Novedades Educativas / Nº 52 / Pág.24
Delia Lerner EL APRENDIZAJE Y LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA. PLANTEOS ACTUALES. Cuando pena!a en el "#"ulo de la $on%eren$ia& 'e pre(un"a!a) *plan"eo a$"uale dede +u, pun"o de -i"a -i"a *Dede la perpe$"i-a de la la in-e"i(a$i/n did0$"i$a did0$"i$a *Dede nue"ra iluione did0$"i$a *Dede la perpe$"i-a de la realidad e$olar de la ene1an2a 3 el aprendi2a4e de la 'a"e'0"i$a To'ando To'ando en $uen"a la did0$"i$a de la 'a"e'0"i$a& induda!le'en"e el 'odelo a$"ual do'inan"e& el %a$"or $o'5n a lo 'odelo +ue 6o3 e plan"ean e el "o'ar $o'o e4e een$ial la produ$$i/n del $ono$i'ien"o por par"e de lo alu'no. Dede el pun"o de -i"a de la realidad e$olar la i"ua$i/n e o"ra7 $oe8i"en "odo lo 'odelo did0$"i$o poi!le& por upue"o en propor$ione di%eren"e7 3 ee 'odelo +ue en "eor#a did0$"i$a e predo'#na"e& e(ura'en"e e"0 !a"an"e le4o de erlo er lo en la pr0$"i$a del aula. 9uiiera en"on$e de"ener'e en lo 'odelo did0$"i$o +ue $oe8i"en en el aula. Para P ara de%inirlo 6a3 +ue "o'ar en $uen"a lo een$ial e en$ial de la i"ua$i/n did0$"i$a& el "ri0n(ulo +ue $on%i(ura el $on4un"o de rela$ione en"re "re polo) lo alu'no& el o!4e"o de $ono$i'ien"o :el a!er& el $on"enido;& el 'ae"ro 3 la a$$ione +ue ,l reali2a para (enerar in"era$$ione en"re el u4e"o 3 el o!4e"o de $ono$i'ien"o. Roland C6arna3 plan"ea "re 'odelo did0$"i$o did0$"i$o een$iale "o'ando en en $uen"a $/'o e $on$i!e $ada uno de e"o "re "r e polo del "ri0n(ulo did0$"i$o. Un pri'er 'odelo +ue "odo $ono$e'o :3a +ue e $ai $on e(uridad el 'odelo del +ue 6e'o par"i$ipado $o'o alu'no; e el +ue ,l lla'a modelo normativo & $en"rado en el $on"enido& donde la %un$i/n del 'ae"ro la no$ione& in"rodu$irla& pro-eer e4e'plo de lo +ue e e"0 ene1ando7 'ien"ra +ue la %un$i/n del alu'no e !0i$a'en"e e$u$6ar la e8pli$a$ione del 'ae"ro& e"ar a"en"o 3 lue(o repe"ir lo pro$edi'ien"o +ue el 'ae"ro 6a e1alado $o'o -0lido para reol-er lo pro!le'a e4er$i"0ndoe& apli$ar lo +ue e 6a ene1ado. La $on$ep$i/n del a!er -i(en"e en e"e 'odelo e la de un a!er a$a!ado& e"0 $on"ruido& donde el 'ae"ro opera i'ple'en"e $o'o un
in"er'ediario +ue 6a$e paar 6a$ia lo $6i$o ee a!er 3a ela!orado 3 "er'inado :por o"ro;. R,(ine Douad3 :o"ra epe$iali"a en did0$"i$a de la 'a"e'0"i$a; $ara$"eri2a e"e 'i'o 'odelo $o'o una e$uen$ia
. El 'ae"ro e8pone& e8pli$a 3 lue(o lo alu'no e4e$u"an u"ili2ando ee a!er +ue 6a ido e8pue"o. El e(undo 'odelo :+ue e ne$eario di"in(uir del "er$ero& 3a +ue e !a"an"e uual +ue e $on%undan 3 uno de 'i o!4e"i-o e +ue e di%eren$ien $lara'en"e; $ara$"eri2ado por C6arna3 e el +ue ,l lla'a Incitativo. E"0 $en"rado en el alu'no 3 podr#a'o rela$ionarlo $on el +ue $ara$"eri2/ a la E$uela Nue-a& a la e$uela a$"i-a. El 'ae"ro en un $o'ien2o le pre(un"a al alu'no o!re u in"eree& u 'o"i-a$ione& u ne$eidade7 anali2a el en"orno del alu'no para "ra"ar de de"e$"ar lo ape$"o +ue depier"an in"er, el 'ae"ro e$u$6a al alu'no 3 lo a3uda a u"ili2ar %uen"e de in%or'a$i/n. El alu'no !u$a& or(ani2a la in%or'a$i/n +ue -a en$on"rando& e"udia& aprende. El a!er e"0 li(ado a la ne$eidade del en"orno& de la -ida $o"idiana& 3 la e"ru$"ura propia del a!er paa a e(undo plano. La $ara$"er#"i$a e in"eree del alu'no en %un$i/n de u en"orno& lle-an a "o'ar de$iione a$er$a de +u, 3 $/'o e ene1a. En e"e 'odelo en"on$e& la preo$upa$ione no e $en"ran en +ue el alu'no re$on"ru3a el a!er o$ial 3 $ien"#%i$a'en"e $on"i"uido. Lo $en"ral e la i"ua$i/n de ene1an2a=aprendi2a4e