CAPI CA PITU TUL LO 5 EL A STICIDA D PL PL A NA
Supongamos el sólido de la figura, que posee forma cilíndrica con sus generatrices paralelas al eje z, y que se encuentra sometido a la acción de las cargas indicadas. El valor de dichas cargas es independiente de la coordenada z, así así co como mo su suss componentes en dicha dirección (fuerzas distribuidas y de superficie paralelas al plano x-y). y
x
z
Las ecuaciones de la Elasticidad, y la correspondiente solución del problema, se pueden plantear utilizando, solamente, las coordenadas (x,y).
Supongamos el sólido de la figura, que posee forma cilíndrica con sus generatrices paralelas al eje z, y que se encuentra sometido a la acción de las cargas indicadas. El valor de dichas cargas es independiente de la coordenada z, así así co como mo su suss componentes en dicha dirección (fuerzas distribuidas y de superficie paralelas al plano x-y). y
x
z
Las ecuaciones de la Elasticidad, y la correspondiente solución del problema, se pueden plantear utilizando, solamente, las coordenadas (x,y).
y
xy
y xy
xy
dy
x
x
dx xy
y
Tens Te nsio ione ness en el el pla plano no x-y
x
∂u εx = ∂x ∂v εy = ∂y ∂u ∂v + γ xy = ∂y ∂x Deformaciones Deformacio nes en el plano x-y
¿Y qué tensiones y deformaciones aparecen en un plano perpendicular al eje z? Muchos problemas de elasticidad bidimensional se resuelven haciendo una de estas dos hipótesis:
yz
0
zx
0
z
0
TENSIÓN PLANA
yz
0
zx
0
z
0
DEFORMACIÓN PLANA
TENSIÓN PLANA: Sólo son distintas de cero las componentes, en el Plano, del tensor de tensiones.
Componentes tensionales no nulas:σ x , σ y ,τ xy
dA
h
y xy xy
xy
dA
x
x
L
y
y
x z
xy
Hipótesis: - h<
DEFORMACIÓN PLANA: Sólo son distintas de ceros las componentes en el plano, del tensor de deformaciones.
Componentes deformacionales no nulas: ε x , ε y , γ xy y
z
xy xy
dA
dA
xy x
x xy z
y x z
y
Hipótesis: - w=0 -Las dos caras del sólido no sufren desplazamientos según z - Las fuerzas interiores por unidad de volumen y las aplicadas en el contorno perimetral del sólido no dependen de la coordenada z - u,v son funciones de sólo x e y
TENSIÓN PLANA 1) Un estado tensional en el que la tensión normal y las tensiones tangenciales actuantes sobre las caras de la pieza son nulas. 2) Si x-y es el plano del sólido bidimensional, las únicas componentes del tensor de tensiones no nulas son: σx,σy ,τxy 3)Las componentes: σz ,τxz ,τyz serían nulas Desplazamientos
u = u(x,y) v = v( x, y) w
≠
0
Tensor de deformaciones
⎡ ε x ⎢γ [D] = ⎢ xy 2 ⎢ 0 ⎣
γ xy
2
εy 0
⎤ ⎥ 0⎥ εz⎥ ⎦ 0
Tensor de tensiones
⎡σ x τ xy [T ] = ⎢τ xy σ y ⎢⎣ 0 0
0⎤ 0⎥ 0⎥⎦
DEFORMACIÓN PLANA 1) Un estado deformacional en el que la deformación longitudinal y las deformaciones angulares correspondientes a un plano paralelo a la sección transversal de la pieza son nulas. 2) Si x-y es el plano de la sección transversal de la pieza las únicas componentes del tensor de deformaciones no nulas son: εx , ε y , γxy 3) Las componentes : εz , γxz , γyz serían nulas. Desplazamientos
