegan a ser grandes científicos porque tienen la oportunidad para hacer ciencia. No se trata de que el maestro brille sino de que los estudiantes brillen.


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De acuerdo a Brooks & Brooks (1993), los maestros constructivistas:

• Fomentan y aceptan la iniciativa y autonomía del estudiante. • Usan fuentes primarias y datos originales, junto con actividades manuales y materiales físicos cuando proponen tareas. • Usan terminología cognitiva tales como clasificar, analizar, predecir y crear.

• Permiten a los estudiantes sean responsables para manejar sus lecciones. Que cambien sus estrategias instruccionales y alteren el contenido.

• Investigan acerca de los entendimientos de los estudiantes respecto a sus conceptos –mediante un diagnóstico-- antes de compartir sus propios entendimientos de esos conceptos.

• Hacen que los estudiantes entren en diálogo, tanto con el maestro como con sus compañeros de grupo. • Motivan a los estudiantes para que pregunten seriamente, preguntas abiertas y fomentan que los estudiantes se pregunten unos a otros.

• Buscan que los estudiantes den respuestas iniciales a los cuestionamientos o problemas presentados por el profesor.

• Involucran a los estudiantes en experiencias que pueden generar contradicciones a sus conjeturas iniciales y entonces fomentar la discusión. 64



• Permiten tiempos de espera después de presentar las preguntas. Permiten que los estudiantes elaboren sus propias respuestas y las compartan con los demás.

• Dan tiempo para que los estudiantes construyan relaciones. • Nutren la curiosidad natural de los estudiantes a través del uso frecuente del modelo de ciclo de aprendizaje.

2.6

Evaluación Constructivista

La evaluación al igual que el aprendizaje son procesos, por lo tanto no se debe evaluar sólo utilizando el examen –como algunos maestros acostumbran--, sino utilizando muchos más herramientas y considerando todos los aspectos tanto objetivos como subjetivos; además, al ser un proceso debe evaluarse continuamente a los alumnos y no sólo en ciertos momentos aislados. Deben usarse varios instrumentos de evaluación y no uno solo, debe seleccionarse el instrumento o método más adecuado a la actividad que se está evaluando. La evaluación tiene aspectos subjetivos --la motivación, la dedicación, el esfuerzo, las emociones--, por lo tanto, no debe evaluarse solamente el aprendizaje de los estudiantes. Esto debe tomarse en cuenta al diseñar nuestros objetivos a alcanzar y las actividades a evaluar. No basta con evaluar los aprendizajes que llevan a cabo nuestros alumnos


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y alumnas, como maestros debemos evaluar nuestra propia actuación y las actividades de enseñanza que planificamos y desarrollamos. La evaluación es una acción importante y fundamental en el proceso de aprendizaje, pero debe servir de apoyo a este proceso, de manera tal que

refuerce el aprendizaje y ayuda a realimentar tanto al maestro como a los alumnos. Sin embargo, no es fácil evaluar correctamente y más si usamos la teoría constructivista, donde los alumnos gradualmente van construyendo sus conocimientos. La evaluación debe valorar las diferentes capacidades aprendidas:

motrices, cognitivas, afectivas o de equilibrio emocional, de relación interpersonal, y de actuación e inserción social. Evaluar los aprendizajes realizados por los alumnos equivale a precisar hasta que punto han desarrollado y/o aprendido unas determinadas habilidades como consecuencia de la enseñanza recibida. Se trata, por tanto, de preguntarnos hasta que punto los procedimientos e instrumentos de evaluación que utilizamos nos permiten captar efectivamente los progresos que realizan nuestros alumnos en el desarrollo y/o aprendizaje de ciertas habilidades en relación con la enseñanza que les impartimos. Esto nos obliga a realizar una reflexión de nuestra práctica docente y también respecto a los instrumentos que utilizamos para evaluar el conocimiento de nuestros alumnos, mínimamente debemos ser flexibles y 66



no cerrados o rígidos, no sólo en la enseñanza sino también en la evaluación de los aprendizajes. La enseñanza eficaz, en una perspectiva constructivista, es la enseñanza que consigue ajustar el tipo y la intensidad de la ayuda proporcionada a las vicisitudes del proceso de construcción de significados que llevan a cabo los alumnos. La evaluación de la enseñanza, por tanto, no puede ni debe concebirse al margen de la evaluación del aprendizaje. Ignorar este

principio equivale, por una parte, a condenar en gran medida la evaluación de la enseñanza a un ejercicio más o menos formal y, por otra, a limitar el interés de la evaluación de los aprendizajes a su potencial utilidad para tomar decisiones de promoción, acreditación o titulación.

Cuando evaluamos los aprendizajes que han realizado nuestros alumnos, estamos también evaluando, se quiera o no, la enseñanza que hemos llevado a cabo. La evaluación nunca lo es, en sentido estricto, de la enseñanza o del aprendizaje, sino más bien de los procesos de enseñanza y aprendizaje .

Todos los docentes tratamos de lograr aprendizajes significativos en nuestros alumnos, pero, ¿Cómo evaluamos el aprendizaje significativo? Con actividades que permitan valorar el avance del aprendizaje, en el caso de matemáticas se demuestra en la resolución de problemas de dificultad gradual. Los aprendizajes significativos no se deben evaluar Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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como todo o nada, sino más bien como un grado de avance, se debe detectar el grado de significatividad del aprendizaje realizado, utilizando para ello actividades y tareas susceptibles de ser abordadas o resueltas a partir de diferentes grados de significatividad de los contenidos implicados en su desarrollo o resolución. La evaluación de los aprendizajes realizados por los alumnos proporciona al profesor información insustituible para ir ajustando progresivamente la ayuda que les damos en el proceso de construcción de significados. Esta evaluación puede y debe también utilizarse para proporcionar a los propios alumnos una información sumamente útil sobre el proceso de construcción que están llevando a cabo. Las actividades de evaluación

deberían

atender

más

a

esta

posible

y

deseable

función

autorreguladora, mediante una presentación previa clara y explícita de lo que se pretende evaluar, de las finalidades que se persiguen y del análisis posterior de los resultados obtenidos. El ideal sería que los estudiantes fueran capaces de utilizar mecanismos de autoevaluación, susceptibles de proporcionarles informaciones relevantes para regular su propio proceso de construcción de significados. Si una de las

características de los estudiantes es que “aprendan a aprender ”, ”, entonces deben ser capaces de darse cuenta que están aprendiendo, mediante el uso de mecanismos de autoevaluación.

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Cuando los alumnos evidentemente muestran progresos en el aprendizaje, en la ejecución de tareas o actividades, en su responsabilidad y participación en el proceso de aprendizaje, probablemente no sea necesaria ninguna evaluación. Pero, en el caso de las ciencias formales –

como son las matemáticas--, por su naturaleza mental, sí se requiere el uso de instrumentos de evaluación para valorar el aprendizaje. El conocimiento y habilidad adquirida con entendimiento es retenido mejor y transferido mejor que el que no se comprende. Por lo tanto, las pruebas de retención y transferencia son adecuadas para evaluar el entendimiento e inversamente, el alcance del entendimiento puede ser usado como un medidor de la retención y transferencia. Es muy deseable, que los estudiantes evalúen sus propios niveles de entendimiento. Que los estudiantes participen en el proceso de evaluación, autoevaluándose y coevaluando el proceso. Hay un consenso general de que únicamente el aprendiente activo será un aprendiente exitoso. Se debe procurar fomentar la iniciativa de los estudiantes y la interacción entre ellos. La estructura social del entorno en la cual la educación tiene lugar es de suma importancia desde un punto de vista cognitivo y especialmente motivacional.


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Figura 4. Elementos a considerar en la Evaluación Constructivista En el diseño instrucccional tradicional, las metas y objetivos son establecidos por los desarrolladores del currículo y diseñadores instruccionales. Bajo el constructivismo, los estudiantes con ayuda del instructor, seleccionan o desarrollan sus propias estrategias de aprendizaje y frecuentemente sus propias metas y objetivos (Colmes,

1993). La mayoría de los modelos de enseñanza y aprendizaje tradicional 70



contienen establecimiento de metas y selección de elementos, pero esto es hecho sólo por los maestros o por las autoridades educativas y nunca por los estudiantes. Los maestros típicamente evalúan tareas y exámenes y son los únicos que evalúan.

Las pruebas objetivas no deben rechazarse por ser tradicionales, ya que bien diseñadas sirven muy bien para medir los aprendizajes. Por ejemplo, los exámenes tradicionales de opción múltiple no deben ser rechazados como tradicionalistas, ya que si se diseñan bien las preguntas y respuestas evitando la memorización y repetición, se puede lograr que los exámenes de opción múltiple se usen en el constructivismo. Por ejemplo, si pedimos que el alumno enuncie las reglas del uso de mayúsculas, lo mas probable que midamos lo que el alumno recuerda pero no lo que ha aprendido, para medir el aprendizaje debemos pedir que el estudiante aplique y demuestre lo que sabe; en cambio, si pedimos que escriba tres sentencias usando tres diferentes reglas del uso de mayúsculas y luego que explique las reglas que usó en sus sentencias, estaremos hablando de una pregunta y evaluación constructivista. Sin embargo, se puede hacer una combinación de formatos tradicional y constructivista en un examen, usando esta combinación puede hacer la transición más suave para los estudiantes. No se trata de memorizar, recordar y repetir, sino de construir y utilizar el conocimiento. El aprendizaje constructivista generalmente es evaluado a través de proyectos basados en Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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rendimiento, en vez de las pruebas tradicionales de lápiz y papel. La evaluación constructivista se centra en lo que el estudiante puede hacer con el conocimiento. En general, se recomienda que el estudiante demuestre su aprendizaje mediante la aplicación del conocimiento, por ejemplo; despeje de fórmulas, evaluación de expresiones, solución de ecuaciones, factorización de expresiones, realización de operaciones, escribir resúmenes y ensayos, crear un modelo o maqueta, crear un video, escribir literatura, música o poesía, crear o conducir experimentos. Por ejemplo, si alguien quiere obtener su licencia de conducir, para demostrar que sabe manejar no basta que llene correctamente un examen; tiene que hacerlo necesariamente conduciendo un automóvil. Nadie aprende a nadar por solo leer el mejor libro que se haya escrito para aprenderlo a hacer, es hasta cuando el aprendiente practica cuando está en posibilidad de aprender y también de demostrar sus progresos de aprendizaje. Resumiendo, es muy importante considerar nuevas formas de evaluación al implantar el constructivismo en el salón de clases, ya que no se puede seguir evaluando de forma tradicional; la evaluación también tiene que ser constructivista, debe valorar las nuevas formas de aprendizaje que se están desarrollando en el salón de clases. Como la educación llega a ser un esfuerzo colectivo de los estudiantes y los métodos educativos 72



enfatizan la evaluación individual, nuevas técnicas de evaluación deben crearse para medir el rendimiento o desarrollo de los estudiantes. Se recomienda evaluar el proceso de aprendizaje de los estudiantes conforme este va ocurriendo, es decir, mediante evaluaciones continuas y bajo criterios bien establecidos con la participación de los estudiantes. Debe incluirse la coevaluación y la auto evaluación. No es correcto evaluar al término de la unidad y aun menos cuando termina un semestre, ya que si no hay aprendizajes en los estudiantes, tampoco habrá tiempo para remediar este grave problema. Por esto, es muy recomendable la evaluación continua, la cual se efectúa durante todas las sesiones de clase y nos permite corregir situaciones anómalas conforme se desarrolla el proceso de aprendizaje. Para evaluar constructivamente, por ejemplo, pudieran video grabarse las sesiones de clases, para ver las interacciones de los estudiantes conforme ellos trabajan, también para ver su habilidad para comunicarse con otros, en general, para ver su participación y desarrollo del proceso de aprendizaje. Se les proyectaría a los estudiantes estas sesiones para que pudieran autoevaluarse y para que comentaran sus experiencias del proceso de aprendizaje. Es importante que los videos registren tanto los aciertos como los errores que cometen los estudiantes, ya que de los errores muchas veces se aprende más. Es importante hacer notar como corrigieron los errores y como consideran ellos el progreso de su Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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aprendizaje. La evaluación constructivista es una actividad que demanda más tiempo del maestro, de hecho, el maestro se la pasa más evaluando que enseñando, enseñando, también, gran parte del tiempo, se la pasa seleccionando y organizando materiales y diseñando actividades para que los estudiantes logren los objetivos de aprendizaje.

2.7

Aprendizaje Significativo "Si tuviese que reducir toda la psicología educativa a un solo principio, enunciaría éste: el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto, y enséñese en consecuencia"

2.7.1 Historia del origen de d e la Perspectiva Significativa En la década de los 70's, las propuestas de Jerome Brunner (1963) sobre el Aprendizaje por Descubrimiento cobraban adeptos en forma acelerada. Las experiencias se orientaban a que los niños en las escuelas construyeran su conocimiento a través del descubrimiento de contenidos. Se privilegió, entonces, el activismo y los experimentos dentro del aula. Ante la llegada de lo nuevo, se criticó severamente el modelo expositivo tradicional.

David P. Ausubel (1972) reconoció las bondades del aprendizaje por descubrimiento, pero se opuso a su aplicación irreflexiva. Después de todo hay que considerar que el aprendizaje por descubrimiento tiene una desventaja: necesita considerablemente más tiempo para la realización de 74



actividades.

Ausubel (1972) considera que el aprendizaje por descubrimiento no debe presentarse como opuesto al aprendizaje que resulta de una exposición (aprendizaje por recepción), pues éste puede ser igualmente eficaz (en calidad) que aquél, si se dan ciertas características. Además, puede ser notablemente más eficiente, pues se invierte mucho menos tiempo. Así, el aprendizaje escolar puede darse por recepción o por descubrimiento, como estrategia de enseñanza, y puede lograr en el alumno aprendizajes de calidad (llamados por Ausubel significativos) o aprendizajes de baja calidad (memorísticos o repetitivos). Se considera que el aprendizaje por recepción no implica, como mucho se critica, una actitud pasiva del alumno; ni tampoco las actividades diseñadas para guiar el aprendizaje por descubrimiento garantizan la actividad cognoscitiva del alumno.

2.7.2 ¿Qué es el Aprendizaje Significativo? El aprendizaje significativo es un proceso a través del cual una persona incorpora la nueva información de forma que ésta se relaciona con la estructura cognitiva previamente existente en el individuo. En opinión de Ausubel (1972), la asimilación de nueva información se basa en las relaciones jerárquicas que la persona establece entre los conceptos que


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conoce. En esta asimilación juegan una función muy importante aquellos conceptos llamados inclusores, que en definitiva son aquellos que asimilan, subsumen, la nueva información. Según Ausubel (1972), el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. El maestro debe averiguarlo y enseñar en consecuencia para que lo descubra. La práctica del aprendizaje comprensivo arranca de una muy concreta propuesta: partir siempre de lo que el alumno tiene, conoce, respecto de aquello que se pretende aprender. El aprendizaje significativo es un estímulo hacia el entrenamiento intelectual constructivo relacional. Es la propuesta psicopedagógica en donde el trabajo escolar está diseñado para superar el memorismo tradicional de las aulas y lograr un aprendizaje más integrador, comprensivo y autónomo. Es una propuesta de la comprensión, factor relevante del aprendizaje. Potenciar, educar habilidades intelectuales, no como una pasiva acumulación de materiales, más o menos ordenados y sistematizados, sino como una activa estructura de relacional significatividad. Lo aprendido eminentemente como memorización mecánica, a los tres meses, prácticamente está perdido. No hay recuerdo de nada. Cuántas 76



desveladas, previas a los días de los exámenes, sirven para bien poco. No sólo hay olvido, sino nerviosismo porque la información no es significativa, ya que solo está memorizada pero sin ninguna relación. Este tipo de estrategia memorizante sin red no genera entrenamiento intelectual. No provoca expansión cognitiva, ni metacognitiva.

2.7.3 Aprendizaje Tradicional Durante mucho tiempo se consideró que el aprendizaje era sinónimo de cambio de conducta, esto, porque dominó una perspectiva conductista de la labor educativa; sin embargo, se puede afirmar con certeza que el aprendizaje humano va más allá de un simple cambio de conducta, conduce a un cambio en el significado de la experiencia. La experiencia humana no solo implica pensamiento, sino también afectividad y únicamente cuando se consideran en conjunto se capacita al individuo para enriquecer el significado de su experiencia.

2.7.4 Teoría del Aprendizaje Significativo Ausubel (1972), plantea que el aprendizaje del alumno depende de la

estructura cognitiva previa que se relaciona con la nueva información, debe entenderse por "estructura cognitiva", al conjunto de conceptos, ideas que un individuo posee en un determinado campo del conocimiento, así como su organización.


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En el proceso de orientación del aprendizaje, es de vital importancia conocer la estructura cognitiva del alumno; no sólo se trata de saber la cantidad de información que posee, sino cuales son los conceptos y proposiciones que maneja así como de su grado de estabilidad. Los principios de aprendizaje propuestos por Ausubel, ofrecen el marco para el diseño de herramientas metacognitivas que permiten conocer la organización de la estructura cognitiva del educando, lo cual permitirá una mejor orientación de la labor educativa; ésta ya no se verá como una labor que deba desarrollarse con "mentes en blanco" o que el aprendizaje de los alumnos comience de "cero", pues no es así, sino que, los educandos tienen una serie de experiencias y conocimientos que afectan su aprendizaje y pueden ser aprovechados para su beneficio.

2.7.5 Aprendizaje Significativo y Aprendizaje Mecánico El aprendizaje significativo ocurre cuando el educando tiene en su estructura cognitiva conceptos, estos son: ideas, proposiciones, estables y definidas, con los cuales la nueva información puede interactuar. La nueva información "se conecta" con un concepto relevante ("subsunsor") preexistente en la estructura cognitiva, esto implica que, las nuevas ideas, conceptos y proposiciones pueden ser aprendidos significativamente en la medida en que otras ideas, conceptos o proposiciones relevantes estén adecuadamente claras y disponibles en la estructura cognitiva del individuo y que funcionen como un punto de "anclaje" a las primeras. 78



A manera de ejemplo, si los conceptos de operaciones aritméticas, ya existen en la estructura cognitiva del alumno, estos servirán de subsunsores para nuevos conocimientos referidos al álgebra, tales como operaciones con monomios y polinomios; el proceso de interacción de la nueva información con la ya existente, produce una nueva modificación de los conceptos subsunsores (número, suma, resta, multiplicación, división, etc.), esto implica que los subsunsores pueden ser conceptos amplios, claros, estables o inestables. Todo ello depende de la manera y la frecuencia con que son expuestos a interacción con nuevas informaciones. En el ejemplo dado, las operaciones aritméticas servirán de "anclaje" para nuevas informaciones referidas a operaciones algebraicas, pero en la medida

de

que

esos

nuevos

conceptos

sean

aprendidos

significativamente, crecerán y se modificarían los subsunsores iniciales; es decir los conceptos de cantidad, suma, resta, multiplicación, división, potenciación, evolucionarían para servir de subsunsores para conceptos como leyes de los exponentes, operaciones con cantidades positivas y negativas y operaciones con monomios y polinomios. La característica más importante del aprendizaje significativo es que, produce una interacción entre los conocimientos más relevantes de la estructura cognitiva y la nueva información (no es una simple Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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asociación), de tal modo que ésta adquiere un significado y es integrada a la estructura cognitiva de manera no arbitraria y sustancial, favoreciendo la diferenciación, evolución y estabilidad de los subsunsores preexistentes y consecuentemente a toda la estructura cognitiva. El aprendizaje mecánico, contrariamente al aprendizaje significativo, se produce cuando no existen subsunsores adecuados, de tal forma que la nueva información es almacenada arbitrariamente, sin interactuar con conocimientos preexistentes, un ejemplo de ello sería el simple aprendizaje de fórmulas o algoritmos, esta nueva información es incorporada a la estructura cognitiva de manera literal y arbitraria puesto que consta de puras asociaciones arbitrarias. Obviamente, el aprendizaje mecánico no se da en un "vacío cognitivo" puesto que debe existir algún tipo de asociación, pero no en el sentido de una interacción como en el aprendizaje significativo. El aprendizaje mecánico puede ser necesario en algunos casos, por ejemplo, en la fase inicial de un nuevo cuerpo de conocimientos, cuando no existen conceptos relevantes con los cuales pueda interactuar. Siempre que sea posible, el aprendizaje significativo debe ser preferido, pues, este facilita la adquisición de significados, la retención y la transferencia de lo aprendido.

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2.7.6 Características del Aprendizaje Significativo David P. Ausubel (1972), afirma que las características del Aprendizaje Significativo son: Los nuevos conocimientos se incorporan en forma sustantiva en la estructura cognitiva del alumno. Esto se logra gracias a un esfuerzo deliberado del alumno por relacionar los nuevos conocimientos con sus

conocimientos previos. Todo lo anterior es producto de una implicación afectiva del alumno, es decir, el alumno quiere aprender aquello que se le presenta porque lo considera valioso .

En contraste el Aprendizaje Memorístico se caracteriza por: Los nuevos conocimientos se incorporan en forma arbitraria en la estructura cognitiva del alumno. El alumno no realiza un esfuerzo para integrar los nuevos conocimientos con sus conocimientos previos. El alumno no quiere aprender, pues no concede valor a los contenidos presentados por el profesor. Finalmente Ausubel no establece una distinción entre aprendizaje significativo y mecánico como una dicotomía, sino como un "continuum", es más, ambos tipos de aprendizaje pueden ocurrir


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contiguamente en la misma tarea de aprendizaje (Ausubel; 1983); por ejemplo, la simple memorización de fórmulas se ubicaría en uno de los extremos de ese continuo( aprendizaje mecánico) y el aprendizaje de relaciones entre conceptos podría ubicarse en el otro extremo (Aprendizaje Significativo); cabe resaltar que existen tipos de aprendizaje intermedios que comparten algunas propiedades de los aprendizajes antes mencionados, por ejemplo, aprendizaje de representaciones o el aprendizaje de los nombres de los objetos.

