LA MAGIA DE LAS INVARIANCIAS SOBRE UN CONJUTO Sergio A. Fern´andez andez de Soto G. 7 de junio de 2017 Resumen
En este documento se presentara un sencillo juego de magia que funciona por si solo, un juego matem´ atico, aunque hay muchos libros que presentan atico, este tipo de juegos no tienen como objetivo explicar, entender y aplicar la matem´ atica tacita en ellos, no como en este documento, el cual se centrara en atica ello y en las invariancias de las mezclas sobre un paquete de cartas.
1.
El ju juego de de la las 4 ca cartas
Para este juego no es indispensable ser un mago o estar con uno para que funcione, solo es necesario una baraja de naipes y 4 cartas de todas las 52 cartas, los 4 ases, y un amigo a quien hacerle el juego, una vez con los ases en la mano solo es acomodarlos de top (parte superior de un paquete de cartas) a bottom (´ ultima ultima carta del paquete) boca abajo (es decir que no se vea que cartas son) el as de picas, diamantes, tr´eboles eboles y corazones, d´ aselos asi como estan y dale la espalda, di: Solo aselos es quiero que sigas las siguientes instrucciones: 1. Una vez con las cartas en la mano dale la vuelta a la primer carta 2. Ejecuta cualquiera de las siguientes operaciones tantas veces como quieres y en el orden que se te antoje: Corta cualquier n´ umero de cartas de top y p´asalas umero asalas a bottom. Toma las dos primeras cartas y volt´ ealas ealas como una sola y d´ejalas ejalas arriba. Si quieres, voltea todo el paquete entero, solo si quieres. 3. Voltea la primera carta, luego toma las dos primeras y las volteas como una, y despu´ d espu´es es toma las tres primeras prime ras y g´ıralas como una. En este punto t´ u dir´ dir ´as as con co n voz certe c ertera ra tu t u predicci´ pre dicci´ on on ¡La unica u ´ nica carta que esta volteada al contrario a las otras tres es el as de tr´eboles!, eboles!, si tu amigo ejecuto correctamente correctamente todas las operaciones prep´ arate para recibir tus aplausos o, en el mejor de los casos, arate voltear y verlo con la mano en la frente de estupor.(Este juego de magia fue extraido de la referencia [Invariants under actions to amaze your friends])
1
1.1. 1.1.
Obse Observ rvac acio ione ness
Una primera observaci´on o n es que claramente el truco no s´olo olo funciona con los ases, funciona con cualquier 4 cartas y, como m´ as adelante veremos detalladamente, as la carta que al final de todas las operaciones que queda en direcci´ on on contraria a las otras tres sera la que ocupe la tercera posici´ on de top a bottom(en la seccion 1 era on la de tr´ebole eb oles). s). Tambi´ en en de las tres operaciones posibles hay una de d e ellas que no es m´ as as que una simple simple combinaci´ combinaci´ on de las otras dos, pero reiteramos esto son unas observaciones on preliminares de lo que ya entraremos en detalle. As´ As´ı pues entremos en materia analizando analizan do un poco poc o lo que pasa matematicamente en este truco.
2.
Matem´ Mate m´ atica atic a detr´ de tr´ as as de d e tod t odo o
En esta secci´on on vamos a analizar el problema y demostrar unas cuantas proposiciones siciones pero para ello contextuali contextualic´ c´emonos emonos un poco, ya que el truco se basa en las on de invariancias de un conjunto bajo la acci´ de un grupo. Centremonos m´ as, muchos trucos matem´ as, aticos aticos est´an an basados en el “juego limpio”, en que parezca que todo est´a transparente pero en realidad hay en cierto medida un control de lo que est´a pasando, pa sando, un u n ejemplo eje mplo es la carta cart a llave una t´ecnica ecnica en la magia de lo m´as as elemental, elemental, esta t´ecnica ecnica se basa en tener conocimiento de la carta que esta inmediatamente arriba de una carta escogida, y por mas que se corte el paquete en dos mitades y complete el corte las dos cartas seguir´ an an estando contiguas, (el interesado en esta t´ecnica ecnica y c´ omo aplicarla desde un punto de vista mas omo m´agico agico puede pue de consultarlo con sultarlo en la referencia refer encia [cartomagia [ca rtomagia fundamental]). f undamental]). Esta t´ecnica, ecnica, matem´aticamente aticamente hablando, no es m´ as a s que la acci´ on o n sobre el on de una premiaci´ conjunto de las 52 cartas, m´ as concretamente es la acci´ as on on de el subgrupo H generado por α = (1 2 . . . 52) sobre el mazo entero de cartas, y formalmente. de un grupo G sobre un conjunto X es la elecci´on, ∀ on, ∀g ∈ G , Definici´ on: on: la acci´ on de de una permutaci´ on on φg : X −→ X tal que cumple lo siguiente: φe es la identidad: φg (x) = x, ∀x ∈ X ,
para cada g1 y g2 en G, φg ◦ φg = φ g 1
1 g2
2
Pero, a nuestro problema ¿c´ omo se aplica? Pues para un paquete cualquiera de omo n cartas no es m´ as as que asignarle un n´ umero umero del 1 al n que servir´a para denotar su on del grupo de posici´ o n de top a bottom en el paquete de las n cartas, y la acci´ on permutaciones ser´ a intercambiar las posiciones de las cartas a la hora de mezclar con la peculiaridad que las cartas contiguas nunca se van a separar (las cartas en top y bottom se consideran como contiguas). Esto lo usaremos m´ as as adelante a la hora de denotar el conjunto conjunto de las 4 cartas, as´ as´ı que como ya tenemos una forma de denotar a las cartas podemos escribirlo un poco m´ as as matem´atico atico por as´ as´ı decirlo. decir lo.