u= u (x,y) v= v (x,y) w=0
Tensor de deformaciones
γ xy ⎡ ε x 2 ⎢γ [D] = ⎢ xy 2 ε y 0 ⎢ 0 ⎣
⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎦ 0
Tensor de tensiones
⎡σ x τ xy 0 ⎤ [T ] = ⎢τ xy σ y 0 ⎥ ⎢⎣ 0 0 σ ⎥⎦ z
DEFORMACIÓN PLANA: Ecuaciones de equilibrio interno: X + Y +
∂σ x ∂ x ∂τ xy ∂ x
+ +
∂τ xy ∂ y ∂σ y ∂ y
=0 =0
Ecuaciones de equilibrio en el contorno: X =l
σ x + m τ xy ⎫ ⎬ Y = l τxy + m σ y ⎭ Ecuaciones de compatibilidad:
∂ ε x ∂ ε y ∂ γ xy 2 + 2 = ∂y ∂x ∂x∂y 2
2
2
∆ (σ x + σ y )= −
Ecuaciones constitutivas: ε x ε y ε z
1 E 1 E 0
σ z
σ x σ y 1 E
ν E ν E σ z
[(1 − ν )σ E 1 = [(1 − ν )σ E
σ y
σ z
εx =
σ x
σ z
εy
ν E
ν σ x
σ x
σ y
σ y
γ xy =
1
x
− ν(1 + ν)σ y
y
− ν(1 + ν)σ x
2
2
τ xy
G
⎜ ∂X + ∂Y ⎞ 1 − ν ⎝ ∂x ∂y ⎠ 1
TENSIÓN PLANA: Las Ecuaciones de equilibrio interno y de equilibrio en el contorno son las mismas que en el caso de deformación plana. Las Ecuaciones de compatibilidad son: 2 2 ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy 2 + 2 = ∂y ∂x ∂x∂y
Estas tres ecuaciones no se han utilizado. La ecuación deducida es sólo aproximada.
⎧∂ 2ε z 2 =0 y ∂ ⎪ ⎪∂ 2ε ⎨ z ∂ x2 = 0 ⎪ 2 ∂ εz =0 ⎪ x∂y ∂ ⎩
Ecuaciones constitutivas:
εx = εy = γ xy =
σ x − νσ y E
σy − νσ x E
τ xy
G
⎛ ∂X ∂Y ⎞ ∆ (σ x + σ y ) = −(1 + ν ) ⎜ + ⎟ ⎝ ∂x ∂y ⎠
DEFORMACIÓN PLANA:
⎛⎜ ∂X ∂Y ⎞ ∆ (σ x + σ y )= − + 1 − ν ⎝ ∂x ∂y ⎠ 1
TENSIÓN PLANA:
⎛ ∂X ∂Y ⎞ ∆ (σ x + σ y ) = −(1 + ν ) ⎜ + ⎟ ⎝ ∂x ∂y ⎠ Aspectos de interés: - Sólo una propiedad del material interviene en estas ecuaciones (el coeficiente de Poisson, ν) - Si la fuerza por unidad de volumen que actúa sobre el sólido fuese constante (por ejemplo, la de la gravedad), las dos ecuaciones anteriores se convertirían en la siguiente:
∆ (σ x + σ y ) = 0
FUNCION DE TENSIÓN O DE AIRY Sir George Biddell Airy (1801-1892) La función de tensión de Airy permite una fácil resolución de los problemas elásticos bidimensionales. Una vez conocida esta función, que la representaremos por (x,y) por ser función de estas dos coordenadas, pueden obtenerse las tensiones mediante un proceso de derivación de la misma.
FUNCION DE TENSIÓN O DE AIRY Ecuaciones de equilibrio interno (X e Y son valores constantes):
∂σ x ∂τ xy + =0 ∂ x ∂y ∂τ xy ∂σ y + =0 Y+ ∂ x ∂y
X+
Derivando respecto de x
∂ 2σ x ∂ x
Derivando respecto de y
2
=
∂ 2σ y ∂ y 2
∂ 2τ xy ∂ 4φ =− = 2 2 ∂ x ⋅ ∂ y ∂ x ∂ y
Si definimos una función φ (función de tensión o de Airy) de la que se pudiese obtener las tensiones actuantes en el sólido, de tal manera que:
∂ 2φ σx = 2 ∂y
∂ 2φ σy = 2 ∂x
∂2 φ τ xy = - Xy - Yx ∂x ∂y
para que estas tensiones fuesen la solución de un problema plano, se tendría que cumplir:
(
)
∆ σx + σy = 0
⇒
∂2 ∂2 ∂ 2 φ ∂2 φ ⎜ 2 + 2⎟ ⎜ 2 + 2 ⎟ = 0 ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂y ∂x ⎠
∂4 φ ∂4 φ ∂4 φ +2 2 2 + 4 = 0 4 ∂x ∂x ∂y ∂y ¡La función
ó
∆2 φ = 0
debe ser biarmónica!
FORMAS POLINÓMICAS DE LA FUNCIÓN DE AIRY 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
Baise Pascal (1623-1662)
1
No interesan :
x x2 x3 x4 x 5
x4 y
xy
x2 y
x 3y
y y2
xy2
x2 y2
x3 y 2
no dan lugar a tensiones Funciones
y 3 xy 3
x2 y3
biarmónicas y 4
xy4
Funciones y5
biarmónicas concon condiciones biarmónicas soluciones condiciones
POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO
= 2c σ y = 2a τ x = −b σ x
φ = ax + bxy + cy 2
a≠0
2
b=c=0
b ≠0
y
y 2a
b
x 2a c≠0
a=b=0
σy
x 2c
σ x
= 2c
x b
y
2c
a=c=0
POLINOMIO DE TERCER GRADO φ = ax 3 + bx2 y + cxy 2 + dy 3
σx = 6dy + 2cx ⎫ ⎪ σy = 6ax + 2by ⎬ ⎪ τxy = −2bx − 2cy ⎭ d ≠ 0
a≠0
a=b=c=0 y
b = c = d = 0 y
x
y
b≠0
x
a = c = d = 0
x
+
y
x
POLINOMIO DE CUARTO GRADO
φ = ax 4 + bx3y + cx2y 2 + dxy 3 + ey 4 ∂ 4φ ∂ 4φ ∂4 φ ∆ φ = 4 + 2 2 2 + 4 = 24a + 8c + 24e = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y 2
3a + c + 3e
=0
⇒
c = -3(a + e)
POLINOMIO DE QUINTO GRADO
φ = ax 5 + bx 4 y + cx 3 y2 + dx 2 y3 + exy 4 + fy 5 ∆2 φ = (120a + 24e + 24c)x + (120f + 24b + 24d)y = 0 5a + e + c
= 0⎫ ⎬ 5f + b + d = 0⎭
CURVAS CARACTERISTICAS EN ELASTICIDAD PLANA ISOSTÁTICAS Curvas envolventes de las tensiones principales τ σy
( σx , τxy)
El ángulo θ que forma la dirección principal mayor con el eje x será:
Ι τxy θ
σx σx
Ι 2θ
τxy σy
σ
tg 2 θ =
(σ x , −τxy)
∂y tg θ = ∂x
2 τ xy
σ x − σy
2 ⎛ ∂y ⎞ σ x − σ y ⎛ ∂y ⎞ + −1 = 0 ⎝ ∂x ⎠ 2τ xy ⎝ ∂x ⎠
2
⎛ σx − σ y ⎞ σx − σy ∂y =− ± ⎜ ⎟ +1 2 τ xy ∂x ⎝ 2τ xy ⎠ ↓ Las dos familias de isostáticas
=
2 tg θ 1-tg
2
θ
Puntos singulares: -Punto singular, circular o isotrópo
σx = σy
τ xy = 0
- Punto neutro
σx = σy
=
τ xy = 0
En las proximidades de estos punto singulares, las isostáticas pueden tomar estas formas: TIPO INTERSECTIVO
TIPO ASINTOTICO
120 MPa
EJEMPLO:
y C B m c 0 5
60 MPa 60º x A
D
50 cm
y C
B
Isostáticas tipo I Isostáticas tipo II
x
A D 9,5º
ISOCLINAS: Lugar geométrico de los puntos en los que las tensiones principales son paralelas a una dirección prefijada, y que se denomina parámetro de la isoclina.