reul"e in"erean"e para el alu'no& reponda a u ne$eidade e in"eree. El "er$er 'odelo& +ue e el nue"ro& e $ara$"eri2ado por C6arna3 $o'o Apropiativo Aproximativo. E apro8i'a"i-o en el en"ido de +ue e en"iende +ue en la i"ua$i/n did0$"i$a -a a er poi!le +ue el alu'no lle(ue a re$on"ruir el a!er o$ial'en"e $on"i"uido a "ra-, de apro8i'a$ione u$ei-a7 no de una -e2 en %or'a in'edia"a& ino in"era$"uando $on el $on"enido de di%eren"e 'anera& lo $ual -a a per'i"ir $on"ruir e+ue'a de $ono$i'ien"o $ada -e2 '0 a4u"ado a la na"urale2a del $on"enido. En e"e 'odelo e propone a par"ir de $on$ep$ione pree8i"en"e en el alu'no. Con$ep$ione epe$#%i$a o!re ee $on"enido par"i$ular +ue e e"0 in"en"ando $o'uni$ar. No e "ra"a 3a ola'en"e de $u0le on lo in"eree o la ne$eidade del alu'no :$o'o en el e(undo 'odelo;& ino de a!er 3 de poder 6a$er in"er-enir en la i"ua$i/n did0$"i$a lo +ue piena el alu'no a$er$a de eo $on"enido +ue e ne$eario $o'uni$ar& la $on$ep"uali2a$ione& la 6ip/"ei& 3 lo 'odo de a!ordar +ue lo $6i$o :en "an"o u4e"o $o(ni"i-o; "ienen en rela$i/n $on $ada uno de lo $on"enido. En %un$i/n de e"o el 'ae"ro -a a proponer 3 or(ani2ar erie de i"ua$ione
did0$"i$a +ue -an a plan"ear o!"0$ulo& +ue -a a poner en $ue"i/n la $on$ep$ione pre-ia de lo $6i$o& de 'anera "al +ue e -a3a 6a$iendo poi!le +ue e"a $on$ep$ione e a$er+uen pro(rei-a'en"e a la na"urale2a del a!er $ien"#%i$o o$ial'en"e $on"i"uido. En e"e 'odelo la l/(i$a& la na"urale2a& la or(ani2a$i/n del a!er 'i'o "iene una i'por"an$ia %unda'en"al. A+u# "a'!i,n el alu'no -a a ena3ar& pero -a a 6a$erlo en el 'ar$o de la i"ua$ione did0$"i$a epe$#%i$a'en"e die1ada para +ue e pon(an en 4ue(o u $on$ep$ione 3 para +ue e"a $on$ep$ione e en$uen"ren $on o!"0$ulo +ue la o!li(uen a a-an2ar. ?a a $on%ron"ar $on u $o'pa1ero& -a a de%ender u pun"o de -i"a $on ar(u'en"o& -a a $ue"ionar lo pun"o de -i"a de lo o"ro :o in$luo lo propio& lo +ue ,l 'i'o 6a!#a de%endido an"e; $on ar(u'en"o +ue ir0 ela!orando %ren"e a lo pro!le'a +ue la i"ua$i/n did0$"i$a le plan"ea. E"e "er$er 'odelo upone la in-eri/n del 'odelo e8poi$i/n@e4er$i$io. E pre$io "o'ar en $uen"a $u0l e el lu(ar de la i"ua$i/n pro!le'0"i$a en el pri'er 'odelo 3 en el "er$ero7 un lu(ar a!olu"a'en"e di%eren"e 3 opue"o& En el 'odelo nor'a"i-o& +ue e el 'odelo e(ura'en"e 6e'o par"i$ipado $o'o alu'no& lo pro!le'a +ue en (eneral on pro!le'a $on enun$iado ir-en !0i$a'en"e para apli$ar lo +ue el alu'no 6a aprendido por+ue el 'ae"ro 6a ene1ado& en"endiendo $o'o la "ra'ii/n del $ono$i'ien"o a$a!ado. Por e4e'plo& el 'ae"ro 6a e8pli$ado +u, e la 'ul"ipli$a$i/n 3 $/'o e 6a$e para 'ul"ipli$ar 3 lue(o plan"ea de 'ul"ipli$a$i/n& donde lo alu'no -an a apli$ar lo $ono$i'ien"o pre-ia'en"e ene1ado& En el 'odelo Apro8i'a"i-o@Apropia"i-o& en $a'!io& el lu(ar del pro!le'a e el lu(ar de a+uella i"ua$i/n +ue 6a$e poi!le la $on"ru$$i/n de un $ono$i'ien"o por par"e de lo alu'no. No e el lu(ar de la apli$a$i/n de al(o pre-ia'en"e ene1ado& ino del plan"eo de la $ue"i/n +ue re+uiere +ue e ela!ore un $ono$i'ien"o del $ual pre-ia'en"e no e dipon#a. En $a'!io del lu(ar del pro!le'a :3& en (eneral& "oda la $ara$"er#"i$a de e"e "er$er 'odelo did0$"i$o; 6a$en ne$eario +ue el do$en"e "o'e en $uen"a o%i$ial'en"e la $on"ru$$i/n del a!er por par"e de lo alu'no& +ue e 6a(a a $ar(o de lo e+ue'a de ai'ila$i/n ori(inale de lo $6i$o 3 del plan"eo de $on%li$"o& de $on"rae4e'plo 3 de pro!le'a +ue e o!li(uen al alu'no a $on"ruir $ono$i'ien"o +ue lo apro8i'en al a!er.