2.7.7 Requisitos para el Aprendizaje Aprend izaje Significativo Al respecto (Ausubel, 1983: 48) dice: El alumno debe manifestar una

disposición para relacionar sustancial y no arbitrariamente el nuevo material con su estructura cognoscitiva. Lo anterior presupone, que el material sea potencialmente significativo, esto implica que el material de aprendizaje pueda relacionarse de manera no arbitraria y sustancial con alguna estructura cognoscitiva específica del alumno, la misma que debe poseer "significado lógico" es decir, ser relacionable de forma intencional y sustancial con las ideas correspondientes y pertinentes que se encuentran disponibles en la estructura cognitiva del alumno, este significado se refiere a las características inherentes del material que se va aprender y a su

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naturaleza. Concluyendo, la disposición para el aprendizaje significativo, es decir, que el alumno muestre una disposición para relacionar de manera sustantiva y no literal el nuevo conocimiento con su estructura cognitiva es muy importante. Así independientemente de cuánto significado potencial posea el material a ser aprendido, si la intención del alumno es memorizar arbitraria y literalmente, tanto el proceso de aprendizaje como sus resultados serán mecánicos; de manera inversa, sin importar lo significativo ni la disposición del alumno, ni el proceso, ni el resultado serán significativos, si el material no es potencialmente significativo y no es relacionable con su estructura cognitiva previa.

2.7.8 Constructivismo y Aprendizaje Significativo El constructivismo sostiene que el conocimiento no es copia fiel de la realidad, sino una construcción del ser humano. Nuestro modo de ordenar la experiencia es relacionándola con informaciones internas y externas, creando una nueva realidad que es la construcción del conocimiento. La concepción constructivista del aprendizaje se sustenta en la idea de que la finalidad de la educación es promover los procesos de crecimiento cultural y personal del alumno. Uno de los enfoques constructivistas es el pensar y actuar sobre


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contenidos significativos y contextuales. El aprendizaje ocurre sólo si se

relacionan de manera no arbitraria y sustancial, la nueva información con los conocimientos y experiencias previas que posee el individuo en su estructura de conocimientos unido a una disposición de aprender significativamente (motivación y actitud). Los programas constructivistas de aprendizaje activo, en la cual los estudiantes construyen su propio conocimiento los llevan a desarrollar habilidades de pensamiento independientes y críticas, un entendimiento de conceptos más profundo y un aprendizaje de mayor duración. [Marlowe 1998: P. 25]. El constructivismo es aprendizaje activo y está garantizado que desarrolla la mente [Marlowe 1998: P. 16]. La importancia de los factores disposicionales, es tener el deseo de aprender y el esfuerzo , el rozar el límite de la propia capacidad. Aprender

con esfuerzo es un estado de la mente inquieta, ambiciosa, exploradora. En este esfuerzo está la construcción del conocimiento que es apropiarse de algo, insertarlo en su esfera personal, ya que eso es lo que hace el aprendizaje significativo y le da el conocimiento útil, que tiene larga vida y que se aplica o transfiere a otros campos del conocimiento y puede cambiar la realidad creativamente. Un aprendizaje exitoso requiere aparte de la habilidad intelectual, el compromiso con la tarea y la producción creativa del conocimiento.

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2.7.9 Ventajas del Aprendizaje Significativo El Aprendizaje Significativo tiene claras ventajas sobre el Aprendizaje Memorístico:

• Produce una retención más duradera de la información. Modificando la estructura cognitiva del alumno mediante reacomodos de la misma para integrar la nueva información.

• Facilita adquirir nuevos conocimientos relacionados con los ya aprendidos en forma significativa, ya que al estar claramente presentes en la estructura cognitiva se facilita su relación con los nuevos contenidos. La nueva información, al relacionarse con la anterior, es depositada en la llamada memoria a largo plazo, en la que se conserva más allá del olvido de detalles secundarios concretos.

• Es activo, pues depende de la asimilación deliberada de las actividades de aprendizaje por parte del alumno.

• Es personal, pues la significación de los aprendizajes depende de los recursos cognitivos del alumno (conocimientos previos y la forma como éstos se organizan en la estructura cognitiva). A pesar de estas ventajas, muchos alumnos prefieren aprender en forma memorística, convencidos por triste experiencia que frecuentemente los profesores evalúan el aprendizaje mediante instrumentos que no


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comprometen otra competencia que el recuerdo de información, sin verificar su comprensión.

2.7.10 Requisitos para lograr el Aprendizaje Significativo De acuerdo a la teoría de Ausubel (1972), para que se puedan lograr aprendizajes significativos es necesario se cumplan tres condiciones: 1. Significatividad lógica del material. Esto es, que el material presentado tenga una estructura interna organizada, que sea susceptible de dar lugar a la construcción de significados. Los conceptos que el profesor presenta, siguen una secuencia lógica y ordenada. Es decir, importa no sólo el contenido, sino la forma en que éste es presentado. 2. Significatividad psicológica del material. Esto se refiere a la posibilidad de que el alumno conecte el conocimiento presentado con los conocimientos previos, ya incluidos en su estructura cognitiva. Los contenidos entonces son comprensibles para el alumno. El alumno debe contener ideas inclusoras en su estructura cognitiva, si esto no es así, el alumno guardará en su memoria a corto plazo la información para contestar un examen memorista, y olvidará después, y para siempre, ese contenido. 3. Actitud favorable del alumno. Que el alumno quiera aprender no basta para que se dé el aprendizaje significativo, pues también es 86



necesario que pueda aprender (significación lógica y psicológica del material). Sin embargo, el aprendizaje no puede darse si el alumno no quiere aprender. aprender. Este es un componente de disposiciones emocionales y actitudinales, en el que el maestro sólo puede influir a través de la motivación. La herramienta que facilita e identifica el aprendizaje significativo: los Mapas Conceptuales. El mapa conceptual es una herramienta coherente con la teoría educativa de Novak (1988) y su utilidad se refiere, entre otras, a la de detectar y facilitar el aprendizaje significativo. El mapa conceptual muestra de una forma esquemática y significativa una imagen gráfica sobre los conocimientos que una persona posee respecto a un tema en concreto, con lo cual también puede reflejar en qué medida ese conocimiento es producto de un proceso de aprendizaje significativo. En un mapa conceptual hallamos una serie de conceptos, una organización jerárquica de los mismos y las relaciones que se han establecido entre ellos, de forma que se hacen explícitos los significados que se han otorgado a cada concepto. La organización de los conceptos (más lineal o más diferenciada) que organizan el mapa conceptual indica hasta qué punto el autor del mismo ha llevado a cabo un aprendizaje más significativo o más memorístico. Es precisamente esta faceta de los mapas conceptuales la que se analiza en la presente investigación, pues en ésta se analizan los mapas conceptuales realizados por los alumnos y Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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se extraen las características más destacables del proceso de aprendizaje de los mismos.

Implicaciones Didácticas Del conocimiento de los requisitos para que un aprendizaje se dé en forma significativa, se desprenden consecuencias de tipo didáctico para quienes tenemos la obligación esencial de propiciarlos cotidianamente.

• En primer lugar, podemos determinar los conocimientos previos del alumno. Es decir, debemos asegurarnos de que el contenido a presentar pueda relacionarse con ideas previas. Conocer qué saben nuestros alumnos sobre el tema nos ayudará a intervenir sobre nuestra planeación.

• En segundo lugar, está la organización del material de nuestro curso, para que tenga forma lógica y jerárquica, recordando que no sólo es importante el contenido sino la forma en que éste sea presentado a los alumnos, por lo que se deberá presentar en secuencias ordenadas, de acuerdo a su potencialidad de inclusión.

• En tercer lugar, está el considerar la importancia de la motivación del alumno. Recordemos que si el alumno no quiere, no aprende. Por lo que debemos darle motivos para querer aprender aquello que le presentamos. El que el alumno tenga entonces una actitud favorable, el que se sienta contento en 88



nuestra clase, el que estime a su maestro, no son románticas idealizaciones del trabajo en el aula sino que deberán buscarse intencionalmente por quienes se dedican profesionalmente a la educación. Como afirma Don Pablo Latapí: "si tuviera que señalar un indicador y sólo uno de la calidad en nuestras escuelas, escogería éste: que los alumnos se sientan a gusto en la escuela".

2.7.11 Mitos del Aprendizaje Significativo Probablemente, no existe maestro que no haya escuchado alguna vez la expresión Aprendizaje Significativo. Sin embargo, habrá que reconocer que son pocos quienes tienen claro a qué se refiere. Diversas opiniones a fuerza de repetición se convierten en mitos, que lejos de explicar la expresión, constituyen distractores sobre la esencia del trabajo docente.

• Primer mito: El aprendizaje significativo se da cuando el alumno "se divierte" aprendiendo. No necesariamente. Hemos visto muchos intentos de integrar experiencias lúdicas en varios niveles educativos, y sin embargo, los alumnos no aprenden más que aquellos que reciben clases tradicionales. Los alumnos se divierten, claro está, pero nuestro trabajo no es el entretenimiento.

• Segundo mito: El aprendizaje significativo se da cuando los contenidos se ofrecen "adaptados" a los intereses del alumno. No


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necesariamente. ¿Quién puede asegurar lo que realmente les interesa a sus alumnos? ¿Acaso debemos renunciar a un contenido porque éste no resulte atractivo a nuestros alumnos? El maestro debe buscar interesar al alumno en el contenido, pero esto no basta. La mayoría de nuestros alumnos están interesados en aprender computación e inglés, y sin embargo sabemos que esto no es suficiente.

• Tercer mito: El aprendizaje significativo se da cuando el alumno "quiere aprender". Tampoco es exacto. La mayoría de nuestros alumnos, aún aquellos que han fracasado anteriormente, llegan con ilusión de empezar bien el curso y aprender. Sin embargo, el tiempo nos confirma nuevamente que esto no basta, aunque si es deseable que los alumnos quieran aprender.

• Cuarto mito: El aprendizaje significativo se da cuando el alumno "descubre por sí mismo" aquello que ha de aprender. Falso. No todo lo que el alumno aprende lo hace por descubrimiento, ni todo lo que el alumno "descubre" es aprendido. El aprendizaje por recepción, si se cumplen ciertas condiciones puede ser igualmente eficaz o más que el aprendizaje por descubrimiento.

• Quinto mito: El aprendizaje significativo se da cuando el alumno "puede aplicar" lo aprendido. La implicación es poco exacta. Más bien se debería afirmar que si el aprendizaje es 90



significativo, es posible transferirlo y aplicarlo.

2.8

Educación Tradicional “La sociedad en general y los gobiernos en particular, comprenden la enorme importancia de la educación, pero son pocos los que saben, que la educación es una espada de dos filos: una educación de calidad eleva y construye al individuo, mientras que una mala educación destruye al individuo y con ello a la sociedad” Nantúnez

En la educación tradicional, la escuela es la principal fuente de información para el educando; en ella el maestro es el centro del proceso de enseñanza, es el agente esencial de la educación y la enseñanza, jugando el rol de transmisor de información y sujeto del proceso de enseñanza, es el que piensa y transmite de forma acabada los conocimientos con poco margen para que el alumno elabore y trabaje mentalmente. Los objetivos están elaborados de forma descriptiva, declarativa y están dirigidos más a la tarea del profesor que a las acciones que el alumno debe realizar, no establece las habilidades que el alumno debe formar, lo que se hace que se aprecie más al profesor como sujeto de enseñanza que a los propios alumnos. La labor principal del profesor es la explicación. Trabaja con métodos de enseñanza esencialmente expositivos, ofreciendo gran cantidad de información que el alumno debe recepcionar y


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memorizar. El profesor hace hincapié en la ejercitación, enfatizando la repetición y memorización de los pasos a dar en la realización de los ejercicios. Se trabaja con casos particulares aislados, por lo que no se forma en los alumnos la capacidad inductiva o deductiva, es decir, de ir de lo general a lo particular o de lo abstracto a lo concreto. La instrucción tradicional no es del todo mala e inútil. Cuando por alguna razón, los estudiantes no pueden construir el conocimiento por ellos mismos, entonces necesitan instrucción. Es incorrecto afirmar que totalmente el aprendizaje no es influenciado por instrucción explicita. Algunas investigaciones muestran que lo que los estudiantes aprenden es notablemente influenciado por la instrucción. Por esto, la instrucción o exposición en clase por parte del maestro no debe desecharse, ya que en determinados momentos es importante, sobre todo para proporcionarles los conocimientos previos a los estudiantes --cuando no los tienen-- o cuando hay dudas o no hay avances en el aprendizaje. Pero es importante que el docente no abuse de la instrucción o la utilice como su único recurso. En la educación tradicional, la relación alumno-profesor está basada en el predominio de la autoridad del profesor exigiendo una actitud receptiva y pasiva de los alumnos; la obediencia de los alumnos es la principal virtud a lograr. Los principios educativos que rigen la labor del profesor son 92



bastante inflexibles, en ocasiones tienen un carácter impositivo y coercitivo. La relación que se establece entre profesor y alumno es autoritaria de parte del profesor. El modelo psicológico del Conductismo, es uno de los que más influye en la pedagogía tradicional; entre sus planteamientos sostiene considerar al hombre como receptor de información, y desatiende el proceso de asimilación del conocimiento, en tanto solo se interesa por el resultado, que se manifiesta mediante la conducta observable del estudiante. El contenido de la enseñanza consiste en un conjunto de conocimientos y valores sociales acumulados por las generaciones adultas que se transmiten a los alumnos como verdades acabadas; generalmente, estos contenidos están disociados de la experiencia del alumno y de las realidades sociales, por lo que la pedagogía tradicional es llamada enciclopedista e intelectualista. El contenido tiene un carácter secuencial

que se expresa en los programas, sus partes no tienen la interacción entre los temas que lo componen e incluso se observa que hay temas que quedan de forma aislada, sin relación alguna con otros temas. Hasta ahora, los métodos de enseñanza tradicional en el cual los profesores hablan y los estudiantes escuchan, dominan la enseñanza de las matemáticas en las instituciones educativas. La educación está Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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centrada en el maestro, quien tiene un papel activo, y el de los estudiantes es el de pasivamente recibir la información y repetirla –en

ocasiones, al pie de la letra-- en los momentos aislados de evaluación , obteniendo una mejor calificación a medida que el estudiante mejor repita lo que recibió del maestro o de algún libro de texto. Sin embargo, esta evaluación no es buena, ya que los momentos de evaluación son establecidos de antemano por la institución educativa o por el profesor, entonces el alumno se prepara un día antes o el mismo día, “grabando” en su mente la “información” de la asignatura respectiva, la plasma en el instrumento de evaluación –que en la mayoría de las veces es un examen y en ocasiones el único--; pero, después del examen los estudiantes “olvidan” rápidamente la información pues no está conectada con los conocimientos existentes. Esta evaluación, lo único que mide es la capacidad de memorizar pero no el conocimiento de los estudiantes. En la educación tradicionalista, la matemática escolar se inspira en su lógica interna; la forma clásica de enseñarla es la mecanicista, se aprende sin establecer relaciones entre sus mismos contenidos y con otras áreas, lo importante es la cantidad de conocimientos, no la calidad del aprendizaje. Aunque algunos maestros llaman métodos educativos

tradicionales eficientes, cuando ellos pueden transmitir mucho material a los estudiantes en cortas cantidades de tiempo (sin considerar cuan efectiva es esta transmisión en términos del aprendizaje), ¿Cómo saben si 94



lo estudiantes entienden los conceptos, asuntos, ideas y problemas? Si un estudiante repite información, como frecuentemente ocurre en una clase tradicional, no significa que entiendan algo o puedan aplicar esta información de alguna manera; no demuestran aprendizaje o entendimiento, simplemente demuestran la habilidad de repetir información. Uno de los temas que todos los proponentes del constructivismo (aprendizaje activo) tienen en común, es el rechazo del salón de clases tradicional dominado por el maestro, en el cual el maestro maneja, controla y distribuye la información. Los maestros tradicionales ven la educación no solo como pasiva y controlada sino también disfuncional en relación a las necesidades individuales, sociales y democráticas. Ellos ven como un bochorno la creatividad de los estudiantes, su autonomía, su energía, su independencia de pensamiento, su competencia, su confianza y autoestima; desean hacer estudiantes dependientes, conformistas y que no piensen. La modificación de las clases tradicionales es una manera de empezar a incorporar el constructivismo en el salón de clases. Para comenzar, si pedimos la atención de los estudiantes mientras explicamos brevemente y concisamente lo más importante del tema en menos de 10 minutos y luego, damos tiempo suficiente para que tomen nota de lo dicho o lo que Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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se ha escrito, estaremos empezando a usar el constructivismo, lo mismo si permitimos dar unas pausas cuando los estudiantes toman notas, aprenderán significativamente más información. Otras dos maneras simples pero efectivas durante una clase son incluir demostraciones breves o cortas, ejercicios escritos seguidos por una discusión en clases, preferentemente utilizando materiales audiovisuales. Ciertas alternativas

al formato de exposición en clases incrementan la atención de los estudiantes y su involucramiento en su aprendizaje, tales como: (1) realimentar la clase, la cual consiste de 2 exposiciones breves de resúmenes, separando cada exposición por una sesión de estudio en pequeños grupos siguiendo una guía de estudios y (2) la clase guiada, en la cual los estudiantes escuchan una presentación de 20-30 minutos sin tomar notas, seguido de permitirles 5 minutos para que escriban lo que ellos recuerden y pasen el resto del periodo de clases en pequeños grupos clarificando y elaborando resúmenes y conclusiones. Las discusiones en clases, son una de las estrategias más comunes que promueven el aprendizaje activo. Si los objetivos de un curso son

promover la retención de información a largo plazo, se debe motivar a los estudiantes hacia aprendizajes adicionales, para permitir que los estudiantes apliquen la información en nuevos escenarios, o desarrollen sus habilidades de pensamiento; bajo estas condiciones es mucho mejor la discusión que dar clases. Claro que la discusión debe realizarse con 96



estrategias y técnicas de cuestionamiento, además de crear un entorno emocional e intelectual armónico y de confianza que motive a los estudiantes a asumir riesgos y enfrentar retos. Discutir significa que los

estudiantes exponen sus puntos de vista, los sostienen mediante argumentos y los defienden hasta que les demuestran su error o que están equivocados. No significa pelear o agredirse, ni gritar o levantar la voz. En el CBTis 134 y en la mayoría de las escuelas en México, predomina la educación tradicional, que es una educación de grupos numerosos, controlados y dominados por el maestro, basados primariamente en libros de texto. La educación se centra en las explicaciones del maestro y en la recepción pasiva de los estudiantes, quienes memorizan la información y la repiten en los exámenes. A pesar de que las teorías, currículos, libros de texto han cambiado, existe poca evidencia de que la práctica docente haya cambiado, casi es la misma que la de hace 40 años. Un sistema instruccional dominado por el maestro que entrega información no puede funcionar en la era de la explosión de la información. En la década de los noventas la información se duplicaba cada 2 años, en la actualidad se duplica cada 6 meses. Por esto, los estudiantes que reciban pasivamente la información no estarán acorde a las necesidades de la sociedad y quedarán obsoletos, ya que en la nueva sociedad de la información no solo se hacen obsoletas las máquinas sino Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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también los recursos humanos. Resumiendo, históricamente el hecho educativo se ha desarrollado dentro del contexto tradicional, donde el maestro es el amo del saber y el alumno un ente recibidor de información, la cual debe aceptar sin críticas, incorporándolas a su memoria de manera textual a lo expresado por el maestro. De tal forma que en el momento de la evaluación, pueda repetir con lujo de detalles esa información y satisfacer los requerimientos de su maestro para aprobar la asignatura. En ese paradigma educativo, la conceptualización del currículo involucra contenidos y actividades, los cuales determinan los objetivos, bajo el enfoque conductista y dándole mayor relevancia a la actuación del docente, quien es el ente activo, “quien enseña”; y, el ente pasivo, el alumno, receptor acrítico de la información. Desde el corte conductista, generalmente se cae en la connotación de un hecho educativo que obedece a la tradición dogmática; es decir, los objetivos

propuestos

de

una

determinada

asignatura

están

correlacionados significativamente con los contenidos, los cuales son trasmitidos por el docente y recibidos por un receptor, quien se forma o moldea en el contexto del conocimiento de la ciencia a la cual pertenece la materia. En otras palabras, ocurre un proceso de enseñanza ejecutado por el docente y otro denominado aprendizaje, el cual se realiza en el 98



alumno. Dentro de este esquema conceptual, el hecho educativo se da sí y sólo sí existe un maestro que enseña y un alumno que aprende; es decir, el aprendizaje es consecuencia de la enseñanza. Una evidente ejecución en el marco de una causa (enseñanza) y el efecto (aprendizaje). Los individuos formados dentro de ese paradigma educativo son mecánicos de la información, incapaces de innovar, pues el molde con el cual fueron formados los encasilló de esta manera. La educación tradicional se caracteriza por un hecho educativo donde la mayor preocupación del docente es asegurarse que al culminar su actuación en el aula, taller o laboratorio, el alumno sabe lo que él domina en naturaleza y cantidad. Es decir, trata de desarrollar e incentivar en el estudiante un proceso de aprendizaje por imitación. El proceso de aprendizaje que ocurre en el estudiante, sustentado en la imitación, proviene de la admisión que el profesor es un ser poderoso, amo del conocimiento, a quien se debe complacer. Circunstancia que es reforzada por la tradición en boca de los estudiantes más viejos, quienes aconsejan a los nuevos para que no contraríen al profesor, so pena de perder la asignatura. Eso deviene en una total pasividad en el estudiante, quien de hecho se convierte un recipiente bueno o malo de los decires del docente. El aprendizaje alcanzado de esa manera es netamente repetitivo, Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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memorístico, carente de significado, por lo tanto ajeno a una aplicación razonable en la solución de algún problema. Por ende, contrario al espíritu de los fines de la educación. En la educación tradicional el aprendizaje es dejado totalmente al docente, que si domina su asignatura dará conocimientos adecuados, pero si es incapaz ya perjudicó a todo un grupo de seres humanos; desafortunadamente, existe un gran porcentaje de malos maestros y esto se nota en los resultados educativos de nuestro país. Las prácticas del salón de clases específicamente diseñadas para preparar a los estudiantes para los exámenes no promueven aprendizajes profundos que puedan ser aplicados a nuevos aprendizajes. A pesar de entregar todos sus trabajos y tareas y pasar todos sus exámenes, muchos estudiantes simplemente no han aprendido. Sobre todo, debido a que la mayoría de los estudiantes se dedican a “copiar” tareas y exámenes, sin preocuparse de comprender lo que copia ni pedirles una explicación a quienes se los prestaron.

