P Dbblzñél πz.Mígqñ ll,yíóllg.Lbóbll yáq,ylbbllg.Lqbíl,yl ñqbbllól gáqqíly. Mló q, q, qég qég ,yzóy á, á,yq y qzó zó 3 31/7 1/7,,22/7 22/7.. Qé Qé ñ ñ y y b b ó ó óggóqíbíl—óll—.Tqlíbll,ll gg π.¿Pqé—géí—gélíl líl ñé?Nbíqlbígl ílñyqgbél líy. Vñé,álgblzll,góg ,gógglñ glñ..Llgll,yqll í— í—lólll lólll l l—l —l lbl lbllg lg lq lqqá.¡Qé bl,b,lMEólí!Tbíl yq yqb bll lll l lq lq. . Llg qlzábll qlzábll “”—lzb “”—lzblb10, lb10,l llb lbl—. l—.P P lblíbéágll“lgl”. Cgéólgíá“l”qllg b10,óqíl,lle ygl2.71828,qlygl2.71828,qlzb z b á á“ “ ”. ”. ¿P ¿Pqé qé ñ ñ ?Tqllñ,l áll,l. M,éq πí,ylóllóbl,bq ly. ly.Mllóñá Mllóñá [ 15
16
†VéP
Bk,Historia de π(Mé, Lb-cnca, 2006), ló.
e :historiadeunnúmero
qlby,yqlólálíbl, i,lélb“g”,líz –1.Aí,íbllál. Lπ,q é bé q láz.Tlz glb Historia de π,PBk,† llgól,lzly.Ale l b.Nólá,q álláll, qlllá“”.Hé,ílbbl e bllBk.Eqllb ll. Mble lbll á.Hzl álí,lgy lllé.Tbél llgllglléó.Élyñbgá lgqñlgll e, lgllzllb.Sb ,qlgóíg—líylblgílyl—qá llól e x, bllá. Ellq llbáll.Pl,lqló y =e x gl,l yíllblól d (lx)/dx=1/x, lgí.Sól,lgló,bll.S íqélg:l óld (e x)/dx =e x—yáá—qgllól y =bx l bx y lgl l blll lgl1(ólé4).Plóx +i x,q á , lz l ó á x lzqóá lá.Alllgíl lból,llá, bl1750VzR,qb llbl
prefacio
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géá,lll b ábl. E — zllb—líl12y zlé7. Elg,qól:l e lálgllóláll(yéllólglégEwWglbJN bllg,bl1618).¿Có? Ubllóql e ólóllé.Alg—b qéá—qblq, llC nlñé lr t ñ,qnz,ll S , blólS =C( 1+r /n)nt , lí. Elí, C =1, r =1y t =1,2.718.Eb—ábólqllóág—bblázl glxvii,llllí. Aí,lgle ylólb bll:lql l.V,bg,qbl—l áblébly=1/x —l,lqlg e b.El lále lb“l”llg qqlbLEll lglxviiizlóllgláll. Hlzqby lyóbl,bl ó,llb.Lzlglxvii á,yí,lbl,llb lybblllz.Lb blllíbíl,lqlbál, lb ló l, l q íl qélqél.E ólzólílgl lóláll,qólgllé,yqg bllláIglgléNw.
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e :historiadeunnúmero
Clgqñáll ló,ylg l.Hyz, llléyáqñ .Tból, ,y,zl lóó,lóq lg,lz,lg .Llábg .Elb láñlyb álólyl.Elblló lgí.Eqálb. Vg,Dl,y lblyygqblb,y Eylbll.Slllb bíl. Skk,Ill 7,1993
1.JN,1614 Considerando que no hay nada más problemático en la práctica de la matemática, ni nada que moleste y obstaculice más los cálculos, que la multiplicación, división, extracción de raíces cuadradas y cúbicas de grandes números […]comencé por consiguiente a considerar en mi mente con qué arte rápido y defnitivo 1.C podía remover esos obstáculos 1 GgA.Gb,
“N I JohnNapier, Lg”,E. Mirifci logarithmorum canonis descriptio(1614) M.Hbg, .,Handbook o
Rzlláb bálíql óllg.Yílg b.SbJN. 2 J,lAblNy,JBwll,ó1550(l)lll l,lllM,Ebg,E.L llñ.Alñ lUS.Aw,ólgó.Déílllól 1571yóElzbSlg,q.Tl 1579,óAgCl,q zá.Elg,Rb,í állbl.Dél Abl1608,JóM,ól llaird lll.3 LNílí á.Slbllgó,á,llg.Cyl,bló A Plaine Discovery o the whole Revelation o Saint John(1593),lb llbglglól,ql lyglyEJVI(qá ílyJIIgl)gy l“,”. 4Tbé qlíllí1688y1700.Ellbylzó(zll ll),lqzNq [ 19
the Napier Tercentenary Celebration, .9.
2.Elb N, NyN; lgí .Vé Gb,“N I Lg”,.3. 3.Lglgí l g J:MkN, Memoirs o John Napier o Merchiston.
4.P.HBw, “JN M”, CgllGl K,., Napier Tercentenary Memorial Volume,
.42.
20
e :historiadeunnúmero
b—lélqq—bg l. LN,bg,blllgó.Clyg,óbyllzll. E1579óllálllll gbólb.Móá él,lgl qlyFlIIEñbIgl.Pyól ógqílbg,llllAqíl Slñ.Igózllí qí“lll lqál”, z“bóll”qí“ól”ybé“gblg,bzygñl 5. Ibid., .47. g”,llgíl. 5 Nbllgáq. Cblb, Ng.Pblí qll,qly .Dl,Nó llqíyí g.ANqíllél zí, lgólq Nlblllb.Alígl ólléN. Nlbígbblólqláqby .DéNíq bb.Aóqgllg ílg.Ll bó,lóq lllgll.Sqll,Nbí lllí.Alll, líq;llbl,lgll, 6. Ibid.,.45. lóqíll,lílbl.6 T,lylñlg N,bíá.Slb Nlggl,lb gá,ábqlóñll:llg. Elglxviyllxviiól ílá.Lggí,líyl
john napier, 1614
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í,lblgg,bálól.ElléCélzóó,lgllólgl.Lgó lglb1521MgllyElgó lólqílóól .E1569GMblólb l,qí llgó.EIlGllGllblláyAlJKllb lyll,lblí zlgélgg.Ell lbézy,zlíóé.Léqíqlbg líz.Nó. NgóNzólqbílló.Élgíyblzlól A∙B =1/2[( A –B )–( A +B )]. Eól,yl A∙B y A∙B, lgl prosthaphaereticas,llbggq gb“óyó”.Syl q l gé A∙B llll gé,( A –B )y( A +B ). Cáályqlly,ólóó éál.Fbbllq Nbl. Ug,á,ll progresión geométrica,ózóé .Pl,ló1,2,4,8,16,…gó gélzó2.Szó q,,z1,lélgó1, q, q2, q3,yí(óql n-éé qn–1). MléN,bíbq lóllégógéyl exponentesílzó.EláláMlSl(1487-1567),lb Arithmetica integra (1544),lólólg:ll élqlgó1, q, q2, q3,…,llá lqbé sumadol. 7 Pl,q2∙q3=(q∙q)∙(q∙q∙q)=q∙q∙q∙q∙q =q5,lqí b l2 y3. Dl,
7.VéD EgS, “TLw E Wk S Cy”, Napier Tercentenary Memorial Volume,
.81.
22
8.E y gbí lg áy lglxiv, ó bl áglé JWll(16161703)yá gNw, q1676 góló a – ny am/n.VéFl C, A History o Mathematical Notations,l.1, Elementary Mathematics,.
354-356.
Taa1.1. P2. n
2n
–3 –2 -1 1/8 1/4 1/2
e :historiadeunnúmero
lqégógéé qlrestar : q 5/ q 3=(q q q q q )/( q q q )= qq = q2 =q5–3. T l l gl qmqn =qm +n y qm/qn =qm –n. Abl,bg,ll yqll,q3/q5;gl q3–5 =q –2,óq.P l,lq – n=1/qn,q q3–5 =q –2 =1/q2,llllblq3q5.8(Nóqló lgl qm/qn =qm –n, m =nbbé q0=1.) C, gógéb:…, q –3, q –2, q –1, q0=1, q1, q2, q3.Vqélzó q,yql…,–3,–2,–1,0,1,2,3,… progresión aritmética (góél dierenciaé,gl1).Elóllállg;qSlí ólll,lN gl. Slízé:b cualquier y (qálllálb), la multiplicación y la división de números sería equivalente a la suma y la resta de sus exponentes.Aá,lln-é(,lll ín)íqlsumar ln— ,llln —ylllízn-éíqll n.Eí,óéílqíl, y g l l l áll é. Illlg bl2.Lbl1.1l2,z n=–3ylz n=12.Sgqll32128.Mlbll 32y128,yqé5y7,.S12.Al,qéll12;él4096,l.Cgl,g qq45.Hlll 4,q2,yzlmultiplicamos5b10.Dé bly10,yq 1024.Y,,45=(22)5=210=1024. 0 1
1 2
2 4
3 4 5 8 16 32
6 64
7 128
8 256
9 512
10 1 024
11 12 2 048 4 096
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23
P,qlbll l; léíáól lq, . P qbllll lbl.P:,lgbqñlqzzbl . L , ( l, ), í l 9 léN, lqéláóqlg.¿Pbqéqñ?Cl, lbdemasiadoqñ,íl,llá.P q1,,íózbl.Tñlbl, Nó0.9999999,1–10 –7. ¿Pqélól?L lóNzll.Fgl,,bílz lñléN,ébí ,,.L decimales—lóól q1—bíE10ylgííóll.Pz ,Nzllqyklól:ól b, .Clb lbllállgé,gólálzgíl íl10000000107.Pl,l107-é,blá1,g1–10 70.9999999.É,, lzó(“ó”,lb)qlzóNbl. Yílll,,légó.Ég bblqy í,Nlllólll, ñ(1594-1614)llb.Sbllíól101:zb107=10000000ygí 107(1–107)=9999999, é 107(1–107)2 =9999998, y í 107(1–107)100 =9999900 (g l 0.0004950);blé 107-é.Ról,zzá107,z-
9.Vél8.
10.Pl í SS (S, 1548-1620).
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óllyllbl gl,9999999:10000000=0.999991–10 5.Eg bl í y , l l l l 107(1–105)509995001.Sgíbl, lzó 9995001:10000000;l l bl10 7 ×0.999520,9900473.Fl,llblNóy l, lz l zó 9900473:10000000, y0.99;llló9900473× 0.9968,y4998609—llgl. Hy,,lg; lllllb .PNqállól lyláz.Uózll.Elb:
11.C D EgS, A Source Book in Mathematics,.150.
12.O l llg N lé1.
Clgó[llgbl],ló 10000000.00000, l l g bl, y 9995001.222927,lll,blá;lllllóál100009995, qé;llé, q,á9900473.57808. 11
Uzll,Nlbbzó.Alllól “l”áólélogaritmo, lb“zó”y“”.Eó, gq(bl) N =107(1–10 –7)L , lL llg() N .LólgqN ló(LEl1728): N =bL ,b1,L llg(bb)N .Aí,lNL = 0N = 107(,NLg(107)=0),ql L = 0N = 1(,lgb(1)=0).Aá,lglbáólg—l, qllggllllg l—állóN.Yl, 1–107q1,llgN disminuye , q lg ( b10).Sbg,l, ylN qlbígl107b.Sélbqlll,óí bályl.12
john napier, 1614
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Má, l í.Yll,Nó lbq,glé,í lblllgyqáílglgóll π.E,e, llí(1+1/n)nn .13 13.El,Nbl 1/e ,llí(1–1/n)n→ ∞. C,ólg qllóN =107(1–10 –7)L .S N yL 107(lqóll bl),ló 7 * N * =[(1–10 –7)10 ]L , N * =N /107yL * =L /107. 7 7 C(1–10 –7)10 =(1–1/107)10 y1/e , llgálg b1/e .Sbg,lóq Nbób(lle )ó. C,élóéb, llél óllg“”(b10).