2
2.1.
An´ alisis alisis del truco truco
Consideremos el planteamiento inicial del truco con las 4 cartas que realizamos las operacione op eracioness que son permutaciones permutaciones algo “raras” (veremos que no es tan as´ as´ı) ya que aparte apar te de cambiar su posiciones tambi´en en las cambiamos de orientaci´ on, denotaremos con n´ umeros del 1 al 4 las 4 cartas de top a bottom (1=picas, 2=diamante, umeros 3=tr´ 3=tr´ebol, ebol, 4=corazo 4=corazones nes)) boca abajo cada una y cuando cuando se cambie cambie su orient orientaci´ aci´ on subrayaremos el n´ umero para saber que est´ umero a boca arriba. Tomemos un conjunto de las posibles formas de se aplica las operaciones que se puede realizar en el truco para analizarlo un poco por encima y luego hacer aseveraciones al respecto, recordemos que la carta final que estara diferente a las otras 3 ser´a justamente la 3 que es el tr´ t r´ebol: ebol: Posici´ on inicial i) Voltear el as de picas ii) Voltear dos cartas como una ii) Cortar tres cartas iv ) Voltear dos como una v ) Voltear el paquete completo vi ) Voltear la primera Voltear dos como una Voltear tres como una
1,2,3,4 1,2,3,4 2,1,3,4 4,2,1,3 2,4,1,3 3,1,4,2 3,1,4,2 1,3,4,2 1,3,4,2
Como se ten´ ten´ıa previsto previs to el tr´ebol ebo l qued´ o boca abajo y las otras tres boca arriba, el truco funcion´ o con estas decisiones.... de cisiones.... pero p ero ¿lo har´ har´ıa para cualquier otro ot ro conjunto conju nto de decisiones?, pues esto es lo interesante ya que as a s´ı pasa, pensando en la respuesta de la pregunta anterior otra duda surge, ¿con esas operaciones es posible encontrar cualquier cualquier permutaci´ permutacion o´n de las 4 cartas? Pero claramente no! En total hay 24 4! = 384 formas de acomodar 1,2,3,4 con y sin el subrayado, entonces ¿con las operaciones dadas en el truco como podr po dr´´ıamos caracterizar los arreglos que son y no son posibles? Y ¿la operaci´on on final en que afecta?, empieza lo bueno. Pensemos en que una carta boca arriba y ella misma boca abajo son objetos diferentes diferentes de un mismo conjunto as´ as´ı que tenemos un conjunto conjunto de ocho elementos elementos y el truco no ser´ a m´as a s que la acci´on on del subgrupo H de S 8 generado por α: cortar una carta, β : voltear dos como una y φ : voltear todo el paquete, usando un poco de notacion seria: α= abcd→ bcda β = abcd→ bacd
φ= abcd→dcba
En realidad el truco dice cortar por donde se quiera pero cortar una carta es α, cortar dos es α 2 Y cortar 3 cartas ser´ a α 3 e incluso φ sobra ya que β α2 β = φ as´ a s´ı que s´olo olo basta con α y β ; por tanto H =α, β . Hay un detalle importante y es que H act´ ua sobre el paquete teniendo la de ua picas volteadas en top respecto resp ecto a las otras y el tr´ebol ebol en la posici´ p osici´ on 3 que es la carta predicci´on. on. Esto hay que tenerlo en cuenta a la hora de ver la acci´ on on de H sobre el conjunto.
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Observando Observando el caso particular que expusimos al principio podemos po demos hacer dos afirmaciones, la primera, que siempre hay una carta orientada diferente a las otras tres y la segunda que el tr´ebol ebol est´ a 2 cartas separado de la carta orientada diferente(por lo tanto ella nunca sera la carta mal orientada, al menos haste el final), veamos que efectivamente esto es cierto con las siguientes propociciones. Propo Pro posi sici´ ci´ on on 1: Sea C 0 el conjunto de todos los arreglos posibles con una carta mal orientada respecto a las otras tres, entonces C 0 es invariante bajo la acci´ de H . on de
on de las cartas en cualquier arreon Prueba: Notemos que α solo cambia de posici´ glo de C 0 entonces es f´ acil acil ver que si tengo una carta mal orientada y aplico α seguir´a habiendo una sola carta mal orientada, por tanto α deja invariante a C 0 . Ahora denotemos subrayando a la carta con diferente orientacion (no importa si esta boca a bajo o boca arriba) y apliquemos β de donde nos salen 4 casos simplificados: β (abcd) = bacd, β (abcd) = bacd, β (abcd) = bacd, β (abcd) = bacd
Donde podemos ver que β deja deja invariante a C 0 , as´ı que qu e α y β se se pueden aplicar cuantas veces queramos y en el orden que se desee. umero umer o 3 (tr´ebol ebo l en e n el Propo Pro posi sici´ ci´ on on 2: Sea C 1 el conjunto de arreglos tal que el n´ truco) esta siempre a dos posiciones de la orientada diferente, entonces C 1 es invariante bajo la acci´ on de H . Prueba: Sea p ∈ C 1 entonces denotemos la carta orientada diferente subrayan-
dola (no importa si es boca arriba o boca abajo, solo que tenga orientacion distinta), nos saldran estos 4 casos para p: ab3c, cab3, 3cab, b3ca
La siguiente tabla muestra que pasa a cada uno de los casos aplicandole α y β . p ab3c cab3 3cab b3ca
α( p) cab3 3cab b3ca ab 3 c
β ( p) ba3c acb3 c3ab 3bca
En cada caso la propiedad de C 1 se conserva, asi que C 1 queda invariante bajo α y β . El ultimo u ´ ltimo paso de el truco es voltear una, dos(como una) y finalmente tres(como una), pero si somos perspicaces nos daremos cuenta que la ultima u´ltima operaci´on on esta cambiando la orientaci´ on de la primer y tercer carta dejando a la segunda y la ultima on quietas. Con lo que podemos proceder con la siguiente proposici´on. on.
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eboles eboles dos poPropo Pro posi sici´ ci´ on on 3: Si el paquete de cartas inicia con la carta de tr´ siciones lejos de una carta en direcci´ on on opuesta a las otras 3 entonces entonces despu´ despu´es es de la operaci´on on final la carta de tr´eboles eboles ser´ a la que estar´a en orientaci´on on contraria(Se contraria(Se hace referencia a la carta de tr´eboles eboles ya que esa es la interesada interesada desde un principio en el truco). originalmente empieza con la carta de tr´eboles eboles dos Prueba: Como el paquete originalmente posiciones lejos de la que esta en direcci´ on contraria solo tenemos que considerar on los casos (i) que la carta 1 ´o 3 es la de tr´ eboles, eboles, o (ii) que la carta de tr´eboles eboles esta en la posici´on o n 2 ´o 4. En el caso (1) la operaci´on on final le dar´a vuelta a la carta de tr´eboles eboles junto con la de direcci´ on contraria dejando a esta ultima en la misma on direcci´on on que las dos cartas que no se voltearon y as´ as´ı la de tr´eboles eboles ser´ a la que tenga orientaci´ on on distinta. En el caso (ii) la operaci´on on le dar´a vuelta a las cartas que no son el tr´ebol eb ol dej´ dejandolas a´ndolas en la orientaci´on on de la carta en direcci´ on on contraria contraria haciendo que al final sea el tr´ebol ebol la que termine mirando a un lado contraria a las otras tres. t res.
3.
Conc Conclu lusi sion ones es
Muchos juegos y trucos de magia, particularmente este tipo que tienen cartas usan un conjunto de procedimientos que hace que el espectador crea que es libre en la escogencia de ellos, cuando en realidad el resultado de esas acciones son todas equivalentes para el prop´ osito del mago, y aunque un poco simple el truco es intereosito sante ver los resultados que pueden sacarse a partir de ellos.
Referencias (1) (2) (3) (4) (4) (5)
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