2.8.1 Panorama Actual Actual de la Educación Tradicional El Director del Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE), Felipe Martínez Rizo, matizó los resultados de la encuesta mas reciente de la OCDE sobre el desempeño educativo en 41 países, mencionó que en los resultados de estas encuestas, México ocupó los lugares 34, 35 y 34 de 41 países evaluados en lectura, matemáticas y 100



ciencias (Vértice, Notimex, 22 de julio de 2003). Si dentro de este panorama Guerrero, Oaxaca y Chiapas ocupan los últimos lugares a nivel nacional, esta situación se complica por la gran cantidad de marchas y paros laborales que realizan los profesores en dichos estados. Esto nos da la idea de que la educación pública no sirve y que la solución a este bajo nivel educativo es la educación privada. Pero esto no es cierto, debido entre otras causas a los bajos salarios que al menos en Guerrero pagan las instituciones del sector privado. El desfavorable panorama de la educación privada y en particular para las Maestrías que imparten, la expuso Arturo Rueda, profesor de la Escuela Bancaria y Comercial (EBC), en el Diario El Financiero, Pagina 44 del martes 18 de marzo del 2003, el definió la filosofía de la educación privada: “Como no debemos perder mercado y como a los padres de familia hay que darles soluciones y no problemas, no debe haber reprobados”. Agrega: la mayoría de las instituciones privadas definen como prioritarias la generación de ingresos. Por eso, con el afán de ganar mercado han eliminado los requisitos de admisión y suavizado sus programas de estudio de Especializaciones y Maestrías. Al carecer de tales requisitos es común que en las Maestrías haya alumnos de carreras y experiencias contrapuestas: en una Maestría en Finanzas había abogados, arquitectos, contadores y administradores. Debido a esta heterogeneidad era imposible avanzar o profundizar en ciertos temas. Por Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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lo tanto, los programas son ligeros. Sus contenidos son de carácter recordatorio o de actualización, es decir, con objeto de que los alumnos vuelvan a cursar los temas y las materias que ya habían aprobado en la licenciatura. El Maestro Rueda continúa diciendo que esto ha provocado una distorsión ridícula: los alumnos ya no son estudiantes. Con sus debidas excepciones, se han convertido en educandos pasivos que piensan que su mérito es inscribirse, pagar su colegiatura y asistir a clases (a veces ni eso) y que lo demás es esperar a que concluya el semestre para tener su boleta con notas aprobatorias. Por eso, a los estudiantes el los llama “oyentes” porque ya no dedican esfuerzos extraclase para repasar y entender las teorías, problemas, soluciones y estrategias que plantea el profesor. Ellos cierran sus apuntes o libros al terminar la sesión y los vuelven a abrir hasta la clase siguiente o hasta un día antes del examen. Los alumnos de hoy hacen sus tareas mecánicamente. Cuando el profesor les pide una investigación, copian e insertan textos e imágenes, como si la labor consistiera en sacar copias, imprimir o descargar archivos de Internet, sin que se tomen la molestia de leer lo que entregan. Los alumnos no buscan conocimientos, buscan obtener documentos para lograr sus aspiraciones de empleo. La facilidad con la que hoy se obtiene el documento los ha relevado de su antigua actitud de estudio. Hoy, con 102



la complacencia de las instituciones, solo pagan, oyen, piden y anotan. Lo anterior, ha hecho que la mayoría de los profesores sean generosos, bajo el riesgo de perder su empleo de no hacerlo. Los profesores procuran consentir, en vez de evaluar con exámenes, califican con la participación o con trabajos hechos al vapor. Estos maestros, son siempre los mejor calificados por los alumnos-oyentes, son los que nunca tendrán un problema y tendrán asegurado su siguiente curso o un lugar en otra materia, porque cumplen con el objetivo no escrito de conservar los ingresos y moderar los ánimos del alumnado. Esto ha hecho posible que los alumnos rechacen o denuncien a los maestros que exigen. El Maestro Rueda concluye diciendo: México, como toda Latinoamérica, vive una crisis educativa sin precedentes. Es necesario detenerse. Es preciso hacer conciencia. Las universidades deben comprender que lo que envían al mercado laboral es la gente que definirá el futuro del país.

2.9

El Constructivismo en Matemáticas

No es sorprendente que el constructivismo tenga una fuerte voz en el dialogo actual en educación matemática. Muchos están preocupados respecto al éxito –o falta de éxito– de la educación matemática. El Constructivismo conjuga las ideas principales que han influenciado la forma en que las matemáticas han sido enseñadas.


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Recientemente se ha puesto de moda hablar de constructivismo en relación a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. El punto de vista constructivista involucra dos principios:

• El conocimiento es activamente construido por el aprendiente y no pasivamente recibido desde el entorno. • Llegar a conocer es un proceso de adaptación basado en el conocimiento que del mundo tiene el aprendiente – conocimientos previos- previos-- y constantemente es modificado por dicho conocimiento. No se descubre un mundo preexistente, independiente y exterior a la mente del conocedor. Kilpatrick (1987), refiriéndose a los principios, sugiere “el primer principio es en el que la mayoría de los científicos cognitivos excepto los conductistas están de acuerdo, y casi ningún educador matemático cree en algo diferente. El segundo principio es la manzana de la discordia para mucha gente. Separa lo que von Glasersfeld (1984) llama el constructivismo trivial del constructivismo radical, el cual está basado en la aceptación de ambos principios. Parece que el poder del constructivismo en educación matemática está encapsulado en el segundo principio. Relacionando esto al aprendizaje de las matemáticas, nos dice que si hay algún cuerpo de conocimiento 104



matemático preexistente e independiente, entonces podremos construir

nuevos conocimientos matemáticos que estén relacionados con los existentes. Lo anterior, implica que si el aprendiente no tiene los conocimientos previos no puede aprender los nuevos conocimientos. Esto

último, es uno de los errores más graves en la educación, ya que el maestro da por hecho que los estudiantes poseen los conocimientos previos, lo cual casi nunca es cierto y al final seguramente se fracasará, por no haber asegurado el “nivel de partida”. El Constructivismo enfoca la atención en cómo la gente aprende. Sugiere que el conocimiento matemático se produce cuando la gente forma modelos en respuesta a los planteamientos y retos que reciben de

problemas y entornos matemáticos y no simplemente de recibir información. El reto en la enseñanza es crear situaciones –planteamiento de problemas-- que involucren a los estudiantes y ellos argumenten sus propias explicaciones, soluciones y aplicaciones de los modelos matemáticos necesarios para resolver los problemas planteados. La Asociación Nacional de Maestros de Matemáticas de Estados Unidos (Nacional Council of Teachers of Mathematics, NCTM, 1992) argumenta que las prácticas tradicionales actuales tienen que cambiar y que no se puede aceptar que los estudiantes sólo resuelvan ejercicios y problemas de vez en cuando. Su enfoque principal ahora está en el aprendizaje Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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activo (constructivismo); el modelo enfatiza que los estudiantes necesitan descubrir porqué las fórmulas y los procedimientos trabajan más que cómo seguirlos, comprender más que memorizar, crear y resolver problemas matemáticos relacionados con la vida real y moverse del pensamiento que hay en una respuesta correcta y enfocarse en el razonamiento matemático. matemático. Reitera que hay una necesidad de un cambio cambio del énfasis en la escucha y memorización por la búsqueda e investigación de los estudiantes. Establece que los métodos tradicionales perpetúan el mito de que algunos estudiantes simplemente no pueden con las matemáticas. Si se define el nuevo rol del maestro como facilitador del aprendizaje, se ha demostrado que incluso estudiantes que no saben hacer cálculos básicos pueden resolver problemas matemáticos.

2.10 Enseñanza Constructivista de las Matemáticas Dentro de la concepción constructivista ¿Cómo debe enseñarse la matemática? En torno a esta interrogante se presenta en los últimos años gran cantidad de información, en tres líneas fundamentales:

• La Epistemológica, que va orientada a la clase de matemática que requieren aprender los estudiantes para desarrollar sus estructuras mentales.

• La Psicológica trata de explicar cómo se adquiere o produce el 106



conocimiento, es decir cómo se aprende la Matemática.

• La Metodológica que explica cómo se debe enseñar esta área. En la práctica escolar, estas líneas se apoyan entre sí. Con relación a la línea epistemológica, la mayoría de las opciones inciden en que la matemática que deben aprender los estudiantes es la que requieren para su práctica cotidiana . Aunque muchos opinan que

los conocimientos matemáticos que deberían ser enseñados, son aquellos que los estudiantes utilicen en sus estudios universitarios o en su vida profesional. Si se da respuesta a la mayoría, la matemática que tendrían que aprender los estudiantes, sería: contar, operar, hacer mediciones, interpretar tablas de datos, funciones y gráficas, planteamiento de problemas y resolución de ecuaciones. O sea un enfoque desde la perspectiva de ver la matemática como una herramienta que el estudiante maneja y aplica: símbolos, cantidades, términos, reglas, fórmulas, hechos básicos, algoritmos y técnicas memorizadas y adiestradas. En lo que se refiere a la línea psicológica, la experiencia y los conocimientos previos del estudiante se conectan con los nuevos conocimientos; por está razón, se afirma que el conocimiento matemático no puede ser transferido como un producto elaborado de una persona a otra sino que debe ser reconstruido activamente desde la propia


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experiencia del que aprende.

Con respecto a la línea metodológica, prevalecen dos tendencias básicas de la enseñanza de la matemática; una que defiende la enseñanza directa, que consiste en una exposición de la información, la ejercitación, la práctica y la evaluación de la misma (Educación Tradicional), y otra que fundamenta que el estudiante debe conectar todo nuevo conocimiento con sus experiencias personales y conocimientos previos (Educación

Constructivista). En el Bachillerato, la matemática tiene como propósito fundamental desarrollar la inteligencia y el pensamiento de los estudiantes, lo cual implica desarrollar sus estructuras mentales y habilidades generales que les permitan comprender, interpretar, adaptarse y transformar su realidad, preparándolos para iniciar una carrera profesional. El docente, mediador del proceso de aprendizaje de los estudiantes, alcanzará plenamente este propósito en la medida en que considere la matemática como objeto de estudio escolar, que debe ser presentado a los estudiantes atendiendo sus intereses y necesidades, para que lo reconstruyan a través de la acción transformadora. La mediación del maestro en el proceso de aprendizaje es muy importante. El mal maestro puede obstruir el proceso de aprendizaje, mientras que el buen maestro ayuda a tender puentes entre los conocimientos anteriores y los nuevos conocimientos de los 108



estudiantes. Siempre que inicien los estudiantes la construcción de un nuevo concepto matemático, es importante que los estudiantes partan de situaciones de su realidad, para que le encuentren sentido y significado social al estudio de los conceptos matemáticos. Los objetos matemáticos serán construidos mentalmente por los estudiantes partiendo de sus experiencias y

conocimientos previos al nuevo conocimiento a construir, apoyándose en la manipulación de objetos concretos , la visualización, juegos y situaciones problemáticas con datos de su realidad que le permitan analizar, reflexionar, explicar y dar sentido y significado al nuevo conocimiento matemático, para después seguir avanzando hacia las formas simbólicas que faciliten la abstracción .

El docente debe estar consciente de que lo que los estudiantes han aprendido, si no se mantiene en uso constante, acabarán por olvidarlo, por lo tanto, debe promoverles la aplicación de sus conocimientos en la resolución de problemas . Aquellos estudiantes que han adquirido un

aprendizaje estable de los conocimientos matemáticos desarrollados, deben aplicarlos con su iniciativa y creatividad a la resolución de problemas de significación social, cuyos resultados serán utilizados para satisfacer necesidades de su familia y comunidad. Por ejemplo, pueden determinar la superficie del terreno de su casa o la superficie de la sala o Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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recámara y calcular las cajas de loseta necesarias para ponerles piso.

2.11 Barreras Constructivismo

existentes

al

implementar

el

Existen barreras porque la mayoría de las instituciones educativas no han adoptado reformas educativas, a pesar de la necesidad identificada de hacer cambios. Las barreras comunes al cambio instrucccional, son la ansiedad que los cambios crean y los limitados incentivos para que las escuelas cambien. Pero existen ciertos obstáculos específicos asociados con el tiempo limitado de clases, la potencial dificultad de usar el aprendizaje activo en clases largas y una carencia de materiales, equipos y recursos. Pero quizás los mayores riesgos, son los propios de un cambio en el enfoque de enseñanza: que los estudiantes no participen, no acepten las técnicas o estrategias del profesor, no hagan lo que el enfoque dice, no usen pensamientos de orden superior o que no aprendan el suficiente contenido o que en general, no se logren los objetivos oficiales del curso. Exponiéndose el profesor a críticas fuertes por no utilizar los métodos tradicionales de enseñanza. Puede existir cierto rechazo del constructivismo, de parte de los estudiantes más acostumbrados al

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enfoque tradicional, al preguntarles acerca del contenido, ellos pueden contestar “usted es el maestro, usted díganoslo” Cada obstáculo, barrera o riesgo puede ser superado mediante una planeación cuidadosa y pensada. Lo mejor para empezar es seleccionar es seleccionar y organizar los materiales y actividades con las que nos identifiquemos y nos sintamos a gusto, principalmente de corta duración, que no sean demasiado abstractos o controversiales, ni tan ajenos a los estudiantes de manera que no provoquen su rechazo. Los directivos de instituciones educativas deben apoyar estas iniciativas de reforma educativa, reconociendo y recompensando la enseñanza excelente en general y la adopción de innovaciones instruccionales en particular. Las autoridades educativas deben reconocer que el trabajo, la responsabilidad y la creatividad del maestro es una fuerza poderosa para el cambio educativo positivo, pero sólo puede prosperar si es avalada y apoyada por dichas autoridades. La reforma educativa debe iniciar por el cambio en como los estudiantes aprenden y como los maestros enseñan, no con leyes que emanen de las autoridades educativas o políticas.

El enfoque del constructivismo, entonces, es el estudiante como creador de aprendizaje autogobernado autogobernado.. Las prácticas educativas que se derivan de este enfoque están diseñadas para facilitar el aprendizaje de los estudiantes alimentando sus propias habilidades activas cognitivas. Para Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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completar el proceso, un entorno armonioso y de confianza debe proporcionarse en el salón de clases clases,, de manera tal que puedan crear, manifestar y compartir sus propias ideas, de manera que el conocimiento se vea enriquecido para todos los integrantes del grupo.

Premisas Constructivistas en la enseñanza de las matemáticas: • Todo conocimiento es construido. El conocimiento matemático es construido, al menos en parte, a través de un proceso de abstracción reflexiva.

• El aprendizaje colaborativo es el contexto correcto para un curso de matemáticas. • La exposición de temas será reemplazada por tareas interactivas guiadas en el salón de clases y por la resolución de problemas.

• Los libros de texto y la estructura del curso deben apoyar la estrategia pedagógica del constructivismo. Surge el siguiente cuestionamiento: si, como dice Brousseau, G. (1986), la misma estructura axiomática del conocimiento matemático hace que parezca que está adaptada a la enseñanza, entonces ¿por qué "sufrimos" tanto profesores como alumnos; unos para impartirla y otros para aprenderla? El mismo Brousseau contesta: "esta presentación [la axiomática] obscurece completamente la historia de estos saberes, es

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decir, la sucesión de dificultades y de interrogantes que han provocado la aparición de los conceptos fundamentales, su uso para plantear nuevos problemas (...) Enmascara el 'verdadero' funcionamiento de la ciencia (...) para poner en su lugar una génesis ficticia (...) Las transpone al contexto escolar."

Existen propuestas didácticas, basadas en posturas constructivistas, donde se aborda el álgebra básica casi exclusivamente a través de problemas, pero el desconocimiento y manejo de la base teórica puede llevar a una aplicación de éstas en la cual se resuelvan problemas y/o ejercicios problematizados sin una sistematización en el trabajo del alumno, utilizando procesos de tanteo y al azar, sin alcanzar un verdadero desarrollo de los conceptos matemáticos. El no conocer la teoría que las sustenta, nos impide como docentes, aplicarlas como se debiera, eliminándose la posibilidad de un estudio sistemático de su uso o, peor aún, produciéndose una adaptación ineficiente por las características cambiantes de los grupos de educandos. Es, pues, el conocimiento de la teoría lo que permite su uso, aplicación, implementación, estudio, análisis y evaluación lo más eficiente y real posible. Aplicar este tipo de propuesta conlleva un esfuerzo mayor por parte del Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

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maestro al que normalmente está acostumbrado, pues debe romper su esquema de transmisor de conocimientos y convertirse en un organizador, coordinador, asesor y director del proceso de adquisición del conocimiento, proceso que le pertenece primordialmente al alumno. De hecho, este es el reto. No se trata de trabajar menos y delegar toda la responsabilidad del proceso de su aprendizaje al alumno, sino tomar los elementos materiales existentes y dirigir lo mejor posible al alumno de acuerdo a su propio desarrollo. Dos cosas hay que remarcar y que son indispensables. La primera es retomar los axiomas de la didáctica que el investigador italiano Bruno D'Amore postula:

• Axioma de la didáctica, es necesario saber lo que se enseña. • Axioma de la competencia, es necesario saber más de lo que se enseña.

• Axioma de la profesionalidad: Es necesario estar dispuesto a aprender lo que no se conoce, y que se necesita saber. Estos axiomas fueron presentados durante el seminario "Corrientes Didácticas sobre Educación Matemática" impartido por el Dr. Bruno D'Amore en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de Querétaro, en agosto de 1997. 114



Es importante recordar las palabras con que Hans Freudenthal (1988) termina su conferencia ante el ICME en 1980: "Sí: investigación en la

educación", con lo que hace responsable al docente no sólo de impartir clases de matemáticas, sino de investigar y explicar razonablemente (con bases teóricas válidas) qué ocurre en su salón de clases. Es decir, el nuevo papel del docente es el de ser docente-investigador. ser docente-investigador.

2.12 Modelo Constructivista de la Enseñanza de las Matemáticas La mayoría de las teorías de aprendizaje y de enseñanza concuerdan en los puntos siguientes:

• La educación debe estar centrada en el estudiante. • El estudiante tiene que tener un papel activo. • Los conocimientos previos son indispensables para lograr • •

• • •

nuevos aprendizajes. Los conocimientos para ser aprendidos tienen que ser reconstruidos por los aprendientes. aprendientes. El aprendizaje se da cuando se les provoca a los estudiantes un desequilibrio mediante un conflicto cognitivo. En el caso de matemáticas, mediante el planteamiento y la resolución de problemas. Los conocimientos no se consideran como acabados y absolutos. El objetivo de la enseñanza es lograr aprendizajes significativos en los estudiantes. La motivación y la confianza son muy importantes.


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• La evaluación es un proceso que regula el proceso de • •

aprendizaje. El papel principal del maestro es el de ser un facilitador del aprendizaje. El proceso de aprendizaje se ve influenciado por el entorno social. Por esto, el aprendizaje colaborativo es el más adecuado, y este se da cuando los estudiantes no ven a sus compañeros como competidores sino como recursos de aprendizaje.

En base a lo anterior y a los fundamentos establecidos en este capítulo, se propone el siguiente Modelo Constructivista de la Enseñanza de las Matemáticas, el cual se utilizó en las sesiones de clase:

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Resolución de Resolución Problemas

Manipulación Concreta

Manipulación Teórica REALIMENTACIÓN Ejemplos Modelos Sugerencias y Orientaciones

Evaluación y Autoevaluación

Exposición de Resultados Discusión en Grupo

Figura 5. Modelo Constructivista utilizado en las sesiones de clases


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2.12.1 Explicación del Modelo Este modelo se utilizará para las sesiones de clase. La enseñanza de las matemáticas se centra en la resolución de problemas, pero antes de exponer la cuestión teórica –manipulación teórica--, primero los estudiantes tienen que dibujar, esquematizar, medir, graficar, formar, armar, modelar o cualquier otra acción que permita comprender el enunciado y los datos del problema –manipulación concreta — La manipulación y visualización ayuda mucho a que se comprendan las cuestiones teóricas y simbólicas. Después de esto, ahora se puede

proceder a exponer toda la cuestión teórica: reglas, simbología, operaciones, restricciones y aplicaciones, explicando a detalle y todos los casos posibles que pueden presentarse –se debe enseñar sin egoísmo, dando todo y sin guardarse nada—Este modelo y ningún otro funcionan si el maestro no domina los temas de su asignatura, ya que se tiene que exponer claramente, sin contradicciones y en forma general los contenidos y los ejemplos. Después de la explicación teórica, se deben dar uno o dos ejemplos modelos completos, que en forma general ilustren los contenidos de aprendizaje que se quieren lograr. Luego se les plantean a los estudiantes problemas que generen conflictos cognitivos de los contenidos enseñados y se les va orientando y haciendo sugerencias en forma de preguntas –siempre y cuando esto sea necesario--, utilizando el método propuesto por Polya (1979). Al final, los estudiantes exponen los resultados hallados y discuten en grupo sobre los aciertos y los 118



errores, esto los realimenta mientras el maestro los evalúa y les pide a los estudiantes que se autoevalúen. Este modelo es cíclico ascendente, lo cual significa que a los estudiantes cada vez les será más fácil resolver problemas.