tg 2 θ =
2 τ xy
σ x − σy
θ
= cte ISOCLINA DE PARAMETRO θ
ISOSTATICA
Las propiedades de las isoclinas son las siguientes: Todas las isoclinas pasan por un punto isotrópo. Sólo puede pasar una isoclina por un punto que no sea isotrópo. π Una isoclina de parámetro θ es idéntica a otra de parámetro θ ± 2 Si un sólido tiene un eje de simetría, y está simétricamente cargado respecto a dicho eje, el eje de simetría es una isoclina. En un borde sobre el que no actúan tensiones tangenciales, el parámetro de una isoclina que lo corta, coincide con el del ángulo de inclinación de la tangente al borde en el punto de corte.
CURVAS DE TENSION TANGENCIAL MAXIMA: envolventes de las direcciones en las que la tensión tangencial es máxima en cada uno de sus puntos. τ σy
(σx , τxy)
τxy σx
σx
σ
τxy
2θ σy
tg 2 θ =
−
σ x − σ y 2tg θ = 2τ xy 1 - tg2 θ
4τ xy ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂y ⎞ − −1 = 0 ⎝ ∂x ⎠ σ x − σ y ⎝ ∂x ⎠ 2
(σ x , −τxy )
,,
tg θ =
∂y ∂x
2
⎛ 2 τ xy ⎞ 2 τxy ∂y = ± ⎜ ⎟ +1 ∂x σ x − σ y ⎝ σ x − σ y ⎠ ↓ dos familias
ISOCROMÁTICAS: aquellas curvas en las que la diferencia entre los valores de las tensiones principales toma un determinado valor: σ1 - σ 2 = cte
τ max =
σ1 - σ 2 2
ISOBARAS: lugar geométrico de los puntos en los que: σ1 = cte ó σ 2 = cte
σx − σy 2
2 ⎛⎜ σ x − σ y ⎞ ± + τ 2xy = cte ⎝ 2 ⎠
PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES El punto elástico en coordenadas polares:
σy τxy
Coordenadas cartesianas
y
σx σx τxy σy τr θ
r
σr
σθ
θ x
Coordenadas polares
σr : tensión radial σθ: tensión circunferencial τr θ: tensión tangencial o cortante
σr τr θ σθ
DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS POR UNIDAD DE VOLUMEN: y
Campo de desplazamientos: v , f θ
u = u (r,θ) v = v (r,θ)
u , f r
Fuerzas internas por unidad de volumen:
r
f r = f r (r,θ) f q = f q (r,θ)
θ
o
x
TENSIONES EN UN PUNTO ELASTICO
TENSOR DE TENSIONES