En el 'odelo nor'a"i-o :3 en $ier"o 'odo "a'!i,n en el e(undo 'odelo& en el in$i"a"i-o +ue pode'o apro8i'ar a la E$uela Nue-a; no e "o'a en $uen"a la or(ani2a$i/n del a!er ni la $on$ep$ione epe$#%i$a de lo $6i$o o!re $ada uno de lo a!ere a $o'uni$ar& el alu'no +ueda olo $on el pro!le'a de $/'o 6a$er para in$orporar lo $ono$i'ien"o +ue e in"en"a +ue ,l aprenda a par"ir de lo e+ue'a de ai'ila$i/n pre-io +ue ,l "iene. En el 'odelo Apro8i'a"i-o@Apropia"i-o& en $a'!io& el alu'no no +ueda olo. El do$en"e e 6a$e $ar(o de la ai'ila$i/n del $ono$i'ien"o 3 de $on"ri!uir a ella 3 la pri'era $on"ri!u$i/n e "o'ar $o'o pun"o de par"ida la $on$ep$ione pre-ia de lo $6i$o en lu(ar de 6a$er $ao o'io de ella. ?ol-iendo a lo "re polo del "ri0n(ulo did0$"i$o +ue 6e u"ili2ado 6a"a a6ora para de%inir e"o "re 'odelo did0$"i$o& +uiiera e1alar +ue duran"e 'u$6o "ie'po dede lo po"ulado did0$"i$o el ,n%ai 6a e"ado pue"o en uno de eo polo) el alu'no& o!re "odo& en rela$i/n $on u in"eree 3 ne$eidade 3& '0 re$ien"e'en"e& en rela$i/n $on u $on$ep"uali2a$ione. A$"ual'en"e lo +ue e"0 en el $en"ro de la e$ena on lo $on"enido& lo a!ere. E"o 'e pare$e 'u3 !ien& 3a +ue e i'pre$indi!le "o'ar en $uen"a la na"urale2a 3 la or(ani2a$i/n del a!er +ue e e"0 in"en"ando $o'uni$ar. Pero e"0 'u3 !ien ie'pre +ue no e redu2$a la pro!le'0"i$a edu$a"i-a a la pro!le'0"i$a de $on"enido7 ie'pre +ue no e ol-ide +ue& $o'o 6an de'o"rado $ier"o e"udio e"no(r0%i$o& la %or'a "a'!i,n e $on"enido. ?er/ni$a EdBard& una in-e"i(adora $6ilena +ue 6a "ra!a4ado en in-e"i(a$i/n e"no(r0%i$a en la e$uela& al plan"ear +ue la %or'a e $on"enido 3 e8pli$i"a) “En su existencia material el conocimiento que se trasmite en la enseñanza tiene una forma determinada que se va armando en la presentación del contenido. El contenido no es independiente de la forma en que se es presentado. La forma tiene significados que se agregan al contenido, produciéndose una síntesis, un nuevo contenido. La lógica de la interacción, la manera en que el docente interactúa con el saer ! en que genera situaciones para que el alumno interactúe con el saer inciden en forma decisiva en cu"l va a ser la conceptualización del contenido que realmente se est" comunicando en la escuela# .