2.12.2 Pautas a seguir en la Resolución de Problemas. Como dice Polya (1979) «sólo los grandes descubrimientos permiten resolver los grandes problemas, hay, en la solución de todo problema, un poco de descubrimiento»; Si se resuelve un problema y llega a excitar nuestra curiosidad, «este tipo de experiencia, a una determinada edad, puede determinar el gusto del trabajo intelectual y dejar, tanto en el espíritu como en el carácter, una huella que durará toda una vida». Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del problema (aún en el caso de que tenga solución). Es innegable que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras de su misma edad y formación parecida. Que suelen ser las que aplican (generalmente de una manera inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente indicados para abordar los problemas. Son los procesos que se llaman "heurísticos": operaciones mentales que se manifiestan típicamente útiles para resolver problemas. El conocimiento


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y la práctica de los mismos es justamente el objeto de la resolución de problemas, y hace que sea una facultad entrenable, entrenable, un apartado en el que se puede mejorar con la práctica. Pero para ello hay que conocer los procesos y aplicarlos de una forma planificada, con método. Es ya clásica, y bien conocida, la formulación que hizo Polya (1979) de las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, que constituyen el punto de arranque de todos los estudios posteriores.

2.12.3 Las Cuatro Fases de solución de problemas de George Polya • Comprender el problema • Idear un plan o estrategia. • Ejecutar ese plan. • Mirar hacia atrás, es decir, verificar los resultados. Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas: se pueden conocer muchos métodos pero no cuál aplicar en un caso concreto. Por lo tanto hay que enseñar también a los alumnos a utilizar los instrumentos que conozca, con lo que nos encontramos en un nivel metacognitivo, que es donde parece que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los demás. Dentro de las líneas de desarrollo de las ideas de Polya, Schoenfeld (1984) da una lista de técnicas heurísticas de uso frecuente, que agrupa en tres fases, y que extractamos: 120



ANÁLISIS. 1. Trazar un diagrama. 2. Examinar casos particulares. 3. Intentar simplificar el problema. EXPLORACIÓN. 1. Examinar problemas esencialmente equivalentes. 2. Examinar problemas ligeramente modificados. 3. Examinar problemas ampliamente modificados. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN OBTENIDA. 1. ¿Verifica la solución los criterios específicos siguientes?: a) ¿Utiliza todos los datos pertinentes? b) ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables? c) ¿Resiste a ensayos de simetría, análisis dimensional o cambio de escala? 2. ¿Verifica la solución los criterios generales siguientes?: a) ¿Es posible obtener la misma solución por otro método? b) ¿Puede quedar concretada en casos particulares? c) ¿Es posible reducirla a resultados conocidos? d) ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?


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Primero Primero

Comprensi Comprensión ón del problem problema a

Comprender el problema

¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos?, ¿Cuáles son las condiciones? ¿Es posible cumplir las condiciones? ¿Son suficientes las condiciones para hallar la incógnita?, ¿Son insuficientes?, ¿Son redundantes?, ¿Son contradictorias? Represente el problema con una figura. Adopte una notación adecuada. Separe las diferentes partes de las condiciones, ¿Puede ponerlas por escrito?

Segundo

Concepción de un plan plan

escubrir las relaciones entre los datos y la incógnita. Puede verse obligado a tomar en cuenta problemas auxiliares si no encuentra una relación inmediata. Debe llegar a tener un plan de resolución

¿Se ha encontrado antes con el problema?, ¿Lo ha visto de forma diferente?, ¿Conoce algún problema relacionado?, ¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil? Revise la incógnita. Intente recordar algún problema familiar que tenga una incógnita igual o parecida. ¿Puede replantearse el problema? Si no puede resolver el problema propuesto, intente resolver primero algún problema que se relacione con el mismo. ¿Puede imaginarse un problema más sencillo, relacionado con éste?, ¿Algún problema más general?, ¿más particular?, ¿Análogo? ¿Puede resolver alguna parte del problema? Mantenga sólo una parte de las condiciones, abandone la otra parte. ¿Hasta qué punto se determina entonces la incógnita, cómo puede variar? ¿Podría extraer algo

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práctico a partir de los datos? ¿Puede pensar en otros datos adecuados para hallar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita, o los datos, o las dos cosas si hace falta, para que la incógnita esté más próxima a los datos nuevos? ¿Ha utilizado todas las condiciones? ¿Ha tomado en cuenta todos los elementos esenciales que intervienen en el problema? Tercero

Ejecución del plan

Llevar a cabo un plan

Cuando lleve a cabo su plan de resolución, compruebe cada paso. ¿Puede ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede demostrar que es correcto?

Cuarto

Verificación

Examinar la solución obtenida

¿Puede comprobar el resultado? ¿Puede comprobar el razonamiento? ¿Puede percibirlo a simple vista? ¿Puede utilizar el resultado o el método para algún otro problema?

Tabla 1. Las Cuatro Fases de Solución de Problemas de George Polya Una recopilación de las estrategias más frecuentes que se suelen utilizar en la resolución de problemas, Según S. Fernández (1992) serían:

• Prueba y error.


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• Empezar por lo fácil, resolver un problema semejante más sencillo. • Manipular y experimentar manualmente. • Descomponer (simplificar).

el

problema

en

pequeños

problemas

• Experimentar y extraer pautas (inducir). • Resolver problemas análogos (analogía). • Seguir un método (organización). • Hacer esquemas, tablas, dibujos (representación). • Hacer recuento (conteo). • Utilizar un método de expresión adecuado: verbal, algebraico, gráfico, numérico (codificación, expresión, comunicación). • Sacar partido de la simetría. • Deducir y sacar conclusiones. • Conjeturar. • Analizar los casos límite. • Reformular el problema. • Suponer que no (reducción al absurdo). • Empezar por el final (dar el problema por resuelto). Hay que hacer cuantos esfuerzos sean precisos para que la resolución de problemas sea el núcleo central de la enseñanza matemática. 124



2.12.4 Rasgos que caracterizan a los Buenos Problemas • No son cuestiones con trampas ni acertijos. Es importante hacer esta distinción en la enseñanza porque los alumnos, cuando se les plantean problemas, tienden a pensar que si no hay (o al menos ellos no lo recuerdan directamente) un algoritmo para abordarlos ni se les ocurre ningún procedimiento, seguro que lo que sucede es que tiene que haber algún tipo de truco o trampa. La práctica sistemática resolviendo problemas hace que esa percepción habitual vaya cambiando.

• Pueden o no tener aplicaciones, pero el interés de los problemas es por el propio proceso. Los buenos problemas suelen llevar a desarrollar procesos que, más tarde, se pueden aplicar a muchos otros campos.

• Representan un desafío a las cualidades deseables en un matemático. Parece obvio para todo el mundo que existen unas cualidades que distinguen a las personas que resuelven problemas con facilidad, que coinciden en líneas generales con las cualidades propias de los matemáticos.

• Una vez resueltos apetece proponerlos a otras personas para que a su vez intenten resolverlos. Pasa como con los chistes que nos gustan, que los contamos enseguida a otros, y así se van formando cadenas que explican su rápida difusión. Lo mismo sucede con


125


los buenos problemas.

• Parecen a primera vista algo abordable, no dejan bloqueado, sin capacidad de reacción. Puede pasar que alguna solución parcial sea sencilla o incluso inmediata. • Proporcionan al resolverlos un tipo de placer difícil de explicar pero agradable de experimentar. La componente de placer es fundamental en todo desafío intelectual, si se quiere que sea asumido con gusto y de manera duradera. Incluso, en la enseñanza, la incorporación de esos factores a la práctica diaria pueden prefigurar la inclinación de los estudios futuros. Y no hay que olvidar que las matemáticas son de las materias que no dejan indiferente, se les quiere o se les odia (como aparece en múltiples estudios). Por ello más vale que introduzcamos refuerzos positivos para hacer que aumenten los que las aprecian.

2.12.5 Ejemplo del uso del Método de Polya Problema: En una construcción de una casa se van a emplear ventanas en forma de rectángulos coronados por semicírculos. Si el perímetro total debe ser P, encontrar las dimensiones más convenientes para que las ventanas proporcionen la máxima iluminación. ¿Cuál es la incógnita? Las dimensiones de una ventana mixta de

rectángulo y semicírculo cuya área debe ser máxima.

126



¿Cuáles son los datos? Los datos son la geometría de la ventana

(rectángulo y semicírculo) y el perímetro P. ¿Cuál es la condición? Que la iluminación proporcionada sea máxima, lo

cual se logra si el área de la ventana es máxima. ¿Cuál es la notación que usarás? Para el radio del semicírculo usaré r y

para la altura de la parte rectangular usaré h. ¿Puedes hacer una figura? Si y es la siguiente:

r

h

2r

Figura 6. Bosquejo de la Ventana del Problema ¿Cuál es la condición que relaciona r con h? Es el perímetro que está dado por:


127


Prectángulo = 2 ( 2 r ) + 2 h = 4 r + 2 h 1 1 Psemicírculo = π D = π ( 2 r ) = π r 2 2 P total = 4 r + 2 h + π r = ( 4 + π ) r + 2 h P = ( 4 + π ) r + 2 h .........( E 1 ) D espejando h de esta ecuación, ec uación, queda: P -( 4 + π ) r h= ...........( E 2 ) 2 ¿Es suficiente la condición para determinar la incógnita? No,

necesitamos obtener el área de la ventana, la cual está dada por: A rectángulo = 2 r h 1 A semicírculo = π r 2 2 1 A total = 2 r h + π r 2 2 Sustituyendo Sustituye ndo h en esta ecuación, queda: P -( 4 + π ) r ⎤ 1 2 A = 2 r ⎡⎢ + πr ⎥ 2 ⎣ ⎦ 2 1 A = P r - ( 4 + π ) r 2 + π r 2 ...........( E 3 ) 2 ¿Conoces algún problema similar ? Si, he resuelto algunos problemas

similares en cálculo diferencial cuando he hallado el área máxima de polígonos regulares, usando el proceso de obtención de máximos y mínimos, se tiene:

128



Derivando, queda: dA 1 = P - 2 ( 4 + π ) r + 2 ( )π r dr 2 Igualando Igual ando a 0 la derivada, qued a: 1 P - 2 ( 4 + π ) r + 2 ( )π r = 0 2 - 2 ( 4 + π ) r + π r = − P r ( - 8 − 2π + π ) = − P −P P r = = − ( 8 + π ) (π + 8 ) ¿Cuál es el valor de h? Si sustituimos el valor hallado para r cuando es

óptimo, encontramos el valor óptimo de h, esto es: P P ( π + 8 ) − P ( 4 + π ) P - ( 4 + π ) π + 8 π + 8 h= = 2 2 4P π P + 8 P − 4 P − π P 4P π + 8 = π + 8 = h= 2 2 2( π + 8 ) 1 2P h= = 2 r π + 8 Es decir, las dimensiones que hacen el área máxima es un cuadrado de lado 2r y un semicírculo cuyo radio es r y por lo tanto su diámetro es igual a 2r. Esto es:


129


r

r 2

2r Figura 7. Ventana de Área Máxima El área máxima pedida es: 1 2 A total = 2 r ( 2 r ) + π r r 2 1 A total = 4 r 2 + π r 2 2 1 ( π + 8 ) r 2 2 A = ( 4 + π ) r = 2 2

Diferencia entre Problema y Ejercicio Hay una diferencia básica entre el concepto "problema" y "ejercicio". No es lo mismo hacer un ejercicio que resolver un problema. Un ejercicio sirve para ejercitar, practicar o reforzar el aprendizaje de un algoritmo o un método, pero no sirve para aportar ningún conocimiento nuevo. En 130



cambio, el problema implica un grado de dificultad y una profundidad mayor, lo que requiere mayor tiempo para resolverlo y obliga a realizar siempre una investigación. Una cosa es aplicar un algoritmo de forma más o menos mecánica como se hace en el ejercicio, evitando las dificultades que introduce la aplicación de reglas cada vez más complejas, y otra, resolver un problema, dando una explicación coherente a un conjunto de datos relacionados dentro del contexto. La respuesta suele ser única, pero la estrategia resolutoria está determinada por factores madurativos o de otro tipo. De hecho, el ejercicio no requiere la elaboración de un plan o una estrategia, ya que sólo es necesario aplicar el método conocido para resolverlo. La estrategia de resolución de problemas es mucho más rica que la aplicación mecánica de un algoritmo, pues implica crear un contexto donde los datos guarden una cierta coherencia. Desde este análisis se han de establecer jerarquías: ver qué datos son prioritarios, rechazar los elementos distorsionadores o distractores, escoger las operaciones que los relacionan, estimar el rango de la respuesta, identificar la incógnita, establecer un plan o estrategia, ejecutar el plan y comprobar los resultados obtenidos. Una parte importante de los errores en la resolución de problemas son las dificultades de comprensión lectora. La tendencia de operar todos los Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

131


datos presentados, venga o no a cuento, certifica esta falta de comprensión global. Por otra parte, los alumnos resuelven mejor los problemas si alguien se los lee que si los lee el mismo. Ello constituye un error pedagógico muy frecuente, porque cuanto más facilitemos los docentes el aprendizaje, menor será el esfuerzo del alumno por aprender y por tanto menor será el aprendizaje. La lectura correcta es el prerrequisito fundamental para aprender matemáticas y ciencias en general.

2.12.6 Ejemplos de Aplicación del Modelo Propuesto TEMA

ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA

Operaciones

Primero los estudiantes realizan las operaciones

con

números gráficamente, dibujando las fracciones como segmentos

fraccionarios

de círculos o cuadriláteros, posteriormente, el maestro expone las reglas y ejemplos, inmediatamente después se realizan ejercicios.

Solución

de Primero los estudiantes al azar dibujan triángulos

Triángulos

rectángulos, luego miden con regla y transportador sus

Rectángulos

lados y sus ángulos. Posteriormente, el maestro expone el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas, da ejemplos generales, luego pide que resuelvan los triángulos dibujados por ellos, considerando que

132



conocen 2 lados, 1 lado y un ángulo. Ellos ya tienen los resultados por la medición previa que hicieron y con esto los comprueban y también validan la teoría y comprenden su utilidad, así como las ventajas del método analítico. La desventaja para el docente que no sabe, es que los estudiantes descubrirán si el docente les enseñó incorrectamente o les mintió. Triángulos

Primero

los

estudiantes

dibujan

triángulos

Oblicuángulos

oblicuángulos, luego miden sus lados y sus ángulos. Posteriormente, el maestro expone La ley de los senos y la ley de los cosenos, da ejemplos generales, luego pide que resuelvan los triángulos dibujados por ellos, considerando los casos donde se conocen 3 lados, 2 lados y un ángulo y 2 ángulos y 1 lado. Ellos ya tienen los resultados por la medición previa que hicieron y con esto los comprueban y también validan la teoría y comprenden su utilidad, así como las ventajas del método analítico

Geometría

Primero se grafican los datos o valores conocidos y

Analítica

después se procede a la solución teórica.

Tabla 2. Ejemplos de Aplicación del Modelo Propuesto.


133


Al plantear un problema, primero el estudiante tiene que comprenderlo mediante algún bosquejo o esquema que muestre los datos y los valores desconocidos. Si es posible, se debe hacer algún modelo, una gráfica o cualquier medición o manipulación concreta. Después, se puede pasar a formar el modelo matemático y los procedimientos necesarios para resolverlo.

El papel de los errores Si aceptamos que el alumno trata siempre de aplicar sus conocimientos previos a nuevas situaciones: extendiéndolos, generalizándolos y modificándolos cuando sea necesario, tendremos que aceptar que estos intentos pueden llevarlos por caminos incorrectos; el resultado será lo que tradicionalmente se conoce como un "error". Sin embargo, estos errores son justamente, el medio para que el alumno confronte sus conocimientos, los modifique y elabore nuevos conceptos que de ninguna manera deben ser considerados como fracasos. Cuando a Thomas Alva Edison le preguntaron que si no se cansaba de cometer errores al inventar el foco, el contestó que no eran errores, sino que había descubierto diez mil maneras de cómo no hacer un foco. Por esto, "aprender de los errores" es una de las máximas constructivistas.

134



Difícilmente se podrá exagerar el papel del error en el aprendizaje. Si un conocimiento produjera siempre resultados exitosos y si fuera útil para aplicarlo en cualquier situación, no habría ninguna necesidad de modificarlo. Pero ese tipo de conocimientos no existe. Siempre en todos los niveles, los conceptos se modifican, evolucionan, se relacionan con otros conceptos, dan lugar a nuevas interpretaciones, a nuevas aplicaciones y a nuevas explicaciones. Es en el momento de confrontarse a nuevas situaciones cuando aparece un error, el cual hace que el concepto experimente una reestructuración, que nos lleva a un nivel superior del conocimiento. Quitarle al error la connotación negativa [como fracaso] es una tarea del docente, ardua pero necesaria. El estudiante no debe decepcionarse al cometer errores, por el contrario, debe sentirse estimulado para continuar la búsqueda hasta alcanzar los resultados que le convenzan y sean consistentes con el conocimiento establecido.

2.12.7 Ejemplo completo del modelo de enseñanza constructivista de las matemáticas Problema: Se desea construir una caja sin tapa de volumen máximo, a partir de una lámina cuadrada de 13 cm. de lado, cortando 4 esquinas cuadradas iguales y doblando hacia arriba las 4 partes laterales.


135


Nota: este problema es clásico en el Cálculo Diferencial y puede abordarse también de esta manera y posteriormente utilizando la derivada; en este caso solo lo planteamos hasta su expresión algebraica, ya que se está utilizando en el tema Funciones y sus Gráficas de Matemáticas I. Pueden usarse otras dimensiones, pero de antemano el docente tiene que saber donde ocurre el máximo volumen, que en este caso es en x = 13/6 cm. = 2.1667 cm. con un volumen máximo de V = 4394 / 27 = 162.7407 cm3. Primero se les pide a los estudiantes que se integren en equipos. Después se les pide que dibujen la figura que representa al enunciado del problema. Dicha figura debe ser semejante a la siguiente, no pudiendo avanzar ningún equipo hasta que haya dibujado correctamente su figura, lo que significa que han comprendido el problema.

136



X

X

X

X

13.00

X

X X

X 13.00

Figura 8. Bosquejo del Problema planteado Si algún equipo no puede dibujar la figura, se les debe pedir que acudan a otro equipo que ya la dibujó correctamente, con esto estaremos socializando el conocimiento. En caso de que ningún equipo lo logre dibujar, entonces el docente haciendo uso de la mejor aproximación de algún equipo debe completarla y presentarla al grupo. Se les entrega cartulina, pegamento, regla y tijeras y a cada equipo se le pide que forme su caja sin tapa recortando las esquinas de acuerdo a la medida que el docente les asigna: 1 cm., 1.5 cm., 2 cm., 2.5 cm., 3 cm., 3.5 cm., 4 cm., 4.5 cm. Estos valores son anteriores y posteriores al


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óptimo. Cada equipo debe medir y marcar las esquinas de acuerdo a la medida que se les dio, dobla las partes que quedan y pega las aristas, miden la longitud, el ancho y el alto de su caja y calculan su volumen. La caja debe quedar de la forma siguiente:

Figura 9. Caja de papel construida por los estudiantes

El docente coloca en el pizarrón una cartulina cuadriculada previamente hecha por él, con escalas diferentes en los ejes horizontal (lado x) y vertical (Volumen de la caja) y pide a cada equipo que marque un punto de acuerdo a su lado dado (x) y a su volumen obtenido (V). Después, que todos los equipos han dibujado sus puntos, el docente verifica los puntos 138



y su ubicación en la grafica, después los une formando una curva suavizada. Ahora pide a los estudiantes que ubiquen el punto más alto de la gráfica (Volumen máximo) y su lado x correspondiente. Estos serán la longitud de la esquina y el volumen máximo pedidos.

Figura 10. Gráfica del Volumen Máximo. Después que terminó la manipulación, procedemos ahora al planteamiento teórico, en el cual se formará el modelo matemático, por lo tanto será necesario trabajar con las variables, pero tenemos la ventaja de que el estudiante ya manipuló el problema, por lo tanto no les cuesta


139


trabajo llegar al esquema siguiente:

Figura 11. Bosquejo para formar el Modelo Matemático Cuyo volumen se expresa expresa como: V = (13 - 2·x)·(13 - 2·x)·x Se les pide que la desarrollen, obteniendo: V = 4·x3 - 52·x2 + 169·x Ahora se les pide que grafiquen la función en el intervalo de 0 a 6.5 en incrementos de 0.5 y comprueben la validez del modelo matemático. Por ejemplo, físicamente si el lado del cuadrado (x) vale 0 o 6.5 cm. el volumen de la caja es igual a cero, lo que se comprueba por que en la expresión sustituyendo estos valores hallan también que el volumen es cero. Antes del valor óptimo de x, el volumen va aumentando y después del óptimo empieza a decrecer hasta llegar a cero, que es lo mismo que se encontró en la manipulación.

140



CAPÍTULO III Metodología 3.1

Introducción

Primero se realizaron estudios exploratorios para obtener información suficiente para definir las variables del estudio, que permitan formular con precisión las hipótesis de trabajo. Dichos estudios se hicieron mediante encuestas, cuestionarios y un examen de conocimientos al principio del semestre, con el objeto de obtener lo ya mencionado y el diagnóstico inicial del problema en estudio. Dichos instrumentos se aplicaron a los alumnos de los grupos piloto y a los grupos testigo. Al término del semestre, se aplicaron nuevamente instrumentos similares a los participantes mencionados, llamándosele a ésta técnica diseño pre postest .

Para probar o rechazar las hipótesis se utilizó el diseño de dos grupos : los grupos piloto y los grupos testigo. Obviamente, estos últimos grupos no reciben ninguno de los valores considerados como variable independiente: la enseñanza y el entorno constructivista, sino que son grupos normales en un entorno y enseñanza tradicional, que para no sesgar la información fue enseñado por otro maestro ajeno a la presente investigación.


141


El diseño pre-postest es uno de los diseños de investigación mas utilizados en el campo educativo, pues permite obtener resultados claros mediante un procedimiento relativamente sencillo. También, por lo general, éste tipo de diseño se emplea para evaluar la introducción de nuevos métodos y técnicas de enseñanza –como es el presente caso: Se desea evaluar el impacto del enfoque y entorno constructivista en la enseñanza de la aritmética y álgebra comparado con la enseñanza tradicional. El diseño de investigación fue: Pre-test Variable Independiente Post-test Y1

X

Y2

En este caso: Grupos piloto:

Pre-test -----Enseñanza constructivista ---- Pos-test

Grupos testigo:

Pre-test------ Enseñanza tradicional -------- Pos-test

En primer lugar, se tuvieron que medir las habilidades matemáticas de los estudiantes que van a participar en el estudio como grupos piloto y testigo (pre-test), antes de que sean sometidos a la nueva técnica. En segundo lugar, al término del semestre nuevamente se evaluaron las habilidades matemáticas de los estudiantes participantes en el estudio (pos-test). Es evidente, que el grupo testigo fue sometido a la enseñanza tradicional y no contó con los recursos y técnicas didácticas utilizadas en los grupos piloto. Si lo resultados muestran un mejor desempeño del 142



grupo experimental o piloto, quedarían confirmadas las hipótesis planteadas. Sin embargo, si el desempeño en ambos grupos fuera igual o muy semejante, se tendría que rechazar la hipótesis alternativa.

3.2

Técnicas de Recolección de Datos

Se usó la técnica de interrogación, la cual se emplea para indagar directamente de los sujetos la información necesaria para medir las variables pertinentes. La interrogación se realizó mediante los instrumentos previamente determinados para este fin, tales como entrevistas, encuestas, cuestionarios o tests y exámenes.

3.3 Población Alumnos de Bachillerato Tecnológico del Centro de Bachillerato Tecnológico industrial y de servicios No. 134, de la Ciudad de Chilpancingo, Capital del Estado de Guerrero.

3.4 Muestra Las muestras deben ser representativas de la población, de manera que permitan obtener conclusiones válidas para toda la población. Las muestras utilizadas son equiprobables, es decir, todos los individuos que forman la muestra tienen las mismas probabilidades de formar parte de la muestra. Se utilizó el método aleatorio y por conglomerado, que es el que se presenta en los salones de clase, cuando los individuos de la población constituyen agrupaciones naturales.


143


Los grupos experimentales a los que se les proporcionaron enseñanza constructivista dentro de un entorno constructivista, fueron dos grupos de primer semestre del bachillerato tecnológico, que cursaron la asignatura de Matemáticas I que comprende aritmética y álgebra. Dichos grupos fueron: 1º “D” del bachillerato Físico-Matemático y el 1º “C” del bachillerato Químico-Biólogo. Se escogieron de bachilleratos distintos para una mayor representatividad de la muestra. Los grupos testigo a los que se les proporcionó una enseñanza tradicional dentro de un entorno tradicional, fueron dos grupos de primer semestre del bachillerato tecnológico, que cursaron la asignatura de Matemáticas I que comprende aritmética y álgebra. Dichos grupos fueron: 1º “C” del bachillerato Físico-Matemático y el 1º “D” del bachillerato QuímicoBiólogo, de bachilleratos distintos para una mejor representación.

TAMAÑO DE LA MUESTRA: 2 Grupos de 40 alumnos cada uno. Los 2 Grupos testigo también fueron de 40 alumnos.

Validez de la Investigación: A fin de evitar la ambigüedad o el sesgo, para valorar los efectos de factores que pudiesen amenazar la validez interna de la investigación, se utilizaron grupos enseñados por otro docente, ajeno a los propósitos de esta investigación y se escogieron los 144



grupos al azar, tanto los experimentales como los grupos testigos.

Confiabilidad de los Instrumentos: Fueron elaborados y aplicados por el investigador directamente.

3.5 Instrumentos Los instrumentos aplicados en está investigación fueron: 1. Evaluación diagnóstica o Pre-test. 2. Evaluación Final o Post-test. 3. Prueba sobre Aprendizaje Significativo. El modelo usado está basado en la teoría constructivista y el que se utilizó durante la investigación es el siguiente:


145


Figura 12. Modelo General de Enseñanza Constructivista

3.6

Modelo General de Enseñanza Constructivista

El constructivismo establece que para que los estudiantes puedan construir sus propios conocimientos, necesitan relacionarlos con sus conocimientos previos o existentes. Por esto, antes de iniciar un curso o un tema nuevo, el docente tiene que asegurar el nivel de partida, esto lo hace aplicando una evaluación diagnóstica que realmente muestre si los estudiantes poseen los conocimientos previos mínimos para aprender los temas siguientes o para iniciar un nuevo curso. De no poseer los 146



conocimientos previos suficientes, el docente tiene la función de proporcionar dichos conocimientos mediante instrucción o la obligación de buscar los materiales y actividades necesarias para que los estudiantes se apropien de los conocimientos mencionados. A esta etapa se le llama realimentación.

Cuando la etapa de conocimientos previos se ha superado, entonces se pasa a la etapa de construcción de significados, en la cual el docente deja su papel tradicional de instructor y se debe convertir en un facilitador del aprendizaje. El cambio en el entorno del salón de clases tradicional a un salón de clases constructivista, no implica un cambio físico del aula, sino un cambio en su atmósfera y en la forma de trabajar los contenidos y las actividades. Se cambia el trabajo individual por el trabajo en equipo, el docente promueve un ambiente armonioso y de confianza, donde se socializa el conocimiento; todos participan y comparten lo que saben, sea

correcto o incorrecto. También, cambia el alumno, de un ser pasivo cambia a uno totalmente activo, que responsablemente participa en su aprendizaje. La enseñanza de las matemáticas se centra en la resolución de problemas; por esto, el nuevo papel del maestro no es transmitir información o contenidos mediante la exposición, sino la de seleccionar, organizar y diseñar: materiales, recursos, actividades y problemas que permitan a los Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

147


estudiantes lograr aprendizajes significativos. Durante toda esta etapa de construcción de conocimientos, están presentes la evaluación formativa y sumativa, las cuales permiten controlar y corregir el proceso de aprendizaje, además de que paralelamente lo van evaluando. La evaluación es un proceso al igual que el aprendizaje lo es y ambos procesos siempre se dan en forma conjunta y jamás en forma separada o aislada; la evaluación es continua y permanente. Pero debido al cambio de enfoque tradicional al constructivista, también la evaluación debe adquirir las características de una evaluación constructivista. Si se llevó con éxito la construcción de significados, entonces puede afirmarse que los estudiantes adquirieron aprendizajes significativos, cuyas características principales son: permanentes –almacenados en la memoria de largo plazo--, les son útiles e importantes a los estudiantes, y sobre todo tienen aplicación no sólo para resolver problemas de la vida real, sino que los conocimientos aprendidos se aplican en otras asignaturas.

3.7

Obtención de Resultados

Para obtener los resultados de la presente investigación se realizaron: 1. Un examen de diagnóstico antes de iniciar el curso semestral de la 148



asignatura de Matemáticas I (Aritmética y Álgebra). El mismo examen se le aplicó a los 2 grupos experimentales y a los 2 grupos testigo. 2. 3 evaluaciones parciales cada 2 meses aproximadamente y 1 examen final, tanto a los 2 grupos experimentales y a los 2 grupos testigo. La diferencia entre ambos tipos de grupo fue el enfoque y el entorno constructivista de la enseñanza para los experimentales y la forma tradicional para los grupos testigo. Adicional, a esto a los grupos experimentales se les aplicó una evaluación continua constructivista. 3. A los tres meses de terminado el curso semestral a los 4 grupos mencionados, se les aplicó una misma evaluación significativa, con el objeto de determinar la efectividad de la enseñanza y enfoque constructivista; principalmente en los rubros de aplicación y duración de los aprendizajes.

3.8

Pruebas Estadísticas

Las pruebas estadísticas que se emplean en el campo educativo, sólo tienen sentido en la medida que se comprende su papel en la evaluación de datos experimentales. Es decir, por sí mismas no prueban ni justifican nada, sólo son útiles cuando se les usa para poner a prueba una pregunta o hipótesis de investigación. Un diseño de investigación, es el arreglo de las condiciones de investigación de acuerdo a la hipótesis planteada, la


149


cual se expresa en términos de una relación entre dos o más variables. En este sentido, el propósito primordial de la estadística es someter a prueba las diferencias predichas por la hipótesis para concluir si son significativas o no; si las diferencias no son significativas, se debe rechazar la hipótesis.

3.9

Hipótesis

Una hipótesis anticipa un resultado, es decir, es una conjetura sobre la relación de al menos dos variables. Existen dos tipos de hipótesis: Hipótesis alternativa e hipótesis nula. Precisamente, el resultado que anticipamos se denomina hipótesis alternativa. La hipótesis que enuncia resultados en contra de lo esperado, se denomina hipótesis nula. La lógica de este razonamiento es simple: la hipótesis alternativa predice un resultado esperado, pero si no existiera la posibilidad de que el resultado de una investigación contradijera la hipótesis ¿para qué gastar en tiempo y recursos para hacer la investigación? Lo cierto, sin embargo, es que siempre existen márgenes de error, los fenómenos no siempre se comportan como uno lo supone. Por ello, la ciencia se desarrolla mediante un proceso constante de autocorrección. En este sentido, cuando se plantea una hipótesis, no solo se enuncia la hipótesis que describe el resultado que se espera, sino que también se enuncia la hipótesis nula que señala que no habrá ningún efecto o cambio significativo producido por el manejo de la variable independiente.

150



Una hipótesis científica, de acuerdo a McGuigan (1977: 53), es una afirmación comprobable de una relación potencial entre dos o más variables. Las hipótesis son posibles soluciones al problema planteado, expresadas en forma de proposición. Las hipótesis ejercen una función orientadora; son como una guía que ayuda a no perderse en el largo proceso de la investigación científica. En este caso, las hipótesis son:

HIPÓTESIS ALTERNATIVA H1: Los alumnos de los grupos piloto -experimentales-- que reciban enseñanza con un enfoque y entorno constructivista, obtendrán mejores aprendizajes significativos en Matemáticas I respecto a los alumnos de los grupos testigo que usen la enseñanza tradicional.

HIPÓTESIS NULA Ho: Los alumnos de los grupos piloto – experimentales—que reciban enseñanza con un enfoque y entorno constructivista, no tendrán diferencias notables en su aprendizaje significativo en Matemáticas I respecto a los alumnos de los grupos testigo que usen la enseñanza tradicional. En estadística inferencial suele ser habitual la aplicación de pruebas de significación estadística, también denominadas pruebas de contraste o decisión. Estas pruebas sirven para determinar la existencia de Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

151


diferencias entre grupos, la dependencia de variables, el ajuste de distribuciones observadas a distribuciones teóricas, etc. Las pruebas de significación tienen como punto de partida el establecimiento de una hipótesis estadística. Estas son las que se someten a comprobación en las pruebas de significación. Las hipótesis estadísticas son dos: Hipótesis Nula (H0): la diferencia es estadísticamente nula. Las diferencias observadas son debidas a las oscilaciones del azar. Según sean los estadísticos que se desean contrastar, la expresión de la hipótesis nula toma diversas formas, por ejemplo: X1 = X 2 , X1 = p, p1 = p2 , po = p O lo que es lo mismo: X1 − X 2 = 0, X1 − p = 0, p1 − p2 = 0, po − p = 0 Hipótesis Alternativa (H1): las diferencias observadas no pueden ser explicadas por las oscilaciones del azar; es decir, las diferencias son estadísticamente significativas. La expresión análoga al ejemplo anterior sería: X1 ≠ X 2 , X1 ≠ p, p1 ≠ p2 , po ≠ p O lo que es lo mismo: X1 − X 2 ≠ 0, X1 − p ≠ 0, p1 − p2 ≠ 0, po − p ≠ 0 En una prueba de significación lo que se somete a comprobación siempre es la hipótesis nula, ya que según un principio general de estas pruebas, 152



todas las diferencias son debidas al azar mientras no se demuestre lo contrario. El rechazo de la hipótesis nula supone automáticamente

aceptar la hipótesis alternativa. Errores y Riesgos En una prueba de significación se toma una decisión respecto a la hipótesis nula. La decisión a la que se llega siempre lleva asociado un riesgo de error. Existen dos posibilidades de equivocarse, que reciben los nombres de “Error tipo I” (con un riesgo α) y “Error tipo II” (con un riesgo β). Estos se resumen en la tabla siguiente:

Tabla 3. Errores al aceptar o rechazar la Hipótesis Nula El error tipo I se comete cuando se rechaza la hipótesis nula, siendo en realidad verdadera. La probabilidad de cometer un error tipo I viene representado por α, a la que se le denomina “nivel de significación”. Este se fija a priori y convencionalmente suele tomar los valores de 0.05 (5%) Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

153


y 0.01 (1%). Generalmente, para los experimentos educativos se toma el primer valor de 0.05, lo que equivale a un intervalo de confianza del 95 %. El error de tipo II se comete cuando se acepta la hipótesis nula cuando en realidad es falsa. La probabilidad de cometer un error de tipo II se llama riesgo β. Este riesgo es siempre desconocido, puesto que no se conocen los parámetros de la población.

Nivel y Grado de Significación El nivel de significación es el riesgo de error que se está dispuesto a asumir en caso de rechazar la hipótesis nula. En Ciencias Sociales, habitualmente y de forma convencional, suelen elegirse niveles de significación de 0.05 y de 0.01. Es decir, con un 5% o un 1% de errores posibles en el momento de rechazar la hipótesis nula. El grado de significación “p” es la probabilidad de error al rechazar la hipótesis nula. Cuanto más pequeña es p, más probable será que la hipótesis nula sea falsa. Este grado indica la probabilidad de error calculada al rechazar la hipótesis nula.

• Si p > α

Nada se opone en aceptar la Ho

• Si p ≤ α

Se rechaza la Ho con p = (valor obtenido)

Los paquetes de programas estadísticos ofrecen siempre el grado de significación, en función del cual el investigador toma una decisión. 154



Datos independientes y datos relacionados Cuando en una investigación se asignan los sujetos a distintos grupos al azar se dice que se trata de “Datos Independientes”. También, se habla de muestras independientes con el mismo significado. Por el contrario, se habla de “Datos Relacionados” cuando se cumple uno de los requisitos siguientes: Se utilizan los mismos sujetos en todas las mediciones Se utilizan distintos sujetos pero igualados respecto de la variable o variables que se desean estudiar; en este caso, se habla también de “datos apareados”. En los datos relacionados se espera que haya una correlación entre los pares de puntuaciones.

Pruebas Paramétricas Estas pruebas se pueden aplicar con variables que cumplen unos requisitos denominados “supuestos paramétricos”. Los cuales son:

• La variable dependiente es cuantitativa continua, medida por lo menos, en una escala de intervalo. • La muestra procede de una población que se distribuye según la Distribución Normal.

• Existe homoscedasticidad entre los grupos. Dos o mas distribuciones


155


presentan homoscedasticidad, cuando las dispersiones respectivas son equivalentes, es decir, cuando las diferencias observadas entre sus varianzas non son estadísticamente significativas.

• La muestra es grande (n>30). Si no se cumple con los supuestos paramétricos, entonces es conveniente utilizar las “Pruebas no Paramétricas”.

Pasos en la aplicación de una Prueba de Significación Se deben seguir los pasos siguientes: 1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. 2. Elegir un nivel de significación. 3. Aplicar la prueba estadística adecuada. 4. Tomar una decisión con una probabilidad de error. La decisión que finalmente se toma se puede expresar mediante una de las formas siguientes:

• Nada se opone en rechazar la hipótesis nula. • Se rechaza la hipótesis nula (p= valor obtenido).

3.10 Objetivos OBJETIVO GENERAL: Lograr aprendizajes significativos en la asignatura de Matemáticas I mediante el uso de un enfoque y entorno constructivista y evaluar la efectividad de dicho enfoque de enseñanza en 156



el bachillerato tecnológico.

OBJETIVOS PARTICULARES: 1.- Elaborar un diagnóstico mediante encuestas y cuestionarios de la situación inicial de los 4 grupos en estudio pertenecientes al bachillerato tecnológico del CBTis 134 de la Ciudad de Chilpancingo, Gro., con la finalidad de detectar los conocimientos previos de los estudiantes de dichos grupos e inferir los resultados de los alumnos egresados de secundaria y que ingresan al CBTis 134. 2.- Evaluar el impacto en la educación a nivel bachillerato del enfoque constructivista. 3.- Obtener los resultados finales mediante observaciones, exámenes, encuestas y cuestionarios de la situación al término del semestre que prevalece respecto a la asignatura de Matemáticas I de los 4 grupos en estudio, pertenecientes al bachillerato tecnológico del CBTis 134 de la Ciudad de Chilpancingo, Gro., con la finalidad de comprobar o rechazar las hipótesis planteadas. 4.- Aportar conocimientos respecto al uso del enfoque constructivista

en

la

enseñanza

de

las

matemáticas,

específicamente en las áreas de aritmética y álgebra.

3.11 Tipo de Proyecto


157


De acuerdo a la naturaleza de la investigación, es un Proyecto de Investigación Aplicada en Didáctica de las Ciencias Básicas cuyo titulo es:”LA EFECTIVIDAD DE LA ENSEÑANZA CONSTRUCTIVISTA DE LA ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA EN EL BACHILLERATO”.

El hecho de escoger este tipo de proyecto obedece a que contribuye a resolver el problema por el cual fue creada la maestría: elevar la calidad de la educación media superior y superior tecnológica, mediante la formación de maestros en enseñanza de las ciencias, capaces de promover el aprendizaje de éstas con mayor eficiencia y eficacia, disminuyendo con esto los índices de reprobación en ciencias básicas y por lo tanto la deserción escolar.

158



Capítulo IV Resultados 4.1 Resultados del Proyecto de Investigación Después de haber aplicado los instrumentos establecidos, los resultados obtenidos fueron capturados en Microsoft Excel ®, realizándose el análisis estadístico haciendo uso de todas sus herramientas. Las tablas que se presentan a continuación se obtuvieron con Excel. Las gráficas se realizaron en el Programa Derive® de Texas Instruments con las ecuaciones de interpolación polinomial cúbica proporcionadas por Excel; estas se prefirieron a las gráficas estadísticas tradicionales, pues representan mejor y con mayor claridad los resultados que lo que lo harían las gráficas tradicionales.

4.2 Presentación, Análisis e Interpretación de los Datos obtenidos en la Investigación Comparando el Pre-test y el Post-test, es decir, el puntaje inicial y final, se obtuvieron los resultados que a continuación se describen. El examen de diagnóstico (Pre-test) que evalúa los conocimientos básicos que los estudiantes traen de Secundaria en las áreas de aritmética y álgebra, fue el mismo para los 4 grupos en cuestión. Obteniéndose los índices mostrados en las tablas 4, 5, 6, y 7 y en las figuras 13, 14, 15, y


159


16. INICIO

FINAL

DIFERENCIA

% DE VARIACIÓ N

Reprobados Reprobados

31

6

-25

-62.50 -62.50 %

Aprobados

9

34

+ 25

+ 62.50 %

Media aritmética aritmética

46.30

72.10

25.80

+ 55.72 %

Mediana

44.30

75.00

30.70

+ 69.30 %

Desviación Standard

17.90

15.5

- 2.40

- 13.40 %

NÚMERO DE ALUMNOS QUE INCREMENTARON SU PUNTAJE

38

95.00 95.00 % DEL TOTAL

Número de alumnos que disminuyeron su puntaje

2

5.00 % del Total

Suma Suma de puntos

1031.50

incrementos de

Incremento de puntaje por alumno

1031.50 / 40 = 25.79 puntos

Tabla 4. Resultados del Grupo Experimental 1º “D” de Físico-Matemático 160



Figura 13. Puntuaciones del Grupo Experimental “D” F-M En la gráfica anterior se observa que el puntaje final es muy superior al puntaje inicial, es decir, debido al enfoque constructivista se mejoró en 25.80 puntos la calificación promedio de los alumnos y se disminuyó en 62.50 % el porcentaje de reprobados. El puntaje inicial promedio era menor a los 50 puntos, lo que indica que la totalidad del grupo no tenía los conocimientos previos suficientes para iniciar estudios de bachillerato. Sin embargo, al final todos los alumnos del grupo, excepto 2, aprobaron el curso con más de 60 puntos. El aprendizaje es


161


significativo, ya que a pesar de que el test se aplicó 3 meses después, el puntaje es similar a la puntuación final, lo cual significa que el aprendizaje es duradero. INICIO NICIO

FINAL FINAL

DIFERENCIA DIFERENCIA

% DE VARIACIÓN


18

0

- 18

- 45.00 %

Aprobados

22

40

+ 18

+ 45.00 %

Media aritmética

64.30

74.90

10.60

+ 16.48 %

Mediana

60.90

75.00

14.10

+ 23.15 %


11.10

10.8

- 0.30

- 2.70 %


32

80.00 % DEL TOTAL

Número de alumnos disminuyeron su puntaje

8

20.00 % del Total

que

Suma Suma de incremento de puntos

426.90


426.90 / 40 = 10.70 puntos

Tabla 5. Resultados del Grupo Experimental 1º “C” de Químico-Biólogo 162



Figura 14. Puntuaciones del Grupo Experimental “C” Q-B En la gráfica anterior se observa que el comportamiento de este grupo es más uniforme que al del otro grupo experimental. Debido al enfoque constructivista solo se mejoró en 10.60 puntos la calificación promedio de los alumnos y se disminuyó en 45.00 % el porcentaje de reprobados. De hecho, de 18 reprobados al iniciar el curso, al final de este no se tuvo ningún reprobado. Los resultados no son tan notables como como el otro grupo, debido a que el 55.00 % de los alumnos ya tenían los conocimientos previos suficientes para iniciar estudios de bachillerato. El aprendizaje significativo tiene un puntaje muy similar al de la puntuación


163


final, lo cual significa que el aprendizaje es duradero.