τ θ r τ r θ Se sigue verificando el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales:
τ r θ x
=
τ θ r
⎡ σ r ⎢τ ⎢ r θ ⎢⎣ 0
τ r θ σ θ 0
⎤ ⎥ 0 ⎥ σ z ⎥⎦ 0
Tensión plana: σz=0 Deformación plana σz=0
ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO: τ r θ + τ r θ +
∂τ r θ dr ∂r
∂τ r θ d θ ∂θ τ r θ
τ r θ
⎛ ⎝
Según r: − σ r rd θ + ⎜⎜σ r +
∂τ ∂σ r ⎞ ⎛ dr ⎟⎟ (r + dr )d θ − τ r θ dr − ⎜⎜τ r θ + r θ ∂ r ⎠ ∂θ ⎝ ∂σ
∂τ
⎞ ⎠
d θ ⎟⎟dr − 2σ θ dr
d θ 2
+ f r rd θ dr = 0
d θ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Según θ: − σ θ dr + ⎜⎜σ θ + ∂θ θ d θ ⎟⎟dr − τ r θ rd θ + ⎜⎜τ r θ + ∂r r θ dr ⎟⎟(r + dr )d θ + 2τ r θ 2 dr + f θ rd θ dr = 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO (Cont.):
∂σ r 1 ∂τr θ σ r − σ θ + + + f r = 0 r ∂r r ∂θ 1 ∂σ θ ∂τ r θ τ r θ + + 2 + f θ = 0 r ∂θ r ∂r
DEFORMACIONES:
⎛ ∂u ⎞ dr + u + dr − u − dr ⎠ ∂u P A − PA ⎝ ∂r ε r = = = ∂r PA dr ⎛ ∂v v+ dθ + rdθ − v ⎞ − rdθ ∗ ∗ ⎠ P B − PB ⎝ u 1 ∂v ∂θ εθ = = + = + PB rdθ r r ∂θ ∂v ∂u v dr − dr dθ ∂ ∂θ r r γ r θ = Φ1 + Φ 2 = + dr rdθ ∗
∗
u r
∂u ε r = ∂r 1 ∂v u εθ = + r ∂θ r ∂v 1 ∂u v γ r θ = + − ∂r r ∂θ r
ECUACIONES CONSTITUTIVAS: ε r ε θ γ rθ
σ r
-
ν
σ θ
σ z
E E σ θ ν σ r σ z E E τ rθ G
τ rz = τ θz = 0 ⎫ ⎬ γ rz = γ θz = 0⎭
Tensión plana: σ z = 0 ε z = −
ν
(σ r + σ θ )
E Deformación plana:
σ z = ν ⋅ σ r + σ θ ε z = 0
PLANTEAMIENTO DE UN PROBLEMA ELÁSTICO: r
I1
= σ r + σ θ + σ z = cte
→ σ Z = ν(σ r + σ θ )⎫ ⎬σ r + σ θ = cte T.P. → σ Z = 0 ⎭ D.P.
σ x + σ y = σ r + σ θ ∆ σ + σ = ∆(σ + σ θ ) x
y
r
DEFORMACIÓN PLANA: ∆(σ r + σ θ ) = −
1 1 − ν
TENSIÓN PLANA: →
∆ (σ r + σθ ) = − (1 + ν ) div fv
r
div f v
∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∆= + + 2 ∂ r r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂ f 1 ∂ f θ f r + div f v = r + ∂r r ∂θ r r
∆ (σ r + σθ ) = 0
f r = 0 f θ = cte.
∆ (σ r + σθ ) = 0
FUNCIÓN DE TENSIÓN O DE AIRY
φ = φ(r, θ ) = σ r =
1 ∂φ 1 + 2 r ∂r r
∂2 φ ∂θ 2
