SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SECRETARÍA DE EDUCACIÓN Y CULTURA CENTRO DE ACTUALIZACIÓN DEL MAGISTERIO EN ZACATECAS
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN SECUNDARIA S ECUNDARIA ESPECIALIDAD ESPECIALIDAD MATEMÁTICAS SEMESTRE IV
ENSAYO: GEOMETRÍA ANALÍTICA
MAESTRA: LAURA PATRICIA CHACÓN
ALUMNO: JORGE VARELA HERNÁNDEZ
FECHA: 7 DE FEBRERO DEL 2013
INTRODUCCIÓN Es importante reconocer la relación que existe entre la geometría plana y el álgebra, mediante la introducción y el uso de los ejes coordenados en el plano. Estableceremos una correspondencia entre el conjunto de todos los puntos del plano y el conjunto de todos los pares ordenados de números reales. También se reconoceremos algunos lugares geométricos como conjuntos de puntos del plano que satisfacen condiciones geométricas. Pero no sin antes de conocer un poco sobre la historia de la Geometría Analítica
y los orígenes de algunos de los
aspectos más relevantes que la caracterizan, la cual se convertirá en nuestro objeto de estudio En este trabajo se hablara primero que nada definiendo que es la geometría: La palabra geometría viene del griego que significa: GEO= TIERRA y METREIN= MEDIR. Algunas definiciones son: *Rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. *Es la ciencia de la extensión y la posición en el espacio y la relación entre ellos, mediante procedimientos específicos. *Es la ciencia que trata de la construcción de figuras en condiciones dadas, de su medida y propiedades. *Es una ciencia que se basa en demostraciones matemáticas que estudia representaciones
espaciales,
ya
sean
puntos,
rectas,
planos,
polígonos,
superficies, etc., en si una ciencia que estudia las propiedades espaciales.
ORIGENES DE LA GEOMETRIA En el año de 1637 publicó Rene Descartes (1596-1650) público su obra Geometrie, la cual se encuentra dividida en tres libros, de los cuales dedica el segundo a lo que se ha llamado Geometría Analítica, En ella establece el enlace
entre el número y el espacio, y aunque su importancia sólo se evidenció años más tarde, su publicación influyó en forma decisiva en el desarrollo de todas las ramas de las ciencias exactas. Es opinión generalmente admitida entre los matemáticos que la Geometría Analítica fue creada por Descartes. Sin embargo, hay disconformidades sobe esto, se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de estos matemáticos franceses tuviera acceso a su obra.
Geometría
analítica
Estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geométricos por métodos algebraicos; las coordenadas se representan
por
grupos
numéricos
y
las
figuras
por
ecuaciones.
La geometría analítica es la parte de las matemáticas que establece una conexión entre el álgebra y la geometría euclidiana, y en la cual se estudian figuras referidas a un sistema de coordenadas.
Sistemas
de
coordenadas
cartesianas.
Este sistema también se denomina cartesiano en honor a René Descartes, par haber sido quien lo empleara en la unión del álgebra y la geometría plana para dar lugar a la geometría analítica. Recordemos cómo se construye un sistema de coordenadas rectangulares: trazamos dos rectas perpendiculares que se intersecan en el punto O, al cual se le llama origen. La recta horizontal es el eje de las abscisas o eje de las x; la recta vertical es el eje de las ordenadas o eje de las y. Usando un segmento "unidad" conveniente, se divide cada eje de manera que los números enteros positivos queden a la derecha del origen sobre el eje x, y arriba del origen sobre el eje y. Los enteros negativos quedan a la izquierda del origen sobre el eje x, y abajo del origen sobre el eje y. Tomando los ejes como elementos de referencia, se puede localizar cualquier punto situado en el plano que forman, procediendo en la forma siguiente: se indica la distancia del punto a la derecha o a la izquierda del eje horizontal, y la distancia hacia arriba o hacia abajo
del eje vertical. La abscisa es positiva o negativa según el punto P situado a la derecha o a la izquierda del eje horizontal; la ordenada es positiva o negativa según el punto este situado arriba o abajo del eje vertical. A la abscisa y a la ordenada de un punto se les llaman coordenadas del punto y se escriben como un par de números dentro de un paréntesis separado por una coma; el primero de estos números representa siempre a la abscisa y el segundo a la ordenada. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes, llamada cada una cuadrante; los cuadrantes se numeran con números romanos I, II, III, IV.
Localización de puntos en el plano. En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relación que establece que a cada par de números reales (x, y) le corresponde un punto definido del plana, y a cada punto del plano le corresponde un par único de coordenadas (x, y). En el proceso hay que tomar en cuenta los signos de las coordenadas del punto para ubicarlo en los cuadrantes; para ello se emplea el papel cuadriculado o de coordenadas rectangulares, ya que facilita la localización y el marcado de puntos en el plano.