Tabla 6. Resultados del Grupo Testigo 1º “C” de FísicoMatemático INICIO NICIO

FINAL FINAL

DIFERENCIA DIFERENCIA

% DE VARIACIÓN


27

19

-8

- 20.00 %

Aprobados

13

21

+8

+ 20.00 %

Media aritmética

52.30

58.70

6.40

+ 12.24%

Mediana

50.00

60.00

10.00

+ 20.00 %


17.20

15.50

-1.70 -1.70

- 9.88 %


24

60.00 60.00 % DEL TOTAL

Número de alumnos sin diferencias

9

22.50 % del Total

Numero de alumnos que disminuyeron su puntaje

7

17.50 % del Total


257.00


257.00 / 40 = 6.40 puntos

164



Figura 15. Puntuaciones del Grupo Testigo “C” F-M En la gráfica anterior se observa que el puntaje final no es muy superior al puntaje inicial, es decir, la enseñanza tradicional solo mejoró en 6.40 puntos la calificación promedio de los alumnos, que pasó de 52.30 a 58.70, la cual es reprobatoria y solo disminuyó en 20 % el porcentaje de reprobados. El puntaje inicial es menor a los 50 puntos, lo que indica que la totalidad del grupo no tenía los conocimientos previos suficientes para iniciar estudios de bachillerato. El aprendizaje significativo quedó por debajo del puntaje final y sus valores son muy similares a la puntuación inicial, lo cual nos indica que los aprendizajes de la educación tradicional


165


son fáciles de olvidar y no son verdaderamente significativos.

Tabla 7. Resultados del Grupo Testigo 1º “D” de QuímicoBiólogo INICIO

FINAL

DIFERENCIA

% DE VARIACIÓN


12

28

+ 16

+ 40.00 %

Aprobados

28

12

- 16

- 40.00 %

Media aritmética

63.50

58.40

- 5.10

- 8.03 %

Mediana

60.00

54.50

- 5.50

- 9.16 %


15.90

13.40

- 2.50

- 15.72 %


10

25.00 % DEL TOTAL

Núm Número de alumnos sin sin diferenci diferencias as

8

20.00 % del Total

Numero de alumnos que disminuyeron su puntaje

22

45.00 % del Total


- 206.00


- 206.00 / 40 = - 5.15 puntos

166



Figura 16. Puntuaciones del Grupo Testigo “D” Q-B En la gráfica anterior se observa que el puntaje final es inferior al puntaje inicial, es decir, la enseñanza tradicional disminuyó en 5.10 puntos la calificación promedio de los alumnos, que pasó de 63.50 a 58.40, la cual es reprobatoria y también aumentó en 40 % el porcentaje de reprobados. Fue el grupo testigo con el peor comportamiento; una situación tan grave pues inicialmente el grupo tenía los conocimientos previos suficientes para iniciar estudios de bachillerato y al final del curso se tiene una situación muy desfavorable. Incluso, el aprendizaje significativo quedó por debajo no solo del puntaje final sino de la puntuación inicial, lo cual


167


nos indica que los aprendizajes de la educación tradicional, en ocasiones en vez de mejorarlos puede empeorarlos si las condiciones se conjugan entre maestro y alumnos.

4.3

Comparación de Resultados

4.3.1 Situación Inicial El examen de diagnóstico (Pre-test) que evalúa los conocimientos básicos que los estudiantes traen de secundaria en las áreas de aritmética y álgebra, fue el mismo para los 4 grupos en cuestión. Obteniéndose los índices de aprobación mostrados en la tablas 8 y en la figura 17 . Grupo

Tipo

% de reprobados

% de aprobados

Calificación Promedio

1º “ D” F-M F-M

Exp.

77.50

22.50

46.30

1º “ C” QQ-BB

Exp.

45.00

55.00

64.30

1º “ C” F-M F-M

Testigo

67.50

32.50

52.30

1º “ D” QQ-BB

Testigo

30.00

70.00

63.50

Promedio Prom edioss 55.00 55. 00 45.00 45. 00 56.60 56. 60 Tabla 8. Resultados del Examen de Diagnóstico (Pre-Test).

168



Figura 17. Puntuaciones Iniciales de los Grupos en Estudio. En la gráfica anterior, se observa que inicialmente los grupos testigos obtuvieron mejores resultados que los grupos experimentales. Sin embargo, es bajo el porcentaje de aprobación 45 % contra 55 % de reprobación; además, es preocupante que la mayoría de los estudiantes tengan un puntaje promedio de 56.60 puntos, es decir, de la Secundaria no traen los conocimientos previos suficientes para iniciar sus estudios de bachillerato.


169


4.3.2 Situación Final El examen final (Post-test) que evalúa los conocimientos que al término del semestre adquirieron los estudiantes en las áreas de aritmética y álgebra, fue el mismo para los 4 grupos en cuestión. Obteniéndose los índices de aprobación mostrados en la tabla 9 y en la figura 18. Grupo

Tipo

% de reprobados

% de aprobados

Calificación Promedio


Exp.

15.00

85.00

72.10

1º “ C” QQ-BB

Exp.

0.00

100.00

74.90


Testigo Testigo

47.50

52.50

58.70

1º “ D” Q-B Testigo Testig o 70.00 70. 00 30.00 30. 00 58.40 58. 40 Tabla 9. Resultados al Final del Curso (Post-test)

170



Figura 18. Puntuaciones Finales de los Grupos en Estudio. En la gráfica anterior, se observa que al final del curso los grupos experimentales obtuvieron mejores resultados que los grupos testigo, lo cual es notable, dado que inicialmente estaban por debajo de ellos. Esto se refuerza al ver el porcentaje de alumnos aprobados de 85 y 100 % para los grupos experimentales y de 52.50 y 30 % para los grupos testigo. Algo similar ocurre con las calificaciones promedio, 72.10 y 74.90 de los grupos experimentales contra 58.70 y 58.40 –reprobatorias– para los grupos testigo.


171


En la tabla 10, se observa que los grupos experimentales notablemente mejoraron su porcentaje de aprobación, además de que el número de alumnos que mejoró fue mayor al 80%. También, el promedio de dichos grupos aumentó notablemente. El puntaje promedio de incremento por alumno también fue mejor en los grupos experimentales que en los grupos testigo. De hecho, los grupos testigos o se conservaron o fueron a la baja. Es notable que el grupo testigo 1º “D” de Químico-Biólogo de ser el mejor grupo inicialmente, pasó a ser el peor al final.

Grupo

Tipo

% de alumnos que incrementaron su puntaje

Puntos promedio de incremento


Exp.

95.00

25.79

1º “ C” QQ-BB

Exp.

80.00

10.70


Testigo

60.00

6.40

1º “ D” QQ-BB

Testi Te stigo go

25.00 25. 00

-5.15 Decremento

Tabla 10. Incrementos de puntuación obtenidos al final del curso.

4.3.3 Aprendizaje Significativo Para evaluar este tipo de aprendizaje, se diseñó un instrumento de evaluación especial (ver anexo), el cual se aplicó tres meses después de 172



terminado el curso semestral. Dicha prueba tenía el objeto de evaluar la aplicación y duración de los aprendizajes construidos. Se aplicó el mismo instrumento a los 4 grupos en cuestión. Se tomó como punto de partida la evaluación final, obteniéndose los resultados mostrados en la tabla 11 y en la figura 19.

TIPO GRUPO

% DE APROBA DOS FINAL

% DE APROBA DOS EVAL. SIGNIFICATIVA

VARIACIÓN %

PROME DIO FINAL

PROMEDIO EVALÚACIÓN SIGNIFICA TIVA

VARIA CIÓN %

1º “D” F-M

Exp.

85.0

72.5

-12.5

72.1

67.5

- 4.6

1º “C” Q-B

Exp.

100.0

85.0

-15.0

74.9

71.5

- 3.4

1º “C” F-M

Testigo

52.5

32.5

-20.0

58.7

50.4

- 8.3

1º “D” Q-B

Testigo

30.0

20.0

-10.0

58.4

50.3

- 8.1

Tabla 11. Comparación de la Evaluación Significativa con la Evaluación Final


173


Figura 19. Aprendizaje Significativo de los Grupos en Estudio. Como era de esperarse, se obtienen menores puntuaciones en la evaluación significativa que en la evaluación final, pero esto es mucho más notable en los grupos testigo. En los grupos experimentales la tendencia de la curva es hacia arriba, mientras que la de los grupos testigos es hacia abajo.

4.4 Prueba de Hipótesis Se utilizó la Prueba t de Student de Contraste entre dos medias, por ser la más adecuada a las condiciones de la investigación. 174



Su fórmula es:

t=

X1 − X 2

⎛ ( n1 −1)S12 + ( n 2 −1)S22 ⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ + ⎟ n1 + n 2 − 2 ⎝ ⎠⎝ n1 n 2 ⎠

Se considera que dos muestras han sido observadas con datos independientes, cuando los sujetos han sido asignados al azar entre los dos grupos. Se supone por tanto que la correlación entre los grupos es nula, es decir, hay independencia estadística entre ellos. Se toma una decisión de acuerdo a:

• Si t < t (ν,α) : Nada se opone en aceptar la Ho. • Si t > t (ν,α) : Se rechaza la Ho, al nivel α. Siendo t el valor obtenido en la fórmula y t (ν,α) el valor de las tablas de t de Student para ν grados de libertad y un nivel de significación α. Los grados de libertad se calculan mediante: ν = n1 + n2 -2. Para esta investigación, los datos son independientes y el tamaño de los grupos en todos los casos es de 40 alumnos. Los resultados cumplen los supuestos paramétricos y por lo tanto se puede aplicar la t de Student. Sus grados de libertad son: ν = 40 + 40 -2.= 78. Con este valor y un nivel de significancia de 0.05, el valor de la t de Student en la tabla del


175


apéndice del libro de Fischer (1973) es t (78,0.95) = 1.66. La fórmula se aplica la para los puntajes finales de ambos grupos experimentales y testigos. Se usan los puntajes finales por ser los que reflejan los efectos del uso del enfoque constructivista en los grupos experimentales y el enfoque tradicionalista en los grupos testigos. Como se tienen dos grupos experimentales y dos grupos testigos, se tiene que comparar cada grupo experimental con los dos grupos testigos. Los datos utilizados se obtuvieron con Excel® y se resumen en la tabla 12. ASexpdfm

ASexpcqb Pfexpcqb

AStescfm Pftescfm

AStesdqb

Grupo

Pfexpdfm

Pftesdqb

Media =

72.13

67.50

74.93

71.48

58.68

50.38

58.35

50.25

Mediana Mediana = 75.00

67.00

75.00

72.50

60.00

49.50

54.50

45.50

Desviación Desviación 15.49

12.92

10.83

9.83

15.51

13.59

13.37

13.71

184.58 Varianza= 239.86

167.00

117.27

96.65

240.62

187.89 178.68

Tabla 12. Concentrado de valores estadísticos de los grupos experimentales y testigos. Aplicando la formula para los puntajes finales del grupo experimental “D” del Físico-Matemático (Pfexpdfm) y el grupo testigo “C” de FísicoMatemático (Pftescfm), tenemos: 176



t=

3.88 > 1.66

72.13− 58.68

⎛ ( 40 −1)15.492 + ( 40−1)15.512 ⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ + ⎟ 40 + 40 − 2 ⎝ ⎠ ⎝ 40 4 0 ⎠

= 3.88

Se rechaza la Ho al nivel del 5%. Por lo tanto, se acepta la

Hipótesis Alternativa H1. Ahora, aplicando la fórmula para los puntajes finales del grupo experimental “D” del Físico-Matemático (Pfexpdfm) y del grupo testigo “D” de Químico-Biólogo (Pftesdqb), tenemos:

t=

4.26 > 1.66

72.13−58.35 2

⎛ ( 40 −1)15.49 + ( 40−1)13.37 ⎜⎜ 40 + 4 0 − 2 ⎝

2

⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟⎜ + ⎟ ⎠ ⎝ 40 4 0 ⎠

= 4.26


Hipótesis Alternativa H1. También, aplicando la fórmula para los puntajes finales del otro grupo experimental “C” del Químico-Biólogo (Pfexpcqb) y del grupo testigo “C” de Físico-Matemático (Pftescfm), tenemos:


177


t=

5.43 > 1.66

74.93− 58.68

⎛ ( 40 −1)10.832 + ( 40−1)15.512 ⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ + ⎟ 40 + 40 − 2 ⎝ ⎠ ⎝ 40 4 0 ⎠

=5.43


Hipótesis Alternativa H1. Nuevamente, aplicando la fórmula para los puntajes finales del grupo experimental “C” del Químico-Biólogo (Pfexpcqb) y del grupo testigo “D” de Químico-Biólogo (Pftesdqb), tenemos:

t=

6.09 > 1.66

74.93−58.35 2

⎛ ( 40 −1)10.83 + ( 40−1)13.37 ⎜⎜ 40 + 40 − 2 ⎝

2

⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟⎜ + ⎟ ⎠ ⎝ 40 40 ⎠

= 6.09

Se rechaza la Ho al nivel del 5%. Por lo tanto, se acepta

la Hipótesis Alternativa H1. Evidentemente, el mejor grupo experimental fue el “C” de QuímicoBiólogo y el más bajo fue el grupo testigo “D” de Químico-Biólogo, debido a que al comparar ambos grupos, nos da el mayor valor de t.

178



Resultados similares se presentan si comparamos los aprendizajes significativos de los grupos experimentales contra los obtenidos por los grupos testigos. Como ejemplo, comparamos el grupo experimental más bajo “D” de Físico-Matemático (ASexpdfm) contra el mejor grupo testigo “C” de Físico-Matemático (AStescfm), se tiene:

t=

5.77 > 1.66

67.50 − 50.38 2

⎛ ( 40 −1)12.92 + ( 40−1)13.59 ⎜⎜ 40 + 40 − 2 ⎝

2

⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟⎜ + ⎟ ⎠ ⎝ 4 0 40 ⎠

= 5.77


Hipótesis Alternativa H1. POR LO ANTERIOR SE ACEPTA LA HIPÓTESIS PLANTEADA. Por lo anterior, se acepta la hipótesis de que la enseñanza constructivista y un entorno constructivista mejoran significativamente el aprendizaje de las matemáticas básicas, logrando aprendizajes más duraderos respecto a una enseñanza tradicional en un ambiente tradicional.

4.5 Resultados Cualitativos 4.5.1 Resultados Matemáticos El problema más grave que reveló la evaluación diagnóstica fue que el 75


179


% de los alumnos de los 4 grupos experimentales y testigos, no poseen los conocimientos previos suficientes para iniciar estudios de bachillerato –siendo estos esenciales para aprender nuevos conocimientos—. En el caso de matemáticas, no saben las tablas de sumar ni multiplicar, no pueden hacer operaciones básicas de aritmética con números enteros mucho menos con números decimales o fraccionarios; no pueden expresar un enunciado en lenguaje común en lenguaje algebraico; resuelven los problemas utilizando solo aritmética y por prueba y error o tanteos, no hacen ningún planteamiento algebraico ni esquema. No saben hacer operaciones con cantidades positivas y negativas, no saben leyes de exponentes y de los signos, no identifican lo que es un término, mucho menos lo que es un término semejante, no saben la jerarquía de las operaciones, no saben hacer operaciones algebraicas ni con monomios mucho menos con polinomios. Este panorama es tan grave, que parece que los estudiantes no pasaron ni por la Primaria ni por la Secundaria. Como uno de los objetivos es inferir los resultados de los alumnos egresados de secundaria y que ingresan al CBTis 134, podemos concluir que solo el 25 % de los estudiantes tienen los conocimientos previos suficientes para cursar estudios de bachillerato. Por lo anterior, se concluye que la formación proporcionada por las secundarias del municipio de Chilpancingo y de los municipios colindantes es muy deficiente. Esto se concluye en base a los resultados 180



de los 4 grupos en estudio y a los resultados generales del examen de admisión de los 1000 aspirantes –800 aceptados y 200 rechazados--, donde se observa que hay aspirantes de todas las secundarias de los municipios mencionados. Esta situación tan adversa se consideró en el presente estudio, pues notablemente lo impacta, ya que en un semestre se tenía que enseñar toda la aritmética de la Primaria y toda el álgebra de la Secundaria y los temas propios del Bachillerato, usando en todo esto el enfoque constructivista. Por lo anterior, antes de usar el constructivismo, se les enseñaron los conocimientos previos utilizando instrucción directa y materiales seleccionados que incluían teoría, ejemplos y ejercicios. Informalmente, mediante entrevistas, se detectó que la causa principal de esto es que en secundaria les permiten y fomentan mucho el uso de la calculadora, pero no como una herramienta sino como “sustituto” de la mente de los estudiantes. Contrastando con la falta de conocimientos está su elevado promedio (8.80), manifestando ellos que esto se debe a que en secundaria simplemente por asistir a clases tienen una calificación segura de 6.00 como mínimo y con tareas, participaciones y exámenes pueden incrementar dicha calificación. Es decir, es una educación tradicional actual que coincide con lo expuesto anteriormente en el Panorama Actual de la Educación Tradicional. Durante el desarrollo del curso, el problema principal detectado se Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

181


presenta en la transición de la aritmética al álgebra. Esto es:

ÁLGEBRA ARITMÉTICA o o o

o

o

Números. Cantidades Positivas. Signos de Operación definidos. Operaciones definidas. Constantes

Números positivos y negativos. o Literales. o Cantidades Positivas y Negativas. o Signos de Operación definidos e implícitos. o Operaciones con literales diferentes a las de aritm aritmética. o Constantes y Variables. o

TRANSICIÓN

GENERALIZACIÓN

Figura 20. Diagrama que muestra las dificultades en la transición de la Aritmética al Álgebra ¿Cuál es el problema? Se detectó que los estudiantes tienen problemas en la transición de la aritmética hacia el álgebra, debido a que no pueden generalizar las operaciones aritméticas a las operaciones algebraicas. Lo anterior, debido a que en aritmética sólo se trabaja con números y cantidades positivas, pero en álgebra, además de las literales –cantidades generales--, para aumentar la dificultad se agregan las cantidades negativas, representadas por números o por letras, o peor aún por una combinación de letras y números. 182



El problema principal radica en el manejo de las cantidades variables. Los estudiantes están acostumbrados a las cantidades constantes y el uso de variables les demanda los procesos de generalización y abstracción. El concepto de variación es lo más difícil para los estudiantes, más si se considera que sólo han trabajado mecánicamente en su aprendizaje. Los estudiantes detectaron diferencias en los signos de operación entre la aritmética y el álgebra. Esto les produce algunos problemas simplemente por la simbología utilizada. Por ser más general el álgebra que la aritmética, se utilizan otras reglas para indicar las operaciones, además de las tradicionales para la aritmética. Dichas diferencias se dan en la multiplicación: Su signo es x, que se lee

multiplicado por. Así a x b se lee “a multiplicado por b” o también “a veces b”. En lugar del signo x, se utilizan los paréntesis para indicar multiplicación, o sea, a x b es igual a escribir (a)(b). También, se utiliza un punto intermedio entre los factores para indicar multiplicación, o sea: a ⋅ b es igual a a × b


183


En álgebra se omite muchas veces el signo de multiplicación, cuando los factores son letras o cuando los factores son letras y números. Esto es: axy equivale a a × x × y 5 xzw equivale a 5 × x × z × w − 3 y 2t 3u equivale a − 3 × y 2 × t 3 × u

División: Su signo es , que se lee dividido entre. Así a b se lee “a dividido entre b”. En lugar del signo , se utiliza una raya horizontal para indicar división, o sea: a b También se utilizan los símbolos siguientes para representar la división: a ÷ b equivale a a b a ÷ b eq e quivale a b a a ÷ b equivale a

Exponenciación: Es una multiplicación abreviada, en la cual se repite varias veces el mismo factor. El factor que se repite se le denomina base, y exponente al número pequeño que se coloca arriba y a la derecha de la base, y nos indica las veces que la base debe multiplicarse por sí

misma. Coeficiente es el número o letra que acompaña y multiplica a la base.

184



Exponente

2 x3

Base

Coeficiente

Pero surge un problema cuando al estudiante no se le especifica que esto sólo es cierto cuando el exponente es entero y positivo. ¿Qué resultados obtienen los estudiantes al evaluar las expresiones siguientes?

a ) 30 b) 4 -2 1 2

c) 6 ya no digamos : d ) a 0 e) y −'3

f) x

-

3 4

Algunos estudiantes dicen que (a) significa el 3 cero veces, es decir, el resultado es 0; que (c) significa el 6 media vez, es decir, el resultado es 3, pero en el caso de (b), (e) y (f) no saben que hacer. Los alumnos dudan, no pueden creer una regla matemática falle –que las matemáticas sean falibles--. El problema aquí, consiste en que la regla anterior sólo es válida cuando el exponente es un número natural . Pero esta notación,


185


constituye un obstáculo epistemológico, epistemológico, ya que la regla no es general, y en ocasiones no se aplica. Entonces, el alumno también tiene que no. En esto empieza aprender en álgebra, cuando álgebra, cuando una regla se aplica o no. el gran problema de la transición de la aritmética al álgebra. Pero ¿Qué es un obstáculo epistemológico? Es una división de los

obstáculos didácticos, los cuales se definen como: aquellos impedimentos que surgen en el proceso de aprendizaje por la confrontación que de conocimientos efectúa el estudiante. Así, habrá de

enfrentarlos y superarlos para lograr un conocimiento científico. La noción de obstáculo aún está en vías de construirse y diversificarse, de donde no es fácil decir generalidades pertinentes sobre el tema. Existen obstáculos didácticos de diverso origen:

• Ontogénicos: Estos sobrevienen del hecho de las limitaciones (neurofisiológicas entre otras) del sujeto en un momento de su evolución: él desarrolla conocimientos apropiados a su medio y objetivos. Al respecto, la epistemología genética evidencia la existencia de dos instrumentos de aprendizaje: acomodación y asimilación.

• De enseñanza: son los que surgen del modo como se enseñan los conocimientos de acuerdo a un modelo educativo específico. Epistemológicos: son dificultades intrínsecas de los conocimientos. • Epistemológicos: 186



Es posible encontrarlos en la historia de los conceptos mismos. Brousseau [1986] introdujo a la didáctica, esta noción de obstáculo epistemológico como un medio para cambiar el status del error, así fue posible mostrar que el error no es sólo el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre o del azar, como lo conciben las teorías conductistas, sino el efecto de un conocimiento anterior, que tenía su interés, que incluso habiendo sido exitoso se presenta como falso o inadaptado. Los obstáculos epistemológicos pueden acumularse durante el desarrollo de una asignatura. Dicha acumulación a la larga, hará que el estudiante considere a la matemática como algo difícil de aprender y dominar – adecuada sólo para genios–, matando gradualmente el interés por esta asignatura. Las matemáticas poseen obstáculos epistemológicos, es decir, tienen una dificultad interna que docentes y alumnos tienen que conocer y superar. Conocerlos hace que sen más fácil superarlos. Los obstáculos epistemológicos los detectaron los alumnos, cuando se volvieron más analíticos y buscaron el porqué de las reglas y operaciones matemáticas, es increíble, que teniendo 15 años de impartir esta asignatura, no nos diéramos cuenta de estas situaciones que impiden el aprendizaje “natural” de las matemáticas. Ahora nos damos cuenta de la importancia de las investigaciones, ya que nos permiten saber cosas no Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

187


tan evidentes o que pasan como objetos “invisibles” frente a nuestros ojos. Algunos obstáculos epistemológicos detectados por los alumnos en la multiplicación y división de monomios se presentan a continuación:

Multiplicación de Monomios La ley de los exponentes utilizada es: aman = am+n

Ahora se les pide a los estudiantes construyan las reglas si se tienen 2 o más bases distintas, lo cual hicieron correctamente, indicándonos esto que pueden generalizar y por lo tanto son capaces de construir sus conocimientos a partir de conocimientos previos, esto es: aman bpbr = am+nbp+r ambn crdr ambn dpcp = am+mbn+n cp+r bp+r

Es decir, cuando multiplicamos factores con la misma base, se escribe la base común y los exponentes de sus factores se suman. --Maestro, Esto es una contradicción, porque nos piden multiplicar pero que no hagamos una multiplicación sino una suma de exponentes ¿Por 188



qué no se multiplica la base común y porque no se multiplican los exponentes, si estamos multiplicando? ¿Por qué se realiza una suma y no una multiplicación? -- Bueno, si observamos la definición de la regla, es correcto que así lo hagamos. --Esta bien maestro, así lo haremos. --Bien, ahora veamos algunos ejemplos de aplicación de la regla anterior. Multiplicar los monomios siguientes: 1) x5 por x2 Solución:

(x5 ) (x2 )

= x5. x2 = x5+2 = x7

2) x6y3 por x8y5

Solución:

(x6y3). (x8y5) = x6y3. x8y5 = x6+8 y3+5 = x14 y8

3) (3x5 ) (4x2 ) Solución:

= (3) (4) x5. x2 = 12 x5+2 = 12 x7

4) -3x6y3 por ¼ x8y5


189


Solución:

(-3x6y3). (¼ x8y5)

= (-3) (¼) x6y3. x8y5

= - ¾ x6+8 y3+5 = - ¾ x14 y8 --Maestro, ¿Por qué los números sí los multiplica en los ejemplos (3) y (4)? --Miren, los números sí se multiplican como se hace en aritmética, pero las potencias se trabajan de acuerdo a la regla establecida. Es decir, los números se trabajan como en aritmética y las literales como en álgebra. Esto significa, que en álgebra se conjugan la aritmética y el álgebra. Observen los ejemplos siguientes sólo con números: 1)

23 x 24 = 2 3 + 4 = 27 = 128

2)

52 x 5 = 5 2 + 1 = 53 = 125

3)

43 x 42 x 44 = 4 3 + 2 + 4 = 49 = 262 144

4)

32 x 36 = 3 2 + 6 = 38 = 6 561

5)

102 x 106 x 103 = 10 2 + 6 + 3 = 1011 = 100 000 000 000

--Ahora, observen algunos ejemplos mixtos de potencias de números y letras: (32x5 ) (34x2 ) = 32+4 x5+2

1)

= 36 x7 (7-2y5 ) (75 y-3 ) = 7-2+5 y5-3

2)

= 73 y2 190



--Maestro, creo que hemos captado la idea principal de la regla, pero ¿Qué pasa si las bases no son comunes, es decir, no se repiten? --Pues, si son números se multiplican, pero si son literales se deja indicada la multiplicación. 1)

(-8x2y5 z) (-3x4y2 t) = 24 x2+4 y5+2 z t = 24 x6 y7 z t

2)

(4 z-2y5 t) (72 y-3 t-3 ) = (4) (49) z-2 y5-3 t1-3 = 196 z-2 y2 t-2

División de Monomios Para una división con la misma base en el dividendo y en el divisor, el resultado de ésta operación está dado por:

am m −n = a an

Es decir, cuando dividimos cantidades con la misma base, escribimos la base común y al exponente del dividendo se le resta el del divisor, es decir, sus exponentes se restan. Esta operación a los estudiantes les provocó los mismos conflictos que en la multiplicación, ya que al hacer la división de potencias con una misma base, no se dividen sino que sus exponentes se restan. Debido a que estos dos obstáculos epistemológicos se utilizan


191


frecuentemente dentro de otras operaciones algebraicas, influyen grandemente en el éxito o el fracaso en el dominio de las matemáticas. Generalmente, como docentes no hacemos énfasis en estos detalles, ya sea porque los ignoramos o porque no enseñamos al detalle, que es la mejor forma de aprender las matemáticas. matemáticas. Las matemáticas se aprenden al detalle o no se aprenden, por esto, se les debe dar a conocer todas las variaciones posibles de alguna operación o regla, para que los alumnos dominen las matemáticas. Pero, ¿Cómo hacerlo si los mismos maestros los ignoran?

Obstáculos Epistemológicos Axiomáticos De hecho, los alumnos se han dado cuenta, que en matemáticas es importante aprender cuando hay que aplicar una regla y cuando no. Por ejemplo, que la ley de los signos no se utiliza en la suma o resta de monomios o polinomios, que esta sólo se aplica en la multiplicación o división. También, se dan cuenta que cuando algo se dice que es por definición, es algo que debe aceptarse como un axioma, ya que no tiene demostración. Por ejemplo: 1) − 1 = i 2) 0!= 1

192



Lo mismo sucede en Geometría con las definiciones de punto, línea, superficie, etc. En conclusión, cuando en matemáticas matemáticas algo se establece por definición, estamos frente a algo que no se puede definir y que debe aceptarse sin demostración.


193


CAPÍTULO V Conclusiones y Recomendaciones 5.1

Conclusiones

Los resultados del análisis estadístico establecen que:

• La enseñanza constructivista en un entorno constructivista de la aritmética y álgebra, favorecen el rendimiento de los estudiantes de bachillerato comparado con un entorno tradicional y una enseñanza tradicional. Es decir, el enfoque constructivista aplicado correctamente favorece el aprendizaje de las matemáticas y de las ciencias en general.

• Es fundamental poseer los conocimientos previos, en este caso de aritmética y álgebra, para que los estudiantes a partir de estos puedan construir sus propios conocimientos. Los estudiantes disfrutaron mucho este nuevo enfoque educativo, de hecho, puede decirse que aprendieron divirtiéndose.

• En ambos grupos experimentales se evidenció marcado interés y expectativa por lograr aprendizajes significativos, cuya reflexión y análisis les permitan transferir dichos conocimientos a la realidad concreta donde ellos actúan.

• Se obtuvieron dos modelos: uno para la Enseñanza General del Constructivismo y otro para la Enseñanza Particular del 194



Constructivismo.

5.2 Recomendaciones En razón a lo anterior, se recomienda:

• Dada la importancia del constructivismo, se recomienda desarrollar experimentos educativos en las demás asignaturas de matemáticas del bachillerato, con el objeto de generalizar los resultados aquí encontrados.

• Desarrollar trabajos de investigación sobre constructivismo y aprendizaje significativo, donde se clarifiquen las relaciones entre habilidades intelectuales y estrategias cognoscitivas.

• La formación de docentes con las herramientas conceptuales y operativas del constructivismo, para que de esa manera puedan desarrollar su gestión, dentro del contexto del aprendizaje significativo.

• Que las autoridades educativas fomenten y apoyen el cambio de un enfoque tradicional hacia otro alternativo, preferentemente el constructivista.

• Que los docentes de Primaria y Secundaria cumplan su labor docente eficiente y responsablemente, pues constituyen la formación básica fundamental de los estudiantes, lo que determinará el éxito que puedan tener en sus estudios posteriores y la calidad de la educación.


195


Bibliografía Bibliografía Básica • Brooks J. G., Brooks M. (2001) In Search of Understanding, The Case for Constructivist Classrooms, Merril Prentice-Hall, Upper Saddle River, New Jersey, USA: • Marlowe B. A., Page M. L. (1998) Creating and Sustaining the Constructivist Classroom, Corwin Press, Inc., Thousand Oaks, California, USA. • Richardson V. (1997) Constructivist Teacher Education, Building a World of New Understandings, Falmer Press, London, England.

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200




201


EXAMEN DE DIAGNÓSTICO DE MATEMÁTICAS I NOMBRE: _____________________________________________________ GRUPO:_______ BACHILLERATO: _________________________________ SECUNDARIA DE DONDE EGRESASTE: ____________________________ PROMED PROMEDIIO OBTENI OBTENIDO DO:: _______ _______ VIVES VIVES EN CASA PROPI PROPIA: A: SI NO INSTRUCCIONES: RESUELVE CORRECTAMENTE LO QUE SE TE PIDE. NO SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA. 1.- ESCRIBE LAS TABLAS DE MULTIPLICAR DEL 7 Y DEL 9 DESDE EL 1 HASTA AL 12. CADA VALOR CORRECTO VALE 0.3 PUNTOS, INCORRECTO -0.2 Y EN BLANCO -0.1 7

X

1

=

9

X

1

=

7

x

2

=

9

x

2

=

7

x

3

=

9

x

3

=

7

x

4

=

9

x

4

=

7

x

5

=

9

x

5

=

7

x

6

=

9

x

6

=

7

x

7

=

9

x

7

=

7

x

8

=

9

x

8

=

7

x

9

=

9

x

9

=

7

x

10

=

9

x

10

=

7

x

11

=

9

X

11

=

7

x

12

=

9

X

12

=

202



2.- REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS Y ESCRIBE LAS OPERACIONES Y EL RESULTADO EN LA PARTE DE LA DERECHA 2 4 1) + 3 3 7 2 3 2) + + 4 4 4 7 5 3) − 2 2 9 3 7 4) + − 5 5 5 8 3 5) + 3 8

1 2 3 6) + + 2 3 4 5 3 7) − 3 2 1 1 1 8) + − 2 3 2 2 9) 4 + 3 3 2 10) 8 + − 6 − 2 3


203


INSTRUCCIONES: ESCRIBE EN EL PARÉNTESIS LA OPCIÓN QUE CORRESPONDA A LA RESPUESTA CORRECTA DE LA PREGUNTA. CON EL OBJETO DE EVITAR LA ADIVINACIÓN, SE ASIGNAN LAS PUNTUACIONES SIGUIENTES: PREGUNTA CONTESTADA CORRECTAMENTE 3 PUNTOS, INCORRECTA – 2 PUNTOS Y DEJADA EN BLANCO -1 PUNTO. 1) ¿Cuál ¿Cuál es el residuo residuo de la división división 543210 543210 entre 9876? 9876? a) 30

b) 45

c) 60

b) 69

c) 63

)

(

)

d) 75

2) ¿Cuál ¿Cuál es el residuo residuo de dividir dividir 8567.329 8567.329 entre 98.765? a) 73

(

d) 61

3) ¿Cuántos números enteros hay, cuya raíz cuadrada está entre 500 y 1200? ( ) a) 10 b) 12 c) 8 d) 6 4) Del total de una parcela, se sembró un 1/3 de mango y 1/5 de plátano. Si en el resto de la parcela se sembró maíz ¿Qué parte de la parcela se sembró de maíz? aíz? ( ) a) ½ b) ¾ c) ¼ d) 7 / 15 e) 2 / 15 5) ¿Cuál es el resultado de 10 − 3 × 3 + 4 + 8 ÷ 2 = ? a) 9

b) 33 / 2

c) 66

d) - 9

( e) 2 / 33

6) ¿Cuál ¿Cuál es el resultado resultado de 5 × 6 − 4 × 2 + 12 ÷ 2 + 8 ÷ 2 = ? a) 20

b) – 20

c) 28

d) 32

(

)

(

)

e) 30

7) ¿Cuál ¿Cuál es el resultado resultado de 9 − 7 + 11 − 12 + 15 − 45 + 64 − 7 = ? 204

)



a) 22

b) 20

c) 26

d) 24

e) 28

8)Simplificar 3 x + 4 y −13 − 2 x − 3 y + 9 x −11 y + 3 z + 5 y − 2 y + 7 x − 2 x − 4 x + 12 x + 11 = ( ) a) 7x –23y + 3z +2 b) 23x – 7y + 3z - 2 c) 23x –7y + 3z +2 d) 23x 23x –11y + 3z - 2 e) 7x 7x –23y + 3z - 2 3 5 4 2 9) Simplificar x + x − x − x = 4 2 3 5 a) 91 / 60 x

b) - 91 / 60 x

c) 3 / 2 x

( d) 2 / 3 x

e) 3 / 8 x

2 7 5 9 4 3 10) Simplificar x + y + x − y − x − y = 3 2 3 2 3 2 a) - x + 5 / 2 y d) 2x – 5 / 2 y

b) x – 5 / 2 y e) 5 / 2 x – 3 / 2 y

b) 435

c) 212

d) 235

b) 95x+a+3

c) 65x+a+3

)

(

)

(

)

e) 22

12) ¿Cuál ¿Cuál es el resultado resultado de 32 x + 3 a −4 ⋅ 33 x −2 a +7 = ? a) 35x+a+3

(

c) x + 5 / 2 y

11) ¿Cuál ¿Cuál es el resultado resultado de 2 5 ⋅ 27 = ? a) 412

d) 35x-a-3

e) 6x+a-3

13) ¿Cuál es el resultado 1 6 10 1 6 t ) = ? ( ) (− x 2 y 3 z2 t ) ⋅ (− x −5 y −2 z 2 t 3 ) ⋅ (− x 7 y − z 2 5 3 a) – 3x2z10t5 b) - 4x4z10t2 c) -2x4z5t10 d) -2x4z10t5 e) - 2xz10t5


)

de

205


4 − 7 3 −2 3 x y z t 3 14) ¿Cuál ¿Cuál es el resultado de = 1 −9 1 −6 5 x y z t 6 -16y4z-8t8 c) 6x-2y2z4t2 a) 8x2y2z4t-2 b) 8x-16 e) 6x16y3z12t15

b) 9x2 - 12

c) 6x2-4√3

d) 3x2- 12

b) 4x2-6xy+9y2 e) 4x2-6xy+6y2

(

)

e) 9x2 + 12

16) ¿Cuál ¿Cuál es el resultado resultado de (2 x − 3 y ) 2 = a) 2x2-6xy+3y2 d) 4x2-12xy+9y2

)

d) 8x2y2z6t2

15) ¿Cuál ¿Cuál es el resultado resultado de (3 x − 2 3) ⋅ (3 x + 2 3) = a) 3x2-4√3

(

(

)

c) 2x2-12xy+3y2

x 6 − y 6 17) ¿Cuál es el resultado de 3 3 = ( ) x + y a) x3 – y3 b) x3 + y3 c) -x3 + y3 d) x2 – y2 e) x2 + y2 1 3 ⎪⎪ x − y = 5 ⎪⎪ ⎬ ( ) 18) Resolver el sistema: ⎨ 52 34 ⎪− x + y = −11⎪ ⎪⎩ 4 2 ⎪⎭ a) x = -4, y= 4 b) x = 4, y= -4 c) x = 2, y= -4 d) x = 4, y= -2 e) x = 2, y= -2 −5 x + 7 y = 65 ⎨ ⎬ ( ) 19) Resolver el el sistem sistema: a: ⎩3 x − 4 y = −38⎭ a) x = -6, y= 4 b) x =-3, y= 6 c) x = -6, y= 5 d) x = 6, y= -5 e) x = 5, y= -2

20) Resolver la ecuación cuadrática: 8x2 + 5 / 3 x – 1 / 2 = 0 a) x1= - 3 , x2 = 1 / 6 b) x1= - 3 / 8, x2 = - 1 / 6 c) x1= - 3 / 8, x2 = 1 / 6 d) x1= - 8, x2 = 1 / 6 e) x1= 3 , x2 = - 6 206

(


)


21) Resolver la ecuación cuadrática: x2 - 7 x + 12 = 0 a) x1= 3 , x2 = 4 b) x1= - 3, x2 =- 4 c) x1= - 3, x2 = 4 d) x1= 3, x2 = -4 e) x1= 2 , x2 = - 5 22) Resolver la ecuación lineal: ax - b + c = 0 a) x = (a – b)/c b) x = (c+b)/a c) x = (b -a)/c -a)/c e) x = (c – b)a

(

)

( ) d) x = (b - c)/ a

23) ¿Qué número sigue en la serie numérica siguiente: 3 / 2, 1, 1 / 2, 0, …( …( ) a) 1 / 2 b) 1 c) 3 / 2 d) 0 e) – 1 / 2 24) Para pagar una multa fuera de plazo un conductor ha tenido que abonar un recargo del 25%. Habiendo desembolsado un total de 3125 pesos, calcular el importe inicial de la multa y del recargo. ( ) a) $ 2000 pesos, $1125 pesos b) $ 2125 pesos, $ 1000 pesos c) $ 2500 pesos, $ 625 pesos d) $ 3000 pesos, $ 125 pesos 25) ¿Cuál es el valor de cada uno de los ángulos del triángulo siguiente?( siguiente? (

5x+5

3x+3

4x+4

a) 56°, 60°, 64° b) 50°, 55°, 75° c) 60°, 65°, 55° Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

207

)


d) 45°, 60°, 75° 26) Una botella y su tapón cuestan $ 11 pesos. Sabiendo que la botella cuesta un peso más que el tapón, ¿cuánto cuesta la botella? ( ) a) $ 10 pesos

b) $ 8 pesos

c) $ 7 pesos d) $ 6 pesos

27) El rectángulo AFGH tiene 60 cm de perímetro y el rectángulo BCDE tiene 24 cm de perímetro. La longitud de BE es de 8 cm y la de DT es de 10 cm. ( ) Encontrar el área de la figura ABCDEFGH.

a) 132

b) 160

c) 180

d) 192

28) De una hoja rectangular se quiere cortar una figura formada por un semicírculo y un triángulo, como se ve en la figura. ¿Cuál es el área del papel desperdiciado? ( )

a) 2686.73 cm2 b) 3600.45 cm2 cm2

c) 1373.37 cm2 d)

1800.22

FIRMA DEL ALUMNO 208



CBTis 134 EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO Nombre:_______________________________________________________ Grupo: ______ Especiali Especialidad: ______________ _____________________ _______________ ____________ ____ Instrucciones: Instrucciones : Subraya la respuesta correcta de cada una de las preguntas siguientes. No adivines, ya que las respuestas correctas valen 3 puntos, las respuestas erróneas – 2 puntos y las que no contestes -1 punto. NO SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA. 1.- ¿Cuál ¿Cuál es el residuo residuo de la divisi división ón 543210 543210 entre 9876? 9876? a) 80

e) 30 2 4 2 1 2.- El resultado de la siguiente operación con fracciones × − ÷ es: 3 5 3 5 a) 6/15 b) 14/5 c) 14/5 d) 15/6 e) 15/6 3. Una botella y su tapón cuestan $ 11 pesos. Sabiendo que la botella cuesta un peso más que el tapón, ¿cuánto cuesta la botella? a) b) c) d) e)

b) 75

c) 60

d) 45

$ 6 pesos $ 7 pesos $ 8 pesos $ 10 pesos $ 11 pesos

( x − 2)( x + 2) ⎛ x ⎞ =⎜ ⎟ 4.- Resuelve la ecuación de 2º grado: 5 ⎝ 3 ⎠ a) x1=2, x2=-2


2

209


b) x1=5, x2=-5 c) x1=3, x2=-3 d) x1=3, x2=-2 5.- Resuelve la ecuación 2 x − 5 + x 2 + 1 = 3 x − 5 + x 2 a) b) c) d)

x1=8 x1=5 x1=-7 x1=7 3

6.- Exprese el radical 3

a) x b) x c) x d) x

como exponente fraccionario

x 8 5 x 4

3 10 7 15 9 10 2 15

7.- Resuelve el sistema: a) b) c) d)

x10 5 x 3

y = 2 x 2 − x − 15⎫ ⎬ 3 x − y − 15 = 0 ⎭

x1=2, x2=-2 x1=0, x2=1 x1=0, x2=2 x1=1, x2=-2

8.- Expresa en un solo radical la expresión: a) b) 210

2

3

1 32 16

2 3 Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias


c) d)

3

5 4

9.- Dos hermanos, mientras charlan, concluyen que entre ambos tienen 29 años, y el uno le dice al otro: dentro de ocho años mi edad será el doble de la tuya. ¿Cuántos años tiene cada uno en la actualidad? a) b) c) d)

20 y 9 años 22 y 7 años 21 y 8 años 19 y 10 años

10.- Una tienda ha vendido 60 cajas de rotuladores, cuyo precio original era de 1200 pesos, con un descuento del 20% unas cajas y el resto con un descuento del 25%. Si se ha recaudado 56400 pesos, calcula a cuántas cajas se les rebajo el 25%. a) b) c) d)

15 cajas 18 cajas 20 cajas 28 cajas

11.- Un granjero espera obtener 3600 pesos por la venta de huevos. En el camino al mercado se le rompen 4 docenas. Para obtener el mismo beneficio aumenta en 45 pesos el precio de la docena. ¿Cuántas docenas tenía al principio? a) b) c) d)

15 docenas 18 docenas 20 docenas 28 docenas

12.- simplificar a su mínima expresión:


4 − 3x − 8x 2 + x + 3 − x − 2 x − 2 x + 3 x 3 + x 2 − 6x

211


a) b) c) d)

2( x 2 + x + 2) x( x − 2)( x + 3) 2( x 2 + x + 2) ( x − 2)( x + 3) ( x 2 + x + 2) x( x − 2)( x + 3) 2( x 2 + x + 2) x( x + 2)( x − 3)

13. ¿Cuánto vale n para que se conserve la igualdad? 22 x 22 x 22 = 11 x 11 x (n (n ) a) 11

b) 22

c) 33

d) 44

e) 88

14.- Si una manzana tiene x precio, ¿cuánto costarán 15 manzanas si tienen 20% de descuento?

15.- ¿Cuánto vale m para que el producto de fracciones sea una igualdad? x

=

x (m ) 1

2

16.- Si la base de un cuadrado de largo x , aumenta 4 unidades y su ancho y disminuye 2 unidades. ¿Cómo podemos expresar su área? a) (x - 4) (y + 2) b) (y - 4) (x + 2) 212



c) (x + 4) (y - 2) d) (y + 4) (x - 2) e) (xy - 8) y=56. 17.- El valor de x varía en proporción directa con el de y, cuando x=7, y=56. ¿Cuánto es x , si y=152? y=152? a) 112

b) 56

c) 21

d) 19

e) 17

18.- ¿Cuál ¿Cuál es el el área del tri triángulo, ángulo, si la base base es 4 y su altura altura es ¾ de su base, ¿cuál es su área? a) 24

b) 12

c) 6

d) 4

e) 2

19.- Cuál de los siguientes valores de x , cumple con la siguiente expresión:

a) 35

b) 30

20.- Si x =

B y B=

c) 25

d) 20

e) 10

, entonces ¿Cuánto vale x ?

21.- Si 8 es el 40% de una cantidad, ¿cuál será el 10%?. a) 10

b) 8

c) 6

d) 4

e) 2

22.- Un carro recorre 60 Km la primera hora de recorrido, 80 Km la segunda, 40 Km la tercera, 30 Km la cuarta y 90 Km la 5a hora. Su velocidad media en Km/hr es: a) 10 Km/hr Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

213


b) c) d) e)

40 Km/hr 50 Km/hr 60 Km/hr 80 Km/hr

23.- ¿Cuál es el número que sigue en la serie: 10, 13, 11, 14, 12, 15, 13 ...? a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 24.- Si el perímetro de un cuadrado es 32, su área es igual a: a) 8 b) 28 c) 32 d) 48 e) 64

25.- ¿Cuál es el volumen de la siguiente figura? a) b) c) d) e)

a+b+c ab x c a + bc axb/c axb-c

26.- Observe el dibujo. Los números son la suma de cada renglón y columna de los símbolos que contiene. ¿Cuál es la suma de la primera columna?

a) 23

b) 25

c) 28

d) 30

e) 32

27) Todos los números de la primera tabla han sido colocados según una 214



regla; si se ha seguido la misma regla para componer la segunda tabla, ¿cuál es el número que falta? 6

2

3

3

1

3

2

2

1

4

6

6

2

3

4

2

2

28) Si A + B = 18 y A x B = 72, ¿Cuál será el resultado de 8 (A + B) - 2 (A x B) + (A + B) (A x B) ? a) 1100 e)2520

b) 1296

c) 1424

d) 1630

29) ¿Cuánto vale x en la siguiente figura?

a) 40°

b) 30°

c) 25°


d) 20°

e)15°

215


30) A un cajero le llevaron en billetes de 20 una cantidad que dice es $ 7, 200, 000 pesos. El cajero quiere revisar que no falte un solo billete. Si en promedio cuenta un billete por segundo. ¿Cuántas horas se tardará en contar los $ 7, 200, 000 pesos? a) 75 horas b) 80 horas c) 90 horas d) 100 horas e) 110 horas 31) Sí se sustituye λ por 3 y σ por 9 ¿Qué valor tiene la expresión: 4σ2 (σ + λ ) / (λ (λ − σ )2)? a) 24 b) 32 c) 36 d) 42 e) 45 32) Las siguientes balanzas están en equilibrio ¿Cuántos círculo ?

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

s pesan un



e) 1

33) Un hombre tiene tres hijos. El producto de las edades de sus hijos es 1652. El menor de ellos tiene al menos la mitad de la edad del mayor.¿Cuál es la suma de las edades de sus hijos? a) 78 216

b) 81

c) 84

d) 87

e) 92



34) El círculo tiene área 154. ¿Cuál es el área del cuadrado?

a) b) c) d) e)

178.08 182.08 196.08 198.08 201.08

3 4 7 35) El resultado de 2 + + − = 4 3 2 a) 12 / 7

b) 7 / 12

c) – 12 / 7

d) - 7 / 12

e) 2 / 5

d) 27

e) 3 / 2

3 2 36) El resultado resultado de 8 × ÷ = 4 9 a) 72

b) 64 / 27

c) 27 / 64

37) El resultado de 5 × 6 − 4 × 2 + 12 ÷ 2 + 8 ÷ 2 = a) 20

b) – 20

c) 28

d) 32

e) 30

38) Simplificar 3 x + 4 y −13 − 2 x − 3 y + 9 x −11 y + 3 z + 5 y − 2 y + 7 x − 2 x − 4 x + 12 x + 11 = a) 7x –23y + 3z +2

b) 23x – 7y + 3z - 2


c) 23x –7y + 3z +2

217


d) 23x –11y + 3z - 2 e) 7x –23y + 3z – 2 x 8 + y 8 = es 39) El residuo de dividir 4 4 x − y

a) x4 – y4

b) x4 + y4

40) El residuo de dividir a) 2x2 + ½ x b) -18x

c) 2 y8

d) 2x8

e) x2 + y2

d) 2x2

e) 2x2 + x

2 x 4 + x 2 = es x 2 + 2 x c) 18x

FIRMA DEL ALUMNO

218



RESULTADOS ESTADÍSTICOS Para cada grupo se muestra el Nombre, su puntuación inicial (pi), su puntuación final (pf), sus diferencias (D) y el Aprendizaje Significativo (AS).

GRUPO EXPERIMENTAL 1º “D” F-M

Nombre Cesar Alfredo Alejandro Castillo Eric Jafet Jose Rodrigo Erika Fabian Erika Quiroz Gilberto Calvo Samuel Diego Joaquin Temiquelt Jorge Irving Osiel Reyes Santos Alonso Natalio Ibarra Everard Nicole Erick Hernandez Kendy Yanet Jose Manuel Gerardo Rafael Samuel Santos Jose Alberto Guadalupe Parra Mariano Maganda Immer Meza Alan Wolfgang Victor Daniel Erick Zaid Beatriz Cecilia Evelyn Rubi Jorge Antonio

piexpdfm pfexpdfm Dexpdfm ASexpdfm 92.50 100 . 00 7.50 93.00 87 . 50 7 0 .0 0 -17.50 68.00 82.50 1 0 0 .0 0 17.50 9 1 .0 0 75.00 9 0 .0 0 15.00 82 . 00 70.00 75.00 5.00 7 3 .0 0 67.50 75 . 00 7.50 71.00 62.50 60 . 00 -2.50 62.00 60.00 80 . 00 20.00 76.00 60.00 90.00 30.00 81.00 57.50 80.00 22 . 50 82.00 55.00 80.00 2 5 .0 0 78.00 52.50 100.00 47 . 50 78.00 52 . 50 60.00 7.50 5 7 .0 0 50.00 65.00 15.00 62.00 50.00 95 . 00 45.00 87.00 47.50 60.00 1 2 .5 0 5 7 .0 0 47.50 75.00 27.50 72.00 4 7 .5 0 60.00 1 2 .5 0 63.00 45.00 80.00 3 5 .0 0 75.00 4 5 .0 0 60 . 00 15.00 5 6 .0 0 4 3 .5 0 100.00 56.50 84.00 42.50 6 0 .0 0 17.50 59.00 42.50 70.00 2 7 .5 0 63.00 40.00 75.00 35.00 68.00 3 7 .5 0 75.00 37.50 6 7 .0 0 3 7 .5 0 60.00 22.50 62.00 37.50 60.00 22 . 50 54.00 35.00 50.00 15.00 34.00 32 . 50 60.00 2 7 .5 0 54.00


219


Grisel Sotelo Victor Manuel Oscar Mendoza Jonathan Orlando Esmeralda Dionicio Claudia Aparicio Fredi Flores Brenda Aguilar Socorro Hernandez Antonio Vazquez Zeferino Garcia M e d i a na = Desviación STP= Coeficiente de Asimetría = Confianza= PRUEBA CHI Media Aritmética =

32.50 3 0 .0 0 3 0 .0 0 3 0 .0 0 30.00 3 0 .0 0 2 5 .0 0 25.00 22.50 22.50 20.00 4 4 .2 5 1 7 .8 9

90 . 00 60 . 00 50.00 50 . 00 80.00 80.00 80 . 00 50.00 80.00 50.00 50.00 75.00 15.49

0.81 5.54 0.00 4 6 .3 4

0.26 4.80 0.35 72.13

57.50 30.00 20 . 00 20.00 50.00 50.00 55.00 25.00 57.50 2 7 .5 0 3 0 .0 0 1031.50 2 5 .7 9

78.00 65.00 5 4 .0 0 5 6 .0 0 78.00 6 7 .0 0 75.00 37.00 67.00 54.00 60.00 67.00 12.92 -0.32 4.00 67.50

GRUPO EXPERIMENTAL 1º “C” Q-B Nombre piexpcqb pfexpcqb Dexpcqb ASexpcqb joana lopez 89.34 80.00 -9.34 78.00 martin de jesus 88.83 7 0 .0 0 -18.83 65.00 lissete arely 8 3 .7 6 80 . 00 -3.76 75.00 monserrath 8 2 .2 3 90.00 7.77 8 4 .0 0 ollin davinia 81.73 9 0 .0 0 8 .2 7 83.00 ma. De los angeles 7 7 .6 6 80.00 2 .3 4 78.00 angie christian 77.16 90.00 12.84 82.00 brenda anahi 75.13 80.00 4.87 76.00 adriana santibañez 73.60 9 0 .0 0 16 . 40 87.00 elvia emelida 73.10 90.00 16.90 85.00 yexuani 71.57 60.00 -11.57 50.00 anaid rosendo 69.54 80.00 10 . 46 72 . 00 luis josimar 68.53 70.00 1.47 6 7 .0 0 angel adolfo 68.02 94.00 25.98 87.00

220



marco a. suarez moises velazquez antonio bibiano mayra grissel ricardo fco martha beatriz adriel crescencio marly 1 c tlc felipe castro jaime roberto ana laura ricardo altamirano dulce maria ana maria mayra jazmin julieta lizbeth grecia rocio azucena mendoza claudia zarate grissel damian sandra luz yuliana paola angel salmeron rocio gomez cindy damara Mediana = Desviación STP= Coeficiente de Asimetría = Confianza= PRUEBA CHI Media Aritmética =

68.02 65.99 6 4 .4 7 62.44 61 . 93 60.91 60.91 6 0 .4 1 59.39 59.39

7 0 .0 0 7 0 .0 0 60 . 00 60.00 60.00 80.00 60 . 00 70.00 8 0 .0 0 7 0 .0 0 58.38

57.87 57.36 56.85 5 6 .3 5 56.35

1.98 4 . 01 -4.47 -2.44 -1.93 19.09 -0.91 9.59 20 . 61 10.61 80 . 00

70.00 70 . 00 70 . 00 80.00 60.00 5 5 .8 4

21.62 12.13 12.64 13.15 2 3 .6 5 3 .6 5

86.00

55.84 55.33 53.30 51.78 51.27 5 0 .2 5 49.75 49.75 4 9 .7 5 6 0 .9 1 11.06

60.00 60.00 80.00 70.00 70.00 80.00 97.00 8 0 .0 0 60.00 75.00 10.83

0.68 3.43 0.00 64.25

0.13 3.36 1.00 74.93


67.00 69 . 00 65.00 58 . 00 54 . 00 75.00 63.00 71.00 7 2 .0 0 74 . 00 7 6 .0 0 67.00 6 3 .0 0 66.00 78.00 57.00 30.16

4.16 4.67 26.70 18.22 18.73 2 9 .7 5 4 7 .2 5 30.25 1 0 .2 5 426.95 10.67

79.00 56.00 58.00 77.00 75.00 6 5 .0 0 78.00 9 2 .0 0 73 . 00 62.00 72.50 9.83 -0.13 3.05 71.48

221


GRUPO TESTIGO 1º “C” F-M Nombre Garcia Omar Guillen Daisy Lilian Hernandez Oscar Jimenez Diego Bautista Victor Bello Deny Yazmin Campos Alvaro Contreras Jose Saul Sanchez Francisco Bruno Jaime Lara Efren Martinez Jesus Sanchez Maria Arcos Cirilo Bernal Luis Carbajal Jose Antonio Cecilio Alejandro Monreal Lizeth Morales Shanty Ramirez Abril Reyes Oscar Rivera Luis Salmeron Javier Santos Luis Santos Oscar Sereno Ruben Torres Daniel Valenzo Marlon Vazquez Martiniano Gonzalez Juan Jose Manra Arcenio Trinidad Jose Juan Basilio Jose Noe Gonzalez Oscar

222

pitescfm pftescfm Dtescfm AStescfm 90.00 90.00 0 .0 0 7 8 .0 0 90.00 7 0 .0 0 -20.00 60.00 90.00 8 0 .0 0 -10.00 69.00 80.00 80.00 0 .0 0 7 1 .0 0 70.00 80.00 10.00 7 0 .0 0 70.00 80.00 10.00 7 3 .0 0 70.00 60.00 -10.00 50.00 7 0 .0 0 60 . 00 -10.00 48.00 70.00 70.00 0 .0 0 6 3 .0 0 60.00 70.00 10.00 6 0 .0 0 60.00 57.00 -3.00 4 5 .0 0 60.00 60 . 00 0.00 54.00 6 0 .0 0 60.00 0.00 49.00 50.00 5 0 .0 0 0.00 45.00 50.00 8 0 .0 0 3 0 .0 0 66.00 50.00 70.00 2 0 .0 0 65.00 50.00 52.00 2 .0 0 34.00 50.00 60.00 10.00 54.00 50.00 70 . 00 20.00 64.00 50.00 70.00 20.00 54.00 5 0 .0 0 60.00 10.00 53.00 50.00 55.00 5 .0 0 50.00 50 . 00 50.00 0.00 43.00 50.00 5 2 .0 0 2.00 45.00 50.00 5 4 .0 0 4.00 45.00 50.00 60.00 10.00 5 3 .0 0 50.00 70.00 20.00 62.00 5 0 .0 0 8 0 .0 0 30.00 67.00 50.00 40.00 - 1 0 .0 0 30.00 40.00 52.00 12.00 47.00 40.00 50 . 00 10.00 45.00 4 0 .0 0 30.00 -10.00 3 0 .0 0 30.00 30.00 0.00 3 2 .0 0 3 0 .0 0 4 5 .0 0 15.00 3 4 .0 0 Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias


Hernandez Miguel Ibarra Javier Lopez Jose Meza Israel Subia Jose Guillen Jose Ivan Mediana = Desviación STP= Coeficiente de Asimetría = Confianza= PRUEBA CHI Media Media Aritmé Aritmétic ticaa =

30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 20.00 50.00 17.25

55.00 45.00 47 . 00 43.00 40.00 20.00 60.00 15 . 51

0.49 5.34 0.00 52.25 52.25

-0.23 4.81 0.00 58.68 58.68

2 5 .0 0 1 5 .0 0 17.00 13.00 10.00 0 .0 0 257.00 6.43

34.00 3 8 .0 0 37.00 3 6 .0 0 34.00 28.00 49.50 13.59 0.15 4.21 50.38 50.38

GRUPO TESTIGO 1º “D” Q-B Gtesdqb Barragan Martin Macedo Luis Radilla Edna Parra Linda Ramirez Victor Aponte Fredy Cardona Consuelo Mora Benjamin Nabor Astrid Balderas Patricia Garcia Victor Garduño Jose Alarcon Cinthya Aponte Fanny Bautista Abraham Bello Adriana Bello Danae Cabrera Alejandro Del Valle Luis

pitesdqb pftesdqb Dtesdqb AStesdqb 100.00 100.00 0.00 89.00 100.00 100.00 0.00 91.00 100.00 70.00 -30.00 7 4 .0 0 90.00 80.00 -10.00 67 . 00 90.00 60.00 - 3 0 .0 0 6 3 .0 0 80.00 57.00 -23.00 34.00 80.00 80 80.00 0 .0 0 6 7 .0 0 8 0 .0 0 80.00 0.00 74 . 00 80.00 60.00 -20.00 5 6 .0 0 70.00 5 2 .0 0 -18.00 45.00 70.00 52.00 -18.00 34.00 7 0 .0 0 50.00 -20.00 4 2 .0 0 60.00 54 . 00 -6.00 50.00 60.00 52.00 -8.00 45.00 60.00 80.00 20.00 69.00 60.00 55.00 -5.00 45.00 60.00 52.00 -8.00 46.00 60.00 55 55.00 -5.00 48 . 00 6 0 .0 0 52.00 -8.00 43.00


223


Delgado Ivan Hernandez Juan Luna Gilberto Manzanarez Guadalupe Marino Brenda Martinez Cinthya Martinez David Obando Nallely Quiroz Christian Adame Cindy Castañon Jesus Espinosa Salvador Garcia Luis Gatica Gloria Jimenez Kenia Jorge Nalleli Pacheco Herman Rojano Ma. De Lourdes Cabañas Claudia Damian Jesus Romero Yanet M e d i a na = Desviación STP= Coef. de Asimetría = Confianza= PRUEBA CHI Media Aritmética =

60.00 60.00 6 0 .0 0 60.00 60.00 60.00 60.00 60.00 60.00 50.00 5 0 .0 0 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 40 . 00 40 . 00 40.00 60.00 15.90 0.91 4.93 0.00 63.50

PRUEBAS ESTADÍSTICAS F FINAL FINAL Prueba F C Q-B C F-M 0.0273 Prueba F D F-M C F-M 0.9922 Prueba F C Q-B D F-M 0.0280

224

6 0 .0 0 50.00 4 7 .0 0 50.00 52.00 60.00 55.00 60 . 00 55.00 52.00 4 7 .0 0 55.00 5 5 .0 0 47.00 5 2 .0 0 52 . 00 55.00 52.00 45.00 40.00 52.00 54 . 50 1 3 .3 7 1.84 4 .1 4 58.35

0.00 -10.00 -13.00 -10.00 -8.00 0.00 -5.00 0.00 -5.00 2.00 -3.00 5 . 00 5.00 -3.00 2.00 2.00 5.00 2.00 5.00 0.00 12.00 -206.00 -5.15

52.00 46.00 39.00 43.00 45.00 53.00 45.00 52.00 4 8 .0 0 3 9 .0 0 43.00 45.00 47.00 3 2 .0 0 45.00 44.00 46.00 5 0 .0 0 39.00 3 6 .0 0 3 9 .0 0 45.50 13.71 1.46 4.25 5 0 .2 5

0.19 Prueba F C Q-B D Q-B 0.36 Prueba F D F-M D Q-B 0.36 Prueba F C F-M D Q-B


Enseñanza Constructivista de las Ciencias

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