∂ 2φ σθ = 2 ∂r 1 ∂φ 1 ∂2 φ ∂ ⎛ 1 ∂φ ⎞ τ r θ = 2 − =− r ∂θ r ∂r ∂θ ∂r ⎝ r ∂θ ⎠ 2 2 2 2 ⎛ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ φ ∂φ ∂ φ ⎞ 1 1 1 1 ⎞ ⎜ 2 ⎜ ∆φ= 2 + + 2 2 + + 2 2 =0 2 ⎝ ∂r r ∂r r ∂θ ⎠ ⎝ ∂r r ∂r r ∂θ ⎠
EXPRESIÓN GENERAL DE LA FUNCIÓN DE TENSIÓN O DE AIRY:
1 + c1 + d 1 r ln r ⎞⎟ cosθ − 2 r ⎠ ∞ c1 1 1 1 ⎛ ⎞ 3 − r θ cosθ + ⎜ e1 r + f 1 + g 1 r ln r ⎟ sen θ + ∑ ⎡⎢a n r n + bn r n + 2 + cn n + d n n − 2 ⎤⎥ cos nθ + 2 r r r ⎦ ⎝ ⎠ n=2 ⎣ ∞ 1 1 + ∑ ⎡⎢en r n + f n r n + 2 + g n n + hn n − 2 ⎤⎥ sen nθ r r ⎦ n=2 ⎣
φ = a 0 ln r + b0 r 2
+ c0 r 2 ln r + d 0 r 2θ + e0θ +
a1
⎛ ⎝
r θ sen θ + ⎜ b1 r 3
DISCO GIRATORIO f r
= ρω 2 r
Ecuación de equilibrio interno:
ω
∂σ r σ r − σ θ + + fr = 0 ∂r r d dr
(r ⋅ σ r ) − σ θ + ρ ⋅ ω 2 ⋅ r 2 = 0
⎫ 1 3+ ν C C σ = + ρω 2 r 2 r 1 2 − r σ r = F ⎪⎪ r 8 ⎬⇒ 1 1 + 3ν 2 2 dF 2 2⎪ C C r σ = − − ρω 1 2 σθ = + ρω r ⎪ θ r 8 ⎭ dr
DISCO MACIZO SIN TENSIONES SOBRE SU CONTORNO σ r = σθ =
3+ν 8 3+ν 8
ρω2 ( R 2 − r 2 ) ρω2 R 2 −
1 + 3ν 8
r = 0,
( σ r )max
= (σ θ )max =
3+ν
ρω2 r 2
8
ρω 2 R 2
DISCO CON UN AGUJERO DE RADIO “ a” a
σ r =
ω (σ r ) r =a
=0
σθ =
3+ν 8 3+ν
(σ r )r =R = 0 (σ r ) max
→ r =
(σ θ )max
→ r = a
aR
8
(σ r ) max
=
(σ θ )max
=
⎛⎜ 2 2 a 2 R 2 2 ⎞ ρω R + a − 2 − r ⎝ ⎠ r 2
⎛⎜ 2 2 a 2 R 2 1 + 3ν 2 ⎞ r ρω R + a − 2 − ⎝ r 3 + ν ⎠ 2
3+ 8
3+ν
(σ θ )max > (σ r )max Si
a
→
0
(σ θ )max
ν
macizo → 2(σ θ )disco max
4
ρω2 (R − a )2 1 − ν 2 ⎞ ρω 2 ⎛ b2 + a ⎝ 3 + ν ⎠
TUBO CIRCULAR SOMETIDO A PRESION p2
φ = φ( r ) = A
ln r + B r ln r + C r 2
2
⎡ σ r = 2 2 ⎢r 21 p1 − r 22 p 2 + r 2 − r 1 ⎣
r 21 r 22 p2 − p1 r 2
+D
p1 r
r 2 r 1
1
σθ =
2
τ r θ = 0
)⎤⎥ ⎦
r 12 r 22 ⎡2 ⎤ 2 r p r p p p − − ( − ) − r 12 ⎢⎣ 1 1 2 2 r 2 2 1 ⎥⎦ 1
r 2
(
AGUJERO EN MACIZO INDEFINIDO
RODILLO
TUDO DE PARED DELGADA r 2
=∞
σ r = −σ θ = −
p2 r 21 r 2
p1 = 0 =0 σ r = −σ θ = − p2 (estado equitensional)
=0
r 1
p1
≅ r 22 ≅ r 2 r 22 − r 12 = (r 2 − r 1 ) ⋅ (r 2 + r 1 ) = 2 r e r 12