E"o 6a ido 'u3 "ra!a4ado en Did0$"i$a de la Ma"e'0"i$a& par"i$ular'en"e por C6e-allard a "ra-, de la no$i/n de "ranpoi$i/n did0$"i$a@& +uien 'ue"ra de +u, 'anera lo $on"enido e -an "ran%or'ando) al ir "ran%or'0ndoe en o!4e"o de la
ene1an2a& pri'ero a ni-el $urri$ular 3 depu, a ni-el del aula propia'en"e di$6a& -an $a'!iando de na"urale2a. E i'por"an"e en"on$e $on"rolar +ue no $a'!ien de'aiado& para +ue i(an pare$i,ndoe a lo +ue uno +uiere& 3 no reul"e +ue lo +ue lo $6i$o e"0n aprendiendo ea al(o "o"al'en"e di"in"o del a!er o$ial'en"e produ$ido. Si !ien de%inir lo $on"enido e $ru$ial& no 'eno $ru$ial e de%inir $/'o -an a er "ra"ado eo $on"enido para +ue i(an iendo& en la e$uela& lo +ue la o$iedad epera +ue e $o'uni+ue a la %u"ura (enera$ione. a"a 6a$e po$o "ie'po& de$#a& el polo +ue o$upa!a el pri'er plano era el alu'no7 en e"e 'o'en"o e el $on"enido 3 3o +uiiera $olo$ar'e a6ora en el o"ro polo del "ri0n(ulo& el +ue de al(una 'anera o$upa'o "odo lo a+u# preen"e) el lu(ar del 'ae"ro. Un lu(ar +ue e 'u3 di%#$il& no /lo por la $ondi$ione la!orale& ino por la $ondi$ione did0$"i$a +ue e ne$eario $u'plir $uando e in"en"a "ra!a4ar en el 'ar$o del "er$er 'odelo. El pri'er pro!le'a +ue en%ren"a el 'ae"ro en el "er$er 'odelo lla'ado Apro8i'a"i-o o Apropia"i-o& e el de la de-olu$i/n del pro!le'a al alu'no. A+u# el pro!le'a e el pun"o de par"ida para la $on"ru$$i/n de un nue-o $ono$i'ien"o. An"e $re#a'o +ue era u%i$ien"e die1ar un !uen pro!le'a +ue reul"ara i(ni%i$a"i-o para lo $6i$o& donde pudieran apli$ar u $ono$i'ien"o pre-io 3 al 'i'o "ie'po reul"ara un dea%#o para o!li(arlo a $on"ruir un nue-o $ono$i'ien"o. E"o i(ue iendo a#& pero lo +ue 6o3 e"0 'u3 $laro& e +ue "o'ar $o'o pun"o de par"ida el plan"eo de un pro!le'a e"0 'u3 le4o de er %0$il en la i"ua$i/n del aula& por+ue en nue"ra aula de al(una 'anera i(ue %un$ionando el $on"ra"o did0$"i$o +ue %un$iona en la e$uela en (eneral. Con"ra"o e(5n el $ual e el 'ae"ro el +ue de!e "ra'i"ir el $ono$i'ien"o el $ono$i'ien"o 3 el $6i$o e el +ue de!e e$u$6ar 3 aprender :'odelo nor'a"i-o;7 $on"ra"o e(5n el $ual la produ$$i/n del $ono$i'ien"o no e una repona!ilidad del $6i$o& ino al(o +ue ur(ir0 (ra$ia a la $o'uni$a$i/n +ue el 'ae"ro -a a 6a$er. En"on$e& el "ra!a4o $on$re"o en el aula -a 'o"rando +ue en realidad e 'u$6o '0 %0$il re-elar la en"rada de la -erdad& de$irle a lo $6i$o $/'o e el $ono$i'ien"o 3a o$ial'en"e $on"i"uido +ue 6a$er el in"en"o de +ue lo alu'no lo $on"ru3an a par"ir de la reolu$i/n de pro!le'a. En e"e en"ido e1ala!a +ue el pri'er pro!le'a e de-ol-erle a lo alu'no el pro!le'a.
*C/'o 6a$er para de-ol-erlo 3 para o"ener la repona!ilidad de lo alu'no en la reolu$i/n de lo pro!le'a E"o 6a ido e"udiado en did0$"i$a de la 'a"e'0"i$a. La no$i/n 'i'a de i'pli$a un re$ono$i'ien"o de la lu$6a $on la repreen"a$i/n o$ial de lo dere$6o 3 de!ere de lo 'ae"ro 3 de lo alu'no en el aula. Cuando roeau plan"ea e"a $ue"i/n& e1ala +ue 6a ele(ido la pala!ra para re%erire a una de la %un$ione !0i$a del 'ae"ro& "o'0ndola de la "er'inolo(#a le(al. La de-olu$i/n& en ran$ia& era un a$"o +ue en de"er'inada $ir$un"an$ia e4er$#a el re3& por el $ual le de-ol-#a a la C0'ara una a"ri!u$i/n +ue le $orrepond#a a ,l por dere$6o di-ino& ero +ue ,l de$id#a no au'ir ino dele(ar. *9u, rela$i/n e puede e"a!le$er en"re e"o 3 lo +ue paa $on el 'ae"ro en el aula