Cap Cap´ıtul ıtulo o 2: Induc Inducci ci´ ´ on on y recursi´on on Clase 1: El principio de Inducci´on on Matem´ atica atica Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barcel´o
Motivaci´ on on
Es com´ un un decir en matem´ atica que una propiedad es cierta de atica todos los n´ umeros umeros naturales: ◮
Para todo entero positivo n, n!
n
≤n .
La inducci´ on es una t´ on ecnica ecnica muy usual en matem´ aticas aticas que sirve para probar este tipo de resultados: ◮
◮
Sus or or´´ıgenes se pueden remontar hasta Euclides y varios matem´ aticos persas; aticos los primeros que la formalizaron fueron Fermat y Maurolico, en el Siglo XVI.
Principio de inducci´on
Principio de inducci´ on: Una propiedad P es cierta de todos los n´ umeros naturales si: ◮
P (1) es cierto, y
◮
para todo n´ umero natural n, si P (n) es cierto entonces P (n + 1) es cierto.
Principio de inducci´on
Principio de inducci´ on: Una propiedad P es cierta de todos los n´ umeros naturales si: ◮
P (1) es cierto, y
◮
para todo n´ umero natural n, si P (n) es cierto entonces P (n + 1) es cierto.
O m´ as formalmente: P (1)
∧ ∀k (P (k ) → P (k + 1)) ⇒ ∀nP (n)
Ilustraci´ on del principio
Si el primer domin´ o cae, y si cae un domin´ o entonces cae el siguiente, entonces todos los dominos caen.
Ejemplo: Form´ ulas de suma
Ejemplo: Utilice inducci´ on para probar que la suma de los n primeros enteros positivos es n(n2+1) .
Ejemplo: Form´ ulas de suma
Ejemplo: Utilice inducci´ on para probar que la suma de los n primeros enteros positivos es n(n2+1) . Primero probamos que la propiedad se cumple para 1 (esto usualmente se llama caso base). ◮
Funciona en este caso pues 1 =
1(1+1) 2 .
Ejemplo: F´ ormulas de suma Luego probamos el caso inductivo: Si la propiedad se cumple en un n´ umero n arbitrario (hip´otesis inductiva) entonces tambi´en se cumple en n + 1. ◮
Sea n un entero positivo arbitrario. Por hip´ otesis inductiva: 1+2+
◮
··· + n
=
n(n + 1)
2
Pero entonces, 1+2+
··· + n + (n + 1)
= = =
n(n + 1)
+ (n + 1)
2 n(n + 1) + 2(n + 1) 2 (n + 1)(n + 2) 2
Deficiencias de la inducci´on
Observaci´ on: A pesar de que la inducci´ on es una excelente t´ecnica para demostrar este tipo de propiedades, tiene el problema de que no nos dice en absoluto c´ omo llegar a la f´ormula que se quiere probar.
Deficiencias de la inducci´on
Observaci´ on: A pesar de que la inducci´ on es una excelente t´ecnica para demostrar este tipo de propiedades, tiene el problema de que no nos dice en absoluto c´ omo llegar a la f´ormula que se quiere probar. Ejercicio: Conjeture una f´ ormula que defina la suma de los primeros n n´umeros impares, donde n es un entero positivo, y demuestre por inducci´ on que esta f´ ormula es correcta.
Ejemplos m´ as complejos de inducci´on
La inducci´ on no s´ olo funciona para propiedades de los enteros positivos. Tambi´ en funciona si queremos probar algo para cada entero b .
≥
Ejemplos m´ as complejos de inducci´on
La inducci´ on no s´ olo funciona para propiedades de los enteros positivos. Tambi´ en funciona si queremos probar algo para cada entero b .
≥
Ejercicio: Demuestre que para todo entero no negativo n, si r = 1 entonces: n
j =0
ar n+1 a ar = r 1 j
−
−
El caso base es trivial. A continuaci´on probamos el caso inductivo.