σ θ
= ( p1 − p 2 ) ⋅
σ r
= τ r θ = 0
r e
CUÑA CON CARGA EN LA PUNTA FUNCIÓN DE AIRY:
φ = φ N + φ P + φ M φ N = A r θ senθ φ P = B r θ cosθ ⎛1 φ M = C⎝ sen2θ − θ cos2α ⎞ ⎠ 2 CONDICIONES DE CONTORNO: θ=±α τ r θ = 0 σθ = 0
CAMPO TENSIONAL:
σ r =
1 ∂φ 1 + r ∂r r 2
cos θ senθ sen2θ ∂2 φ = 2A − 2B − 2C 2 2 ∂θ r r r
∂φ σθ = 2 = 0 ∂r ∂ ⎛ 1 ∂φ ⎞ = ∂r ⎝ r ∂θ ⎠
−α α
−α α
2
τ r θ = −
α
∫ (σ cos θ −τ senθ) r dθ⎫⎪ ⎪ P = ∫ (σ senθ − τ cosθ ) r dθ ⎬ ⇒ ⎪ ⎪⎭ M = ∫ τ r dθ
N =
−α
c 2
r
(cos2θ − cos2α)
r θ
r
r θ
r
2
r θ
A
=
B= C=
N 2α + sen2α -P 2α
− sen2α M
sen2α - 2α cos2α
CILINDRO SOMETIDO A DOS CARGAS A LO LARGO DE GENERATRICES OPUESTAS (PROBLEMA DE HERTZ)
σx = −
2P ⎡ cos θ1 sen 2 θ1
+
cos θ2 sen2 θ 2
1⎤ − ⎥ D⎦
π ⎢⎣ r 1 r 2 2P ⎡ cos3 θ1 cos3 θ2 1⎤ σy = − ⎢ + − ⎥ r 2 D⎦ π ⎣ r 1 2 2 2P ⎡ cos θ 2 senθ 2 cos θ1 senθ1 ⎤ τ xy = − + ⎥⎦ π ⎢⎣ r 2 r 1
Heinrich Rudolf HERTZ (1857-1894)
PLACA INDEFINIDA CON UN TALADRO CIRCULAR En puntos muy alejados del agujero (Principio de Saint-Venant):
σ y τ xy
σ x
σ x
= σ t
σ y
=0
τ xy
=0
τ σ
σθ
τrθ
r
σ r =
σθ
2θ
σr
σt
σt
+
σt
cos2θ ⎫
⎪ ⎪ σt σt τr θ σ θ = − cos2θ ⎬ 2 2 σ ⎪ τr θ τ = − σ t + sen2θ ⎪ r θ ⎭ 2 2
2
σ r =
σt
+
σt
cos2θ ⎫
⎪ ⎪ σt σt σ θ = − cos2θ ⎬ 2 2 ⎪ σt τ r θ = − + sen2θ ⎪ ⎭ 2 2
2
Del Estado I (tubo sometido a presiones) conocemos su solución: σ ⎛ σ = t ⎜1 − 2 ⎝
R 2 ⎞ r 2 ⎠
σ ⎛ σ θ = t ⎜1 + 2 ⎝
R 2 ⎞
I r
I
τ Ir θ = 0
r ⎠ 2
La solución Estado II es algo más complicada. La función de Airy de este problema se conoce y de ella pueden obtenerse las tensiones: φ = ⎝ Ar 2 + Br 4 + σ = II r
1 ∂φ r ∂r
+
1 r 2
C 2
r
+ D ⎞ ⎠
cos2θ
6C 4 D ∂2 φ ⎛ cos2θ = −⎝ 2A + 4 + 2 ⎞ 2 ∂θ r r ⎠
∂2 φ ⎛ 6C σ θ = 2 = 2A + 12Br 2 + 4 ⎞ cos2θ ∂r ⎝ r ⎠ 6C 2D ⎞ ∂ ⎛ 1 ∂φ ⎞ ⎛⎜ τ IIr θ = − = 2A + 6Br 2 − 4 − 2 ⎟ sen2 θ r ∂r ⎝ r ∂θ ⎠ ⎝ ρ ⎠ II
⎛ φ = ⎝ Ar 2 + Br 4 +
σ r = σIr + σ IIr ⎫ ⎪ I II σθ = σθ + σθ ⎬ τ r θ = τ Ir θ + τ IIr θ ⎪⎭
σ ⎛ σ = t ⎜1 − 2 ⎝