Al 'ae"ro& e(5n el $on"ra"o did0$"i$o -i(en"e en la 'a3or#a de la in"i"u$ione e$olare& le $orreponder#a "ra'i"ir dire$"a'en"e el $ono$i'ien"o& pero ,l -a a 6a$er un a$"o de de-olu$i/n 3 -a a au"ori2ar a lo ni1o a "o'ar ee dere$6o 3 $on"ruir el $ono$i'ien"o. E i'pre$indi!le +ue el 'ae"ro 6a(a $eio de e"e dere$6o por+ue lo $6i$o no pueden "o'arlo por # 'i'o& por+ue e"o no %or'a par"e del $on"ra"o -i(en"e. En e"a $ondi$ione& e 6a$e di%#$il +ue lo $6i$o o"en(an duran"e 'u$6o "ie'po e"a repona!ilidad7 reul"a 6a!i"ual +ue ello pre(un"en) <*e"o $/'o e De$i'e $o'o e la repue"a>. a3 +ue "ra!a4ar !a"an"e para lle(ar a in"alar un $li'a en el +ue lo $6i$o a$ep"en +ue duran"e un $ier"o "ie'po er0n ello lo repona!le de la $on"ru$$i/n& por upue"o $on la a3uda 3 el apo3o per'anen"e del 'ae"ro. Y +ue lle(ara o"ro "ie'po :e"o "a'!i,n e %un$i/n een$ial del do$en"e; en el $ual el 'ae"ro $on-alidar0 e"a $on"ru$$i/n& $o'ple"ar0& a3udar0 a e"a!le$er a+uello +ue lo $6i$o no 6a3an podido e"a!le$er por # 'i'o. 9uiiera e4e'pli%i$ar $on una i"ua$i/n en la $ual e"e $li'a 3a e"0 !a"an"e $reado 3 +ue de al(una 'anera 'ue"ra al(una in"er-en$ione del do$en"e para e(uir de-ol-iendo el pro!le'a en el $uro de la i"ua$i/n did0$"i$a& 3 no ola'en"e en el plan"eo ini$ial de la i"ua$i/n. En un "ra!a4o de Pa"ri$ia Sado-F3 3 3o e"a'o reali2ando& $on la $ola!ora$i/n de Suana Gol'an& in"en"a'o +ue lo $6i$o lle(uen a $o'prender el i"e'a de nu'era$i/n :en par"i$ular la poi$ionalidad del i"e'a;& en el 'ar$o de una propue"a +ue no "o'a $o'o pun"o de par"ida la re-ela$i/n de la -erdad& e de$ir +ue
no "o'a $o'o pun"o de par"ida +ue el do$en"e ene1e de$ena 3 $en"ena 3 +ue e 6a(an a(rupa$ione e8pli$i"ando +ue el -alor rela"i-o de lo n5'ero "iene +ue -er $on el lu(ar +ue o$upan por+ue e"o repreen"a di%eren"e a(rupa$ione& ino +ue "o'a $o'o pun"o de par"ida la $on$ep$ione de lo $6i$o 3 (enera i"ua$ione did0$"i$a +ue 6a$en poi!le la in"era$$i/n $on el i"e'a& la produ$$i/n e in"erpre"a$i/n de n5'ero& la -in$ula$i/n en"re el i"e'a de nu'era$i/n 3 la opera$ione 'a"e'0"i$a. En una a$"i-idad& en e(undo (rado& 6a!#a'o plan"eado una i"ua$i/n en la $ual 6a!#a'o dado a lo $6i$o una erie de n5'ero) . Di$"0!a'o& por e4e'plo& H 3 ped#a'o a lo $6i$o +ue 6i$ieran al(o en la $al$uladora& +ue dieran una orden para +ue H e "ran%or'ara en HK. 9ue 6i$ieran al(o en la $al$uladora para +ue e "ran%or'ara en K& para +ue HK e "ran%or'ara en KK& e"$. Lo +ue "en#an en $o'5n "odo lo $ao era +ue 6a!#a +ue 6a$er al(o para +ue e produ4era $o'o reul"ado un $ero en al(uno o -ario de lo lu(are en rela$i/n $on el n5'ero ori(inal'en"e propue"o. E"a a$"i-idad %ue !ien in"erean"e& por+ue lo $6i$o operaron !a"an"e por ena3o 3 error. Por e4e'plo& H& para +ue e produ4era KH pri'ero re"aron "re& depu, re"aron K& depu, KK. La -en"a4a de e"a i"ua$i/n e +ue e au"o-eri%i$adora& en en"ido de +ue $o'o ello a!en +ue "ienen +ue o!"ener $o'o reul"ado en la $al$uladora& a!en "a'!i,n i la opera$i/n +ue 6i$ieron e o no $orre$"a en la 'edida en +ue le per'i"a o no o!"ener el reul"ado. El 6e$6o de (enerar i"ua$ione donde lo 'i'o $6i$o puedan reol-er i lo +ue e"0n 6a$iendo e"0 !ien o 'al& e $ru$ial para lo(rar de-ol-er el pro!le'a. Si "oda la a$"i-idad de lo $6i$o depende ie'pre de +ue ea el 'ae"ro +ue e-al5e +u, e lo +ue e"0 !ien o 'al en lo +ue e 6a 6e$6o& e pierde $ai $o'ple"a'en"e la poi!ilidad de +ue ean lo $6i$o lo repona!le del pro!le'a. En al(uno $ao :$o'o en ,"e; uno lo(ra +ue la i"ua$i/n 'i'a per'i"a +ue lo $6i$o -a3an -eri%i$ando la $orre$$i/n o no de lo +ue e"0n 6a$iendo. En o"ro $ao e el 'ae"ro el +ue de!e poponer u opini/n 3 el +ue "iene +ue e(uir de-ol-iendo el pro!le'a in e-aluar& para ir !u$ando o"ra 'anera de -alida$i/n. Por e4e'plo o$ial por $oneno en"re lo $6i$o. En la i"ua$i/n +ue le $on"a!a& ello di$u"ieron al(una $oa) *Por +u, 6a!#an re"ado "re 3 depu, "rein"a *9u, 'anera 6a!#a de dare $uen"a de en"rada +ue era lo +ue 6a!#a +ue re"ar& in e"ar 6a$iendo "an"o ena3o Al(uno $6i$o en$on"raron repue"a +ue paaron por la deno'ina$i/n oral de lo n5'ero& Pa"ri$io di4o) <3
por+ue e & i +uiero +ue 'e apare2$a un $ero en el lu(ar del do "en(o +ue re"ar do$ien"o& por+ue *no -e +ue e"o3 di$iendo nue-e 'il do$ien"o7 no e"o3 di$iendo ni -ein"e& ni do. En"on$e lo +ue 6a3 +ue a$ar e do$ien"o>. La e8pli$a$ione era !0i$a'en"e e"a. Reali2a'o lue(o o"ra i"ua$i/n en $al$uladora en donde plan"ea'o lo 'i'o& pero $on n5'ero $o'o HHHH. E de$ir& $on n5'ero +ue 6i$ieran poi!le +ue lo $6i$o e dieran $uen"a del $ual era la di%eren$ia en"re lo +ue 6a!#a +ue re"ar e(5n +ue el $ero e"u-iera $olo$ado en el $ua"ro de $uaren"a& en el $ua"ro de $ua"ro$ien"o o de $ua"ro 'il. E"0!a'o "ra"ando de +ue ello lle(aran a $on$ep"uali2ar $/'o 6a$#an para an"i$ipar +u, era lo +ue 6a!#a +ue re"ar. E"a an"i$ipa$i/n e"a!a -in$ulada $on $u0l era el -alor poi$ional del n5'ero a re"ar 3 e "ra"a!a de +ue lo $6i$o "o'aran $on$ien$ia de eo. Lue(o propui'o o"ra i"ua$i/n donde le ped#a'o +ue u'aran n5'ero redondo en$on"rando la 'anera '0 r0pida de 6a$erlo. Al(uno e4e'plo de la u'a) HKKKQKQKKQ KQKKQKKK KKQQKKK Una -e2 +ue "odo lo $6i$o& en %or'a indi-idual& 6a!#an reuel"o la u'a 6a!#an re%le8ionado o!re $u0l era la 'anera '0 r0pida de en$on"rar el reul"ado& e'pe2a'o a di$u"ir. Todo lo $6i$o e"a!a de a$uerdo en +ue para 6a$erlo r0pido 6a!#a +ue ordenar. a!#a +ue poner pri'ero lo n5'ero '0 (rande de $ada u'a& ordenar de 'a3or a 'eno. O!er-are'o $/'o in"en"a'o de-ol-erle el pro!le'a a lo $6i$o para +ue pudieran e(uir penando o!re e"a $ue"i/n en lu(ar de $errar r0pida'en"e la di$ui/n. E"a!le$ido el a$uerdo& San"ia(o& di$e . <*C/'o e eo>& pre(un"a la 'ae"ra. En"on$e San"ia(o paa al pi2arr/n 3 e$ri!e KKKQKKQKQ "a$6a lo $ero de 'il& lo do de +uinien"o 3 el $ero de o$6en"a 3 pone 'o"rando +ue lo +ue 6i2o e "o'ar el pri'er n5'ero de $ada $ao. La 'ae"ra di$e) <*e lo 'i'o i 3o 6a(o eo>)
KKQKKKQKQ En"on$e& !orro lo $ero 3 'e +ueda . Todo el (rupo (ri"a <No>. Pre(un"a'o por +u,& la 'ae"ra o"ra -e2 al pi2arr/n 3 di$e) San"ia(o) . Die(o) . E$ri!o en el pi2arr/n) KQKQKQK Lo $6i$o (ri"an No & di(o. San"ia(o di$e +ue "iene +ue 6a!er '0 $ero. Lo $6i$o +uedan 'u3 de$on$er"ado& 'irando 3 penando. En"on$e noo"ra le de$i'o) :Lo de'0 # u'aron& por+ue la 'a3or#a de lo $6i$o %ren"e a ea i"ua$i/n lo +ue 6a!#a 6e$6o era penar) KKK Q KK e) KKK Q KK KK KK Q KK KK KK Q KK KK KK Q KK HKK Y lue(o& KK Q K e) KK Q K K K Q K KV a"a lle(ar a K Q K K La 'a3or#a 6a!#a real'en"e u'ado en "odo lo $ao 6a$i,ndolo de a $ien 3 de a die2& al-o $uando u'aron la unidade& l/(i$a'en"e;. <*E"o pa/ en e"e $ao o podr#a paar en o"ro>. Lo $6i$o di$en +ue #& +ue paa e o"ro $ao& 3 dan lo 'i'o e4e'plo +ue ello 6a!#an reuel"o an"e.
La 'ae"ra di$e +ue en"on$e -an a "ra"ar de -er $u0ndo lo ',"odo :u'ar 3 !orrar lo $ero; dan el 'i'o reul"ado& 3 $u0ndo no. 9ueda plan"eado e"e pro!le'a para la pr/8i'a -e2. Pero lo $6i$o no +uieren ir al re$reo& i(uen 'irando u $0l$ulo 6a"a +ue Tali (ri"a) . En"on$e ella pone en el pi2arr/n) KKK Q K Q H 3 di$e . O"ro $6i$o 'ue"ran o"ro $ao en lo +ue paa lo 'i'o) 6a3 $ero en el reul"ado 3 en"on$e no %un$iona la e+ui-alen$ia de lo do ',"odo7 no e puede !orrar lo $ero para o!"ener el reul"ado. Le di(o) <an"0"i$o& $reo +ue ea re(la %un$iona. Pero no en"iendo 'u3 !ien para +u, 'e ir-e a!er +ue puedo uar el ',"odo de !orrar lo $ero $uando 6a3 un $ero en el reul"ado 3 no $uando no 6a3 $ero en el reul"ado& por+ue i +uiero uar ee ',"odo +ue e 'u3 r0pido& lo in"erean"e e uarlo $uando "oda-#a no , el reul"ado. Si i(ual "en(o +ue u'ar pri'ero para a!er i 6a3 o no 6a3 $ero& *para +u, 'e ir-e 9ueda plan"eado el pro!le'a para la pr/8i'a -e2>. Pero lo $6i$o no +uieren eperar. San"ia(o& i(ue 'irando la $uen"a 3 depu, de un lar(o ra"o di$e) . La 'ae"ra le di$e& por all# anda la $oa. runo di$e . La 'ae"ra a(re(a) runo di$e +ue i /lo ir-e para e"e $ao& en"on$e no -ale la pena por+ue uno no e -a a en$on"rar $on 'u$6a $uen"a $o'o ea. Sin e'!ar(o i uno de$u!re por+ue ir-e en e"e $ao 3 no e lo o"ro& en"on$e -a a en$on"rar una 'anera de +ue # le ir-a para 'u$6o '0 $ao. Pi,nelo !ien. Y a6ora # no -e'o la pr/8i'a -e2>. En la i(uien"e $lae lo $6i$o "raen al(una $on$luione. E"0n di$u"iendo o!re el KKK Q KK Q K Q & 3 ran$i$o di$e)
Pa!lo di$e) . ran$i$o a(re(a . Pa!lo paa 3 pone un e4e'plo KKK Q K. Y di$e) . A$0 e'pie2a a ao'are la idea de +ue 6a3 +ue %i4are i e "ra"a de 'ile o de $iene& San"ia(o di$e) . :El i(ue ini"iendo en u poi$i/n;.> En"on$e le pre(un"o por+ue e"0 eli(iendo eo n5'ero& 3 ,l di$e) @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @
9u, re+uii"o de!en $u'plir San"ia(o>. . @ di$e la 'ae"ra 3 e$ri!e en el pi2arr/n) KKK Q KK Q QK . & di$e San"ia(o. & di$e Pa"ri$io. <*Al(uien en"endi/& pre(un"a San"ia(o. . & di$e Pa"ri$io. @ @. Di$e Sol <Por +u, er0 +ue Delia puo un $ero en lu(ar de poner un "re>.
La di$ui/n i(ue& 3 e i(ue plani%i$ando o"ra a$"i-idade 6a"a +ue lo(ra'o +ue lo $6i$o lle(uen a ela!orar la $on$lui/n) lo +ue uno puede 6a$er $uando "iene n5'ero redondo e "o'ar en $uen"a& para ela!orar el reul"ado& dire$"a'en"e $u0l e el n5'ero +ue -a a ir en el lu(ar de lo die$e& $u0l en el de lo $iene& o en el de lo 'ile& e(5n $u0l ea el -alor repreen"ado en el u'ando ori(inal. Induda!le'en"e 6u!iera ido '0 %0$il re-elar la -erdad de en"rada. E"e pro$eo no lle-/ $ua"ro $lae& pero 6i2o poi!le +ue lo $6i$o lle(aran a una $on$lui/n +ue lo lle-/ a pro(rear 'u$6o en la $o'preni/n del -alor poi$ional 3 u -in$ula$i/n $on la opera$ione de u'a 3 de re"a.
a3 'u$6o o"ro pro!le'a $on lo $uale el 'ae"ro e en$uen"ra en el $uro de la i"ua$ione de aula. En una i"ua$i/n +ue "a'!i,n "ran$urre en e(undo (rado& $o'o par"e de una in-e"i(a$i/n +ue 6i$i'o en ?ene2uela 6a$e uno a1o. El 'ae"ro en%ren"a di-ero pro!le'a. En pri'er lu(ar& el de a"re-ere a a!ordar i"ua$ione di%#$ile +ue lo $6i$o no a!e reol-er de an"e'ano& el opor"ar la in$er"idu'!re +ue (enera para ,l e"a i"ua$i/n en +ue lo $6i$o e"0n in"en"ando reol-er al(o +ue no a!en reol-er& 3 el er $apa2 de $on"ener la in$er"idu'!re +ue (enera para ,l e"a i"ua$i/n en +ue lo $6i$o e"0n in"en"ando reol-er al(o +ue no a!en reol-er& 3 el er $apa2 de $on"ener la in$er"idu'!re de lo 'i'o $6i$o +ue no pueden lle(ar a la !uena repue"a de en"rada. O"ro pro!le'a +ue e le plan"ea al 'ae"ro "odo el "ie'po e +u, 6a$er $uando ola'en"e un $6i$o& o uno po$o de lo "rein"a 3 $in$o& "ienen 3a la olu$i/n 3 lo o"ro no a!en $/'o reol-er el pro!le'a& o e"0n e'pe2ando a 6a$erlo pero e"0n a5n !a"an"e le4o de en$on"rar la olu$i/n. *C/'o 6a$e el 'ae"ro para 'ane4are $on la di-eridad 3 para 6a$er a-an2ar la i"ua$i/n& a3udando a lo $6i$o +ue in u"i"uirlo en el "ra!a4o de $on"ruir el $ono$i'ien"o *C/'o 6a$e para (enerar "odo el "ie'po a$$i/n in"ele$"ual por par"e de lo $6i$o El 'ae"ro e en%ren"a& "a'!i,n& $on el pro!le'a de de"er'inar i puede u(erir a lo $6i$o pro$edi'ien"o de reolu$i/n& o i ie'pre "iene +ue li'i"are a "ra!a4ar $on lo +ue lo $6i$o proponen7 en +u, $ondi$ione reul"a $on-enien"e proponer al(5n pro$edi'ien"o 3 en $u0le lo 'e4or er#a no proponerlo. Sin"e"i2ar, una i"ua$i/n +ue e (ener/ en el 'ar$o de un pro3e$"o en el +ue noo"ro e"0!a'o "ra!a4ando $on -ario (rupo di%eren"e de $6i$o e e(undo (rado& $on"ru3endo < prolemarios# li!ri"o de pro!le'a@ para 6a$er in"er$a'!io en"re lo di%eren"e (rupo7 $ada uno e lo i!a a 'andar a o"ro para +ue e lo de-ol-iera $on lo pro!le'a reuel"o. Lo pro!le'a eran ele$$ionado a -e$e por noo"ro& o"ra-e$e lo ele$$ionado lo $6i$o:lo !u$a!an en re-i"a de paa"ie'po o en li!ro; 3 en o"ro $ao e "ra"a!a de enun$iado +ue ello 6a!#an $on"ruido. En una opor"unidad& unode lo $6i$o propuo el i(uien"e enuni$iado.
En pri'er lu(ar& %al"an da"o en e"e enun$iado. E"o reul"/ !ien in"erean"e. A$laro +ue noo"ro "ra!a4a'o 'u$6o $on enun$iado donde %al"an da"o. No e"a'o de a$uerdo $on la cl"usula regional del $on"ra"o did0$"i$o uual en la e$uela por la $ual lo enun$iado de pro!le'a "ienen +ue "ener "odo lo da"o ne$eario 3 ola'en"e ,o. Cree'o +ue eo 6a$e i'poi!le +ue ean lo $6i$o +uiene ele$$i/nenlo da"o per"inen"e o lo +ue -a3an a !u$ar lo da"o +ue ne$ei"an para reol-er lo pro!le'a :en la -ida real lo pro!le'a no -ienen pre$o$inado /lo $on lo da"o ne$eario;. Por eo no no epan"a'o +ue el enun$iado +ue "ra4o e"e $6i$o no e"u-iera $o'ple"o dede el pun"o de -i"a de lo da"o. Por el $on"rario& no pare$i/ in"erean"e $o'o pun"o de par"ida. O"ro pro!le'a +ue no plan"ea!a e"e enun$iado e +ue in-olu$rada una 'ul"ipli$a$i/n& 3 lo $6i$o no 6a!#an "ra!a4ado nun$a en 'ul"ipli$a$i/n. A po$o 'ee del ini$io de e(undo (rado& e"0!a'o "ra!a4ando 'u$6o o!re u'a 3 re"a7 3 la 'ul"ipli$a$i/n no 6a!#a ido plan"eada aun+ue e"a!a en nue"ro plane 6a$erlo en !re-e. Por eo de$idi'o u"ili2ar e"e enun$iado para el plan"eo de la no$ione 'ul"ipli$a"i-a.