Distancia entre dos puntos. Para encontrar la distancia entre dos puntos P(x1,y1) y Q(x2, y2) que no estén en la misma recta vertical u horizontal, construimos un triángulo rectángulo que tenga al segmento PQ por hipotenusa, como se muestra en la figura, las longitudes de los lados de los catetos son ( x 2 − x1) y ( y 2 − y1) . La distancia entre P y Q es la longitud de la hipotenusa del triángulo. Recordemos que el teorema de Pitágoras dice que "En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"
ESTUDIO DE LAS CURVAS: PARABOLA, ELIPSE E HIPERBOLA Si en la Geometría Analítica se considera el estudio particularizado de las tres grandes curvas: parábola, elipse e hipérbola, debería hacerse remontar esta
ciencia a Menaicmo (siglo IV a. de J.C.), a quien se atribuye la invención de dichas curvas. En realidad, los nombres con los que se citaban a estas curvas ya existían y fueron creados por los pitagóricos. Estos al resolver el problema que denominaron aplicación de las superficies planas, introdujeron las palabras parábola, elipse e hipérbola según que en la aplicación de dichas superficies hubiese igualdad, deficiencia y exceso respectivamente. Posteriormente Arquímedes amplió el campo del estudio de esas tres curvas; Apolonio de Perga concibió las secciones cónicas, determinadas no ya únicamente, según se presume lo había hecho Menaícmo, en un como recto rectangular, o cono cuyas generatrices opuestas se cortan en ángulo recto, sino como resultantes de la intersección de un plano con un cono circular cualquiera, ya sea rectangular o no.
¿PERO QUÉ ES SON LAS PARABOLAS, HIPERBOLAS Y ELIPSES? El resultado de la intersección de la superficie de un cono, con un plano, da lugar a
lo
que
se
denominan secciones
cónicas,
que
son:
la
parábola,
la elipse (la circunferencia es un caso particular de elipse) y la hipérbola.
La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Una parábola cuyo eje de simetría sea paralelo al eje de abcisas se expresa mediante la ecuación:
La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.
Una elipse centrada en los ejes, con longitudes de semieje a y b viene dada por la expresión:
Si los dos ejes son iguales y los llamamos c:
el resultado es una circunferencia:
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.
La hipérbola tiene por expresión:
GEOMETRIA ANALITICA, ORIGENES DE LA TERCERA DIMENSION. Descartes termina el segundo libro de su obra observando que el concepto fundamental de su método puede extenderse del plano al espacio, es decir, mencionó la Geometría Analítica de tres dimensiones, pero nada escribió acerca de ella. F. van Schooten el joven (1615-1660), traductor y comentador de Descartes, fue el que sugirió, en 1657, el uso de coordenadas en el espacio tridimensional. El que echó los cimientos de la Geometría Analítica de tres dimensiones, fue A. Parent (1666-1716). Enseñó por primera vez a representar una superficie, la de una esfera y otros sólidos, por medio de una ecuación cartesiana, que él llama équation superficielle; pero, aunque habla de un punto como origen o punto de referencia, no menciona ni ejes ni planos coordenados.
El que indicó la consideración de los tres ejes coordenados de un sistema cartesiano, es J. E. Hermann (1678-1733). Con él la Geometría Analítica del espacio, entonces incipiente, recibió notable impulso. Considera tres ejes de referencia, y hace observar que un punto cualquiera de cada eje tiene dos de sus coordenadas nulas. Demuestra que toda ecuación de primer grado con tres variables, ax + by + cz - d = 0, representa un plano; partiendo de ella, deduce las coordenadas de la intersección del plano con cada uno de los ejes cartesianos. A. C. Clairaut (1713-1765), amplió la obra de Hermann, que constituyo un verdadero tratado de la Geometría Analítica del espacio, pues, además de determinar tangentes y normales a las curvas alabeadas, hace figurar ecuaciones de planos, ecuaciones de las superficies de la esfera, del paraboloide y, en general, las ecuaciones de las superficies de los sólidos.
Construcciones en el espacio tridimensional Los razonamientos sobre la construcción de los ejes coordenados son igualmente válidos para un punto en el espacio y una terna ordenada de números, sin más que introducir una tercera recta perpendicular a los ejes X e Y: el eje Z. Sin embargo no hay análogo al importantísimo concepto de pendiente de una recta. Una única ecuación lineal del tipo:
Representa en el espacio un plano. Si se pretende representar mediante ecuaciones una recta en el espacio tridimensional necesitaremos especificar, no una, sino dos ecuaciones lineales como las anteriores. De hecho toda recta se puede escribir como intersección de dos planos. Así una recta en el espacio podría quedar representada como: