David Alexander Duran Osorio Solución de problemas empleado ecuaciones
El arte de plantear ecuaciones:
Del excelente libro, álgebra recreativa del célebre pedagogo ruso Yakov Perelman, podemos decir que: el idioma del álgebra es la l a ecuación. «Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico», escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal. Partamos del siguiente ejemplo para ilustrar como debe efectuarse la traducción de un problema verbal, escrito en el lenguaje corriente, al lenguaje algebraico o en otras palabras, traducir el problema a ecuaciones. ecuaciones.
Ejemplo 1: Un comerciante tenía cierta cantidad de euros. En la mañana gasta 20 euros, y luego duplicó lo que le quedó. Si ahora ahora el comerciante tiene 1080 1080 euros. ¿Cuánto dinero tenía el comerciante al al inicio? En la siguiente tabla, se ilustra el proceso de traducción de este problema escrito en el español corriente, al lenguaje algebraico. Problema en el lenguaje ordinario Tenía cierta cantidad Gastó 20 euros Duplico lo que le quedó Ahora tiene 1080 euros
Problema en el lenguaje algebraico
Si resolvemos la ecuación a la cual nos condujo la traducción del problema, encontraremos el valor de la incógnita, que en el proceso de traducción representa la cantidad inicial de euros que tenía el comerciante.
Por lo tanto, el comerciante tenía inicialmente 560 euros. En lo sucesivo, vamos a prescindir de la elaboración de la tabla para efectuar lo que hemos llamado proceso de traducción del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico. Bastará en adelante, con definir la(s) incógnitas a partir de la información del problema, y posterior mente plantear la ecuación(es). Veamos como seria esto en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2: Ana compro un sombrero, un bolso y una cartera. El bolso costo el triple que el sombrero, y la cartera 10 euros más que el sombrero. Si en total Ana pago 60 euros por todo, ¿cuánto costo cada cosa? En este caso, conviene asignarle al precio del sombrero alguna letra como incógnita, ya que los precios de la cartera y el bolso están relacionados en la información con el precio del sombrero. Podemos entonces como se dijo antes, efectuar la traducción del problema sin utilizar la tabla como sigue:
Finalmente, como Ana pagó por todo 60 euros, podemos formular la ecuación:
Nota: Los paréntesis aquí no son necesarios, solo se usan para enfatizar el precio de cada artículo de manera independiente.
Resolviendo esta ecuación, obtenemos el valor de
es decir, el precio del sombrero, y con este
valor hallamos el valor de cada artículo.
Por lo tanto, el sombrero costo 10 euros, como el bolso costo el triple que el sombrero, debió costar 30 euros, finalmente dado que la cartera costó 10 euros más que el sombrero, debió costar 20 euros. Podemos verificar que en efecto la suma de los tres precios es 60 euros.
Dibujar es muy útil en ocasiones, de hecho algunos expertos en resolver problemas recomiendan hacer un dibujo o diagrama de los problemas siempre que sea posible. Ejemplo 3: La base de un rectángulo mide el doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro es de 30 unidades? Podemos graficar el problema de la siguiente manera, asignándole a la altura cierta medida por consiguiente según la información del problema, la base debe medir
y
Como el perímetro es la suma de las longitudes de los lados del rectángulo, podemos escribir la ecuación:
Por tanto, como es la altura hemos encontrado que mide 6 unidades, y dado que la base mide el doble, debe medir entonces 12 unidades.
Ejemplo 4: En el siguiente ejemplo la ecuación que nos resulta no es lineal o de primer grado como en los casos anteriores, veamos: La diagonal de un rectángulo mide 13 unidades. Si la base mide 7 unidades más que la altura. Encuentre las dimensiones del rectángulo. Asignando de nuevo la incógnita
a la altura del rectángulo, y por lo tanto a la base,
podemos ilustrar el problema así:
Si nos fijamos bien, tenemos que la diagonal divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos, y podemos establecer una ecuación usando el teorema de Pitágoras de la siguiente manera:
Pero por el contexto de nuestro problema, representa una longitud, y como no existen longitudes negativas, descartamos la solución negativa de la ecuación, y nos queda que la altura del rectángulo es de 5 unidades, por lo tanto como la base mide 7 unidades más, tenemos que debe medir 12 unidades.
Ejemplo 5: Una caja tiene cinco centímetros de ancho y su altura es cinco centímetros más que el largo. Si se sabe que el volumen es de 1500 unidades cubicas, encuentre el largo y alto de la caja. Teniendo en cuenta los datos del problema podemos representar la situación con el siguiente dibujo:
Ahora, sabemos que el volumen de esta caja (un paralelepípedo) está dado por la multiplicación de su ancho, largo y alto, y como el problema nos dice que ese volumen es de 1500 unidades cubicas, podemos escribir la ecuación.
Por el mismo razonamiento del problema anterior, descartamos la solución negativa, de modo que
es el largo de la caja y en consecuencia el alto como es cinco unidades mayor es de
20 unidades.
Ejemplo 6:
Un vendedor de vino, gastó 800 dólares en algunas botellas. Si cada botella hubiera costado 4 dólares más el vendedor habría obtenido 10 botellas menos por los 800 dólares. ¿Cuántas botellas se compraron? Solución Si llamamos
al número de botellas compradas, entonces cada botella debió costar:
Si se hubieran comprado a cuatro dólares más, el nuevo precio por botella seria:
Ahora, sabemos que: Entonces:
( ) ( )
Resolviendo, obtenemos la ecuación cuadrática en forma general
Que al solucionar, nos arroja las soluciones:
La solución que se acomoda al contexto del problema es 50 botellas de vino. Ejemplo7:
De un pedazo cuadrado de cartulina, se recorta un cuadrado de tres pulgadas de lado en cada esquina, y doblando los lados, se forma una caja de 48 pulgadas cubicas de volumen. Determine la longitud del lado del cuadrado original de cartulina. Solución: En este caso, también es útil hacer un dibujo de la situación donde se evidencien los datos, y se señale la incógnita o dato desconocido. Si x es la medida del lado del cuadrado original, después de recortar el cuadrado de tres pulgadas de lado en cada esquina, el esquema seria el siguiente:
De tal manera, que si el volumen es 48 pulgadas cubicas, de acuerdo con la fórmula para el cálculo del volumen de un paralelepípedo (una caja en este caso), podemos escribir la ecuación:
Evidentemente la respuesta no tiene sentido, puesto que si esta fuera la longitud del lado del cuadrado original, sería imposible llevar a cabo el corte del cuadrado 3 pulgadas de lado en cada esquina. Ejemplo 8:
Un poste de luz de 7 metros se rompe a cierta altura del suelo, y al doblarse, la punta libre del trozo roto cae a 3 metros de la base del poste. ¿A qué altura se rompió? Solución Considerando
a la altura a la cual se rompió el poste, tenemos que el resto del poste medirá , y
sabiendo que la parte libre quedo a 3 metros de distancia de la base. Podemos hacer el siguiente dibujo del problema.
Utilizando el teorema de Pitágoras, podemos obtener una ecuación que nos permita hallar el valor de x “
Resolvemos para encontrar la altura a la cual se rompió el poste.
”
Ejemplo 9:
¿Cuántos litros de un líquido que contiene 74% de alcohol se deben mezclar con 5 litros de otro líquido que contiene 90% de alcohol para obtener una mezcla con 84% de alcohol? Llamando w al número de litros de la solución de 74% de alcohol que debe utilizarse. “
”
Entonces:
Con estos datos escritos algebraicamente, podemos plantear la siguiente ecuación.
Que al resolverse da como solución:
Por tanto, los 5 litros del líquido que contiene 90% de alcohol, deben mezclarse con 3 litros del líquido que contiene 74% de alcohol para obtener una mezcla con una concentración de 84% de alcohol