Ejemplos m´ as complejos de inducci´on
Caso inductivo: Asuma por hip´ otesis inductiva que para un entero n ar n+1 −a j no negativo arbitrario n se tiene que j =0 ar = r −1 . Luego,
n+1 j =0
j
ar =
Pero, claramente:
ar n+1 −a r −1
+ ar n+1 .
n+1 ar n+1 a ar a n+1 + ar = r 1 r 1
−
−
− − ar +2 − ar +1 − r − 1 n
n
ar n+2 a = . r 1
Esto termina nuestra hip´ otesis inductiva, y tambi´en nuestra demostraci´ on.
−
−
Desigualdades e inducci´on
Mediante la inducci´ on tambi´en podemos demostrar desigualdades. Ejercicio: Los n´ umeros arm´ onicos H n , n = 1, 2, 3, . . . , se definen como 1 1 H n = 1 + + 2 n Demuestre que para todo entero no negativo n, H 2n 1 + n2 .
···
≥
S´olo probaremos a continuaci´ on el caso inductivo.
Desigualdades e inducci´on
Caso inductivo: Asuma por hip´ otesis inductiva que para un n´ umero entero no negativo arbitrario n se tiene que H 2n 1 + n2 . Note que H 2n+1 = H 2n +
1
2n +1
+
··· + 2 1
n+1
.
n
Por hip´ otesis inductiva, H 2n
≥ 1 + 2. ≥ 2 · 21
= 12 . ··· + 2 1 Concluimos que H 2 ≥ 1 + 2 + 12 = 1 + +1 2 . Adem´ as,
1
≥
2n +1
+
n+1
n+1
n
n
n+1
n
Usos creativos de la inducci´on
Ejemplo: Un n´ umero impar de gente se para en un parque de manera que la distancia entre ellos es mutuamente distinta. Cada persona lanza una torta a la persona que tiene m´ as cerca. Demuestre usando inducci´ on que siempre existe una persona a la que no le llega una torta en la cara.
Usos creativos de la inducci´on
Ejemplo: Un n´ umero impar de gente se para en un parque de manera que la distancia entre ellos es mutuamente distinta. Cada persona lanza una torta a la persona que tiene m´ as cerca. Demuestre usando inducci´ on que siempre existe una persona a la que no le llega una torta en la cara. Demostraremos la siguiente proposici´ on para cada entero n > 0: Existe una persona a la que no le llega la torta cuando el n´umero de personas que se para en el parque es 2n + 1. ¿Por qu´e esto es suficiente?
Usos creativos de la inducci´on
Ejemplo: Un n´ umero impar de gente se para en un parque de manera que la distancia entre ellos es mutuamente distinta. Cada persona lanza una torta a la persona que tiene m´ as cerca. Demuestre usando inducci´ on que siempre existe una persona a la que no le llega una torta en la cara. Demostraremos la siguiente proposici´ on para cada entero n > 0: Existe una persona a la que no le llega la torta cuando el n´umero de personas que se para en el parque es 2n + 1. ¿Por qu´e esto es suficiente? Ejercicio: Demuestre el caso base.
Usos creativos de la inducci´on Caso inductivo: Asuma por hip´ otesis inductiva que alguien se salva cuando el n´ umero de personas es 2n + 1. Asuma que hay 2n + 3 personas participando. Sean A y B las personas que est´ an a la m´ınima mutua distancia. (Entre todo otro par de personas hay mayor distancia). Por tanto, A y B se lanzan la torta mutuamente. Si alguien m´ as le lanza la torta a A o B , entonces el m´aximo de tortas lanzadas entre el resto de los participantes es 2n, y por tanto, hay alguien al que no le llega torta. Asuma entonces, que la u ´nica torta que recibe A es la de B , y viceversa. El resto del grupo incluye a 2n + 1 personas a distancias mutuas diferentes. Por hip´ otesis inductiva a alguien no le llega la torta en este grupo.
Ejercicios Ejercicio: Demuestre que si h > 1, entonces para todo entero no negativo n se tiene que 1 + nh (1 + h)n .
− ≤
Ejercicio: n √ 1 Demuestre que para todo entero positivo n se tiene que > 2( n + 1 1). ℓ=1 ℓ
√
−
Ejercicio: Sean a1 , a2 , . . . , an n´ umeros reales positivos. La media aritm´etica se define como (a1 + a2 +
··· + a )/n n
mientras que la media geom´etrica se define como (a1 a2 Demuestre que A
≥ G .
··· a ) n
1 n