R 2 ⎞ r 2 ⎠
σ =
σ ⎛ σ Iθ = t ⎜1 + 2 ⎝
R 2 ⎞
σ IIθ =
I r
τ Ir θ = 0
r ⎠ 2
II r
1 ∂φ r ∂r
+
1 r 2
C 2
r
+ D ⎞ ⎠
cos2θ
∂2 φ 6C 4D ⎛ = −⎝ 2A + 4 + 2 ⎞ cos2θ 2 ∂θ r r ⎠
∂2 φ ⎛ 6C = 2A + 12Br 2 + 4 ⎞ cos2θ 2 ⎝ ∂r r ⎠ ∂ ⎛ 1 ∂φ ⎞ ⎛⎜ 6C 2D ⎞ τ IIr θ = − = 2A + 6Br 2 − 4 − 2 ⎟ sen2 θ ⎝ ⎠ ∂r r ∂θ ⎝ ρ ⎠ r
Las constantes A, B, C y D se determinan imponiendo las siguientes condiciones de contorno:
r = R
σ r = 0
τ r θ = 0
r =
σ r = σ t
τ r θ = 0
∞
σ t ⎛ R 2 ⎞ σ t ⎛ R 4 R 2 ⎞ σ r = ⋅ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + ⋅ ⎜⎜1 + 3 ⋅ 4 − 4 ⋅ 2 ⎟⎟ ⋅ cos(2 ⋅ θ) 2 ⎝ r ⎠ 2 ⎝ r r ⎠ σ t ⎛ R 2 ⎞ σ t ⎛ R 4 ⎞ σ θ = ⋅ ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ − ⋅ ⎜⎜1 + 3 ⋅ 4 ⎟⎟ ⋅ cos(2 ⋅ θ) 2 ⎝ r ⎠ 2 ⎝ r ⎠ σ t ⎛ R 4 R 2 ⎞ τ r θ = − ⋅ ⎜⎜1 − 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 ⎟⎟ ⋅ sen(2 ⋅ θ) 2 ⎝ r r ⎠
Para r=R:
Para
θ=
π 2
σ r = 0 σ θ = σ t − 2σ t cos2θ τ r θ = 0
:
σ r =
3σ t 2
(σ θ )
= 3σ t max
⎛⎜ R 2 R 4 ⎞ − ⎝ r 2 r 4 ⎠
σ t ⎛⎜ R 2 2+ 2 σθ = 2 ⎝ r τ r θ = 0
⎫ ⎪ ⎪ R 4 ⎞ ⎪ +3 4 ⎬ r ⎠ ⎪ ⎪ ⎪⎭
cuando
θ=
π 2
σ t ⎛ R 2 ⎞ σ t ⎛ R 4 R 2 ⎞ ⋅ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + ⋅ ⎜⎜1 + 3 ⋅ 4 − 4 ⋅ 2 ⎟⎟ ⋅ cos(2 ⋅ θ) 2 ⎝ r ⎠ 2 ⎝ r r ⎠ σ t ⎛ R 2 ⎞ σ t ⎛ R 4 ⎞ σ θ = ⋅ ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ − ⋅ ⎜⎜1 + 3 ⋅ 4 ⎟⎟ ⋅ cos(2 ⋅ θ) 2 ⎝ r ⎠ 2 ⎝ r ⎠ σ ⎛ R 4 R 2 ⎞ τ r θ = − t ⋅ ⎜⎜1 − 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 ⎟⎟ ⋅ sen(2 ⋅ θ) 2 ⎝ r r ⎠ σ r =
σ t ⎛ R 2 ⎞ σ t ⎛ R 4 ⎜1 − ⎟ + ⎜1 + 3 4 σ r = 2 ⎜⎝ r 2 ⎠⎟ 2 ⎜⎝ r
−4
R 2 ⎞
⎟ cos 2θ
r 2 ⎠⎟
σ t ⎛ R 2 ⎞ σ t ⎛ R 4 ⎞ ⎜1 + ⎟ − ⎜1 + 3 4 ⎟⎟ cos 2θ σ θ = 2 ⎜⎝ r 2 ⎠⎟ 2 ⎜⎝ r ⎠ τ r θ
σ t ⎛ R 4 = − ⎜⎜1 − 3 4 2 ⎝ r
+2
R 2 ⎞
⎛⎜ R 4 R 2 ⎞ σ r = σ t 1 + 3 4 − 4 2 ⎝ r r ⎠ 4 ⎛⎜ R ⎞ σ θ = -σ t 1+ 3 4 ⎝ r ⎠
⎟ sen 2θ
r 2 ⎠⎟
cos2θ
cos2θ
⎛⎜ R 4 R 2 ⎞ τ r θ = −σ t 1- 3 4 + 2 2 ⎝ r r ⎠
sen2θ
PLACA INDEFINIDA CON UN TALADRO SOMETIDA A TENSIONES CORTANTE EN SU CONTORNO:
σc=τ
σc=τ
